guía para el examen departamental de cálculo...
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Guía para el examen departamental de Cálculo 1 M en IC. J. Cristóbal Cárdenas Oviedo 15/08/2011
1. Introducción
El examen departamental sirve como instrumento de evaluación del aprendizaje de
aspectos básicos en el manejo de funciones y del cálculo diferencial.
En el examen se le presentan 22 ejercicios de diferentes temas de acuerdo a la guía del
curso para cada uno de los dos exámenes.
En la página del Departamento de Física y Matemáticas aparecen los ejercicios que se
encuentran en la base de datos de donde se seleccionan para el examen departamental de
cada alumno. No se deje sorprender con alguien que le diga que tiene el examen. El examen
que le corresponda será tomado de alguno de estos ejercicios.
Este documento le ayudará a clasificar y entender los ejercicios para resolverlos o
buscar en los libros correspondientes ejercicios similares resueltos paso a paso. De
ninguna manera sustituye el curso y requiere del esfuerzo del estudiante para
aprovecharlo de la mejor manera posible. Recuerde que hay asesorías en el
departamento de Física y Matemáticas
El curso de Cálculo 1 trata sobre el concepto y análisis de funciones. Esto es, el análisis
sobre los valores que toma una variable (dependiente) ante el cambio en los valores de
otra variable (independiente).
Debe:
identificar diferentes formas en las que puede aparecer una
función,
reconocer y usar adecuadamente la notación de función,
determinar los valores de la función o lo que es lo mismo
calcular los valores de la variable dependiente para cada valor
de la variable independiente,
Hacer e interpretar correctamente una gráfica
encontrar el valor límite al cuál se acerca el valor de la
función a medida que los valores de la variable independiente se
aproximan a un valor particular,
determinar e interpretar la razón de cambio de la variable
dependiente respecto al cambio de la variable independiente,
determinar los intervalos de valores de la variable
independiente x en donde los valores de y crecen o decrecen, en
donde son positivos o negativos,
determinar los valores de x en donde la variable dependiente y
tiene valores extremos, determinar la razón de cambio de la
variable dependiente respecto al cambio de la variable
independiente,
encontrar la antiderivada de una función,
calcular el área bajo la curva de una función,
determinar volúmenes de sólidos de revolución
manejar diferentes técnicas de integración en diferentes
aplicaciones.
2. Funciones
2.1 Concepto.
El primer concepto que debe comprender y manejar con facilidad es el de función.
En particular, se trata con funciones de una variable (George.B. Thomas Jr., 2010, cap.1
y Dennis G. Zill y Warren S. Wright, 2011, cap.1).
En el estudio de los fenómenos naturales y sociales se encuentran relaciones entre las
variables o cantidades involucradas.
A una relación entre dos variables, que cumpla ciertas condiciones, se le llama
“función”. Una función aparece en forma de ecuación en donde una variable llamada
dependiente (y) es igual al resultado de una operación sobre otra variable llamada
independiente (x), en forma general se escribe como
)(xfy
En esta notación ) (xf representa la operación que se tiene que hacer sobre x para
obtener el valor de y
En forma de tabla (ejemplo)
Entrada Operación Salida
x f(x) = 3x2 + 2 y
5 3(5)2
+ 2 77
10 3(10)2
+ 2 302
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n 3(n)2
+ 2 3n2 + 2
Entrada x Salida y y=f(x) operación
sobre el
valor de x
Domino, valores
permitidos de
x
Rango, valores
correspondientes
de y
y=f (x)
Ejemplos de diferentes tipos de funciones:
Lineal xaaxfy o 1)(
Absoluta
0
0
xx
xxxy
Potencial nCxy donde C y n son constantes
Polinomial o
n
n
n
n axaxaxay
1
1
1
Racional )(
)()(
xq
xpxfy , es la razón entre dos funciones
polinomiales
Algebraicas 32
2 234
3xxy
Exponencial axABy , B es la base y A y a son constantes
Logarítmicas xCy blog
Trigonométrica )(Aseny
Trascendentales xTany 1
Hiperbólica 2
xx eesenhx
Observe que, )(xf en cada caso, es una operación diferente
En la notación x representa un número que se puede expresar de diferentes formas.
