FUNCIONES DE DOS VARIABLES (1)

Funciones de dos variables

Una función de dos variables indica que existe una correspondencia entre cada par ordenado de números reales (x, y) y un número real z. Al conjunto de pares ordenados se llama dominio de la función, y el conjunto de valores z correspondiente a dichos pares ordenados se llama imagen, rango o contradominio. Toda función de dos variables se representa: Z = f (x, y), donde las variables “x” y “y” se llaman variables independientes, y la variable “Z” se llama variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de todos los puntos con coordenadas (x, y, Z), y este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

Obtenga el dominio y el contradominio, rango o imagen de las siguientes funciones:

1

𝐳 =√𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟗

𝐱

2

𝐳 =𝐱

√𝟒 − 𝐱𝟐 − 𝐲𝟐

3

𝐳 = √𝟏𝟔 − 𝟒𝐱𝟐 − 𝐲𝟐

4

𝐳 = 𝟒𝐱𝟐 − 𝟕𝐲𝟐

5

𝐳 = 𝐞𝐱𝐲

6

𝐳 = 𝐱√𝐲

7

𝐳 =𝐲

√𝐱

8

𝐳 =𝟕𝐱 + 𝟑𝐲

𝟒𝐱𝐲

9

𝐳 =𝟐𝐱𝐲

𝟓𝐱 − 𝟗𝐲

10

𝐳 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 [𝐲

𝐱]

11

𝐳 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝐱 + 𝐲)

12

𝐳 = √𝟖 − 𝐱𝟐 − 𝐲

13

𝐳 = 𝐥𝐧(𝟒 − 𝐱 − 𝐲)

14

𝒛 = 𝐥𝐧(𝒙𝒚 − 𝟔)

15

𝐳 =𝟐𝐱𝟑𝐲𝟐

𝐥𝐧𝐱𝐲

16

𝐳 =𝟓𝐱 − 𝟑𝐲

√𝐱 + 𝐲𝟑

17

𝐳 =𝐱 − 𝐲

𝐞𝐱𝐲

18

𝐳 = 𝟐𝐱𝟑𝐲

19

𝐳 = 𝐱𝐥𝐧𝟑𝐲

20

𝐳 = 𝐥𝐧𝐱𝐲

21

𝐳 =𝐱 − 𝐲

𝐜𝐨𝐬𝐱𝐲

22

𝐳 =𝟐𝐱 − 𝐲

𝐬𝐞𝐧𝐱𝐲

23

𝐳 =𝟑

𝒙+𝟐

𝒚

24

𝐳 =𝟐

𝟑𝒙−

𝟕

𝒚𝟐

LÍMITES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES (2)

Límites en funciones de dos variables

El límite de la función Z = f(x,y) cuando las variables “x” y “y” tienden a tomar los valores de “x0” y “y0” respectivamente es igual a L:

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝐱𝟎,𝐲𝟎))

𝐙(𝐱,𝐲) = 𝐋

Para evaluar el límite, primero deberá de efectuarse la sustitución de las variables en la función, en caso de que se obtenga la indeterminación cero entre cero, entonces deberá de efectuarse la factorización con la posterior simplificación para obtener el límite.

Método de coordenadas polares.

En el plano xy, la distancia en línea recta desde el origen hasta el punto de coordenadas rectangulares (x,y) se representa con “r”, está en dirección “ɵ” medida con respecto a la parte positiva del eje “x”. Del Teorema de Pitágoras sabemos que r2 = x2 + y2 y que las proyecciones de “r” sobre el eje x es x = rcosɵ y sobre el eje y es y = rsenɵ Es obvio que cuando r→0 entonces también ɵ→0. Entonces cuando en una función no se pueda eliminar la indeterminación cero sobre cero por factorización, y en la misma (x,y) → (0,0), se pueden sustituir “x” y “y” por las proyecciones rcosɵ y rsenɵ respectivamente.

