Universidad Mariano Gálvez de Guatemala

Facultad de Ciencias de la Administración

Jornada Matutina

Mercadotecnia Sección B

Matemática Aplicada 1

Índice

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Objetivos y Justificación……………………………………….4

Graficas………………………………………………………...5

Parábolas………………………………………………………10

Calculadora……………………………………………………16

Conclusiones…………………………………………………20

Recomendaciones…………………………………………..21

Bibliografía……………………………………………………22

Anexo…………………………………………………………23

OBJETIVOS

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OBJETIVO GENERAL

Desarrollar e implementar una simulación que represente el Movimiento Parabólico de Proyectiles.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Integrar y Aplicar conocimientos adquiridos a lo largo de la carrera con el fin de obtener el resultado esperado.

Incrementar conocimientos sobre leyes físicas, de simulación y programación.

Brindar una nueva herramienta de aprendizaje a los estudiantes que necesitan conocer el tema.

JUSTIFICACIÓN

En la actualidad muchas empresas encuentran la necesidad de agilizar los procedimientos para mejorar el servicio prestado a sus clientes para lograr posicionarse en un buen nivel de competencia en el medio.

Partiendo de este principio la tecnología desea avanzar tan rápido como se pueda, para satisfacer los requerimientos de los clientes; razón por la cual se ha pensado en las simulaciones como una herramienta que permite prever los posibles estados que pueda tomar un sistema determinado de tal manera que se adelante a los fracasos obteniendo ventajas en costos, seguridad y tiempo de trabajo.

Con el presente proyecto se realizará un acercamiento a las simulaciones que en un futuro serán una de las áreas en la que se podría ejercer la profesión de Ingeniería de Sistemas.

Graficas de Restas y Parábolas

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Grafica

Una gráfica es un "dibujo" que representa a una función en el plano coordenado (x,y)

Dados los ejes x e y u abscisas y ordenadas, dibuja los puntos (x,f(x)) y se obtiene la gráfica de la función.

En el caso de una recta obtendrás una recta cuya "inclinación" respecto al eje x es la pendiente y el punto donde "corta el eje y, es la ordenada al origen (x=0)

Gráfico lineal:

- Se representan los valores en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Las gráficas lineales se recomiendan para representar series en el tiempo, y es donde se muestran valores máximos y mínimos; también se utilizan para varias muestras en un diagrama.

- Es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

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Para determinar una recta solo son necesarios dos puntos (grafica), pero hay que tener en cuenta que en una recata siempre hay una posibilidad infinita de puntos.

La expresión algebraica recibe el nombre de ecuación de la recta, y se llama ecuación principal de una recata a una expresión de forma:

Y= mx + n

m representa la pendiente de la recta n es el coeficiente de posición y es el número en que la recta corta al eje de las coordenadas.

EJEMPLO 1 - Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usa la información que te dan:

m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que te pide el ejercicio es y = 3x + 10.

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Gráficas de rectas usando m y b

Por ejemplo, para graficar la recta y=-3x + 5

Marcar el valor de b (ordenada al origen) sobre el eje y, es decir el punto (0,5). A partir de ese punto, como la pendiente es -3= -3/1

Se toma una unidad a la derecha y 3 unidades hacia abajo, así se obtiene el punto (1,2). Uniendo ambos puntos obtenemos la gráfica deseada.

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Para determinar la ecuación de una recta si

Conocemos dos puntos (Xo, Yo) y (X1, Y1) que pertenecen a ella, calculamos la pendiente.

y usando la ecuación PUNTO-PENDIENTE obtenemos:

Observación: Si Xo = X1, la recta que une los puntos (Xo,Yo) y (X1,Y1) está en posición vertical.

Las rectas verticales no representan funciones, su ecuación es del tipo x = constante.

Por ejemplo, la ecuación de la recta que pasa por (2,1) y (2,3) es x=2.

En particular la ecuación x = 0 corresponde al eje y.

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Ejemplo 1: Obtener la ecuación de la recta que pasa por P(6,1) y Q(-2,7)

Ejemplo 2: a) Encontrar la fórmula para calcular la cantidad de agua que queda cada día, en una represa que pierde agua de manera uniforme, si la cantidad inicial es de 1150 millones de litros y los datos diarios son:

b) ¿Si continúa la pérdida de 20 millones de litros por día, en cuánto tiempo se quedará vacía la represa?

c) ¿Cuándo tendrá 150 millones de litros?

a) Conocemos los puntos (1, 1130) y (2, 1110). Como la pérdida es uniforme una función lineal describe la situación.

X mide el tiempo en días; y los litros de agua, en millones.

