funciones+de+varias+variables+-teoria

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICA II SEMESTRE ACADEMICO

ECONOMICAS 2015-2

1

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Una función de real f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un numero,

que se escribe como

f(x, y, z, ...)

a partir de los valores ó variables independientes (x, y, z, ...).

La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay

dos variables independientes, una función de valor real de tres variables

si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.

Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se

pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de

valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma

gráfica (por medio de una gráfica).

Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables

Puntos en espacio tridimensional tienen coordenadas como mostramos en

la siguiente figura.

La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz.

(Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)

La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz.

(Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del

plano xz.)

La coordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy.

(Si la coordenada z es negativa, el punto está debajo del plano xy.)


ECONOMICAS 2015-2

2

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos

(x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de

(x, y) en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de

todos puntos (x, y, z) tal que

z = f(x, y).

1) Graficar el dominio de la función:

xsenyyxf cos),(

Solución

1. Como xsenyyxf cos),( cos 0xseny

cos 0 0 cos 0 0x seny x seny

2. Graficando

cos 0 0x seny

5 3 3 5 7 9....... , , , ,

2 2 2 2 2 2 2 2x

....... 2 , 0, 2 ,3 ....y

3. Lo mismo con cos 0 0 cos 0 0x seny x seny


ECONOMICAS 2015-2

3

2 Graficar la función:

yxyx

yxyxyxf

3),(

22

Solución

1) Primero se grafica el paraboloide,

luego lo “cortamos”

con el plano x=y

2) Por ultimo graficamos

el plano z=3-x-y

LÍMITES Y CONTINUIDAD El estudio de los límites de funciones de varias

variables es mucho más complejo que el de

funciones de una variable, pues en este, únicamente

se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por

la derecha o por las izquierda , lo llamamos limites

laterales; mientras que en el caso de varias variables existe muchas

“formas”, para acercarnos a un punto (a ,b) como lo muestra la figura, lo

cual llamamos caminos.

Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el

caso para funciones de n-variables es análogo.

Definición

(Disco de radio y centro P) Un disco D(P, )

abierto, o simplemente un disco, de radio 0 y

centro en P=(a ,b) es el conjunto de todos los

puntos (x ,y) tales que su distancia a (a , b) es

menor que , es decir

1......../,,222 byaxIRyxPD

Observación:

Si en la definición (1) se cambia < por un obtenemos un disco cerrado


ECONOMICAS 2015-2

4

Definición

Sea RIRbaDf 2,,: , una función de dos variables definida en el

disco abierto ,,baD , excepto posiblemente en (a,b).

LyxfLimbayx

),(),(),(

Si y sólo si para cada 0 existe un correspondiente 0 ,

tales que

si 22

byax entonces

Lyxf ),(

Observación: gráficamente, esta definición

significa que para un punto cualquiera

,,, baDyx , el valor de f(x,y) está entre

L y L , como se ilustra en la

Como ya mencionamos, cuando escribimos que bayx ,,

entendemos que el punto yx, se aproxima al punto ba, en cualquier

dirección.

Mucha de la terminología relacionada con los límites fue

introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897).

Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del

cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno.

Importante

Si el valor de

),(),(),(

yxfLimbayx

no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias

(ecuaciones) que pasen por b,a , entonces el límite no existe.

El siguiente ejemplo muestra esta situación.


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5

Ejemplo1

Compruebe que el siguiente límite no existe

22)0,0(),( yx

xyLimyx

Solución

1) El dominio de esta función es 0,02 IRD f . Para comprobar que le

límite no existe, consideramos dos caminos ó trayectorias diferentes que

pasen por el punto (0,0).

2) Por comodidad en el cálculo, elegimos el eje X, cada punto es de la

forma (x,0), ósea y=0 y el límite en este camino es:

00

022002200

x

)(xLim

yx

xyLim

),()y,x(),()y,x(

3) Ahora elegimos la trayectoria y=x, cada

punto es de la forma (x,x) y el límite en esta

dirección será:

2

1)(22

)0,0(),(22

)0,0(),(

xx

xxLim

yx

xyLim

yxyx

Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en (0,0)

existen puntos (x,y) en los cuales f (x,y) se aproxima a 0 y a 1/2.

Luego f(x,y) no se aproxima a un solo valor. Por eso se dice: f(x,y) no

tiene límite cuando 00,y,x .

Observación:

En el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque

encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes.

Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite,

no podemos utilizar esto como argumento, para decir que el límite existe.

Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo

para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple, ya que se requiere

del uso de algunos recursos y/ó artificios.


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6

Ejemplo 2 Compruebe que 022

2

00

yx

yxLim

),()y,x(

Solución

La técnica que usamos con el ejemplo anterior

no es adecuada para este caso, pues aunque el

límite de cero a través de muchas trayectorias

esto no demuestre que este sea su valor. Pero

nos hace sospechar que el límite existe.

Demostración

1. Sea 0 , debemos encontrar un 0 , tal que

Si 220 yx entonces

022

2

yx

yx ,

2. Cálculos previos

yyx

yx

yx

x

yxy

yxx

yxy

22

2

22

2

22

222

222

010

3. Empecemos la demostración .Como

220 yx y

22

2

22

2

0yx

yx

yx

yx

Por eso elegimos

Si 220 yx entonces

022

2

yx

yx ,

Por consiguiente, por la definición

022

2

00

yx

yxLim

),()y,x(

Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas

propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos

y cocientes, que las funciones de una sola variable, como

se muestra en el siguiente ejemplo.