Cuando se escribe )3(fy quiere decir que se toma 3x y se hace la operación
correspondiente para obtener el valor de y
Si se escribe )3( hf quiere decir que donde aparece la x se sustituye por hx 3 y
se efectúa la operación correspondiente.
Ejemplo
Sea la función 1
3)(
4
x
xxfy
a) 15
)5(3)5(
4
f , b)
1)(
)(3)(
4
hx
hxhxf
Para que una ecuación entre dos variables sea una función se debe cumplir que a cada
valor de x le corresponda uno y sólo un valor de y.
2.2 Dominio y Rango
El conjunto de valores que puede tomar la variable x se llama el dominio de la función y
el conjunto de valores correspondiente de la variable y se llama rango de la función.
Los valores de x en el dominio deben ser tales que permitan hacer la operación
definida para la función.
Ejemplo.
Encuentre el dominio de la función 16
2)(
xxf .
Para que la función se pueda evaluar se requiere que el denominador sea diferente de
cero y que el valor de x en la raíz no sea tal que quede un número negativo, por lo que el
dominio es 16x
El rango son los valores que toma y para este conjunto de valores de x. En el ejemplo, el
rango son los valores de y > 0
Algunas funciones se pueden definir por intervalos como el valor absoluto
2.3 Operaciones con funciones
Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir o componer
Composición ))(())(( xgfxgf .
Ejemplos
Sean las funciones 2
3)(
x
xxf
y 102)( xxg
2102
1023)102())((
x
xxfxgf
Las funciones se pueden representar en forma algebraica o en forma de gráfica
2.4 Función Inversa
En cierto tipo de funciones se puede encontrar su función inversa.
Para encontrar una función inversa debe recordar los pasos para hacer despejes
algebraicos y de funciones con logaritmos y exponentes.
Ejemplo
Encuentre la función inversa de )32(10)( xeyxf
Usando las propiedades de los logaritmos se puede hacer el despeje de x en la forma
exy
ln)32(10
ln
2
310
lny
x
Entonces
2
310
ln)(1
x
xf
La gráfica de la función inversa es simétrica respecto de una línea y = x (bisectriz en el
primer y tercer cuadrante)
En el examen encontrará ejercicios en donde se pide determinar el dominio de la
función o el rango, la función inversa o la composición de dos funciones. La función se
presenta en forma algebraica o en forma gráfica (. Thomas Jr., 2010, cap.1 y Zill y.
Wright, 2011, cap.1).
3. Límites
Para calcular la razón de cambio instantánea de la variable dependiente respecto de la
variable independiente se introduce el concepto de límite.
La comprensión del concepto del límite de una función requiere que tenga muy claro
que es y para que sirve una función. Debe poder hacer fácilmente una tabla de valores e
identificar en una gráfica la correspondencia de valores entre las variables.
3.1 Concepto
En el concepto de límite se maneja un intervalo de valores de la variable independiente
alrededor de un valor fijo y el intervalo correspondiente de valores de la variable
dependiente, de tal forma que cuando el intervalo para la variable independiente es
“casi” el valor fijo ( ) la variable dependiente también es “casi” otro valor fijo o valor
límite ( )
Se escribe como
3.2 Cálculo de límites
Existen diferentes formas de encontrar límites. Por medio de:
reglas para calcular límites,
graficas,
tabla de valores alrededor del valor fijo (por adelante y atrás del valor fijo)
mediante modificaciones algebraicas o trigonométricas.
y
x
En el examen, se le pedirá encontrar límites haciendo modificaciones algebraicas,
básicamente factorización y simplificación, desarrollo de sumas o restas de quebrados
en forma algebraica, racionalización usando el producto notable
))(()( 22 axaxax o por medio del análisis de gráficas (Thomas Jr., 2010, cap.2
y Zill y Wright, 2011, cap.2).
Ejemplo.
Determine 49
)7(28lim
27
x
x
x.
En este caso no se puede sustituir directamente el 7 ya que se obtendría una
indeterminación. Factorizando el denominador y simplificando
214
28
)7(
28lim
)7)(7(
)7(28lim
77
xxx
x
xx
Observe que la función no está definida en 7x pero si existe el límite cuando x se
aproxima a 7
En una gráfica se observaría así
Como ejercicio demuestre que
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 2 4 6 8 10
x
y
3.3 Límites por los lados y al infinito
Se puede hablar de límites por la izquierda o por la derecha, cuya notación es de la
forma o .