Obtenga el límite de cada una las siguientes funciones:

1

𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

[𝟑𝒙𝟐 −𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚− 𝟓

𝟗𝒙 − 𝟔𝒙𝒚 + 𝟖]

2

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟐,𝟏)

[𝟐𝐱𝟐𝐲𝟐 − 𝟓𝐱𝐲+ 𝟑

𝐱𝟐 −𝟑𝐲𝟐]

3

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟐,𝟐)

[𝟑𝐱𝟐 −𝟑𝐲𝟐

𝟓𝐱− 𝟓𝐲]

4

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟐,−𝟏)

[𝟑𝐱𝟐 + 𝟓𝐱𝐲 − 𝟐𝐲𝟐

𝐱 + 𝟐𝐲]

5

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟑,𝟏)

[𝐱𝟐 −𝟗𝐲𝟐

𝐱 − 𝟑𝐲]

6

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟏,𝟐)

[𝟖𝐱𝟑 − 𝐲𝟑

𝟐𝐱 − 𝐲]

7

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟐,−𝟐)

[𝐱𝟑 + 𝐲𝟑

𝐱 + 𝐲]

8

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟏,−𝟓)

[√𝟓𝒙 + 𝒚

𝟓𝐱 + 𝐲]

9

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎)

[𝟐𝐞𝐱 + 𝟑𝐞𝐲

𝐜𝐨𝐬𝐱 + 𝐬𝐞𝐧𝐲]

10

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎)

[𝟐𝐱𝟑 + 𝟑𝐱𝟐 + 𝟒𝐲𝟐

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐]

11

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎)

[𝟖𝐱𝐲

𝟐𝐱 + 𝟑𝐲]

12

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎)

[𝟐𝐱𝟐 +𝟓𝐲𝟐

𝟑𝐱𝐲]

13

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟐,−𝟑)

[𝟏

𝐱+𝟏

𝐲]

𝟐

14

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟏,𝟎)

𝐱𝐬𝐞𝐧𝐲

𝐱𝟐 +𝟏

15

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟏,𝟏)

𝐱𝟐 − 𝐲𝟐

𝐱 − 𝐲

16

𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎)

𝐜𝐨𝐬𝐱𝟐 + 𝐲𝟑

𝐱 + 𝐲+ 𝟏

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES (3)

La función z = f(x,y) es continua en (x0, y0) si:

a) La función “z” está definida en (x0, y0).

b) 𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝐱𝟎,𝐲𝟎)

[𝐳(𝐱,𝐲)] existe.

c) 𝐥𝐢𝐦(𝐱,𝐲)→(𝐱𝟎,𝐲𝟎)

[𝐳(𝐱,𝐲)] = 𝐳(𝐱𝟎,𝐲𝟎)

En general, una función es continua, si es continua en cada punto de su dominio.

Analizar la continuidad de las siguientes funciones:

1

𝐳(𝐱,𝐲) =𝟑𝐱− 𝟐𝐲

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

2

𝐳(𝐱,𝐲) =𝟔

𝐱 − 𝐲𝟐

3

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝟐𝐱𝟐 + 𝐲

4

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝟐𝐱𝟐 + 𝐲

5

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝐞𝐱𝐲

6

𝐳(𝐱,𝐲) =𝐱+ 𝐲

𝐱𝟐 +𝟏

7

𝐳(𝐱,𝐲) =𝐱

𝐲

8

𝐳(𝐱,𝐲) =𝐱+ 𝐲

𝐱− 𝐲

9

𝐳(𝐱,𝐲) =𝐱𝐲

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

10

𝐳(𝐱,𝐲) =𝐱

√𝐱 + 𝐲

11

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝐲𝐜𝐨𝐬𝐱𝐲

12

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝐜𝐨𝐬√𝟏 + 𝐱 − 𝐲

13

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝐱𝐞𝐱𝐲

14

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝐥𝐧(𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟒)

15

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝐬𝐞𝐧𝐱

𝐲

16

𝐳(𝐱,𝐲) =𝐱𝐲

𝟏 + 𝐞𝐱−𝐲

17

𝐳(𝐱,𝐲) =𝐞𝐱 + 𝐞𝐲

𝐞𝐱𝐲 − 𝟏

18

𝐳(𝐱,𝐲) =𝟏+ 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

𝟏 − 𝐱𝟐 − 𝐲𝟐

19

𝐳(𝐱,𝐲) =𝟐𝐱𝟐 − 𝐱𝐲 + 𝟑𝐲𝟐

√𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

20

𝐳(𝐱,𝐲)=

𝐱+𝐲𝐱𝐲

21

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱 + 𝟐𝐲)