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7

OTRA FORMA DE DEMOSTRACION –METODO ALTERNATIVO

1. Cálculos previos

yyx

yx

yx

x

yxx

22

2

22

2

222

0

10

3. Tomando límite

000022

2

00

yLim

yx

yxLim

),()y,x(),()y,x(

022

2

00

yx

yxLim

),()y,x(

4. Por ultimo, como yyy

22

2

0022

2

0022

2

00 yx

yxLim

yx

yxLim

yx

yxLim

),()y,x(),()y,x(),()y,x(

0022

2

00

yx

yxLim

),()y,x(

Por consiguiente

022

2

00

yx

yxLim

),()y,x(

Ejemplo 3

Calcule los siguientes límites

22)0,1(),(

)yx

yxLimiyx

; 33

)1,1(),()

yx

yxLimiiyx

;

yx

yxLimiiiyx

)4,4(),()

Solución

i) Evaluamos directamente

101

01222201

yx

yxLim

),()y,x(


ECONOMICAS 2015-2

8

ii) Para este límite, factorizamos el denominador

22113311 yxyxyx

yxLim

yx

yxLim)ii

),()y,x(),()y,x(

3

112211

yxyxLim

),()y,x(

iii) Para este límite racionalizamos el denominador

yx

yx

yx

yxLim

yx

yxLim

),()y,x(),()y,x(

4444

4

4444

yxLim

yx

yxyxLim

),()y,x(),()y,x(

Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de

límites. El siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el

cálculo de límites.

Ejemplo 4

Use coordenadas polares para comprobar que 22)0,0(),( yx

xyLimyx

Solución

Sean ,r las coordenadas polares del punto yx, .

Como:

cosrx , senry , tenemos

r

cossenrLim

yx

xyLim

¿?),(),r(),()y,x(

2

02200

00

cossenrLim¿?),(),r(

Pues 1cos sen , para cualquier valor de .

El siguiente ejemplo muestra una situación que podría llevarnos a

pensar que el límite existe.


ECONOMICAS 2015-2

9

Ejemplo 5 Estudie la existencia del siguiente límite

26

3

00 yx

yxLim

),()y,x(

Solución

Utilizaremos trayectorias: rectas que pasan por el origen y=mx, m≠0

0

24

2

0026

3

0026

3

00

mx

mxLim

mxx

mxxLim

yx

yxLim

),()y,x(),()y,x(),()y,x(

Luego las parábolas de la forma y=mx2 , m≠0

0

22

2

00226

23

0026

3

00

mx

mxLim

mxx

mxxLim

yx

yxLim

),()y,x(),()y,x(),()y,x(

Esto nos podría llevar a concluir que el límite es cero, pues las rectas y

parábolas que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias. Pero,

observe que al usar la trayectoria y=x3, obtenemos

2

1

2

100

236

33

0026

3

00

),()y,x(),()y,x(),()y,x(Lim

xx

xxLim

yx

yxLim

Por tanto, el límite no existe.

FUNCIONES CONTINUAS

Definición. Continuidad en un punto

Sea ),( yxfz una función de dos variables, 2),( IRbaP , 2),( IRPD un

disco abierto centrado en P, de radio δ, decimos que z = f(x,y) es continua

en 2),( IRbaP . Si

)b,a(f)y,x(fLim)b,a()y,x(

Decimos que ),( yxfz es continua en el conjunto A, si es continua en

cada punto de A .


ECONOMICAS 2015-2

10

Observación:

La primera función del ejemplo 3, es continua en (1,0)

10122

),(fyx

yxLim

)b,a()y,x(

La segunda función del ejemplo 3 no es continua en (1,1), pues f(1,1) no

existe, pero podemos hacerla continua redefiniendo f(1,1).Por ejemplo

03

1

033

yx

yxyx

yx

)y,x(f

Ejemplo 6

Compruebe que la siguiente función es continua en .

00

022

2

y,x

y,xyx

yx

)y,x(f

Solución

Del ejemplo 2 tenemos

000

)b,a(f)y,x(fLim),()y,x(

la función ),( yxfz es continua en (0,0). La

gráfica de la función se muestra en la figura

Observación: los ejes en la figura 3 se han

variado un poco con respecto a la forma usual en

la que los hemos estado usando con el propósito de que la superficie se

pueda apreciar mejor.

Ejemplo 7

Sea 2

2

yx

xy)y,x(f

¿ Dónde es continua la función ),( yxfz ?


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Solución

Observe que la función no esta definida para los puntos 2IR)y,x( en

donde 2yx , por lo tanto es discontinua en dichos puntos. Es decir, es

continua en :

22 yx/IRy,xA

Usando las propiedades de los límites podemos obtener el siguiente

teorema sobre la continuidad de la suma producto y cociente.

Teorema (Operaciones con funciones continuas)

Si ),( yxfz es una función de dos variables continua en A)b,a( y sea

IRIR:g , una función de una sola variable, entonces la composición de

funciones fgh , definida por y,xfgy,xh es continua en A)b,a(

Ejemplo 8

Se la función 122 yxLn)y,x(h ¿Dónde es continua ),( yxfz ?

Solución

Sea 122 yx)y,x(f y )t(Ln)t(g , entonces

)y,x(hyxLnyxg)y,x(fg 11 2222

de modo que fgh . Por otro lado, ),( yxfz es continua en todo IR2, y

g(t) es continua para t >0. Por lo tanto, h(x,y) será continua en

1222 yx/IRy,xA

DERIVADAS PARCIALES

Definición

Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a

x é y son las funciones fx y fy respectivamente, definidas como:

h

yxfyhxfyxf

hx

),(),(lim,

0

h

yxfhyxfyxf

hy

),(),(lim,

0

siempre y cuando existan los límites.


ECONOMICAS 2015-2

12

Esta definición indica que si z=f(x,y), para calcular f x consideramos a y

como constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para

obtener fy consideramos a x, constante y derivamos con respecto a y.

