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Autoría de contenidos: Ruben Darío Castañeda Barbosa Modalidad: E-Learning Coordinadora de Innovación Académica: Isabel Cristina Ramos Quintero Diseño Instruccional: Lizeth Rojas Hernández Diseño Gráfico y diagramación: Carolina Herrera Rincón Imágenes: Shutterstock Departamento: Ciencias Básicas Universidad Católica de Colombia Decanatura Académica Coordinación de Innovación Académica 2018
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Contenido
OBJETIVO GENERAL ................................................................................................ 5
INTRODUCCIÓN ....................................................................................................... 6
DESARROLLO TEMÁTICO ......................................................................................... 7
1. TRAZO DE CURVAS ....................................................................................... 7 1.1. Criterio de la primera derivada ................................................................. 8
1.1.1. Funciones crecientes y decrecientes.......................................................... 8
1.1.2. Valores extremos de una función y puntos críticos.................................... 8
1.2. Criterio de la segunda derivada.................................................................. 13
2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN A TRAVÉS DEL USO DE LOS CRITERIOS DE LA PRIMER Y SEGUNDA DERIVADA ................................................ 23
3. LA REGLA DE L’HÔPITAL ............................................................................. 34 Regla de L’Hôpital: ............................................................................................ 35
RESUMEN ............................................................................................................... 37
GLOSARIO .............................................................................................................. 38
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................ 40
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Diagrama de temas
Figura 1. Diagrama de temas. Fuente: Elaboración propia
5
Objetivo general
Trazar a partir de la primera y segunda derivada la curva de una función para
encontrar los puntos máximos y mínimos y resolver problemas de optimización.
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Introducción
El concepto de optimización tiene que ver con situaciones del contexto real, y a
través de los criterios de la primera y segunda derivada, es posible optimizar
recursos, utilidades, distancias o carreteras.
El cálculo es una parte de la Matemática que aporta significativamente al
desarrollo de la humanidad a través de la resolución de estos problemas.
Otro aspecto importante que destaca la matemática, corresponde a la
aplicación a la regla de L’Hôpital de los límites, que presentan una indeterminación.
Esta regla, aunque pareciera una forma no muy adecuada para calcular el límite,
tiene su base fundamental en el concepto de la derivada, de tal forma que el
estudiante la aplique, y comprenda el verdadero sentido de la regla en sí.
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Desarrollo temático
1. Trazo de curvas
Figura 2. Introducción al trazo de curvas. Nota: Micheli, V. (s/f).
Aplicaciones de la derivada. [Presentación en Blog] Recuperado de:
http://victormichelimatematica1.blogspot.com/p/unidad-3.html
A partir del objeto de la derivada, es posible encontrar en la representación gráfica
de una función, los puntos máximos, los puntos mínimos, el punto de inflexión, los
intervalos donde crece y decrece la función, y las concavidades.
El criterio de la primera y segunda derivada, permite encontrar estos elementos
que contribuyen a construir la gráfica de una manera sencilla e interesante, para
analizar e interpretar los comportamientos de una función y sus aplicaciones en los
diferentes campos.
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1.1. Criterio de la primera derivada
El criterio de la primera derivada, permite encontrar en qué intervalo la función
crece o decrece, y con respecto a estos cambios, identificar dónde hay un máximo
o un mínimo. A veces este criterio no es muy eficiente, pero es la primera
aproximación para intentar construir la curva de una función dada.
1.1.1. Funciones crecientes y decrecientes
A través del criterio de la primera derivada se dice si en un intervalo la función es
creciente o decreciente:
a. Sea 𝑓(𝑥) una función continua en un intervalo 𝐼, se dice que la función es
creciente si 𝑓´(𝑥) > 0 para toda 𝑥 ∈ 𝐼.
b. Sea 𝑓(𝑥) una función continua en un intervalo 𝐼, se dice que la función es
decreciente si 𝑓´(𝑥) < 0 para toda 𝑥 ∈ 𝐼.
1.1.2. Valores extremos de una función y puntos críticos
a. Sea 𝑓(𝑥) una función continua en un intervalo (𝑎, 𝑏),se dice que la
función tiene un valor máximo, si para toda 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑓(𝑥) es el mayor y
un valor mínimo si 𝑓(𝑥)para toda 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
b. Se dice que si 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) es un valor crítico si 𝑓´(𝑥) = 0, o si la función en
ese valor, no está definida.
Metodología
1. Dada una función, se debe derivar la función para obtener los valores críticos,
y posteriormente los puntos críticos, donde muy posiblemente habrá un
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máximo o un mínimo. ¿Qué relación tiene este concepto con la derivada de
una función?
𝑓´(𝑥0) = 0
2. Encontrar los puntos para cada valor crítico, es decir:𝑓(𝑥0) = 𝑦
3. Criterio de la primera derivada:
a. 𝑓´(𝑥) cambia de positiva a negativa, o en otras palabras de creciente a
decreciente, hay un máximo local en: (𝑥0, y)
b. 𝑓´(𝑥) cambia de negativa a positiva, o en otras palabras de decreciente a
creciente, hay un mínimo local en : (𝑥0, y)
c. 𝑓´(𝑥) no cambia de signo, no hay un mínimo local y tampoco un máximo:
(𝑥0, y)
Ejemplo:
Sea la función: 𝑓(𝑡) = −16𝑡7+64t+80, encontrar los intervalos donde la función
crece o decrece, y hallar los puntos donde posiblemente hay un máximo o un
mínimo:
Derivada de la función:𝑓(𝑡) = −16𝑡7+64t+80
Entonces, aplicando las reglas de la derivada: 𝑓´(𝑡) = −32𝑡 + 64
Luego, se iguala a cero la primera derivada para encontrar el valor o valores
críticos:
𝑓´(𝑡) = −32𝑡 + 64 = 0 → 64 = 32𝑡 → 𝑡 = 2
Luego un valor crítico es 𝑡 = 2, y al obtener el valor de la ordenada, corresponde:
𝑓(2) = −16(2)7+64(2)+80→ 𝑓(2) = 144
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Entonces “probablemente” en el punto (2,144), hay un máximo o mínimo local.
