ecuaciones matriciales ejercicios - ejercicios de matemáticas
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Matrices y Determinantes Matemáticas II
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ECUACIONES MATRICIALES
Ejercicios
1. Determina la matriz X que verifica la ecuación A·X = X - B siendo:
𝐴 = (0 0 10 0 0
−1 0 0) y B = (
1 0 10 1 10 −1 −1
)
2. Considera la matriz C = (1 1 1
−1 −1 −10 0 0
). Calcula la matriz X que verifica:
C · X – X = 2I (I es la matriz identidad de orden 3)
3. Sean las matrices:
A = (2 −1 00 2 −1
), B = (2 12 2
) y C = (1 −20 2
−2 0)
Calcule la matriz P que verifica BP - A = Ct (Ct es la traspuesta de C)
4. Halla la matriz X que verifica la igualdad A · X · A-1 + B = C · A-1 sabiendo que:
A = (0 −1 0
−1 −3 01 4 1
), C = (1 −1 20 0 −11 0 −1
) y B·A = (1 1 01 1 −1
−1 −5 −3)
5. Considera las matrices A = (−1 22 −1
), B = (1 0 0
−2 1 03 2 1
) y C = (1 0 0
−1 5 0).
Determina la matriz X para la que At · X · B-1 = C (At es la matriz traspuesta de A)
6. Considera las siguientes matrices: A = (−1 20 1
) y B = (−3 02 −1
). Resuelve la
ecuación matricial A · X · At – B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y
At es la matriz traspuesta de A.
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7. Sea k un número natural y sean las matrices
A = (1 1 10 1 00 0 1
), B = (01
−1) y C = (1 1 2)
a) Calcular Ak
b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación Ak X = B C
8. Sea la matriz A = (3 𝑚
1 − 𝑚 𝑚 + 1)
a) Calcula los valores de m para que A tenga inversa.
b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial A·X·A = I2 donde I2 es la
matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.
9. Considera las matrices A = (1 01 1
) y B = (1 20 1
). Determina, si existe, la matriz
X que verifica A · X + B2 = B · X + A2.
10. Dada la matriz A = (−1 12 −1
).
a) Demuestra que A2 + 2A = I y que A-1 = A +2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.
b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación: A2 + XA + 5A = 4I (I es la matriz identidad de orden 2).
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SOLUCIONES
1. Determina la matriz X que verifica la ecuación A·X = X - B siendo:
Solución:
Empezamos trabajando con las matrices para despejar X:
Por tanto, si A - I es una matriz inversible podremos determinar la matriz X que verifica la ecuación:
Como A - I es inversible y conocemos su inversa podemos determinar X:
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2. Considera la matriz C = (1 1 1
−1 −1 −10 0 0
). Calcula la matriz X que verifica:
C · X – X = 2I (I es la matriz identidad de orden 3)
Solución:
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3. Sean las matrices:
A = (2 −1 00 2 −1
), B = (2 12 2
) y C = (1 −20 2
−2 0)
Calcule la matriz P que verifica BP - A = Ct (Ct es la traspuesta de C)
Solución:
Empezamos despejando P:
La ecuación tendrá solución si y sólo si B es inversible. Veamos si B tiene inversa y en caso de tenerla calculémosla:
Como B es inversible podemos calcular P:
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4. Halla la matriz X que verifica la igualdad A · X · A-1 + B = C · A-1 sabiendo que:
A = (0 −1 0
−1 −3 01 4 1
), C = (1 −1 20 0 −11 0 −1
) y B·A = (1 1 01 1 −1
−1 −5 −3)
Solución:
Despejamos la matriz X:
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5. Considera las matrices A = (−1 22 −1
), B = (1 0 0
−2 1 03 2 1
) y C = (1 0 0
−1 5 0).
Determina la matriz X para la que At · X · B-1 = C (At es la matriz traspuesta de A)
Solución:
Despejamos la matriz X:
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6. Considera las siguientes matrices: A = (−1 20 1
) y B = (−3 02 −1
). Resuelve la
ecuación matricial A · X · At – B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y
At es la matriz traspuesta de A.
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7. Sea k un número natural y sean las matrices
A = (1 1 10 1 00 0 1
), B = (01
−1) y C = (1 1 2)
a) Calcular Ak
b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación Ak X = B C
Solución:
a) Empezamos calculando Ak :
b) Empezamos despejando X en la ecuación:
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La ecuación tendrá solución si Ak es inversible. Veamos si lo es y calculemos su inversa:
Como Ak es inversible, la ecuación tiene solución. Calculémosla:
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8. Sea la matriz A = (3 𝑚
1 − 𝑚 𝑚 + 1)
a) Calcula los valores de m para que A tenga inversa.
b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial A·X·A = I2 donde I2 es la
matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.
Solución:
a) Empezamos por ver para qué valores de m es A inversible:
b) Para m = 0, tenemos que
Por otra parte, para la ecuación A·X·A = I2 se tiene que:
de manera que la ecuación tendrá solución si y sólo si A es inversible. Como ya hemos visto que A es inversible y conocemos su inversa, podemos calcular X:
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9. Considera las matrices A = (1 01 1
) y B = (1 20 1
). Determina, si existe, la matriz
X que verifica A · X + B2 = B · X + A2
Solución:
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10. Dada la matriz A = (−1 12 −1
).
c) Demuestra que A2 + 2A = I y que A-1 = A +2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.
d) Calcula la matriz X que verifica la ecuación: A2 + XA + 5A = 4I (I es la matriz identidad de orden 2).
Solución: