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CÁLCULO I – ANÁLISIS MATEMÁTICO I Guía de Ejercicios TEMA 6

1

MINISTERIO DE CULTURA Y EDUCACIÓN

Universidad Nacional de San Juan

Departamento de Matemática

Cátedra: CÁLCULO I – ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Autoría: Equipo de cátedra ‐ 2021

GUÍA DE EJERCICIOS TEMA 6

INTEGRALES DEFINIDAS, INTEGRALES IMPROPIAS Y APLICACIONES DE LA

INTEGRAL

1. Propiedades de las integrales definidas 1.1. Use propiedades de la integral definida para proporcionar expresiones equivalentes.

Solo si es evidente indique el resultado numérico que se obtendrá.

a)

b) 1 2

c)

d) 0, :

e)


2

2. Aplicación de la Regla de BARROW

2.1. . ln La solución de este primer ejercicio se dividirá en dos pasos: primero hay que calcular una primitiva tal que ln :

ln ln

2 2

ln2

12

ln2 4

Segundo, se aplica la regla de Barrow:

ln | 2 1

ln ln2 4

ln ln 222

24

ln 112

14

2 ln 2 1 014

0,63

2.2. cos .

Esta integral se resolverá por sustitución, Los límites de integración de la integral DEFINIDA están expresados en función de la variable original, por lo tanto, es necesario cambiarlos a la nueva variable en función de la sustitución planteada. Esto se debe hacer SIEMPRE QUE SE RESUELVA UNA INTEGRAL DEFINIDA POR SUSTITUCIÓN:


3

cos . Sustitución : cos

NUEVOS LÍMITES: 0 0 0

2 2 1

cos . cos . cos

|01 1

Ejercicios propuestos:

2.3. 1 Sol: 2.4. Sol:

2.5. Sol: 0,05 2.6. · cos Sol: 2

3. Integrales impropias de funciones con discontinuidades infinitas

3.1. √

Sol: La función integrando es discontinua en x=4, por lo que para resolver la integral se aplica límite con variable que tiende a 4 por izquierda por ser el límite superior de la integral:

1

√4lim

1√4

lim 4

lim4

lim1

4

2 lim 4


4

1

√42 lim 4 4 0

2 lim 4 √4 2 0 √4

2 2 4

3.2. √

Sol: La función integrando es discontinua en x=±2, por lo que para resolver la integral se tiene que descomponer en dos integrales usando propiedades (la misma que en el apartado “e” del ejercicio 1). En este caso se eligió x=0, ya que se simplifican los cálculos, sin embargo, se puede elegir cualquier otra abscisa i.

1

√4

1√4

1√4

Se ha dividido la primera integral en dos, ahora resta resolver cada una aplicando límite con variable que tiende a cada uno de los límites que son discontinuidades en la función integrando, por izquierda y por derecha según corresponda:

lim1

√4lim

1√4

lim1

√4 1lim

1

√4 1

lim1

lim1

lim 2 lim 2

0 lim 2 lim 20

2 2


5


3.3. √

3.4. 3.5.

4. Integrales impropias con intervalos de integración infinito

Los intervalos de integración infinitos deben trabajarse tomando límite de una variable adecuada tendiendo a infinito. Esto es así ya que el intervalo de integración debe ser cerrado. Hay que tener en cuenta, además, que en muchos casos se llega a límites indeterminados y es necesario salvar dicha indeterminación con los métodos estudiados desde la unidad 2.

4.1.

Sol: Ya que el intervalo de integración es ∞, 0 , se aplica límite para la variable “a” tendiendo a infinito negativo, y se considera el nuevo intervalo de integración como , 0 :

12 2

12

12 lim

12 1 lim ∞

Conclusión: La integral diverge.

4.2.

Sol: Ya que el intervalo de integración debería ser ∞,∞ , entonces, como los dos extremos del intervalo son infinitos, para resolver la integral se sugiere descomponer en dos integrales usando propiedades (la misma que en el apartado “e” del ejercicio 1).


6

1

1 1

11

1

De la misma forma que en ejercicio resuelto 3.2, se ha descompuesto la integral original usando un punto medio. Ahora se toma límite en cada integral considerando los intervalos de integración , 0 y 0, respectivamente:

1

11

1

lim | lim |

PARA TENER EN CUENTA: La gráfica de la función arco tangente:

lim 0 lim 0

02 2

02 2

Conclusión: La integral converge.☺


4.3. 4.4. 1

4.5. · 4.6. ·


7

Banco de ejercicios integradores de Primer Nivel de Dificultad:Grafique en GeoGebra cada una de las siguientes funciones para clasificar cada una de las integrales como: 1‐ integral definida, 2‐integral impropia discontinua, o 3‐ integral impropia de intervalo infinito. En función de esta clasificación, siga los pasos adecuados para resolverla, y si corresponde, concluya sobre la convergencia de la misma.

1. √1 3 2. 3. 2 3

4. √

5. 6.

7. √

8. 9. · cos

10. · 11. 12.

5. Área bajo curvas planas en coordenadas cartesianas

5.1. Plantee una integral definida para el cálculo del área bajo la curva que indica la

gráfica:

5.1.1. 2

Sol: De la gráfica se puede observar que la región cerrada del plano a la que se le quiere calcular el área está dividida en dos: una por debajo del eje x y otra por arriba. Dado que los valores de las ordenadas que se encuentran por debajo del eje x son negativos, el resultado de la integral definida será negativo también. Entonces para que la integral definida represente el área hay que dividir el

intervalo de integración original en dos: [‐1,2] y [2,3]. En el primer intervalo además hay que hacer algún artificio matemático para convertir el resultado de la integral (que será negativo) en el valor del área. Para eso se puede tomar valor absoluto, agregar un signo menos o invertir los límites usando propiedades de la integral definida. Al área del primer recinto le llamaremos “área 1” en el intervalo [‐1,2], de la


8

misma forma a la del segundo recinto, le llamaremos “área 2” en el intervalo [2,3]:

2 2

PARA TENER EN CUENTA: 2 2

2 2

(*) son expresiones equivalentes.

2 2

2 2 2 2

5.1.2. 4 | |

Sol: De la gráfica se puede observar que en x=0 la función no es integrable ya que la misma no es derivable. Por otra parte, también se observa que la función, es simétrica de simetría par, y las dos regiones que quedan divididas por el eje y tienen el mismo valor de área.

Finalmente, para poder calcular el área, se puede usar la función 4 e integrar en el intervalo [0,4] y multiplicar este resultado por dos aprovechando la simetría de la función original:

2 4


5.1.3. 2

5.1.4.


9

5.1.5. Plantee una integral distinta a la propuesta en el ejercicio 5.1.2 para obtener el

valor del área indicada, además ¿es posible corroborar de otro modo que el valor hallado es el correcto?

5.2. Halle el valor del área de la región limitada por la curva plana de la función

y el eje x.

Sol: El primer paso consiste en determinar la región del plano a la que se le debe calcular el área. Para eso se realiza la gráfica de la función en GeoGebra. La región delimitada por la curva y el eje x está sombreada en gris. La misma comienza y termina en las intersecciones entre la curva y el eje x, y son:

0 3

494 4

94

14 3

94

14

33

33

94 3 3

9

5.3. Halle el valor del área encerrada por ¼ de circunferencia de radio 2


10

PARA TENER EN CUENTA: La ecuación general de segundo grado estudiada en geometría analítica, para una circunferencia de radio r centrada en el origen de los ejes cartesianos está dada por la función √

Sol:El primer paso consiste en determinar la región del plano a la que se le debe calcular el área. Para eso se realiza la gráfica de la función en GeoGebra. La región delimitada por la curva y el eje x está sombreada en gris. La misma comienza en x=0 y termina en la intersección entre la circunferencia de radio 2 y el eje x en x=2.

4 ; 0,2

4 Sustitución :

2

2 cos

NUEVOS LÍMITES: 0 0 0

2 22 2

4 4 2 2 cos 4 4 2 cos

4 1 2 cos √4 1 2 cos

√4 cos 2 cos 4 cos 41 cos 2

2

41 cos 2

22 1 cos 2

2 2 cos 2 2 | 2 |

0


11


5.4. Detalle qué cambios debería realizar en el planteo y resolución del ejercicio anterior para calcular el área de ½ circunferencia.

5.5. Halle el valor del área bajo la curva de la función en el intervalo 1 ; 1 .

5.6. Determine cuál es el valor del área limitada por la función y el eje x entre las abscisas 0 y ln 2.

5.7. Arquímedes demostró que el área de un arco parabólico es igual a las 2/3 partes del producto de la base por la altura de dicho arco.

5.7.1. Dibuje la región limitada por el arco parabólico 9 y el eje x.

5.7.2. Calcule su área mediante una integral adecuada.

5.7.3. Encuentre la base y la altura del arco desde los datos de la gráfica y calcule el área aplicando la fórmula de Arquímedes.

