c¶alculo avanzado de una variablesgpwe.izt.uam.mx/.../jhar/calavii/bibliografia/calculo1.pdfiii...

Calculo Avanzadode Una Variable

Antoni Wawrzynczyk

Universidad Autonoma Metropolitana

Iztapalapa

Contenido

1 Numeros reales 11.1 Numeros naturales y enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Propiedad de supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Raices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Sucesiones 312.1 Midiendo las distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Sucesiones y subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Sucesiones convergentes. Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 Punto lımite, lımite superior e inferior . . . . . . . . . . . . . 402.5 Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Series 473.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Criterios de convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Otros criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Conjuntos abiertos, cerrados, compactos 594.1 Conjuntos abiertos en X, vecindades. . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Conjuntos cerrados. La cerradura . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Funciones continuas 735.1 Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2 Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Discontinuidades. Lımites de la funcion en un punto . . . . . . 79

i

ii

5.4 Funciones continuas en todas partes . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Integral de Riemann 896.1 Funciones R-integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 Criterios de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 Espacio de funciones R-integrables . . . . . . . . . . . . . . . 946.4 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7 Derivacion 1037.1 La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2 Tecnicas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.3 Teoremas de valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.4 Teorema fundamental del calculo

diferencial e integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.5 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.7 Lımites en el infinito y lımites

infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.8 Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.9 Estudio de las graficas

de funciones suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8 Convergencia de funciones 1338.1 Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.2 Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.3 Convergencia uniforme y continuidad . . . . . . . . . . . . . . 1408.4 Convergencia uniforme y la integracion . . . . . . . . . . . . . 1418.5 Convergencia uniforme y derivacion . . . . . . . . . . . . . . . 1448.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.7 Integracion y derivacion de series de potencias . . . . . . . . . 1488.8 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.9 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

iii

Prefacio

El presente curso de Calculo Avanzado no pretende cargar al Lector conmayor cantidad de formulas y teoremas por aprender. El avanze que seintenta lograr consiste en un mejor entendimiento de los temas e introducciona las tecnicas y los metodos de demostracion. Es una profunda conviccion delautor que solamente el conocimiento de las demostraciones de los teoremaspermite entender su contenido, importancia y el alcanze de sus aplicaciones.Un hecho realmente comprendido no necesita ser recordado, no nonstituyeninguna carga para la memoria, sino se vuelve parte de nuestro ser como unamano es parte de nuestro cuerpo.

El primer capıtulo esta dedicado a la teorıa de los numeros reales. En lamatematica ”preunivesitaria” se intenta convencer al alumno que el conceptode numero real es obvio y natural. Para este fin se utilizan las intuicionesgeometricas identificando el eje real con una recta en el plano con un origenidentificado con el numero 0 y un semieje distinguido como el conjunto delos numeros positivos.

Entre enfoque funciona en practica hasta cierto punto para tratar losproblemas algebraicos, sin embargo no es suficiente para el analisis.

Entre varios enfoques de la teorıa de numeros escogemos aquı el metodode las cortaduras de Dedekind, aunque tal vez no es el metodo mas sencillo.Tiene sin embargo una ventaja muy importante, a saber proporciona opor-tunidad de recordar las nociones de la teorıa de conjuntos y de hacer muchosejercicios que en realidad pertenecan al area de la topologıa que es el temade varios Capıtulos consecutivos.

Para el estudio de la continuidad de funciones utilizamos en forma paralelalos metodos de convergencia de sucesiones ası como tan llamados metodosε− δ dandoles sin embargo el sabor a la topologıa.

La derivacion es tratada en forma sumamente tradicional, aunque se

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mencionan los puntos de vista que luego ayudan el paso a las funciones devarias variables.

El ultimo Capıtulo presenta los problemas de convergencia puntual, uni-forme y casi uniforme de funciones que se aplican tambien a las series defunciones.

El programa del curso corresponde exactamente a los programas vigentesde los cursos del Calculo Avanzado I y II de la licanciatura en Matematicasde la Division de Ciencias Basicas e Ingenierıa de la Universidad AutonomaMetropolitana - Iztapalapa.

Chapter 1

Numeros reales

Los primeros numeros que aprendemos a manejar son los numeros naturales.Aunque parezca extrano, se puede llegar a mucha habilidad en el manejo delos mismos sin haber definido que es en realidad un numero natural. Contoda seguridad se puede decir que la mayorıa de las personas que ”practican”matematicas nunca en su vida se preocupan por conocer los problemas logicosque estan atras del concepto del numero natural. Para justificar esta faltapodemos comentar unicamente que la demostracion rigurosa del hecho deque 1+1=2 en un artıculo muy formal de Russell and Whitehead ocupa 362paginas. En el curso de Estructuras Numericas conocimos la axiomatica dePeano de N, pero la existencia del objeto que satisfaga esta axiomatica no esobvia en absoluto. El mismo desarollo de la teorıa de los numeros naturales apartir de los axiomas de Peano es una tarea larga que en los libros serios ocupapor lo menos 50 paginas. Introduccion de los numeros enteros, racionales yreales significa otros 100 paginas.

El presente curso esta dedicado al analisis real y bien podrımos empezardiciendo simplemente: Denotamos por R el eje real. Sin embargo, mien-tras que el manejo intuitivo de los numeros naturales no presenta mayorespeligros, no es ası en caso de los numeros reales cuya ”existencia” es muchomenos obvia. Por otro lado, creemos que todos los cursos de la licenciatura,ademas de ampliar los conocimientos de nuevas areas, deben participar en eldesarrollo de la ”cultura matematica” profundizando los fundamentos de lamisma.

Aunque no es posible presentar brevemente las bases de la teorıa de losnumeros, vamos a dar un rapido repaso de este tema poniendo especial enfasissobre las construcciones de Z, Q, R a partir de la axiomatica de los numeros

1

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naturales.

1.1 Numeros naturales y enteros

La axiomatica de los numeros naturales fue creada por Giuseppe Peano(1858-1932) un matematico italiano quien ademas de grandes aportacionesen los fundamentos de matematica obtuvo resultados importantes en unarea de caracter tan ”practico” como la teorıa de ecuaciones diferenciales.Lo mencionams para subrayar que la preocupacion por los fundamentos dematematicas no es solo dominio de ”los aburridos puristas”.

Axiomatica de Peano para N

Los numeros naturales estan formados por una terna (N, 1, σ), donde Nes un conjunto, 1 es un elemento de N y σ : N→ N es una funcion llamadasucesor que tiene las siguientes propiedades:

1. σ(n) 6= 1 para todos n ∈ N,

2. σ(n) = σ(m) implica n = m para todos n, m ∈ N,

3. si S ⊂ N, 1 ∈ S y σ(S) ⊂ S entonces S = N.

Para explicar el significado de la axiomatica de los naturales debemosinterpretar el elemento σ(n) como el elemento siguiente a n y el elemento ncomo el precedente de σ(n).

El numero 1 como el unico elemento de N no tiene precedente. Todos losdemas elementos tienen a lo mas un precedente segun axioma 2.

El ultimo axioma llamado el principio de la induccion matematica afirmaque no existe dentro de N ningun subconjunto propio que satisfaga lascondiciones 1 y 2.

Gracias a este axioma se puede ver inmediatamente que cada elemento ex-epto 1 sı tiene su elemento precedente. Vale la pena estudiar su demostraconque es un ejemplo tıpico de la aplicion de la induccion matematica.

Proposition 1.1.1. σ(N) = N \ {1}.Demostracion Sea M = σ(N)∪{1} ⊂ N. Directamente por la definicion elconjunto M contiene al elemento 1 y esta cerrado con respecto a la operacionσ. Por axioma 3 obtenemos M = N. ¤

3

El tercer axioma permite tambien probar el siguiente resultado que de-muestra en que sentido N es unico. Su demostracion tambien se basa en enel metodo de la induccion.

Teorema 1.1.2 Si las ternas (N, 1, σ) y (M,1, τ) satisfacen los axiomas dePeano, entonces existe una funcion biunıvoca ϕ : N → M tal que ϕ(1) = 1y ϕ(σ(n)) = τ(ϕ(n)).

Demostracion Definimos la funcion ϕ de la manera siguiente:a. ϕ(1) = 1,b. si ϕ(n) = m entonces ϕ(σ(n)) = τ(m) = τ(ϕ(n)).El dominio D de esta funcion contiene el elemento 1 y es cerrado con

respecto a σ. Entonces D = N. Es una funcion unıvoca, porque ϕ(σ(n)) =ϕ(σ(m)) implica τ(ϕ(n)) = τ(ϕ(m)) y por axioma 2 se sigue ϕ(n) = ϕ(m).La imagen J = ϕ(N) contiene 1. Si p ∈ J entonces p = ϕ(n) para algunn ∈ N. Obtenemos

τ(p) = τ(ϕ(n) = ϕ(σ(n)) ∈ J.

Por axioma 3 que es valido para la terna (M,1, τ) obtenemos que ϕ estambien suprayectiva.

¤Despues de haber presentado la axiomatica de los numeros naturales va-

mos a recordar brevemente el desarrollo de las propiedades de su estructura.El papel preponderante pertenece a la operacion de adicion en N. No nosdebe sorprender que la definicion tiene tambien caracter inductivo.

Definicion La suma es una operacion N × N 3 (n,m) → n + m ∈ Ndefinida en dos pasos:

1. La suma con 1n + 1 = σ(1).

2. conociendo el valor de n + m ponemos

n + σ(m) = σ(n + m).

De acuerdo con Proposion 1.1.1 cada elemento de N que no es 1, tienela forma σ(m). Aplicando el tercer axioma de Peano se deduce que la sumaesta definida para todo par (n, m). Esta demostracion se recomienda comoun ejercicio.

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Teorema 1.1.3 La aplicacion N × N 3 (n, m) → n + m ∈ N tiene lassiguientes propiedades:Es conmutativa:

n + m = m + ny asociativa:

n + (m + k) = (n + m) + k.Tiene tambien la propiedad de cancelacion:

n + k = m + k ⇒ n = m.

En N se define tambien la multiplicacion.

Definicion La aplicacion de la multiplicacion N× N 3 (n,m) → nm ∈ N

1. n1 = n, para todo n ∈ N,

2. Si conocemos el valor nm, definimos σ(m)n = mn + n.

La propiedad 2 de la definicion esta creando la fundamental relacion entrela multiplicacion y la suma. Tomando m = 2 = σ(1) obtenemos la formula2n = n + n; para m = 3 se sigue 3n = 2n + n = n + n + n etc., lo que estade acuerdo con la definicion intuitiva de que mn = n + · · ·+ n (m-veces.)

Teorema 1.1.4 La multiplicacion es conmutativa:nm = mn

y asociativa:n(mk) = (nm)k.

Tiene tambien la propiedad de cancelacion:nk = mk ⇒ n = m.La adicion y la multiplicacion estan relacionadas por la propiedad de

distribucion:(n + m)k = nk + mk.

Tenemos finalmente un orden natural en N.

Definicion Si n, m ∈ N, denotamos n < m y decimos que n es menor quem, o que m es mayor que n, cuando existe k ∈ N tal que m = n + k.

Este orden es transitivo, es decir m < n y n < k implica m < k.He aquı las formulas de la compatibilidad del orden con las operaciopnes

de suma y multiplicacion:

Si m,n, k, l ∈ N y m < n, k < l entonces

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1. m + k < n + l,

2. mk < nl.

Una vez mas se aplica el ultimo axioma de Peano para demostrar lapropiedad de tricotomıa:

Para cada par a, b ∈ N una y solo una de las tres posibilidades se da:a < b, a = b, b < a.

El principio de buen orden tambien se deduce del axioma de induccion:Cada conjunto F ⊂ N contiene un unico elemento mınimo.

Construccion de Z

La construccion de los numeros enteros consiste en agregar a N el elementoneutral 0 y el conjunto de los enteros negativos. Como resultado obtenemosun anillo ordenado: un grupo conmutativo con respecto a la adicion y provistode un orden y ademas de la multiplicacion.

En el producto cartesiano N× N introducimos la relacion (m,n) ≡ (k, l)cuando m+ l = n+k. Dejamos al lector la tarea de verificar que esta relaciones de equivalencia.

Definicion La clase del elemento (m,n) se va a denotar 〈m,n〉 y se llamaun numero entero. Por Z = N × N/ ≡ denotamos el conjunto de las clasesde equivalencia con respecto a la relacion ≡.

El calculo de los enteros surgio en forma natural de los calculos financierosde los efectivos y los adeudos. Si en el par (m,n) se interpreta m comoefectivos y n como adeudo, entonces a dos pares (m,n) y (k, l) les correspondela misma situacion financiera cuando m + l = k + n, es decir cuando(m,n) ≡ (k, l). Los numeros naturales no son suficientes para describirlas situaciones cuando la deuda supera a los efectivos y esta es la razon deintroducir el espacio de los enteros.

En el espacio Z sumergimos los numeros naturales utilizando la funcion

ι : N 3 n → 〈n + 1, 1〉 ∈ Z. (1.1)

La imagen de esta aplicacion satisface los tres axiomas de Peano por lo quese puede identificar con N. Consideramos N como subconjunto de Z.

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En Z definimos la operacion de adicion y de la multiplicacion extendiendolas que tenemos ya definidas en N.

La adicion: 〈m,n〉+ 〈k, l〉 = 〈m + k, n + l〉,La multiplicacion: 〈m,n〉〈k, l〉 = 〈mk + nl, ml + nk〉.Cada vez que definimos una funcion sobre las clases de equivalencia

utilizando los representantes de la clase, es necesario verificar que la definiciones correcta. Lo hacemos en el caso de la multiplicacion que aparentementees mas complicado.

Tomando (m′, n′) ≡ (m,n) y (k′, l′) ≡ (k, l) debemos probar que

(m′k′ + n′l′,m′l′ + n′k′) ≡ (mk + nl, ml + nk).

Disponemos de la informacion de que m′ + n = n′ + m y k′ + l = k + l′.Multiplicando la primera ecuacion por k′ y luego por l′ y la segunda por

m y por n obtenemos:

k′m′ + k′n = k′m + k′n′,

l′m + l′n′ = l′m′ + l′n,

mk′ + ml = mk + l′m

nk + nl′ = nk′ + nl.

Sumamos los lados izquierdos y los lados derechos de las ecuaciones y obten-emos:k′m′ + l′n′ + ml + nk + k′n + l′m + mk′ + nl′ = k′n′ + l′m′ + mk + nl + k′m +l′n + l′m + nk′.Gracias a la propiedad de la cancelacion llegamos a la igualdad

k′m′ + l′n′ + ml + nk = k′n′ + l′m′ + mk + nl,que demuestra la equivalencia deseada.

La demostracion correspondiente a la definicion de la suma que es massencilla, se recomienda como un ejercicio.

En la proposicion siguiente verificamos que las operaciones introducidasen Z constituyen una extencion de las operaciones definidas anteriormentepara N.

Proposicion 1.1.5 Si ι : N→ Z es la inyeccion definida en (1.1), entoncespara todos n, m ∈ N

1. ι(m + n) = ι(m) + ι(n),2. ι(mn) = ι(m)ι(n).

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Demostracion 1. Calculamos

ι(m+n) = 〈m+n+1, 1〉 = 〈m+n+2, 2〉 = 〈m+1, 1〉+〈n+1, 1〉 = ι(m)+ι(n).

2. Directamente por la definicion

ι(m)ι(n) = 〈m + 1, 1〉〈n + 1, 1〉 = 〈(m + 1)(n + 1) + 1,m + 1 + n + 1〉= 〈mn + 1, 1〉 = ι(mn).

¤He aquı el resumen de las propiedades de las operaciones de la adicion y

de la multiplicacion:

Teorema 1.1.6 Para a, b, c ∈ Z1. a + b = b + a.

2. a + (b + c) = (a + b) + c.

3. La clase 0 = 〈1, 1〉 es el unico elemento tal que a + 0 = a para todoa ∈ Z.

4. Para cada a = 〈m,n〉 ∈ Z el elemento −a = 〈n,m〉 = 〈1, 2〉〈m,n〉 es elunico numero que satisface a + (−a) = 0.

5. ab = ba.

6. a(bc) = (ab)c.

7. a(b + c) = ab + ac.

8. La clase 1 = 〈2, 1〉 es el unico elemento tal que 1a = a para todo a ∈ Z.

Demostracion Todas las formulas se obtiene aplicando directamente lasdefiniciones correspondientes, entonces dejamos esta tarea como ejercicio.Nos limitamos a demostrar que los elementos neutrales de la adicion y de lamultiplicacion y el elemento inverso de la adicion son unicos.

Si a+0 = a y a+0′ = a para todos a ∈ Z, entonces substituyendo a = 0′

en la primera ecuacion y a = 0 en la segunda obtenemos 0′ = 0 + 0′ = 0. Enforma analoga, si 1a = a y 1′a = a identicamente para a ∈ Z, entonces enparticular 1 = 1 · 1′ = 1′. Los elementos neutrales son unicos.

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Si −a y a∗ son inversos aditivos de a, entonces −a = −a+0 = −a+(a+a∗) = (−a + a) + a∗ = a∗.

¤Al final definimos el orden en Z. Lo hacemos determinando primero los

conjuntos de elementos positivos y negativos.

Z+ = {〈m,n〉| m > n}, Z− = {〈m,n〉| m < n}.Cuando m > n, tomando en cuenta que 〈m,n〉 = 〈m − n + 1, 1〉 =

ι(m − n). Por lo tanto Z+ = ι(N). Usando esta observacion y Proposicion1.1.5 obtenemos inmediatamente:

Corolario 1.1.7 Si a, b ∈ Z+, entonces a + b, ab ∈ Z+.

Para cada par de numeros naturales (m,n) tiene lugar una y solo una delas relaciones: m > n o m < n o m = n. Por lo tanto

Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z−.

Denotamos tambien Z∗ = Z+ ∪ Z−.

Definicion Sean a, b ∈ Z. Decimos que a es menor que b (denotamosa < b) cuando b− a ∈ Z+. Denotamos a ≤ b cuando b− a ∈ Z+ ∪ {0}.

El estudio de esta relacion, lo dejamos a la seccion siguiente, donde Z sesumerge en el campo de los numeros racionales Q y el orden aquı definidotambien se extiende al orden en este espacio mas grande.

1.2 Numeros racionales

La descripcion de los numeros racionales que vamos a presentar no difieremucho de la descripcion conocida de la escuela primaria donde los numeros

racionales se llaman las fracciones o los quebradosn

m. Se trata de un

procedimiento que se aplica tambien en otras situaciones cuando tenemos unaestructura aditiva de grupo conmutativo combinada por medio de la formulade distribucion con la multiplicacion tambien conmutativa sin divisores decero. La construccion de ”los quebrados” sumerge esta estructura en uncampo, es decir una estructura, donde cada elemento no nulo tiene su inversomultiplicativo.

En nuestro caso partimos de los numeros enteros Z y el proposito essumergir Z en un campo Q lo mas pequeno posible. El hecho de que Q sea un

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campo significa que para cada p ∈ Q, p 6= 0 existe su inverso multiplicativo,es decir un numero p−1 ∈ Q tal que p(p−1) = (p−1)p = 1.

Mientras que la introduccion de los numeros enteros tuvo como propositoobtener una estructura que contiene a N y donde cada elemento tiene suinverso aditivo, la introduccion de Q realiza el mismo plan con respecto a lamultiplicacion de elementos no nulos.

Pasamos a la construccion de Q.En el espacio de los pares (m,n) ∈ Z×Z∗ introducimos la siguiente relacion.

(m,n) ∼ (k, l) cuando lm = kn.

Proposicion 1.2.1 La relacion ∼ es una relacion de equivalencia.

Demostracion La condicion (m,n) ∼ (m,n) se cumple obviamente. Lacondicion lm = kn significa que se cumple (m, n) ∼ (k, l) y tambien (k, l) ∼(m,n), entonces la relacion es simetrica. Supongamos que (m,n) ∼ (k, l)y (k, l) ∼ (r, s). Tenemos entonces kn = lm y lr = sk. Por lo tantokns = lms = lrn que implica l(ms− rn) = 0. Por suposicion l 6= 0 entoncesms = rn que significa (m,n) ∼ (r, s).

¤El espacio de los numeros racionales es el conjunto Q de las clases de

equivalencia Z × Z∗/ ∼. La clase de equivalencia de (m,n) se va a denotarpor [m,n].

Sumergimos Z en Q por medio de la aplicacion τ : Z → Q, dondeτ(m) = [m, 1].

Realmente se trata de una inyeccion porque [m, 1] = [k, 1] implica(m, 1) ∼ (k, 1) y luego m = k.

En Q introducimos las operaciones de la adicion y de la multiplicacion.

1. [m,n] + [k, l] = [lm + nk, nl],

2. [m,n][k, l] = [mk, nl].

Nuevamente hemos definido una operacion en el espacio de las clasesde equivalencia por medio de las operaciones sobre los representantes de lasclases. Es necesario comprobar que la definicion es correcta - que el resultadono depende del representante particular de cada clase.

Lo vamos a hacer unicamente en el caso de la suma, que es relativamentemas complicado.

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Sean (m, n) ∼ (m′, n′) y (k, l) ∼ (k′, l′). Debemos demostrar que (lm +nk, nl) ∼ (l′m′ + n′k′, n′l′). Lo que sabemos es que mn′ = nm′ y kl′ = lk′.

Calculamos:

(lm + nk)n′l′ = lmn′l′ + nkn′l′ = lnm′l′ + nn′k′l = (m′l′ + n′k′)nl,

por lo cual efectivamente (lm + nk, nl) ∼ (l′m′ + n′k′, n′l′).El paso siguiente es ver que la inyeccion τ transforma la adicion y la

multiplicacion en Z en las operaciones correspondientes en Q. Con este fincalculamos:τ(n + m) = [n + m, 1] = [n, 1] + [m, 1] = τ(n) + τ(m),τ(nm) = [nm, 1] = [n, 1][m, 1] = τ(n)τ(m).

Las propiedades principales de la estructura algebraica definida en Qestan contenidas en el siguiente teorema:

Teorema 1.2.2 Para a, b, c ∈ Q1. a + b = b + a,

2. a + (b + c) = (a + b) + c,

3. la clase 0 = [0, 1] es el unico elemento tal que a + 0 = a para todoa ∈ Q,

4. para cada a = [m,n] ∈ Q el elemento −a = [−m,n] es el unico numeroque satisface a + (−a) = 0.

5. ab = ba,

6. a(bc) = (ab)c,

7. a(b + c) = ab + ac,

8. la clase 1 = [1, 1] es el unico elemento tal que 1a = a para todo a ∈ Q,

9. si a = [m,n] 6= 0 entonces a−1 = [n,m] es el unico elemento tal quea(a−1) = 1.

Demostracion No vamos a desarrollar los calculos que unicamente nece-sitan la aplicacion de las definiciones correspondientes. Los recomendamoscomo ejercicios. La unicidad de los elementos neutrales de la adicion y de la

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multiplicacion, ası como la unicidad de −a se demuestra como en el caso delos numeros enteros. Nos queda por demostrar que el inverso multiplicativoes unico.

Si a−1 y a∗ son inversos multiplicativos de a 6= 0 entonces a−1 = (a−1)1 =(a−1)aa∗ = a∗.

¤A continuacion en vez de a + (−b) vamos a escribir a − b llamando esta

operacion la sustraccion. En en algunas ocasiones denotamosa

ben vez de

a(b−1). (Aquı b se supone 6= 0). Esta operacion se llama la division de aentre b.

Las propiedades descritas en el ultimo teorema se pueden resumir di-ciendo: Q es un campo.

Otra estructura importantısima que existe en Q es el buen orden. Paradeterminarlo definimos primero los conjuntos de los elementos positivos y denegativos. Sean

Q+ = {[m, n]| nm > 0}, Q− = {[m,n]| nm < 0}.

Estas definiciones necesitan cierta aclaracion. Debemos ver que el signodel producto nm es constante para cada elemento de la clase [m,n] 6= 0. Si(m′, n′) ∼ (m,n) entonces mn′ = m′n y obtenemos

(mn)(m′n′) = (nm′)2 > 0.

Por lo tanto mn y m′n′ tienen el mismo signo. Las definiciones de Q+, Q−son correctas. Obviamente

Q = Q− ∪ {0} ∪Q+

donde los tres componentes son disjuntos. Esta propiedad es llamada latricotomıa del orden en Q.

Denotamos Q∗ = Q+ ∪Q−.Observemos la siguiente propiedad del conjunto Q+:

Proposicion 1.2.3 Para a, b ∈ Q arbitrarios

1. a + b ∈ Q+,

2. ab ∈ Q+.

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Demostracion Sean a = [m, n], b = [k, l] ∈ Q+. Tenemos mn > 0 y kl >0. Luego, para a+b = [lm+nk, nl] calculamos (lm+nk)nl = l2mn+n2lk > 0,entonces a + b ∈ Q.

Para el producto ab = [mk, nl] obtenemos mknl = (mn)(kl) > 0,entonces ab ∈ Q.

¤

Finalmente introducimos el orden en Q:

a 0.La demostracion de que ≤ es un orden es sencilla y se deja como ejercicio.Como es costumbre con frecuencia escribiremos a > b o a ≥ b en lugar de

escribir b < a o b ≤ a.La relacion del orden con las operaciones de la adicion y de la multipli-

cacion se describe en el siguiente teorema.

Teorema 1.2.4 Sean a, b, c, d ∈ Q. Entonces

1. si a < b, entonces a + c 0 si y solo si −a < 0,

4. si a bc,

6. a > 0 si y solo si a−1 > 0,

7. Si 0 < a < b entonces b−1 < a−1.

Demostracion Todas las afirmaciones se demuestran directamente por ladefinicion usando las propiedades basicas de los conceptos en cuestion.

Inciso 1 dice nada mas que b + c− (a + c) = b− a > 0.En inciso 2 por suposicion b−a ≥ 0 y d− c ≥ 0. Proposicion 1.2.3 afirma

que b− a + d− c = b + d− (a + c) ≥ 0. Entonces b + d ≥ a + c.

13

En inciso 3, si suponemos que −a ∈ Q+, obtenemos de la Proposicion1.2.3 que 0 = a + (−a) ∈ Q+, que no es cierto. Por lo tanto −a ≤ 0 y comoa 6= 0 (ver ejercicio 6) se sigue que −a < 0. Entonces −a < 0.

Para demostrar 4 calculamos ac − bc = (a − b)c ∈ Q+ por Proposicion1.2.3.

Analogamete, si c < 0 obtenemos −c > 0 y por lo tanto (−c)(b − a) =−cb + ca > 0, lo que implica ca > cb.

En el caso del inciso 6 aplicamos el mismo razonamiento que en 3,recordando que a es el inverso de a−1.

Finalmente, para obtener 7 multiplicamos ambos lados de la desigualdada < b por b−1 obteniendo a(b−1) < 1. Multiplicamos la ultima desigualdadpor a−1 y llegamos a la formula b−1 < a−1.

¤La introduccion del orden en Q nos permite observar unas propiedades

nuevas del campo Q.

Teorema 1.2.5 Si a, b ∈ Q y a < b, entonces existe c ∈ Q tal que a < c < b.

Demostracion Definimos c =a + b

2. Por suposicion tenemos 2a < a+b <

2b. Dividiendo entre 2 pasamos a a <a + b

2< b. ¤

Como corolario podemos deducir tan llamada propiedad arquimediana delos racionales:

Teorema 1.2.6 Si a, b ∈ Q+ y a < b, entonces existe n ∈ N tal que b < na.

Demostracion Por Teorema 1.2.5 existe 0 < [m,n] tal que [m,n] <a

b.

Multiplicando ambos lados de la desigualdad por nb obtenemos mb < na.Sin embargo m ≥ 1, entonces b ≤ mb < na.

¤

Corolario 1.2.7 Dado a ∈ Q+, para cada ε > 0 existe n ∈ N tal quea

2n< ε.

Dejamos la demostracion como ejercicio.

14

1.3 Cortaduras de Dedekind

Antes de pasar a la construccion de los numeros reales debemos explicar lasrazones de hacerlo.

Los numeros naturales N se introducen para poder contar objetos. En Npodemos sumar y multiplicar los elementos. El anillo de los numeros enterosZ se construye para poder ademas efectuar las sustracciones. En el campode los racionales Q podemos ademas dividir entre cualquier elemento distintode cero.

En los casos de Z y Q las razon de construirlos es de caracter algebraico.Desde este punto de vista la estructura del campo Q ya es muy satisfactoria,aunque no perfecta (habran razones tambien algebraicas para sumergirla enel campo de los complejos).

Sin embargo, la construccion de los reales esta motivada por necesidadesde otro caracter que, adelantandonos un poco, podemos llamar topologicos.Para explicarlos recordemos primero un hecho bien conocido:

Ejemplo 1: No existe en Q ningun numero q que satisfaga la ecuacionq2 = 2.

Para demostrarlo supongamos que para m, n ∈ N el numero q = [m,n]cumple con q2 = [m,n]2 = [m2, n2] = 2 y por lo tanto m2 = 2n2. Si m2

contiene 2 como factor, entonces m es de forma m = 2k con k ∈ N. Por lotanto m2 = 4k2 = 2n2. Obtenemos 2k2 = n2, lo que implica n = 2l, dondel ∈ N. Pero entonces [m,n] = [k, l], donde k = m/2 y l = n/2 son numerosnaturales. Repitiendo el argumento obtenemos que, si el par (m,n) satisfacela ecuacion [m,n]2 = 2, entonces para cada p ∈ N el numero m/2p siguesiendo un numero natural. Obtenemos la contradiccion con el principio debuen orden, porque resulta que el conjunto {m ∈ N| ∃n ∈ N, [m,n]2 = 2}no tiene elemento minimal.

No existe entonces la solucion racional de la ecuacion q2 = 2.

Observemos ahora que, de todas maneras el numero 2 se puede ”acosar”por ambos lados por los numeros de forma q2, donde q ∈ Q. Denotemos

p = {p ∈ Q| p < 0 o p2 < 2}.Teorema 1.3.1 Para todo 0 < p ∈ p y q 6∈ p existen p1, q1 ∈ Q tales quep < p1, q1 < q y p2 < p2

1 < 2 < q21 < q2.

Demostracion Como ya sabemos, la solucion racional de la ecuacion x2 = 2no existe.

15

El complemento del conjunto p tiene la forma

pc = {x ∈ Q| x2 > 2}.

Nuestra suposicion significa entonces que p2 < 2 < q2. Buscamos 0 < hi ∈ Q,i = 1, 2, tales que (p + h1)

2 < 2 < (q − h2)2.

Representamos (p + h1)2 = p2 + (2p + h1)h1. Si hacemos h1 < 1 y al

mismo tiempo h1 < 2−p2

2p+1, obtenemos para p1 = p + h1:

p21 = p2 + (2p + h1)h1 < p2 + (2p + 1)h1 < p2 + 2− p2 = 2.

Tomando h2 = q2−22q

obtenemos para q1 = q − h2:

q2 = (q − h2)2 = q2 − (q2 − 2) + h2

2 > 2.

¤

Para dar una interpretacion importante del Teorema 1.3.1 introduzcamoslos conceptos de elemento maximal y de elemento minimal de un conjuntoA ⊂ Q. Diremos que A tiene elemento maximal si existe M ∈ A tal quep ≤ M para todo p ∈ A. En tal caso denotamos M = max A. El conjuntoA tiene elemento minimal si existe m ∈ A tal que p ≥ m para todo p ∈ A.Denotamos m = min A.

Teorema 1.3.1 combinado con Ejemplo 1 afirma que el conjunto pno tiene elemento maximal. El conjunto pc en cambio no tiene elementominimal. Parece que entre los conjuntos p y su complemento queda un huecoy que este hueco es responsable de la falta de la solucion de la ecuacion r2 = 2.

La construccion de los numeros reales nos proporcionara en particular talnumero que ademas satisface p < r para todo p ∈ p y r < q para todo q ∈ pc.Vamos a ”llenar huecos” en el conjunto de los numeros racionales.

DefinicionUn subconjunto propio no vacıo a ⊂ Q se llama una cortadura de

Dedekind si no contiene un elemento maximal y tiene la siguiente propiedad:

x ∈ a, y < x ⇒ y ∈ a.

A continuacion llamamos a las cortaduras de Dedekind solamente cor-taduras.

16

Para obtener ejemplos de cortaduras podemos tomar a ∈ Q y luego definir

xa = {x ∈ Q| x < a}. (1.2)

Este conjunto satisface todas las condiciones que definen una cortadura.Es tambien obvio que si a, b ∈ Q y a < b entonces xa ⊂ xb y xa 6= xb.Efectivamente, el numero racional 1

2(a + b) pertenece a xb y no pertenece a

xa.Las cortaduras de la forma xa, a ∈ Q se llaman cortaduras racionales.

He aquı una caracterıstica de las cortaduras racionales.

Teorema 1.3.2 La cortadura a es racional si y solo si su complemento ac

contiene un elemento minimal.

Demostracion Si a = xm con m ∈ Q, entonces m es el elemento minimalde ac.

Supongamos que m es el elemento minimal de ac. Si x ∈ Q y x > mentonces x ∈ ac, porque si x ∈ a y m < x implica m ∈ a, que noes cierto. Obtenemos entonces ac = {x ∈ Q| x ≥ m} y por lo tantoa = {x ∈ Q| x < m}. ¤

Observemos tambien que los elementos de una cortadura a no estanseparados de los elementos del complemento ac.

Teorama 1.3.3 Sea a una cortadura. Para todo ε > 0 existen x0 ∈ a yy0 ∈ ac \ {min ac} tales que y0 − x0 ≤ ε.

Demostracion Sean x ∈ a e y ∈ ac \ {min ac}. Tomemos el numeroz = x+y

2. Si z ∈ a, entonces x1 = z, y1 = y satisfacen y1 − x1 ≤ y−x

2. Si

z ∈ ac \ {min ac} ponemos x1 = x, y1 = z y la misma desigualdad es valida.Cuando z = min ac podemos tomar x1 = 3

4x + 1

4y ∈ a y y2 = 1

4x + 3

4y ∈ ac y

llegamos a la misma desigualdad.Ahora aplicando la induccion podemos obtener xn ∈ a y yn ∈ ac tales

que yn − xn <y − x

2n. Tomando n suficientemente grande podemos cumplir

con yn − xn <y − x

2n< ε.

¤La aplicacion que a cada a ∈ Q le asocia la cortadura xa sumerge los

numeros racionales en el conjunto de las cortaduras. Surge la pregunta:¿Existen las cortaduras que no son racionales?

17

Ejemplo fundamental

Veremos que el conjunto p = {x ∈ Q| x < 0 o x2 < 2} es una cortadurano racional.

Este conjunto no es vacıo y no es igual a Q. Si x ∈ p y tenemos y < x,entonces en el caso de y ≤ 0 inmediatamente obtenemos que y ∈ p. Si 0 < yla desigualdad y < x implica y2 < x2 < 2, entonces y ∈ p. El conjuntop no contiene elemento maximal por el Teorema 1.3.1. Ası vemos que p esuna cortadura. Por el mismo teorema sabemos que pc no tieme elementominimal, entonces p no es cortadura racional.