Como dos es un valor crítico, se reconoce dos intervalos en la recta numérica: (-
∞,2) y (2, ∞). El valor de prueba es un número real que pertenezca a cada intervalo
abierto.
Tabla 1
Criterio de la primera derivada
Intervalo (-∞,2) (2, ∞)
Valor de prueba -11 12
Signo f´ (-11) = 416>0 f´ (12) = -320<0
Conclusión La función es
creciente en el
intervalo: (-∞,2)
La función es decreciente en
el intervalo (2, ∞). Por tanto,
la función pasa de creciente a
decreciente, o de positivo a
negativo, lo que indica que
en el punto: (2,144), hay un
máximo (primera conclusión a
partir del criterio de la
primera derivada).
Fuente: Elaboración propia.
11
Figura 3. Función: 𝑓(𝑡) = −16𝑡7+64t+80. Fuente: Elaboración propia.
Ejemplo:
De la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥=+𝑥7 − 5𝑥 − 5, determinar los intervalos donde crece y
decrece, y los posibles puntos donde hay un máximo o un mínimo.
Siguiendo la metodología:
a. Derivarlafunción:f(x) = x= + x7 − 5x − 5
Entonces:f´ =3x7 + 2x − 5
b. 𝑓´(𝑥) = 3𝑥7 + 2x − 5 = 0 igualando a cero la primera derivada.
𝑥 = Q7±S7TQU(=)(QV)7(=)
𝑥 =−2 ± 86
𝑥 = 1𝑦𝑥 = −5 3X
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Corresponden a los valores críticos. Se pueden encontrar los puntos donde
posiblemente hay un punto máximo o mínimo.
Entonces: 𝑓(−YZ)[\Q
YZ]Z^(QYZ)
T − 5 _−V=` − 5 → 𝑓 _−V
=` = Ua
7b
Y lo mismo con el otro valor crítico: 𝑓(1)[(c)Z^(c)T − 5(1) − 5 → 𝑓(1) = −8
Entonces los puntos posibles son: \−YZ,deTf] y (1,−8)
Por tanto, se establecen en la recta numérica tres intervalos abiertos a saber:
_−∞,− V=` ; _− V
=, 1` ; (1,∞)
Y se construye la tabla para analizar dónde la función es creciente o decreciente, y
si hay puntos máximos o mínimos.
Tabla 2
Análisis de la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥=+𝑥7 − 5𝑥 − 5
Intervalo (−∞,−𝟓 𝟑X ) (−𝟓 𝟑X ,1) (𝟏,+∞)
Valor de
prueba -10 0 8
Signo de 𝑓´(−10) =275 > 0 𝑓´(0) = −5 < 0
𝑓´(8) = 203 > 0
Conclusión
La función es creciente
en este intervalo. Si
cambia de creciente a
decreciente, entonces
en el punto: (-
La función es
decreciente en
este intervalo.
La función es
creciente en este
intervalo. Si cambia
de decreciente a
creciente, entonces
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5/3,40/27), hay un
máximo local.
en el punto: (1,-8),
hay un mínimo local.
Fuente: Elaboración propia.
Figura 4. Función: 𝑓(𝑥) = 𝑥= + 𝑥7 − 5𝑥 − 5. Fuente: Elaboración propia.
1.2. Criterio de la segunda derivada
El criterio de la segunda derivada permite identificar tres aspectos importantes
sobre el trazo de la gráfica.
a. Obtener el punto de inflexión, es decir, donde la curva cambia de
concavidad.
b. El intervalo donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
c. El punto donde la función tiene un máximo o un mínimo.
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Metodología:
a. Punto de inflexión: Un punto de inflexión, corresponde al punto de la curva,
donde hay un cambio de concavidad. Se obtiene: 𝑓´´(𝑥0) = 0, por tanto,
punto de inflexión: (𝑥0, y).
La derivada de la derivada se conoce como la segunda derivada: 𝑓´´(𝑥).
b. Concavidad: Teorema.
• Si𝑓´´(𝑥0)> 0, entonces para toda x, que pertenece al intervalo (a,b),
𝑓(𝑥)es cóncava hacia arriba.
• Si𝑓´´(𝑥0) <0, entonces para toda x, que pertenece al intervalo (a,b), f(x) es
cóncava hacia abajo.
• Criterio de la segunda derivada: Si 𝑥0 es un valor crítico, entonces:
• 𝑓´´(𝑥0) >0, entonces en (𝑥0, y), hay un mínimo local.
• 𝑓´´(𝑥0) <0, entonces en (𝑥0, y), hay un máximo local.
Ejemplo:
En este ejemplo, se retoma el ejemplo de la función:𝑓(𝑥) = 𝑥= + 𝑥7 − 5𝑥 − 5
Se debe derivar correctamente: 𝑓´(𝑥) = 3𝑥7 + 2𝑥 − 5 y obtener la segunda
derivada 𝑓´´ = 6𝑥 + 2
Se iguala a cero 𝑓´´ = 6𝑥 + 2= 0
Entonces:𝑥 = −1/3
𝑓(−c=) =-88/27 se deben hacer los cálculos.