Límite por la izquierda significa encontrar el valor al cual se aproxima y cuando x se
aproxima a un valor determinado con valores menores al determinado.
Deben aprender a calcular límites cuando la variable independiente tiende al infinito.
Los límites al infinito permiten determinar asíntotas de la función y ver el
comportamiento de la variable y conforme la otra variable toma cada vez valores más
grandes
Ejemplo
Determine
=
=
3.4 L´Hopital
En funciones indeterminadas se puede usar la regla de L´Hopital para determinar
límites.
Si dos funciones son diferenciables f y g en un intervalo que contiene a
Si el límite
tiene una indeterminación en a
4. Continuidad.
Una función es continua si en una gráfica no aparecen saltos o roturas de la curva que
representa la función. El concepto de límite y dominio de la función permiten
determinar si la función es continua en cierto punto.
Una función es continua en si se cumple:
la función se puede evaluar en c
El existe
Ejemplo.
Encuentre el valor de b para que la siguiente función sea continua
La función está definida en x = 2, para que exista el límite debe ser igual el límite por la
derecha y por la izquierda, por lo que
Evaluando la función , resolviendo la ecuación cuadrática
para a se encuentran dos valores en donde la función es continua
5. Derivada
5.1 Concepto
El concepto de derivada se entiende mejor si primero comprende el significado de la
pendiente de una recta y como se calcula.
La pendiente de una recta se interpreta como la razón de cambio de la variable y
respecto al cambio en la variable x.
Cuando se tiene una curva se puede hablar de la pendiente de una recta tangente a un
punto (x, y). Dicha pendiente es la razón de cambio instantánea de la variable
dependiente respecto de la variable independiente en ese punto.
Pendiente de una recta cuando se tienen dos puntos de la recta
x
y
xx
yy
xx
xfxfm
12
12
12
12 )()(
Pendiente de una recta tangente en un punto de una función
dx
dy
dx
xdf
xx
yym
x
)(límite
12
12
0
Otra forma de escribir lo mismo
dx
xdf
xhx
xfhxfm
h
)()()(límite
0
La expresión )(xfdx
d o
dx
dy se lee como la derivada de la función respecto de la
variable x
Nota. No es una división de dy entre dx . Es el operador derivada dx
daplicado a una
función.
5.2 Obtención de la derivada de una función
En el cálculo de la derivada de una función se pueden usar las reglas para la suma, resta,
multiplicación, división, composición de funciones (regla de la cadena) así como los
resultados generales para diferentes tipos de funciones (ver formulario).
Recuerde como pasar una función con raíces a una función de potencias
Ejemplos.
Primero, se observa que es un cociente de dos funciones por lo que aplicamos la regla
para derivar el cociente de dos funciones
Segundo, aplicamos la regla de la cadena para una función elevada a una potencia y la
regla de la cadena para la exponencial elevada a una función.
Recuerde que
=
Debe identificar otras funciones como las logarítmicas o trigonométricas
Ejemplo
=
Primero se observa que es un producto de dos funciones y después se aplica la regla de
la cadena para la función logarítmica y para la función seno, quedando
=
=
El ejemplo es un poco más laborioso que los que encontrará en el examen pero, permite
ver la aplicación de diferentes reglas al mismo tiempo y que conviene seguir un orden
para llegar al resultado.
5.3 Derivación implícita
En el caso de funciones implícitas se tienen que derivar en forma implícita ya que es
difícil o imposible despejar la variable dependiente y.
Ejemplo
Se observa la dificultad de despejar la variable y (que es una función de x). Usando la
regla del producto y de la cadena, se tiene
, despejando
6. APLICACIONES
Análisis o comportamiento de la función en diferentes intervalos de valores de x
En el análisis de una función o comportamiento de las variables se pueden usar las
tablas, las gráficas o la derivada de la función.
6.1 Puntos críticos
La derivada permite determinar los intervalos de la variable independiente en donde la
función (valores de y) son crecientes o decrecientes y para encontrar puntos críticos.
Esto es, valores de x en donde y tiene valores extremos.
Ejemplo. Encuentre los puntos críticos de
Se deriva la función, se iguala a cero y se despeja x
Despejando para x se encuentra una ecuación de segundo grado de la forma
Resolviendo, se tienen dos valores de x en donde hay puntos críticos, . En estos
valores de x la función (valores de y) tienen un valor máximo o mínimo o hay un punto
de inflexión. En los puntos críticos la función cambia de creciente a decreciente o
viceversa.