En la teorıa que estamos presentando la cortadura ρ representa al numero√2. Obviamente, modificando muy poco los mismos razonamientos podemos

construir otras cortaduras no racionales correspondientes a los numeros como√3, 5

13 etc.

Definicion

Al conjunto de todas las cortaduras de Q, lo vamos a llamar el eje realy lo denotamos por R. Sus elementos - las cortaduras se van a llamar losnumeros reales.

Como senalamos anteriormente los numeros racionales se sumergen en Rpor medio de la aplicacion ι : Q→ R, ι(p) = xp.

La idea de usar las cortaduras para construir el eje real pertenece aRichard Dedekind (1831-1916). Otros enfoques a la teorıa de los reales fueroncreados por Cantor, Weierstrass. Hoy los metodos de Cantor y de Dedekindson los mas usados.

Desarrollando la idea vamos a definir en R las operaciones algebraicas yel orden en forma consistente con las estructuras conocidas en el conjunto delos racionales.

Adicion

Sean p, q dos cortaduras. Sea p + q = {a + b | a ∈ p, b ∈ q}.Por el momento p + q esta bien definido como un subconjunto de Q.

Demostraremos que p + q ∈ R, es decir que se trata de una cortadura.

El conjunto no es vacıo y tampoco es igual a Q.

Si x ∈ p + q entonces x = a + b, donde a ∈ p, b ∈ q. Existen a′ ∈ p,b′ ∈ q tales que a < a′ y b < b′. Entonces a + b < a′ + b′ = y ∈ p + q. Elconjunto p + q no tiene elemento maximal.

18

Si x ∈ p + q e y < x entonces representando nuevamente x = a + b,donde a ∈ p, b ∈ q podemos escribir y = a + (b− (x− y)). En virtud de queb− (x− y) < b obtenemos b− (x− y) ∈ q y por consiguiente y ∈ p + q.

El conjunto p + q es una cortadura llamada la suma de p y q. Laoperacion (p,q) → p + q se llama adicion. El teorema siguiente describelas propiedades basicas de esta operacion. Denotamos por 0 la cortadura x0.

Teorema 1.3.4 Para todo p, q, r ∈ R1. p + q = q + p,

2. p + (q + r) = (p + q) + r,

3. p + 0 = p.

4. Existe una sola cortadura denotada por −p tal que

p + (−p) = 0.

Demostracion Las propiedades 1 y 2 son obvias porque la adicion en Q esconmutativa y asociativa.

Si x ∈ p + 0 entonces x = a + b, donde a ∈ p y b < 0. Por lo tantoa + b < a, lo que implica x = a + b ∈ p. Obtenemos p + 0 ⊂ p.

Si a ∈ p, entonces existe y ∈ p tal que a < y, es decir a−y ∈ 0. Entoncesa = y+(a−y) ∈ p+0. Se cumple tambien la contension p+0 ⊃ p, entoncesla igualdad 3. esta probada.

Para demostrar el inciso 4. veamos primero que la solucion de la ecuacionp + q = 0, si existe, es unica. Supongamos entonces que p + q = 0 yp + s = 0. Aplicando las propiedades 1, 2 y 3 obtenemos

q = (p + s) + q = (p + q) + s = s.

Para definir la cortadura −p que satisfaga 4. consideremos primero unacortadura racional. Si p = xa entonces definimos −p = x−a. Si p no esracional ponemos

−p = {−a|a ∈ pc}Por ser racional pc no contiene elemento mınimo, entonces −pc no contienemaximo. Sea −x ∈ −p, por lo cual x ∈ pc. Si y < −x, entoncesx < −y ∈ pc. Se satisface y ∈ −pc. De tal manera resulta que el conjunto

19

−p = {−a|a ∈ pc} es una cortadura. Tenemos definido la cortadura −ppara p arbitrario.

En ambos casos podemos escribir −p = {−x| x ∈ pc \ {minpc}}. Paracada x ∈ p y y ∈ pc\{minpc} es valido que x−y < 0, entonces p+(−p) ⊂ 0.

Por otro lado, por teorema 1.3.3 para ε < 0 arbitrario existen x′ ∈ p yy′ ∈ pc \ {minpc} tales que ε < x′ − y′. Ya que x′ − y′ ∈ p + (−p) de aquıse obtiene ε ∈ p + (−p) y por ende 0 ⊂ p + (−p) y la demostracion estacompleta.

¤El elemento −q se llama el inverso aditivo de q.De aquı en adelante escribimos p− q en lugar de p + (−q).

Proposicion 1.3.5 Para todo p, q ∈ R

−(p− q) = q− p.

Demostracion Calculamos:

(p− q) + (q− p) = p + (−q) + q + (−p) = 0.

Sabemos que para cada x su inverso aditivo esta univocamente definido porla ecuacion x + (−x) = 0. Por lo tanto el inverso aditivo de p− q es es lacortadura q− p.

¤Positividad y el orden en R

El orden en el espacio de cortaduras se introduce por medio de la con-tension. Decimos que q es mayor o igual a p (p es menor o igual a q) sip ⊂ q. Denotamos en tal caso q ≥ p, (p ≤ q). La relacion p < q (o q > p)significa que p es un subconjunto propio de q.

Decimos que la cortadura p es positiva cuando p > 0; es negativa cuandop < 0).

Teorema 1.3.6 Si p < q entonces existe a ∈ Q tal que p < xa < q.

Demostracion Por la suposicion existe b ∈ q\p. La cortadura no contieneelemento maximal, entonces existe a tal que b < a ∈ q. La cortadura xa

contiene p propiamente, porque contiene a b, que no es elemento de p. Lacontension xa ⊂ q tambien es propia, porque q contiene un elemento mayorque a. ¤

20

Ahora podemos describir la positividad y la negatividad de la siguientemanera.

Proposicion 1.3.7 1. p > 0 si y solo si p contiene a 0.2. p < 0 si y solo si pc contiene un numero negativo.

Teorema 1.3.8 (propiedad de tricotomıa) Si p ∈ R entonces es validauna y solo una de las tras opciones: 1. p < 0, 2. p = 0, 3. p > 0.

Demostracion Esta afirmacion unicamente expresa las propiedades ele-mentales de la contension. Para p arbitrario 0 ∈ p o 0 6∈ p. En el primercaso 0 < p. En el segundo caso p ⊂ Q− = 0. Si la contencion es propiatenemos p < 0. En otro caso p = 0.

¤El orden < esta univocamente definido por la positividad.

Proposicion 1.3.9

1. p < q si y solo si q− p > 0,

2. p < 0 si y solo si −p > 0.

3. Si p < q entonces p + s < q + s para s arbitrario.

Demostracion 1. Supongamos p < q. Existe a ∈ q \ p tal que a 6=minpc. En este caso −a ∈ −p y 0 = a− a ∈ q− p. Entonces q− p > 0.

Si q− p > 0, entonces 0 ∈ q− p. Existe entonces a ∈ q tal que a 6∈ p.Por lo tanto p < q.

Apliquemos inciso 1 a q = 0 y obtenemos 2.La suposicion p < q equivale a q + s + (−s) + (−p) > 0. El elemento

(−s) + (−p) es inverso a s + p, entonces q + s +−(s + p) > 0. Aplicandonuevamente inciso 1 obtenemos s + p < s + p.

¤Por R+ denotamos el conjunto de numeros reales positivos y por R− los

negativos. Ademas R∗ = R+ ∪ R−.Definimos el valor absoluto de un numero real:

|p| ={

p si p ≥ 0,−p si p < 0.

El valor absoluto de cualquier cortadura es una cortadura no-negativa.

21

Multiplicacion

A diferencia del caso de la suma de las cortaduras, la definicion delproducto no es tan natural. El conjunto

P (p,q) = {ab| a ∈ p, b ∈ q}

no es una cortadura. En particular P (0, 0) = Q+, mientras que P (1, 0) = Q.

Para definir el producto que tenga propiedades deseadas consideramosprimero cortaduras no-negativas. Sean p, q ∈ R+ ∪ {0}. Entonces

pq = Q− ∪ {ab| 0 ≤ a ∈ p, 0 ≤ b ∈ q}.

Para p, q ∈ R definimos

pq =

{|p||q| si ambas cortaduras son no-negativas o no-positivas,−|p||q| en otros casos.

Veamos que el conjunto definido es efectivamente una cortadura. Obvia-mente es un conjunto no vacıo. Tampoco es vacıo su complemento. Supong-amos que x ∈ pq y que y < x. Si x ≤ 0 entonces y < 0 y por lo tantopertenece a pq. Supongamos entonces que x = ab, donde 0 < a ∈ p,0 < b ∈ q. Representamos

y =y

abab.

Sabemos que 0 <y

ab< 1 y por lo tanto

y

aba ∈ p. Obtenemos y =

y

abab ∈ pq.

El producto pq sı es una cortadura.

Denotemos x1 = 1 y x−1 = −1.

Proposicion 1.3.10 Para todos p, q, s ∈ R

1. pq = qp, (conmutividad del producto)

2. (pq)s = p(qs), (asociatividad del producto)

3. 1p = p1 = p,

4. −p = (−1)p.

22

Demostracion El producto de dos cortaduras positivas p, q es la uniondel conjunto Q− ∪ {0} y del conjunto de los productos ab, donde 0 ≤ a ∈ p,0 ≤ b ∈ q. Por la conmutividad del producto en Q obtenemos |p||q| = |q||p|.El signo del producto en el caso general no depende tampoco del orden de lamultiplicacion.

La asociatividad del producto en Q implica la formula (pq)s = p(qs) enel caso de tres cortaduras no-negativas. El signo del producto triple en elcaso general es positivo si todos los factores son no-negativos o unicamentedos de ellos son negativos. En los demas casos el signo es negativo. El signono depende del orden de efectuar las multiplicacion, entonces formula 2 esvalida.

Pasamos al inciso 3. Es suficiente demostrar que la formula es valida parap > 0. Las cortaduras 1p y p1 constan de Q− y de todos los productos ab,0 ≤ a < 1, b ∈ p. Obviamente 1p ⊂ p. Por otro lado para cada 0 ≤ b ∈ p

existe c tal que b < c ∈ p. Entonces b = cb

c∈ 1p, porque

b

c∈ 1. El inciso 3

esta demostrado.La cortadura −1 es negativa y su valor absoluto es 1. Por la definicion

del producto y por el inciso 1 tenemos para p ≥ 0: (−1)p = −|p| = −p.Cuando p < 0 obtenemos (−1)p = |p| = −p. En ambos casos es valida laformula 4.

¤Introduzcamos la notacion

sgn p =

{1 cuando p ≥ 0,−1 cuando p < 0.

Cada cortadura se puede escribir ahora como p = (sgn p)|p|.Con esta notacion pq = (sgn p)(sgn q)|p||q|.SEguido probamos que el inverso multiplicativo existe para todos los

reales no-nulos.

Teorema 1.3.11 Para cada p ∈ R, p 6= 0 existe un unico elemento denotadopor p−1 tal que p(p−1) = p−1p = 1.

Demostracion Supongamos que p > 0 y sea pC = pc \ {minpc}. Elconjunto pC tiene la propiedad de que a ∈ pC y a < b implica b ∈ pC . Seap−1 = Q−∪{0}∪{a−1| a ∈ pC}. Este conjunto no es vacıo y tampoco es iguala Q. No contiene maximo, porque pC no contiene mınimo. Supongamos que

23

a 0. Tenemos entonces b−1 < a−1, dondeb−1 ∈ pC . Se satisface a−1 ∈ pC y por lo tanto a ∈ p−1. El conjunto p−1 esuna cortadura.

La multiplicacion es conmutativa, entonces es suficiente demostrar quep(p−1) = 1. La cortadura p(p−1) consta deQ+∪{0} y de todos los productosab−1, a ∈ p, b ∈ pC . En virtud de que a a y 0 < h < ε tales que a′ ∈ p y a′ + h ∈ pC . Elcalculo directo demuestra que x < a

a+h< a′

a′+h. El ultimo numero pertenece

a p(p−1), entonces x tambien le pertenece. Hemos probado que 1 ⊂ p(p−1)y la demostracion esta terminada.

¤Por p

qvamos a denotar el producto p(q−1).

Debemos estudiar finalmente la relacion entre la estructura aditiva y laestructura multiplicativa en R.

Teorema 1.3.12 Para todos p, q, s ∈ R

1. 0p = p0 = 0.

2. p(q + s) = pq + ps.

Demostracion Inciso 1 se obtiene directamente aplicando la definiciondel producto. Para demostrar 2 tomemos en principio p = −1. Como afirmael inciso 4 del Teorema 1.3.10 (−1)(q+ s) es el elemento inverso al q + s. Elultimo coincide con −q− s = (−1)q + (−1)s. La formula es valida.

Ahora supongamos que p y q, s son positivas. Para cada x ∈ p(q + s)existen 0 < a ∈ p, 0 < b ∈ q, 0 < c ∈ s tales que x < a(b + c) = ab + ac. Elelemento ab+ac pertenece a pq + ps. Esto demuestra que p(q+s) ⊂ pq+ps.Pero tambien para cada y ∈ pq + ps existen 0 < a′ ∈ p, 0 < b′ ∈ q,0 < c′ ∈ s tales que y < a′b′+a′c′ = a′(b′+ c′). Entonces pq+ps ⊂ p(q+ s).

Ahora, siguiendo con el caso de p, q, s positivos supongamos que q > s.Calculamos p(q−s)+ps = p(q−s+s) = pq. Por lo tanto p(q−s) = pq−ps.

La formula esta probada en el caso de p ≥ 0 y q + s ≥ 0. Para obtenerla formula en caso general es suficiente recordar que cada cortadura se puedeescribir como p = (sgn p)|p| y usar la asociatividad del producto.

¤

24

De tal manera acabamos de demostrar que (R, +, ·) es un campo en el cualesta sumergido el campo de los racionales Q. En ambos espacios tenemosademas definido un orden ≤. Sin embargo en este momento no sabemostodavıa como las operaciones definidas en los reales estan relacionadas con lasoperaciones de adicion y de la multiplicacion de los racionales. Por lo tantoes fundamental demostrar que estas operaciones ”coinciden” en el sentidosiguiente:

Teorema 1.3.13 Para todos a, b ∈ Q

1. xa ≤ xb si y solo si a ≤ b,

2. xa+b = xa + xb,

3. xab = xaxb,

Demostracion La relacion xa ≤ xb es equivalente a xa ⊂ xb, entoncesinciso 1 es obvio por la misma definicion de xa.

La cortadura xa + xb consta de las sumas s + t, donde s < a, t < b.Obviamente s + t < a + b entonces xa + xb ⊂ xa+b. Por otro lado para cada

v < a + b podemos tomar s = a− a + b− v

2∈ xa y t = b− a + b− v

2∈ xb y

obtenemos que v = s + t, entonces xa+b ⊂ xa + xb.

Para demostrar 3 observemos primero que sgn xa = (sgn a)1. En vistade que

pq = (sgn p)(sgn q)|p||q|

es suficiente demostrar el inciso 2 en el caso de a, b > 0. El producto xaxb

contiene Q ∪ {0} y todos los productos st, donde 0 < s < a, 0 < t < b.Entonces st < ab, lo que demuestra la contension xaxb ⊂ xab.

Si 0 < v < ab entonces existe un numero racional s tal que va

< s < b.

Sea t =v

s. Entonces t < a y st = v. Ya que st ∈ xaxb, hemos obtenido la

relacion xab ⊂ xaxb.

¤De aquı en adelante vamos a identificarQ con su imagen bajo la aplicacion

Q 3 a → xa ∈ R, entonces trataremos Q como un subcampo de los reales R.

25

1.4 Propiedad de supremo

La construccion de los reales por medio de las cortaduras fue motivada porel hecho de que Q se puede representar por ejemplo como

Q = {a ∈ Q| a2 < 2} ∪ {a ∈ Q| a2 > 2},

donde ninguno de los componentes contiene extremo, es decir {a ∈ Q| a2 < 2}no tiene maximo y {a ∈ Q| a2 > 2} no contiene mınimo. En R tal situaciones imposible. Vamos a formular este hecho en varias formas.

Recordemos que para A ⊂ R el supremo de A se define como un numeroreal S tal que

1. ∀ a ∈ A a ≤ S,

2. ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A S − ε < a.

El supremo de A se denota sup A.

Teorema 1.4.1 (Propiedad de supremo) Sea ∅ 6= A ⊂ R acotado superi-ormente. Entonces existe sup A.

Demostracion Los elementos de A son las cortaduras p ⊂ Q. Sea

S =⋃

p∈A

p = {a ∈ Q| ∃ p ∈ A, a ∈ p}.

Vamos a demostrar que S es una cortadura y que S = sup A. El conjunto Sno es vacıo, porque A no es vacıo. Por ser acotado superiormente A 6= R. SiS tuviera un elemento maximo m tendrıamos que m ∈ p para algun p ∈ A.Entonces m serıa el maximo para p que no es posible.

Si a < b y b ∈ S entonces b ∈ p para algun p ∈ A. Entonces a ∈ p ⊂ S.S sı es una cortadura.Directamente por su definicion p ⊂ S, es decir p ≤ S para cada p ∈ A.Sea 0 < ε ∈ Q. Por Teorema 1.3.3 existe a ∈ S tal que a + ε 6∈ S. Existe

entonces p ⊂ S tal que a ∈ p y por lo tanto

xa ≤ p ≤ S ≤ xa+ε ≤ p + xε.

Las desigualdades p ≤ S ≤ p + xε demuestran que S = sup A.¤

26

La propiedad de supremo es equivalente al siguiente hecho que en realidadafirma que considerando ahora las cortaduras en el espacio R no vamos aobtener mas de lo que ya tenemos.

Proposicion 1.4.2 Sea A ⊂ R un conjunto no vacıo que no contienemaximo y satisface la condicion

x < a ∈ A ⇒ x ∈ A.

Entonces A = R o A = {x ∈ R| x < r}, donde r = sup A.

Demostracion Sea A 6= R y sea c ∈ R \ A. Entonces para todo a ∈ Atenemos a > c. El conjunto A es superiormente acotado. Existe sup A segunTeorema 1.5.1. Por suposicion A no contiene maximo entonces sup A ∈ Ac.El complemento de A tiene entonces la forma

{x ∈ R| x ≥ sup A},

mientras que A = {x ∈ R| x < r} como hemos enunciado.¤

Ademas de la propiedad de supremo, podemos hablar obviamente de lapropiedad de ınfimo. Para A ⊂ R el supremo de A se es un numero real Ital que

1. ∀ a ∈ A a ≥ I,

2. ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A S + ε > a.

El ınfimo de A se denota inf A.

Teorema 1.4.3 (Propiedad de ınfimo) Sea ∅ 6= A ⊂ R acotado inferior-mente. Entonces existe inf A.

Demostracion Sabemos que existe c ∈ R tal que c ≤ a para todo a ∈ A.Tenemos entonces la desigualdad a−c ≥ 0, que equivale a −c− (−a) ≥ 0. Elnumero −c mayoriza a todos los elementos del conjunto −A = {−a| a ∈ A}.Aplicando la propiedad de supremo podemos encontrar S = sup (−A).Tenemos entonces

1. ∀ a ∈ A − a ≤ S,

27

2. ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A S − ε < −a.

Tomando I = −S obtenemos respectivamente

1. ∀ a ∈ A I ≥ a,

2. ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A a < S + ε.

I = −S es igual al ınfimo de A.¤

1.5 Raices

Una de las consequencias de la propiedad de supremo es la existencia de laraız a

1n para todo 0 < a ∈ R, n ∈ N.

Necesitamos dos sencillos resultados auxiliares.

Lema 1.5.1 Sean 0 < p, q ∈ R. Entonces p < q si y solo si pn < qn.

Demostracion Aprovechamos la formula algebraica

qn − pn = (q − p)(qn−1 + qn−2p + · · ·+ qpn−2 + pn−1) (1.3)

que se demuestra directamente aplicando asociatividad y distribuitividad dela multiplicacion. El producto de numeros positivos y la suma de numerospositivos numero positivo, entonces el segundo factor del lado derecho de laformula es positivo. Los numeros q−p y qn−pn son del mismo signo positivo.

¤Proposicion 1.5.2 Sea A ⊂ R+ un conjunto acotado y sea n ∈ N.Denotemos

An = {xn| n ∈ A}.Entonces sup An = (sup A)n y inf An = (inf A)n.

Demostracion Denotemos s = sup A. Para todo x ∈ A tenemos a ≤ s ypor Lema 1.5.2 xn ≤ sn. Entonces sup An ≤ sn. Dado ε > 0, sea a ∈ A talque s− a < ε

nsn−1 . Utilizando formula (1.3) obtenemos

sn − an = (s− a)(sn−1 + sn−2a + · · ·+ san−2 + an) < (s− a)nsn−1 < ε.

Ası se llega a la formula sup An = (sup A)n. La demostracion en el caso delos ınfimos es analoga y se deja como ejercicio. ¤

28

Estamos preparados para demostrar el resultado principal de esta seccion.

Teorema 1.5.3 Sea n ∈ N y sea 0 < a ∈ R. Entonces existe una unicasolucion positiva de la ecuacion

xn = a.

DemostracionSean A = {0 < x ∈ R| xn < a} y B = {0 < x ∈ R| xn > a}. Denotamos

s = sup A y m = inf B.Aplicando Proposicion 1.5.2 obtenemos

sn = sup{xn| x ∈ A} = sup{xn| xn < a} ≤ a

ymn = inf{yn| yn > a} ≥ a.

Por consiguiente sn ≤ a ≤ mn y aplicando Lema 1.5.1 se concluye ques ≤ m. En el caso de s = m obtenemos sn = mn = a lo que termina lademostracion.

Supongamos entonces que s < m. Existe un numero real p tal ques a o pn = a. La primera opcion equivale ap ∈ A, lo que es imposible porque p es mas grande que s. La segunda opcioncorresponde a p ∈ B que contradice a la desigualdad p < m. Entoncespn = a. Obtuvimos la solucion de la ecuacion.

La solucion es unica por Lema 1.5.1.¤El numero no-negativo x que satisface la ecuacion xn = a se denota por

a1n o n

√a y se llama la n-esima raız de a.

Qualquier numero positivo en el campo real tiene su raız en el mismocampo.

Ejercicios y Problemas

1. Demuestre que la funcion

F (m,n) =(m + n− 1)(m + n− 2)

2+ n

es una biyeccion de N× N sobre N.

29

2. Demostrar que Z+ = ι(N).

3. Verificar todos los incisos de Teorema 1.1.4.

4. Demostrar que −a = (−1)a para cada a ∈ Z.

5. Demostrar que ab = 0 implica a = 0 o b = 0 para a, b ∈ Z.

6. Sea S ⊂ Z un subgrupo aditivo de Z, es decir un subconjunto quecontiene a cero, es cerrado con respecto de la suma y de la operacionn → −n. Demostrar que existe k ∈ N tal que

S = Sk = {nk| n ∈ Z}.

7. Demostrar que cada [m,n] ∈ Q es igual aι(m)

ι(m).

8. Probar que, dado a ∈ Q+, para cada ε > 0, ε > 0 existe n ∈ N tal quea2n < ε.

9. Deducir Teorema 1.2.5 a partir de la propiedad arquimediana 1.2.6.

10. Demuestre que {q ∈ Q| q3 < 5} es una cortadura que no es racional.

11. Demostrar que para p, q ∈ R arbitrarios la ecuacion x + p = q tieneuna solucion y que esta solucion es unica.

12. Demostrar que para p, q ∈ R, donde p 6= 0 la ecuacion xp = q tieneuna solucion y que esta solucion es unica.

13. Sean p, q cortaduras no negativas. Demuestre que pq ≥ 0.

14. Demuestre que p ≤ q si y solo si −p ≥ −q.

15. Demuestre que p > 1 si y solo si p−1 < 1.

16. Demuestre que para p > 0 y 0 < t < 1 se tiene tp < p.

17. Sea A ⊂ R+ un conjunto acotado y sea B = {x2|x ∈ A}. Pruebe quesup B = (sup A)2.

18. Para A ⊂ R denotemos −A = {−a| a ∈ A}. Demuestre que sup A =− inf(−A) si por lo menos uno de estos numeros existe.

30

19. Demuestre que ∀ε > 0 ∃ n ∈ N tal que1

n< ε.

20. Demueste la desigualdad

|a1 + · · ·+ an| ≤ |a1|+ · · ·+ |an|

para ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n aplicando la induccion matematica.

Chapter 2

Sucesiones

De aquı en adelante dejamos de denotar a los numeros reales con las letrasnegritas que en el capıtulo anterior se usaron para subrayar que los numerosreales segun Dedekind estan definidos como conjuntos de numeros racionales.

2.1 Midiendo las distancias

Muchos de los resultados que vamos a obtener en los capıtulos siguientes sedemuestran comparando las expresiones de forma |p − q|, p, q ∈ R. Vamosa llamar este numero no-negativo la distancia entre p y q y en algunasocasiones lo denotamos por d(p, q). En geometrıa este valor se interpretacomo la magnitud del segmento que une p con q, lo que permite apoyar losrazonamientos con ciertas interpretaciones geometricas.

Antes de todo hagamos una observacion ingenua y sin embargo impor-tante. Decir que |a−x| < c para algun c > 0 significa que a−x < c y a la vezx−a < c. Estas dos desigualdades se pueden escribir como a− c < x < a+ cy se interpretan diciendo que x se encuentra dentro del intervalo (a−c, a+c).

Las propiedades basicas del valor absoluto estan contenidas en el teoremasiguiente.

Teorema 2.1.1 Para todos p, q, r ∈ R1. |x + y| ≤ |x|+ |y|.

La igualdad tiene lugar unicamente cuando x y y tienen el mismo signo.

2. |x− y| ≤ |x− r|+ |r − y|,

31

32

(d(x, y) ≤ d(x, r) + d(r, y)).

3. ||x| − |y|| ≤ |x− y|.

Demostracion Directamente por la definicion del producto de los numerosreales vemos que x2 = |x|2. Calculamos

|x + y|2 = (x + y)(x + y) = x2 + 2xy + y2 ≤ |x|2 + 2|x||y|+ |y|2= (|x|+ |y|)2.

Segun Lema 1.5.2 se sigue |x + y| ≤ |x|+ |y|.La igualdad se obtiene si y solo si xy = |x|||y| y lo ultimo es valido si y

solo si los signos de ambos numeros coinciden.

Inciso 2 es en realidad un caso particuler del inciso 1:

|x− y| = |(x− r) + (r − y)| ≤ |x− r|+ |r − y|.Desigualdad 2 esta demostrada.

|x| − |y| = |x− y + y| − |y| ≤ |x− y|+ |y| − |y| = |x− y|.

Cambiando los papeles de x y y tenemos de la misma manera

|y| − |x| ≤ |y − x| = |x− y|.

Finalmente ||x| − |y|| ≤ |x− y|.¤El valor absoluto |x| se puede interpretar como d(0, x) - la distancia de x

del punto 0. La desigualdad 1 dice que la suma x + y no puede distanciarsede 0 mas que por la suma de las distancias de x y de y a cero.

La desigualdad 3 significa que x y y no pueden acercarse mas que a ladiferencia entre sus valores absolutos.

La desigualdad 2, cuando se generaliza a los vectores en Rn adquiere elnombre de la desigualdad de triangulo y afirma que la distancia entre x y yno puede superar la suma de las distancias de x y de y a cualguier otro puntodel espacio.

33

2.2 Sucesiones y subsucesiones

Definicion Una sucesion en un espacio X es una funcion con dominio N yvaluada en X. En particular una sucesion de numeros reales es una funciona : N→ R.

A diferencia de otras funciones, el valor de una sucesion a en n no seacostumbra denotar por a(n) sino por an. En lugar de a mismo se usa lanotacion (an). Es una cuestion de tradicion que desgraciadamente puedeprovocar algunas confusiones. En particular no se debe confundir la funcion(an) con el conjunto de sus valores {an}n∈N.

En el espacio de todas las sucesiones reales podemos definir la suma,producto y a veces el cociente de dos sucesiones.

Sean (an), (bn) sucesiones reales y a ∈ R.

1. (an) + (bn) = (an + bn),

2. (an)(bn) = (anbn),

3. a(an) = (aan),

4.(an)(bn)=

(anbn

),

si bn 6= 0 para todo n ∈ N.

Una sucesion (an) es acotada superiormente (inferiormente) cuando existeA ∈ R tal que an < A (respectivamente an > A) para todos n ∈ N; (an) esacotada cuando existe A > 0 tal que |an| < A para todos n ∈ N.

La sucesion (an) es creciente (decreciente) cuando n < m implica an < am

(respectivamente an > am).

En muchas ocasiones nos interesan unicamente los valores de una sucesionsobre un subconjunto de N lo que conduce al concepto de la subsucesion.

Definicion Sea (nk) una sucesion monotona creciente valuada en N ysea (an) una sucesion real arbitraria. La sucesion N 3 k → ank

se llamasubsucesion de (an) y se denota (ank

).

Ejemplos

1. Sea an = (−1)n. Tomando nk = 2k obtenemos como (ank) la sucesion

constante igual a 1, porque a2k = (−1)2k = 1. Si en cambio tomamosnk = 2k + 1 obtenemos a2k+1 = (−1)2k+1 = −1.

34

2. Sea an = (−1)n + n sen (nπ/3). Supongamos que nos interesa unasubsucesion de (an) que tenga valores negativos. Ponemos nk = 3k.Obtenemos ank

= (−1)3k + 3ksen (πk) = −1.

Si en cambio queremos obtener una subsucesion creciente podemostomar nk = 6k + 1 y entonces

ank= (−1)6k+1 + (6k + 1) sen (2kπ +

π

3) = (−1) + (6k + 1)

√3

2.

3. Para (an) arbitraria denotemos:

P = {n ∈ N| an ≥ 0}, N = {n ∈ N| an < 0}.

En los conjuntos P , N existe el orden natural. Por lo menos uno deestos conjuntos es infinito. Supongamos que lo es P . Para k ∈ Ndenotemos nk = k-esimo elemento de P . La subsucesion (ank

) constade todos los elementos no negativos de (an). Si N es infinito podemosconstruir en forma analoga otra subsucesion (amk

) que consta de todoslos elementos negativos de (an).

2.3 Sucesiones convergentes. Lımites

Definicion Sea (an) una sucesion real y sea a ∈ R. Decimos que la sucesion(an) converge al limite a si

∀ε > 0 ∃ ∈ N, ∀n ≥ N, |an − a| ≤ ε.

Denotamos entonces an−→n→∞a o limn→∞ an = a. Decimos que (an) es una

sucesion convergente cuando existe su lımite (aunque no sepamos su valor).

Segun esta definicion la convergencia de (an) al numero real a significaque para cada ε > 0 unicamente un numero finito de elementos an no cabeen el intervalo de forma [a− ε, a + ε]. La convergencia de (an) a a se puedeinterpretar como la acumulacion de los elementos an alrededor del numero a.En este caso estamos usando la palabra ”acumular” en el sentido comun ycorriente. Hay que mencionar que existe tambien el concepto matematico de”un punto de acumulacion de un conjunto” que vamos a definir mas adelantey cuyo significado es diferente.

35

Teorema 2.2.1 Si (an) es convergente, entonces existe un solo lımite de(an).

Demostracion Supongamos que limn→∞ an = a y limn→∞ an = b. Sabe-mos que, dado ε > 0 existe N y existe M tal que para n > max{N, M} setiene |an−a| < ε/2 y |an−b| < ε/2. Por lo tanto |a−b| ≤ |an−a|+|an−b| ≤ ε.Numero b esta en el intervalo (a− ε, a + ε) para cada ε > 0. Obtenemos queb ∈ ⋂

ε>0

(a− ε, a + ε). Este ultimo conjunto contiene un solo punto a. En-

tonces a = b.¤

Teorema 2.2.2 Cada sucesion convergente es acotada.

Demostracion Si limn→∞ an = a, entonces existe N tal que|an − a| < 1 para n > N . Para los mismos valores n obtenemos|an| = |an − a + a| ≤ |an − a|+ |a| < 1 + |a|.

¤Ejemplos

1. Sea an =1

n. Para cada ε > 0 existe N tal que 1

N< ε. Ademas, para

n > N tenemos 1n

< 1N

. Estos dos hechos demuestran que

limn→∞

1

n= 0.

2. Sea an =n + 1

n + 3.

Representamos an = 1− 2

n + 3.

Para ε > 0 arbitrario existe N tal que 1N+3

< ε/2. Para n > N

obtenemos |an − 1| = 2n+3

< 2N+3

< ε. Por lo tanto

limn→∞

n + 1

n + 3= 1.

3. Sea an =√

n + 3−√n + 5.

Esta vez transformamos an en

an =(√

n + 3−√n + 5)(√

n + 3 +√

n + 5)√n + 3 +

√n + 5

= − 2√n + 3 +

√n + 5

.

36

Para los numeros positivos a, b la desigualdad a2 < b2 implica a < b.La sucesion

√n es entonces monotona creciente y no acotada. Esto

quiere decir que para todo ε > 0 existe N tal que 1√N

< ε y luego para

n > N se obtiene 1√n

< 1√N

. De aquı se sigue

|an| = 2√n + 3 +

√n + 5

<1√

n + 3<

1√N

< ε.

De tal maneralim

n→∞√

n + 3−√n + 5 = 0.

4. Como sabemos, todas las sucesiones convergentes son acotadas. Estacondicion esta lejos de ser suficiente para la convergencia de unasucesion.

La sucesion an = (−1)n es acotada y no es convergente. Contienedos distintas subsucesiones constantes: a2k = (−1)2k = 1 y a2k+1 =(−1)2k+1 = −1.

Existen sucesiones acotadas que tienen un numero realmente grande desubsucesiones convergentes a lımites diferentes. Los numeros racionalesdel intervalo [0, 1] forman un conjunto numerable. Esto quiere decirexactamente que existe una sucesion (an) tal que an ∈ Q∩[0, 1], ademasan 6= am para n 6= m y {an}n∈N = Q∩[0, 1]. Para cada numero x ∈ [0, 1]y k ∈ N existe nk tal que |ank

− x| < 1k. Podemos siempre seleccionar

nk de tal manera que nk > nk−1. Obtenemos una subsucesion ankque

converge a x. Vemos entonces que nuestra sucesion (an) contiene porlo menos tantas subsucesiones convergentes distintas, cuantos numerosreales contiene el intervalo [0, 1].

El estudio de la convergencia directamente por la definicion es a vecescomplicada. He aquı los teoremas basicos que permiten efectuar esta tareapor pasos.

Teorema 2.2.3 Sean limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b y c ∈ R. Entonces

1. limn→∞ an + bn = a + b,

2. limn→∞ anbn = ab, limn→∞ can = ca.

3. Si ademas bn 6= 0 y limn→∞ bn 6= 0, entonces

limn→∞an

bn

=a

b.

37

Demostracion 1. Fijando ε > 0 encontramos N y M tales que |an−a| <ε/2 para n > N y |bm − b| < ε/2 para m > M . Por lo tanto parak > max{N, M} tenemos

|ak + bk − (a + b)| ≤ |ak − a|+ |bk − b| < ε.