22

𝐳(𝐱,𝐲) = 𝐥𝐧(𝟐𝐱 + 𝐲𝟐)

DERIVADAS PARCIALES (4)

Derivadas parciales

Se entiende como derivada parcial de Z respecto de una de sus dos variables, a la expresión obtenida al derivar dicha función respecto de la variable considerada, suponiendo constantes las demás. Sí la derivada es con respecto a la variable “x”, se representa con el símbolo: ∂Z / ∂x o Zx Sí la derivada es con respecto a la variable “y”, se representa con el símbolo: ∂Z / ∂y o Zy Su interpretación geométrica, es un plano tangente a la curva en el punto P donde se evalúe la derivada parcial, formado por las rectas tangentes a la superficie en ese punto

Gradiente de una función

El gradiente de la función en un punto (x,y,Z), es un vector formado por las derivadas parciales, y representa la dirección de máximo crecimiento de la función y siempre es un vector normal a las curvas de nivel.

Por analogía, estos razonamientos pueden extenderse a funciones que contengan más de tres variables.

Obtenga las derivadas parciales de las siguientes funciones:

1

𝐳 = 𝟒𝐱𝟐 + 𝟑𝐲𝟐 − 𝟕

2

𝐙 = 𝟐𝐱𝟐 + 𝟑𝐱𝐲

3

𝐙 = 𝟐𝐲 + 𝟏

4

𝐙 = 𝐥𝐧 𝟐

5

𝐙 = 𝟑𝐱𝟒 + 𝟐𝐱𝐲𝟐 − 𝟓𝐱𝐲 + 𝟖𝐱 − 𝟗𝐲

6

𝐙 = (𝐱 + 𝟏)𝟐 + (𝐲 − 𝟑)𝟑 + 𝟓𝐱𝐲𝟑 − 𝟐

7

𝐙 = √𝐱𝐲

8

𝐙 = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐𝟑

9

𝐙 =𝐱𝟐 + 𝟒

𝐲 − 𝟑

10

𝐙 =𝟖𝐱𝐲𝟐

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

11

𝐙 =𝟏

𝟐𝐥𝐧(𝐱 + 𝟐) +

𝟏

𝟑𝐥𝐧(𝐲 + 𝟓)

12

𝐙 =𝐱𝟐 + 𝟑𝐱𝐲 + 𝐲𝟐

√𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

13

𝐙 =√𝐱 + 𝟗

𝐱𝟐𝐲 + 𝐲𝟐𝐱

14

𝐳 =𝟐𝒆𝟓𝒙

𝟑𝒚𝟐

15

𝐙 = (𝐱𝟐 + 𝐲𝟐)𝐞𝟐𝐱+𝟑𝐲+𝟏

16

𝐙 = 𝟓𝐱 𝐥𝐧( 𝐱𝟐 + 𝐲)

17

𝐙 = 𝐥𝐧(𝟓𝐱𝟑𝐲𝟐 + 𝟐𝐲𝟒)𝟒

18

𝐙 = √𝐱 + 𝟐𝐲(𝐱𝟑 − 𝟐𝐱𝐲 + 𝐲𝟐)

19

𝐳 = 𝐬𝐞𝐧(𝟒𝐱 + 𝟓𝐲)

20

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 = 𝟐𝟓

21

𝐳 = 𝟑𝐱𝐞𝟒𝐲

22

𝐙 = 𝐞𝟐𝐱𝟐+𝟑𝐱𝐲

VECTOR GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL (5)

Vector gradiente

El vector gradiente ▽f de un campo escalar f, es un campo vectorial, e indica la dirección en la cual dicho campo f varia más rápidamente.

Derivada direccional

Así como podemos obtener una derivada con respecto a cada uno de los ejes coordenados, puede obtenerse también con respecto a cualquier otra recta o vector. La derivada direccional indica cómo cambia el valor de una función multivariable a medida que se mueve en la dirección de un vector.

Proceso

1. Se calcula el vector gradiente de la función “f” ▽f = (fx, fy) en el punto P. 2. Se obtiene el vector PQ que es sobre el cual se proyectara la derivada de “f”. 3. Se calcula el módulo del vector PQ. 4. Se obtiene el vector direccional U, dividiendo cada componente del vector PQ entre el valor

del módulo del vector PQ.