5.8. Halle el valor del área bajo la curva de la función cos en el intervalo ; 2 .

6. Área entre curvas planas en coordenadas cartesianas

6.1. Halle el área limitada por las curvas de las funciones y 2.

1‐PRIMER PASO: consiste en graficar la región del plano a la que se debe calcular el área, para eso se puede utilizar la herramienta GeoGebra. En la gráfica izquierda se observa la región objeto sombreada con gris. 2‐SEGUNDO PASO: se determinan los límites de integración; para esto hay que calcular el valor de las abscisas de los puntos de intersección entre las dos funciones;

2

0 2 112

21


12

3‐TERCER PASO: se debe plantear una integral para calcular el área. El contorno superior (“techo”) de la región está dado por la función , mientras que el contorno inferior (“piso”), es formado por la función 2: Una regla mnemotécnica muy útil consiste en plantear la integral como “techo menos piso”:

2

2

276 4.5

6.2. Calcule el área de la región rodeada por las gráficas de las funciones

3 102

.

1‐PRIMER PASO: En la gráfica izquierda se observa la región encerrada entre las dos funciones. Dicha región se divide en dos sub‐regiones. 2‐SEGUNDO PASO: Se determinan los límites de integración; coherentemente con lo observado en la gráfica se obtendrán 3 abscisas de los puntos de intersección:

3 10 2

3 12 0 . 3º

3 4 0 202

3‐TERCER PASO: en este caso de deben plantear dos integrales como área entre curvas para calcular el área, ya que en 2, 0 , mientras que en 0, 2 .


13

3 10 2 2 3 10

3 12 3 12 3 4 6 3 4 6

0 324 6 2 3

24 6 2 0 24

6.3. Calcule el valor del área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones

4 y 2 3 y el eje x.

1‐PRIMER PASO: Cuando se grafican las funciones y se indica el área pedida se observa que a pesar de participar dos funciones no se trata de un área entre dos curvas ya que no se encuentra totalmente circunscripta entre ellas. El ejercicio debe resolverse como área bajo la curva de una y de otra función según corresponda con el intervalo de integración y sumar los resultados de ambas integrales. 2‐SEGUNDO PASO: se determinan los límites de integración, para esto se encuentran las abscisas al origen y la abscisa del punto de intersección :

4 2 3

6 312

Abscisa al origen de f: 4 0 0

Abscisa al origen de g: 2 3 032

3‐TERCER PASO: en este caso de deben plantear dos integrales como área bajo la curva o área entre

la curva y el eje x en los intervalos , , , , 0 :

2 3 4


14

3 2

32


6.4. Calcule el área limitada por las curvas de las funciones 6 4 y 2 .

6.5. Grafique la región limitada por las curvas 4 y 2 y calcule el área determinada por ambas.

6.6. Determine el área limitada por las curvas de las funciones y 4 y el eje x.

6.7. Las gráficas de las funciones y cos se cortan infinitas veces, encerrando regiones de áreas iguales. Calcule el área de una de esas regiones.

6.8. Calcule el área limitada por las curvas de las funciones y

3 . 6.9. Encuentre mediante el uso de cálculos integrales el área del polígono circunscripto

por las siguientes tres rectas. Puede corroborar el resultado con cálculos geométricos.

4 6.10. Calcule el área encerrada entre las siguientes parábolas. Grafique previo al cálculo.


15

7. Cálculo de valores medios 7.1. a) Pruebe que la función dada cumple con las condiciones del teorema del valor medio

para integrales en el intervalo.

b) Calcule el valor medio de las ordenadas de la curva en el intervalo dado. Grafique previo al cálculo.

7.1.1. 4 en el intervalo delimitado por las abscisas de las intersecciones

de y el eje x.

Sol: a) La función 4 es derivable en

todo su dominio, por lo tanto es continua en el intervalo pedido y es posible aplicar el teorema del valor medio.

b) Para calcular el valor medio, se deben encontrar las abscisas de la intersección con el eje “x” que determinan el intervalo de integración:

4 0 ; 04

14 0 4

14 4 2 3

14 4 8 0

643 0

83

7.1.2. cos en el intervalo 0,


16

Sol: a) La función cos es derivable en todo su dominio, por lo tanto es continua en el

intervalo 0, y es posible la aplicación del teorema del valor medio para integrales.

b) Se plantea la integral en el intervalo: la misma es una integral definida inmediata, por lo tanto se resuelve de forma directa:

10

cos

23

|

23

32 0

23 1

2

3 0.212

PARA TENER EN CUENTA: ¿Se puede calcular el Área usando el Valor Medio de la función?