2. Sabemos que las sucesiones (an) y (bn) son acotadas. Sea A > 0 unacota comun para los valores absolutos de los elementos de ambas sucesionesy para sus lımites a, b. Ahora escogemos N tal que para n > N se cumple

|an − a| < ε

3Ay |bn − b| < ε

3A.

|akbk − ab| = |akbk − akb + akb− abk + abk − ab|= |ak(bk − b) + bk(ak − a) + a(bk − b)|≤ |ak||bk − b|+ |bk||ak − a|+ |a||bk − b| ≤ ε.

La primera formula del inciso 2 esta mostrada. Si tomamos como (bn)la sucesion constante bn = c para todo n ∈ N, obtenemos obviamentelimn→∞ bn = c y ası surge la segunda formula.

3. Si | limn→∞ bn| = |b| > 0 entonces existe N1 tal que para n > N1

se cumple |bn − b| <|b|2

. Como |bn| + |b − bn| ≥ |b|, obtenemos |bn| ≥

|b| − |b− bn| ≥ |b|2

.

Podemos ahora encontrar N > N1 tal que para n > N se cumplen

|a − an| <ε|b|24A

y |bn − b| <ε|b|24A

, donde A > 0 es la cota comun para

ambas sucesiones y sus lımites. Calculamos∣∣∣∣an

bn

− a

b

∣∣∣∣ =|ban − abn||bnb| ≤ |ban − bnan + bnan − abn|

|bnb|≤ |an||b− bn|+ |bn||an − a|

|b||bn| ≤ 2A

|b|2 (|a− an|+ |bn − b|) ≤ ε.

¤El siguiente teorema tiene aplicaciones numerosas.

Teorema 2.2.4 Sean (an), (bn) sucesiones convergentes con lımites a y b,respectivamente. Si an ≤ bn para todo n entonces a ≤ b.

Demostracion Introducimos la sucesion (bn − an), cuyo lımite es b − a,segun el teorema anterior. Por la suposicion bn − an ≥ 0. Es sufi-ciente demostrar que b − a > 0. Supongamos lo contrario, es decir que

38

c = limn→∞ bn−an < 0. Para n suficientemente grande tenemos |bn−an−c| ≤|c|2

y en particular bn−an−c ≤ |c|2

. De aquı se sigue bn−an ≤ c+|c|2

=c

2< 0,

que es una contradiccion. Entonces b− a ≥ 0.¤

Teorema 2.2.5 (Teorema de tres sucesiones o teorema de sandwich) Seanan ≤ bn ≤ cn. Si las sucesiones (an) y (cn) convergen y limn→∞ an =limn→∞ cn entonces la sucesion (bn) converge al mismo lımite.

Demostracion Sea a = limn→∞ an = limn→∞ cn. Para ε > 0 arbitrarioexiste N tal que para n > N tenemos a la vez |a − an| ≤ ε y |a − cn| ≤ ε.Entonces a − ε ≤ an ≤ bn ≤ cn ≤ a + ε. Obtenemos |a − bn| ≤ ε, lo quedemuestra la convergencia de la sucesion bn al mismo lımite a.

¤El principio de supremo proporciona otro criterio de convergencia muy

util.

Teorema 2.2.6 Si (an) es una sucesion superiormente acotada y no decre-ciente, entonces existe limn→∞ an = supn∈N an.

Demostracion El conjunto {an}n∈N es superiormente acotado. Por elprincipio de supremo sabemos que existe a = supn∈N an. Por la definicion delsupremo para todo ε > 0 existe N tal que 0 < a − aN ≤ ε. Siendo (an) nodecreciente obtenemos 0 < a−an ≤ ε para n > N . Entonces a = limn→∞ an.

¤Teorema 2.2.7 Si limn→∞ an = a entonces para cada subsucesion (ank

)

limk→∞

ank= a.

Demostracion Lo que sabemos es que

∀ε > 0 ∃ N, ∀ n > N |a− an| ≤ ε.

La aplicacion k → nk es monotona creciente. Existe K tal que nK > Ny entonces para k > K tenemos nk > N y por lo tanto |a − ank

| ≤ ε. Lasubsucesion converge al mismo lımite.

¤

39

Ejemplos

1. Sea an =1

nα. Queremos determinar los valores de α para los cuales la

sucesion converge o diverge. Como sabemos, 0 < a 0. Si ε > 0 y N >(

1

ε

) 1α

, entonces para n > N obtenemos

0 <1

nα≤ 1

Nα< ε.

Por lo tanto limn→∞

1

nα= 0 para α > 0. Para α < 0 la identidad

1

nα= n−α

demuestra que la sucesion no es acotada, entonces no diverge.

2. Sea an = n√

n. Denotamos bn = an−1. Utilizando la formula de binomiode Newton obtenemos n = (1 + bn)n > 1

2n(n − 1)b2

n y despejandollegamos a

0 ≤ bn ≤√

2

n− 1para n > 1.

Por el criterio de tres sucesiones obtenemos

limn→∞ an = 1 + lim

n→∞ bn = 1.

3. Para p ≥ 1 y n > p tenemos 1 < n√

p < n√

n y por el crite-rio de tres sucesiones limn→∞ n

√p = 1. Si 0 0.

4. Sea 0 ≤ a < 1 y sea an = an. En virtud de que an+1 = aan <an, la sucesion es decreciente. Es tambien acotada inferiormente por0. Gracias a Teorema 2.2.6 sabemos que es convergente. Sea x =limn→∞ an. Por Teorema 2.2.3.2 x2 = limn→∞ a2n = x, porque ellımite de una subsucesion coincide con el lımite de la sucesion misma.Obtenemos x(x− 1) = 0 y como x 6= 1 obtenemos x = limn→∞ an = 0.

5. La formula 1−an = (1−a)(1+a+a2+· · ·+an) implica para −1 < a < 1que

limn→∞

n∑

k=0

ak = limn→∞

1− an

1− a=

1

1− a.

40

6. Sea an=(1 +

1

n

)n

. En este caso nos limitamos a demostrar que la

sucesion converge. La formula de Newton nos permite representar

an = 1 + 1 +1

2!

n− 1

n+

1

3!

(n− 1)(n− 2)

n2+ · · ·+ 1

n!

n!

nn=

= 1 + 1 +1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

) (1− 2

n

)+ . . .

+1

n!

(1− 1

n

) (1− 2

n

). . .

(1− n− 1

n

).

El elemento siguiente an+1 es una suma que tiene un termino positivomas que an. Si comparamos los terminos de an+1 y an que tienen

como factor1

k!observamos que es mas grande aquell de los dos que

corresponde al ındice n + 1. La sucesion (an) es creciente. La mismarepresentacion de an demuestra que

an < 1 + 1 +1

2!+ · · ·+ 1

n!< 1 + 1 +

1

2+

1

22+ · · ·+ 1

2n−1< 3

segun el resultado del inciso anterior.

Por Teorema 2.2.6 (an) converge. Denotamos e = limn→∞

(1 +

1

n

)n

.

Visiblemente 2 < e < 3.

2.4 Punto lımite, lımite superior e inferior

Como sabemos, sucesiones divergentes pueden tener subsucesiones conver-gentes. Vamos a estudiar mas atentamente esta propiedad.

Definicion Sea (an) una sucesion. Un numero x ∈ R se llama punto lımitede la sucesion (an) si existe una subsucesion ank

tal que x = limk→∞ ank.

Resulta que todas las sucesiones acotadas tienen puntos lımite. Vamos aindicar concretamente a dos de ellos. Primero los definimos llamandolos ellımite superior y el lımite inferior de la sucesion.

Definicion Sea (an) una sucesion acotada. El lımite superior de lasucesion (an) es el numero

lim supn→∞

an = limn→∞ sup

k>nan.

41

El lımite inferior de (an) se define como

lim infn→∞ an = lim

n→∞ infk>n

an.

Observemos que lim supn→∞ an existe cuando los |an| tienen una cotasuperior A. La sucesion auxiliar bn = supk>n an esta bien definida para todon. Esta sucesion es no-creciente, porque el supremo tomado en un conjuntomas pequeno es mas pequeno. La sucesion (bn) es no-creciente y acotada,entonces tiene lımite, es decir lim supn→∞ an existe. En forma analoga sedemuestra que existe lim infn→∞ an.

Teorema 2.3.1 Sea (an) una sucesion acotada. Entonces lim supn→∞ an ylim infn→∞ an son puntos lımite de (an). Para cada x que es punto lımite de(an) se satisface lim infn→∞ an ≤ x ≤ lim supn→∞ an.

Demostracion Denotemos s = lim supn→∞ an. Sea bn = supk>nmak. En-

tonces s = limn→∞ bn. Debemos construir una subsucesion de (an) conver-gente al mismo s. Para cada ε > 0 existe un numero infinito de ındices mtales que s ≤ bm < s + ε/2. (Recordemos que bn ↘ s). Por otro lado, paracada m existe tambien un numero infinito de ındices k tales que bm−ak ≤ ε/2.En suma, para cada ε > 0 la desigualdad |ak − s| ≤ |bm − ak|+ |bm − s| ≤ εse cumple para un numero infinito de ındices k.

La sucesion buscada se construye inductivamente. Escojemos n1 de talmanera que |an1 − s| < 1. Si ya hemos seleccionado ank

de tal manera que|ank

−s| ≤ 1k, buscamos luego nk+1 > nk de tal manera que |ank+1

−s| < 1k+1

.La subsucesion (ank

) converge a s.De la manera analoga se demuestra que lim infn→∞ an es tambien un

punto lımite de la sucesion.Si (ank

) converge a x entonces todas sus subsucesiones convergen a x yen particular

lim infk→∞

ank= lim sup

k→∞ank

= x.

Es obvio por las definiciones correspondientes que para cada subsucesion

lim infn→∞ an ≤ lim inf

k→∞ank

≤ lim supk→∞

ank≤ lim inf

n→∞ an.

Obtenemos lim infn→∞ an ≤ x ≤ lim supn→∞ an.¤En la seccion anterior hemos visto que existe una sucesion cuyos puntos

lımite coinciden con el segmento [0, 1]. Hemos demostrado tambien que una

42

sucesion convergente tiene un solo punto lımite, porque todas sus subsuce-siones convergen al mismo lımite.

La convergencia de una sucesion se puede expresar en terminos de lospuntos lımite.

Teorema 2.3.2 1. Una sucesion (an) es convergente si y solo si es acotaday tiene un solo punto lımite.

2. Una sucesion (an) converge a a si y solo si a = lim infn→∞ an =lim supn→∞ an.

Demostracion 1. En vista de Teorema 2.2.7 es suficiente demostrar queuna sucesion acotada que tiene un solo punto lımite es convergente.

Supongamos que no es ası. Denotamos por x el unico punto lımite de(an). Existe ε > 0 tal que para todo k, N existe nk > N tal que |ank

−x| > ε.Existe entonces una subsucesion de (an) cuyos elementos estan separados dex. Esta subsucesion es tambien acotada, entonces tiene un punto lımite yque satisface |y − x| ≥ ε. Sin embargo y es tambien un punto lımite de(an), entonces coincide con x. Obtenemos una contradiccion que demuestrala veracidad de la afirmacion 1.

2. La convergencia de (an) implica que todos sus puntos lımite son iguales,entonces lim infn→∞ an = lim supn→∞ an. Por otro lado, para cada puntolımite x tenemos

lim infn→∞ an ≤ x ≤ lim sup

n→∞an.

Si lim infn→∞ an = lim supn→∞ an, este punto es el unico punto lımite de lasucesion.

¤Ejemplo

Vamos a demostrar que para una sucesion (an) tal que an > 0 la conver-

gencia limn→∞

an+1

an

= a implica limn→∞ n√

an = a. En pincipio supongamos que

a > 0.Sea a > ε > 0. Existe N tal que para n ≥ N

a− ε ≤ an+1

an

≤ a + ε.

Tomando en cuenta quean+m

an

=an+m

an+m−1

an+m−1

an+m−2

. . .an+1

an

se sigue

(a− ε)m ≤ an+m

an

≤ (a + ε)m.

43

En particular (a− ε)maN ≤ aN+m ≤ (a + ε)maN . Substituimos k = N + m ypasamos a desigualdades:

(a− ε)k−NaN ≤ ak ≤ (a + ε)k−NaN .

De aquı se sigue

k

√(a− ε)−NaN(a− ε) ≤ k

√ak ≤ k

√(a + ε)−NaN(a + ε).

Cuando k → ∞ la primera sucesion tiende a a − ε, mientras que la terceratiene lımite a + ε. Sobre la sucesion k

√ak obtenemos la informacion de que

a− ε ≤ lim infk→∞

k√

ak ≤ lim supk→∞

k√

ak ≤ a + ε.

Ya que ε es arbitrario llegamos a la conclusion de que lim infk→∞ k√

ak =lim supk→∞ k

√ak = a. Por Teorema 2.3.2.2 obtenemos que k

√ak converge a a.

Si a = 0 aplicamos el mismo metodo partiendo de las desigualdades

0 ≤ an+1

an

≤ a + ε.

2.5 Sucesiones de Cauchy

Siguiendo la definicion de convergencia, para demostrar que una sucesion (an)converge tenemos que encontrar un numero a tal que el valor |an− a| resultepequeno para los valores del ındice n suficientemente grandes. En muchasocasiones es suficiente saber que la sucesion converge sin que se determine sulımite a. En esta seccion se estudia una condicion necesaria y suficiente quedeben cumplir los elementos an para que la sucesion fuera convergente.

Definicion Una sucesion (an) se dice que es de Cauchy cuando

∀ε > 0 ∃N, ∀ n,m > N |an − am| ≤ ε.

Teorema 2.4.1 Una sucesion (an) converge si y solo si es de Cauchy.

Demostracion Sea limn→∞ an = a. Sabemos que

∀ε > 0 ∃N, ∀ n > N |an − a| ≤ ε/2.

Para n, m > N obtenemos entonces |an − am| ≤ |an − a|+ |am − a| ≤ ε.Cada sucesion convergente es de Cauchy.

44

Ahora supongamos que (an) es de Cauchy. En particular, tomando ε = 1y N correspondiente podemos lograr que |aN+1 − an| ≤ 1 para n > N .Obtenemos la cota |an| ≤ |aN+1 − an|+ |aN+1| para n > N . La desigualdad|an| ≤ maxk≤N+1 |ak|+ 1 es entonces cierta para todos n ∈ N.

Cada sucesion de Cauchy es acotada.

Por Teorema 2.3.1 la sucesion tiene puntos lımite. Supongamos que x > yson puntos lımite de esta sucesion. Existen subsucesiones (ank

) y (aml)

convergentes a x y y, respectivamente. Tomando ε = (x − y)/3 podemosencontrar N(x) y N(y) ∈ N tales que para todo k > N(x) y l > N(y)|ank

− x| ≤ (x− y)/3, mientras que |aml− y| ≤ (x− y)/3. Por consiguiente

aml≤ y + (x− y)/3 < x− (x− y)/3 ≤ ank

.

De tal manera para N arbitrario podemos encontrar nk, ml > N tales que|ank

− aml| > (x − y)/3. Resulta que una sucesion que tiene dos distintos

puntos lımite no es de Cauchy. Nuestra sucesion sı lo es, entonces tiene unsolo punto lımite y es convergente, segun Teorema 2.3.2. ¤

En algunos casos se puede calcular el lımite de una sucesion comparandolacon otra, cuyo lımite ya conocemos.

Definicion Las sucesiones (an), (bn) son equivalentes cuando

∀ε > 0 ∃N, ∀n > N |an − bn| ≤ ε.

La equivalencia de (an) y (bn) se va a denotar (an) ∼ (bn).

Teorema 2.4.2 Si (an) ∼ (bn) y (an) es de Cauchy, entonces ambassucesiones convergen al mismo lımite.

Demostracion Si (an) es de Cauchy, entonces existe a = limn→∞ an. Quedapor mostrar que (bn) converge al mismo lımite. Dado ε > 0 podemosencontrar N1 tal que |a − an| ≤ ε/2 para cada n > N . Por otro lado existeN2 tal que |am − bm| ≤ ε/2 para m > N2. Si tenemos k > N1 + N2 entonces|bk − a| ≤ |bk − ak|+ |ak − a| ≤ ε. Entonces limn→∞ bn = a.

¤

45


1. Encontrar lımites de las siguientes sucesiones

(a) an =(n + 1)2 − (n− 1)2

(n + 1)2 + (n− 1)2,

(b) an =(n + 2)! + (n + 1)!

(n + 3)!,

(c) an =√

n + 2− 4√

n2 + 3n + 1,

(d) an =5√

n7 + 3 + 4√

2n3 − 16√

n8 + n7 + 1− n,

(e) an = n3

(√n2 +

√n4 + 1− n

√2)

.

(f) an =nk

bn, donde k es un numero natural fijo y b 6= 0,

(g) an =bn

n!,

(h) an =n!

nn.

2. Encontrar limn→∞ sen(sen(. . . (sen 1) . . . ))︸︷︷︸n veces

.

3. Sea (xn) una sucesion cuyos elementos satisfacen la ecuacion x3n+ 1

2xn =

1n. Demostrar que limn→∞ xn = 0.

4. Demostrar que las sucesiones (an) y ( n√

nan) tienen los mismos conjun-tos de puntos lımite.

5. Demostrar que en cada intervalo (a, b) ⊂ [−1, 1] se encuentra un puntolımite de la sucesion (sen n).

6. Demostrar que limn→∞

nn√

n!= e.

7. Sea (xn) una sucesion convergente. Sea an =n2xn + 4n− 1

n2xn − 5n + 2. De-

mostrar quea. Si limn→∞ xn 6= 0, entonces an converge.b. Si limn→∞ xn = 0, entonces la sucesion (an) puede converger odiverger. Ademas para cada a ∈ R existe (xn) tal que limn→∞ an = a.

46

8. Sea a1 =√

2 y sea an+1 =√

2 + an. Demostrar que (an) es convergentey encontrar el lımite.

9. Calcular limn→∞ n√

2n + 3n y limn→∞ n√

3n − 2n

10. Supongamos que an ≤ bn y que ambas sucesiones son acotadas.Demostrar que lim infn→∞ an ≤ lim infn→∞ bn y lim supn→∞ an ≤lim supn→∞ bn.

11. Calcular lim supn→∞ an para

1. an = (−1)n(2 +

3

n

), 2. an = 1 +

n

n + 1cos

nπ

2.

12. Demostrar que, si (an), (bn) son sucesiones acotadas entonces

a. lim supn→∞(an + bn) ≤ lim supn→∞ an + lim supn→∞ bn.Encontrar una sucesion para la cual los dos numeros son distintos.

b. Suponiendo que ademas an, bn > 0 demostrar

lim supn→∞

(anbn) ≤ lim supn→∞

an lim supn→∞

bn.

Encontrar una sucesion positiva para la cual los dos numeros difiereny una sucesion (no-positiva) para la cual el numero de lado izquierdoes mayor.

13. Aplicando las desigualdades del Ejemplo de la seccion 3 demostrar quepara an > 0

a. lim infn→∞

an+1

an

≤ lim infn→∞

n√

an,

b. lim supn→∞

n√

an ≤ lim supn→∞

an+1

an

.

14. Sean (an), (bn) sucesiones de Cauchy. Sea

(cn) = (a1, b1, c2, b2, a3, b3, . . . ).

Demostrar que (cn) es de Cauchy si y solo si (an) ∼ (bn).

15. Una sucesion (an) es constante cuando existe a tal que an = a para todon. ¿Como describir las sucesiones que son equivalentes a una sucesionconstante?

16. Sea (an) una sucesion de Cauchy y sea (ank) una subsucesion. De-

muestre que limn→∞ ank= a implica limn→∞ an = a.

Chapter 3

Series

Una serie es tan solo un caso particular de una sucesion. Sin embargo lateorıa de la convergencia de series dispone de metodos muy especıficos yavanzados que hacen de ella un area aparte. Entre los personajes que dan susnombres los criterios de convergencia de las series aparecen los mas famososmatematicos: Leibnitz, d’Alembert, Cauchy entre otros.

3.1 Definiciones y ejemplos

Una serie es un sımbolo de forma∑∞

j=1 aj, donde (aj) es una sucesion. Elelemento aj de la sucesion se llama n-esimo termino de la serie. Por Sk vamosa denotar la suma parcial de la serie:

Sk =k∑

j=1

aj.

Si la sucesion de sumas parciales (Sk) converge a S, decimos que la serie∑∞j=1 aj converge a S o que la suma de la serie es igual a S.La convergencia de sucesiones en general se puede expresar en terminos

de las series. Si (an) es una sucesion y b1 = a1, bn = an − an−1 paran > 1 entonces la serie

∑∞j=1 bj converge si y solo si la sucesion an converge.

Efectivamente, la suma parcial Sk =∑k

j=1 bj = an.Se dice que la serie

∑∞j=1 aj converge absolutamente si la serie

∑∞j=1 |aj|

converge.Los teoremas que hablan de la convergencia de las sucesiones se pueden

traducir inmediatamente en teoremas sobre las series. En particular Teorema

47

48

2.4.1 proporciona el siguiente criterio de la convergencia de las series.

Teorema 3.1.1 Una serie∑∞

j=1 aj es convergente si y solo si

∀ε > 0 ∃N, ∀n > m > N

∣∣∣∣∣∣

m∑

j=n

aj

∣∣∣∣∣∣< ε.

La propiedad de supremo implica:

Teorema 3.1.2 Una serie∑∞

j=1 aj es absolutamente convergente si y solo

si la serie de sumas parciales∑k

j=1 |aj| es acotada.

Antes de pasar a los criterios avanzados de la convergencia de seriesveamos una condicion necesaria muy sencilla.

Proposicion 3.1.3 Si la serie∑∞

j=1 aj converge, entonces

limn→∞ an = 0.

Demostracion Supongamos que la serie converge, es decir que la sucesionSn tiene lımite. Entonces

limn→∞ an = lim

n→∞(Sn − Sn−1) = limn→∞Sn − lim

n→∞Sn = 0.

¤Ejemplos

1. En Ejemplo 5 de la seccion 2.2, hemos demostrado que para −1 n

1

2n=

1

2para todo n.

Por Teorema 3.1.1 la serie diverge.

3. Estudiamos la serie∞∑

j=0

1

j!. Los terminos de la serie son positivos en-

tonces para demostrar su convergencie es suficiente encontrar una cota

49

comun para sus sumas parciales. El termino aj =1

j!para j > 3 satis-

face aj <1

2jentonces Sn < 1 +

∑

j=0

1

2j< 3. La serie converge.

Recordemos que limn→∞(1 + 1

n

)n= e, (Seccion 2.4, Ejemplo 6).

Observemos que

Sn = 1 + 1 +1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

n!>

> 1 + 1 +1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

) (1− 2

n

)+ . . .

+1

n!

(1− 1

n

) (1− 2

n

). . .

(1− n− 1

n

)=

=(1 +

1

n

)n

.

Como sabemos la sucesion del lado derecho converge al numero e.Entonces obtenemos ∞∑

j=0

1

j!≥ e.

Sin embargo para n > m tenemos

(1 +

1

n

)n

=

= 1 + 1 +1

2!

(1− 1

n

)+ · · ·+ 1

n!

(1− 1

n

) (1− 2

n

). . .

(1− n− 1

n

)

> 1 + 1 +1

2!

(1− 1

n

)+ · · ·+ 1

m!

(1− 1

n

) (1− 2

n

). . .

(1− m− 1

n

).

Si en esta desigualdad pasamos al lımite n → ∞ obtenemos para marbitrario

e ≥ 1 + 1 +1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

m!.

El resultado final es que

∞∑

j=0

1

j!= e = lim

n→∞

(1 +

1

n

)n

.

50

3.2 Criterios de convergencia absoluta

La convergencia de series numericas es un asunto complicado que despues decientos de anos de ser estudiado sigue proporcionando temas interesantes alos investigadores. No existe ningun criterio que en caso mas general permitareducir el problema a la aplicacion de alguna formula o algoritmo. El caso dela convergencia absoluta es un poco mas accesible y ademas proporcionamucha informacion sobre la convergencia en general gracias al siguienteresultado bastante obvio.

Proposicion 3.2.1 Sean∑∞

j=1 aj y∑∞

j=1 bj series numericas tales que |aj| ≤bj, j ∈ N. Si la serie

∑∞j=1 bj converge entonces las series

∑∞j=1 aj

∑∞j=1 |aj|

convergen.

Demostracion Calculamos para m > n arbitrarios:

|m∑

j=n

aj| ≤m∑

j=n

|aj| ≤m∑

j=n

bj.

La convergencia de la serie∑∞

j=1 bj implica (Teorema 3.1.1) que la ultimasuma es acotada por ε para n suficientemente grande. Las demas sumastienen la misma cota, entonces ambas series convergen por el mismo Teorema3.1.1.

¤Este resultado afirma en particular que una serie absolutamente conver-

gente es convergente.Pasamos a los criterios mas importantes de la convergencia absoluta.

Teorema 3.2.2 (Criterio de Cauchy) Sea∑∞

j=1 aj una serie y sea α =

lim supj→∞j

√|aj|. Entonces:

1. si α < 1, la serie∑∞

j=1 aj converge absolutamente;

2. si α > 1, la serie∑∞

j=1 aj diverge.

Demostracion Sea α < 1 y sea ε tal que 0 < α < α+ε < 1. Por la definicion

del lımite superior existe N tal que para j > N se tiene j

√|aj| < α + ε. En

otre forma |aj| < (α + ε)j. La serie∑∞

j=1(α + ε)j converge, entonces la serie∑∞j=1 aj tambien converge por Proposicion 3.2.1.

51

En el caso de α > 1 existe ε > 0 tal que α > α − ε > 1. Tambiendirectamente por la definicion del lımite superior existe una subsucesion ajk

tal que |ajk| > (α − ε)nk > 1. La sucesion |an| no es entonces convergente a

cero y la serie resulta divergente.¤El criterio de Cauchy no proporciona ninguna informacion sobre el caso

cuando lim supj→∞j

√|aj| = 1. Ejemplos muy sencillos demuestran que

en este caso puede pasar cualquier cosa. Como sabemos∑∞

j=1

1

jdiverge.

Sabemos tambien que lim supj→∞1j√

j= 1. Sin embargo, como vamos a

probar mas adelante∑∞

j=1

1

j2< ∞ aunque lim supj→∞

1j√

j2es tambien igual

a 1.Para tratar estos casos se necesitan otros criterios. El criterio de

d’Alembert que vamos a demostrar a continuacion tampoco es universal.En realidad es mas debil. Existen casos, cuando el criterio de d’Alembertno proporciona ninguna informacion, mientras que con el criterio de Cauchyse puede obtener informacion definitiva. Sin embargo vale la pena conocerambos criterios porque los calculos que se tiene que realizar en el caso delcriterio de d’Alembert son en general mas sencillos.

Cuando se trata de la serie conocida∑∞

j=1

1

j!que converge al numero e,

para aplicar el criterio de Cauchy tenemos que calcular limj→∞1

j√

j!que sı

existe y es igual a cero (vea Ejercicio 2 en Cap. 2), pero este resultado no estrivial. Para aplicar en el mismo caso el criterio de d’Alembert es suficiente

calcular limj→∞j!

(j + 1)!= limj→∞

1

j= 0, para demostrar la convergencia de

la serie. La diferencia es notoria.

Teorema 3.3.3 (Criterio de d’Alembert) Supongamos que niguno de los

terminos de la serie∞∑

j=1

aj se anula. Entonces

1. si lim supj→∞

|aj+1||aj| < 1 entonces la serie converge absolutamente;

2. si lim infj→∞

|aj+1||aj| > 1, la serie diverge.

52

Demostracion 1. Fijemos β de tal manera que lim supj→∞

|aj+1||aj| < β < 1.

Por la definicion del lımite superior existe N tal que|aj+1||aj| < 1 para j > N .

Por lo tanto |aN+1| < β|aN |, |aN+2| < β|aN+1| < β2|aN | e aplicando lainduccion llegamos a |aN+j| < βj|aN |, lo que equivale a |an| < |aN |β−Nβn.

Obtenemos la afirmacion aplicando Proposicion 3.2.1.

2. Si lim infj→∞

|aj+1||aj| > 1, por la misma definicion del lımite inferior existe

una subsucesion ajktal que

|ajk+1||ajk

| > 1. En particular tenemos |ajk| >

|ajk−1| > · · · > |aj1| > 0. La subsucesion (ajk) no converge a cero, entonces

la sucesion misma (an) tampoco converge a cero y la serie∞∑

j=1

aj diverge.

¤Este criterio no aporta nada en el caso de lim sup

j→∞

|aj+1||aj| = 1 y cuando

lim infj→∞

|aj+1||aj| = 1. En el caso de las series

∞∑

j=1

1

jy

∞∑

j=1

1

j2ambos lımites

superior e inferior son iguales a 1 y el criterio de d’Alembert tampoco resuelveel problema de su convergencia.

He aquı un caso cuando el criterio de Cauchy demuestra su superioridad:

Ejemplo

Consideramos la serie

1

2+

1

3+

1

22+

1

32+

1

23+

1

32+ . . .

El termino general de la serie tiene la forma

a2j−1 =1

2j, a2j =

1

3j, j = 1, 2, 3 . . .

En este caso

an+1

an

=

a2j

a2j−1

=(

2

3

)j

, cuando n = 2j − 1;

a2j+1

a2j

=1

2

(3

2

)j

, cuando n = 2j.

53

De tal manera lim infj→∞

|aj+1||aj| = 0, mientras que lim sup

j→∞

|aj+1||aj| = ∞. En

este caso el criterio de d’Alembert no dice nada sobre la convergencia odivergencia.

Sin embargo

n√

an =

2j−1√

a2j−1 =1√2

12(2j−1)

√2, cuando n = 2j − 1;

2j√

a2j =1√3, cuando n = 2j.

De aquı se sigue lim supn→∞

n√

an =1

2. El criterio de Cauchy asegura que la

serie converge.

3.3 Otros criterios de convergencia

En esta seccion presentamos otros criterios de convergencia de series en loscuales el papel principal juega la monotonıa de la sucesion (an). Se trataentonces de las series de forma mas especıfica.

Teorema 3.4.1 (principio de condensacion de Cauchy) Sea (an) una

sucesion monotona y decreciente a cero. Entonces la serie∞∑

j=1

aj converge

si y solo si la serie∞∑

j=1

2ja2j converge.

Demostracion Denotemos por Sn las sumas parciales de la serie∞∑

j=1

aj y

sean Tk =k∑

j=0

2ja2j .

Para n = 2k obtenemos gracias a la monotonıa de la sucesion

Sn = a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6 + a7) + . . .

+ (a2k−1 + · · ·+ a2k−1) + a2k ≤≤ a1 + 2a2 + 4a4 + · · ·+ 2k−1a2k−1 + 2ka2k = Tk.

Por otro lado

54

Sn = a1 + a2 + (a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + . . .

+ (a2k+1 + · · ·+ a2k−1) + a2k ≥≥ 1

2a1 + a2 + 2a4 + · · ·+ 2k−1a2k =

1

2Tk.

Las sucesiones Sn, Tk son monotonas crecientes entonces convergen si solosi son acotadas. Las desigualdades S2k ≤ Tk y S2k ≥ 1

2Tk demuestran que o

ambas sucesiones son acotadas o ambas no lo son.¤El ultimo criterio nos permite describir el comportamiento de todas las

series de forma∞∑

j=1

1

jp.

Proposicion 3.4.2 La serie∞∑

j=1

1

jpconverge si y solo si p > 1.

Demostracion Construimos la serie∞∑

j=1

2ja2j . En nuestro caso

2ja2j = 2j 1

2jp= 2(1−p)j.

Obtenemos la serie geometrica∑∞

j=1 qj con q = 21−p. Esta serie converge siy solo si p > 1 entonces por Teorema 3.4.1 la condicion para la convergenciade la serie estudiada es la misma.

¤Todos los criterios estudiados hasta este momento conciernen la conver-

gencia absoluta. El criterio de Leibnitz que se estudia a continuacion hablade series que son convergentes pero en general no son absolutamente conver-gentes.

Teorema 3.4.3 (criterio de Leibnitz) Sea (an) una sucesion monotona

decreciente convergente a cero. Entonces la serie∞∑

j=1

(−1)jaj converge.

Demostracion Denotamos por Sn la sucesion de sumas parciales. Paran = 2k podemos representar

S2k = (−a1 + a2) + (−a3 + a4) + · · ·+ (−a2k−1 + a2k).

55

Esta sucesion es decreciente porque estamos sumando cada vez mas terminosnegativos. Por otro lado tenemos:

S2k = −a1 + (a2 − a3) + · · ·+ (a2k−2 − a2k−1) + a2k > −a1.

Como una sucesion decreciente inferiormente acotada, Sn es convergente.Al mismo tiempo los elmentos impares S2k−1 representados como

S2k−1 = −a1 + (a2 − a3) + (a4 − a5) + · · ·+ (a2k−2 − a2k−1)

nos dan una subsucesion creciente acotada superiormente:

S2k−1 = (−a1 + a2) + (−a3 + a4) + · · ·+ (−a2k−3 + a2k−2)− a2k−1) < 0.

Esta subsucesion tambien converge. Ademas tenemos que |S2k − S2k−1| =a2k → 0, entonces ambas sucesiones tienden al mismo lımite. La sucesion Sn

tiene un solo punto lımite y por Teorema 2.3.2 es convergente.¤El criterio de Leibnitz demuestra que la serie

∞∑

j=1

(−1)j 1

jllamada an-

armonica, es convergente. Las series de forma∞∑

j=1

(−1)j 1

jpconvergen para

todo p > 0.


1. Demueste que, si∑∞

j=0 an y∑∞

j=0 bn convergen, entonces para cadac ∈ R la serie

∑∞j=0(an + cbn) converge a

∑∞j=0 an + c

∑∞j=0 bn.

2. Pruebe que si∑∞

j=0 an converge y∑∞

j=0 bn diverge, entonces∑∞

j=0(an +bn) diverge.

3. Calcula el valor de las series:

(a)∑∞

j=0

(2

2

)3j

(b)∞∑

j=1

1

j(j + 1).

Observa que1

j(j + 1)=

1

j

1

j + 1.

56

(c)∞∑

j=1

1

(3j − 2)(3j + 1).

(d)∑∞

j=1(√

2n + 5− 2√

2n + 3 +√

2n + 1).

(e)∞∑

n=1

2n + 1

n2(n + 1)2.

(f)∞∑

n=1

n−√n2 − 1√n(n + 1)

.

4. Demuestre que∞∑

j=n

1

j!<

1

j!j. A partir de esta ecuacion deduzca que

e =∞∑

j=0

1

j!no es un numero racional.

5. Estudie la convergencia de la serie:

(a)∞∑

n=1

√n + 1−√n).

(b)∞∑

j=1

1

aj + b, a 6= 0.

(c)∞∑

j=1

1

aj2 + bj + c, a 6= 0.

(d)∞∑

n=1

n(2 + (−1)n)n

4n.

(e)∞∑

n=1

√n

n2 + 1.

(f)∞∑

n=1

1

n n√

n.

(g)∞∑

j=1

j5

2j + 3j.

(h)∞∑

n=1

( n√

n− 1)n.

(i)∞∑

n=1

3nn!

nn.

