guia de funciones

Universidad Metropolitana Matemtica I (BPTMI01) Departamento de Matemticas

Resumen tomado del Problemario Clculo Diferencial e Integral por publicar

FUNCIONES ELEMENTALES

Las grficas fueron realizadas con geogebra

Resumen tomado del Problemario Clculo Diferencial e Integral, por publicar

2

FUNCIONES

Una funcin f de A en B es una relacin que a cada elemento x del conjunto A le asigna un

nico elemento del conjunto B, denotado por )(xf , y se escribe:

)(

BA:

xfx

f

El conjunto A se denomina dominio de la funcin, y se denota por fDom .

A )(xf se le denomina imagen de x mediante f.

El conjunto de todas las )(xf se denomina rango de la funcin, y se denota por fRg .

Si RA y RB , la funcin se denomina funcin real de variable real.

La representacin en el plano de todos los pares )(, xfx se denomina grfica de la funcin.

Funciones pares e impares:

Una funcin real de variable real f es par si )()( xfxf para toda x. En este caso, la

grfica de la funcin es simtrica con respecto al eje y.

Una funcin real de variable real f es impar si )()( xfxf para toda x. En este caso,

la grfica de la funcin es simtrica con respecto al eje origen.

Funciones crecientes y decrecientes:

Una funcin real de variable real f es creciente en un intervalo I si y slo si

2121 xfxfxx para todo par de nmeros x1 y x2 en I. Una funcin real de variable real f es decreciente en un intervalo I si y slo

si 2121 xfxfxx para todo par de nmeros x1 y x2 en I. Una funcin real de variable real f es estrictamente montona si es creciente o

decreciente.


3

OPERACIONES CON FUNCIONES

Sean f y g dos funciones reales de variable real de dominios fDom y gDom respectivamente.

Las funciones suma, diferencia, producto, multiplicacin por un escalar y cociente se define como:

)()()( xgxfxgf para toda gfx DomDom .



)()( xkfxfk para todo nmero real k y toda fx Dom .

)(

)()(

xg

xfx

g

f

para toda 0)(/ xgxx gfgf DomDomDomDom .


4

ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIN POLINMICA

La funcin real de variable real definida por nn xaxaxaaxf 2

210)( donde naaa ,,, 10

son nmeros reales se denomina funcin polinmica, y se escribe

nn xaxaaxfx

f

10)(

RR:

Si 0na , el grado es n.

Dominio: El dominio de toda funcin polinmica es el conjunto de los nmeros reales, es decir,

RDom f .

CASOS PARTICULARES Funcin constante:

La funcin real de variable real definida por bxf )( donde b es un nmero real se denomina

funcin constante, y se escribe:

bxfx

f

)(

RR:

i) Dominio: El dominio de toda funcin constante es el conjunto de los nmeros reales, es decir,

RDom f .

ii) Rango: El rango de toda funcin constante es el conjunto unitario que contiene a b, es decir

bRg f . iii) Grfica: La grfica de toda funcin constante es una recta paralela al eje x que interseca al

eje y en el punto b,0 .


5

Ejemplo

Sea f la funcin real de variable real definida por 2)( xf

Dominio Rango Grfica

RDom f

2Rg f

Funcin afn

La funcin real de variable real definida por baxxf )( donde a y b son nmeros reales y

0a se denomina funcin afn, y se escribe:

baxxfx

f

)(

RR:

i) Dominio: El dominio de toda funcin afn es el conjunto de los nmeros reales, es decir,

RDom f .

ii) Rango: El rango de toda funcin afn es el conjunto de los nmeros reales, es decir RRg f .

iii) Grfica: La grfica de toda funcin afn es una recta que interseca al eje y en el punto b,0 e

interseca al eje x en el punto

0,

a

b. El nmero a se denomina pendiente de la recta.


6

Ejemplos:

1) Sea f la funcin real de variable real definida por 24)( xxf


RDom f

RRg f

Observa que como 04 a la pendiente es positiva y la medida del ngulo que forma la recta

con el semieje positivo de la x est entre 0 y 90 , y la funcin f es creciente en todo su dominio.

2) Sea f la funcin real de variable real definida por 32

1)( xxf


RDom f

RRg f

Observa que como 02

1a la pendiente es negativa y la medida del ngulo que forma la recta

con el semieje positivo de la x est entre 90 y 180 , y la funcin f es decreciente en todo su

dominio.


7

Funcin cuadrtica

La funcin real de variable real definida por cbxaxxf 2)( donde a, b y c son nmeros

reales y 0a se denomina funcin cuadrtica, y se escribe

cbxaxxfx

f

2)(

RR:

i) Dominio: El dominio de toda funcin cuadrtica es el conjunto de los nmeros reales, es decir,

RDom f

El vrtice de la parbola es el punto

a

bf

a

b

2,

2, luego:

ii) Rango: si 0a : el rango es el intervalo

,

2a

bf ; si 0a el rango es el intervalo

a

bf

2, .

iii) Grfica:

La grfica es una parbola. Si 0a la parbola abre hacia arriba.

Si 0a la parbola abre hacia abajo.

Interseca al eje y en el punto )0(,0 f = c,0 . Los puntos de interseccin con el eje x dependen de las soluciones de la ecuacin

02 cbxax .

Ejemplos:

1) Sea f la funcin real de variable real definida por , 32)( 2 xxxf

i) RDom f .

ii) Como la grfica es una parbola, cuyo vrtice es el punto de coordenadas 4,1 . iii) Como 01a la parbola abre hacia arriba y se tiene que ,4Rg f .

iv) La grfica interseca al eje x en los puntos 0,1 y 0,3 e interseca al eje y en el punto 3,0 .


8

v) Grfica de f se muestra en la figura: Observa que:

Si 3,1x entonces

032)( 2 xxxf y si

,31,x entonces 0)( xf .

f es creciente en el intervalo ,1 y es decreciente en el intervalo

1, .

2) Sea f la funcin real de variable real definida por 32)( 2 xxxf

i) RDom f

ii) Como la grfica es una parbola cuyo vrtice es el punto de coordenadas 2,1 .

iii) Como 01a la parbola abre hacia abajo y se tiene que 2,Rg f .

iv) La grfica no interseca al eje x e interseca al eje y en el punto 3,0 . v) Grfica de f se muestra en la figura: Observa que:

si Rx entonces

032)( 2 xxxf .

f es decreciente en el intervalo

,1 y es creciente en el intervalo 1,


9

Funciones potencias

La funcin real de variable real definida por nxxf )( donde n es un nmero entero positivo se

denomina funcin potencia, y se escribe:

N,)(

RR:

nxxfx

fn

i) Dominio: El dominio de toda funcin potencia entera es el conjunto de los nmeros reales, es

decir, RDom f .

ii) Rango:

Si n es par el rango de toda funcin potencia entera es el conjunto de los nmeros reales

no negativos, es decir ,0Rg f . Si n es impar el rango de toda funcin potencia entera es el conjunto de los nmeros

reales, es decir RRg f .

iii) Grfica:

La grfica contiene al punto 0,0 . Si n es par, la grfica decrece para 0,x y crece para ,0x y contiene los

puntos 1,1 y 1,1 . Es similar a la grfica de 2)( xxf . Si n es impar la grfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el

primero y contiene los puntos 1,1 y 1,1 . Es similar a la grfica de 3)( xxf .

NOTA: Los casos 1n y 2n ya fueron estudiados.

Ejemplos:



RDom f

,0Rg f


10

Observa que:

f es una funcin par, ya que )()( 44 xfxxxf f es creciente en el intervalo ,0 y es decreciente en el intervalo 0,



RDom f

RRg f

Observa que:

f es una funcin impar, ya que )()( 33 xfxxxf f es creciente en R.