Ejemplo

Calcular fx y fy para la función 323 322 xyxx)y,x(f

Solución

Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta 22 623 xxy)y,x(f

x

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta yx)y,x(f

y

22

Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A

continuación damos una lista de las más comunes:

Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan

x

zz

x

yxfyxf

x

fxx

,,

y

zz

y

yxfyxf

y

fxy

,,

Ejemplo

Para la función yxxe)y,x(f2

, encontrar fx y fy , evaluar cada una de ellas

en el punto (1, ln2)

Solución

1. Como xyxee)y,x(f yxyx

x2

22

,la derivada parcial de f(x,y) con

respecto a x en (1, ln2) es 2422221 22 lnlnee)ln,(f lnln

x

2. Como yx

yex)y,x(f

23 , la derivada parcial de f(x,y) con respecto a y en

(1, ln2) es 2121 213 2

ln

ye)ln,(f


ECONOMICAS 2015-2

13

INTERPRETACION GEOMETRICA

Las derivadas parciales de una z=f(x,y), tienen

una interpretación geométrica útil.

Si y=a, entonces z=f(x,a) representa la curva

formada por la intersección de la superficie

z=f(x,y) con el plano y=a, como muestra la

figura, además

h

axfahxfaxf

hx

),(),(lim, 00

00

representa la pendiente de esta curva en el plano y=a

(observar que tanto la curva como la tangente pertenecen al plano y=a).

De forma similar,

h

yafhyafyaf

hy

),(),(lim, 00

00

representa la pendiente de la curva obtenida

por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=a,

como se observa en la figura .

Se dice que los valores de fx y fy en el punto (x0, y0, z0) denotan la

pendiente de la superficie, en las direcciones x e y respectivamente.

Ejemplo Encontrar la pendiente de la superficie dada por

22

28

25, y

xyxf

en el punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.

Solución

En la dirección x, la pendiente viene dada por

xyxf x , 2/11,2/1 xf

En la dirección y, la pendiente viene dada por

yyxf y 2, 21,2/1 yf

Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las

derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambio.


ECONOMICAS 2015-2

14

Derivadas parciales de orden superior

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar

derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes:

segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen.

Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación.

Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada

parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x: 2. Derivar dos veces respecto de y:

xxfx

yxf

x

f

x

2

2 ,

yyf

y

yxf

y

f

y

2

2 ,

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

xyf

xy

yxf

x

f

y

,2

4. Derivar primero con respecto a y luego con respecto a x:

yxf

yx

yxf

y

f

x

,2

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas.

Ejemplo

Calcular el valor de fxy (-1,2), si 222 523 yxyxy)y,x(f

Solución

Primero la derivada parcial con respecto a x : 22 103 xyy)y,x(fx

Luego con respecto a y xyy)y,x(fxy

206 , Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28

Teorema

Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la

región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,

yxfyxf yxxy ,,

Ejemplo

Hallar las derivadas parciales cruzadas )xyln(yey,xf x

yxfeyxf yx

x

xy ,,


ECONOMICAS 2015-2

15

DIFERENCIABILIDAD

Para una función de dos variables, z=f(x,y), se usan términos similares a

las funciones de una variable.

Definición. Incremento

Sea x y y los incrementos de x y de y, el incremento de z=f(x,y) es:

yxfyyxxfz ,,

Definición. Diferencial total Sea z= f(x,y), la diferencial total de la variable dependiente z=f(x,y) es

dyyxfdxyxfyxdfdz yx ,,),(

Ejemplo

La diferencial total dz para la función 2232 yxxsenyz es

dyyxyxdxxysenydz 22 6cos262

En una variable y=f(x), podemos usar la diferenciabilidad de dy=f ´(x) dx

como una aproximación (para x pequeños) al valor

)()( xfxxfz .

Cuando es posible una aproximación similar para una función de dos

variables, decimos que es diferenciable.

Definición. Diferenciabilidad

Una función z=f(x,y) es diferenciable en (x,y), si puede expresarse:

yxyyxfxyxfz yx 21),(),(

donde ambos 0, 21 cuando 0, yx

Se dice que la función f es diferenciable en un conjunto R si es

diferenciable en todo punto de R.

Ejemplo

Probar que la función yxyxf 3, 2 es diferenciable en todos los

puntos del plano.


ECONOMICAS 2015-2

16

Solución Haciendo z=f(x,y), el incremento de z en un punto arbitrario (x,y) del

plano es

yxyyxxyxfyyxxfz 33,, 22

yxxyxx 032

yxyyxfxyxf yx 21),(),(

donde 0, 21 x , ambos 0, 21 , cuando 0, yx

entonces f es diferenciable en todo punto del plano.

Aproximación por diferenciales.

Esto significa que si la función es diferenciable: La derivada total es

aproximadamente igual al incremento

yxyyxfxyxfz yx 21),(),(

dy)y,x(fdx)y,x(fdzyx

Ejemplo

Usar la diferencial dz para aproximar la variación en 224 yxz

cuando (x,y) va desde el punto (1,1) a (1.01,0.97). Comparar esta

aproximación con la variación exacta de z.

Solución

Haciendo (x,y)=(1,1) y (x+ x ,y+ y )=(1.01,0.97) tenemos que

dx= x =0.01 , dy= y =-0.03,luego la variación en z puede

aproximarse por

dyyx

ydx

yx

xdyfdxfdzz

xx 2222 44

En x=1 e y=1, resulta

014100302

1010

2

1...z

Ahora calculamos la variación exacta z (observe que la diferencia es

mínima)

0137011970010 .),(f.,.fz

Esta teoría se extiende a funciones de tres variables.


ECONOMICAS 2015-2

17

Ejemplo

El error al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es

de ± 0.1 milímetros. Las dimensiones de la caja son x=50 cm, y=20 cm. y

z=15 cm., estimar el error en el volumen de la caja.