57

6. Determine los valores p para los cuales converge la serie

(a)∞∑

j=1

pjj!

jj.

(b)∞∑

n=1

pn

n

√2n + (−1)n

.

(c)∞∑

j=1

(1− cos

1

j

)p

.

(d)∞∑

j=1

j(p + (−1)j

4j.

7. Demuestre que, si∞∑

n=1

an converge absolutamente, entonces∞∑

n=1

a2n

tambien converge absolutamente.


n=1

an y∞∑

n=1

bn convergen y an ≤ cn ≤ bn entonces

∞∑

n=1

cn converge.

9. Demueste que, si∞∑

n=1

an converge absolutamente, entonces∞∑

n=1

n + 1

nan

converge absolutamente.


n=1

a2n < ∞ y

∞∑

n=1

b2n < ∞, entonces

∞∑

n=1

anbn converge

y ( ∞∑

n=1

anbn

)2

≤∞∑

n=1

a2n

∞∑

n=1

b2n.

Chapter 4

Conjuntos abiertos, cerrados,compactos

En los capıtulos siguientes vamos a estudiar la continuidad de funciones cuyodominio pocas veces va a coincidir con R. La definicion de la continuidadque vamos a dar mas adelante concierne funciones de forma

X 3 x → f(x) ∈ R,

donde X es un subconjunto de R. En este capiıtulo nos estamos preparandopara esta tarea investigando la estructura de subconjuntos de R.

4.1 Conjuntos abiertos en X, vecindades.

Un intervalo abierto en R es simplemente un intervalo sin puntos extremos:(a, b) = {x ∈ R| a < x < b}. Cada intervalo de esta forma tiene la siguientepropiedad, obvia en este caso:

∀x ∈ (a, b) ∃ ε > 0, (x− ε, x + ε) ⊂ (a, b).

Para x fijo podemos escoger ε igual al menor de dos numeros: b− x y x− ay la condicion de arriba se cumple.

Existen otros conjuntos en R que tienen esta propiedad y que se van allamar abiertos en R. Sin embargo nuestra definicion del abierto va a ser masgeneral. Introducimos el concepto de un abierto en X ⊂ R.

59

60

Definicion Sea X un subconjunto arbitrario del eje real R. Decimos queA ⊂ X es abierto en X si

∀x ∈ A ∃ ε > 0, ∀y ∈ X, |y − x| < ε ⇒ y ∈ A.

En particular un conjunto A es abierto en X = R cuando

∀x ∈ A ∃ ε > 0 (x− ε, x + ε) ⊂ A.

El intervalo abierto es un subconjunto abierto en R.En caso general podemos reformular la definicion del abierto en X de la

siguiente manera:A ⊂ X es abierto en X cuando

∀x ∈ A ∃ ε > 0, (x− ε, x + ε) ∩X ⊂ A.

El mismo conjunto A tal que A ⊂ X ∩ Y puede ser abierto en X y noabierto en Y . El conjunto [0, 1) no es abierto en Y = [−1, 1], pero sı, esabierto en X = [0, 2].

Ser abierto no es una propiedad intrınsica sino relativa.Por lo tanto la afirmacion ”A es abierto” en principio no significa nada.

”A es abierto en X” es la exprecioon correcta. Si en futuro, hablando de unsubconjunto A ⊂ R diremos unicamente ”A es abierto”, hay que entenderlocomo ”A es abierto en R”.

Obviamente los abiertos en R merecen un interes especial y vamos adedicar mas tiempo a ellos. Sin embargo, primero demostraremos algunaspropiedades de los abiertos en general.

Teorema 4.1.1 Sea X ⊂ R.

1. Si Oι, ι ∈ I son subconjuntos abiertos de X, entonces⋃

ι∈I Oι es abiertoen X.

2. Si Oi, 1 ≤ i ≤ n son abiertos en X entonces⋂n

i=1 Oi es abierto en X.

3. X y ∅ son abiertos en X.

Demostracion 1. Sea x ∈ ⋃ι∈I Oι. Existe entonces ι0 ∈ I tal que x ∈ Oι0 .

Siendo Oιo abierto en X, existe ε > 0 tal que (x−ε, x+ε)∩X ⊂ Oι0 ⊂⋃

ι∈I Oι.Entonces

⋃ι∈I Oι es abierto en X.

61

2. Sea x ∈ Oi, para todo 1 ≤ i ≤ n. Por lo tanto, para todo i existeεi > 0 tal que (x− εi, x + εi) ∩X ⊂ Oi. Si ε = min1≤i≤n εi, entonces ε > 0 y(x− ε, x + ε) ∩X ⊂ ⋂

1≤i≤n Oi.

3. La frase ”si x ∈ ∅, entonces es cierto P (x)” es cierta independien-temente de lo que diga P (x), porque la suposicion nunca se cumple. Enparticular, cuando P (x) dice ”∃ε > 0, tal que (x − εi, x + εi) ∩ X ⊂ ∅”,obtenemos una afirmacion cierta. El conjunto vacıo es abierto en cada espa-cio.

El hecho de que X es abierto en X es obvio.

¤

Ejemplos

1. Si (a, b) ⊂ X, entonces (a, b) es abierto en X, cualquier que sea X.

2. Si tomamos la interseccion de un numero infinito de conjuntos abiertos,el resultado no neceseriamente es un conjunto abierto. Como ejemplotomemos los intervalos In = (− 1

n, 1

n) que son conjuntos abiertos en R.

La interseccion de todos los intervalos In consta de un solo elemento0. El conjunto {0} no es abierto en R, porque para ε > 0 arbitrario(−ε, ε) 6⊂ {0}.

3. Es muy facil construir un espacio, donde el mismo conjunto {0} esabierto. Ademas del caso trivial X = {0} podemos tomar X = Z.Observemos que en el ultimo espacio todos los conjuntos son abiertos.Efectivamente, cualquier que sea A ⊂ Z y n ∈ A, si tomamos ε = 1

2

entonces (n− 12, n + 1

2) ∩ Z = {n} ⊂ A.

4. Otro espacio, donde todos los subconjuntos son abiertos es

X = { 1

n| n ∈ N}.

Tomemos un conjunto de un solo elemento A = { 1n}. El elemento mas

cercano a 1n

en X es 1n+1

y la distancia entre ellos es igual a 1n− 1

n+1=

1n(n+1)

. Si tomamos ε = 1n(n+1)

entonces ( 1n− ε, 1

n+ ε) ∩X = { 1

n} = A.

Cada conjunto de un solo punto es abierto en X. Ahora, si O ⊂ X,entonces podemos representarlo en forma O =

⋃x∈O{x}. O es abierto

como union de conjuntos abiertos.

62

5. Sea X = [0, 1). En este espacio el subconjunto O = [0, 12) es abierto,

mientras que A = [0, 12] no lo es. Verifiquemoslo: para x ∈ [0, 1

2)

tomemos ε = 12− x. Este numero es positivo. Ahora,

(x− ε, x + ε) ∩X =

{[0, 1

2) cuando x < 1

4,

(2x− 12, 1

2), cuando x ≥ 1

4

⊂ [0,1

2) = O.

El conjunto O es abierto.

Pasando al conjunto A = [0, 12], tomemos x = 1

2∈ A. Para 0 < ε < 1

2

arbitrario el conjunto (12−ε, 1

2+ε)∩X contiene el elemento 1

2+ε/2 6∈ A.

Entonces A no es abierto.

En forma no muy rigurosa se puede decir que A es obierto en X cuandocada punto a ∈ A esta separado de los puntos del complemento X \ A.

Definicion Sea x ∈ X ⊂ R. Un conjunto U ⊂ X se llama vecindad de xsi existe un conjunto O ⊂ U abierto en X y tal que x ∈ O.

Una vecindad de x no tiene que ser abierta. El intervalo [0, 1] es unavecindad de cada x ∈ (0, 1) y no es vecindad de los puntos 0 y 1 en R.

Subconjuntos abiertos del eje real

Los intervalos de forma (a, b) son abiertos en R. Los semiejes (a,∞)y (−∞, b) tambien lo son. Para simplificar la notacion vamos a tratarlos semiejes como intervalos. Por Teorema 4.1.1.1 la union de cualquiernumero de intervalos abiertos es tambien un abierto. Sin embargo, cuando(a, b) ∩ (c, d) 6= ∅, la union de estos dos intervalos es tambien un intervalosolo que en general mas grande. Unicamente tomando uniones de intervalosmutuamente ajenos obtenemos conjuntos que no sean intervalos. Resulta quecada conjunto abierto en R puede representarse como una union numerablede intervalos mutauamente ajenos:

Teorema 4.1.2 Sea ∅ 6= O ⊂ R un conjunto abierto en R. Entoncesexisten Ii = (ai, bi) ⊂ R, i = 1, 2, 3 . . . , tales que Ii ∩ Ij = ∅ para i 6= j yO =

⋃i∈N Ii.

Demostracion Si O es abierto en R y no vacıo, entonces contiene algunintervalo (a, b). Este intervalo contiene un numero racional. Fijemos x ∈Q ∩ (a, b) y sean

ax = inf{c ∈ R| (c, b) ⊂ O}, bx = sup{d ∈ R| (a, d) ⊂ O}.

63

En estas formulas admitimos los valores ax = −∞ y bx = ∞ cuando losconjuntos en cuestion no son inferiormente (resp., superiormente) acotados.Entonces (ax, b) ⊂ O, (a, bx) ⊂ O y por lo tanto Ix = (ax, bx) ⊂ O. Por otrolado este intervalo no esta contenido en ningun intervalo que sea subconjuntode O.

Si x, y ∈ Q∩O y Ix∩Iy 6= ∅, entonces Ix∪Iy ⊂ O es un intervalo abiertoque contiene x y y. Esto implica Ix = Iy, porque cada uno de estos intervaloses maximal en O. La familia de los intervalos de forma Ix, x ∈ Q ∩ O esnumerable porque Q es numerable. Existe entonces una funcion N 3 i → xi

tal que para Ii = Ixise cumple O =

⋃i∈N Ii.

¤Teorema 4.1.3 Si O1, O2 son conjuntos abiertos en R tales queR = O1 ∪O2 y O1 ∩O2 = ∅ entonces uno de estos conjuntos es vacıo.

Demostracion Supongamos que ninguno de los conjuntos O1, O2 es vacıo.Sea x ∈ O1, y ∈ O2 y x < y. El conjunto O1 ∩ (−∞, y) tampoco es vacıoporque contiene a x. Sea s = sup O1 ∩ (−∞, y). Siendo O2 abierto, existeε > 0 tal que (y − ε, y + ε) ⊂ O2, entonces s < y. Por la misma razon, sis ∈ O2, entonces un intervalo de forma (s − ε, s + ε) esta contenido en O2.Esto contradice la definicion de s como del supremo de unos elementos deO1.

Queda unicamente la posibilidad de que s ∈ O1. Sin embargo, en estecaso existe ε > 0 tal que (s − ε, s + ε) ⊂ O1. Obtenemos que s + ε/2 < yy s + ε/2 ∈ O1. Resulta que s no mayoriza a todos los elementos deO1 ∩ (−∞, y), contrario a su definicion. Esta contradiccion demuestra queO1 ∩O2 = ∅.

¤La propiedad del eje real que acabamos de demostrar se llama la conex-

idad. Un conjunto X ⊂ R es conexo si no se puede descomponer en uniondisjunta de dos subconjuntos no vacıos y abiertos en X.

Los intervalos son tambien conjuntos conexos.Teorema 4.1.4 Cada intervalo [a, b] ⊂ R es conexo.

Demostracion Supongamos que [a, b] = O1∪O2, donde ambos conjuntosson abiertos en [a, b] y O1 ∩O2 = ∅. Si a, b ∈ O1 definimos O1 = (−∞, a) ∪O1 ∪ (b,∞) y O2 = O2. Obtenemos dos conjuntos abiertos en R, disjuntosy tales que R = O1 ∪ O2. Por el teorema anterior O2 = ∅. Si a ∈ O1,b ∈ O2 construimos conjuntos O1 = (−∞, a)∪O1 y O2 = O2 ∪ (b,∞). Estos

64

conjuntos son disjuntos, abiertos y llenan R. Nuevamente obtenemos queuno de ellos es vacıo.

¤

4.2 Conjuntos cerrados. La cerradura

Definicion Sea X ⊂ R y sea A ⊂ X. Decimos que A es cerrado en Xcuando X \ A es abierto en X.

Las propiedades canonicas de los conjuntos cerrados se pueden deducirinmediatamente del Teorema 4.1.1 aplicando las formulas de Morgan.

Teorema 4.2.1 Sea X ⊂ R.

1. Si Aι, ι ∈ I son subconjuntos cerrados de X, entonces⋂

ι∈I Aι es cerradoen X.

2. Si Ai, 1 ≤ i ≤ n son cerrados en X entonces⋃n

i=1 Ai es cerrado en X.

3. X y ∅ son cerrados en X.

Demostracion 1. Sabemos por la suposicion que Oι = X \ Aι, ι ∈ I sonconjuntos abiertos. Por Teorema 4.1.1.1 O =

⋃ι∈I Oι es un conjunto abierto

y por lo tanto X \O es cerrado. Entonces

⋂

ι∈I

Aι =⋂

ι∈I

(X \Oι) = X \(⋃

ι∈I

Oι

)= X \O

es cerrado.2. Denotemos Oi = X \Ai. Por Teorema 4.1.1.2 y la segunda formula de

Morgan obtenemos:

n⋃

i=1

Ai =n⋃

i=1

(X \Oi) = X \(

n⋂

i=1

Oi

).

Este conjunto es cerrado como el complemento de un abierto.3. X es cerrado como el complemento del abierto ∅ y al revez.¤

65

Ejemplos

1. Los intervalos [a, b] y semiejes (−∞, b], [a,∞) son conjuntos cerradosen R, porque sus complementos son respectivamente (−∞, a)∪ (b,∞),(b,∞), (−∞, a) y estos conjuntos son abiertos.

2. En los espacios N y { 1n| n ∈ N} todos los conjuntos son abiertos,

entonces tambien todos los conjuntos son cerrados.

3. En el espacio X = [0, 1) el conjunto [12, 1) es cerrado.

4. En el espacio X = (0, 1] el conjunto { 1n| n ∈ N} es cerrado, porque su

complemento

X \ A = (1

2, 1) ∪ (

1

3,1

2) ∪ (

1

4,1

3) ∪ . . .

es abierto como union de intervalos abiertos.

Segun la definicion, A ⊂ X es cerrado en X si y solo si su complementoen X es abierto. Por lo tanto O ⊂ X es abierto en X si y solo si X \ O escerrado en X. Parece que estamos unicamente jugando con la terminologıa.Esta impresion equivocada se desvanece gracias a los resultados que sigueny que describen los conjuntos cerrados en otros terminos. Al mismo tiempoesta caracterizacion nueva de los conjuntos cerrados aportara tambien infor-maciones sobre los conjuntos abiertos.

Teorema 4.2.2 Un conjunto A ⊂ X ⊂ R es cerrado en X si y solo si

∀an ∈ A, a = limn→∞ an ∈ X ⇒ a ∈ A.

Demostracion ⇒ Supongamos que A es cerrado en X y que la segundapropiedad no es valida. Existe entonces una sucesion convergente (an) talque an ∈ A, pero su lımite a pertenece a X \A. Sin embargo por suposicionX \ A es abierto y existe ε > 0 tal que

(a− ε, a + ε) ∩X ⊂ X \ A.

Entonces no existe ningun elemento an ∈ A que satisfaga |a − an| < ε. Lasucesion (an) no converge al punto a. Obtenemos una contradiccion quetermina la primera parte de la demostracion.

66

⇐ Ahora suponemos que la segunda condicion se cumple y que A no escerrado, es decir X \A no es abierto. Existe entonces a ∈ X \A tal que paratodo ε > 0 el intervalo (a − ε, a + ε) contiene un elemento de A. Para cadan ∈ N existe entonces an ∈ A tal que |an−a| < 1

n. La sucesion (an) converge

a a ∈ X, pero a 6∈ A. Obtuvimos nuevamente una contradiccion que terminala demostracion.

¤Definicion Sea A ⊂ X ⊂ R. El conjunto

A = {x ∈ X| ∀ε > 0 A ∩ (x− ε, x + ε) 6= ∅}se llama la cerradura de A en X.

Las propiedades de la cerradura que damos a continuacion nos llevaran aotra definicion de A.

Teorema 4.2.3 Sea A ⊂ X ⊂ R.

1. A ⊂ A.

2. A es cerrado en X.

3. A es cerrado en X si y solo si A = A.

4. Si A ⊂ B y B es cerrado en X, entonces A ⊂ B.

Demostracion La primera afirmacion es obvia. Pasamos a la demostracionde que A es cerrado. Es suficiente ver que X \ A es abierto en X. Seax ∈ X \A. Por la definicion de la cerradura existe ε > 0 tal que (x− ε, x+ ε)no contiene elementos de A, entonces tampoco tiene elementos de A. Obten-emos que (x−ε, x+ε)∩X ⊂ X \A. El complemento de A en X sı es abierto.La cerradura es cerrada.

3. Si A es cerrado entonces X \ A es abierto y tiene la propiedad:∀x ∈ X \ A ∃ε > 0, (x− ε, x + ε) no contiene elementos de A.

Ningun elemento de X \ A pertenece a A. Entonces A = A.Por otro lado, si A = A, entonces por inciso 2 A es cerrado.4. Directamente por la definicion es obvio que A ⊂ B implica A ⊂ B. B

es cerrado, entonces por el resultado probado en inciso 3 B = B. ObtenemosA ⊂ B. ¤

Los resultados del ultimo teorema conducen a las siguientes descripcionesde la cerradura:

67

Corolario 4.2.4 1. A es el conjunto cerrado mas pequeno que contiene A.2. A es la interseccion de todos los conjuntos cerrados que contienen A.

Existe otra caracterıstica de la cerradura que utiliza el concepto del puntode acumulacion de un conjunto.

Definicion Sea A ⊂ X y sea x ∈ X. Decimos que x es un punto deacumulacion de A si existe una sucesion (an) tal que an 6= x, an ∈ A ylimn→∞ an = x. Si a ∈ A no es un punto de acumulacion de A, decimos quea es aislado.

Teorema 4.2.5 La cerradura de A en X consta de A y de todos los puntosde acumulacion de A en X.

Demostracion Sea A′ el conjunto que consta de A y de todos los puntosde acumulacion de A. Si x ∈ X y x 6∈ A′ entonces existe ε > 0 tal que elintervalo (x− ε, x + ε) no contiene ningun elemento de A. Entonces x 6∈ A.

Ası hemos demostrado que X \ A′ ⊂ X \ A, entonces A ⊂ A′. Lacontension opuesta es obvia por la definicion de la cerradura.

¤Corolario 4.2.6 Sea A un conjunto cerrado en R. Si A acotado supe-riormente, entonces sup A ∈ A. Si A es acotado inferiormente entoncesinf A ∈ A.

Demostracion Sea s = sup A. Para todo n ∈ N existe an ∈ A tal que

s− an <1

n. Tenemos entonces an → s. A es cerrado entonces s ∈ A.

La demostracion en el caso de un conjunto inferiormente acotado esanaloga.

¤Ejemplos

1. Sea X = Q. El conjunto A = {q ∈ Q| − 1 < q < 1} es abierto.Su cerradura es igual a {q ∈ Q| − 1 ≤ q ≤ 1}. El conjuntoB = {q ∈ Q| − √

2 < q <√

2} es abierto y al mismo tiempo escerrado en Q. En cambio el conjunto C = {q ∈ Q| − 1 ≤ q < 1} no esni abierto ni tampoco cerrado. D = {q ∈ Q| −1 ≤ q <

√2} es cerrado

y no es abierto. Todos los puntos de Q son sus puntos de acumulacion.Los espacios que tienen esta propiedad se llaman perfectos. Los espacosQ y R son ejemplos de espacios perfectos.

68

2. Sea X = R y sea (an) una sucesion real acotada. Denotemos por A elconjunto de los valores de la sucesion: A = {an| n ∈ N}. Los puntos deacumulacion de A son puntos lımite de la sucesion (an). La union deA y del conjunto de los puntos lımite de (an) es la cerradura de A. Notodos los puntos lımite de (an) son puntos de acumulacion de A. Unpunto aislado a ∈ A puede ser un punto lımite de la sucesion si existeuna subsucesion constante ank

= a. Si la sucesion (an) es convergenteentonces A tiene a lo mas un punto de acumulacion. Sin embargo unasucesion constante es convergente y su conjunto de valores no tieneningun punto de acumulacion.

Como sabemos Q es un espacio numerable. Existe entonces unasucesion an ∈ Q tal que su conjunto de valores coincide con Q. Lacerradura de Q en R es todo R.

3. Demostraremos la formula: A ∪B = A ∪B.Las contensiones A ⊂ A ∪B y B ⊂ A ∪B son obvias y obtenemosA ∪B ⊂ A ∪B.

Sabemos que A∪B ⊂ A∪B y por lo tanto A ∪B ⊂ A ∪B. Sin embargo

A, B son cerrados y su union es cerrada, entonces A ∪B = A ∪ B.Obtenemos A ∪B ⊂ A ∪B.

La igualdad esta demostrada.

4.3 Conjuntos compactos

Los subconjuntos de R que son cerrados y acotados se llaman compactos. Estadefinicion es muy breve y sencilla. Sin embargo, existe otra caracterıstica deestos conjuntos que, aunque indudablemente mas complicada, resulta muyutil para el estudio de las funciones continuas sobre los conjuntos compactos.Ademas esta nueva descripcion de los compactos en R es mas adecuada paraextender el concepto del conjunto compacto a otros espacios.

Teorema 4.3.1 (Teorema de Heine-Borel) Un subconjunto K ⊂ R escompacto si y solo si

∀ xn ∈ K ∃ xnk, x ∈ K, lim

k→∞xnk

= x.

Demostracion Sea K compacto y sean xn ∈ K. Debemos mostrar queuno de los puntos lımite de la sucesion pertenece a K. La sucesion es acotada,

69

entonces tiene por lo menos un punto lımite x. Este punto pertenece a K.Nuestro K es cerrado y por lo tanto x ∈ K = K. Los conjuntos compactostienen la propiedad enunciada en el teorema.

Ahora supongamos que K tiene aquella propiedad. Queremos probar queK es acotado y cerrado.

Supongamos que K no es acotado. Para cada N ∈ R existe x ∈ K tal que|x| > N . Construimos una sucesion inductivamente. Sea x1 ∈ K arbitrario.Sea x2 ∈ K tal que |x2| > |x1| + 1. Dado xn ∈ K tal que |xn| > |xn−1| + 1encontramos xn+1 ∈ K tal que |xn+1| > |xn| + 1. La sucesion construida deesta manera satisface |xn−xm| > n−m. para n > m. Esta sucesion no tieneningun punto lımite. Obtuvimos una contradiccion. Entonces K es acotado.

Supongamos que K no es cerrado. No es entonces igual a su cerradura.Existe x 6∈ K que es un punto de acumulacion de K. Existen xn ∈ K talesque limn→∞ xn = x. Sin embargo cada subsucesion de (xn) converge tambienal mismo x que no pertenece a K. Nuevamente obtenemos una contradiccionque demuestra que K es cerrado.

¤Cuando tenemos en R una familia descendiente de conjuntos no vacıos

An+1 ⊂ An, entonces puede suceder que⋂

n∈NAn = ∅. Como ejemplopodemos tomar An = [n,∞) o A′

n = (0, 1n]. Resulta que esto no puede

suceder cuando los conjuntos son compactos.

Teorema 4.3.2 Sean ∅ 6= Kn ⊂ R conjuntos compactos y sea Kn+1 ⊂ Kn

para todo n ∈ N. Entonces⋂

n∈NKn 6= ∅. Este conjunto es compacto.

Demostracion De cada conjunto Kn seleccionamos un elemento xn. Enparticular xn ∈ K1 para todo n. El conjunto K1 es compacto. La sucesion(xn) tiene una subsucesion (xnk

) convergente y limk→∞ xnk= x ∈ K1. Sin

embargo para cada n existe mn tal que para k > mn xnk∈ Kn. Entonces

x ∈ Kn, porque cada Kn es cerrado. Finalmente x ∈ ⋂n∈NKn.

La interseccion es cerrada como interseccion de conjuntos cerrados y esobviamente acotada. Entonces es compacta.

¤Ejemplos

Los intervalos con extremos [a, b] y sus uniones son conjuntos compactos.El hecho de que un intervalo [a, b] tiene la propiedad descrita por Teoremade Heine-Borel lleva el nombre de Teorema de Bolzano-Weierstrass.

70

Tambien los conjuntos finitos son compactos. Si limn→∞ xn = x, entoncesel conjunto {xn| n ∈ N} ∪ {x} es compacto. He aquı un ejemplo de conjuntocompacto que no es numerable y no se puede representar como union deintervalos.

Conjunto de Cantor

Sea I1 = [0, 1],

I2 = [1, 13] ∪ [2

3, 1],

I3 = [0, 19] ∪ [2

9, 1

3] ∪ [2

3, 7

9] ∪ [8

9, 1].

Continuando ası se obtiene como Ik una union de 2k intervalos de longitud13k cada uno. El conjunto Ik+1 se obtiene de Ik quitando del medio de cadauno de los 2k componentes de Ik un intervalo abierto de longitud 1

3k+1 .

Los conjuntos Ik son compactos y forman una familia descendiente. Suinterseccion C no es vacıa porque en particular todos los puntos extremos decada intervalo que forma parte de cada Ik pertenece a la interseccion. Esteconjunto se llama el conjunto de Cantor. Es compacto. Su caracteristicainteresante es que no contiene ningun intervalo. Sin embargo no es tan”menudo” como parece. Se puede demostrar que tiene la cardinal igual ala del intervalo [0, 1].

Utilizando el ultimo teorema vamos a probar que a diferencia del espaciode los numeros racionales el eje real no es un conjunto numerable. Obvia-mente es suficiente demostrar que un intervalo [a, b] ⊂ R no es numerable.

Teorema 4.3.3 Un intervalo [a, b] no trivial en R no es numerable.

Demostracion Supongamos que el intervalo es numerable y que la sucesion{x1, x2, . . . } contiene a todos los elementos de [a, b]. Construimos inductiva-mente una sucesion de intervalos. Sea I1 ⊂ [a, b] cualquier intervalo cerradoque no contiene el elemento x1. Como I2 tomamos un subintervalo cerradode I2 que no contiene x2. Dados los intervalos I1, I2, . . . , In definimos comoIn+1 cualquier intervalo contenido en In que no contiene xn+1.

Por Theorema 4.3.2 la parte comun de estos intervalos⋂∞

n=1 In contienepor lo menos un elemento x ∈ [a, b]. Existe i tal que x = xi. Esto sinembargo es una contradiccion porque xi 6∈ Ii.

¤

71

Una vez mas vemos que el espacio R \Q es ”muy grande”.


1. Sea X = {0, 1, 12, 1

3. . . }. Describir todos los conjuntos abiertos y cerra-

dos en X.

2. Describe la cerradura en R del conjunto

A ={(−1)n

(2 + (−1)n 3

n

)| n ∈ N

}.

3. Sea A el conjunto definido en el ejercicio anterior y sea X = A ∪ {2}.Describir los conjuntos abiertos y cerrados en X.

4. Sea O ⊂ X ⊂ R. Demueste que, si O es abierto en R, entonces esabierto en X.

5. Sea O ⊂ X ⊂ R. Demuestre que O es abierto en X si y solo si en Rexiste un abierto U tal que O = U ∩X.

6. Demuestre que si los conjuntos Vι, ι ∈ I son vecindades de x ∈ X,entonces:

(a)⋃

ι∈I Vι es una vecindad de x,

(b)⋂k

n=1 Vιn es una vecindad de x.

7. Sea X = (−∞,−1) ∪ [1, 2]. Construya los subconjuntos Ai ⊂ X talesque:

a) A1 es cerrado en X, abierto en X, no compacto.

b) A2 es abierto en X y compacto.

c) A3 es cerrado en X, no abierto en X, no compacto.

8. Demuestre que los conjuntos (−∞, a], (b, a), (b, a] son conexos.

9. Demostrar que el conjunto de los puntos lımite de una sucesion escerrado.

10. Demostrar las formulas y encontrar los ejemplos que demuestren quelas contensiones opuestas no son validas:

72

(a) A ∩B ⊂ A ∩B

(b)⋃

n∈NAn ⊂ ⋃n∈NAn.

11. Demuestre que ademas de R y ∅ no existen en R subconjuntos que sonabietros y cerrados al mismo tiempo.

12. Sea A ⊂ X ⊂ R. Demuestre que A = {x ∈ X| infy∈A |x− y| = 0}.13. Demuestre que, si Kn, n = 1, 2, . . . , k son conjuntos compactos, en-

toncesk⋃

n=1

Kn es compacto. Encuente un ejemplo de una familia nu-

merable Cn de conjuntos compactos, tal quek⋃

n=1

Cn no sea compacto.

14. Denotemos por O, C, K y S las afirmaciones ”es abierto en X”, ”escerrado en X”, ”es compacto” y ”es conexo”, respectivamente y porO′, C ′, K ′ y S ′ sus negaciones. Formando todas las combinaciones deestas propiedades podemos definir 16 clases de conjuntos. Por ejemplo,para X ⊂ R, la afirmacion: A − OC ′KS ′ quiere decir A es abierto enX, no es cerrado en X, es compacto, no es conexo. Para cada uno delos espacios

(a) X = R \ N,

(b) X = {0, 12, 1

3, 1

4, . . . },

(c) X = [0, 1),

(d) X = (0,∞),

(e) X = [−3,−2) ∪ (−1, 0) ∪ {0, 12, 1

3, 1

4, . . . }.

encuentre (si es posible) los ejemplos de cada clase de conjuntos.

15. Describir todos los subconjuntos compactos de Z.

16. Demueste que cada dos de las tres sigiuentes propiedades implican latercera:

(a) X es compacto,

(b) X es finito,

(c) Cada subconjunto es abierto en X.

17. Demuestre que el espacio R \Q no es numerable.

Chapter 5

Funciones continuas

La continuidad de funciones es una herramienta muy fuerte del analisismatematico. Si una funcion es continua en X ⊂ R, entonces su compor-tamiento en un conjunto A ⊂ X determina sus valores en todos los puntos dela cerradura A. Despues de haber estudiado los conjuntos abiertos, cerradosy compactos pasamos al estudio de funciones continuas sobre subconjuntosX ⊂ R.

Para hacer justicia a los que se lo merecen debemos aclarar que el con-cepto de la continuidad rigurosamente formulado aparece por primera vez enun trabajo de Bernhard Bolzano, un matematico y filosofo de procedenciaitaliana, que sin embargo nacio y paso toda la vida en Praga escribiendotrabajos en el idioma aleman. De acuerdo con los costumbres de aquellostiempos el tıtulo de su artıculo publicado en 1817 contiene el resultado prin-cipal del trabajo:

Si una funcion continua alcanza en un extremo del intervalo un valornegativo y en otro extremo un valor positivo, entonces en algun punto delintervalo tiene que tomar el valor nulo.

Se trata entonces del teorema de valor intermedio (Teorema 5.4.7 enestas notas) en algunos paises llamado injustamente teorema de Darboux.Lo importante es que el artıculo de Bolzano contiene una definicion de lacontinuidad absolutamente satisfactoria de punto de vista contemporaneo.

Sin embargo el trabajo de Bolzano fue olvidado y sacado a la luz despuesde 50 anos, cuando el mundo matematico ya consideraba a Cauchy el padrede la rigurosidad en analisis matematico a base de sus trabajos publicadosen los anos 1821, 1823 y 1829. Y ası quedo.

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74

5.1 Continuidad en un punto

En esta seccion damos dos definiciones de la continuidad pertenecientes aCauchy y a Heine, respectivamente y demostramos su equivalencia.

Recordemos primero unos terminos relacionados con el estudio de lasfunciones. Sea X ⊂ R y sea f : X → R una funcion. El conjunto f(X) ={f(x)| x ∈ X} se llama el rango o la imagen de la funcion f . La preimageno la imagen inversa de un conjunto Y ⊂ R se define como f−1(Y ) = {x ∈X| f(x) ∈ Y }.Definicion 1 Sea f : X → R una funcion y sea x ∈ X. La funcion f escontinua en x si

∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀y ∈ X |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε.

Esta defincion se puede interpretar de la manera siguiente: Para cualquierintervalo de forma I = (f(x)− ε, f(x)+ ε) su imagen inversa f−1(I) contieneun intervalo de forma (x− δ, x + δ) ∩X.

Usando el concepto de la vecindad podemos expresarlo en forma massencilla: La imagen inversa de un conjunto abierto que contiene f(x) es unavecindad de x.

Esta definicion pertenece a Cauchy, quien es el autor del ”metodo ε− δ”en matematicas. Es muy util para manejar las propiedades teoricas de lasfunciones continuas. Cuando se trata de estudiar la contnuidad de funcionesconcretas, muchas veces resulta mas conveniente el metodo de Heine llamadola continuidad secuencial.

Definicion 2 f : X → R una funcion y sea x ∈ X. La funcion f escontinua en x si para cada sucesion (xn) en X tal que limn→∞ xn = x secumple limn→∞ f(xn) = f(x).

A diferencia de la primera definicion la segunda determina un proced-imiento muy concreto para el estudio de la continuidad: tomar las sucesionesxn → x e investigar que pasa con los valores f(xn).

Teorema 5.1.1 Definicion 1 es equivalente a Definicion 2.

Demostracion ⇒ Suponemos que f es continua en el sentido de Cauchy.Sea xn → x, sea ε > 0 y sea δ > 0 tal que |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| <ε. Existe N tal que para n > N tenemos |xn − x| < δ y por lo tanto|f(xn)− f(x)| < ε. La convergencia f(xn) → f(x) esta probada.

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⇐ Supongamos ahora que la funcion f es continua en el sentido deDefinicion 2 y que no es contınua en sentido de Cauchy. Existe entoncesε > 0 tal que para todo n ∈ N existe xn ∈ X que cumple |x − xn| < 1

ny

sin embargo |f(x) − f(xn)| ≥ ε. Obtuvimos xn → x tal que f(xn) 6→ f(x)a pesar de nuestra suposicion. La contradiccion significa que la continuidadsecuencial implica la continuidad de Cauchy.

¤Para dominar bien el concepto de la continuidad debemos estar concientes

que significa la discontinuidad de una funcion. Utilizando la definicion deCauchy obtenemos el siguiente criterio:Una funcion f : X → R es discontinua en x ∈ X si y solo si

∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃y ∈ X, |x− y| < δ y |f(y)− f(x)| > ε.

De acuerdo con Teorema 5.1.1 esta condicion es equivalente a la que sigue:

∃yn → x f(yn) 6→ f(x).

La ultima condicion es aparentemente mas sencilla, pero en forma desarrol-lada significa que

∃yn → x, ∃ ε > 0 ∀N ∈ N ∃n > N |f(yn)− f(x)| > ε.

El estudio de la continuidad a base de cualquiera de las definiciones no essencillo. Ası como en el caso de las sucesiones vamos a demostrar un teoremasobre las operaciones algebraicas que conservan la continuidad. Primerorecordemas las definiciones de la suma, producto y cociente de funciones:

• f + αg(x) = f(x) + αg(x),

• fg(x) = f(x)g(x),

• f

g(x) =

f(x)

g(x).