11

FUNCIN VALOR ABSOLUTO

La funcin real de variable real definida por xxf )( se denomina funcin valor absoluto, y

se escribe:

xxfx

f

)(

RR:

i) Dominio: El dominio de la funcin valor absoluto es el conjunto de los nmeros reales, es decir,

RDom f .

ii) Rango: El rango de la funcin valor absoluto es el conjunto de los nmeros reales no

negativos, es decir, ,0Rg f .

iii) Grfica: Dado que

0xsi-

0si)(

x

xxxxf ,

La grfica coincide con la grfica de la recta xy a la derecha del eje y, y con la grfica

de la recta xy a la izquierda del eje y.

Observa que:

f es una funcin par, ya que )()( xfxxxf

f es creciente en el intervalo ,0 y es decreciente en el intervalo 0,


12

FUNCIN PARTE ENTERA

La funcin real de variable real definida por xxf )( , que a cada nmero real x le asigna su parte entera, se denomina funcin parte entera, es decir, es la funcin que a cada nmero real x le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, y se escribe:

xxfxRRf

)(

:

i) Dominio: El dominio de la funcin parte entera es el conjunto de los nmeros reales, es decir,

RDom f .

ii) Rango: El rango de la funcin parte entera es el conjunto de los nmeros enteros, es decir,

Zf Rg .

iii) Grfica:

La grfica contiene todos los puntos de la forma nn , con Zn La grfica tiene forma de una escalera, donde la imagen de cada nmero real x

perteneciente a un intervalo de la forma 1, nn con Zn , es constante y coincide con la grfica de ny


13

FUNCIN RACIONAL

La funcin real de variable real definida por )(

)()(

xq

xpxf donde )(xp y )(xq son polinomios con

0)( xq se denomina funcin racional.

Dominio: El dominio de toda funcin racional es el conjunto de todos los nmeros reales que no

anulen el denominador, es decir, 0)(:RDom xqxRf .

Ejemplo:

Sea f la funcin real de variable real definida por 123

65)(

2

x

xxxf

4R0123:RRDom xxf CASO PARTICULAR

La funcin real de variable real definida por x

xf1

)( . Conocida como funcin recproca, y se

escribe:

xxfx

f

1)(

RR: **

i) Dominio: El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales que no anulen el denominador,

es decir, 0R0:RDom xxf ii) Rango: El rango es el conjunto de todos los nmeros reales que no anulen el denominador, es

decir, 0R0:RRg xxf iii) Grfica de f:

La grfica decrece de izquierda a derecha en el tercer cuadrante pasando por el punto

1,1 . La grfica decrece de izquierda a derecha en

el primer cuadrante pasando por el punto

1,1 . Observa que:

f es una funcin impar, ya que

)(11

)( xfxx

xf

f es decreciente en los intervalos 0, y ,0


14

FUNCIN RAZ CUADRADA

La funcin real de variable real definida por xxf )( se denomina funcin raz cuadrada

positiva, y se escribe:

xxfx

f

)(

,0,0:

i) Dominio: El dominio de la funcin raz cuadrada es el conjunto de los nmeros reales no

negativos, es decir, ,0Dom f . ii) Rango: El rango de la funcin raz cuadrada es el conjunto de los nmeros reales no

negativos, es decir, ,0Rg f . iii) Grfica:

La grfica contiene al punto 0,0 . La grfica crece de izquierda a derecha en el primer cuadrante.

Observa que:

f es creciente en todo su dominio.


15

FUNCIN INVERSA

Una funcin real de variable real f es inyectiva si y slo si 2121 xfxfxx para todo par de nmeros x1 y x2 en el dominio.

Observa que toda funcin estrictamente montona en su dominio es inyectiva.

Sea f una funcin inyectiva, de dominio A y rango B. La funcin inversa de la funcin f

denotada por 1f es la funcin de dominio B y rango A definida por yxfxyf )()(1

para todo y en B.

Observa que:

xxff )(1 para toda x en B xxff )(1 para toda x en A

Ejemplo: La funcin

f: ,0,0 definida por 2)( xxf admite inversa, y su inversa es la funcin

:1f ,0,0 definida por xxf )(


16

ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS INVERSAS

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Funcin seno

Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x le asigna el seno del ngulo que mide x radianes, y se escribe:

radsensen

1,1-R

xxxfx

f

)(

:

i) Dominio: RDom f .

ii) Rango: 1,1Rg f . iii) Grfica:

Es peridica, de perodo 2 , es decir , xx sen2sen para todo Rx Zk,0sen0)( kxxxf

Zk2k2

1sen1)( xxxf

Zk2k2

31sen1)( xxxf .