La ecuación es:

C(x) expresa la cantidad de agua de la represa en x días.

b) Quedará vacía cuando la cantidad de agua sea cero. Es decir C(x)=0. Resolviendo la ecuación:

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c) Para responder debemos resolver la ecuación: C(x)=150.

La represa tendrá 150 millones de litros de agua cuando pasen 50 días.

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

En la figura observamos que las rectas r y s tienen la misma inclinación, no se cortan, es decir son paralelas. r y t forman al cortarse un ángulo recto, es decir son perpendiculares. Lo mismo s y t.En general, si dos rectas son paralelas tienen la misma pendiente, y recíprocamente, si dos rectas tienen igual pendiente son paralelas. Dos rectas son perpendiculares si y sólo sí el producto de sus pendientes es -1, o dicho de otra forma la pendiente de una, es la reciproca cambiada de signo de la otra.

Ejemplo 1: Las siguientes ecuaciones corresponden a rectas paralelas. Ambas tienen pendiente m = 2. Como ejercicio, Graficar ambas en un mismo sistema cartesiano.

Ejemplos 2: La pendiente de cualquier recta horizontal es cero. Observar las rectas

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Parábola

En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad (ver: movimiento parabólico y trayectoria balística).

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota.

Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abcisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).

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Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.

3-. FUNCION CUADRATICA.

Definición.

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas, de tres funciones cuadráticas muy sencillas:

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a) f(x)= - x2 - 5x + 4 b) f(x)= - x2 - 5x + 4 c)f(x)= - 2x2 - 5x + 4

Para determinar el valor de las soluciones X1 y X2 respectivamente es necesario utilizar la siguiente formula:

Los valores correspondientes a , a, b y c, los desprendemos de la ecuación general de la forma: ax2 + bx + c = 0

Intersección de la parábola con los ejes.

a)-.Intersección con el eje Y: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa (eje x) x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje Y tendrá de coordenadas (0,y).

b)-.Intersección con el eje X: Como todos los puntos del eje X tienen la ordenada (eje y) y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

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Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

a-.Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales sean X1 y X2 y estas sean distintas y la parábola cortará al eje X en dos puntos.

b-.Si D = 0, la ecuación tiene una solución real es decir X1 = X2 y, por tanto, la parábola cortará al eje X en un punto(que será el vértice).

C-.Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje X.

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Movimiento Parabólico

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.

Puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

Tipos de movimiento parabólico

Movimiento semi parabólico

El movimiento de parábola o semi parabólico o el mismo movimiento horizontal (lanzamiento horizontal) se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre de un cuerpo en reposo.

Movimiento parabólico (completo)

El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.

En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.

2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.

3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

4. Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola.

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Ecuaciones del Movimiento Parabólico

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

1.

2.

donde:

 es el módulo de la velocidad inicial.

 es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

 es la aceleración de la gravedad.

La velocidad inicial se compone de dos partes:

 que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.

En lo sucesivo 

 que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.

En lo sucesivo 

Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:

 : [ecu. 1]

Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

Ecuación de la aceleración

La única aceleración que interviene en este movimiento es la constante de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

que es vertical y hacia abajo.

Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:

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Calculadora

Es un dispositivo que se utiliza para realizar cálculos aritméticos. Aunque las calculadoras modernas incorporan a menudo un ordenador de propósito general, se diseñan para realizar ciertas operaciones más que para ser flexibles. Por ejemplo, existen calculadoras gráficas especializadas en campos matemáticos gráficos como la trigonometría y la estadística.

En el pasado, se utilizaban como apoyo al trabajo numérico ábacos, comptómetros, ábacos neperianos, tablas matemáticas, reglas de cálculo y máquinas de sumar.

Actualmente, las calculadoras son electrónicas y son fabricadas por numerosas empresas en tamaños y formas variados.

Calculadoras científicas

Los modelos más complejos, habitualmente llamados científicos, permiten calcular funciones trigonométricas, estadísticas y de otros tipos. Las más avanzadas pueden mostrar gráficos e incorporan características de los sistemas algebraicos computacionales, siendo también programables para aplicaciones tales como resolver ecuaciones algebraicas, modelos financieros e incluso juegos.

La mayoría de estas calculadoras puede mostrar números de hasta diez dígitos enteros o decimales completos en la pantalla. Se usa la notación científica para mostrar números por hasta un límite dispuesto por el diseñador del modelo, como 9,999999999 × 1099. Si se introduce un número mayor o una expresión matemática que lo arroje (como un factorial), entonces la calculadora puede limitarse a mostrar un error. Porque solo puede mostrar 99 dígitos, o sea, una cifra de 10.000 hexadecallones.

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Graficar con Calculadora

Con calculadora gráfica se hace referencia típicamente al tipo de calculadoras de bolsillo que son capaces de representar gráficas, resolver sistemas de ecuaciones y realizar muchas otras tareas con variables.