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Entonces el punto de inflexión, es decir, donde la gráfica cambia de concavidad
es: 𝑃𝐼 =(-1/3,-88/27)
Criterio de la segunda derivada: 𝑓´´ _− V=` = 6 _−V
=` + 2
Entonces:𝑓´´ _− V=` = −8 < 0
Existe un máximo en el punto:(−5 3X ,40/27)
Ahora, con el otro valor crítico: 𝑓´´(1) = 6(1) + 2𝑓´´(1) = 8 > 0
Allí existe un mínimo en el punto (1,-8), que se verifica con lo que se obtuvo en el
criterio de la primera derivada.
Concavidad: El valor crítico del punto de inflexión genera dos intervalos a saber:
(−∞, QpZ);(QpZ,^q)
Tabla 3
Análisis del punto de inflexión: Función: 𝑓(𝑥) = 𝑥= + 𝑥7 − 5𝑥 − 5
Intervalo (−∞,−𝟏 𝟑X ) (−𝟏 𝟑,X ,+∞)
Valor de
prueba.
Segunda
derivada
-12 20
Conclusión 𝑓´´(−12) = −70< 0
Cóncava hacia abajo,
en este intervalo:
(−∞,−1 3X )
𝑓´´(20) = 122 >0
Cóncava hacia arriba
en este intervalo:
(−1 3,X ,+∞)
Fuente: Elaboración propia.
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Gráfica:
Figura 5. Función: 𝑓(𝑥) = 𝑥= + 𝑥7 − 5𝑥 − 5. Fuente: Elaboración propia.
Ejemplo:
De la función: 𝑓(𝑥) = sZ
=+ 𝑥7 − 8𝑥, hallar los valores, puntos críticos, puntos
máximos, puntos mínimos, intervalos de concavidad, punto de inflexión y trazo de
la curva.
Lo primero es hallar la primera derivada 𝑓´(𝑥) = 𝑥7 + 2𝑥 − 8
Se iguala a cero para lograr los valores críticos: 𝑥7 + 2𝑥 − 8 = 0
Factorizando se tiene: (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) = 0
Entonces: 𝑥 = −4; 𝑥 = 2
Por tanto, se tienen los suficientes intervalos de análisis sobre la recta real:
(−∞,−4) ∪ (−4,2) ∪ (2,∞)
Los puntos críticos son: 𝑓(−4) = (QU)Z
=+ (−4)7 − 8(−4) = ua
=≈ 26.66w
Entonces, un punto crítico es: (−4,26.66w)
Y el otro punto crítico es: 𝑓(2) = (7)Z
=+ (2)7 − 8(2) = − 7u
=≈ −9.33w ; (2,−9.33)
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Se construye la tabla para el criterio de la primera derivada: 𝑓´(𝑥) = 𝑥7 + 2𝑥
Tabla 4
Análisis del criterio de la primera derivada: Función:𝑓(𝑥) = sZ
=+ 𝑥7 − 8𝑥
Intervalo (−∞,−𝟒) (−𝟒,𝟐) (𝟐, +∞)
Valor de
prueba
-15 0 10
Signo de 𝑓´(15) =187 > 0 𝑓´(0) = −8 < 0 𝑓´(10) = 112 > 0
Conclusión La función es creciente
en este intervalo. Si
cambia de creciente a
decreciente, entonces
en el punto (-4,80/3),
hay un máximo local.
La función es
decreciente en
este intervalo.
La función es creciente en
este intervalo.
Si cambia de decreciente a
creciente, entonces en el
punto (2,-28/3), hay un
mínimo local.
Fuente: Elaboración propia.
Ahora se obtiene el punto de inflexión, la concavidad y los puntos máximos y
mínimos.
Criterio de la segunda derivada: 𝑓´(𝑥) = 𝑥7 + 2𝑥 − 8
Entonces: 𝑓´´(𝑥) = 2𝑥 + 2
Para hallar el valor para el número crítico igualamos la segunda derivada a cero.
Entonces: 2𝑥 + 2 = 0
Luego, 𝑥 = −1
Entonces, se evalúa para este valor en la función: 𝑓(−1) = (Qc)Z
=+ (−1)7 − 8(−1) =
7{=≈ 8.66w
El punto de inflexión es: (-1,8.66w).
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Por tanto, se tienen dos intervalos y se analiza la concavidad: (−∞,−1) ∪ (−1,∞) .
Se construye la tabla para analizar:
Tabla 5
Análisis del punto de inflexión: Función: 𝑓(𝑥) = sZ
=+ 𝑥7 − 8𝑥
Intervalo (−∞,−𝟏) (−𝟏,+∞)
Valor de
prueba.
Segunda
derivada
-10 8
Conclusión
𝑓´´(−10) = −18< 0
Cóncava hacia abajo, en
este intervalo:(−∞,−1)
𝑓´´(8) = 18 >0
Cóncava hacia arriba en
este intervalo: (−1,+∞)
Fuente: Elaboración propia.
Ahora, se puede usar el criterio de la segunda derivada para hallar los máximos y
mínimos. Las abscisas son: 𝑥 = −4; 𝑥 = 2 por tanto:
a. 𝑓´´(−4) = 2(−2) + 2 = −2 < 0
Conclusión: en el punto: (-4,80/3) hay un máximo.
b. 𝑓´´(2) = 2(2) + 2 = 6 > 0
Conclusión: en el punto: (1,28/3) hay un máximo.