Los intervalos en donde la función crece (aumentan su valor) o decrece se determinan
aprovechando el signo de la derivada cuando se evalúa en un valor del intervalo.
La derivada de la función es negativa ( en el intervalo (- ∞, - 1), esto
significa que la función es decreciente en éste intervalo. En el intervalo (- 1, 1), la
derivada de la función es positiva ( , lo que significa que la función es
creciente en ese intervalo y por último en el intervalo (1, ∞) la derivada vuelve a ser
negativa por lo que la función es decreciente en ese intervalo.
Dado que la función pasa de decreciente a creciente en x = -1, la función (valor de y)
tiene un valor mínimo y en x = 1 (los valores de y pasan de creciente a decreciente) la
función tiene un valor máximo en
.
La concavidad de una curva es hacia arriba (ver siguiente gráfica) cuando se tiene un
mínimo y hacia abajo cuando se tiene un máximo.
En el ejemplo, la función es cóncava hacia arriba en x = -1 y cóncava hacia abajo en el
punto x = 1
6.2 Razón de cambio
Es importante que le quede claro el concepto de razón de cambio y que pueda leerlo
cuando aparece como la derivada de una función o traducirlo a forma algebraica cuando
aparece en forma escrita.
En problemas de aplicación, tendrá que recordar las ecuaciones para el área o volumen
de rectángulos, discos o esferas y el teorema de Pitágoras para relacionar las variables
involucradas. Estos problemas son mayor complejidad ya que se requiere relacionar
variables para cambiar una función de dos variables a una función de una variable.
Ejemplo.
Determine los valores del radio y altura para fabricar un cilindro abierto por arriba con
una capacidad de 5000 litros para usar la menor cantidad de material posible para su
construcción.
2 1 1 2
0.5
1.0
1.5
2.0
Primero, identificamos que se pide minimizar el área de la superficie cilíndrica y de la
base. Recuerde que el área del cilindro es 2πrh con r radio del cilindro y h la altura. El
área de la base (área de un circulo) es π .
El área total es una función de dos variables
Dado que lo visto en el curso se aplica a una función de una variable, usamos la
condición de que el volumen debe ser de 5 m3 = para que el área quede como una
función de una variable.
Despejamos para una de las variables, digamos h y sustituimos en la ecuación para el
área
π
Usando el método para encontrar valores máximos o mínimos de una función de una
variable, se tiene
Resolviendo para r se encuentra
y h = 2.15 m
7. LINEALIZACION Y DIFERENCIALES
Algunas funciones son complejas y para hacer su análisis conviene cambiarlas a una
forma aproximada más simple. Una forma de hacer esto es por medio de la linealización
que permite evaluar con mayor facilidad una función f en un punto a
Ejemplo
Determine el valor aproximado de la función en x = 0
En valores muy cercanos a cero se tiene casi el mismo valor calculado con la función
original que con el calculado con la linealización, a medida que se aleja uno del cero la
aproximación ya no es buena. Si x = 0.2, se tiene L(0.2) = 1.1 y f(0.2) = 1.0954.
Se puede hacer la linealización alrededor de cualquier valor de x entonces el valor de la
función alrededor de ese punto será muy cercano al calculado con la linealización
alrededor del mismo punto.
La misma función evaluada en x = 8 daría una linealización
Aunque el tema de diferenciales es parte del curso y debe manejar el concepto no
aparecen problemas de éste tema en el examen departamental.
8. Integral Indefinida
8.1 Concepto
Operación que permite encontrar la función original cuando se tiene como dato la
derivada de la función. Esta operación se conoce como la integral indefinida. Se puede
ver como proceso inverso de la derivada.
Una función F es la antiderivada de otra función f si )()´( xfxF .
La forma más general de representar la antiderivada de )(xf es
CxFdxxf )()(
Se llama integral indefinida de f(x) respecto a x
Observación. La notación siempre debe de ir acompañada de la diferencial de la
variable en la forma dx ___ , nunca debe ir sólo el símbolo
La función que resulta de hacer una integral indefinida es tal que si la derivamos se
obtiene la función que se integra, por esto que en el resultado de la integración se
agrega una constante.