Solución

El volumen de la caja viene dado por V=xyz, luego

dz)y,x(Vdy)y,x(Vdx)y,x(VdVzyx

xydzxzdyyzdxdV

Como 0.1 milímetros es igual a 0.01 centímetros, tenemos que

dx=dy=dz=± 0.01 y el error aproximado es

3520010205001015500101520 cm....dV

Puesto que el volumen es

V=(50)(20)(15)=15000 centímetros cúbicos,

El error aproximado es 3520 cm.dV

Al igual que ocurre con las funciones de una variable, si una función de

dos variables es diferenciable en algún punto de su dominio, entonces

también es continua en dicho punto. Este es el contenido del siguiente

teorema

Teorema

Si z=f(x,y) es diferenciable en (x0,y0), entonces es continua en (x0,y0).

Corolario.

Si z=f(x,y) No es continua en (x0,y0), entonces No es diferenciable en (x0,y0).

NOTA. La existencia de las derivadas parciales primeras no es suficiente

para garantizar la diferenciabilidad.

Ejemplo

Hallar fx(0,0) y fy(0,0), pero f no es diferenciable en (0,0)

00

03

22

y,x;

y,x;yx

xy

)y,x(f


ECONOMICAS 2015-2

18

Solución

1. Hallando las derivadas parciales por definición

0000000

00

hlim

h

),(f),h(flim)y,x(f

hhx

0000000

00

hlim

h

),(f)h,(flim)y,x(f

hhy

Las derivadas parciales en (0,0) existen.

2. Por el Corolario anterior podemos afirmar

que f (x,y) no es diferenciable en (0,0), si no

es continua en dicho punto. Para averiguar

que f(x,y) no es continua en (0,0), elegiremos

dos caminos diferentes

i) Por la recta y=x, el límite es

2

3

2

32

2

00

x

xlim)y,x(flimhh

ii) Mientras que por y=-x tenemos que

2

3

2

32

2

00

x

xlim)y,x(flimhh

Luego el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (0,0) no existe, y

concluimos que f no es continua en (0,0). Por tanto, f no es diferenciable

en (0,0). Pero las derivadas parciales si existen

El término diferenciable se usa de forma distinta al aplicarlo a funciones

de dos variables y a funciones de una variable.

Una función de una variable es diferenciable en un punto si su derivada

en ese punto existe.

Sin embargo, para una función de dos variables la existencia de las

derivadas parciales fx y fy no garantiza que la función sea diferenciable.

En el teorema siguiente, presentamos una condición suficiente para la

diferenciabilidad de una función de dos variables.

Teorema

Sea z=f(x,y), si fx y fy son continuas en una región abierta R, entonces f

es diferenciable en R.


ECONOMICAS 2015-2

19

REGLA DE LA CADENA

El trabajo con diferenciales nos proporciona la base para la extensión de

la regla de la cadena a funciones de dos variables. Primer Caso

Teorema

Sea w=f(x,y), diferenciable. Si x=g(t) e y=h(t), entonces w es una función

derivable de t, y

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw

Las cadenas mencionadas en el teorema pueden representarse en forma

de diagrama, como muestran las figuras .

Ejemplo

Sean 22 yyxw , donde.

teysentx , . Encontrar dw/dt cuando t=0.

Solución

Por la regla de la cadena para una variable independiente tenemos

teyxtxydt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw2cos2 2

Cuando t=0, x=0 e y=1, entonces dw/dt=0-2=-2.

La regla de la cadena presentada en esta sección nos proporciona

técnicas alternativas de solución para muchos problemas del cálculo con

una sola variable. Así en el ejemplo, podríamos haber utilizado técnicas

de una sola variable para hallar dw/dt escribiendo en primer lugar w

como función de t,

2222 tt eesentyyxw

Luego derivando en forma usual.

La regla de la cadena puede extenderse a un número cualquiera de

variables.

f

x

y

t

t

x

f

y

f

t

x

t

y


ECONOMICAS 2015-2

20

Por ejemplo, si cada xi es función derivable de una sola variable t,

entonces para w=f(x1,x2, ..., xn) tenemos

t

x

x

w

t

x

x

w

t

x

x

w

t

wn

n

2

2

1

1

Segundo Caso. Es aquel en que las variables, son funciones de más de una

variable.

Por ejemplo, si w=f(x,y) donde x=g(s,t) e y=h(s,t)

entonces w es función de s y de t. Una forma de calcular las derivadas

parciales es escribir w como función de s y de t explícitamente mediante la

sustitución de las ecuaciones x=g(s,t) e y=h(s,t) en la ecuación w=f(x,y),

con ese cambio es posible hallar las derivadas parciales en la forma

usual, como se muestra en el ejemplo siguiente

Ejemplo

Hallar t

w

ds

dw

, para w=2xy, donde t/st,sy;tst,sx 22

Solución

Comenzamos sustituyendo en la ecuación se obtiene

xyy,xw 2

t,syt,sxt,swt,sy,t,sxw 2

t

s

t

s

t

stst,sw 222

3

22

Entonces, para encontrar ds

dwmantenemos t constante y derivamos con

respecto a s:

tt

s

s

t,sw 126

2

De forma similar, para hallar t

w

mantenemos s constante y derivamos

con respecto a t para obtener

22

3 122

tt

s

t

t,sw


ECONOMICAS 2015-2

21

Teorema

Sea w=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(s,t) e

y=h(s,t), de forma tal que las derivadas parciales primeras existen todas,

entonces :

s

y

y

w

s

x

x

w

s

w

t

y

y

w

t

x

x

w

t

w

Las cadenas mencionadas en los teoremas pueden representarse en forma

de diagrama, como muestran las figuras .