5. Se halla la derivada direccional Duf multiplicando escalarmente ▽f por U.

Ejercicios

Dada la Función

Calcule el vector

Gradiente de “f” en el punto

Calcule la derivada direccional de

“f” en el vector que va de:

1

𝐟 = 𝟓𝐱𝟐 + 𝟑𝐲𝟐

P = (3,6)

P = (3,6) a Q = (8,4)

2

𝐟 =𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

𝐱𝐲

P = (4, – 3)

P = (4, – 3) a Q = (1,0)

3

𝐟 =𝟒𝐱 − 𝟓𝐲

𝐱𝐲

P = (7, – 3)

P = (7, – 3) a Q = (4,2)

4

𝐟 = √𝟒𝐱𝟐 − 𝟑𝐲𝟐

P = (– 3, – 5)

P = (– 3, – 5) a Q = (2, 1)

5

𝐟 = 𝟑𝐱𝟐 − 𝟖𝐱𝐲 + 𝟗𝐲𝟐

P = (– 1, – 4)

P = (– 1, – 4) a Q = (2, 3)

6

𝐟 = 𝐥𝐧𝟓𝐱𝟐 + 𝟖𝐲𝟐

𝟒𝐱𝐲

P = (8, – 4)

P = (8, – 4) a Q = (5, 3)

7

𝐟 = 𝟐𝐞𝟓𝐱𝐲

P = (– 3, – 2)

P = (– 3, – 2) a Q = (4, 6)

8

𝐟 = (𝟑𝐱)𝟐𝐲

P = (1, 2)

P = (1, 2) a Q = (– 4, 5)

9

𝐟 =𝟐(𝐱 + 𝐲)

𝐞𝐱𝐲

P = (2,0)

P = (2,0) a Q = (3,1)

10

𝐟 =𝟐𝐱𝟐 − 𝟑𝐲𝟐

√𝐞𝐱𝐲

P = (0,1)

P = (0,1) a Q = (2,2)

MATRIZ JACOBIANA (6)

Una matriz Jacobiana está integrada por las derivadas parciales de primer orden de una o más funciones de varias variables independientes, de la siguiente forma: Sí las derivadas parciales de f1(x,y) con respecto a las variables “x” y “y” son respectivamente: f1x y f1y ; y las derivadas parciales de f2(x,y) con respecto a las variables “x” y “y” son respectivamente: f2x y f2y ; la matriz jacobiana puede definirse como:

𝐉 = [𝐟𝟏𝐱 𝐟𝟏𝐲𝐟𝟐𝐱 𝐟𝟐𝐲

]

Dicha matriz no es necesariamente cuadrada, sino dependiente tanto del número de variables como del de funciones que intervienen en el análisis. Entre sus principales aplicaciones se pueden contar:

• Dadas dos bases diferentes, la aplicación puede contener componentes diferentes, es decir, expresar una función de R2 a R3 y viceversa.

• Nos da una aproximación lineal a la función en algún punto en particular.

• El determinante del jacobiano (si es una matriz cuadrada) representa en forma escalar que tanto varia la función en la cercanía un punto determinado.

1. Escriba el jacobiano de las siguientes funciones: 𝐟(𝐱,𝐲,𝐳) = [𝐱𝟐 + 𝐬𝐞𝐧𝐲, 𝐳𝐞𝐱𝐲]

2. Escribe la matriz jacobiana y el valor de su determinante en el punto (– 1, 1) de las funciones:

𝒇(𝒙,𝒚) = [𝟐𝐱𝟑 − 𝟓𝐲𝟐 +𝟒𝐱𝐲𝟐, −𝟐𝐱𝐲 + 𝐱𝟐 − 𝟐𝐲𝟑 + 𝟒𝐲− 𝟐]

3. Escribe la matriz jacobiana y el valor de su determinante en el punto (1, 0, – 1) de las funciones:

𝐟(𝐱,𝐲,𝐳) = [𝐜𝐨𝐬𝐱𝐲,𝟑𝐞𝐱𝐲

𝐳, 𝐱𝐲𝐳]

4. Escriba la matriz jacobiana de las siguientes funciones en el punto P = (1, 1/2):

𝐟(𝐱,𝐲) = [𝟑𝐱𝟐 − 𝐲, 𝟐𝐞𝟒𝐱𝐲,

𝟒𝐱

𝟑𝐲]