Teorema 5.1.2 Sean f, g : X → R funciones continuas en x ∈ X y seaα ∈ R. Entonces las funciones f + αg, fg son continuas en x. Si g no se

anula en alguna vecindad de x entoncesf

ges continua en x.

Demostracion Este resultado se obtiene mas facil usando la definicion deHeine. Supongamos que yn → x. Por suposicion sabemos que f(yn) → f(x) y

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g(yn) → g(x). Si ademas g no se anula en algun intervalo de forma (x−ε, x+ε)entonces g(x) 6= 0 y g(yn) 6= 0 para n suficientemente grandes. La afirmacionse obtiene aplicando Teorema 2.2.3.

¤Gran numero de funciones se obtiene superponiendo varias funciones mas

sencillas. El hecho de que la superposicion conserva la continuidad es unhecho muy importante.

Teorema 5.1.3 Sea f : X → Y ⊂ R y sea g : Y → R. Si f es continua enx y g es continua en f(x) entonces la funcion f ◦ g(x) = f(g(x)) es continuaen x.

Demostracion Nuevamente la definicion de Heine proporciona una de-mostracion inmediata. Sea xn → x. Entonces f(xn) → f(x) por la con-tinuidad de f . La funcion g es continua en f(x), entonces f ◦ g(xn) =g(f(xn)) → g(f(x)) = f ◦ g(x).

¤Ejemplos

1. Todos los polinomios p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0 sonfunciones continuas en todos los puntos del eje real. Las funciones

racionales R(x) =p(x)

q(x)(p, q son polinomios), son continuas en los

puntos, donde q(x) 6= 0.

2. Demostraremos la continuidad de sen x y cos x usando las siguientespropiedades de estas funciones:1. |sen x| < |x|,2. sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y3. cos(x + y) = cos x cos y − sen xsen y,4. sen2x + cos2 x = 1.

En principio demostramos la continuidad de ambas funciones en cero.Si xn → 0 entonces sen xn → 0 = sen 0, por la formula 1, lo que de-muestra la continuidad de sen x en cero. Formula 4 implica entoncescos xn → ±1. Sin embargo cos x es positivo en (−π/2, π/2) y obten-emos cos xn → 1 = cos 0. La funcion cos x es tambien continua en cero.Ahora, cuando xn → x obtenemos

sen(x + xn) = sen x cos xn + cos xn sen x → sen x.

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La funcion sen x es continua en todas partes. Formula 4 implica lacontinuidad de la funcion cos x en todas partes.

3. Mas adelante vamos a demostrar un teorema general sobre la con-tinuidad de funciones inversas. Por el momento demostraremos lacontinuidad de la raız cuadrada en cada punto del semieje R+. Seax ∈ R+. Para demostrar que la funcion R+ 3 x → x1/2 es continua enx debemos verificar que

∀ε > 0 ∃ δ > 0, |x− y| < δ ⇒ |x1/2 − y1/2| < ε.

Aprovechamos la formula (x1/2− y1/2)(x1/2 + y1/2) = x− y que implica

|x1/2 − y1/2| = |x− y|x1/2 + y1/2

≤ |x− y|x−1/2.

Si para ε > 0 dado escogemos δ = εx1/2 y y tal que |x − y| ≤ δ,obtenemos: |x1/2−y1/2| < |x−y|x−1/2 < ε y ası cumplimos con nuestroproposito.

4. La funcion f(x) =1

xesta definida en R∗ = R \ {0} y por la ultima

afirmacion de Teorema 5.1.2 es continua en este dominio. Sin embargovamos a demostrar el mismo hecho directamente por la definicionporque esta experiencia nos prepara bien para abordar el tema de lacontinuidad uniforme.

Fijamos x 6= 0 y ε > 0. Sea y tal que |y| > |x|/2. Esta condicionasegura que f esta definida en todo intervalo que une los puntos x y y.Tenemos

|f(x)− f(y)| =∣∣∣∣∣1

x− 1

y

∣∣∣∣∣ =|x− y||xy| ≤ |x− y|

|x|2 .

Cuando |x| es muy pequeno y |x|−2 alcanza valores grandes, necesita-mos valores de |x − y| muy pequenos para cumplir con la condicion|f(x) − f(y)| < ε. Concretamente debemos elegir δ menor o igual aε|x|2 para alcanzar el proposito. Se puede decir que acercandonos conx a cero cada vez mas dificil es encontrar δ adecuada. No existe el valorδ que sirva para obtener la implicacion |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| entodos los puntos del dominio.

Tenemos un ejemplo de una funcion continua que no es uniformementecontinua.

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5.2 Continuidad uniforme

En general la continuidad de una funcion en algun punto x de su dominiosignifica que controlando los incrementos del argumento cerca de x podemoscontrolar los incrementos de la funcion. Como hemos visto en el ultimoejemplo de la seccion anterior en algunos puntos aquellos incrementos puedenser mas faciles, en otros mas difıciles de controlar.

La continuidad uniforme de una funcion significa que la funcion no solo escontinua, sino que el control de sus incrementos es global, es decir no dependedel punto x.

Definicion Una funcion X 3 x → f(x) ∈ R es uniformemente continua si

∀ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x, y ∈ X |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε.

Pronto vamos a demostrar teoremas fuertes sobre la continuidad uni-forme. En este momento nos dedicamos principalmente a los ejemplos quedemuestren la diferencia entre la continuidad uniforme y la ”ordinaria”.

Negando la afirmacion ”f es uniformemente continua” obtenemos la sigu-iente propiedad:

∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x, y ∈ X, |x− y| < δ, |f(x)− f(y)| > 0.

Ejemplos

1. Volvamos a la funcion1

x. Sea ε = 2 y sea δ > 0 arbitrario. En el caso

de δ ≥ 1 podemos tomar x = 1/4 y y = 1 obteniendo |x− y| = 3/4 < δy |f(x)− f(y)| = 4− 1 > 2.

Para δ < 1 tomemos x = δ y y = δ/3. Entonces |x − y| < δ pero

|f(x) − f(y)| =3

δ− 1

δ=

2

δ> 2. La funcion

1

xno es uniformemente

continua, aunque sı, es continua en todos los puntos de su dominio R∗.

2. Sea f(x) =sen1

x. Esta funcion esta definida en el mismo dominio R∗

y es continua como composicion de dos funciones continuas. Ademases acotada. En el semieje positivo alcanza zero en los puntos x que

satisfacen la condicion1

x= nπ, es decir para xn =

1

nπ, n ∈ N. El

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valor 1 alcanza esta funcion en los puntos que satisfacen la ecuacion1

y=

π

2+ 2nπ, entonces yn =

1π2

+ 2nπ. Obtenemos

x2n − yn =1

2nπ− 1

π2

+ 2nπ=

1

4n(π2

+ 2nπ).

Para cualquier δ > 0 podemos encontrar n tal que x2n−yn < δ mientrasque |f(x2n)− f(yn)| = 1. Esta funcion no es uniformemente continua.

3. La funcion f(x) = x2 esta definida en todo eje real y es continua. Sin

embargo para δ > 0 arbitrario podemos tomar x =1

δy y = x + δ/2.

Entonces y − x = δ/2, mientras que

f(y)− f(x) = (1

δ+

δ

2)2 − 1

δ2= 1 +

1

δ2> 1.

La funcion x2 tampoco es uniformemente continua.

5.3 Discontinuidades. Lımites de la funcion

en un punto

Las discontinuidades de una funcion pueden ser de varios tipos. El conceptodel lımite de una funcion en un punto ayuda estudiar su continuidad y sila ultima no tiene lugar, permite caracterizar ”que tan discontinua” es lafuncion.

Definicion Sea f : X → R y sea x0 ∈ X, donde la barra significa lacerradura de X en R. Decimos que a ∈ R es el lımite izquierdo (resp.derecho) de la funcion f en x0 cuando para toda sucesion X 3 xn → x0 talque xn < x0 (resp. xn > x0)

limn→∞ f(xn) = a.

El lımite izquierdo de f en x0 se denota por limx→x0−

f(x) y el lımite derecho

se denota por limx→x0+

f(x).

Cuando limx→x0−

f(x) = limx→x0+

f(x) = a, decimos que la funcion f tiene en

x0 lımite a y lo denotamos limx→x0

f(x) = a.

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El concepto del lımite de una funcion en un punto esta relacionadoestrechamente con la continuidad de la funcion en dicho punto.

Sea f una definida en X y sea x0 ∈ X. En el conjunto X1 = ({x0} ∪X)∩(−∞, x0] definamos la funcion

f1(x) =

{f(x) x ∈ X ∩ (−∞, x0),a x = x0.

Por la definicion de Heine de la continuidad, vemos inmediatamente quelim

x→x0−f(x) = a existe si y solo si la funcion f1 es continua en x0. Razonando

de la misma manera obtenemos tambien que limx→x0+

f(x) = a si y solo si es

continua la funcion

f2(x) =

{f(x) x ∈ X ∩ (x0,∞),a x = x0.

Aplicando la definicion de Cauchy obtenemos inmediatamente:

Teorema 5.3.1 Sea f : X → R y sea x0 ∈ X. Entonceslim

x→x0−f(x) = a (resp. lim

x→x0+f(x) = a) si y solo si

∀ ε > 0 ∃ δ ∀x ∈ X, x < x0 (x > x0) |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− a| < ε.

De aquı se sigue:

Teorema 5.3.2 Sea f : X → R y sea x0 ∈ X. La funcion f es continuaen x0 si y solo si

limx→x0

f(x) = f(x0).

Por otro lado, si f tiene el lımite en x0 ∈ X, donde x0 6∈ X, existe laposibilidad de extender la funcion sobre X∪{x0} de tal manera que la funcionextendida sea continua en x0. Con este fin ponemos:

f(x) =

{f(x) x ∈ X,lim

x→x0f(x), x = x0.

Ejemplos

1. La funcion

f(x) =

{−|x + 1| x ≤ 0,

x + 1 x > 0.

esta definida en todo R y es continua en R \ {0}. Su lımite izquierdoexiste y es igual a −1, mientras que el lımite derecho es igual a 1. Lafuncion tiene discontinuidad en 0.

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2. Sea f(x) = sen1

x. El dominio de esta funcion es X = R \ {0}. Como

sabemos esta funcion toma valores 0 en los puntos de forma xn =1

πn

y los valores 1 en los puntos yn =1

12

+ 2nπ. Ambas sucesiones son pos-

itivas, convergen a cero y sin embargo limn→∞ f(xn) 6= limn→∞ f(yn).La funcion f no tiene lımite derecho en 0. Como f(−x) = −f(x),tampoco existe el lımite izquierdo.

3. Sea f una funcion monotona creciente en [a, b]. Para x ∈ [a, b] de-notemos fl(x) = supy<x f(y) y fr(x) = infy>x f(y). Por la monotonıade la funcion tenemos f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) para x arbitrario, entoncesfl(x), fr(x) existen para a < x < b. Por la misma definicion tenemosfl(x) ≤ f(x) ≤ fr(x).

Sean xn < x y xn → x y sea ε > 0. Existe x0 < x tal quefl(x) − f(x0) < ε. Existe N tal que para n > N se tiene xn > x0 ypor la monotonıa de la funcion fl(x)− f(xn) < ε. Obtenemos entonceslimn→∞ f(xn) = fl(x) y por consiguiente limy→x− f(y) = fl(x).

En forma analoga se demuestra que limy→x+ f(y) = fr(x). Resultaque cada funcion monotona creciente tiene ambos lımites laterales enel interior del dominio. En x = a existe limy→a+ f(y) y en b existelimy→b− f(y).

Una funcion monotona es continua si y solo si fl(x) = fr(x). Si f no escontinua en x el valor fr(x)− fl(x) es el ”brinco” que da la funcion enel punto x. Obviamente la suma de todos los ”brincos” de la funcionmonotona no puede superar el valor f(b) − f(a). Esta observacionpermite demostrar que cada funcion monotona en algun sentido tienemas puntos de continuidad que los puntos de discontinuidad.

Teorema 5.3.3 Si f : [a, b] → R es una funcion monotona entoncesel numero de los puntos donde f es discontinua es numerable.

Demostracion Obviamente es suficiente considerar el caso de unafuncion creciente, porque en caso de una funcion decreciente f lafuncion −f es creciente.

Para n → N definimos D(n) = {x ∈ [a, b]| fr(x) − fl(x) < 1n} y

N(n) = #D(n). C(n) es un conjunto finito, porque nD(n) < f(b) −

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f(a). Por otro lado para cada punto de discontinuidad x existe n talque x ∈ D(n). El conjunto de puntos de discontinuidad es igual aD =

⋃

n∈NC(n). Union numerable de conjuntos finitos es numerable,

entonces D es numerable. ¤

4. Aprovechando Teoremas 5.3.1 y 5.3.2 podemos formular un criteriomuy sencillo de la continuidad de funciones de forma

f(x) =

{g(x) x ∈ [a, b)h(x) x ∈ [b, c],

donde g es continua en todo [a, b] y h es continua en [b, c].

Proposicion 5.3.4 La funcion f es continua en [a, c] si y solo sig(b) = h(b).

Definicion Sea f : X → R una funcion que no es continua en y ∈X. Decimos que la discontinuidad es removible, si existe lim

x→yf(x). La

discontinuidad es de primer tipo si existen limx→y− f(x) y lim

x→y+f(x). En caso

contrario decimos que la discontinuidad es de segundo tipo.

5.4 Funciones continuas en todas partes

El hecho de que una funcion es continua en la totalidad de su dominiofacilita mucho el estudio de la funcion especialmente cuando el dominio esun intervalo. En esta seccion demostraremos los resultados mas importantessobre este tema.

Teorema 5.4.1 Sean f, g : X → R funciones continuas en X y sea α ∈ R.Entonces las funciones f + αg, fg son continuas en X. Si g no se anula en

X entoncesf

ges continua en X.

Demostracion El resultado se obtiene inmediatamente aplicando Teo-rema 5.1.2 en todos los puntos x ∈ X.

¤Denotemos por C(X) el espacio de todas las funciones continuas f : X →

R. Segun Teorema 5.4.1 C(X) provisto de la estructura de suma y multi-plicacion por numeros, es un espacio vectorial. Es tambien un algebra si le

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agregamos la estructura de la multiplicacion de funciones punto por punto.Su estructura es mas compleja. Si f es continua, entonces |f | es tambiencontinua. La demostracion de este hecho queda como ejercicio. Finalmentepodemos decir que C(X) es una latiz.

La definicion de Cauchy de la continuidad conduce a una descripcion muyinteresante de funciones globalmente continuas.

Teorema 5.4.2 Una funcion f : X → R es continua en X si y solo si paratodo abierto O ⊂ R la imagen inversa f−1(O) es conjunto abierto en X.

Demostracion Supongamos que f es continua y sea O un abierto en R.Fijemos x ∈ f−1(O). Ya que f(x) pertenece al conjunto abierto O, existeε > 0 tal que (f(x) − ε, f(x) + ε) ⊂ O. Por la continuidad de f existeδ > 0 tal que f((x − δ, x + δ)) ⊂ (f(x) − ε, f(x) + ε) ⊂ O. Resulta que(x− δ, x + δ) ⊂ f−1(O). La imagen inversa de O es un conjunto abierto.

Ahora supongamos que f−1(O) es abierto en X cuando O es abierto. Seax ∈ X. Para ε > 0 arbitrario f−1((f(x) − ε, f(x) + ε)) es abierto en Xy contiene x. Existe entonces δ > 0 tal que (x − δ, x + δ) ⊂ f−1((f(x) −ε, f(x) + ε)). La ultima contension dice exactamente que f((x− δ, x + δ)) ⊂(f(x)− ε, f(x) + ε) lo que significa la continuidad de f en x.

¤Las funciones continuas sobre compactos tienen propiedades muy impor-

tantes.

Teorema 5.4.3 Sea X un conjunto compacto en R y sea f : X → R unafuncion continua en X. Entonces f(X) = {f(x)| x ∈ X} es compacto.

Demostracion Sean yn ∈ f(X). Cada yn es de forma yn = f(xn) paraalgun xn ∈ X. El espacio X es compacto, entonces existe una subsucesionxnk

convergente a x ∈ X. Por la continuidad de f obtenemos f(xnk) →

f(x) ∈ f(X). Cada sucesion en f(X) tiene una subsucesion convergente enf(X) entonces f(X) es compacto.

¤El mismo teorema se puede expresar en la siguiente forma:

Corolario 5.4.4 Si X ⊂ R es cerrado y acotado y f : X → R es unafuncion continua, entonces f(X) es cerrado y acotado.

Obtenemos tambien los corolarios siguientes:

Corolario 5.4.5 Si X ⊂ R es cerrado y acotado y f : X → R es unafuncion continua, entonces f alcanza en X su maximo y su mınimo.

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Demostracion Sabemos que f(X) es acotado, entonces existensup f(X) y inf f(X). Ambos puntos pertenecen a f(X) porque este conjuntoes cerrado (Teorema 4.2.6). Entonces existen x1, x2 ∈ X tales que f(x1) =sup f(X) = max f(X) y f(x2) = inf f(X) = min f(X).

¤Pasamos a resultados mas profundos.

Teorema 5.4.6 Sea f una funcion continua en un espacio compacto X.Entonces f es uniformemente continua.

Demostracion Supongamos que f no es uniformemente continua. Estoquiere decir que existe ε > 0 tal que para todo n ∈ N se puede encontrar xn,yn ∈ X tales que |xn − yn| < 1

ny sin embargo |f(xn)− f(yn)| > ε. Estamos

en un espacio compacto, entonces existe x ∈ X y una subsucesion xnktal

que limk→∞ xnk= x.

Tenemos ahora: |x− ynk| = |x−xnk

+xnk− ynk

| ≤ |x−xnk|+ |xnk

− ynk|.

Ambos terminos tienden a cero cuando k → ∞, entonces limk→∞ ynk= x.

Por la continuidad de la funcion f obtenemos

limk→∞

f(xnk) = f(x) = lim

k→∞f(ynk

).

Esto no es posible si |f(xn) − f(yn)| > ε para todo n. La contradiccionobtenida demuestra que f es uniformemente continua.

¤

Teorema 5.4.7 (teorema de valor intermedio) Sea f : [a, b] → R unafuncion continua. La funcion f alcanza en [a, b] todos los valores del intervalo[min f([a, b]), max f([a, b])].

Demostracion Por la compacidad del intervalo y por Teorema 5.3.4sabemos que la funcion f alcanza en [a, b] sus valores maximo y mınimo.Supongamos que no alcanza un valor α ∈ (min f([a, b]), max f([a, b])). SeaO1 = {x ∈ [a, b]| f(x) < α} = f−1((−∞, α)) y O2 = {x ∈ [a, b]| f(x) >α} = f−1((α,∞)). Ambos conjuntos son abiertos como imagenes inversasde conjuntos abiertos. Su interseccion es vacıa y su union es todo [a, b]. Sinembargo [a, b] es conexo. Obtuvimos una contadiccion. Entonces la funcionf alcanza en su dominio el valor α.

¤

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Ejemplos

1. Como aplicacion del ultimo teorema vamos a deducir un resultadoque es el caso mas simple de la serie de resultados relacionados con elproblema de punto fijo.

Si f : [0, 1] → [0, 1] es una funcion continua, entonces existe x ∈ [0, 1]tal que f(x) = x.

Este teorema afirma que, si transformamos de forma continua el inter-valo en si mismo, por lo menos un punto no se mueve de su lugar.

La demostracion es una aplicacion del ultimo teorema. Tomemosg(x) = f(x) − x. Esta funcion es continua. En 0 toma valor no-negativo f(0). Si f(0) = 0 nuestro problema esta resuelto. En casocontrario tenemos g(0) > 0. El valor g(1) = f(1)− 1 es no-positivo. Sies nulo, el problema esta resuelto. En caso contrario tenemos g(1) < 0.Nos queda por estudiar el caso de g cuyo mınimo es negativo y maximopositivo. Por Teorema 5.3.7 existe x ∈ [0, 1] tal que g(x) = 0, es decirf(x) = x.

2. Vamos demostrar que una funcion f continua en [a, b] e inyectiva esestrıctamente monotona. Por la inyectividad f(a) 6= f(b). Supongamosque f(a) < f(b). En este caso demostraremos que f es creciente. Seaa < x < b. Supongamos que f(a) > f(x). Por Teorema 5.4.7 existe en[x, b] un punto y tal que f(y) = f(a). Como esto es imposible por lainyectividad de la funcion obtenemos f(a) < f(x). En la misma formaobtenemos f(a) < f(x) < f(b). Ahora, si x < y f(b) conduce de la misma manera a una funcionmonotona decreciente.

Teorema 5.4.8 Sea X un compacto en R. Sea f : X → R una funcioncontinua inyectiva. Entonces la funcion f−1 : f(X) → X es continua.

Demostracion Sea yn = f(xn) tal que yn → y = f(x).Como X es compacto, la sucesion (xn) tiene una subsucesion convergente

xnk→ x0 ∈ X. Por la continuidad de f obtenemos ynk

= f(xnk) → f(x0).

Por otro lado ynk→ y = f(x) como subsucesion de una sucesion convergente.

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Entonces x = x0. Resulta que la sucesion acotada (xn) tiene un solo puntolımite igual a x entonces es convergente al mismo punto. La convergenciayn → y implica que f−1(yn) = xn → x = f−1(y). La funcion f−1 es continua.

¤

Ejemplo Para ver que la compacidad es realmente necesaria para la validezdel ultimo teorema tomemos X = [0, 1] ∪ (2, 3] y

f(x) =

{x, x ∈ [0, 1]x− 1, x ∈ (2, 3].

La funcion f es continua, inyectiva, tiene rango [0, 2]. Sin embargo, cuandoyn ↗ 1 obtenemos f−1(yn) → 1, mientras que para yn ↘ 1 obtenemosf−1(yn) → 2. La funcion inversa no es continua.


1. Sea f : X → Y una funcion. Demuestre:

(a) A ⊂ f−1(f(A)), pero la igualidad no es valida en general.

(b) Si f es inyectiva entonces f−1(f(A)) = A.

(c) f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B).

(d) f−1(A ∩B) = f−1(A) ∪ f−1(B).

(e) f−1(Ac) = (f−1(A))c.

2. Sean f , g : X → R funciones continuas y sea

f ∪ g(x) =

{f(x) cuando f(x) ≥ g(x)g(x) cuando g(x) > f(x).

Demostrar que f ∪ g es continua.

3. Sea

f(x) =

{1 cuando x ∈ Q0 cuando x 6∈ Q.

Demuestre que f no es continua en ninguna parte.

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4. Sea

f(x) =

0, cuando x 6∈ Q,1

n, cuando

m

n, n > 0 y la fraccion es irreducible.

Demuestre que f es continua en los puntos irracionales y en 0 y esdiscontinua en los demas puntos racionales.

5. Demuestre que, si f es continua sobre X, entonces |f |(x) = |f(x)| estambien continua.

6. Investigue la continuidad de las funciones

(a)

f(x) =

1

xsen x, cuando x 6= 0,

a, cuando x = 0.

(b)

f(x) =

x3 − 3x2 + 3x− 1

5x− 5, cuando x 6= 1,

a, cuando x = 1.

(c)

f(x) =

{ √x2 + a2, cuando |x| > 1,

ax2 + bx + c, cuando |x| ≤ 1.

7. Sea f una funcion continua en R que satisface la identidad

f(x + y) = f(x) + f(y).

Demuestre que existe a ∈ R tal que f(x) = ax.

8. Demuestre que el espacio C[a, b] es de dimencion infinita.

9. Sea f : X → R una funcion continua y sea (an) una sucesion de Cauchyen X. ¿Es f(an) una sucesion de Cauchy?

10. Supongamos que f es continua en (a, b) y que existen limx→x0−

f(x) y

limx→x0+

f(x). Demuestre que f es uniformemente continua.

88

11. Demuestre que los unicos polinomios que son uniformemente continuosen R son de forma ax + b.

12. Calcule limx→0+

xsen1

xy lim

x→0−xsen

1

x.

13. Sean f , g funciones continuas en [a, b]. Supongamos que f(a) > g(a) yf(b) < g(b). Demuestre que la ecuacion f(x) = g(x) tiene solucion en[a, b].

14. Se dice que f es una funcion de Lipschitz si existe K tal que |f(x) −f(y)| < K|x−y|. Demuestre que cada funcion de Lipschitz es uniforme-mente continua, pero no todas las funciones uniformamente continuasson de Lipschitz.

15. Encontrar un intervalo de longitud ≤ 1

4, donde se anula la funcion

x2ex + 2x3 + 1.

Chapter 6

Integral de Riemann

El calculo integral y el calculo diferencial constituyen dos areas cruciales delanalisis matematico estrechamente vinculados por Teorema Fundamental deCalculo Diferencial e Integral. Ninguno de los dos temas queda completoantes de que se presente el otro para poder formular y demostrar TeoremaFundamental.

En este capıtulo introducimos el concepto de la integral de Riemann yde la funcion R-integrable. Demostramos las propiedades elementales de laintegral como su linealdad y monotonıa. El resultado mas importante esel teorema de valor medio del calculo integral (Teorema 6.3.7). Este temaes de caracter teorico y no proporciona las tecnicas mas importantes de laintegracion tales como las formulas de integracion por partes y por cambiode la variable.

Contrario a la costumbre optamos por presentar la integral de Riemannantes de la teorıa de derivacion para obtener luego la imagen mas completay concisa de la ultima. El el enfoque tradicional la integral de Riemannaparece como una interrupcion en el desarrollo del calculo diferencial dandouna imagen completamente equivocada de la relacion entre ambas.

6.1 Funciones R-integrables

Definicion Sea I = [a, b] un intervalo finito. Una particion P de I es unconjunto finito de puntos {x0, x1 . . . , xn} tal que

a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.

89

90

Denotamos ∆xj = xj − xj−1 (j = 1, . . . , n).

Sea f una fincion acotada sobre I. A cada particion P, le asociamos losnumeros:

Mj = supxj−1≤x≤xj

f(x), mj = infxj−1≤x≤xj

f(x),

Σ(f, P) =n∑

j=1

Mj∆xj, Σ(f, P) =n∑

j=1

mj∆xj.

Los numeros Σ(f, P) y Σ(f, P) se llaman respectivamente la suma superior yla suma inferior de la funcion f asociada a la particion P. Para m y M talesque m ≤ f(x) ≤ M , x ∈ [a, b] tenemos las desigualdades

m(b− a) ≤ Σ(f, P) ≤ M(b− a).

En seguida definimos la integral superior y la integral inferior de la funcionf en el intervalo [a, b].

∫ b

af(x)dx = inf

PΣ(f, P),

∫ b

af(x)dx = sup

P

Σ(f, P).

Definicion Una funcion f : [a, b] → R se llama R-integrable (integrableen el sentido de Riemann), cuando sus integrales superior e inferior coinciden.Este valor comun se llama la integral de f en [a, b] y se denota

∫ b

af(x)dx.

Ejemplo La integrabilidad en el sentido de Riemann es una condicionfuerte. Es muy facil construir el ejemplo de una funcion que no es R-integrable. Sea

f(x) =

{1 cuando x ∈ Q0 cuando x 6∈ Q.

En cada intervalo [xj−1, xj] esta funcion toma valores 0 y 1. Por lo tantoMj = 1 y mj = 0 para cada particion y para cada j. De tal manera

∫ b

af(x)dx = b− a,

∫ b

af(x)dx = 0.

91

Esta funcion no es R-integrable.

En el conjunto de todas las particiones se puede definir una orden parcial.Decimos que la particion P2 es mas fina que la particion P1 si P1 ⊂ P2.Denotamos entonces P1 ¹ P2. Para cada par de particiones P1, P2 existeuna particion P∗ que es mas fina que cualquiera de los dos. Es suficientetomar P∗ = P1 ∪ P2.

Lema 6.1.1 Sean P ¹ P∗. Entonces

Σ(f, P) ≤ Σ(f, P∗), Σ(f, P∗) ≤ Σ(f, P).

Demostracion Sea P = {x0, x1, . . . , xn} y sea P∗ = {y0, y1, . . . , ym}.Existen entonces mi tales que xi = ymi

, 1 ≤ i ≤ n. Supongamos que

xi = yl < yl+1 < · · · < yl+k−1 < yl+k = xi+1.

Denotamos como antes

Mj = supxi−1≤x≤xi

f(x), mi = infxi−1≤x≤xi

f(x),

y seanM∗

j = supyj−1≤x≤yj

f(x), m∗j = inf

yj−1≤x≤yj

f(x).

Tenemos entonces mi∆xi ≤ ∑kt=1 m∗

l+t∆yl+t. Tomando la suma con respecto ai obtenemos de lado izquierdo Σ(f, P), mientras que de lado derecho Σ(f, P∗).De aquı la desigualdad

Σ(f, P) ≤ Σ(f, P∗).

La demostracion en el caso de las sumas superiores es analoga. ¤Teorema 6.1.2 Para cada funcion f acotada en [a, b] se tiene

∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

af(x)dx.

Demostracion Sean P1, P2 particiones arbitrarias y sea P∗ la particionmas fina que qualquiera de las dos. Entonces tenemos

Σ(f, P1) ≤ Σ(f, P∗) ≤ Σ(f, P∗) ≤ Σ(f, P2).

De aquı se sigue Σ(f, P1) ≤ Σ(f, P2) para P1, P2 arbitrarios. Pasandoal supremo de lado izquierdo y al ınfimo de lado derecho obtenemos ladesigualdad enunciada.

¤

92

6.2 Criterios de integrabilidad

Teorema 6.2.1 Una funcion acotada sobre [a, b] es R-integrable si y solosi para todo ε > 0 existe una particion P tal que

Σ(f, P)− Σ(f, P) ≤ ε.

Demostracion Para cualquier particion P tenemos

Σ(f, P) ≤∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

af(x)dx ≤ Σ(f, P).

La condicion Σ(f, P)− Σ(f, P) ≤ ε implica entonces

0 ≤∫ b

af(x)dx−

∫ b

af(x)dx ≤ ε.

El valor de ε es arbitrario entonces∫ baf(x)dx =

∫ baf(x)dx y la funcion es

integrable.Supongamos ahora la integrabilidad de la funcion en el sentido de Rie-

mann. Para cada ε > 0 existen particiones P1 y P2 tales que

∫ b

af(x)dx ≤ Σ(f, P) +

ε

2, Σ(f, P) ≤

∫ b

af(x)dx +

ε

2.

Sea P la particion mas fina que P1 y P2. Por Lema 6.1.1 obtenemos lasdesigualdades siguientes:

Σ(f, P) ≤ Σ(f, P2) ≤∫ b

af(x)dx +

ε

2≤ Σ(f, P1) + ε ≤ Σ(f, P) + ε.

Entonces Σ(f, P)− Σ(f, P) ≤ ε.¤A base de este criterio podemos identificar una clase amplia de funciones

R-integrables.

Teorema 6.2.2 Si f es acotada en [a, b] y continua en (a, b) entonces esR-integrable.

Demostracion Sea M tal que |f(x)| < M en [a, b]. Dado ε > 0, existena′ b′ ∈ (a, b) tales que M(a′ − a + b− b′) < ε

4. La funcion f es continua en el

93

intervalo compacto [a′, b′], entonces es uniformemente continua en el mismointervalo. Existe δ > 0 tal que

|f(x)− f(y)| ≤ ε

2(b− a)

para |x − y| ≤ δ. Sea P = {a, x1, x2, . . . , xn−2, xn−1, b} tal que x1 = a′,xn−1 = b′ y ademas xj − xj−1 < δ para j = 2, . . . , n− 1. Tenemos

Σ(f, P)− Σ(f, P) =n∑

j=1

(Mj −mj)∆xj ≤

≤ 2M(a′ − a) + 2M(b− b′) +n−1∑

j=2

(Mj −mj)∆xj ≤

≤ ε

2+

ε

2(b− a)

n−1∑

j=2

∆xj ≤ ε.

Por Teorema 6.2.1 la funcion f es R-integrable en [a, b].

¤

La monotonıa de la funcion tambien implica su integrabilidad.

Teorema 6.2.3 Sea f una funcion monotona en [a, b]. Entonces f es R-integrable.

Demostracion Consideramos el caso de una funcion creciente f . Dadoε > 0, podemos encontrar n ∈ N tal que (f(b) − f(a))(b − a) < nε. Sea P

una particion que satisface ∆xi =b− a

n. Por la monotonıa de la funcion

tenemos: Mj = f(xj), mj = f(xj−1) y por lo tanto

Σ(f, P)− Σ(f, P) =n∑

j=1

(Mj −mj)∆xj

=n∑

j=1

(f(xj)− f(xj−1)b− a

n= (f(b)− f(a))

b− a

n≤ ε.

Aplicando Teorema 6.2.1 obtenemos la R-integrabilidad de f .

¤

94

6.3 Espacio de funciones R-integrables

Demostraremos ahora que el espacio de funciones R-integrables es un espaciovectorial y que la integral es una funcion lineal.

Teorema 6.3.1 Sean f , g funciones integrables en [a, b] y sea α ∈ R.Entonces f + αg es R-integrable y

∫ b

a(f + αg)(x)dx =

∫ b

af(x)dx + α

∫ b

ag(x)dx.

Demostracion Sea h = f + g. En cada intervalo [s, t] tenemos

h(x) ≤ supx∈[s,t]

f(x) + g(x)

para todo x ∈ [s, t]. Pasando al supremo con respecto a x obtenemos

supx∈[s,t]

h(x) ≤ supx∈[s,t]

f(x) + supx∈[s,t]

g(x).

En la misma manera se demuestra la desigualdad

infx∈[s,t]

h(x) ≥ infx∈[s,t]

f(x) + infx∈[s,t]

g(x).

Para cada particion P obtenemos

Σ(f, P) + Σ(g, P) ≤ Σ(h, P) ≤ Σ(h, P) ≤ Σ(f, P) + Σ(g, P).

Por la suposicion sabemos que para toda ε > 0 existen unas particiones P1,P2 tales que Σ(f, P1)−Σ(f, P1) < ε y Σ(g, P2)−Σ(g, P2) < ε. Pasando a unaparticion P mas fina obtenemos ambas desigualdades validas para la mismaP. Por lo tanto

Σ(h, P)− Σ(h, P) < 2ε.

La funcion h es entonces R-integrabla. Tenemos ademas para la mismaparticion P.

Σ(f, P) ≤∫ b

af(x)dx + ε, Σ(g, P) ≤

∫ b

ag(x)dx + ε,

ası como∫ b

af(x)dx ≤ Σ(f, P) + ε,

∫ b

ag(x)dx ≤ Σ(g, P) + ε.

95

De tal manera∫ b

af(x)dx +

∫ b

ag(x)dx− 2ε ≤ Σ(f, P) + Σ(f, P) ≤ Σ(h, P) ≤

≤∫ b

ah(x)dx ≤ Σ(h, P) ≤ Σ(f, P) + Σ(g, P) ≤

≤∫ b

af(x)dx +

∫ b

ag(x)dx + 2ε.