Ahora, se construye una gráfica:
19
Figura 6. Función:𝑓(𝑥) = sZ
=+ 𝑥7 − 8𝑥. Fuente: Elaboración propia.
Ejemplo:
Trazar y encontrar los elementos de la función: 𝑓(𝑥) = − sd
7− 7sZ
=+ 2𝑥7 , y
determinar los valores críticos a través del criterio de la primera derivada.
𝑓´(𝑥) = −2𝑥= − 2𝑥7 + 4𝑥
Entonces, se iguala a cero:𝑓´(𝑥) = −2𝑥= − 2𝑥7 + 4𝑥 = 0
Luego, 𝑥(−2𝑥7 − 2𝑥 + 4) = 0 → 𝑥 = 0;−2𝑥7 − 2𝑥 + 4 = 0
Y simplificando: 𝑥7 + 𝑥 − 2 = 0
Entonces: (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0
Y se tiene: 𝑥 = −2; 𝑥 = 1 y 𝑥 = 0 como valores para los puntos críticos.
Ahora, se calculan los puntos críticos:
a. 𝑓(0) = − (a)d
7− 7(a)Z
=+ 2(0)7 = 0
Entoncespuntocrítico: (0,0)
20
b. 𝑓(−2) = − (Q7)d
7− 7(Q7)Z
=+ 2(−2)7 = c{
=
Entoncespuntocrítico: (−2,163 )
c. 𝑓(1) = − (c)d
7− 7(c)Z
=+ 2(1)7 = V
{
Entoncespuntocrítico: (1,56)
Se aplica el criterio de la primera derivada en la siguiente tabla:
Tabla 6
Análisis del criterio de la primera derivada: función:𝑓(𝑥) = − sd
7− 7sZ
=+ 2𝑥7
Intervalo (−∞,−𝟐) (−𝟐,𝟎) (𝟎,𝟏) (𝟏,+∞)
Valor de
prueba -6 -1 1
2 5
Signo de
𝑓´(15) = 336
> 0
𝑓´(−1) = −4 < 0
𝑓´ ~12� =
54
> 0
𝑓´(5) = −280< 0
Conclusión
La función es
creciente en este
intervalo. Si
cambia de
creciente a
decreciente,
entonces en el
punto (-2,16/3),
La función es
decreciente en
este intervalo
La función es
creciente en
este
intervalo. Si
cambia de
decreciente
a creciente,
entonces en
el punto
La función es
decreciente en
este intervalo,
entonces en el
punto (1,5/6), hay
un máximo local.
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hay un máximo
local.
(0,0), hay un
mínimo local.
Fuente: Elaboración propia.
Ahora, se usa el criterio de la segunda derivada: 𝑓´(𝑥) = −2𝑥= − 2𝑥7 + 4𝑥
Entonces: 𝑓´´(𝑥) = −6𝑥7 − 4𝑥 + 4
Para hallar el punto o los puntos de inflexión, se iguala la segunda derivada a cero:
𝑓´´(𝑥) = −6𝑥7 − 4𝑥 + 4 = 0
Simplificando: 3𝑥7 + 2𝑥 − 2 = 0
Y aplicando la ecuación cuadrática: 𝑥 = Q�±√�TQU��7�
→ 𝑥 = Q7±S7TQU(=)(Q7)7(=)
Entonces: 𝑥 = Q7±√7u{
Y se tiene:𝑥 = −c=± √b
=
Por tanto : 𝑥c = − c=+ √b
=≈ 0.5485
Y 𝑥7 = − c=− √b
=≈ −1.2152
Estos dos valores generan tres intervalos para determinar la concavidad en los
intervalos:(−∞,−1.2152) ∪ (−1.2152,05485) ∪ (0.5485,∞)
Ahora, se calculan los puntos de inflexión en la función:
a. 𝑓(−1.2152) = − (Qc.7cV7)d
7− 7(Qc.7cV7)Z
=+ 2(−1.2152)7 ≈ 3.06026
Entonces un punto de inflexión es: (−1.2154,3.06026)
aproximadamente.
b. 𝑓(0.5485) = − (a.VUuV)d
7− 7(a.VUuV)Z
=+ 2(0.5485)7 ≈ 0.4464
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Y el otro punto de inflexión es: (0.5485,0.4464) aproximadamente.
c. Se analiza la concavidad en la siguiente tabla:
Tabla 7
Análisis del criterio de la segunda derivada: función:𝑓(𝑥) = − sd
7− 7sZ
=+ 2𝑥7
Intervalo (−∞,−𝟏.𝟐𝟏𝟓𝟒) (−𝟏. 𝟐𝟏𝟓𝟒,𝟎. 𝟓𝟒𝟖𝟓) (𝟎.𝟓𝟒𝟖𝟓,∞)
Valor de prueba.
Segunda
derivada
-2
0
1
Conclusión
𝑓´´(−2) = −12
Cóncava hacia
abajo en este
intervalo:
(−∞,−1.2154)
𝑓´´(0) = 4 >0
Cóncava hacia arriba en
este intervalo:
(−1.2154,05485)
𝑓´´(1) = −6 <0
(0.5485,∞)
Cóncava hacia abajo en
este intervalo:(0.5485,∞)
Fuente: Elaboración propia.
