GUIA DE FUNCIONES

1. FUNCION DE PRIMER GRADO: Función Afín

· f(x) = ax + b

2. FUNCION LINEAL Q PASA POR EL ORIGEN:

· Función de primer grado f (x) = ax + b, con b = 0: f(x) = ax , con a ≠ 0

· La recta pasa por el origen.

3. FUNCION IDENTIDAD:

· Función lineal f(x) = ax, con a =1: f(x) = x

· La recta pasa por el origen.· Existe una proporcionalidad directa entre x e y.

4. FUNCION VALOR ABSOLUTO:

· Asigna a cada número real x, un número no-negativo:

x , si x ≥ 0f(x) = │x│=

– x , si x < 0

5. FUNCION CONSTANTE:

· Función de grado cero.· Su gráfico es una recta horizontal.

6. FUNCION CUADRATICA:

· Función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c· Se grafica una curva llamada parábola.

y

x

f (x)

a > 0

y

x

f (x)

a < 0positivam

negativam

y

x

f (x) = ax

y

x

f (x) = x

y

x

f (x) = – x f(x) = x

y

xf (x) = 3

3

y

xf (x) = ax2 + bx + c a 0˃

y

xf (x) = ax

2 + bx + c

a0˂

a˃˃

7. FUNCION RAIZ CUADRADA:

· Su dominio son los IR+ U {0}.f(x) = ± x (x ≥ 0)

8. FUNCION EXPONENCIAL:

· Función del tipo f(x) = ax, con a perteneciente a IR+ y a ≠ 1.· Existen dos casos: a > 1 y 0 < a < 1· La curva es asintótica (se acerca sin tocar) al eje x (1º y 4º cuadrante)

PRIMER CASO: a > 1 SEGUNDO CASO: 0 < a < 1· La función es creciente · La función es decreciente

9. FUNCION LOGARITMICA:

· Inversa a la función exponencial.· De tipo f(x) = log b (x) = x , con b perteneciente a IR+ y b ≠ 1.· Existen dos casos: a > 1 y 0 < a < 1· La curva es asintótica al eje y (1º y 2º cuadrante)

PRIMER CASO: a > 1· La función es creciente

SEGUNDO CASO: 0 < a < 1. La función es decreciente

10. FUNCIÓN CÚBICA:

y

x

f (x) = – √x

f (x) = + √x

y

x

f (x) = ax

a > 1

y

x

f (x) = ax0 < a < 1

y

x

f (x) = x3

F(x)=-x3

11.FUNCIÓN HIPERBÓLICA:

f(x)= 1

x x≠0

x=0 e y=0 asíntotas

12 . función mayor entero

f : Z

donde n es un número entero tal que .

La expresión se lee: "mayor entero que no supera a x".

Asi, para

También,

La gráfica de la función se muestra en la fig. 6. y está constituida por una serie de segmentos unitarios faltándole a cada uno su extremo derecho.

fig. 6.

13. Función definida a trozos

f :A

donde (dominio de f).

CASOS PARTICULARESi. Función Valor Absoluto:

y

x

f :

La gráfica de la función valor absoluto, está formada por las rectas perpendiculares y = x e y = -x. (Ver fig. 7) .

fig. 7

ii. Función Signo:

f : Z

Su gráfica se muestra en la fig. 8. y está constituida por el origen de coordenadas y dos semirectas a las cuales les falta el punto inicial.

fig. 8

Note que el dominio es el conjunto , mientras que el rango es el conjunto {-1, 0, 1}.

14. función racional

f :

donde Pn(x) y Qm(x) son polinomios de grados n y m respectivamente.

Nótese que el Dominio de una función racional f viene dado por :

Df = {x / Qm(x) ≠ 0} = - {x / Qm(x) = 0}.

Es decir, el Dominio f lo constituye el conjunto de los números reales, excepto los valores

que anulan el denominador.

Para la gráfica de una función racional se precisa conocer otros conceptos (asíntotas, máx., mín., concavidad, puntos de inflexión) que mas adelante se discutirán.

14. funcionalgebraicas y trascendentes

Una función algebráica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones algebráicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raices.