Las desigualdades son validas para ε arbitrario, entonces

∫ b

ah(x)dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ b

ag(x)dx.

La formula∫ ba αg(x)dx = α

∫ ba g(x)dx es obvia por la definicion si α ≥ 0. Nos

queda por demostrar el caso α = −1. Recordamos las formulas

infx∈[s,t]

−g(x) = − supx∈[s,t]

g(x), supx∈[s,t]

−g(x) = − infx∈[s,t]

g(x),

que implican las relaciones

Σ(−g, P) = −Σ(g, P), Σ(−g, P) = −Σ(g, P).

Obtenemos entonces∫ b

a(−g)(x)dx = sup

P

Σ(−g, P) = supP

−Σ(g, P) = − infP

Σ(g, P) =

= −∫ b

ag(x)dx = −

∫ b

ag(x)dx = −

∫ b

ag(x)dx = − sup

P

Σ(g, P) =

= infP−Σ(g, P) = inf

PΣ(−g, P) =

∫ b

a(−g)(x)dx.

Estas igualdades demuestran la integrabilidad de −g y conducen a la formula

∫ b

a(−g)(x)dx = −

∫ b

ag(x)dx.

¤Las fomulas que acabamos de demostrar significan que la funcion f →∫ b

a f(x)dx definida sobre el espacio vectorial de todas las funciones R-integrables es lineal. Ahora probaremos que esta funcion es ademas monotona.

96

Proposicion 6.3.2 Si las funcciones f, g son R-integrables y f(x) ≤ g(x),x ∈ [a, b] entonces ∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

Demostracion La funcion g − f es no-negativa. Por la aditividad de laintegral y por misma construccion de la integral obtenemos

∫ b

ag(x)dx−

∫ b

af(x)dx =

∫ b

a(g − f)(x)dx ≥ 0.

¤Sean a < c < b y sea P una particion del intervalo [a, b]. Denotemos por

Pc la particion que contiene a todos los puntos de la particion P y ademas elpunto c. En general, para f arbitraria tenemos supP Σ(f, Pc) ≤ supP Σ(f, P),porque en el primer caso estamos tomando el supremo sobre un conjunto maspequeno. Sin embargo, sabemos tambien que para una perticion mas fina secumple Σ(f, P) ≤ Σ(f, Pc) y por lo tanto en realidad

supP

Σ(f, Pc) = supP

Σ(f, P).

En forma analoga se demuestra que

infP

Σ(f, Pc) = infP

Σ(f, P).

Investigando la integrabilidad en [a, b] podemos entonces fijar c ∈ (a, b) yluego tomar en cuenta unicamente las particiones de [a, b] que contienen estepunto.

Teorema 6.3.3 Sean a < c < b y sea f : [a, b] → R. Entonces f esR-integrable en [a, b] si y solo si es integrable en [a, c] y en [c, b] y en este caso

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx +

∫ b

cf(x)dx.

Demostracion Aprovechando las observaciones precedentes este teoremapodemos tomar en cuenta unicamente las particiones que contienen el puntoc. Tal particion es de forma P = P1 ∪P2, donde P1 es una particion de [a, c]y P2 es una particion del intervalo [c, b]. Obtenemos entonces las formulas:

Σ(f, P) = Σ(f, P1) + Σ(f, P2)

97

y tambienΣ(f, P) = Σ(f, P1) + Σ(f, P).

Por Σ(f, Pi), (Σ(f, P1)), i = 1, 2 entendemos la suma inferior (superior)correpondiente a la restriccion de f al intervalo [a, b] o [c, b], respectivamente.

Si f es integrable en [a, b] entonces

Σ(f, P)− Σ(f, P) = Σ(f, P1)− Σ(f, P1) + Σ(f, P1)− Σ(f, P2) < ε

para una particion suficientemente fina. De lado derecho tenemos dos compo-nentes no-negativos que suman < ε, entonces ninguno de ellos supera ε. Estodemuestra la integrabilidad de f en [a, c] y en [c, b]. Las mismas formulas de-muestran que la integrabilidad en los dos intervalos implica la integrabilidaden su union. Para obtener la formula

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx +

∫ b

cf(x)dx

descomponemos f = f1 + f2, donde f1 coincide con f en [a, c] y es nula en(c, b], mientras que f2 es nula en [a, c] y es igual a f en (c, b]. Entonces

∫ b

af(x)dx =

∫ b

af1(x)dx +

∫ b

af2(x)dx =

∫ c

af(x)dx +

∫ b

cf(x)dx.

¤Corolario 6.3.4 Sea f una funcion acotada en [a, b] y continua en [a, b] \{x1, . . . , xn}. Entonces f es R-integrable.

Demostracion Por Teorema 6.2.2 la funcion f restringida a cada uno delos intervalos [xn−1, xn] es integrable. Entonces por Teorema 6.3.3 la funciones integrable en [a, b] y

∫ b

af(x)dx =

n−1∑

j=1

∫ xj+1

xj

f(x)dx.

¤Pasamos al estudio de la integrabilidad de la composicion de funciones.

Teorema 6.3.5 Sea f una funcion integrable en [a, b] y valuada en [c, d].Si ϕ : [c, d] → R es continua en [c, d] entonces h = ϕ ◦ f es integrable en[a, b].

98

Demostracion La fucion ϕ es uniformemente continua y acotada porun numero K > 0, entonces para cada ε > 0 existe δ < ε

4Ktal que

|ϕ(s)− ϕ(t)| < ε2(b−a)

, cuando |s− t| < δ.

Por la integrabilidad de f existe una particion P = {x1, . . . , xm} de [a, b]tal que Σ(f, P)− Σ(f, P) < δ2. Denotemos

Mj = supxj−1≤x≤xj

f(x), mj = infxj−1≤x≤xj

f(x),

M∗j = sup

xj−1≤x≤xj

h(x), m∗j = inf

xj−1≤x≤xj

h(x),

para j = 1, . . . , m.Sea {1, 2, . . . , m} = A∪B, donde j ∈ A cuando Mj −mj < δ y j ∈ B en

el caso contrario. Cuando j ∈ A se cumple M∗j −m∗

j ≤ ε2(b−a)

para j ∈ A,mientras que para j ∈ B sabemos por lo menos que M∗

j −m∗j ≤ 2K. Por la

seleccion de la particion obtenemos

δ∑

j∈B

(xj − xj−1) ≤∑

j∈B

(Mj −mj)(xj − xj−1) < δ2.

Obtenemos ∑

j∈B

(xj − xj−1) < δ.

Finalmente

Σ(h, P)− Σ(h, P) =∑

j∈A

(M∗j −m∗

j)(xj − xj−1) +

+∑

j∈B

(M∗j −m∗

j)(xj − xj−1) < ε.

La R-integrabilidad de h esta probada.¤Como corolario obtenemos la integrabilidad del producto de funciones

integrables y del valor absoluto de una funcion integrable.

Teorema 6.3.6 Si f , g son R integrables en [a, b], entonces fg y |f | sonR-integrables. Ademas

∣∣∣∣∣∫ b

af(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a|f(x)|dx.

99

Demostracion Aplicamos Teorema 6.3.5 tomando ϕ(x) = x2 y ası probamosla integrabilidad de f 2. Por la formula 4fg = (f + g)2 − (f − g)2 y Teorema6.3.1 obtenemos la integrabilidad del producto.

Substituyendo ϕ(x) = |x| vemos que |f | es integrable. Las desigualdades−|f | ≤ f ≤ |f | y Proposicion 6.3.2 implican

−∫ b

a|f(x)|dx ≤

∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

a|f(x)|dx. ¤

Teorema 6.3.7 (Teorema de valor medio del calculo integral) Sean f , gfunciones R-integrables en [a, b]. Supongamos que g no cambia del signo en[a, b]. Entonces ∫ b

afg(x)dx = µ

∫ b

ag(x)dx,

donde m = inf{f(x)|x ∈ [a, b]} ≤ µ ≤ M = sup{f(x)|x ∈ [a, b]}.Si f es continua, entonces existe ξ ∈ [a, b] tal que

∫ b

afg(x)dx = f(ξ)

∫ b

ag(x)dx.

Demostracion Suponemos que g ≥ 0 en su dominio. En el caso deg(x) ≤ 0 la demostracion es analoga. Tenemos entonces

mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x), x ∈ [a, b].

En virtud de que la integral es una funcion monotona obtenemos

m∫ b

ag(x)dx ≤

∫ b

af(x)g(x)dx ≤ M

∫ b

ag(x)dx.

Si∫ ba g(x)dx = 0 entonces las ultimas desigualdades implican

∫ b

af(x)g(x)dx = 0

y la afirmacion se obtiene tomando µ arbitrario. En caso contrario el valor

µ =

(∫ b

ag(x)dx

)−1 ∫ b

af(x)g(x)dx

conduce las propiedades deseadas.Si f es continua, entonces alcanza en [a, b] sus extremos y todos los valores

intermedios por el teorema de valor intermedio. Existe entonces ξ ∈ [a, b] talque µ = f(ξ).

¤

100

6.4 Integral indefinida

Sea f una funcion R-integrable en el intervalo [a, b]. La funcion es entoncesintegrable en cada intervalo [a, c] con c ≤ b. Definimos

F (x) =∫ x

af(t)dt.

La funcion F se llama la integral indefinida de f . Para una funcion dada f laintegral indefinida esta determinada salvo una constante, porque para a′ > ala funcion F1(x) =

∫ xa′ f(t)dt es otra integral de f y F (x) = F (a′) + F1(x).

Teorema 6.4.1 Si f es R-integrable en [a, b], entonces su integral indefinidaF es una funcion uniformemente continua en el mismo intervalo. Si f escontinua en x, entonces para todo x ∈ [a, b]

f(x) = F ′(x) = limy→x

F (y)− F (x)

y − x.

Demostracion Sea M tal que |f | ≤ M . Para a ≤ x < y ≤ b calculamos:

|F (y)− F (x)| =∣∣∣∣∫ y

af(t)dt−

∫ x

af(t)dt

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ y

xf(t)dt

∣∣∣∣ ≤ M |x− y|.

De aquı se sigue que para δ < εM

tenemos |F (x) − F (y)| < ε, es decir lafuncion es uniformemente continua.

Supongamos que f es continua en x. Sea ε > 0. Por la continuidad de fen x existe δ > 0 tal que |y − x| < δ ⇒ |f(y)− f(x)| < ε. Por lo tanto

∣∣∣∣∣F (y)− F (x)

y − x− f(x)

∣∣∣∣∣ =1

|y − x|

∣∣∣∣∣∫ max{x,y}

min{x,y}(f(t)− f(x))dt

∣∣∣∣∣ ≤ ε.

Si [a, b] 3 yn → x ∈ [a, b] entonces para n suficientemente grandes

|yn − x| < δ y por consiguiente

∣∣∣∣∣F (yn)− F (x)

yn − x− f(x)

∣∣∣∣∣ < ε. De aquı se sigue

f(x) = limy→x

F (y)− F (x)

y − x.

¤

101


1. Sin calculer la integral demostrar las desigualdades:

2

3<

∫ 2

1

xdx

x2 + 1<

1

2.

2. Sin calcular las integrales determinar cual de las dos es mas grande:

(a) ∫ 1

0exp xdx,

∫ 1

0exp x2dx;

(b) ∫ π2

0sennxdx,

∫ π2

0senn+1xdx.

3. Usando directamente la definicion de la integral de Riemann calcularlas integrales indeterminadadas de f para:

(a) f(x) = |x|,(b) f(x) =

{1− x2, |x| ≤ 1,1− |x|, |x| > 1.

(c) f(x) =

1, −∞ < x < 0,x + 1, 0 ≤ x ≤ 12x, 1 < x < ∞.

(d) f(x) =

sen1

x, x 6= 0,

0, x = 0.

4. Sea f una funcion R-integrable en [a, b]. Demuestre que para cada[α, β] ⊂ (a, b)

limh→∞

∫ β

α|f(x + h)− f(x)|dx = 0.

5. Sea f una funcion R-integrable en [a, b]. Demuestre que existe c ∈ [a, b]tal que ∫ c

af(x)dx =

∫ b

cf(x)dx.

6. Sea f una funcion continua no negativa y tal que∫ b

af(x)dx = 0. De-

muestre que f ≡ 0. ¿Es cierta esta afirmacion si suponemos que f esR-integrable unicamente?

Chapter 7

Derivacion

En la ultima seccion del capıtulo anterior hemos mostrado en realidad quela derivada de la integral indeterminada de una funcion continua f es lamisma funcion f . Este teorema presenta la derivacion como la aplicacioninversa a a la aplicacion que asocia a f su integral indeterminada. En elcapıtulo presente desarrollamos el calculo diferencial, demostramos TeoremaFundamental del Calculo Diferencial e Integral y luego traducimos algunasde las formulas obtenidas en propiedades de las integrales.

A continuacion, aprovechando la formula de integracion por partes de-ducimos la formula de Taylor que es una de las herramientas mas fuertes delcalculo diferencial. Establecemos de esta manera vınculos muy profundosentre los dos calculos.

7.1 La derivada

Vamos a determinar tres condiciones equivalentes que significan la diferen-ciabilidad de una funcion en un punto.

Teorema 7.1.1 Sea f : [a, b] → R y sea x ∈ [a, b]. Las siguientes condicionesson equivalentes:

1. Existe f ′(x) = limy→x

f(y)− f(x)

y − x.

2. Existe a ∈ R tal que para todo y ∈ [a, b]

f(y)− f(x) = a(y − x) + r(x, y),

103

104

y limy→x

r(x, y)

y − x= 0.

3. Para todo y ∈ [a, b]

f(y)− f(x) = (y − x)ϕ(x, y),

donde la funcion y → ϕ(x, y) tiene lımite en x.

Demostracion Vamos a probar la cadena de implicaciones (1) ⇒ (2) ⇒(3) ⇒ (1).

(1) ⇒ (2) Tomemos a = f ′(x) y sea r(x, y) definido por la ecuacionf(y)− f(x) = a(y − x) + r(x, y). Entonces

limy→x

r(x, y)

y − x= lim

y→x

f(y)− f(x)

y − x− a = 0.

(2) ⇒ (3) Si f(y)−f(x) = a(y−x)+r(x, y), entonces en la descomposicion

f(y)−f(x) = (y−x)ϕ(x, y) la funcion ϕ toma la forma ϕ(x, y) = a +r(y, x)

y − x.

Por lo tanto

limy→x

ϕ(x, y) = a + limy→x

r(x, y)

y − x= a.

(3) ⇒ (1) Tenemos la descomposicion f(y)−f(x) = (y−x)ϕ(x, y) entonces

limy→x

f(y)− f(x)

y − x= lim

y→xϕ(x, y).

Este lımite existe por nuestra suposicion.¤

Definicion La funcion f es derivable en x si se cumple una (y entoncestodas) de las condiciones (1), (2), (3). El numero f ′(x) se llama la derivadade f en x. Si f es derivable en todos los puntos del dominio, entonces lafuncion x → f ′(x) se llama la derivada de f . Usando la notacion del inciso3 obtenemos f ′(x) = limy→x ϕ(x, y).

Hay muchas formas de denotar la derivada. La notacion f ′ provienede Lagrange. Los creadores de esta teorıa Leibnitz y Newton usaban las

notacionesdf

dxy f , respectivamente. Esta ultima sigue siendo usada en la

mecanica para denotar la derivada con respecto a la variable tiempo. Cauchy

105

introdujo la notacion Df que actualmente se usa en caso de funciones devarias variables.

Corolario 7.1.2 Si f es derivable en x entonces es continua en x.

Demostracion Efectivamente, usando inciso 3 obtenemos

limy→x

f(y) = limy→x

(y − x)ϕ(x, y) + f(x) = f(x).

Ejemplos

1. En la seccion 6.4 hemos visto que la integral indeterminada F de unafuncion continua f es derivable y que su derivada es f .

2. El calculo de la derivada directamente por la definicion pocas veceses tarea facil. Sı, lo es en el caso de los monomios. Sea f(x) = xn.Obtenemos

yn − xn = (y − x)(yn−1 + yn−2x + · · ·+ yxn−2 + xn) = (y − x)ϕ(x, y).

Entonces f ′(x) = limy→x ϕ(x, y) = ϕ(x, x) = nxn−1.

7.2 Tecnicas de derivacion

Para calcular derivadas mas complicadas conviene demostrar algunas formulasgenerales.

Teorema 7.2.1 Sean f, g : [a, b] → R funciones derivables en x ∈ [a, b],c ∈ R. Entonces son derivables las funciones f + cg, fg. Si g(y) 6= 0 para

y ∈ [a, b], entoncesf

ges derivable en x. Ademas

1. (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).

2. (fg)′(x) == f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

3.

(f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g(x)2.

106

Demostracion 1. Calculamos directamente

(f + g)′(x) = limy→x

(f + cg)(y)− (f + cg)(x)

y − x=

= limy→x

f(y)− f(x) + c(g(y)− g(x))

y − x= f ′(x) + cg′(x).

2. Calculamos el incremento del producto usando el hecho de que:

f(y)− f(x) = (y − x)ϕ1(x, y), g(y)− g(x) = (y − x)ϕ2(x, y),

donde limy→x ϕi(x, y) existe. Entonces

(fg)(y)− (fg)(x) = (f(y)− f(x))g(y) + f(x)(g(y)− g(x)) =

= (y − x)[ϕ1(x, y)g(y) + f(x)ϕ2(y, x)].

De aquı se sigue

(fg)′(x) = limy→x

ϕ1(x, y)g(y) + f(x)ϕ2(y, x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

3. Nuevamente vamos a usar el inciso 3 de Teorema 7.1.1.(

f

g

)(y)−

(f

g

)(x) =

1

g(y)g(x){(f(y)− f(x))g(x)− f(x)(g(y)− g(x))} =

=(y − x)

g(y)g(x)(ϕ1(x, y)g(x)− f(x)ϕ2(x, y)).

Por lo tanto(

f

g

)′(x) = lim

y→x

1

g(y)g(x)(ϕ1(x, y)g(x)− f(x)ϕ2(x, y)) =

=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g(x)2.

¤

Estudiamos a continuacion la derivada de la funcion inversa.

Teorema 7.2.2 Sea f : [a, b] → R una funcion continua, invertible en [a, b]y derivable en x. Si f ′(x) 6= 0 entonces f−1 es derivable en t = f(x) y

(f−1

)′(t) =

1

f ′(x).

107

Demostracion Recordamos que la funcion inversa a una funcion continuaen un intervalo es tambien continua. Sean t = f(x) y s = f(y). Entoncess → t si y solo si y → x.

lims→t

(f−1) (s)− (f−1) (t)

s− t= lim

s→t

y − x

f(y)− f(x)=

= limy→x

1

f(y)− f(x)

y − x

=1

f ′(x).

¤Investigamos tambien la diferenciabilidad de una funcion compuesta.

Teorema 7.2.3 Sean f : [a, b] → [c, d] y g : [c, d] → R funciones derivablesen x ∈ [a, b] y en f(x), respectivamente. Entonces la composicion h(t) =g ◦ f(t) = g(f(t)) es derivable en x y

(g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f ′(x).

Demostracion La diferenciabilidad de f y de g se puede expresar enforma siguiente:

f(y)− f(x) = (y − x)ϕ(x, y),

g(s)− g(f(x)) = (s− f(x))φ(f(x), s),

donde las funciones ϕ(x, ·) y φ(f(x), ·) tienen lımites en x y f(x), respec-tivamente; limy→x ϕ(x, y) = f ′(x) y lims→f(x) φ(f(x), s) = g′(f(x)). Ahoraestudiamos el incremento de la funcion compuesta.

h(y)− h(x) = g(f(y))− g(f(x)) = (f(y)− f(x))φ(f(x), f(y)) =

= (y − x)ϕ(x, y)φ(f(x), f(y)) = (y − x)ψ(x, y).

Aprovechando la continuidad de f en x calculamos el lımite de la funcionψ(x, y) = ϕ(x, y)φ(f(x), f(y)). Si este lımite existe, su valor es igual a(g ◦ f)′(x).

limy→x

ψ(x, y) = limy→x

ϕ(x, y)φ(f(x), f(y)) = f ′(x)g′(f(x)).

¤

108

Ejemplo

Calculamos la derivada de la funcion f(x) = xt, donde x ≥ 0 y t = mn,

n, m ∈ N es un numero racional. Esta funcion es una composicion de dosfunciones: x → xm → (xm)

1n . Sı, conocemos la derivada se la funcion x → xn

que es igual a nxn−1. Calculamos la derivada de la funcion g : y → y1n como

de la funcion inversa a x → xn:

g′(xn) =1

nxn−1.

Denotando x = y1n obtenemos g′(y) =

1

ny

1n−1. Finalmente calculamos la

derivada de la funcion compuesta f(x) = (xm)1n :

f ′(x) = mxm−1 1

n(xm)

1n−1 =

m

nx

mn−1 = txt−1.

La formula obtenida es una extension al caso racional de la formula dederivacion de un monomio.

7.3 Teoremas de valor medio

Decimos que una funcion f : (a, b) → R tiene en x ∈ (a, b) un extremo localsi existe δ > 0 tal que para todos y ∈ (x− δ, x+ δ) el incremento f(y)− f(x)tiene el mismo signo. Si el signo es positivo se trata de un mınimo local y encaso del signo negativo tenemos un maximo local.

Teorema 7.3.1 (Fermat) Si una fucion f : (a, b) → R es derivable en x ytiene en este punto un extremo local, entonces f ′(x) = 0.

Demostracion Consideramos el caso de un mınimo local. Suponemosentonces que el incremento f(y − f(x) es no negativo para |y − x| < δ.Representamos:

f ′(x) = limy→x

f(y)− f(x)

y − x.

Para todos (a, b) 3 y < x el denominador es negativo, entonces

limy→x−

f(y)− f(x)

y − x≤ 0. Para (a, b) 3 y > x el nominador y el denominador

109

son positivos, entonces limy→x+

f(y)− f(x)

y − x≥ 0. El lımite del cociente existe,

entonces ambos lımites laterales coinciden. Por lo tanto f ′(x) = 0. ¤Teorema de Fermat conduce inmediatamente al teorema llamado teorema

de valor medio del calculo diferencial.

Corolario 7.3.3 (teorema de valor medio de Cauchy) Sean f , g funcionesderivables en [a, b]. Entonces existe ξ ∈ (a, b) tal que

(f(b)− f(a))g′(ξ) = (g(b)− g(a))f ′(ξ).

Demostracion Introducimos la siguiente funcion auxiliar:

h(x) = (f(b)− f(a))g(x)− (g(b)− g(a))f(x).

La funcion h es derivable en [a, b] y satisface h(a) = h(b). Si h es nula entodas partes entonces su derivada tambien se anula y la identidad (f(b) −f(a))g′(x) = (g(b)− g(a))f ′(x) es valida para x cualquiera.

Pasamos entonces al caso de una funcion que no es nula en todas partes.La funcion h como cada funcion continua en [a, b] alcanza en el intervalosu valor maximo y su valor mınimo. Por lo menos uno de estos valoresno es igual a h(a). Supongamos que este valor se alcanza en ξ ∈ (a, b).Tenemos entonces en ξ un extremo local y por Teorema de Fermat h′(x) = 0.Calculando la derivada en ξ obtenemos

0 = h′(ξ) = (f(b)− f(a))g′(ξ)− (g(b)− g(a))f ′(ξ).

¤Teorema de valor medio de Lagrange es una version simplificada del

teorema de Cauchy. Su ventaja sobre este ultimo es precisamente su sencillezque la hace mas facil de recordar.

Teorema 7.3.4 (teorema de valor medio de Lagrange) Sea f una funcionderivable en [a, b]. Existe entonces ξ ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a) = f ′(ξ)(b− a).

Para obtener este resultado es suficiente aplicar Teorema 7.3.3 tomandog(x) = x.

He aquı otros resultados importantes que se deducen del teorema de valormedio:

110

Corolario 7.3.5 (Rolle) Si una funcion f es derivable en [a, b] y f(a) =f(b) = 0, entonces existe ξ ∈ (a, b) tal que f ′(ξ) = 0.

Corolario 7.3.6 Si f es derivable en [a, b] y f ′ ≡ 0 entonces f es constante.

Corolario 7.3.7 Si f es derivable en [a, b] entonces es no decreciente si ysolo si f ′ ≥ 0 en [a, b].

Obtenemos tambien una condicion suficiente para que f tenga un extremolocal en algun punto.

Corolario 7.3.8 Sea f una funcion derivable en [a, b] y sea x ∈ (a, b).Supongamos que f ′(y) ≤ 0 para y ≤ x y f ′(y) ≥ 0 para y ≥ x. Entonces ftiene en x un mınimo local.

Respectivamente, si f ′(y) ≥ 0 para y ≤ x y f ′(y) ≤ 0 para y ≥ x,entonces f tiene en x un maximo.

Ejemplo

Definimos el logaritmo natural para x > 0:

log x =∫ x

1

1

tdt.

Como sabemos por Teorema 6.4.1 (log x)′ =1

x, entonces el logaritmo es una

funcion creciente en todo su dominio. Es una funcion inyectiva, porquela igualdad log a = log b para a < b implicarıa por Teorema de Rolle que

(log x)′ =1

x= 0 que es imposible. Existe entonces la funcion inversa que

denotamos por exp y y llamamos la funcion exponencial. Entonces y = log xsi y solo si x = exp y. En particular exp 0 = 1.

Calculamos la derivada de la funcion exponencial utilizando Teorema7.2.2. Para y = log x obtenemos

(exp y)′ =1

(log x)′= x = exp y.

La funcion exponencial es igual a su derivada. Este hecho permite deducirpropiedades basicas de la funcion exponencial y del logaritmo:

1. log(xy) = log x + log y, para x, y > 0.

111

2. log(xt) = t log x para t ∈ Q.

3. exp(x + y) = (exp x)(exp y).

4. exp(tx) = (exp x)t para t ∈ Q.

Para demostrar la formula 1 consideramos la funcion g : x → log(xy) −log x + log y para y > 0 fijo. Calculamos su derivada:

g′(x) =y

xy− 1

x≡ 0.

La funcion g es constante y su valor en x = 1 es 0, entonces g ≡ 0.Para demostrar formula 2 introducimos h(x) = log(xt) − t log x y calcu-

lamos su derivada:

h′(x) =txt−1

xt− t

x≡ 0.

Nuevamente, la funcion h es constante y su valor en x = 1 es 0. Las formulas1 y 2 estan probadas.

La formula 2 se puede aprovechar para demostrar que el rango de lafuncion log x es todo R. De tal manera determinamos el dominio de lafuncion exp y la validez de la formula 2 en todo eje real. Como log esuna funcion creciente, es suficiente probar que para cada R > 0 exis-ten x, y tales que log x < −R y log y > R. Para y = 2n obtenemos

log 2n = n log 2 = n∫ 2

1

dt

t>

n

2. Estos valores forman una sucesion no aco-

tada.Por otro lado

log 2−n = log 1− log 2n < −n

2.

La funcion exponencial tiene entonces como rango todo el eje real.Pasamos a la demostracion de las formulas 3 y 4.Podemos representar x = log u y y = log v y obtenemos:

exp(x + y) = exp(log u + log v) = exp(log uv) = uv = (exp x)(exp y).

Luegoexp(tx) = exp(t log u) = exp(log(ut)) = ut = (exp x)t.

Formula 4 nos permite extender la funcion at a los valores0 < a ∈ R y t ∈ R. Cada a > 0 se puede representar como a = exp(log a).Para t racional tenemos la formula

exp(t log a) = (exp(log a))t = at.

112

Definimos entoncesat = exp(t log a)

para 0 < a ∈ R y t ∈ R.Calculamos la derivada de la funcion ax aplicando la formula de derivacion

de funcion compuesta:

(ax)′ = (exp(x log a))′ = log a exp(x log a)) = (log a)ax.

Por otro lado, podemos tambien derivar la funcion x → xt para t ∈ R:

(xt)′ = exp(t log x))′ = exp(t log x))t1

x= txt 1

x= txt−1.

7.4 Teorema fundamental del calculo

diferencial e integral

El siguiente teorema, llamado tambien Teorema de Newton-Leibnitz con-duce a una relacion entre las operaciones de la derivacion y de integracionindefinida.

Teorema 7.4.1 (Teorema Fundamental del Calculo - TFC) Sea f unafuncion integrable sobre [a, b]. Si existe una funcion derivable F tal queF ′ = f entonces ∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a).

Demostracion Para todo ε > 0 existe una particionP = {a, x1, . . . , xn−1, b} tal que Σ(f, P)− Σ(f, P) < ε, mientras que

Σ(f, P) ≤∫ b

af(x)dx ≤ Σ(f, P).

Por el teorema de valor medio existen ξj tales que xj−1 < ξj < xj y

F (xj)− F (xj−1) = f(ξj)(xj − xj−1).

En vista de que

F (b)− F (a) =n∑

j=1

(F (xj)− F (xj−1)) =n∑

j=1

f(ξj)(xj − xj−1)

113

obtenemos

Σ(f, P) ≤ F (b)− F (a) ≤ Σ(f, P).

De aquı se sigue ∣∣∣∣∣F (b)− F (a)−∫ b

af(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤ ε.

El valor de ε es arbitrario, entonces

∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a). ¤

La formula de integracion por partes es una consecuencia inmediata delTFC:

Teorema 7.4.2 (integracion por partes) Sean f, g funciones derivables en[a, b] y tales que fg′ y gf ′ sean integrables. Entonces

∫ b

af(x)g′(x)dx = (f(b)g(b)− f(a)g(a))−

∫ b

ag(x)f ′(x)dx.

Demostracion Sea F (x) = f(x)g(x). Entonces F ′ = f ′g+g′f y la ultimafuncion es integrable. Por TFC obtenemos

∫ b

af(x)g′(x)dx +

∫ b

ag(x)f ′(x)dx = f(b)g(b)− f(a)g(a). ¤

El principio del cambio de la variable en la integral tambien se deducedel TFC:

Teorema 7.4.3 (cambio de variable en la integral de Riemann) Sea ϕ : [a, b] →[c, d] una funcion derivable y tal que ϕ(x) ≥ ϕ(a) para todo x ∈ [a, b]. Seaf derivable en [c, d]. Supongamos que la funcion x → f(ϕ(x))ϕ′(x) es inte-grable en [a, b]. Entonces

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(y)dy =

∫ b

af(ϕ(x))ϕ′(x)dx.

Demostracion Introducimos la funcion

F : [a, b] 3 x → ϕ(x) →∫ ϕ(x)

ϕ(a)f(y)dy.

114

Por la formula de la derivacion de la funcion compuesta calculamos laderivada de F :

F ′(x) = f(ϕ(x))ϕ′(x).

TFC afirma entonces

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(y)dy = F (b)− F (a) =

∫ b


¤Nota Si la funcion ϕ satisface la condicion ϕ(x) ≤ ϕ(a) para a ≤ x ≤ b,se obtiene de la misma manera la formula

∫ ϕ(a)

ϕ(b)f(y)dy =

∫ b


7.5 Formula de Taylor

Supongamos que una funcion f : [a, b] → R es derivable y que su derivada f ′

resulta tambien derivable. Denotemos f ′′ = (f ′)′. La funcion f ′′ se llama lasegunda derivada de f . Ası, inductivamente definimos la k-esima derivadade f como la derivada de su k − 1-esima derivada denotandola por f (k).Para la consistencia de las formulas denotamos f (0) = f . De tal maneraf (k) = (f (k−1))′, k = 2, 3, . . . . A la funcion f (k) se la llama tambien la derivadade f de orden k.

El primer paso hacıa la formula de Taylor es un lema que generaliza elmetodo de integracion por partes.

Lema 7.5.1 Supongamos que las funciones h, g : [a, b] → R son k vecesderivables y que sus derivadas h(k), g(k) son continuas. Entonces

∫ b

ah(k)(t)g(t)dt + (−1)k−1

∫ b

ah(t)g(k)(t)dt =

=k−1∑

j=0

(−1)j(h(k−j−1)(b)g(j)(b)− h(k−j−1)(a)g(j)(a)).

Demostracion Aplicando la formula de derivacion del producto calcu-lamos la derivada

(h(k−1)g − f (k−2)g(1) + h(k−3)g(2) − · · ·+ (−1)k−1hg(k−1)

)′

115

y observamos que se cancelan 2k − 2 terminos quedando unicamente

h(k)g + (−1)k−1hg(k).

Ahora TFC nos da el resultado enunciado.¤

Teorema 7.5.2 (Formula de Taylor) Sea f : [a, b] → R. Supongamosque la k + 1-esima derivada de f existe y es continua. Entonces para cadax ∈ (a, b)

f(x) = f(a) +x− a

1!f (1)(a) +

(x− a)2

2!f (2)(a) + · · ·+ (x− a)k

k!f (k)(a) +

+∫ x

a

(x− t)k

k!f (k+1)(t)dt.

Demostracion Aplicamos Lema 7.5.1 substituyendo g = f ′, h(t) =(t− x)k

k!. Calculamos los valores de los terminos consecutivos:

h(k)(t) =

((t− x)k

k!

)(k)

= 1,

∫ x

ah(k)(t)g(t)dt =

∫ x

a1 · f ′(t)dt = f(x)− f(a).

Ademas, tenemos g(k) = f (k+1), entonces

(−1)k∫ x

ah(t)g(k)(t)dt = (−1)k

∫ x

a

(t− x)k

k!f (k+1)(t)dt =

=∫ x

a

(x− t)k

k!f (k+1)(t)dt.

Luego

h(k−j−1)(t) =(t− x)k−(k−j−1)

k!k(k − 1) . . . (k − (k − j − 2)) =

(t− x)j+1

(j + 1)!,

y por lo tanto

(−1)jh(k−j−1)(t)g(j)(t) = (−1)j (t− x)j+1

(j + 1)!f (j+1)(t) = −(x− t)j+1

(j + 1)!f (j+1)(t).

116

En particular (−1)jh(k−j−1)(x)g(j)(x) = 0. Substituyendo todos los datosobtenemos por Lema 7.5.1:

f(x)− f(a) =k−1∑

j=0

(x− a)j+1

(j + 1)!f (j+1)(a) +

∫ x

a

(x− t)k

k!f (k+1)(t)dt,

que es exactamente la formula de Taylor.¤

Sea Rk(x, a) =∫ x

a

(x− t)k

k!f (k+1)(t)dt el residuo que aparece en la formula

de Taylor. Teorema de valor medio 6.3.7 nos permite darle otra forma. Existeξ ∈ (a, b) tal que

Rk(x, a) =f (k+1)(ξ)

k!

∫ x

a(x− t)kdt =

(x− a)k+1

(k + 1)!f (k+1)(ξ).

En este caso hablamos del residuo en forma de Lagrange. Aplicando el mismoTeorema 6.3.7 en forma diferente obtenemos la forma de Cauchy del residuo.

Existe η ∈ (a, x) tal que Rk(x, a) = (x− a)(x− η)k

k!f (k+1)(η). Podemos

representar η = x− θ(x− a), donde θ ∈ (0, 1). Entonces x− η = θ(x− a) yresulta que

Rk(x, a) =θk

k!(x− a)k+1f (k+1)(x− θ(x− a)).