La regla de la cadena puede extenderse a varias variables. Por ejemplo, si

w es diferenciable de n variables x1,x2, ..., xn, donde cada xi es una función

diferenciable de m variables t1,t2, ..., tm , entonces w=f(x1,x2, ..., xn)

tenemos

11

2

21

1

11 t

x

x

w

t

x

x

w

t

x

x

w

t

w n

n

22

2

22

1

12 t

x

x

w

t

x

x

w

t

x

x

w

t

w n

n

.

.

m

n

nmmm t

x

x

w

t

x

x

w

t

x

x

w

t

w

2

2

1

11

Una aplicación de la regla de la cadena para determinar la derivada de

una función definida implícitamente es la:

f

x

y

s

s

t

t

x

f

y

f

s

x

s

y

t

x

t

y


ECONOMICAS 2015-2

22

Derivación parcial implícita

Supongamos que x e y están relacionadas mediante la ecuación F(x,y)=0,

donde se supone que y=f(x) es una función derivable de x. Para hallar

dy/dy consideramos la función :

w=F(x,y)=F(x,f(x))=0

Podemos aplicar la regla de la cadena para obtener

0 dy)y,x(Fdx)y,x(Fdx

dwyx

Y si Fy(x,y) es distinto de cero, podemos concluir que

)y,x(F

)y,x(F

dx

dy

y

x

Teorema

a) Si la ecuación F(x,y)=0 define a y implícitamente como función de x

y,xF

y,xF

dx

dy

y

x

b) Si la ecuación F(x,y,z)=0 define a z implícitamente como función de x e

y, entonces

zyxF

zyxF

dy

z

z

y

,,

,,

zyxF

zyxF

dx

z

z

x

,,

,,

Este teorema puede extenderse a funciones diferenciables definidas

implícitamente con un número cualquiera de variables.

Ejemplo

Calcular dy/dx, sabiendo que 045 223 xyyy

Solución

Definimos una función 045 223 xyyy)y,x(F

Usando el teorema tenemos

xyxFx 2, 523, 2 yyyxFy

luego

523

2

523

222

yy

x

yy

x

dx

dy


ECONOMICAS 2015-2

23

Un procedimiento similar se usa, para encontrar las derivadas parciales

de funciones de v. variables que se encuentran definidas implícitamente.

Ejemplo

Calcular x

z

,

y

z

, sabiendo que 5323 3222 yzzyxzx

Solución Para aplicar el teorema definimos

05323 3222 yzzyxzxz,y,xF

entonces

yzx

xzxy

zyxF

zyxF

dx

z

z

x

363

62

,,

,,22

2

;

yzx

zxy

zyxF

zyxF

dy

z

z

y

363

32

,,

,,22

2

}

DERIVADA DIRECCIONAL

Definición

Sea f una función de dos variables x e y, y sea jseniu cos , un

vector unitario. La derivada direccional de f en la dirección de u se

denota por Duf, y es

h

yxfhsenyhxffD

hu

),(,coslim

0

El cálculo de la derivada direccional mediante esta definición es

comparable al de encontrar la derivada de una función de una variable.

Una fórmula para obtener derivadas direccionales recurre a las derivadas

parciales fx y fy.

Teorema

Si f es una función diferenciable, entonces la derivada

direccional de f en la dirección del vector unitario jseniu cos es:

senyxfyxfyxfD yxu ,cos,,

Observar que hay infinitas derivadas direccionales en un punto dado de

una superficie -una para cada una de las direcciones especificadas por el

vector u, como se muestra en la figura. Dos de ellas resultan ser las

derivadas parciales fx y fy.


ECONOMICAS 2015-2

24

El vector u especifica una dirección en el plano xy

1) En la dirección positiva del eje x (θ=0): ijseniu 00cos

yxfsenyxfyxfyxfD xyxu ,0,0cos,,

2) En la dirección positiva del eje y (θ = π/2):

jjseniu 2/2/cos

yxfsenyxfyxfyxfD yyxu ,2/,2/cos,,

Ejemplo

Calcular la derivada direccional de 4/4),( 22 yxyxf , en (1,2) en la

dirección de jseniu 3/3/cos

Solución

3/2/)3(cos2,cos,, senyxsenyxfyxfyxfD yxu

Evaluando en x=1 e y=2, tenemos

86613223221 ./sen//cos,fDu

Ejemplo

Calcular la derivada direccional de ysenxyxf 2),( 2 , en (1, π/4) en la

dirección de v=3i-4j

Solución

Comenzamos obteniendo un vector unitario en la dirección de v:

jsenijiv

vu cos

5

4

5

3

Usando este vector unitario, tenemos

senycosxcosyxseny,xfDu

2222 2

565422532241 ///cos//sen/,fDu

Gradiente

La derivada direccional Duf(x,y) puede expresarse como el producto

escalar del vector unitario jseniu cos y el vector

jyxfiyxf yx ,,

Este vector es importante y tiene usos diversos. Lo llamamos vector

gradiente de f.


ECONOMICAS 2015-2

25

Definición

Si z=f(x,y), el gradiente de f, se denota y se define como el vector

jyxfiyxfyxf yx ,,),(

Otra notación para el gradiente es grad f (x,y)

Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada

direccional de f en la dirección de u como

senyxfyxfyxfD yxu ,cos,,,,

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del

gradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el

contenido del siguiente teorema.