Observa que:

f es una funcin impar, ya que

)(sen)(sen)( xfxxxf


17

Funcin coseno

Es la funcin real de variable real x que a cada nmero real x le asigna el coseno del ngulo que mide x radianes , y se escribe:

radcos

1,1-R

xxxfx

f

cos)(

:


ii) Rango: 1,1Rg f . iii) Grfica:

Es peridica, de perodo 2 , es decir , osxxos c2c para todo Rx

00)( osxxf c Z,

kk2

.

Zk2k1c1)( xosxxf .

Zk,12k1c1)( xosxxf .

Observa que:

f es una funcin par, ya que

)(c)(c)( xfxosxosxf


18

Funcin tangente

Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x diferente de Z,

kk2

, le

asigna la tangente del ngulo que mide x radianes , y se escribe:

radsentan

RRDom

xx

xxxfx

f f

tancos

)(

:

i) Dominio: 0)cos(:R-RDom xxf

Z,2

:R-R kkxx

.

ii) Rango: RRg f .

iii) Grfica:

Es peridica, de perodo , es decir , xx tantan para todo fDomx Zk,0tan0)( kxxxf .


19

Funcin secante

Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x diferente de Z,2

kk , le asigna

la secante del ngulo que mide x radianes , y se escribe:

radsec

RRDom

xx

xxfx

f f

seccos

1)(

:

i) Dominio: 0)cos(:R-RDom xxf

Z,2

:R-R kkxx

ii) Rango: ,11,Rg f . iii) Grfica:

Es peridica, de perodo 2 , es decir , xx sec2sec para todo fx Dom

0)( xf para todo fx Dom .


20

Funcin cosecante

Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x diferente de Z, kk , le asigna la

cosecante del ngulo que mide x radianes , y se escribe:

radsen

csc

RRDom

xx

xxfx

f f

csc1

)(

:

i) Dominio: 0)sen(:R-RDom xxf Z,:R-R kkxx .

ii) Rango: ,11,Rg f . iii) Grfica:

Es peridica, de perodo 2 , es decir, scxx c2csc para todo fx Dom .

0)( xf para todo fx Dom .


21

Funcin cotangente

Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x diferente de Z, kk , le asigna la

cotangente del ngulo que mide x radianes , y se escribe:

radansen

cotan

RRDom

xx

xxxfx

f f

cotcos

)(

:

i) Dominio: 0)sen(:R-RDom xxf Z,:R-R kkxx

ii) Rango: RRg f .

iii) Grfica:

Es peridica, de perodo , es decir , xx cotancotan para todo fx Dom .

Zkk2

0cotan0)( xxxf .


22

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS Funcin arco seno

La funcin seno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo

2

,

2

donde ella

es creciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su

inversa es la funcin arco seno, definida por xaxf rcsen)( o por xxf -1sen)( tal que

xyyxa senrcsen y 2

2

y con 11 x

y se escribe:

xxxfx

f

1senarcsen)(

2

,

2

-1,1-:

i) Dominio: 1,1Dom f .

ii) Rango:

2

,

2

Rg f .

iii) Grfica:

La grfica de la funcin arco seno contiene al punto

2

,1 ya que

2

1rcsen a .

La grfica de la funcin arco seno contiene al punto 0,0 ya que 0)0(rcsen a .

La grfica de la funcin arco seno contiene al punto

2

,1 ya que

2

1rcsen a .

La grfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el primero como se muestra a continuacin.


23

Funcin arco coseno

La funcin coseno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo ,0 donde ella es decreciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su

inversa es la funcin arco coseno, definida por xaxf rccos)( o por xxf -1cos)( , tal que

xyyxa cosrccos y 0 y con 11 x

y se escribe:

xxxfx

f1cosarccos)(

,01,-1:

i) Dominio: 1,1Dom f .

ii) Rango: ,0Rg f . iii) Grfica:

La grfica decrece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el primero.

La grfica de la funcin arco coseno contiene al punto 0,1 ya que 0)1(arccos . La grfica de la funcin arco coseno contiene al punto ,1 ya que 1rccos a .

La grfica de la funcin arco coseno contiene al punto

2

,0 ya que

2

0arccos .


24

Funcin arco tangente

La funcin tangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo

2

,

2

donde

ella es creciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su

inversa es la funcin arco tangente, definida por xaxf rctan)( o por xxf -1tan)( tal que

xyyxa tanrctan y 2

2

y con Rx

y se escribe

xxxfx

f

1tanarctan)(

2

,

2

R:


ii) Rango:

2

,

2

Rg f .

iii) Grfica:

La grfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el primero.

La grfica de la funcin arco tangente contiene al punto 0,0 ya que 0)0(arctan . La grfica de la funcin arco tangente contiene al punto 0,0 ya que 0)0(arctan .


25

Funcin arco secante

La funcin secante no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al conjunto

2

3,

2

,0

donde ella es inyectiva, tenemos que admite inversa sobre su rango, su inversa es la funcin

arco secante, definida por xaxf rcsec)( o por xxf -1sec)( , tal que

xyyxa secrcsec y 1si2

31si

2

0 xyxy

y se escribe:

xxf(xx

f

1secarcsec)

2

3,

2

,0,11,:

i) Dominio: El dominio de la funcin arco secante es el conjunto ,11, , es decir ,11,Dom f .

ii) Rango: El rango de la funcin arco secante es el conjunto

2

3,

2

,0 , es decir,

2

3,

2

,0Rg f .

iii) Grfica:

La grfica de la funcin arco secante contiene al punto 0,1 ya que 01arcsec . La grfica de la funcin arco secante contiene al punto ,1 ya que 1arcsec .


26

Funcin arco cosecante

Funcin arco cosecante La funcin cosecante no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al conjunto

2

3,

2

,0 donde ella es inyectiva tenemos que admite inversa sobre su rango. Su inversa

es la funcin arco cosecante, definida por xaxf rccsc)( o por xscxf -1c)( tal que

xyscyxa crccsc y 1si2

31si

2

0 xyxy

y se escribe

xxf(xx

f

1cscarccsc)

2

3,

2

,0,11,:

i) Dominio: ,11,Dom f .

ii) Rango:

2

3,

2

,0Rg f .

iii) Grfica:

La grfica de la funcin arco cosecante contiene al punto

2

,1 ya que

2

1rccsc a .

La grfica de la funcin arco cosecante contiene al punto

2

3,1 ya que

2

31rccsc a .


27

Funcin arco cotangente

La funcin cotangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo ,0 donde ella es decreciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango.

Su inversa es la funcin arco cotangente, definida por xaxf rccotan)( o por xxf -1cotan)( tal

que xyyxa cotanrccotan y 0 y con Rx

y se escribe:

xxxfx

f1cotanarccotan)(

,0R:


ii) Rango: ,0Rg f .

iii) Grfica: La grfica de la funcin arco cotangente contiene al punto

2

,0 ya que

2

0arccotan .


28

FUNCIN EXPONENCIAL DE BASE a

La funcin real de variable real definida por xaxf )( con 0a y 1a se denomina funcin

exponencial de base a, y se escribe:

xaxfx

f

)(

RR:

i) Dominio: El dominio de la funcin exponencial de base a es el conjunto de los nmeros reales,

es decir, RDom f .

ii) Rango: El rango de la funcin exponencial de base a es el conjunto de los nmeros reales

positivos, es decir, ,0Rg f . iii) Grfica:

La grfica de la funcin exponencial de base a contiene al punto 1,0 . Si 1a la grfica crece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el

primero.

Si 10 a la grfica decrece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia

el primero.