Ahora, se hallan los puntos máximos o mínimos. Se saben las abscisas de los puntos
críticos:𝑥 = −2; 𝑥 = 1 y 𝑥 = 0
Se sustituyen en la segunda derivada:𝑓´´(𝑥) = −6𝑥7 − 4𝑥 + 4
a. 𝑓´´(−2) = −6(−2)7 − 4(−2) + 4 = −12 < 0
Entonces en el punto: _−2, c{=` hayunmáximo.
b. 𝑓´´(0) = −6(0)7 − 4(0) + 4 = 4 > 0
Entonces en el punto: (0,0)hayunmínimo.
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c. 𝑓´´(1) = −6(1)7 − 4(1) + 4 = −6 < 0
Entonces en el punto: _1, V{`hay un máximo.
Se verifica a través de la gráfica:
Figura 7. Función: 𝑓(𝑥) = −sd
7− 7sZ
=+ 2𝑥7. Fuente: Elaboración propia.
2. Resolución de problemas de optimización a través del uso de los
criterios de la primer y segunda derivada
Una de las aplicaciones interesantes del concepto de la derivada, tiene que ver con
el concepto de optimización. En diferentes situaciones, este concepto es aplicable.
Por ejemplo, las fábricas o empresas de manufacturas deben maximizar la calidad
de sus productos minimizando el costo, los ingenieros civiles deben minimizar el
peso de una estructura y maximizar su resistencia. El cálculo diferencial permite
obtener estos valores máximos y mínimos a través de la derivada de funciones en
una variable.
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Antes de iniciar la temática, se hace necesario observar algunas orientaciones para
resolver problemas.
Orientación para resolver problemas:
a. De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situación planteada.
b. Designar con símbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por
determinar en el problema.
c. Analizar el enunciado del problema y distinguir cuales son las variables
a maximizar o minimizar.
d. Plantear dos funciones que relacione las variables del problema, una
llamada función objetivo y otra denominada función secundaria.
e. Aplicar los criterios de primera y segunda derivada. (Stewart, 2008, p.
325)
Actividad introductoria:
La iluminancia E debida a una fuente de luz o intensidad I a una distancia de la
fuente está dada por la siguiente ecuación: .
La iluminancia total proveniente de dos focos de intensidades:
e .
E es la suma de las iluminancias de estos dos focos que se encuentran a 10 metros
de distancia.
De lo anteriormente dicho, encontrar el punto entre los dos focos, de tal forma
que la iluminancia sea mínima.
r
2
IEr
=
1 125I = 2 216I =
P
25
Figura 8. Iluminación entre dos focos. Nota: Diseño más efectivo. (s/f) Iluminación vial y
senderos. [Presentación en Página web] Recuperado de: Fuente:
http://ziklosolar.com/iluminacion-vial/
1. Plantear la función que modela la situación.
Esto debe implicar que se debe identificar claramente la iluminancia total.
Por lo tanto, se toma un punto intermedio. De acuerdo a la gráfica, se toma
la distancia 𝑎 = 10metros.
Figura 9. Representación de la situación. Fuente: Elaboración propia.
2. De acuerdo con la ecuación de iluminancia, se plantea para los dos focos lo
siguiente: 𝐸c =c7V
(caQs)T y 𝐸7 =
7c{(s)T
Como se debe calcular en qué punto entre los focos la iluminación es
mínima, entonces: 𝐸� =c7V
(caQs)T+ 7c{
(s)T
3. Encuentre su dominio:
Como la distancia entre los focos, el dominio de la función es: 𝐷�: 0 < 𝐸� < 10
𝑥 10 − 𝑥 10
m
m
𝑓c 𝑓7
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4. Complete la tabla con aproximaciones coherentes, con base al dominio de
la función anterior:
Tabla 8
Datos del problema de iluminación
Distancia de Valor total de la iluminancia
0.5m 865.385
1.0 m 217.543
1.5 m 97.730
2.0 m 55.953
3.0 m 26.551
3.5 m 20.591
4.0 m 16.972
4.3 m 15.529
4.5 m 14.798
4.9 m 13.802
5.0 m 13.64
6.0 m 13.812
7.0 m 18.297
8.5 m 58.545
9.0 m 127.666
9.5 m 502.393
Fuente: Elaboración propia.
r1I TE
27
5. Trace una gráfica que represente la iluminancia para las distancias
propuestas en la columna de la izquierda en la tabla.
Figura 10. Aproximación de la iluminancia entre dos puntos.
Fuente: Elaboración propia.
6. Use el cálculo para indicar en qué punto entre los dos faros hay menor
intensidad de luz (es posible que la ecuación final sea un poco compleja de
resolver).
Con el uso del criterio de la primera y segunda derivada, se puede obtener
una respuesta más exacta y menos compleja en su proceso.
𝑺𝒆𝒂:𝑬𝑻 =𝟏𝟐𝟓
(𝟏𝟎Q𝒙)𝟐+ 𝟐𝟏𝟔
(𝒙)𝟐
Dada la función objetivo, se debe hallar la primera derivada para obtener
los puntos críticos.
También, se debe reescribir la función para simplificar la derivada: 𝐸� =
125(10 − 𝑥)Q7 + 216𝑥Q7
28
Y se derivamos aplicando las reglas conocidas: 𝐸´� = −250(10 − 𝑥)Q=(−1) −
432𝑥Q= = 0
Entonces: 7Va(caQs)Z
− U=7sZ
= 0
Por lo tanto: 7Va(caQs)Z
= U=7sZ
Entonces:250𝑥= = 432(10 − 𝑥)=
Y a través del álgebra se tiene:√250𝑥=Z =S432(10 − 𝑥)=Z
Entonces: 6.2996𝑥 = 7.5595(10 − 𝑥)
Y despejando la variable 𝑥setiene:𝑥 ≈ 5.4545 metros.