Teorema

Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la

dirección del vector unitario u es

uyxfyxfDu ).,(,

Ejemplo

Calcular la derivada direccional de 22 23),( yxyxf en (-1,3) en la

dirección que va desde P(-1,3) a Q(1,-2)

Solución

El vector en la dirección es jivPQ 52

y el vector unitario en esta

dirección es jiv

vu

29

5

29

2 ,

Como, el gradiente

yjxijyxfiyxfyxf yx 46,,),( en (-1,3) es jif 126)3,1(

En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es

29

48

29

60

29

123131

u.,f,fD

u

Hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de

una superficie. nos gustaría saber en qué dirección movernos para que

f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de

máxima pendiente, y viene dada por el gradiente, como se establece en el

teorema siguiente


ECONOMICAS 2015-2

26

Teorema

Sea f(x,y) es una función diferenciable en el punto (x,y)

1) Si, 0),( yxf entonces 0, yxfDu para todo u.

2) La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por ),( yxf . El

valor máximo de yxfDu , es yxfDu , .

3) La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por - ),( yxf . El

valor mínimo de yxfDu , es - yxfDu , .

Propiedad del gradiente.

Consideremos un esquiador descendiendo de una montaña. Si f(x,y)

denota la altitud del esquiador, ),( yxf indica la dirección que el

esquiador tiene en un punto (x,y). Para deslizarse por la trayectoria de

máxima pendiente. El gradiente indica la dirección en el plano XY, no

señala hacia arriba o hacia abajo en la ladera de la montaña.

Otro ejemplo. La temperatura T(x,y) en un punto (x,y) cualquiera de una

placa metálica plana. En este caso, )y,x(T , da la dirección de máximo

crecimiento de la temperatura en el punto (x,y)

Ejemplo La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa

metálica viene dada por 22420),( yxyxT , midiendo x e y en

centímetros. Desde el punto (2,-3), ¿en qué dirección crece la temperatura

más rápidamente?. ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?

Solución

El gradiente es yjxijyxTiyxTyxT yx 28,,),(

Se sigue que la dirección de más rápido crecimiento viene dada por

jij,Ti,T),(Tyx

616323232

la razón de crecimiento es

09173625632 .),(T grados Celsius

La respuesta del ejemplo anterior, puede ser malinterpretada. A pesar de

que el gradiente apunta en la dirección de crecimiento más rápido de la

temperatura, no necesariamente apunta hacia el lugar más caliente de la

placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una solución local al

problema de encontrar un crecimiento relativo a la temperatura en el


ECONOMICAS 2015-2

27

punto (2, -3). Una vez que abandonamos esa posición, la dirección de más

rápido crecimiento puede cambiar.

Teorema

Si f es diferenciable en (x0,y0) y 0),( yxf , entonces ),( yxf es normal a

la curva de nivel que pasa por (x0,y0).

ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE

Ahora conviene utilizar la representación general F(x,y,z)=0. Para una

superficie S dada por z=f(x,y), es fácil pasar a esa forma general sin más

que definir F como

F(x,y,z)=f(x,y)-z

Por ejemplo, para la superficie dada por 22 24),( yxyxfz

Tomamos zyxzyxF 22 24),,(

Así entonces, la superficie puede escribirse como F(x,y,z)=0.

Plano tangente y recta normal a una superficie

Definición

Sea F diferenciable en el punto P(x0,y0,z0) de la superficie

S dada por F(x,y,z)=0.

1) El plano que pasa por P y es normal a ),,( 000 zyxF

se conoce como plano tangente a S en P.

2) La recta que pasa por P y tiene la dirección de

),,( 000 zyxF se conoce como la recta normal a S en P.

Teorema

Si F es diferenciable en (x0,y0,z0), la ecuación del plano tangente a la

superficie dada por F(x,y,z)=0 en P(x0,y0,z0) es

0,,),,( 000000 zzyyxxzyxF

Ejemplo

Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide, en el punto (1,-1,4)

01222 222 yxz

Solución

Considerando 1222 222 yxz)z,y,x(F tenemos

x)z,y,x(Fx

4 y)z,y,x(Fy

4 z)z,y,x(Fz

2


ECONOMICAS 2015-2

28

y en el punto (1,-1,4) las derivadas parciales son

4411 ),,(Fx ; 4411 ),,(F

y ; 8411 ),,(Fx

Luego la ecuación del plano tangente en

(1,-1,4) es

0481414 )x(yx

La figura muestra una parte del hiperboloide y del

plano tangente.

EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS

Teorema

Sea f una función continua de dos variables x e y

definida en una región acotada cerrada R del

plano XY.

Al menos hay un punto en R en el que f tiene su

valor mínimo y su valor mínimo.

Definición

Sea f una función definida en una región R

conteniendo el punto (x0,y0)

f(x0,y0) es un mínimo relativo de f ,si 00 ,, yxfyxf para todo (x,y) en

un disco abierto que contiene a (x0,y0).

f(x0,y0) es un máximo relativo de f , si 00 ,, yxfyxf para todo (x,y)

en un disco abierto que contiene a (x0,y0).

Máximo relativo

Mínimo relativo

Decir que z0=f(x0,y0) es un máximo relativo de f , significa el punto de la

superficie (x0,y0, f(x0,y0) es el más alto comparado con los los puntos de su

entorno en la gráfica de z=f(x,y).

De forma similar, (x0,y0, f(x0,y0) si es un mínimo relativo

Para localizar extremos relativos de f, investigaremos los puntos en que su

gradiente es cero o no está definido. Llamaremos a tales puntos críticos.


ECONOMICAS 2015-2

29

Definición

Sea f definida en una región abierta R conteniendo (x0,y0). Decimos que

(x0,y0) es un punto crítico de f, si se verifica una de las siguientes

afirmaciones:

0,.1 yxf x y 0, yxf y

yxf x ,.2 ó yxf y , no existen

Ejemplo

Determinar los extremos relativos de 20682, 22 yxyxyxf

Solución

Completando cuadrados,

0332222

yxy,xf

Por lo tanto, hay un mínimo relativo de f en

(-2,3). El valor del mínimo relativo es

f(-2,3)=3, como se ve en la figura.

