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Fundamentos de RobóticaCuaterniones

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Ricardo-Franco [email protected]

Escuela Universitaria de Ingeniería MecánicaUniversidad de Tarapacá

Arica, Chile

June 9, 2014

R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Cuaterniones June 9, 2014 1 / 25

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1 Introducción

2 Números ComplejosDefiniciónOperacionesEl plano complejoRotores

3 Cuaterniones

4 Referencias


Introducción

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1 Introducción


3 Cuaterniones

4 Referencias


Introducción

IntroducciónLos cuaterniones permiten representar rotaciones con menosparámetros que las matrices de rotación. También permiten larepresentación de traslaciones.Debido a que su manejo computacional demanda menosmemoria que las matrices de transformación homogéneas, sonuna herramienta matemática común en la implementación dealgoritmos de control de robots.Aunque son más abstractos que las transformaciones, sonrelativamente fáciles de entender remarcando sus analogías connúmeros complejos.


Números Complejos

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1 Introducción


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Números Complejos Definición

DefiniciónEl conjunto de números complejos, C, se define como: z = a + bi ;a, b ∈ <; i2 = −1


Números Complejos Operaciones

Suma(a1 + b1i) + (a2 + b2i)⇒ (a1 + a2) + (b1 + b2)i

Resta(a1 + b1i)− (a2 + b2i)⇒ (a1 − a2) + (b1 − b2)i

Multiplicación por un escalarλ(a + bi)⇒ λa + λbi



Multiplicación de números complejos

z1 = (a1 + b1i)z2 = (a2 + b2i)

z1z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i)= a1a2 + a1b2i + b1a2i + b1b2i2

= (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i

Cuadrado de un número complejo

z = (a + bi)z2 = (a + bi)(a + bi)

= (a2 − b2) + 2abi



Conjugado de un número complejo (z∗)

z = (a + bi)z∗ = (a− bi)

La multiplicación de un complejo por su conjugado da un resultadoespecial:

Multiplicación de un complejo por su conjugado

z = (a + bi)z∗ = (a− bi)

zz∗ = (a + bi)(a− bi)= a2 − abi + abi + b2

= a2 + b2



Valor absoluto de un número complejo

z = (a + bi)|z| =

√zz∗

=√

(a + bi)(a− bi)=√

a2 + b2



Cociente de dos números complejos

z1 = (a1 + b1i)z2 = (a2 + b2i)

z1

z2=

a1 + b1ia2 + b2i

=(a1 + b1i)(a2 − b2i)(a2 + b2i)(a2 − b2i)

=a1a2 − a1b2i + b1a2i − b1b2i2

a22 + b2

2

=a1a2 + b1b2

a22 + b2

2+

b1a2 − a1b2

a22 + b2

2i



Potencias de “i”

i0 = 1i1 = ii2 = −1i3 = ii2 = −ii4 = i2i2 = 1i5 = ii4 = ii6 = ii5 = i2 = −1

Luego, se repite un patrón: (1, i ,−1,−i ,1, . . . )



. . . y un patrón similar se repite al incrementar potencias negativas:

Potencias de “i”

i0 = 1i−1 = −ii−2 = −1i−3 = ii−4 = 1i−5 = −ii−6 = −1

Luego, se repite un patrón: (1,−i ,−1, i ,1, . . . )


Números Complejos El plano complejo

El plano cartesiano

Se repite un patrón similar rotando en sentido anti-horario:(x , y ,−x ,−y , x , . . . )



El plano complejo

Se repiten las potencias de “i" girando en sentido anti-horario:(1, i ,−1,−i ,1, . . . )



Ejemplo de rotación: p = 2 + iq = p × i resulta en:p = 2 + iq = pi

= (2 + i)i= 2i + i2

= −1 + 2i

r = q × i resulta en:q = −1 + 2ir = qi

= (−1 + 2i)i= −i + 2i2

= −2− is = r × i resulta en:r = −2− is = ri

= (−2− i)i= −2i − i2

= 1− 2i

t = s × i resulta en:s = 1− 2it = si

= (1− 2i)i= i − 2i2

= 2 + i

. . . luego se repite la secuencia.



El plano complejo


Números Complejos Rotores

RotoresSe pueden hacer rotaciones arbitrarias, θ, mediante la multiplicaciónpor un número complejo: q = cos θ + i sin θ

. . .

p = a + biq = cos θ + i sin θ

pq = (a + bi)(cos θ + i sin θ)a′ + b′i = a cos θ − b sin θ + (a sin θ + b cos θ)i

O mediante representación matricial. . .

. . .[a′ −b′

b′ a′

]=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

] [a −bb a

]


Cuaterniones

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1 Introducción


3 Cuaterniones

4 Referencias


Cuaterniones

DefinicionesLos cuaterniones están compuestos de 4 elementos: uno real, q0, ytres imaginarios, q1, q2 y q3. La parte imaginaria se puede considerarun vector 3D.

Para rotar vectores 3D utilizando cuaterniones, se utiliza el siguienterotor:

. . . aplicado de la siguiente forma:


Cuaterniones

DefinicionesUna rotación Q1 seguida de una rotación Q2 se compone simplementecomo:

,. . . en ese orden. La multiplicación de cuaterniones no es conmutativa.


Cuaterniones

DefinicionesAdemás:

Traslación seguida de rotación: Rotación seguida de traslación:

Con Q y p definidos con respecto al sistema de referencia móvil.

Traslación seguida de rotación: Rotación seguida de traslación:

Con Q y p definidos con respecto al sistema de referencia fijo.


Cuaterniones

Ejemplo


Referencias

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1 Introducción


3 Cuaterniones

4 Referencias


Referencias

BibliografíaBarrientos, A., Peñín, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007,Fundamentos de Robótica, 2nd edition, McGraw-Hill.


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