5. Determina la matriz jacobiana y el valor de su determinante en el punto (3, 2, –1) para:

𝐟(𝐱,𝐲,𝐳) = [𝟐𝐱− 𝟑𝐲𝟐 +

𝟑

𝐳,𝟕𝐱

𝟑𝐲𝐳, 𝟑𝐳𝐞𝐱𝐲]

6. Determina la matriz jacobiana y el valor del determinante en el punto (2, 1, – 3) del para:

𝐟(𝐱,𝐲,𝐳) = [𝟐𝐞𝐱𝐲, 𝟓𝐱𝟐𝐳𝟑, 𝐥𝐧

𝟔𝐳𝟐

𝟓𝐲𝟑]

7. Determina la matriz jacobiana y el valor del determinante en el punto (1, 4, 3) del para:

𝐟(𝐱,𝐲,𝐳) = [√𝐲𝟐 + 𝐳𝟐, (𝟐𝐱 − 𝟑𝐲)𝟐, (𝟐𝐲)𝟑𝐳]

PLANO TANGENTE y RECTA NORMAL (7)

Si representamos con f(x,y,z) a una función derivable en el punto (x0,y0,z0), entonces la ecuación del plano tangente a la superficie representada por esa función en el punto citado está dada por:

𝐟𝐱(𝐱𝟎,𝐲𝟎,𝐳𝟎)(𝐱 − 𝐱𝟎)+ 𝐟𝐲(𝐱𝟎,𝐲𝟎,𝐳𝟎)

(𝐲 − 𝐲𝟎)+ 𝐟𝐳(𝐱𝟎,𝐲𝟎,𝐳𝟎)

(𝐳 − 𝐳𝟎) = 𝟎

Mientras que la recta normal a dicho plano tangente en el punto mencionado puede expresarse como el vector:

𝐅 = 𝐟𝐱𝐢 + 𝐟𝐲𝐣 + 𝐟𝐳𝐤

Que también puede expresarse en la siguiente forma simétrica: 𝐱−𝐱𝟎𝐟𝐱

=𝐲−𝐲𝟎𝐟𝐲

=𝐳−𝐳𝟎𝐟𝐳

Determinar la ecuación del plano tangente y de la recta normal en sus dos formas para las siguientes funciones en el punto indicado:

1. 𝐳𝟐 − 𝟒𝐱𝟐 − 𝟑𝐲𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎 en P = (1,0,4).

2. 𝐳 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟕 en P = (2,3,6).

3. 𝐳𝟐 = 𝟑− 𝐱𝟐 − 𝐲𝟐 en P = (1,1,1).

4. 𝐟 = 𝐱𝟐 + 𝟗𝐱𝐲 − 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 en P = (1,– 1,4).

5. 𝐳 = 𝐥𝐧(𝐱𝟐 + 𝐲𝟐) en P = (1,1,ln2).

6. 𝐳 =𝐲

𝟐𝐱 en P = (2,4,1).

7. 𝐳 =𝟑𝐱𝐲

√𝐱+𝟐𝐲 en P = (1,4,4)

8. 𝐳 =𝟒𝐲

𝐞𝟑𝐱 en P = (0,2,8)

9. 𝐳 = √𝐱𝐲 en P = (1,1,1)

10. 𝐳 = 𝟑(𝐱 − 𝟏)𝟐 + 𝟐(𝐲 + 𝟑)𝟐 + 𝟕 en P = (2,0 – 2,12)

11. 𝐳 = 𝐱𝐞𝐱𝐲 en P = (2,0,2)

12. 𝐳 = 𝐱𝐬𝐞𝐧(𝐱 + 𝐲) en P = (– 1, 1,0)

13. 𝐳 = 𝐥𝐧(𝐱 − 𝟐𝐲) en P = (3,1,0)

14. 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟐𝐱𝐲 − 𝐱 + 𝟑𝐲− 𝐳 = −𝟒 en P = (2, 0 – 3,18).