Por tanto, el anterior valor es un punto crítico.
Ahora, se usa el criterio de la segunda derivada: 𝐸´� = 250(10 −
𝑥)Q=−432𝑥Q=
Entonces, 𝐸´´� = −750(10 − 𝑥)QU(−1) + 1296𝑥QU
Por tanto, 𝐸´´� = 750(10− 𝑥)QU + 1296𝑥QU
Y reemplazando el valor crítico se tiene: 𝐸´´�(5.4545) = 750(10 −
5.4545)QU + 1296(5.4545)QU𝐸´´�(5.4545) ≈ 3.22 >
Por tanto, el valor es: 𝑥 ≈ 5.4545
Se determina la mínima iluminancia: 𝐸� =c7V
(caQs)T+ 7c{
(s)T
Entonces: 𝐸�(5.4545) =c7V
(caQV.UVUV)T+ 7c{
(V.UVUV)T
Y se logra:𝐸�(5.4545) ≈ 13.31 (valor que corresponde al aproximado a la
tabla realizada anteriormente).
7. Trace la gráfica de la función objetivo:
29
Figura 11. De la función: 𝐸� =
c7V(caQs)T
+ 7c{(s)T
. Fuente: Elaboración propia.
En (5.4545,13.31) hay un mínimo.
Ejemplo:
De la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥= − 4𝑥7, determine el punto sobre la gráfica en que la recta
tangente tiene pendiente mínima.
Para encontrar la función a derivar, es necesario encontrar la función objetivo, que
para el contexto corresponde a la derivada de la función: 𝑓´(𝑥) = 𝑔(𝑥) = 3𝑥7 − 8𝑥
Se aplica el criterio de la primera derivada para hallar los valores críticos.
Entonces: 𝑔´(𝑥) = 6𝑥 − 8
Y siguiendo el algoritmo, se iguala la primera derivada a cero para obtener los
valores críticos: 6𝑥 − 8 = 0
Entonces: x = U= es el valor crítico en el punto:f\dZ] = 3(dZ)
7 − 8(dZ)
30
Entonces: f\dZ] = − c{=
, lo que indica que en el punto _dZ, −c{=`, muy posiblemente
hay un máximo o mínimo.
Ahora, se hace uso del criterio de la segunda derivada: g´´(x) = 6 > 0
Por tanto, en el punto: _dZ,−c{=` hay un mínimo, en otras palabras, allí la recta
tangente tiene el mínimo valor.
Observa la gráfica:
Figura 12. De la función:𝑓(𝑥) = 𝑥= − 4𝑥7;𝑔(𝑥) = 3𝑥7 − 8𝑥. Fuente: Elaboración propia.
En (dZ, −p�Z ) hay un mínimo.
Ejemplo:
Descomponer el número 44 en dos sumandos, teniendo en cuenta que el
quíntuplo del cuadrado del primero, más el séxtuplo del cuadrado del segundo
sea un mínimo. Para el planteamiento del problema, se debe comprender
exactamente los que dice el problema en su contexto.
31
Problema: Dos sumandos: 𝑥 + 𝑦 = 44
El quíntuplo del cuadrado del primero, más el séxtuplo del cuadrado del
segundo es un mínimo: 𝑓(𝑥) = 5𝑥7 + 6𝑦7
Como hay dos variables y el cálculo diferencial plantea una variable, entonces
es necesario dejar la función a maximizar en función de una variable (este
problema se puede resolver de manera más sencilla en el cálculo multivariado).
Si 𝑥 + 𝑦 = 44
Entonces 𝑦 = 44 − 𝑥, y se sustituye en la función objetivo: 𝑓(𝑥) = 5𝑥7 +
6(44 − 𝑥)7 (se puede aplicar los criterios de la primera y segunda derivada)
Se deriva la función objetivo: 𝑓(𝑥) = 5𝑥7 + 6(44 − 𝑥)7
Entonces:𝑓´(𝑥) = 10𝑥 + 12(44 − 𝑥)(−1) (regla de la cadena)
Simplificando se tiene: 𝑓´(𝑥) = 22𝑥 − 528 y se iguala a cero para hallar el valor
crítico:22𝑥 − 528 = 0
Entonces: 𝑥 = 24
Ahora, se hace uso del criterio de la segunda derivada: 𝑓´(𝑥) = 22𝑥 − 528
Entonces: 𝑓´´(𝑥) = 22 > 0
Por lo que se concluye que en 𝑥 = 24hayunmínimo
De esta manera se halla el otro número: 𝑦 = 44 − 𝑥
Entonces:𝑦 = 44 − 24
Por lo tanto:𝑦 = 20
Conclusión: los números que satisfacen el problema son 24 y 20.
32
Ejemplo:
Una refinería de petróleo en la orilla de un río de 100 m de ancho y en
la orilla opuesta y a 500 m río abajo, se ha construido los tanques de
almacenamiento.
Sabiendo que el río es rectilíneo entre la refinería y los tanques de
almacenamiento, y que la tubería a lo largo de la orilla cuesta $400.000
el metro, y sobre el agua cuesta $800.000 el metro, ¿cuál es la longitud
de la tubería más económica posible entre Refinería y los tanques de
almacenamiento? (Stewart, 2008, p. 334).
Nota: el estudiante debe hacer un bosquejo de la situación que representa el
problema.