En el ejercicio resuelto 7.1.1, si se intenta calcular el área de la función 4

en el intervalo usando la función se tendría un error por exceso igual a las áreas

sombreadas en verde y un error por defecto igual al área sombreada en azul. Como en este caso el área calculada por exceso y el área calculada por defecto coinciden, no se estaría cometiendo ningún error.

A diferencia del anterior, el ejercicio resuelto 0, si se intenta calcular el área de la función

en el intervalo pedido usando la función , el error por exceso y por


17

defecto no serán iguales. (se puede verificar fácilmente intentando calcular las áreas bajo la curva que generan ambas funciones. En el primer caso el resultado será 3 , mientras que 1 , o bien visualmente, comparando la región sombreada en verde en la gráfica, y la región encerrada entre la curva y el eje x en el intervalo).

CONCLUSIÓN: ¡SOLO SE PUEDE USAR EL VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN PARA CALCULAR EL ÁREA BAJO LA CURVA DE ELLA, EN UN INTERVALO, SI Y SOLO SÍ DICHA FUNCIÓN NO CAMBIA DE SIGNO EN ESTE INTERVALO!

7.2. a) Pruebe que la función dada cumple con las condiciones del teorema del valor medio

para integrales en el intervalo.

b) Calcule el valor medio de las ordenadas de la curva.

c) Encuentre el/los valores de ordenada que corresponden al valor medio de la función en

el intervalo. Grafique previo al cálculo.

7.2.1. para 0, 2 .

Sol: a) Condiciones del teorema: La función dada es continua para todos los reales por lo que es continua para el intervalo dado, por lo tanto se puede afirmar que :

, :

á . ,


18

b) :1

12 0

12

c) 12 :

12

ln 212

1,16 0, 2


7.2.2. en el intervalo 1 ; 1 .

7.2.3. tan , en el intervalo ;

Banco de Ejercicios Integradores de Segundo Nivel de Dificultad:

Dadas las siguientes funciones, grafíquelas usando GeoGebra, plantee integrales adecuadas para calcular el área bajo la curva en el intervalo pedido. Resuélvalas. Identifique cuales cumplen las condiciones del teorema del valor medio para integrales en el intervalo.

1. 4,4 2. ln2 1,3

3. 0,2 4. 0,4

5. , 6. 0,

7. 0,∞ 8. ln 0,1

8. Vo8.1.

3‐ Se

8.2.

lúmenes

Calcular el vpor la funci

e plantea la i

2

34,1

Un fabricanradio de 5cla figura. El resultante sg/cm3?

CÁLCU

de sólido

volumen deión

integral :

4

25

25

3

nte diseña unm, y con un hueco tienesi la densida

ULO I – ANGuía de

os de rev

l sólido de re4 y

823

n objeto meorificio cilíne un radio ded del acero

NÁLISIS MAEjercicios TE

volución

evolución geel eje x.

8

23 1

etálico, en fondrico en su e 3cm. ¿Cuácon que se f

ATEMÁTIEMA 6

enerado al h

1‐: En la grla región svolumen al 2‐:para deintegraciónceros de la f

4

2

16

16 2 2

orma de esfeinterior, coml es la masa fabricó es de

CO I

hacer girar la

ráfica izquiersombreada qgirar sobre

eterminar lon hay que función:

0

2

5 8 3

2

era con un mo muestra del objeto e 7,85

a región acot

rda se obserque genera el eje x os límites encontrar l

0 2

3 16

19

tada

rva al

de los

22


20

Para lograr determinar la masa, primero debe encontrarse el valor de su volumen:

1‐:El objeto puede modelarse como un sólido de revolución generado por un segmento del círculo centrado en el origen de radio 5 cuya ecuación es: 25; intersectado con un sólido de revolución (cilindro) generado por una función constante de valor igual al radio: 3 2‐:Como el radio del orificio es 3, ese es el valor en y hasta donde debe considerarse la ecuación. Asignando ese valor a la variable y, se determinan los límites de x:

Círculo: 25 3

Cilindro:

3 25 44

3‐ Se plantea la integral como la diferencia de los dos volúmenes generados por las regiones:

í á 25 3

25 9 25 9

16 16 3 16 4 443

43

2563

Finalmente; el volumen del sólido es entonces, si consideramos que x e y están medidos en cm, de cm3. Para calcular la masa empleamos la densidad:

2563 · 7,85


21

2104,45


8.3. Calcular el volumen del tronco cono determinado al hacer girar la recta de ecuación y 4 x entre x 0 y x 2.

8.4. Determinar el volumen del sólido generado al hacer girar la función g x x 1 en torno al eje x en el intervalo 0, 2 .