Teorema Si f(x0,y0) es un extremo relativo de f en una región abierta R, entonces

(x0,y0) es un punto crítico de f.

Criterio de las segundas derivadas parciales

Teorema

Sea una función f con derivadas parciales primeras y segundas continuas

en una región abierta que contiene un punto (a,b) para el que fx(a,b)=0 y

fy(a,b)=0. Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f,

definimos la cantidad

2,,,),( bafbafbafbaD xyyyxx

Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) en un mínimo relativo.

Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) en un máximo relativo.

Si D(a,b) < 0, entonces (a,b,f(a,b)) es un punto de silla.

Este criterio no da información si D(a,b) =0.

Si D(a,b) > 0, entonces fxx(a,b) y fyy(a,b) deben tener el mismo signo. Esto

significa que se puede reemplazar fxx(a,b) por fyy(a,b) en las dos primeras

partes del criterio.

Una técnica apropiada para recordar la fórmula de D(a,b) en el criterio

anterior viene dada por el determinante siendo fxy(a,b)=fyx(a,b).


ECONOMICAS 2015-2

30

Ejemplo

Encontrar los extremos relativos de 124 23 yxyxy,xf

Solución

Comenzamos buscando los puntos críticos de f. Puesto que los únicos

puntos críticos son aquellos para los cuales ambas derivadas parciales

primeras son nulas. Para hallar los puntos, hacemos fx(x,y) y fy(x,y) cero,

obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

043, 2 yxyxf x 044, yxyxf y

De la segunda ecuación vemos que x=y, y sustituyendo en la primera

obtenemos dos soluciones: y=x=0 e y=x=4/3.

Como

fxx(x,y) = -6x, fyy(x,y) = -4 y fxy(a,b) = 4

se sigue que para el punto crítico (0,0),

0160000000002

,f,f,f,Dxyyyxx

por el criterio de las derivadas parciales

segundas, concluimos que (0,0,1) es un punto de

silla de f. Para el punto crítico (4/3,4/3),

0164834343434343434342

/,/f/,/f/,/f/,/Dxyyyxx

y como

083434 /,/fxx

concluimos que f(4/3,4/3) es un máximo relativo, como se muestra en la

figura

El criterio de las derivadas parciales segundas puede fallar, a la hora de

buscar los extremos relativos, de dos formas. Si una de las derivadas

parciales primeras no está definida, entonces no podemos usar el criterio.

También si D = 0 el criterio no es útil. En tales casos, debemos confiar en

una gráfica o en algún otro tipo de tratamiento.

Ejemplo

Hallar los extremos relativos de 22, yxyxf

Solución

Como 02, 2 xyyxf x 02, 2 yxyxf y

vemos que ambas derivadas parciales son nulas si x = 0 o y = 0.

Es decir, todo punto de el eje x ó del eje y es un punto crítico. Además


ECONOMICAS 2015-2

31

422 22 y,xf,xy,xf,yy,xfxyyyxx

vemos que si x = 0 ó y = 0, entonces

D(0,y)= D(x,0)= 0164 2222 xyxy

Luego el criterio de las derivadas parciales

segundas no decide. Sin embargo, como f(x,y)=0

para todo punto del eje x ó del eje y, y puesto que 22 yx)y,x(f >0 para los demás puntos, podemos

concluir que cada un de estos puntos críticos

conduce a un mínimo absoluto, como se muestra

en la figura.

Los extremos absolutos de una función pueden producirse de dos formas.

Primero, algunos extremos relativos también son extremos absolutos. Así

en un ejemplo, f(-2,3) es un mínimo absoluto de la función. Por otra parte,

el máximo relativo encontrado en otro ejemplo no es un máximo absoluto

de la función. Segundo, pueden existir extremos absolutos en un punto del

borde del dominio como se verá en el

Ejemplo

Encontrar los extremos absolutos de la función

f(x,y)=sen(xy) en la región cerrada dada por 10,0 yx

Solución

De las derivadas parciales

fx(x,y) = y cos(xy)=0 , fy(x,y) =x cos(xy)=0

vemos, que cada punto de la hipérbola 2/xy es un punto crítico.

Además, en cada uno de estos puntos f(x,y) toma el valor uno, que

sabemos que es el máximo absoluto. El otro punto crítico de f(x,y), es

(0,0). Conduce a un mínimo absoluto de f(0,0)=0 .Se puede concluir por

que

100 xysenxy

Para buscar otros extremos absolutos, consideremos las cuatro fronteras

de la región formada al proyectar según los planos verticales 1,0,,0 yyxx . Una vez hecho eso, vemos que sen(xy)=0

en todos los puntos del eje x. del eje y, así como el punto 1, . Cada uno

de estos puntos proporciona un mínimo absoluto de la superficie


ECONOMICAS 2015-2

32

Ejemplo

Una caja rectangular descansa sobre el plano xy con

un vértice en el origen. Encontrar el volumen máximo

de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al

plano 6x+4y+3z=24, como se indica en la figura .

Solución

Sea V(x,y,z)=xyz, el volumen de la caja.

Como un vértice de la caja pertenece al plano 6x+4y+3z=24, tenemos que

z=(1/3)(24-6x-4y) y podemos escribir el volumen de la caja como función

de dos variables:

3

4624

3

4624 22 xyyxxyyxxyy,xV

Derivando

03

41224 2

yxyy

y,xVx

03

8624 2

xyxx

y,xVy

obtenemos los puntos críticos (0,0) y (4/3,2). En (0,0) el volumen es cero,

por lo que aplicamos el criterio de las derivadas parciales segundas al

punto (4/3,2)

yy,xVxx

4 ; 38 /xy,xVyy

; 3

12824 xyy,xV

xy

Como

03643893282342342342342

///,/V,/V,/V,/Dxyyyxx

y

08234 ,/Vxx

por el criterio de las derivadas parciales segundas el volumen máximo es

964234 /,/V unidades cúbicas.