Para este problema, se plantea la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 20S(100)7 + 𝑥7 +
12(500 − 𝑥) que representa la longitud del cable en color rojo.
Se usa el criterio de la primera derivada: 𝑓´(𝑥) = 7a(7s)7S(caa)T^sT
+ 12(0− 1)
Simplificando: 𝑓´(𝑥) = 7asS(caa)T^sT
− 12, y se iguala a cero: 7asS(caa)T^sT
− 12 = 0
Con el uso del álgebra: 7asQc7S(caa)T^sT
S(caa)T^sT= 0
Entonces: 20𝑥 − 12S(100)7 + 𝑥7 = 0
Por lo tanto, se debe encontrar el valor de 𝑥 para el crítico: 20𝑥 = 12S(100)7 + 𝑥7
Elevando ambos miembros al cuadrado: [20𝑥]7 = �12S(100)7 + 𝑥7�7→ 400𝑥7 =
144[(100)7 + 𝑥7]
33
Operando: 400𝑥7 = 144((100)7) + 144𝑥7
Y resolviendo: 400𝑥7 − 144𝑥7 = 1440000
Entonces: 256𝑥7 = 1440000 → 𝑥7 = 5625
Por tanto: 𝑥 = ±√5625 = ±75𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 y se descarta el valor negativo porque se
trata de longitudes.
De esta manera, el valor de 𝑥 = 75𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 (valor crítico)
Ahora, se usa el criterio de la segunda derivada: 𝑓´(𝑥) = 7asS(caa)T^sT
− 12
Entonces: 𝑓´´(𝑥) =7aS(caa)T^sTQ Te¡(T¡)
T¢(pee)T£¡T
�S(caa)T^sT�T
Operando se tiene: 𝑓´´(𝑥) =
de¤¢(pee)T£¡T¥T¦de¡T
T¢(pee)T£¡T
(caa)T^sT
Simplificando: 𝑓´´(𝑥) = Ua(caa)T^UasTQUasT
7((caa)T^sT)ZT
Y reduciendo términos semejantes se tiene: 𝑓´´(𝑥) = Uaaaaa
7((caa)T^sT)ZT
Ahora se sustituye el valor crítico: 𝑓´´(75) = Uaaaaa
7((caa)T^sT)ZT= 0.1024 > 0
Por tanto en 𝑥 = 75metros es un mínimo:
La cantidad de cable que se requiere es:
a. 𝐿�¨©�(𝑥) = S(100)7 + 𝑥7por agua
Entonces:𝐿�¨©�(75) = S(100)7 + (75)7 = 125𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
34
b. 𝐿ª0«¬¬�(𝑥) = (500 − 𝑥)por tierra
Entonces: 𝐿ª0«¬¬�(75) = (500 − 75) = 425𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
Ahora, se calculan los costos:𝑓(𝑥) = 20S(100)7 + 𝑥7 + 12(500 − 𝑥)
Por tanto: 𝑓(75) = 800.000S(100)7 + (75)7 + 400.000(500 − 75) = $270.000.000
3. La regla de L’Hôpital
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo
XVII Guillaume François Antoine, Marqués de L'Hôpital, quien dio a
conocer la regla en su obra ‘Análisis de los infinitamente pequeños
para el entendimiento de las líneas curvas’ (4) el primer texto que se
ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque se sabe que la regla se
debe a Johann Bernoulli, quien la desarrolló y demostró. (Wikipedia,
s/f)
Figura 15. El marqués de L’Hôpital. Nota: Wikipedia (s/f).
Regla de l'Hôpital [Presentación en Página web] Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital
35
Regla de L’Hôpital:
Sean y funciones derivables en un intervalo abierto , que contiene
a , excepto posiblemente en , y supongamos que .
Si el límite de cuando tiende a , produce una forma indeterminada
, entonces determina los límites derivando el
numerador y denominador. También se aplica cuando: .
Ejemplo:
es una de las formas indeterminadas, por tanto, se
puede aplicar la regla de L’Hôpital.
Derivada del numerador y derivada del denominador, y se tiene:
Y luego se obtiene el límite:
Y se logra:
Ejemplo:
es una de las formas indeterminadas, por tanto,
se puede aplicar la regla de L’Hôpital.
( )f x ( )g x ( , )a b
c c ( ) 0g x ¹
( )( )
f xg x x c
00 ;¥¥
( ) ( )( ) ( )x c x c
f x f xLim Limg x g x® ®
¢=
¢
( ) ( )( ) ( )x x
f x f xLim Limg x g x®¥ ®¥
¢=
¢
2 21 1
ln ln1 01 1 1 0x x
xLim Limx® ®
Þ =- -
21
(ln )( 1)x
xLimx®
¢¢-
1
1 2x
xLim
x®
1 11
1 1
12 2(1) 2x
x xLim Lim
x® ®= =
21
ln 11 2x
xLimx®
=-
1 14 4
1 1
tan tan 1 01 1 1 0x x
xLim Limx
p p- -
® ®
- -Þ =
- -
1 2
1 1
1(tan ) 1( 1) 1x x
x xLim Limx
-
® ®
¢ +=¢-
36
Ahora se puede determinar el límite:
Por lo tanto:
Ejemplo:
Entonces se tiene: , una de las formas
indeterminadas, por tanto, se puede aplicar la regla de L’hôpital.
Y se determina el límite: , sin embargo, vuelve a tener
forma indeterminada.