15. 𝐥𝐧(𝐱𝟐 + 𝐲𝟐) − 𝐳 = 𝟎 en P = (1,0,0)

16. 𝐳 − 𝐞−(𝐱𝟐+𝐲𝟐) = 𝟎 en P = (0,0,1)

17. 𝐳 − √𝐲 − 𝐱 = 𝟎 en P = (1,2,1)

18. 𝟒𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝐳 = 𝟎 en P = (1,1,5)

19. 𝐳 − √𝟔𝐱 − 𝟓𝐲 = 𝟎 en P = (5,1,5)

20. 𝐳 −𝐞𝟐𝐱𝐲

𝟑𝐱+𝐲= 𝟎 en P = (2,0,1/6)

DERIVADAS PARCIALES SUCESIVAS (8)

Las segundas derivadas con respecto a las variables “x” y “y” se representan Zxx y Zyy respectivamente. Si se deriva Z primero con respecto a “x” y luego con respecto a “y”, se obtiene Zxy; y si se deriva Z primero con respecto a “y” y luego con respecto a “x” se obtiene Zyx. Debe ocurrir que Zxy = Zyx. A estas derivadas comúnmente se les conoce como “derivadas cruzadas”.

Obtenga las segundas derivadas parciales, así como las derivadas cruzadas de cada una de las siguientes funciones:

1

𝐳 = 𝐥𝐧( 𝟒𝐱 − 𝟑𝐲)𝟒

2

𝐳 = (𝟗𝐱𝟐𝐲𝟑 − 𝟒)𝟐𝟑⁄

3

𝐳 = 𝐥𝐧 𝟑𝐱𝟒𝐲𝟓

4

𝐳 = 𝐱𝐞𝟑𝐲

5

𝐳 = 𝐭𝐚𝐧( 𝟒𝐱𝟑 − 𝟐𝐲𝟒)

6

𝐳 = 𝐬𝐞𝐧(𝟖𝐱𝟐 − 𝐲𝟑)

7

𝐳 = 𝟔𝐱𝟒𝐲𝟑

8

𝐳 = 𝟐𝟏𝐱𝟑𝐲𝟑 − 𝟏𝟒𝐱𝟒𝐲

9

𝐳 =𝟑𝐱𝟐

𝟒𝐲

10

𝐳 =𝟐𝐲𝟐

𝟓𝐱

11

𝐳 = 𝟒𝐱𝟐 − 𝟗𝐱𝐲 + 𝟓𝐲𝟐

12

𝐙 = 𝐞𝟓𝐱𝟑𝐲𝟐

13

𝐳 =𝟖𝐱𝟐 − 𝟑𝐲𝟐

𝐱𝐲

14

𝐳 =𝐱𝟐 − 𝐲𝟐

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

15

𝐳 = 𝐥𝐧𝟑𝐲𝟒

𝟐𝐱𝟑

16

𝐳 =𝟑𝐱𝟐 − 𝟓𝐱𝐲 + 𝟐𝐲𝟐

𝟒𝐱𝟐𝐲𝟑

17

𝐳 = √𝟖𝐱𝟑 − 𝟓𝐲𝟐

18

𝐳 = √𝟒𝐱𝟐 − 𝟓𝐲𝟐 + 𝟔𝐱𝐲

19

𝐳 =𝟒𝐱𝟐𝐲𝟑

𝟐𝐱 + 𝟑𝐲

20

𝐳 = √𝐲

𝐱

21

𝐳 = √𝟒𝐱 − 𝟑𝐲𝟑

22

𝐳 = (𝟑𝐱𝟐 − 𝐲𝟑)𝟓𝟑

23

𝐳 = 𝐲𝐱

24

𝐳 = (𝟐𝐱)𝟑𝐲

25

𝐳 =𝟒𝐱

𝐞𝟐𝐲

26

𝐳 = 𝐚𝟒𝐲(𝟑𝐱𝟐)

MAXIMOS Y MINIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES (9)

Definición

• Se dice que una función Z = f (x, y) tiene un valor máximo relativo en el punto (a,b) (es decir cuando x = a y y = b) si, para todos los puntos (x,y) en el plano que están inmediatos a él se tiene qué: f (a,b) > f (x,y).

• Se dice que una función Z = f (x, y) tiene un valor mínimo relativo en el punto (a,b) (es decir cuando x = a y y = b) si, para todos los puntos (x,y) en el plano que están inmediatos a él se tiene qué: f (a,b) < f (x,y).