8.5. Obtener el volumen del cuerpo engendrado cuando la región limitada por la gráfica de la función y 3x x y la recta y x se hace girar en torno al eje x.

8.6. Hallar el volumen de un cono cuya generatriz presenta una pendiente igual a 3 y tiene una altura de 6.

8.7. Comprobar mediante integrales que el volumen del cilindro es el triple del volumen

del cono.

9. Rectificación de curvas planas: Longitud de un arco de curva

9.1. Dada la función √ 3, calcular la longitud de la curva que define la función en el intervalo 0, 5 .

1‐: Para plantear la integral, primero se obtiene la derivada de la función:

23 3

2332

2‐ Se plantea la integral :

1

√1 11 2

3 1 5 1 0

9,13

9.2.

En la

Ejercicio

9.3.

9.4. 9.5.

9.6.

Calcular la l

a gráfica de

114

14

12

os propuesto

Encontrar ly 4.

Calcular la lDada la funel intervaloDada la funfunción en

CÁLCU

longitud de

la función p

21

12

14

1 12

os:

a longitud d

longitud de nción 9o [0,3] nción 24 el intervalo


arco de la gr

puede observ

14

31

del segmento

arco de la gr4 , calc

48 [2,4]


ráfica de

varse la long

1‐: Para plderivada de

2‐ Se plante

114

21

12136

42

o de recta c

ráfica de ular la longi

0 , calcula

ATEMÁTIEMA 6

,

gitud que se

lantear la ine la función:

612

36

12

ea la integra

112

12

14

4724

3316

uya fórmula

, entre tud de la cu

ar la longitu

CO I

, entre

pide:

ntegral, prim

12

al :

1

14

1

a es 3

1 y urva que def

ud de la cur

y 2

mero se obti

1

5 entre

2. fine la funció

rva que defi

22

iene la

1

ón en

ne la


23

9.7. Calcular la longitud de arco de un cuarto de circunferencia de radio r=1, verificar que el resultado es la cuarta parte de la longitud de la circunferencia.

10. Áreas de superficies de revolución 10.1. Calcular el área de la superficie generada al rotar, en torno al eje x, el arco de la

curva desde el punto 0, 0 al punto 2, 8 .

1‐: Para plantear la integral, primero se obtiene la derivada de la función:

3

2‐ Se plantea la integral :

2 1

2 1 3

Para resolverla se realiza un cambio de variables que facilite la integración:

2 1 9 Sustitución :1 936

NUEVOS LÍMITES: 0 1 9 · 0 12 1 9 · 2 145

2 3√1

36 3

145

12

136

12

145

1 18

32

32 0

145

27145

32 1

32 64,6 2

10.2

Pa

2. Obtecurva defineje x.

2

2

ara resolverla

√4

NUEVOS

CÁLCU

ener el valonida por la f

√ 2

√ 2

a se realiza u

4 9

S LÍMITES:


r del área dunción

11

4 2

4 22 2

un cambio d

√17

1

617 1


de la superf

√ 2

1‐: Para obtiene la

2‐ Se plant

2

2

12

de variables q

Sustitu

22

14 4

1

1

1 11,52

ATEMÁTIEMA 6

ficie de revo2 en el inte

plantear lderivada de

√1

2√tea la integra

2

2 √ 2

√ 24

√4 9

que facilite l

ución :44

12

17

4

2

CO I

olución genrvalo 2, 2

a integral, e la función:

2

2

al :

1

2 11

2√

4 2 14 2

9

la integració

9

4.2 94 2

32

32 1

17

6

erada al gir2 alrededo

primero s

2

1

ón:

9 179 1

321

17

24

rar la or del

se

Ejercicio

10.3. Odef

10.4. Cgrá

10.5. C

10.6. Calre

10.7. C

10.8. O

rad

os propuesto

Obtener el finida por la Calcular el áfica de Calcular el 3 2 alr

Calcular el áededor del eCalcular el

alreObtener me

dio r (

CÁLCU

os:

valor del áfunción área de la su

2√6área lateraededor del eárea de la seje x entre x=área de la

ededor del e

ediante cálcu

√


rea de la s en

perficie de r en el inter

al de la sueje x entre lasuperficie d=0 y x=3. a superficie

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ulos integra


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ATEMÁTIEMA 6

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Qué nombre

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función?

ular de altur

25

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curva o.

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