7.6 Aplicaciones

Extremos locales

Teorema de Fermat 7.3.1 afirma que una funcion derivable tiene enx ∈ (a, b) un extremo local unicamente cuando f ′(x) = 0. Esta condicion esentonces necesaria para la existencia del extremo. Sin embargo no es sufi-ciente, porque la funcion f(x) = x3 satisface f ′(0) = 0 aunque en cero no seobserva extremo local.

Usando la formula de Taylor vamos a obtener una condicion suficientepara la existencia del extremo.

Teorema 7.6.1 Supongamos que f : (a, b) → R es una funcion que tiene2k-esima derivada continua. Si f (j)(c) = 0 para cada 0 < j < 2k yf (2k)(c) 6= 0 entonces f tiene en c un extremo local. Cuando f (2k)(c) < 0

117

tenemos en c un maximo local y cuando f (2k)(c) > 0 tenemos un mınimolocal.

Demostracion Usando la formula de Taylor y el residuo en forma deLagrange obtenemos

f(x) = f(c) +(x− c)2k

(2k)!f (2k)(ξ),

para un punto intermedio ξ. Por la continuidad de f (2k) existe δ tal que parax ∈ I = (c − δ, c + δ) se satisface f (2k)(x) > 0 o f (2k)(x) < 0. En el primercaso f(x) − f(c) > 0 en I y tenemos un mınimo local. En el segundo casotenemos f(x)− f(c) < 0 y un maximo local.

¤

Hay que subrayar que la suposicion del ultimo teorema no es unacondicion necesaria para la existencia del extremo local. La funcion definidacomo f(x) = exp(− 1

x2 ), para x 6= 0 y f(0)=0 satisface f (k)(0) = 0 para to-dos k naturales, entonces no satisface las suposiciones de Teorema 7.6.1. Sinembargo esta funcion alcanza en cero su mınimo.

Formulas de l’Hopital

Estudiando las funciones de forma h =f

ghemos demostrado que

limy→x

f(y)

g(y)=

limy→x f(y)

limy→x g(y)

cuando limy→x f(y) y limy→x g(y) existen y el segundo es distinto de cero. Enmuchos casos el lımite existe aunque limy→x g(y) = 0. Formulas de l’Hopitalson muy utiles en esta situacion.

Teorema 7.6.2 Supongamos que las funciones f , g definidas en (a, b)tienen k derivadas continuas. Sea c ∈ (a, b). Si f (j)(c) = 0 y g(j)(c) = 0para j = 0, 1, 2 . . . , k − 1 y g(k)(c) 6= 0 entonces

limy→c

f(y)

g(y)=

f (k)(c)

g(k)(c).

Demostracion Aplicamos la formula de Taylor con el residuo en forma

de Lagrange. Gracias a las suposiciones se cumple: f(y) = (y−c)k

k!f (k)(ξ1(y))

118

y g(y) = (y−c)k

k!g(k)(ξ2(y)), donde ξi(y) son puntos intermedios entre y y c.

Si y → c, entonces ξ1(y), ξ2(y) → c y por la continuidad de las derivadasobtenemos.

limy→c

f(y)

g(y)= lim

y→c

(y − c)kf (k)(ξ1(y))

(y − c)kg(k)(ξ2(y))=

f (k)(c)

g(k)(c).

¤

Ejemplos

1.

limx→0

sen x

x= lim

x→0

cos x

1= 1.

2.

limx→0

cos x− 1

x2= lim

x→0

(cos x− 1)′′

(x2)′′= −1

2.

En la seccion 7 vamos a obtener otras versiones de las formulas del’Hopital.

7.7 Lımites en el infinito y lımites

infinitos

Sea f una funcion definida en el semieje [a,∞). Para describir el compor-tamiento de f para los valores x grandes es conveniente introducir el conceptodel lımite de f en el infinito.

Definicion Decimos que f tiene en ∞ lımite igual a A si

∀ε > 0 ∃K > a ∀x > K |f(x)− A| < ε.

Denotamos entonces: limx→∞ f(x) = A.

Disponiedo de varios teoremas sobre los lımites de funciones en puntosfinitos, nos conviene relacionar el concepto que acabamos de introducir conel concepto conocido anteriormente.

Teorema 7.7.1 limx→∞ f(x) = limx→0+ f(

1

x

).

119

Demostracion Sin afectar la generalidad podemos suponer que K > 0.

La condicion x > K es obviamente equivalente a1

x<

1

K. Por lo tanto son

equivalentes las condiciones

∀ε > 0 ∃K > a ∀x > K |f(x)− A| < ε,

luego

∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀1

x< δ |f(x)− A| < ε

y finalmente

∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀y < δ |f(

1

y

)− A| < ε.

La primera dice que limx→∞ f(x) = A, mientras que la ultima afirma que

limx→0+ f(

1

x

)= A. ¤

Si f es una funcion definida en el semieje (−∞, a], podemos en formasemejante definir su lımite en −∞. Ponemos entonces:

limx→−∞ f(x) = lim

x→0−f

(1

x

).

Para describir el comportamiento de una funcion en un entorno del punto,donde la funcion no esta definida o donde tiene discontinuidad, es convenienteintroducir tambien el concepto del lımite infinito.

Sea f una funcion definida en (a, x) (resp. (x, a)). Decimos que el lımiteizquierdo (derecho) de la funcion f en x es igual a ∞ si

∀N > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ (x− δ, x) (resp. y ∈ (x, x + δ)) f(x) > N.

Denotamos entonces: limy→x− f(x) = ∞, (resp. limy→x+ f(x) = ∞). Ellımite igual a −∞ se define en forma analoga:

limy→x− f(x) = −∞, (resp. limy→x+ f(x) = −∞) cuando

∀N < 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ (x− δ, x) (resp. y ∈ (x, x + δ)) f(x) < N.

Ejemplo

Estudiamos los lımites en el infinito de una funcion racional de forma

f(x) =anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x + b0

,

120

donde n, m ∈ N y an, bm 6= 0.La misma funcion se puede representar como

f(x) = xn−m an + an−1x−1 + · · ·+ a1x

−n+1 + a0x−n

bm + bm−1x−1 + · · ·+ b1x−m+1 + b0x−m.

El valor del lımite en −∞ y ∞ depende principalmente del factor xn−m,

porque el segundo factor tiende el lımitean

bm

en ambos casos.

Obtenemos

limx→∞ f(x) =

0, m > n,an

bm, m = n,

∞, m < n.

limx→−∞ f(x) =

0, m > n,an

bm, m = n,

∞, m < n, n−m par,−∞, m < n, n−m impar.

Probaremos ahora las formula de l’Hopital que describen los lımites en

el infinito, incluyendo los casos cuando en una funcion de formaf(x)

g(x)el

denominador tiende al infinito.

Teorema 7.7.2 Sean f , g funciones derivables en (a, b), donde b puedetomar el valor ∞. Supongamos que g′(x) 6= 0 en el dominio. Supongamos

que existe l = limx→bf ′(x)

g′(x). Si es valida una de las condiciones

1. limx→b f(x) = limx→b g(x) = 0 o

2. limx→b g(x) = ∞,

entonces

limx→∞

f(x)

g(x)= lim

x→∞f ′(x)

g′(x).

Demostracion Samemos que g′(x) 6= 0 para x ∈ (a, b). La funcion g esentonces monotona de signo constante en (a, b). Su lımite en el infinito esigual a cero en el primer caso y es infinito en el segundo caso, entonces g nose anula en algun conjunto de forma (c, b), b > c > a. Por otro lado paratodo ε > 0 podemos encontrar d > c tal que para d < ξ < b se cumple

121

f ′(ξ)g′(ξ)

∈ (l − ε/2, l + ε/2). Por Teorema 7.3.3 para todos x, y ∈ (d, b) existe

ξ ∈ (x, y) tal que

f(y)− f(x)

g(y)− g(x)=

f ′(ξ)g′(ξ)

∈ (l − ε/2, l + ε/2).

Consideremos el primer caso, cuando para y → b ambos valores f(y),

g(y) tienden a cero. Para x fijo, limy→b

f(y)− f(x)

g(y)− g(x)=

f(x)

g(x). Por lo tanto para

y mayores que cierto p se tiene

f(y)− f(x)

g(y)− g(x)− f(x)

g(x)< ε/2.

Esto implica ∣∣∣∣∣f(x)

g(x)− l

∣∣∣∣∣ ≤ ε

para todos x > d.En el segundo caso, cuando limx→b g(x) = ∞ tenemos

f(y)− f(x)

g(y)− g(x)=

f(y)− f(x)

g(y)

g(y)

g(y)− g(x).

El segundo factor tiende a 1 cuando x es fijo y y → b, entonces

f(y)− f(x)

g(y)− ε/2 <

f(y)− f(x)

g(y)− g(x)<

f(y)− f(x)

g(y)+ ε/2,

para y suficientemente grandes.Obtenemos en el primer paso

∣∣∣∣∣f(y)− f(x)

g(y)− l

∣∣∣∣∣ ≤ ε

para y suficientemente grandes.

Sin embargof(x)

g(y)tiende a cero bajo las mismas condiciones, entonces

finalmente ∣∣∣∣∣f(y)

g(y)− l

∣∣∣∣∣ ≤ 2ε

122

cuando y supera cierto valor p, a 0. Entonces

limx→∞

log x

xp= lim

x→∞(log x)′

(xp)′= lim

x→∞x−p = 0.

2. Calculemos l = limx→∞

xp

exp x, p > 0. Denotemos f(x) = xp y g(x) = exp x

de tal manera que l = limx→∞

f(x)

g(x). Sea n un numero natural mayor que

p. Entonces

limx→∞

f (n)(x)

g(n)(x)= 0.

Aplicamos Teorema 7.7.2 consecutivamente n veces:

0 = limx→∞

f (n)(x)

g(n)(x)= lim

x→∞f (n−1)(x)

g(n−1)(x)= · · · = lim

x→∞f(x)

g(x).

3. El lımite en el infinito de la funcion

2 + 2x + sen 2x

(2x + sen 2x)esen x=

(1 +

2

2x + sen 2x

)e−sen x

no existe, porque la funcion e−sen x no tiene lımite en el infinito y elotro factor sı la tiene.

Sin embargo, existe el lımite del cociente de las derivadas del nominadory denominador:

limx→∞

2 + 2 cos 2x

2 + 2 cos 2x + (2x + sen 2x) cos x)e−sen x= 0.

Este resultado no es un contraejemplo al Teorema 7.7.2, porque no secumple la condicion de que la derivada del denominador no se anula enalgun semieje de forma (a,∞).

123

7.8 Funciones convexas

Unas de las funciones mas sencillas sobre la recta son las funciones lineales queson de forma f(x) = ax y las funciones afines que tienen forma f(x) = ax+b.Vamos a buscar una caracterizacion geometrica de estas funciones.

Sean x < y y sea 0 < t < 1. El punto ux,y(t) = tx+(1− t)y = t(x−y)+ypertenece entonces al intervalo (x, y) y cada elemento de dicho intervalo sepuede representar como u(t) para t adecuado. Efectivamente, si x < z < y,entonces la ecuacion z = tx + (1− t)y tiene la unica solucion t = y−z

y−xy por

lo tanto

z =y − z

y − xx +

z − x

y − xy.

Calculemos el valor de una funcion afın en el punto z:

f(z) = ay − z

y − xx +

z − x

y − xy + b =

y − z

y − x(ax + b) +

z − x

y − x(ay + b).

Una funcion afın f toma en el punto intermedio z entre x y y el valorintermedio correspondiente entre f(x) y f(y). En particular, conociendoel valor de la funcion afın en dos puntos, conocemos sus valores en todos lospuntos del eje.

Una funcion f : [a, b] → R es convexa si para todos a < x < y < b y0 < t < 1 se cumple

f(tx + (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y).

En forma equivalente: para toda terna x < z < y tenemos

f(z) ≤ y − z

y − xf(x) +

z − x

y − xf(y).

Una funcion f es convexa en el intervalo [a, b] si para todos x, y ∈ [a, b] talesque x < y su grafica en [x, y] se encuentra por debajo de la recta que une lospuntos (x, f(x)) y (y, f(y)).

En el caso de una funcion suficientemente suave f su convexidad serelaciona con el signo de la segunda derivada f (2). Para demostrar esteresultado vamos a buscar una descripcion diferente de la convexidad.

Proposicion 7.8.1 Sea f : [a, b] → R. La funcion f es convexa en [a, b] siy solo si para todos a < x < z < y < b se cumple

f(z)− f(x)

z − x≤ f(y)− f(x)

y − xo

f(z)− f(x)

z − x≤ f(y)− f(z)

y − z.

124

Demostracion La condicion de la convexidad de f se puede escribiren forma

f(z) ≤ y − z

y − xf(x) +

z − x

y − xf(y)

que es equivalente a

f(z)y − f(z)x ≤ f(x)y − f(x)z + f(y)z − f(y)x,

y luego a la desigualdad

(f(z)− f(x))(y − x) = f(z)y − f(z)x− f(x)y + f(x)x ≤≤ f(y)z − f(x)z − f(y)x + f(x)x = (f(y)− f(x))(z − x).

Un calculo semejante demuestra que la segunda desigualdad es tambienequivalente a la convexidad de la funcion.

¤Si denotamos z = x + h1 y y = x + h2, la convexidad de f se expresa por

la desigualdad

f(x + h1)− f(x)

h1

≤ f(x + h2)− f(x)

h2

.

Obtenemos otro criterio de la convexidad:

Proposicion 7.8.2 Una funcion f : [a, b] → R es convexa si y solo si para

todo x ∈ [a, b] la funcion Fx(h) =f(x + h)− f(x)

hes monotona creciente.

Corolario 7.8.3 Cada funcion f convexa en un intervalo abierto (a, b) escontinua y para todo x ∈ (a, b) existen

limh→0+

f(x + h)− f(x)

hası como lim

h→0−f(x + h)− f(x)

h.

Demostracion Como sabemos, las funciones monotonas en un intervaloabierto tienen tienen en cada punto ambos lımites laterales. Aplicando estehecho a la funcion creciente Fx definida anteriormente obtenemos que loslımites

limh→0+

f(x + h)− f(x)

hy lim

h→0−f(x + h)− f(x)

h

existen.

125

Representamos entonces:

f(x + h)− f(x) = hf(x + h)− f(x)

h.

Cuando h tiende a cero tomando valores negativos esta exprecion tiene lımiteigual a cero y lo mismo sucede, cuando h tiende a cero tomando valorespositivos. Entonces limh→0 f(x + h) − f(x) = 0 para cada x y la funcion fes continua.

¤Cuando el dominio de f es un intervalo no abierto, la convexidad no

implica continuidad. La funcion que toma valor cero en (−1, 1) y el valor 1en los puntos 1 y −1, es convexa en [−1, 1], pero no es continua. El caso def(x) = |x| demuesta que una funcion convexa no tiene que ser derivable. Lasderivadas laterales de f en x = 0 existen pero no son iguales.

Pasamos al resultado principal de esta seccion.

Teorema 7.8.4 Sea f : (a, b) → R una funcion derivable. Entonces f esconvexa si y solo si f ′ es una funcion no decreciente en el intervalo.

Demostracion El calculo directo demuestra que para a < x < z < y < bla desigualdad

f(z)− f(x)

z − x≤ f(y)− f(x)

y − x

es equivalente af(z)− f(x)

z − x≤ f(y)− f(z)

y − z.

Si f es convexa, y tomamos y < w, entonces la ultima desigualdadaplicada a la terna z, y, w implica:

f(z)− f(x)

z − x≤ f(y)− f(z)

y − z≤ f(w)− f(y)

w − y.

Pasando al lımite z → x en la primera de las expresiones obtenemos

f ′(x) ≤ f(w)− f(y)

w − y

para x < y < w arbitrarios. Si tomams ahora el lımite w → y en el ladoderecho de la desigualdad obtenemos f ′(x) ≤ f ′(y) cuando x < y.

126

Supongamos ahora que f ′ es una funcion no decreciente en (a, b). Tomemosnuevamente x < z < y en el intervalo. Por Teorema de Lagrange 7.3.2 existenx < a < z y z < b < y tales que

f(z)− f(x)

z − x= f ′(a) mientras que f ′(b) =

f(y)− f(z)

y − z.

La derivada es monotona entonces f ′(a) ≤ f ′(b), lo que implica

f(z)− f(x)

z − x≤ f(y)− f(z)

y − z

y termina la demostracion.¤Recordando Teorema 7.3.7 obtenemos inmediatamente:

Teorema 7.8.5 Sea f : (a, b) → R una funcion dos veces derivable. En-tonces f es convexa si y solo si f ′′ ≥ 0 en el intervalo.

Una funcion f : (a, b) → R se llama concava si la funcion −f es convexa.Los resultsdos de esta seccion se pueden adaptar al caso de las funcionesconcavas. En particular:

Teorema 7.8.6 Sea f : (a, b) → R una funcion dos veces derivable. En-tonces f es concava si y solo si f ′′ ≤ 0 en el intervalo.

7.9 Estudio de las graficas

de funciones suaves

Muchas propiedades de funciones tales como las regiones de crecimiento ydecrecimiento, de convexidad y concavidad estan relacionadas con el signode las derivadas de primer y segundo orden. Por lo tanto los metodos delestudio de las regiones donde una funcion no cambia del signo son crucialespara la construccion de la grafica de la funcion. Cuando se trata de funcionescontinuas en intervalos sabemos por el teorema del valor intermedio que entredos puntos en los cuales una funcion toma valores del signo opuesto siemprese encuentra un punto donde la funcion se anula. Una vez mas aparece laecuacion f(x) = 0 como un problema fundamental. Si somos capaces deresolver las ecuaciones f(x) = 0, f ′(0) = 0 y f ′′(x) = 0 entonces calculando

127

luego unos cuantos valores de las mismas funciones podemos determinar laforma aproximada de la grafica de la funcion.

Presentamos el procedimiento desarrollando en forma paralela dos ejem-plos:

E.1 f(x) = sen x, E.2 g(x) =x− 1

x + 2.

I. Determinacion de regiones del signo constante de la funcion:E.1La funcion sen x es periodica con el periodo 2π. Es por lo tanto suficiente

determinar su grafica en el intervalo [0, 2π]. Sea trata de una funcion continuaque se anula en los puntos 0, π y 2π y unicamente en estos puntos. Por lotanto su signo permanece constante en los intervalos de forma (0, π) dondees positiva y en (π, 2π) donde es negativa.

E.2

La funcionx− 1

x + 2tiene como dominio R \ {−2}. Se anula unicamente

en x = 1. El nominador es negativo en (−∞, 1) y positivo en (1,∞). Eldenominador es negativo en (−∞,−2) y positivo en (−2,∞).

La funcion toma valores positivos en (−∞,−2), valores negativos en(−2, 1) y nuevamente positivos en (1,∞). Podemos calcular facilmente suslımites en −∞ y ∞:

limx→−∞ g(x) = lim

x→0−

1x− 1

1x

+ 2= lim

x→0−1− x

1 + 2x= 1.

De la misma manera obtenemos:

limx→∞ g(x) = lim

x→0+

1x− 1

1x

+ 2= lim

x→0+

1− x

1 + 2x= 1.

Obtenemos tambien:limx→−2− g(x) = ∞ y limx→−2+ g(x) = −∞II. Determinacion de regiones del crecimiento y decrecimiento

de la funcion:E.1La derivada de la funcion sen x es igual a cos x. La ultima funcion toma

valores positivos en los intervalos (0, 12π) y (3

2π, 2π) y toma valores negativos

en el intervalo (12π, 3

2π).

128

Por lo tanto la funcion sen x es creciente en el intervalo (0, 12π) del valor

0 hasta el valor 1. En el intervalo (12π, 3

2π) decrece hasta el valor −1. En

(32π, 2π) vuelve a crecer para regresar al valor 0 en el extremo derecho. La

derivada f ′ se anula en los puntos 12π y 3

2π y la funcion f tiene en estos

puntos el maximo y el mıinimo local, respectivamente.

E.2

La defivada de la funcion g es igual a3

(x + 2)2, es entonces positiva en

todo su dominio. La funcion g es creciente en (−∞,−2) del valor 1 hasta∞. En (−2,∞) crece del valor -∞ hasta el valor 1.

La derivada de g no se anula en ninguna parte, entonces la funcion notiene extremos locales.

III. Determinacion de regiones de convexidad y concavidad dela funcion:

E.1

La segunda derivada de la la funcion f es −sen x, cuyos signos yaconocemos. La funcion f(x) = sen x es entonces concava en (0, π) y convexaen (π, 2π).

E.2

La segunda derivada de la funcion g es igual a−6

(x + 2)3. Toma valores

positivos en (−∞,−2), donde entonces g es convexa y los valores negatvosen (−2,∞), donde g es concava.

A continuacion estudiamos un ejemplo de funcion mas complicada.

Ejemplo Estudiamos la grafica de la funcion

f(x) =x2 − x− 6

x2 − 1=

(x− 3)(x + 2)

(x− 1)(x + 1).

I Un factor de forma x−a cambia de signo en a pasando de valores negativosa positivos. Por lo tanto la funcion f cambia de signo en los puntos −2,−1, 1y 3. Sus lımite en −∞ y en ∞ es igual a 1. La funcion es entonces positivaen (−∞,−2), negativa en (−2,−1), positiva en (−1, 1), negativa en (1, 3) ypositiva en (3,∞).

Tenemos tambien: limx→−1− f(x) = −∞, limx→−1+ f(x) = ∞,

limx→1− f(x) = ∞, limx→1+ f(x) = −∞.

129

II Calculamos la derivada de la funcion f ;

f ′(x) =x2 + 10x + 1

(x2 − 1)2.

El denominador es positivo en todas partes, entonces las regiones de crec-imiento y decrecimiento de la funcion dependen unicamente del signo delnominador. Este ultimo se anula en los puntos

x1 =1

2(−10−

√96) ≈ −9.9, x2 =

1

2(−10 +

√96) ≈ −0.1.

La funcion f crece en forma monotona en el semieje (−∞, x1) del valor 1 en-∞ al valor f(x1) ≈ 1.05 en x1. Luego empieza a descender hasta a llegara cero en el punto −3. Sigue descenciendo a −∞ acercandose al argumento−1. En el intervalo (−1, 1) la funcion desciende del valor ∞ a f(x2) ≈ 6.15para luego crecer al ∞ en 1. En el semieje (1,∞) la funcion crece en formamonotona del valor -∞ al valor 1.

III La tercera derivada de f es la funcion

f ′′(x) =−2(x3 + 15x2 + 3x + 5)

(x2 − 1)3.

Estudiamos entonces primero la grafica de la funcion g(x) = x3+15x2+3x+5.Este polinomio tiene lımite −∞ cuando x → −∞ y el ımite ∞ cuandox →∞. Se anula una o tres veces en todo eje real. Para averiguar cual es elcaso calculamos g′(x) = x2 +10x+1. Como sabemos esta funcion tiene cerosen x1 y x2, cuyos valores conocemos. La funcion g tiene maximo local en x1

y mınimo local en x2. Su valor en x2 ≈ −0.1 es positivo, entonces la funciong se anula en un solo punto x0 que se encuentra en el semieje (−∞, x1). Lafuncion g es negativa en (−∞, x0) y positiva en (x0,∞).

El denominador de f ′′ es positivo en (−∞,−1) y en (1,∞) y negativo enel intervalo (−1, 1).

Todas estas informaciones nos dan la siguiente imagen de la funcion f :En (−∞, x0) la funcion es creciente convexa.En (x0, x1) la funcion es creciente concava.En (x1,−1) la funcion es decreciente concava.En (−1, 1) la funcion es convexa, decreciente en (−1, x1), crecienteen (x1, 1).En (1,∞) la funcion es creciente concava.


130

1. Determine los valores a, b para los cuales la funcion

f(x) =

{x2, x ≥ 0,ax + b, x < 0

es derivable.

2. Sea

f(x) =

ax + b, x ≤ 0,cx2 + d, 0 < x ≤ 1,

1− 1

x, 1 < x.

Encuentre los valores a, b, c, d para los cuales f es derivable.

3. Sea

f(x) =

x2 + ax + 5, x ≤ 0,

logx + b

x + 3, x > 0.

Encuentre los valores a, b para los cuales f es derivable.

4. Sea f una funcion derivable. Demuestre que

limh→0

f(x + h)− f(x− h)

2h= f ′(x).

5. Calcule la derivada de la funcion f(x) = |x3|.6. Encuentre dos funciones no diferenciables tales que su producto sea

derivable.

7. Para a, c ∈ R, c > 0 definimos:

f(x) =

{xasen x−c, x 6= 0,0, x = 0

Demostrar:

(a) f es continua si y solo si a > 0,

(b) f es derivable si y solo si a > 1,

(c) f ′ es acotada en una vecindad de cero si y solo si a ≥ 1 + c,

131

(d) f ′ es continua si y solo si a > 1 + c.

8. Calcula la derivada de la funcion:

(a) log(x +√

a2 + x2),

(b)4√

ax + sen√

2x,

(c) f(x) = xxx.

(d) f(x) = g ◦ g ◦ g(x).

9. Demostrar por induccion la siguiente formula de Leibnitz:

(fg)(n) =n∑

k=0

(nk

)f (n−k)g(k),

cuando f , g tienen todas las derivadas hasta el orden n.

10. De la formula de la derivacion de la funcion compuesta deduzca laformula para la derivada de la funcion inversa tomando en cuenta quef−1(f(x)) = x.

11. Demuestre que xt − tx− t− 1 ≤ 0 para x > 0 y 0 < t < 1.

12. Sea f una funcion derivable que satisface la ecuacion f ′ = f 2 + 1.Demuestre que f tiene inversa, encuentre (f−1)′, f−1 y f misma.

13. Sea f una funcion derivable que satisface la ecuacion f ′ =1

2f.

Suponiendo que f tiene inversa, encuentre (f−1)′, f−1 y f misma.

14. Calcula

limx→0

1

xnexp− 1

x2.

15. encontrar los extremos de la funcion f(x) = xx.

16. Supongamos que la funcion f tiene derivada acotada en (a, b). De-mostrar que f es uniformemente continua en este intervalo.

17. Demostrar que una funccion que satisface la desigualdad|f(x)− f(y)| ≤ (x− y)2 para todos x, y ∈ R, es constante.

18. Sea f(x) = |x|3. Calcule f ′(0), f ′′(0) y demuestre que f ′′′(0) no existe.

132

19. Demuestre que, si una funcion f : R → R satisface |f(x) − f(y)|2 ≤(x− y)2 para todos x, y ∈ R, entonces es constante.

20. Calcular los siguientes lımites:

(a)limx→0

tg x log x2,

(b) limx→∞ xlog x

(log x)x ,

(c) limx→1xx−x

log x−x+1,

(d) limx→0(1− x + sen x)1

x3 ,

(e) limx→0 xsen x,

(f) limx→∞ x(e1x − 1),

(g) limx→∞(π − 2arctg x) log x.

Chapter 8

Convergencia de funciones

8.1 Convergencia puntual

Sea X ⊂ R. El espacio de todas las funciones X 3 x → f(x) ∈ R sedenota por RX . Considerando una funcion como un punto en el espacioRX vamos a definir la convergencia de funciones-puntos en este espacio. Adiferencia del caso del espacio de numeros existen muchas opciones de definirla convergencia y a ninguna de ellas se la puede llamar la mas natural o lamejor. Vamos a hablar entonces de la convergencia puntual, convergencia casiuniforme, convergencia uniforme de funciones para despues estudiar distintaspropiedades de todos estos conceptos.

Una sucesioon de funciones es una aplicacion del espacio de los numerosnaturales N en RX .

Definicion Una sucesion (fn) de funciones sobre X converge puntualmentea la funcion f ∈ RX si para todo x ∈ X la sucesion de numeros (fn(x))converge a f(x) en R.

En forma mas explicita la convergencia puntual fn → f significa:

∀ x ∈ X, ∀ε > 0, ∃ N ∈ N ∀ n > N |fn(x)− f(x)| < ε.

La convergencia puntual es tambien llamada ”convergencia debil”, porquerealmente es poco satisfactoria de varios puntos de vista.

133

134

Ejemplos

1. Sea X = [0, 1] y sea fn(x) = xn. Obtenemos

limn→∞ fn(x) = lim

n→∞xn =

{0, x 6= 11, x = 1.

Tenmos en este caso fn → f , donde

f(x) =

{0 x 6= 11 x = 1.

Las funciones fn son continuas y derivables y sin embargo su lımitepuntual, la funcion f no es ni siquiera continua. La convergenciapuntual no conserva la continuidad de funciones.

Sea xm = 1− 1m

. La discontinuidad de f = limn→n fn en x = 1 quieredecir que

limn→∞ lim

m→∞ fn(xm) 6= limm→∞ lim

n→∞ fn(xm).

En la sucesion de dos ındices unm = fn(xm) se obtiene resultados dis-tintos dependiendo del orden en el cual pasamos al lımite con respectoa los ındices m y n.

2. Sea X = R y fn(x) = limm→∞(cos n! πx)2m, n ∈ N.

La funcion fn esta definida como un lımite puntual con respecto a mde funciones (cos n! πx)2m. Recordando que (cos kπx)2 toma valor 1unicamente para k entero y en otros puntos su valor es menor que 1,obtenemos:

fn(x) =

{0, n! x 6∈ Z1, n! x ∈ Z.

Sea f(x) = limn→∞ fn(x).

Si x es un numero racional de formap

qentonces para n > q el numero

n! x es racional y fn(x) = 1. En consecuencia f(x) = 1. Si x 6∈ Qentonces fn(x) = 0 para todos n y f(x) = 0. Tenemos:

f(x) =

{0, x 6∈ Q1, x ∈ Q.

135

La funcion f que, como sabemos no es integrable en el sentido de Rie-mann, se obtiene como un lımite puntual doble de funciones derivables.En este caso concluimos que la convergencia puntual y la integrabilidaden el sentido de Riemann no concuerdan. En la teorıa de integracioncreada por Lebesgue y Caratheodory medio siglo despues de Riemannla convergencia puntual resulta ser mas que satisfactoria.

3. Sea fn(x) = nx(1 − x2)n para x ∈ [0, 1] y sea f(x) = limn→∞ fn(x).En los puntos 0 y 1 todas las funciones fn toman valor cero entoncesf(0) = f(1) = 0. Para x ∈ (0, 1) aplicamos el criterio de d’Alembert yobtenemos

limn→∞

fn+1(x)

fn(x)= lim

n→∞n + 1

n(1− x2) = 1− x2 < 1.

Obtenemos f(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1].

La sucesion (fn) converge a la funcion nula. Observemos ahora que

limn→∞

∫ 1

0nx(1− x2)ndx = lim

n→∞n

2n + 2=

1

26=

∫ 1

0f(x)dx = 0.

Recordemos entonces que en general

limn→∞

∫ b

afn(x)dx 6=

∫ b

alim

n→∞ fn(x)dx

incluso cuando la funcion f es R-integrable.

4. La sucesion fn(x) =cos nx

nconverge tambien a la funcion iden-

ticamente igual a cero. Sin embargo la sucesion de las derivadasf ′n(x) = −sen nx no es convergente. En general

limn→∞ f ′n 6= ( lim

n→∞ fn)′.

La relacion entre la convergencia puntual y la derivacion tampoco essatisfactoria.

La convergencia puntual tiene una ventaja incuestionable: es muy sen-cilla. Cuando estamos buscando el lımite en cualquier otro sentido de unasucesion de funciones fn, primero buscamos su lımite puntual f y despuesverificamos si la convergencia fn → f es uniforme, casi uniforme etc.

136

8.2 Convergencia uniforme

Introduciendo la convergencia uniforme que es mas fuerte, es decir masexigente que la convergencia puntual resolvemos algunos de los problemasanunciados en la seccion anterior. La convergencia uniforme conserva lacontinuidad de funciones y su R-integrabilidad. Aunque su relacion conla diferenciabilidad no es de todo satisfactoria, existen resultados bastantesatisfactorios en esta area.

Definicion Sean fn, f ∈ RX . Decimos que la sucesion (fn) converge a funiformemente si

ε > 0 ∃N ∈ N, ∀n > N, x ∈ X |fn(x)− f(x)| < ε.

Vamos a usar la notacion fnu→ f en el caso de la convergencia uniforme

y fnp→ f cuando la convergencia es puntual.

Cuando la convergencia fnu→ f tiene lugar, para cada ε > 0 podemos

encontrar N tal que todas las funciones fn con n > N tienen sus graficascontenidas entre la funcion f − ε y la funcion f + ε.

La convergencia uniforme es mas fuerte que la convergencia puntual.Comparando las definiciones se observa:

Proposicion 8.2.1 fnu→ f implica fn

p→ f .

El siguiente teorema es bastante obvio, sin embargo es util creando unprocedimiento para estudiar la convergencia uniforme.

Teorema 8.2.2 fnu→ f si y solo si existe M ∈ N tal que para n > M

Dn = supx∈X |fn(x)− f(x)| < ∞ y ademas limn→∞ Dn = 0.

Demostracion Si fnu→ f entonces tomando primero ε = 1 encontramos

M tal que para n > M y x ∈ X tenemos |fn(x) − f(x)| < 1. En particularDn = supx∈X |fn(x)− f(x)| ≤ 1 < ∞.

Sabemos entonces que los numeros Dn son finitos para todos n > M .Luego, para ε > 0 cualquiera existe N tal que para n > max{N, M}

tenemos Dn ≤ ε. La sucesion (Dn) converge a cero.Ahora, si la sucesion Dn esta bien definida para n > M y converge a cero

obtenemos que

∀ ε > 0 ∃N ∀n > N, x ∈ X |fn(x)− f(x)| ≤ Dn < ε. ¤

137

En muchas ocasiones tenemos dada una sucesion de funciones (fn) y sinconocer su lımite queremos saber si tiene lugar la convergencia uniforme. Eneste caso es muy importante el criterio siguiente:

Teorema 8.2.3 Sean fn ∈ RX . La sucesion (fn) converge uniformementea una funcion f ∈ RX si y solo si

1. ∃M ∀n, m > M Dn,m = supx∈X |fn(x)− fm(x)| < ∞y2. ∀ ε > 0 ∃N ∀ n,m > N Dn,m < ε.

Demostracion Si xiste f ∈ RX tal que fnu→ f , entonces segun el teorema

anterior los numeros Dn estan bien definidos desde cierto M en adelante yDn → 0.

Observemos que para n, m > M y para x ∈ X cualquiera

|fn(x)− fm(x)| = |fn(x)− f(x)− (fm(x)− f(x))|≤ |fn(x)− f(x)|+ |fm(x)− f(x)| ≤ Dn + Dm.

Calculando el supremo del valor del lado izquierdo de la desigualdadobtenemos:

Dn,m ≤ Dn + Dm.

La convergencia Dn → 0 implica

∀ ε > 0 ∃ N ∀n,m > N Dn,m ≤ Dn + Dm ≤ ε/2 + ε/2 = ε.

Las propiedades 1 y 2 estan probadas.Ahora supongamos que (fn) satisface las condiciones 1 y 2. Para encontrar

la funcion que es el lımite de la sucesion observemos que por la propiedad 2

∀ ε > 0 ∃N ∀ n,m > N x ∈ X |fn(x)− fm(x)| ≤ Dn,m < ε.