La primera calculadora gráfica fue desarrollada por Casio en 1985. Posteriormente, otras marcas siguieron su trayectoria. Las más conocidas son Texas Instruments (TI) y Hewlett-Packard (HP).

Las calculadoras graficadoras que actualmente hay en el mercado tienen una gran variedad de funciones, aplicaciones, programas y amplia variedad de información adicional que te servirá para utilizarla al máximo.

Con una calculadora graficadora se puede cumplir cualquier ecuación matemática en pocos segundos, permitiendo consultar cualquier duda sobre la función o gráfica.

Ejemplo:

Como graficar con calculadora voyage 200:

Se va uno a editor. (Hay colocamos nuestra función)

Le damos enter.

Nos vamos a la función diamante verde

La máquina tarda un tiempo en procesar la gráfica ya después del tiempo esperado aparece la gráfica en pantalla

Uno puede consultar la gráfica en sus distintos puntos coordenadas (como por ejemplo punto máximo o mínimo).

También existen graficadoras online como es el caso de FooPlot aquí puede graficar funciones, funciones en coordenadas polares y curvas paramétricas.

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Calculator

It is a device used to perform arithmetic calculations. Although modern calculators often incorporate a general purpose computer, are designed to perform certain operations rather than to be flexible. For example, there are specialized graphing calculators in mathematical fields such as trigonometry graphs and statistics.

In the past, were used to support the abacus numerical work, comptómetros, abacus Napier, mathematical tables, slide rules and adding machines.

Today calculators are electronic and are manufactured by many companies in various shapes and sizes.

Scientific Calculators

More complex models, usually called scientists, to calculate trigonometric functions, and other statistics. The most advanced can display graphics and incorporate features ofcomputer algebra systems and is also programmable for applications such as solvingalgebraic equations, financial models and even games.

Most of these calculators can display numbers up to ten decimal digits or full screen. Use scientific notation to display numbers for up to a limit set by the designer of the model, as 9.999999999 × 1099. If you enter a number greater than or expression that you throw it (as a factor), then the calculator can simply display an error. Because it can only display 99 digits, ie a figure of 10,000 hexadecallones.

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Graphing with Calculator

With graphing calculator typically refers to the type of pocket calculators that are able to graph, solve systems of equations and perform many other tasks with variables.

The first graphing calculator was developed by Casio in 1985. Later, other brandsfollowed his career. The most popular are Texas Instruments (TI) and Hewlett-Packard (HP).

Graphing calculators currently on the market have a wide variety of functions,applications, programs and wide variety of additional information that will help you usethe most. With a graphing calculator can perform any mathematical equation in a few seconds, allowing for any queries regarding the function or graph.

Example:

As graphing calculator voyage with 200:

It is one to editor. (There is place our function)

We enter.

We go to the green diamond function

The machine takes a while to process the graph and after the expected time on-screen graphic appears

One can see the graph at different points coordinates (eg maximum or minimum point).

There are also online graphing as is the case here FooPlot can plot functions, polar functions and parametric curves.

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Conclusiones

Movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola.

Una gráfica es un dibujo que representa a una función en el plano coordenado. Se representan los valores en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográfica.

Este es un trabajo de graficas y movimientos parabólico, para que los que la lean tengan una idea y sepan de que se tratan estos temas y como se realizan

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Recomendaciones

Deben ser objetos que tengan una trayectoria de parábola, e identificar que así sean.

Se tienen que representar en los valores en dos ejes ortogonales entre si, debe ser un dibujo que represente bien la función del plano coordenado.

Este trabajo debe estar estructurado y entendible para los lectores, que analicen y evalúen, o estudien estos tipos de graficas y movimientos.

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Bibliografía

http://webfmn.unsl.edu.ar/ingresantes/cuadernillo/cap6+prac%20(parte2).pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_parab%C3%B3lico

http://es.wikipedia.org/wiki/Calculadora_gr%C3%A1fica

http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)

Fundamentos de Matemática

Álgebra trigonométrica geometría analítica y calculo

Quinta Edición

Lic. Juan Manuel Silva

Lic. Adriana Lazo

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Anexos

Graficas

Parábolas

Calculadora

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Introducción

El presente trabajo tiene como objetivo dar a conocer ampliamente el tema, para la comprensión e información detallada sobre “Graficas de Rectas y Parábolas”.

Este trabajo esta hecho con el fin de que las personas comprendan e identifiquen en que aspectos o áreas pueden involucrar dichas funciones del tema, ya sea laboral, de estudio o de información, para que se puedan desempeñar y facilitar en el rol que le corresponde, y así las cosas que tienen que emprender sean de una excelente calidad.

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