Un ejemplo de una función algebráica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por:

.

Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:

15. funciones pares o impares

DEFINICIONES:i. Una función f es PAR, si los números x y -x están en su dominio y además: f(-x) = f(+x).ii. Una función f es IMPAR, si los números x y -x están en su dominio y además:

f(-x) = -f(x).OBSERVACIONESi. Es evidente desde el punto de vista geométrico que la gráfica de una función par es

simétrica con respecto al eje y. (Ver fig. 9.).

fig. 9.

También, es evidente que toda función racional que solo contiene potencias pares (x0, x2, x4, ...) de la variable x es PAR.

Asi, la función es PAR.ii. Igualmente, la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. (Ver fig.

10).

fig. 10.

16 . funciones periodicas

Definición.

Una función es PERIODICA con período P ≠ 0, si su dominio contiene al número (x + P) siempre que contenga a x y si además:

f(x + P) = f(x) para todo x D(f).

El mínimo número positivo P con esta propiedad se denomina: PERIODO PRIMITIVO DE f.

La definición anterior significa geométricamente, que para cualquier a D(f), la gráfica entre a y (a + P) es exactamente igual a la gráfica entre (a + P) y (a + 2P) y asi sucesivamente (fig. 11).

fig. 11.

Son ejemplos de funciones periódicas:

1. Las funciones trigonométricas: seno, coseno, secante y cosecante, tienen periodoP = 2π , mientras que las funciones tangente y cotangente tienen periodo P = π .

En efecto,

Si f(x) = Sen x, entonces, f(x + 2π ) = Sen (x + 2π ) = Sen x = f(x).

Si g(x) = Cos x, entonces, g(x + 2π ) = Cos (x + 2π ) = Cos x = g(x).

Si h(x) = Tan x, entonces, h(x + π ) = Tan (x + π ) = Tan x = h(x).

En la fig. 12. aparecen las gráficas de las funciones trigonométricas en las cuales se indica el período correspondiente.

fig. 12.

2. La función constante (sección 7.2.2.) f(x) = k es una función periódica, puesto que para cualquier número P, f(x + P) = k = f(x).

Nótese , sin embargo, que esta función carece de periodo primitivo.

E J E R C I C I O S

1): Si 2

3x2)x(f

−

+−= , entonces f(7) es igual a:

217

)E

211

)D

211

)C

217

)B

4)A

−

−

2) En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 152 minutos, el segundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por los días que estacionó?A) $ 1.900 B) $ 2.300 C) $ 2.400 D) $ 2.000 E) Ninguno de los valores anteriores. 3) ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 1?

A) B) C)

D) E)

4) Si f (x) = 3x y g (x) = 5, entonces f (1) + g (1) = ?A) 8B) 4C) 3D) 2E) Ninguna de las anteriores

5) Si f (3x − 1) = x2 − 10, entonces f (5) = ?A) −1B) −6C) 15D) 26E) No se puede determinar

6) ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en la figura?

11xy)E

11xy)D

2xy)C

1xy)B

1xy)A

−−=

−−=−=

−=−=

7) ¿Cuál es el dominio de la función 4x)x(f 2 −= en los números reales?

[ [[ [

[ [] ] [ [[ [+∞

+∞∪−∞−+∞

+∞−+∞

,4)E,22,)D

,0)C,2)B

,2)A

8) ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura? I) f(– 2) > f(4) II) f(– 1) + f(3) = f(– 3) III) f(– 6) – f(8) = 2A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y II E) Sólo II y III

9) ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura?A) y = (– x + 1)(x – 2)B) y = (x + 1)(x – 2)C) y = (– x + 1)(x + 2)D) y = (– x – 1)(x – 2)E) y = (x + 1)(– x – 2)

10) Sea f(x) una función tal que: f(x − 1) = x2 − (a + 1)x + 1, entonces el valor de f(a) esA) 1B) 1 − aC) 2 − aD) 1 + aE) 3 − 2a

11) Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx + 1 y f(-2) = 5 ¿Cuál es el valor de t?A) -3B) -2C) 3D) 2

E) 23

12) Del gráfico de la función real x1)x(f −= , se puede afirmar que: I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1Es(son) verdadera(s):

A) Solo IIB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

13) Si f(x) = 5x, entonces 5 • f(5x) es igual a A) 125x B) 25x C) 125x2

D) 25x2

E) ninguna de las expresiones anteriores.

14) Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es A) 5 B) 3 C) 2 D) 0 E) –1

15) Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) ≠ g(x), para todo número real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

16) Si f(x) = xa + 1 y f(2) = 9, entonces a =A) 9B) 4C) 3D) 2E) 8

17) Sea f una función cuyo dominio es R –{-1} definida por 1xx1

)x(f+−= , entonces f(-2)

A) 1B) -1C) 3D) -3

E) - 31

18) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [x +1]

19) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = -(x + 1)2 + 1?

20) Considere la función f(x) = x2 – 8x + 15, ¿cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El gráfico de la función intercepta en dos puntos al eje x II) Su valor mínimo es -1 III) f(-3) > 0A) Solo IB) Solo II intersectar interceptarC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

21) El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. ¿Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de agua y con el número de semana x?A) y = -12 + 0,5xB) y = - 0,5 + 12xC) y = 12 + 0,5xD) y = 12 – 3,5xE) y = 12 – 0,5x

22) De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0) II) 3⋅f(-2) – f(0) = 2⋅f(2) III) f(-2) – f(1) = f(2) -1A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

23) Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3, ¿cuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f(t) = 1?A) {-2}B) {-2,2}C) {2}D) {4}E) No tiene solución en el conjunto de los números reales

24) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x2 – 5x + 6?

25) La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) =

xx3)E

xx)D

xx)C

xx)B

x2)A

−

−

−

+

26) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función f(x) = x2 – 1?

27) El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo:

Consumo en m3 Precio0 - 9 $3.00010 – 19 $ 8.00020 o más $11.000

Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de la empresa?

28) En la figura ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de la recta es igual a 5 II) El punto (1,15) pertenece a la recta III) La ecuación de la recta es y = 5x - 10

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III

29) Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que mejor representa al gráfico de la figura? A) y = x2

B) y = x3

C) y = 4x4

D) y = 4x

E) y = 4x2

30) La relación entre el radio y el área de una circunferencia es: 2rπA ⋅= ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

1I. π es variable. 2II. r es variable y A sólo toma valores positivos. 3III. A es función de r.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II

D) Sólo II y III E) I, II y III

31) Dada la función x2

x3x)x(f

−−−

= , entonces f(-4)=

valorOtro)E611

)D

21

)C

21

)B

611

)A

−

−

32) Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, además, $ 300 por cada Km. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x) es:

[ ][ ][ ]

[ ][ ]1x300150y)E

1x300150y)D3001x150y)C

300x150y)B

x300150y)A

+⋅+=−⋅+=

+−⋅=+⋅=

⋅+=

33) Dada la función )2x()x(f −= , se puede afirmar que: I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2 II) f(3) = 1 III) El punto (5,3) pertenece a la funciónA) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

34) Si f(x) = mx + n, ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente, de modo que f(3) = 8 y f(2) = 6?

A) 21 y 5

B) - 1 y 21

C) 2 y 2

D) 21 y

213

E) 2 y 10

35) Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes:Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno.Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas en cualquier horario. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q.

II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

36) Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)?A) C(x) = x + 1.005.000B) C(x) = 1.000.000x + 5.000C) C(x) = 1.005.000xD) C(x) = 5.000x + 1.000.000E) C(x) = (x – 5.000) + 1.000.000

37) Dada la función f(x)= xx12 −− , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?

0)2(f)III

21

21

f)II

)1(f)2(f)I

=

=

−=−

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

38) Si f(x) = log2x, entonces f(16) – f(8) es:A) 1B) 2C) 3D) 4E) 7

39) Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a:A) x2 + 3x - 2B) x2 + 5x – 3C) x2 + 5x – 2D) x2 + 5xE) x2 + 3x

40) dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + a, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si a > 1, la parábola intercepta en dos puntos al eje x II) Si a = 1, la parábola intercepta en un solo punto al eje x III) Si a < 1, la parábola no intercepta al eje x

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y II E) Solo II y III