Para cada x ∈ X la sucesion de numeros (fn(x)) es de Cauchy y por lotanto es convergente. Sea f(x) = limn→∞ fn(x).

Queda por mostrar que la convergencia fn → f es uniforme. Utilizamospara este fin la desigualdad

|fn(x)− fm(x)| ≤ Dn,m < ε

que es valida para todo x ∈ X y para n, m > N .Pasando al lımite m →∞ obtenemos

138

|fn(x)− f(x)| ≤ Dn,m < ε

bajo las mismas condiciones. Entonces

supx∈X

|fn(x)− f(x)| ≤ ε

para todo n > N . La convergencia fnu→ f esta probada.

¤Ejemplo general

Las series de funciones son un caso particular de sucesiones de funcions.Una serie de funciones es una expresion de forma

S =∞∑

j=1

fj

donde fj ∈ RX .Decimos que la serie S converge puntualmente (resp. uniformemente) si

la sucesion de sumas parciales Fn =∑n

j=1 fj converge puntualmente (resp.uniformemente.) Si este es el caso, el lımite correspondiente se denotatambien como

∑∞j=1 fj.

Teorema 8.2.3 aplicado al caso de una serie de funciones conduce alsiguiente resultado:

Teorema 8.2.4 Sea∑∞

j=1 fj una serie de funciones definidas en X. La serieconverge uniformemente si y solo si

∀ε > 0 ∃ N, ∀n > m > N supx∈X

|n∑

j=m

fj| < ε.

Ejemplo particular

Sea X = [a, b] y sea f(x) = exp x. Como hemos probado en el capıtulo an-terior, la serie de Taylor de la funcion exp converge puntualmente a la mismafuncion. Para demostrar que esta serie converge tambien uniformemente encada intervalo [a, b] recordemos el desarrollo de Taylor de esta funcion con elresıduo en forma de Lagrange:

exp x =k∑

j=0

xj

j!+

xk+1

(k + 1)!exp ξ,

139

donde |ξ| < |x|. Denotemos C = max{|a|, |b|}.Obtenemos:

supx∈[a,b]

∣∣∣∣∣∣exp x−

k∑

j=0

xj

j!

∣∣∣∣∣∣= exp ξ sup

x∈[a,b]

|x|k+1

(k + 1)!≤ exp C

Ck+1

(k + 1)!.

La ultima sucesion converge a cero cuando k → ∞. Entonces la serie deTaylor de la funcion exponencial converge uniformemente a la misma sobrecada intervalo finito.

El teorema de Dini que vamos a demostrar en seguida relaciona la con-vergencia puntual monotona con la convergencia uniforme.

Teorema 8.2.5 (Dini) Sea X ⊂ R un conjunto compacto y sean fn, ffunciones continuas en X. Si fn es una sucesion decreciente que converge af puntualmente, entonces su convergencia es uniforme.

Demostracion Sean gn = fn − f . La sucesion gn es descendiente yconverge en a cero puntualmente. Nuestro proposito es demostrar quegn

u→ 0. Supongamos que no es ası. Tenemos entonces:

∃ ε > 0 ∀n ∃mn > n, xn ∈ X gmn(xn) > ε.

La sucesion (xn) tiene una subsucesion convergente xnk→ x ∈ X.

Fijemos el valor M y tomemos K tal que mnk> M para k > K. Por la

monotonıa de la sucesion tenemos para k > K:

gM(xnk) ≥ gmnk

(xnk) > ε.

Las funciones gn son continuas, entonces

gM(x) = gM( limk→∞

xnk) = lim

k→∞gM(xnk

) ≥ ε.

La ultima desigualdad contradice la convergencia a cero de la sucesion gM(x).La contradiccion obtenida termina la demostracion. ¤

Observemos que la sucesion fn(x) = xn converge puntualmente en eldominio [0, 1] y su convergencia es monotona decreciente. Sin embargo (fn)no converge uniformemente. La razon es que su lımite no es una funcioncontinua entonces las suposiciones del teorema de Dini no se cumplen.

140

8.3 Convergencia uniforme y continuidad

El teorema que probamos en seguida justifica la aparicion del concepto de laconvergencia uniforme.

Teorema 8.3.1 Sea X ⊂ R y sea fn una sucesion de funciones sobre Xuniformemente convergente sobre X. Supongamos que en un punto x ∈ Xtodas las funciones fn son continuas. Sea f(y) = limn→∞ fn(y), y ∈ X.Entonces f es continua en x.

Demostracion Para ε > 0 dado, aprovechando la convergencia uniformede la sucesion, podemos encontrar N tal que para todos n > N y todosy ∈ X |f(y) − fn(y)| < ε/3. La funcion fn tiene lımite en x entonces existeδ > 0 tal que |x− y| < δ implica |fn(x)− fn(y)| < ε/3.

Calculamos ahora:

|f(x)− f(y)| = |f(x)− fn(x) + fn(x)− fn(y) + fn(y)− f(y)|≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fm(y)|+ |fm(y)− f(y)|≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε

para |x− y| < δ.¤La convergencia uniforme es una propiedad global, porque para con-

statarla tenemos que estudiar el valor |fn(x) − f(x)| recorriendo todo eldominio. Por otro lado la continuidad de la funcion es una propiedad local.Para determinarla en y ∈ X es suficiente estudiar los valores |f(x) − f(y)|para |x− y| < δ, donde δ > 0 es tan pequena como nos convenga. El ultimoteorema carece de ”elegancia” porque deduce una propiedad local a base decierta propiedad global. En realidad no se necesita hasta la convergenciauniforme para obtener el mismo efecto.

Definicion Decimos que una sucesion de funciones fn : X → R convergecasi uniformemente a la funcion f si para cada intervalo [a, b] ⊂ R lasrestricciones fn|X∩[a,b] convergen uniformemente a f |X∩[a,b]. La convergencia

casi uniforme se denota por fnc.u.→ f .

Teorema 8.3.2 Si las funciones fn son continuas en X ⊂ R y la sucesion(fn) converge casi uniformemente a f entonces f es continua en X.

Demostracion Para demostrar que f es continua en un punto y ∈ Xfijamos δ > 0 y restringimos las funciones al intervalo

I = [y − δ, y + δ] ∩X.

141

Por la suposicion las funciones fn convergen uniformemente a f sobre I,entonces por Teorema 9.3.1 la funcion f es continua en y.

¤Ejemplos

1. Sea f una funcion positiva sobre R. Sea

g(x) =∞∑

n=1

1

2n

f(x)

1 + f(x).

Vamos a ver que la funcion g esta definida en todo R y que s continuaen este dominio.

Sean k > m. Entonces

k∑n=m

1

2n

f(x)

1 + f(x)≤

k∑n=m

1

2n<

1

2m−1.

Por Teorema 8.2.3 las sumas parciales convergen uniformemente, en-tonces su lımite g es una funcion continua.

2. La diferencia entre la convergencia uniforme y casi uniforme se puedeobservar en el siguiente caso muy sencillo: Sea fn(x) = 1

nx, x ∈ R.

Esta sucesion converge puntualmnte a cero, pero la convergencia no esuniforme sobre R, porque las funciones fn no son acotadas. Sobre cadaintervalo finito la convergencia es uniforme entonces fn

c.u.→ f .

8.4 Convergencia uniforme y la integracion

Teorema 8.4.1 Sea fn una sucesion de funciones R-integrables sobre ununtervalo finito [a, b]. Si fn

u→ f entonces f es R-integrable y

∫ b

af(x)dx = lim

n→∞

∫ b

afn(x)dx.

Demostracion Si dos funciones acotadas f y g satisfacen la condicionsupx∈[a,b] |f(x) − g(x)| < ε entonces para x arbitrario tenemos en particularg(x)− ε < f(x) < g(x) + ε. Para cualquier particion P = {a, x1, . . . , xn−1, b}obtenemos entonces

infx∈[xn−1,xn]

g(x)− ε ≤ infx∈[xn−1,xn]

f(x) ≤ supx∈[xn−1,xn]

f(x) ≤ supx∈[xn−1,xn]

g(x) + ε.

142

Tomando las sumas con respecto a n llegamos a las siguientes relaciones:

Σ(g, P)− ε(b− a) ≤ Σ(f, P) ≤ Σ(f, P) ≤ Σ(g, P) + ε(b− a).

Gracias a la convergencia uniforme fnu→ f para ε > 0 arbitrario podemos

encontrar un ındice n tal que supx∈[a,b] |f(x) − fn(x)| < ε3(b−a)

. Por la

integrabilidad de fn existe una particion P tal que

Σ(fn,P)− Σ(fn,P) < ε/3.

Para esta particion en particular tenemos

Σ(fn,P)− ε/3 ≤ Σ(f, P) ≤ Σ(f, P) ≤ Σ(fn,P) + ε/3.

Los numeros Σ(f, P) y Σ(f, P) se encuentran dentro del intervalo

In = [Σ(fn,P)− ε/3, Σ(fn,P) + ε/3]

cuya longitud es < ε. Por lo tanto

Σ(f, P)− Σ(f, P) < ε.

Por Teorema 6.2.1 la funcion f es integrable.El mismo intervalo In contiene los valores

∫ ba f(x)dx, ası como

∫ ba fn(x)dx.

Para ε > arbitrario y n suficientemente grande tenemos entonces

|∫ b

af(x)dx−

∫ b

afn(x)dx| < ε,

lo que demuestra la formula

∫ b

af(x)dx = lim

n→∞

∫ b

afn(x)dx.

¤La convergencia casi uniforme se conserva cuando pasamos de una sucesion

fnc.u.→ f a la sucesion de sus integrales indefinidas Fn y F .

Teorema 8.4.2 Sean fn funciones definidas en el intervalo [a, b), donde bpuede tomar el valor ∞. Supongamos que cada funcion fn es integrable encada intervalo finito [a, c] ⊂ [a, b). Si fn

c.u.→ f , entonces las funciones Fn(x) =∫ xa fn(t)dt convergen casi uniformemente a la funcion F (x) =

∫ xa f(t)dt.

143

Demostracion Aplicando Teorema 8.4.1 al intervalo [a, x] obtenemos laconvergencia puntual Fn(x) → F (x) para cada x ∈ [a, b). Queda por mostrarque la convergencia es uniforme sobre cada intervalo finito [a, c].

supx∈[a,c]

|Fn(x)− F (x)| = supx∈[a,c]

∣∣∣∣∫ x

a(fn(t)− f(t))dt

∣∣∣∣ ≤

≤ supx∈[a,c]

∫ x

a|fn(t)− f(t)|dt =

∫ c

a|fn(t)− f(t)|dt ≤

≤ (c− a) supt∈[a,c]

|fn(t)− f(t)|.

Para cada ε > 0 podemos encontrar n tal que para todo m > n

supt∈[a,c]

|fm(t)− f(t)| < ε

b− a

y entonces supx∈[a,c] |Fm(x)− F (x)| < ε.

¤Conviene enfatizar que la convergencia uniforme de una sucesion fn

no implica la covergencia uniforme de las integrales indefinidas Fn comodemuestra el ejemplo siguiente:

Si fn(x) = 3x2 + 1n

en R entonces Fn =∫ x0 (3t2 + 1

n)dt = x3 + 1

nx. La

primera sucesion converge uniformemente a 3x2, mientras que la segunda noes uniformemente convergente. Obviamente converge casi uniformemente deacuerdo con Teorema 8.4.2.

Ejemplo

Sean fn funciones R-integrables en el intervalo [a, b]. Supongamos que laserie

∞∑

n=1

fn

converge uniformemente.

Como una aplicacion inmediata del Teorema 8.4.1 obtenemos

∫ b

a

∞∑

n=1

fn(x)dx =∞∑

n=1

∫ b

afn(x)dx.

144

8.5 Convergencia uniforme y derivacion

La relacion de la convergencia uniforme con con la derivacion es mas com-plicada. Ejemplo 4 de la seccion 9.1 muesta un caso de una sucesion uni-formemente convergente de funciones suaves fn(x) = cos n x

ncuyas derivadas

divergen hasta puntualmente. Sin embargo, agregando unas condiciones adi-cionales vamos a obtener un resultado muy util sobre la posibilidad de inter-cambiar las operaciones lim con d

dx.

Teorema 8.5.1 Sean fn funciones derivables en [a, b]. Supongamos queexiste x0 ∈ X tal que fn(x0) es una sucesion convergente. Si la sucesion f ′nconverge uniformemente a una funcion ϕ entonces fn converge uniformementea una funcion derivable f y f ′ = ϕ.

Demostracion De acuerdo con las suposiciones para cada ε > 0 existe Ntal que para n, m > N se cumplen las desigualdades

|fn(x0)− fm(x0)| < ε

2

y

|f ′n(x)− f ′m(x)| < ε

2(b− a)

para todo x ∈ X.Aplicamos el teorema de valor medio en forma de Lagrange a la funcion

fn − fm y obtenemos para x, y arbitrarios y los mismos n, m:

|fn(x)− fm(x)− (fn(y)− fm(y))| ≤ supt∈X

|f ′n(t)− f ′m(t)||x− y| ≤ ε

2. (8.1)

En particular para y = x0

|fn(x)−fm(x)| ≤ |fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))|+ |fn(x0)−fm(x0)|| ≤ ε.

La sucesion (fn) converge uniformemente a un lımite que denotamos por f .Estudiamos la diferenciabilidad de f en un punto fijo x ∈ X.

Introduzcamos las funciones

gn(y) =

fn(y)− fn(x)

y − x, y 6= x,

f ′n(x) y = x

La diferenciabilidad de fn significa que gn es continua en x.

145

Por la desigualdad (8.1) obtemnemos para n, m > N :

|gn(y)− gm(y)| ≤ ε

2(b− a)

para todos y 6= x. La sucesion gn converge uniformemente en [a, b] \ {x} y

su lımite en este dominio es la funcion g(y) =f(y)− f(x)

y − x.

En el punto x tenemos gn(x) = f ′n(x) → ϕ(y). En el dominio completo[a, b] la sucesion gn converge uniformemente a la funcion

g(y) =

f(y)− f(x)

y − x, y 6= x.

ϕ(x) y = x

Por Teorema 8.3.1 la funcion g es continua en x y por lo tanto

ϕ(x) = limy→x

g(x) = limy→x

f(y)− f(x)

y − x= f ′(x). ¤

La formula principal que acabamos de demostrar se puede escribir enforma

d

dxlim

n→∞ fn = limn→∞

d

dxfn.

Como hemos enunciado al principio se trata de un criterio que establece lascondiciones bajo las cuales se puede intercambiar la operacion de derivacioncon la operacion de tomar lımites.

EjemploNuevamente aplicamos el resultado al caso de una serie de funciones. Sea

f(x) =∞∑

n=1

fn(x),

donde las funciones fn son derivables y la serie converge en algun puntox0 ∈ [a, b]. Si la serie

∑∞n=1 f ′n converge uniformamente entonces la funcion f

es derivable y

f ′(x) =∞∑

n=1

f ′n(x).

146

8.6 Series de potencias

Un caso particular muy sencillo y sin embargo de importancia enorme es elde las series de potencias.

Definicion Sea (an) una sucesion de numeros reales. Una serie de poten-cias centrada en x0 ∈ R y con coeficientes an se define como

S =∞∑

n=0

an(x− x0)n = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)

2 + . . .

Cada serie de potencias define una funcion cuyo dominio es

D(S) = {x ∈ R|∞∑

n=0

an(x− x0)n converge}.

Hay casos cuando D(S) se reduce a un solo punto {x0}. Ası es por ejemplocuando an = n!.

Los resultados que obtuvimos en el caso de series numericas se traduceninmediatamente a teoremas sobre las series de potencias. Dada una serie de

potencias con coeficientes (an) centrada en x0, sea α = lim supn→∞n

√|an|. El

radio de convergencia de la serie S se define como

R =

∞, α = 0,1

α, 0 < α < ∞,

0, α = ∞.

El siguiente teorema explica el papel del radio de convergencia.

Teorema 8.6.1 (Cauchy-Hadamard) Para x ∈ R tal que |x − x0| < R la

serie∞∑

n=1

cn(x− x0)n converge absolutamnte. Si | x−x0| > R la serie diverge.

Demostracion Aplicamos el criterio Cauchy de convergencia de las seriesnumericas. El termino n-esimo de la serie de potencias tiene la formaan(x− x0)

n. Calculamos

lim supn→∞

n

√|an(x− x0)n| = | x− x0| lim sup

n→∞n

√|an| = |x− x0|α.

Segun criterio de Cauchy la serie converge absolutamente cuando se cumplela condicion |x − x0|α < 1 y diverge cuado |x − x0|α > 1. Esto equivale alenunciado del teorema. ¤

147

Como hemos observado estudiando las series numericas, el criterio ded’Alembert de la convergencia de series numericas tiene menor alcance queel de Cauchy, pero en los casos cuando sı funciona es mas facil de aplicar.

Proposicion 8.6.2 Si existe ρ = limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ entonces α = ρ.

Demostracion Si limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ existe, entonces tambien existe

limn→∞

∣∣∣∣∣an+1(x− x0|n+1

an(x− x0)n

∣∣∣∣∣ = |x− x0|ρ.

Aplicamos el criterio de d’Alembert. Para todos x tales que |x − x0|ρ < 1la serie converge absolutamente y entonces criterio de Cauchy dice que|x− x0|α ≤ 1. Resulta que para cualquier numero positivo u la desigualdadρ 1implica la divergencia de la serie y en consecuencia obtenemos |x−x0|α ≥ 1.De aquı se sigue α ≥ ρ. Finalmente α = ρ.

¤

Corolario 8.6.4 Si existe ρ = limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ entonces

R =

∞, ρ = 0,1

ρ, 0 < ρ < ∞,

0, ρ = ∞.

El corolario siguiente lleva el nombre del primer teorema de Abel sobreseries de potencias.

Corolario 8.6.5 Si la serie∞∑

n=1

an(x− x0)n convege para algun x1 ∈ R

entonces la misma serie converge absolutamente para cada x tal que |x−x0| <|x1 − x0|.Demostracion La convergencia de la serie en x1 es posible solamentecuando | x1 − x0| ≤ R. Entonces |x− x0| < | x1 − x0| implica |x− x0| < R yla serie converge absolutamente en x.

¤

148

8.7 Integracion y derivacion de series de po-

tencias

En la seccion anterior estabamos estudiando las series de potencias tratan-dolas en realidad como series nuericas para cada x por separado. El criteriode Cauchy-Hadamard asegura que por lo menos en el intervalo

D(R, x0) = {x ∈ R| |x− x0| < R} = (x0 −R, x0 + R).

esta bien definida la funcion

S(x) =∞∑

n=1

an(x− x0)n.

La funcion S es entonces igual al lımite puntual de las sumas parciales

Sk(x) =k∑

n=1

an(x− x0)n.

En esta seccion vamos a estudiar las series de potencias como series defunciones investigando las regiones de convergencia uniforme y casi uniformepara obtener las formulas de integracion y derivacion de S con ayuda de losteoremas obtenidos en secciones 8.3, 8.4, 8.5.

Teorema 8.7.1 Las sumas parciales Sk convergen casi uniformemente enel intervalo D(R, x0). La funcion S es continua en este intervalo.

Demostracion Sea 0 < r < R y sea x1 = x0 + r.

La serie∞∑

n=1

an( x1 − x0)n converge absolutamnte por el criterio de Cauchy-

Hadamard. Para cada ε > 0 existe N tal que

∞∑

n=N+1

|an||x− x0|n < ε.

Para cada x ∈ [x0 − r, x0 + r] y k > N obtenemos

|S(x)− Sk(x)| ≤∞∑

n=k+1

|an||x− x0|n ≤∞∑

n=N+1

|an||x1 − x0|n < ε.

La convergencia es uniforme en cada subintervalo cerrado de D(R, x0). En-tonces Sk

c.u→ S. La funcion S es continua como lımite uniforme de funcionescontinuas. ¤

149

Teorema 8.7.1 nos permite describir la integral indefinida de S como otraserie de potencias.

Teorema 8.7.2 Para cada x ∈ D(R, x0)

∫ x

x0

S(t)dt =∞∑

n=1

an

n + 1(x− x0)

n.

Demostracion Gracias a Teorema 9.7.1 podemos aplicar directamenteTeorema 9.4.1. Para cada x ∈ D(R, x0)

∫ x

x0

S(t)dt =∞∑

n=1

an

∫ x

x0

(t− x0)n =

∞∑

n=1

an

n + 1(x− x0)

n.

¤Teorema 8.5.1 proporciona inmediatamente la formula de derivacion de

la serie de potencias.

Teorema 8.7.4 La funcion S tiene derivadas de cualquier orden y suderivada de orden k tiene la forma de serie de potencias:

S(k)(x) =∞∑

n=k

n(n− 1) . . . (n− k + 1)an(x− x0)n−k.

Demostracion Estudiamos primero el caso de la primera derivada S ′(x).Queremos probar que

S ′(x) =∞∑

n=1

nan(x− x0)n−1 =

∞∑

n=0

bn(x− x0)n,

donde bn = (n + 1)an+1.Calculamos

lim supn→∞

n

√|bn| = lim sup

n→∞n√

n + 1 n

√|an+1| = lim sup

n→∞n

√|an|,

porque limn→∞ n√

n + 1 = 1. La serie∑∞

n=1 nan(x − x0)n−1 tiene el mismo

radio de convergencia que la serie S. Aplicamos ahora Teorema 9.5.1 a lafuncion S = limk→∞ Sk. La sucesion Sk converge en x0. Las derivadas S ′k soniguals a las sumas parciales de la serie

∑∞n=0 bn(x− x0)

n entonces convergencasi uniformemente en D(R, x0). Entonces

S ′(x) = limk→∞

S ′k =∞∑

n=1

nan(x− x0)n−1.

150

La formula para la k-esima derivada se obtiene ahora por la induccion.¤

Ejemplos

1. Como sabemos, para |x| < 1

1

1 + x=

∞∑

n=0

(−1)nxn.

El radio de convergencia de esta serie es igual a 1, como se podıaesperar. Por teorema 8.7.2

log(1 + x) =∫ x

0

1

1 + tdt =

∞∑

n=1

(−1)n−1

nxn.

2. Por la misma formula

1

1 + x2=

∞∑

n=0

(−1)nx2.

En virtud de que (arctan x)′ =1

1 + x2obtenemos

arctan x =∞∑

n=0

(−1)n

2n + 1x2n+1.

Vamos a agregar sin demostracion un teorema llamado el segundo teoremade Abel sobre las series de potencias que proporciona cierta informacion sobreel comportamiento de series en los extremos del intervalo de convergencia.

Teorema 8.7.3 Sea S(x) =∞∑

n=1

an(x− x0)n una serie de potencias con el

radio de convergencia R. Supongamos que la serie∞∑

n=1

anRn converge, (resp.

∞∑

n=1

an(−R)n converge). Entonces

limx→(x0+R)−

S(x) =∞∑

n=1

anRn,

151

(resp. limx→(x0+R)+

S(x) =∞∑

n=1

an(−R)n).

Este teorema afirma que en el caso de que la serie converge en uno d losextremos del intervalo de convergencia, entonces la funcion S(x) extendidaa este dominio mas grande - sigue siendo continua.

EjemploAplicamos Teorema de Abel para obtener el valor de π. Esta formula fue

descubierta por Leibnitz. Como sabemos

π

4= arctan 1 = lim

x→1−arctan x = lim

x→1−

∞∑

n=0

(−1)n

2n + 1x2n+1.

La serie∞∑

n=0

(−1)n

2n + 1converge segun el criterio de Leibnitz. Entonces

π

4=

∞∑

n=0

(−1)n

2n + 1.

8.8 Teorema de Weierstrass

El ejemplo de las series de potencias nos ha ensenado la importancia de laconvergencia uniforme y la forma como se aplica para calcular las integraleso derivadas de funciones mas complicadas. Sin embargo las funciones quese pueden representar como series de potencias son relativamente pocas.Estudiando funciones de varias variables vamos a ver que estas funciones nosolamente tienen que ser de clase C∞ sino que, extendidas al plano complejoen forma natural, satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales.

Para extender el dominio de aplicaciones de los teoremas probados en lassecciones anteriores es preciso estudiar cuales funciones subre un intervalo[a, b] se pueden aproximar uniformemente por polinomios cuyas derivadase integrales se calculan facilmente. Teorema de Weierstrass da respuestaa esta pregunta. Antes de presentar y demostrar este importante teoremanecesitamos dos Lemas. El primero es muy sencillo y su demostracion serecomienda al Lector como ejercicio.

Lema 8.8.1 Sea φ : X → Y una aplicacion syprayectiva y sean f , fn, n ∈ Nunas funciones sobre Y . Entonces fn

u→ f si y solo si fn ◦ φu→ f ◦ φ.

152

Lema 8.8.2 Para todo n ∈ N y 0 ≤ x ≤ 1 se satisface la desigualdad

1− nx2 ≤ (1− x2)n.

Demostracion La funcion h(x) = (1− x2)n − 1 + nx2 se anula en x = 0.Su derivada igual a h′(x) = 2nx(1−(1−x2)n−1) es no-negativa en el intervalo.Por lo tanto h es no decreciente en el intervalo y toma valores no-negativosen el mismo.¤Teorema 8.8.3 (Weierstrass) Sea f ∈ C[a, b]. Existe una sucesion depolinomios pn, n ∈ N tal que

pnu→ f.

Demostracion Con el fin de construir una sucesion de polinomios queaproxime a f uniformemente, estudiamos primero unos polinomios en elintervalo [0, 1]. Sean qn(x) = cn(1 − x2)n, n ∈ N, donde los coeficientescn se escogen de tal manera que

∫ 1−1 qn(x)dx = 1.

En lugar de buscar la forma explıcita de cn, nos limitamos a la busquedade una estimacion de su valor aprovechando Lema 8.8.2.

∫ 1

−1(1− x2)ndx = 2

∫ 1

0(1− x2)ndx ≥ 2

∫ 1/√

n

0(1− x2)ndx

≥ 2∫ 1/

√n

0(1− nx2)dx =

4

3√

n> 1/

√n,

de donde obtenemos

cn <√

n.

Para cualquier δ > 0 y para δ ≤ |x| ≤ 1 se satisface

qn(x) ≤ √n(1− δ2)n.

La sucesion de polinomios qn converge uniformemente a cero en [−1,−δ] ∪[δ, 1].

Pasamos a la parte principal de la demostracion del teorema.El intervalo [a, b] se puede transformar en forma biyectiva en [0, 1]. Gra-

cias al Lema 8.8.1 podemos desarrollar la demostracion del teorema para elintervalo [0, 1] sin perder la generalidad. Es tambien suficiente demostrar elteorema para una funcion de forma g(x) = f(x) + p(x), donde p(x) es unpolinomio fijo, entonces escogemos g(x) = f(x)− f(0)− x(f(1)− f(0)).

153

La funcion g es tambien continua en [0, 1], pero ademas satisface lacondicion g(0) = g(1) = 0. Si ponemos el valor g(x) = 0 para x 6∈ [0, 1],obtenemos una funcion continua en todo el eje R.

Sean pn(x) =∫ 1−1 g(x + t)qn(t)dt. Tomando en cuenta que la funcion g

se anula fuera de [0, 1], el integrando es nulo fuera del intervalo [−x, 1 − x].Esta simple observacion y el cambio de variable muy sencillo conducen a otraformula para las funciones pn :

pn(x) =∫ 1−x

−xg(x + t)qn(t)dt =

∫ 1

0g(t)qn(t− x)dt.

La ultima expresion demuestra que cada pn es un polinomio.

La funcion g es uniformemente continua en R. Dado ε > 0, escogemos

δ de tal forma que para |y − x| < δ se cumple |f(y) − f(x)| ≤ ε

2. Sea

M = maxx∈[0,1] |g(x)|.Ahora, para cada x ∈ [0, 1] calculamos

|pn(x)− g(x)| =∣∣∣∣∫ 1

−1(g(x + t)− g(x))qn(t)dt

∣∣∣∣

≤∫ 1

−1|g(x + t)− g(x)|qn(t)dt ≤

≤ 2M∫ −δ

−1qn(t)dt +

ε

2

∫ δ

−δqn(t)dt + 2M

∫ 1

δqn(t)dt

≤ 4M√

n(1− δ2)n +ε

2< ε

para n suficientemente grande. Hemos probado que pnu→ g. ¤

El hecho de que cada funcion continua en un intervalo puede ser aproxi-mada uniformemente por polinomios no significa que se la puede desarrollaren una serie de potencias. El lımite de una serie convergente es, como sabe-mos, una funcion suave ”y algo mas”. Representacion de una funcion comoserie de potencias es una forma muy especial de aproximacion por polinomios.

8.9 Series de Fourier

En una cuerda vibrante que emite un sonido ”puro” de longitud de onda lla desviacion momentanea de on punto de su lugar de reposo depende del

154

tiempo de forma siguiente:

d(t) = a senπt

l.

Una cuerda de longitud l emite sin embargo un sonido mas complicado queesta compuesto de un numero infinito de sonidos ”puros”, a saber todos los

que son de longitudesl

n, n = 1, 2, 3 . . . . El movimiento real de un punto de

la cuerda esta dado por una serie trigonometrica:

f(t) =∞∑

n=1

an sennπt

l.

Una persona con buen oido musical sabe evaluar el valor an por lo menos paralos sonidos predominantes, es decir puede analizarlo con cierta exactitud. Eloıdo humano es capaz de realizar el analisis armonico.

Pasando a los problemas puramente matematicos relacionados con lasseries de este tipo definimos la serie de Fourier como la derie de funciones deforma

f(t) =b0

2+

∞∑

n=1

an sen nt + bn cos nt.

Inmediatamente surgen dos preguntas fundamentales:¿Que condiciones impuestas sobre los coeficientes an, bn aseguran la

convergencia puntual o uniforme de la serie de Fourier?¿Cuales son las funciones en un intervalo que pueden representarse en

forma de la serie trigonometrica puntualmente o uniformemente convergente?La teorıa de las series trigonometricas es muy avanzada, extensa e involu-

cra metodos de varias ramas de analisis funcional. Vamos a presentar aquıunicamente algunos teoremas basicos de esta area.

Respecto a la primera pregunta, los teoremas probados en secciones 8.3y 8.5 nos proporcionan unas condiciones suficiente de la convergencia de laserie de Fourier.

Teorema 8.9.1 Si∞∑

n=1

(|an|+ |bn|) < ∞ entonces la serie de Fourier corre-

spondiente converge uniformemente a una funcion continua

f(t) =b0

2+

∞∑

n=1

an sen nt + bn cos nt.

155

Si ademas∞∑

n=1

n(|an|+ |bn|) < ∞, entonces f es de clase C1.

Demostracion Denotemos por Sm(t) la suma parcial de la serie deFourier. Entonces para k > m se satisface

|Sk(t)− Sm(t)| =

∣∣∣∣∣∣

k∑

n=m+1

an sen nt + bn cos nt

∣∣∣∣∣∣≤

≤k∑

n=m+1

an |sen nt + bn cos nt| ≤k∑

n=m+1

|an|+ |bn|.

Por suposicion las sumas parciales de la serie∑∞

n=1(|an| + |bn|) forman unasucesion de Cauchy, entonces por la desigualdad demostrada las sumas Sk(t)tambien forman sucesiones de Cauchy, por lo tanto convergentes y ademasuniformente. Por Teorema 8.3.1 el lımite f de la sucesion Sn es una funcioncontinua.

La derivada de la suma parcial Sk tiene forma de serie trigonometrica

S ′k(t) =k∑

n=1

nan cos nt− nbn sen nt.

Aplicando los mismos argumentos a la ultima serie y luego el Teorema 8.5.1obtenemos la conclusion de que f es derivable y

f ′(t) =∞∑

n=1

nan cos nt− nbn sen nt

es una funcion continua. ¤Ahora pasamos a otro problema de determinar una clase de funciones

las cuales se pueden desarrollar en una serie de Fourier. Desgraciadamenteno disponemos de medios suficientes para presentar las demostraciones deresultados mas interesantes.

Cada funcion que se puede representar como una serie de Fourier conver-gente satisface la condicion f(t+k2π) = f(t) para k ∈ Z y t ∈ R arbitrarios,es decir es periodica con periodo 2π. Cada funcion periodica esta totalmentedeterminada por sus valores cualquier intervalo de longitud de su periodo.En nuestro caso podemos limitarnos a funciones en el intervalo [−π, π] quetoman el mismo valor en ambos extremos.

156

Si sabemos de antemano que la funcion dada admite el desarrollo en unaserie de Fourier, podemos calcular los coeficientes an y bn que aparecen en suserie de Fourier.

Teorema 8.9.2 Supongamos que una funcion f : [−π, π] → R tiene laforma de una serie de Fourier uniformemente convergente. Entonces suscoeficientes an y bn estan dados por las formulas:

an =1

π

∫ π

−πf(x)sen nxdx, bn =

1

π

∫ π

−πf(x) cos nx dx, (8.2)

n = 0, 1, 2 . . . .

Demostracion Recordemos las formulas elementales:

∫ π

−πcos nx cos mxdx =

{0, n 6= m,π, n = m.

∫ π

−πcos nxsen mxdx = 0.

∫ π

−πsen nxsen mxdx =

{0, n 6= m,π, n = m.

Por la suposicion

f(x) =b0

2+ lim

k→∞

k∑

n=1

an sen nx + bn cos nx.

La serie converge uniformemente entonces para cualquier funcion R-integrableg

∫ π

−πf(x)g(x)dx =

b0

2

∫ π

−πg(x)dx + lim

k→∞

k∑

n=1

∫ π

−π(ansen nx + bn cos nt)g(x)dx.

Substituyendo en esta formula g(x) = cos nx, n = 0, 1, 2, . . . y luego g(x) =sen mx, m = 1, 2, 3, . . . obtenemos las formulas enunciadas.

¤Los coeficientes an, bn definidos por la formula (8.2) se llaman coeficientes

de Fourier de la funcion f .Los coeficientes an y bn se pueden calcular suponiendo nada mas que

f es una funcion R-integrable. A cada funcion integrable, le corresponde

157

entonces una serie de Fourier. Sin embargo, en general la serie de Fouriercorrespondiente puede diverger o bien puede converger, pero a una funciondistinta de f .

La continuidad de f no es suficiente para que la serie de Fourier corre-spondiente a f aproximara la funcion ni siquiera puntualmente. La suavidadde f sı lo asegura.Teorema 8.8.3 Sea f una funcion derivable en [−π, π]. Entonces su seriede Fourier converge a f puntualmente.

En el caso de funciones continuas se demuestra que las sumas parcialesde su serie de Fourier convergen a f en el sentido especial.

Teorema 8.8.4 Sea f ∈ C[−π, π] y sea Sn la n-esima suma parcial de suserie de Fourier. Entonces

limn→∞

∫ π

−π|f(t)− Sn(t)|2dt = 0.

Cuando tiene lugar la convergencia de este tipo, decimos que Sn convergea f en L2[−π, π].

El libro An Introduction to Harmonic Analysis por Y. Katznelson pre-senta la teorıa de series de Fourier en forma relativamente sensilla y al mismotiempo completa.

Bibliografıa

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