1a 10 a


29

Ejemplos:

1) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf 2)(

Su base es 12 , por lo tanto la funcin es creciente


RDom f

,0Rg f

2) Sea f la funcin real de variable real definida por

x

xf

2

1)(

Su base es 12

1 , por lo tanto la funcin es decreciente


RDom f

,0Rg f

3) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf e)(

Su base es 1e , por lo tanto la funcin es creciente


RDom f

,0Rg f


30

FUNCIN LOGARITMO DE BASE a

Como la funcin exponencial de base a definida como xaxf )( con 0a y 1a es inyectiva

admite inversa, su inversa es la funcin logaritmo de base a definida por xxf alog)( para

0x tal que

xayx ya log

y se escribe:

xayxxxfx

fy

aa

logquetal,log)(

R,0:

i) Dominio: El dominio de la funcin logaritmo de base a es el conjunto de los nmeros reales

positivos, es decir, ,0Dom f . ii) Rango: El rango de la funcin logaritmo de base a es el conjunto de los nmeros reales, es

decir, RRg f .

iii) Grfica:

La grfica de la funcin logaritmo de base a contiene al punto 0,1 . Si 1a la grfica crece de izquierda a derecha desde el cuarto cuadrante hacia el

primero.

Si 10 a la grfica decrece de izquierda a derecha desde el primer cuadrante hacia el

cuarto cuadrante.

1a 10 a


31

Ejemplos:

1) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf 2log)(

Su base es 12 , por lo tanto la funcin es creciente


,0Dom f

Rf Rg

2) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf

2

1log)(

Su base es 12

1 , por lo tanto la funcin es decreciente


,0Dom f

Rf Rg

3) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf elog)( , denominada funcin

logaritmo neperiano, y se denota por xxf ln)(

Su base es 1e , por lo tanto la funcin es creciente


,0Dom f

Rf Rg


32

FUNCIN COMPUESTA

Sea f una funcin de dominio fDom y rango fRg y sea g una funcin de dominio gDom y

rango gRg , tal que gfg DomR . La funcin compuesta fg es la funcin definida por

)()( xfgxfg para toda fx Dom tal que gxf Dom)( , es decir,

gffg xfx Dom)(:DomDom .

Ejemplo:

Sean f y g las funciones definidas por xxf 1)( y xxg )( .

RDom f y ,0Domg

xxgxfgxfg 11)()( y xxfxgfxgf 1)()(

,1Dom fg y ,0Dom gf

Nota: Observa que la composicin de funciones no es conmutativa.


33

EJERCICIOS 1. Indica el dominio, el rango y grafica las siguientes funciones reales de variable real:

a) 4

3)( xf b) 7)( xxf c) 7)( xxf d) 168)( 2 xxxf

e) 168)( 2 xxxf f) 9)( 2 xxf g) 6)( xxf h) 7)( xxf

i) xxf 3)( j)

x

xf

5

2)( k) xxf 3log)( l) xxf

5

2log)(

2. Indica el dominio y grafica las siguientes funciones reales de variable real:

a)

0si7

0si4

3

)(

xx

xxf b)

2si168

2si7)( 2 xxx

xxxf

c)

1si3

1si)(

6

x

xxxf

x d)

si4

3

sicos)(

x

xx

xf

e)

3si9

3-si)(

2 xx

xxxf f)

1-si

1-si)(

6

7

xx

xxxf

g)

xx

x

xxx

xf

x

1silog

11si5

2

1si168

)(

3

2

h)

xx

xx

xx

xf

0siln

02

sicos

2

sisen

)(

3. Sean 2)( xxf y xxg )( . Escribe las expresiones de:

a) )(xgf b) )2( xg c) ))2(1 xf d) )(xgf e) )(4 xg

f

4. Sean xxf cos)( y xxg 3)( . Escribe las expresiones de:

a) )(3 xgf b) 2

)2()2( agaf c) )(xfg d) )(xgf

5. Sean x

xf1

)( y xxg ln)( . Escribe las expresiones de:

a) )(xgf b) )(xf

g

c) xxg ln)( 2 d) )(xgf e) )(4 x

g

f

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