Ejemplo
La integral de la función seno es el negativo de la función coseno. Podemos verificar
que esto es cierto derivando la función coseno,
. La derivada de lo
que se integro es lo mismo que se integro (la derivada de una constante es cero)
8.2 Obtención de la antiderivada
Existen resultados generales y diferentes métodos para hacer una integral. En la
resolución de integrales, se requiere de una mayor habilidad y manejo de los
conocimientos previos. En algunos casos, habrá que transformar la función original en
una función que sea más fácil de integrar. Esto, implica desarrollo de habilidades en el
manejo de funciones, conocimientos de algebra, resolución de ecuaciones, trigonometría
y geometría para reconocer y hacer la transformación adecuada de la función por
integrar.
Revise el formulario para que identifique diferentes reglas para integrar diferentes
funciones.
Ejemplo de integración usando la regla
Efectúe
Recordando que en una integral se pueden separar términos que se suman (o restan) y
usando las reglas de las potencias, reacomodando se tiene
Aplicando la regla
= F(x)
8.3 Obtención de la constante de integración
Para determinar el valor de c, se requiere una condición para la función encontrada al
integrar.
Si en el ejemplo, F(1) = 10, entonces
, haciendo la operación numérica y despejando c se
tiene c = 6.25
8.4 Sustitución
La regla se puede generalizar para una nueva variable u que es una función
diferenciable de x, en la forma
Un método para integrar consiste en sustituir la variable original por otra variable,
encontrar la diferencial y sustituir para llevar la función original a una función en
donde se pueda aplicar una de las reglas de integración y al final regresar la función
original.
Ejemplos
a)
La variable tiene una potencia mayor dentro de la raíz, esto sugiere que un cambio de
variable puede ayudar a resolver la integral.
Sea , diferenciado se tiene
Despejando la diferencial
Recuerde que la diferencial en la integral debe ser sobre la variable que se integra, por
lo qué cambiamos a u y también cambiamos dx por du
Haciendo el cambio
b)
Sea
, diferenciando
Despejando dx y sustituyendo para la nueva variable, se tiene
En esta forma se puede aplicar la regla (ver formulario) para encontrar la integral
9. Integral definida
9.1 Concepto
Si la integral se evalúa en un intervalo de valores de la variable independiente, la
integral tiene como resultado un número cuya interpretación dependerá de las variables
involucradas. Puede ser un trabajo, una probabilidad, etc.
La integral definida se representa como (referencia)
)()()( bFbFdxxf
b
a
La antiderivada )(xF se determina con alguna de las técnicas de integración y se evalúa
en los límites del intervalo.
Ejemplo
4
1
23 4
x
x
= 4
9.2 Área bajo la curva
La integral definida, geométricamente, se puede ver como el área bajo la curva de la
gráfica )(xf vs x en el intervalo de integración (suma de Riemann).
área bajo la curva de la gráfica f(x) vs x en el
intervalo
Área =
Donde es la base de cada rectángulo y es la altura si se pide un área por la
derecha se empieza con el primer valor de x que está a la derecha de a. Si se pide por la
izquierda se toma el valor de x = a y no se toma en cuenta el último valor donde x = b
Ejemplo
De acuerdo a la tabla
x 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
f(x) 4000 7812.5 13500 21437.5 32000 45562.5 62500 83187.5 108000 137312.5
Determine al área aproximada (por la derecha)
área
f(x)
x a b
área
f(x)
x a b
El área de un rectángulo es base × altura. La base tiene un valor de 5 para cualquier par
de valores de sucesivos. Dado que se pide por la derecha se toma la primera x = 25, no
hace falta hacer el cálculo para encontrar la altura (además no se puede hacer ya que no
se conoce la forma explícita de la función), de la tabla se lee .