Por lo tanto, se debe volver a aplicar la regla de L’Hôpital:
Y se determina el límite:
Sin embargo, vuelve a dar otra de las formas indeterminadas, por lo tanto, se debe
aplicar la regla L’Hôpital de nuevo:
Finalmente, se logra el resultado:
2 2 2
1 1
1 1 111 1 1 1
1 1 1 2x x
x xLim Lim® ®
+ + += = =
14
1
tan 11 2x
xLimx
p-
®
-=
-
3 2
3 2
2 5 4 17 3 10 8x
x x xLimx x x®¥
+ + -+ + -
3 2
3 2
2( ) 5( ) 4( ) 17( ) 3( ) 10( ) 8x
Lim®¥
¥ + ¥ + ¥ - ¥=
¥ + ¥ + ¥ - ¥
3 2 2
3 2 2
(2 5 4 1) 6 10 4(7 3 10 8) 21 6 10x x
x x x x xLim Limx x x x x®¥ ®¥
¢+ + - + +Þ¢+ + - + +
2
2
6( ) 10( ) 421( ) 6( ) 10x
Lim®¥
¥ + ¥ + ¥=
¥ + ¥ + ¥
2
2
(6 10 4) 12 10(21 6 10) 42 6x x
x x xLim Limx x x®¥ ®¥
¢+ + +=¢+ + +
12 10 12( ) 1042 6 42( ) 6x x
xLim Limx®¥ ®¥
+ ¥ + ¥= =
+ ¥ + ¥
12 10 (12 10) 12 12 242 6 (42 6) 42 42 7x x x
x xLim Lim Limx x®¥ ®¥ ®¥
¢+ +Þ = = =
¢+ +
3 2
3 2
2 5 4 1 27 3 10 8 7x
x x xLimx x x®¥
+ + -=
+ + -
37
Resumen
Cuando la matemática permite resolver problemas a partir de un objeto
matemático, en este caso la derivada, motiva al estudiante a construir un lenguaje
significativo para su vida profesional y para su vida cotidiana.
El criterio de la primera derivada, define los puntos críticos y los intervalos
de crecimiento o decrecimiento de una función. También en muchos casos se
puede encontrar los puntos donde hay un máximo o un mínimo. El criterio de la
segunda derivada le permite al estudiante optimizar un problema o encontrar los
puntos máximos o mínimos de una función específica. También se logra la
concavidad de la función en un intervalo y el punto de inflexión.
Resolver problemas con estos criterios es un reto para los estudiantes, y
mucho más significativo cuando se logra la solución a la situación planteada.
La regla de L’Hôpital, presenta un uso alternativo de la derivada para
encontrar el límite de una función cuando inicialmente está indeterminado.
El estudiante revisa en el capítulo de límites cuándo tienden al infinito, y puede
hacer la conexión con el uso de esta regla obteniendo los mismos resultados.
38
Glosario
Criterio de la primera derivada: Determina los valores críticos donde muy
posiblemente la función tiene un máximo o mínimo. También existe la posibilidad
de que allí la función no esté definida.
Criterio de la segunda derivada: este criterio sirve para determinar el punto de
inflexión, la concavidad de un intervalo y el punto máximo o mínimo de una
función.
Intervalo de concavidad hacia abajo: se define para un 𝒙 ∈ 𝑰, de tal manera que
la segunda derivada allí siempre sea negativa para todo 𝒙 ∈ 𝑰.
Intervalo de concavidad hacia arriba: se define para un 𝒙 ∈ 𝑰, de tal manera que
la segunda derivada allí siempre sea positiva para todo 𝒙 ∈ 𝑰.
Intervalo de crecimiento: se define para un 𝒙 ∈ 𝑰, de tal manera que la derivada
allí siempre sea positiva para todo 𝒙 ∈ 𝑰.
Intervalo de decrecimiento: se define para un 𝒙 ∈ 𝑰, de tal manera que la derivada
allí siempre sea negativa para todo 𝒙 ∈ 𝑰.
Punto de inflexión: se obtiene igualando la segunda derivada a cero, y para este
valor existe el punto donde la concavidad cambia hacia arriba o hacia abajo.
Punto máximo (Criterio de la primera derivada): Corresponde cuando el signo
de la primera derivada cambia de positivo a negativo.
Punto máximo: (Criterio de la segunda derivada): Corresponde al punto donde
existe un valor crítico y allí la segunda derivada es un valor negativo.
Punto mínimo (Criterio de la primera derivada): Corresponde cuando el signo de
la primera derivada cambia de negativo a positivo.
39
Punto mínimo (Criterio de la segunda derivada): Corresponde al punto donde
existe un valor crítico, y allí la segunda derivada es un valor positivo.
Regla de L’Hôpital: es una regla que permite obtener el límite de una función
cuando es racional y conduce a una forma indeterminada.
40
Bibliografía
Apóstol, T. (2001). Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra
lineal. Segunda edición. Capítulo 4. Barcelona: Editorial Reverté S.A.
Edward-Penney. (2008). Calculus Early transcendentals seventh. Sexta edición. México:
Editorial Prentice hall.
Larson, R. (2011). Cálculo I. Octava edición. Barcelona: Editorial Mc Graw Hill.
Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Sexta edición.
México: Editorial Cengage Learning.
Infografía/ Webgrafía
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de: http://victormichelimatematica1.blogspot.com/p/unidad-3.htm
Regla de l'Hôpital. (s/f). En Wikipedia. Recuperado el 17 de agosto de 2018 de
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital
Ziklo Solar. (s/f). Iluminación vial y senderos. Recuperado de:
http://ziklosolar.com/iluminacion-vial/