Observar que el volumen es nulo en los puntos del borde del dominio

triangular de V.

En muchos problemas sobre aplicaciones, el dominio de la función a

optimizar es una región acotada cerrada. Para encontrar puntos de

máximo o mínimo, se debe, además de buscar los puntos críticos,

considerar el valor de la función en los puntos de la frontera.


ECONOMICAS 2015-2

33

Ejemplo El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A e y

unidades del modelo B se aproxima mediante el modelo

100000010108 22 yxyx.yxy,xP

Solución Derivando obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

0200108 yx.y,xPx

02001010 yx.y,xPx

Resolviendo, obtenemos x=2000, y=4000. Las derivadas parciales

segundas de P, evaluadas en el punto crítico son

002040002000 .,Pxx

002040002000 .,Pyy

001040002000 .,Pxy

Además, como Pxx < 0 y

04000200040002000400020002 ,P,P,P

xyyyxx

concluimos que el nivel de producción de

x=2000 unidades e y=4000 unidades

conduce a un beneficio máximo.

En este último ejemplo hemos supuesto que la factoría es capaz de

producir el número requerido de unidades para llegar a un beneficio

máximo. En la práctica real, la producción se encuentra limitada por

restricciones físicas. Esto nos lleva al siguiente tema

EEXXTTRREEMMOOSS CCOONNDDIICCIIOONNAADDOOSS

MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE

LAGRANGE

f (x,y) tiene un máximo o mínimo sujeto a la ligadura g (x,y) = 0 , dicho

extremo se producirá en uno de los puntos críticos de la función F dada

por )y,x(g)y,x(f),y,x(F

Para hallar los puntos críticos se resuelve el siguiente sistema


ECONOMICAS 2015-2

34

0),(),,(

0),(),(

),,(

0),(),(

),,(

yxgyx

y

yxg

y

yxfyx

x

yxg

x

yxfyx

F

F

F

y

x

EEjjeemmpplloo ddee uunnaa aapplliiccaacciióónn aa llooss nneeggoocciiooss

La función de producción de COBB-DOUGLAS que se usa en Economía

tiene la siguiente expresión:

f (x,y) = C . x a.y (1-a)

donde el valor de a está comprendido entre 0 y 1, 0<a<1

Si x mide las unidades de trabajo e y las unidades de capital, el número

total de unidades producidas viene dado por la función f (x,y)=C.x a.y (1-a)

Para un fabricante particular la función de COBB-DOUGLAS tiene un

valor de la constante C=100 y de a = 0,75

Las unidades de trabajo es $150 la unidad, y de capital de $250 la unidad.

El costo total de trabajo y capital es de $ 50.000.

Se desea hallar el nivel de producción máximo del fabricante .

Del límite del costo de capital y trabajo obtenemos la ligadura

150.x + 250.y = 50.000

Usando el método de Lagrange hacemos

g(x,y) =150.x+250.y-50.000 y consideramos la función auxiliar de

Lagrange

F (x,y,)= f (x,y)- g ( x , y )=100.x 3/ 4.y 1/ 4-.(150.x+250.y -50.000)

el sistema será

0.1504

3.100

),(),(),,(

4/14/1

yxF

x

yxg

x

yxfyx

x

02504

1100

4343

..y

)y,x(g

y

)y,x(f),y,x( yxF

//

y

000050250150 .y.x.)y,x(g),y,x(F

De la primera ecuación del sistema obtenemos

= 0.5 x -1/ 4.y 1/ 4

Y sustituyendo en la segunda ecuación

0.2

1.250

4

1.100 yxyx

4/14/14/34/3

obtenemos x = 5.y

Que con la tercera ecuación del sistema al reemplazar su valor se obtiene

y = 50 x = 250


ECONOMICAS 2015-2

35

Finalmente la producción máxima es

Los economistas llaman al multiplicador de Lagrange que se obtiene en

una función de producción Productividad marginal del capital

Así en el ejemplo esto significa que por cada $ adicional gastado en la

producción se obtendrá 0,334 unidades adicionales de producto.

Otro ejemplo aclaratorio :

Hallar los valores extremos de z = f(x,y) = x.y, sobre la circunferencia

x²+y² = 1.

Hay que extremar z = f(x,y) =x.y, con la condición g(x,y) = x²+y²-1= 0

Vemos que f y g son diferenciables en R².

Luego formamos la función auxiliar de Lagrange

F(x,y) = x . y - (x² + y²-1).

A continuación, calculamos las derivadas de primer orden de F y

establecemos el sistema siguiente:

Fx(x,y) = y - 2 x = 0,

(1) Fy(x,y) = x - 2 y = 0,

g(x,y) = x²+ y² - 1 = 0.

Despejando en las dos primeras ecuaciones de (1) tenemos

(2) y2

x

x2

yλ se sigue que: y² = x² (3)

Por la tercera ecuación de (1), y por (3) debe ser:

y²+y²-1 = 0, esto es 2 y² = 1.

Luego, es 2

2

2

1y , y por (3) es

2

2x .

Así obtenemos los puntos

,,P,,P

2

2

2

2

2

2

2

221

,,P,,P

2

2

2

2

2

2

2

243

Evaluando en estos puntos obtenemos los valores máximo y mínimos

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

,F,F

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

,F,F

= 0.5 x -1/ 4.y 1/ 4 = 0.5 (250) -1/ 4. (50) 1/ 4 = 0,334

f(x,y) = 100.(250) 3/ 4.(50) 1/ 4 =16719 unidades


ECONOMICAS 2015-2

36

funciones+de+varias+variables+-teoria

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