Multiplicando cada base por su altura correspondiente y sumando se obtiene
(25)(7812.5) + (30)(13500) + +(60)(108000) + (65)(13731.5) = 27786562.5
Si se pide por la izquierda se empieza con y no se toma en cuenta el último
punto, el resultado sería área (por la izquierda) = 18941250
9.3 Las integrales definidas permiten encontrar área entre dos curvas
Sean dos funciones )(xf y )(xg continuas en un intervalo [a, b], donde la curva de la
función )(xf va por arriba de la curva definida por la función )(xg entonces, el área
entre las dos curvas esta dada por
b
a
dxxgxf )]()([
En estos ejercicios, se debe identificar cual es la curva que va por arriba y determinar
los puntos en donde se cruzan las dos curvas para determinar los límites de integración
Ejemplo
Encuentre el área bajo las curvas y
Primero se determinan los valores de x en donde se cortan las dos curvas, igualando las
dos funciones se tiene que x = 1 y x = 0
En éste intervalo la curva de va por encima de la curva generada por , entonces el
área en la región entre las dos curvas en el intervalo está dada por
=
9.4 La integral definida permite encontrar volúmenes de sólidos de revolución por
los métodos de rebanadas, de discos, de arandelas o de cascarones cilíndricos.
En el método de discos, el sólido se considera formado por la suma de discos de espesor
infinitesimal con área = 2R y el volumen se calcula como
dxxRdxxAV
b
a
b
a
2))(()(
9.5 También se pueden calcular longitudes de arco en la forma
dxxfL
b
a
2)]´([1
Existen otras aplicaciones que quedan para ser vistas en el curso pero no son parte del
examen departamental.
9.6 También se cumple
)()()´( xfdttfdx
dxF
x
a
Ejemplo
9.7 Técnicas de integración
Entre las técnicas de integración se tienen:
9.7.1 Por Partes.
Se usa para simplificar integrales de la forma dxxgxf )()( cuando f es derivable en
forma repetida y g es integrable fácilmente
dxxgxfxgxfdxxgxf )()´()()()´()(
o vduuvudv , en donde )(xfu , )(xgv , dxxfdu )´( y dxxgdv )´(
9.7.2 Fracciones parciales.
Se aplica en el caso de integrar funciones racionales de la forma )(
)(
xg
xf. Se requiere que
el grado de g(x) sea menor al de f(x) y conocer los factores de g(x).
Ejemplo
9.7.3 Sustituciones trigonométricas.
La sustitución trigonométrica se aplican cuando se puede relacionar la función original
con los lados de un triángulo rectángulo, como en los casos 22 xa ,
22 xa y
22 ax . Por ejemplo, En el primer caso se tiene
Donde tanax y sec22 axa
En cada caso se puede encontrar la sustitución correspondiente de acuerdo a los lados
del triángulo y el teorema de Pitágoras.
Las dificultades están en, identificar primero que la simplificación adecuada es la
sustitución trigonométrica, después recurrir a alguna de las identidades y saber derivar
e integrar las funciones como la tangente del ángulo o la secante del ángulo.
9.7.4 De funciones trigonométricas.
Incluyen combinaciones algebraicas de las 6 funciones trigonométricas básicas. Por
ejemplo Potencias de senos o coseno, potencias de la tangente, productos de senos y
cosenos. Se requiere de conocer algunas de las identidades trigonométricas para poder
modificar la función original y con el método de sustitución poder hacer la integral.
x
a
22 xa
ө
9.8 Integrales impropias.
Son integrales con límites de integración el infinito. Se cambia el límite al infinito y se
busca un límite al infinito, en la forma.
b
ab
a
dxxfdxxf )(lim)(
Las dificultades aparecen dependiendo de lo complicado de la integral y que recuerde
como obtener límites
10 Recomendaciones
No trate de hacer todos los ejercicios de un mismo tema. Busque ejercicios de diferentes
temas para que se familiarice con los temas básicos. Una vez que haya visto el
panorama general, practique los ejercicios de los temas que le causen más dificultad.
La base de ejercicios está separada de tal forma que puede distinguir hasta que tema se
pregunta en el primer examen y cuales temas se incluyen en el segundo examen.
Para ejercicios de un mismo tipo trate de buscar que es lo que tienen en común y en que
son diferentes para saber en donde puede tener dificultades.
Vea el formulario para que aprenda a identificar las ecuaciones o reglas necesarias para
cada ejercicio y saber que cosas no vienen en el formulario que si necesitará. Por
ejemplo, cambiar una función en forma de raíz a forma de potencia ( nm
n m xfxf )()( )
Use los libros y las asesorías en el departamento
Tenga a la mano una calculadora NO programable
El objetivo principal no es que pase un examen sino que aprenda y use el cálculo
diferencial en el manejo de modelos matemáticos que describen alguna situación
particular para la toma de decisiones.