Procedimiento para hallar los máximos y/o

mínimos relativos de una función de

dos variables:

Dada una función Z = f (x,y): 1. Se hallan: Zx (Primera derivada de Z con respecto a “x”)

Zxx (Segunda derivada de Z con respecto a “x”) Zy (Primera derivada de Z con respecto a “y”) Zyy (Segunda derivada de Z con respecto a “y”) Zxy = Zyx

2. Se resuelve el sistema formado para las ecuaciones Zx = 0 y Zy = 0, conociendo los valores críticos (a,b).

3. Sea Dxy = (Zxx)(Zyy) – (Zxy o Zyx)2. Sí en el valor critico (a,b): Sí D > 0 y Zxx < 0, la función Z tiene un máximo relativo en el punto crítico (a,b). Sí D > 0 y Zxx > 0, la función Z tiene un mínimo relativo en el punto crítico (a,b). Sí D < 0, la función Z tiene un punto de silla en el punto crítico (a,b). Sí D = 0, no hay conclusión con respecto al punto crítico (a,b) y se requiere de análisis adicionales.

Encuentre los puntos críticos de cada una de las siguientes funciones, y para cada uno de ellos, determine por medio de la prueba de la segunda derivada, si corresponde a un máximo relativo, a un mínimo relativo, a ninguno de los dos (existe un punto de silla), o sí la prueba no da información y se requieren análisis adicionales:

1. 𝐳 = 𝐱𝟑 + 𝐲𝟑 − 𝐱𝐲

2. 𝐳 = 𝟑𝐱𝟐 + 𝟔𝐲𝟐 − 𝟏𝟐𝐱𝐲 + 𝟏𝟎𝐱 + 𝟗𝐲 − 𝟏

3. 𝐳 = 𝐱𝟑 + 𝐲𝟑 − 𝟑𝐱𝟐 − 𝟑𝐲𝟐 − 𝟗𝐱

4. 𝐳 = 𝐱𝟑 + 𝐲𝟑 − 𝟔𝐱𝟐 − 𝟔𝐲𝟐 + 𝟗𝐲

5. 𝐳 = −𝟐𝐱𝟐 + 𝟖𝐱 − 𝟑𝐲𝟐 + 𝟐𝟒𝐲 + 𝟕

6. 𝐳 = 𝐱𝟐 + 𝟑𝐱𝐲 + 𝐲𝟐 + 𝐱 + 𝟑

7. 𝐳 = 𝐲 − 𝐲𝟐 − 𝟑𝐱 − 𝟔𝐱𝟐

8. 𝐳 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝐱𝐲 + 𝐱𝟑

9. 𝐳 = 𝐱𝟑 + 𝐲𝟑 + 𝟑𝐱𝐲𝟐 − 𝟏𝟓𝐱 − 𝟏𝟓𝐲

10. 𝐳 = 𝐱𝟑 − 𝐲𝟑 − 𝟐𝐱𝐲 + 𝟔

11. 𝐳 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟐𝟏𝐲

12. 𝐳 = 𝟐𝐱𝟑 + 𝟐𝐲𝟑 − 𝟔𝐱𝐲 + 𝟕

13. 𝐳 = 𝟔𝐱𝟐 − 𝟐𝐱𝟑 + 𝟑𝐲𝟐 + 𝟔𝐱𝐲

14. 𝐳 = 𝐱𝟐 + 𝟐𝐲𝟐 − 𝟐𝐱𝐲 − 𝟒𝐲 + 𝟑

15. 𝐳 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝟔𝐱𝐲 − 𝟑𝐱 − 𝟒𝐲 + 𝟐

16. 𝐳 = 𝟑𝐱𝟐 + 𝟓𝐲𝟐 − 𝟏𝟎𝐱𝐲 + 𝟓𝐱 − 𝟔𝐲 + 𝟏

17. 𝐳 = 𝟔𝐱𝟐 + 𝟏𝟎𝐲𝟐 − 𝟐𝐱𝐲 + 𝟑𝐱 − 𝟐𝐲 + 𝟑

18. 𝐳 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟑𝐱𝐲

19. 𝐳 = 𝟓𝐱𝐲 − 𝟕𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 − 𝟔𝐲 + 𝟐

20. 𝐳 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟔𝐱𝐲 + 𝟒

21. 𝐳 = 𝟑𝐱𝟐 + 𝟒𝐲𝟐 − 𝟔𝐱𝐲 + 𝟒𝐱 − 𝟐𝐲

22. 𝐳 = 𝟐𝐱𝟐 + 𝟒𝐲𝟐 − 𝟖𝐱𝐲 + 𝟖𝐱 − 𝟏𝟔𝐲

23. 𝐳 = 𝐱𝟐𝐜𝐨𝐬𝐲

24. 𝒛 = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟏𝟔𝒙𝒚 + 𝒚𝟒

25. 𝐳 = 𝟐𝐱𝟑 + 𝟐𝐲𝟑 − 𝟒𝐱𝟐 − 𝟒𝐲𝟐 − 𝟏𝟔𝐱

26. 𝐳 = 𝟐𝐱𝟑 + 𝟐𝐲𝟑 − 𝟒𝐱𝟐 − 𝟒𝐲𝟐 − 𝟏𝟔𝐱

27. 𝐳 = 𝐞𝐲(𝐲𝟐 − 𝐱𝟐)

28. 𝐳 = 𝐞𝐱𝐜𝐨𝐬𝐲

29. 𝐳 =𝐜𝐨𝐬𝐲

𝐱𝟐+𝟒𝐱

30. 𝐳 =𝐜𝐨𝐬𝐲

𝐱𝟑−𝟔𝐱𝟐

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (10)

Es un método que se emplea para evaluar los máximos y/o mínimos de funciones de varias variables, sujetas a restricciones, bajo el siguiente procedimiento:

1. Se obtienen las derivadas parciales tanto de la función objetivo “f” como de la restricción “g”. 2. Se iguala el gradiente de la función objetivo “f”, con el gradiente de la restricción “g” multiplicada por el escalar ʎ. 3. Se igualan las componentes correspondientes de los gradientes, y al igualar las ʎ que surgen, se obtiene una

expresión de una variable en función de la otra. 4. Dicha expresión se sustituye en la restricción y de esta forma se encuentra(n) el (los) punto(s) critico(s). 5. Se sustituye(n) el(los) punto(s) critico(s) en la función objetivo para conocer el valor óptimo de f.

Función objetivo

Restricción

1

f = 134x + 106y

g = 3xy – 70

2

f = xy

g = x2 + y2 – 1

3

f = 2xy

g = x + 2y – 2

4

f = x(y + 4)

g = x + y – 8

5

f = x – 3y – xy

g = x + y – 6

6

f = 7 – y + x2

g = x + y

7

f = xy

g = x2 + 2y2 – 1

8

f = 49 – x2 – y2

g = x + 3y – 10

9

f = (xy)/2

g = x + y – 16

10

f = x2 + y2

g = x2 – 4x + y2 – 4y

11

f = x2y

g = x + y – 3

12

𝐟 =𝟐𝐱𝐲

𝟑

g = x + y – 6

13

f = x2 + y2

g = x + 4y – 2

14

f = 4xy

𝐠 =𝐱𝟐

𝟗+

𝐲𝟐

𝟏𝟔− 𝟏

15

f = 2x + 6y + 10x

g = x2 + y2 + z2 – 35

16

𝐟 = √𝟔 − 𝐱𝟐 − 𝐲𝟐

g = x + y – 2

17

𝐟 = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

g = 2x + 4y – 15

18

𝐟 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐

g = x + y + z – 9

19

𝐟 = 𝐱𝐲𝐳

g = x + y + z – 3

20

𝐟 = 𝐞𝐱𝐲

𝐠 = 𝐱𝟑 + 𝐲𝟑 − 𝟏𝟔

21

𝐟 = 𝟐𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝐳

𝐠 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 − 𝟗

22

𝐟 = 𝐱𝐲𝐳

𝐠 = 𝐱𝟐 + 𝟐𝐲𝟐 + 𝟑𝐳𝟐 − 𝟔

23

𝐟 = 𝐱𝟐𝐲𝟐𝐳𝟐

𝐠 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 − 𝟏

24

𝐟 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐

𝐠 = 𝐱𝟒 + 𝐲𝟒 + 𝐳𝟒 − 𝟏

25

𝐟 = 𝐱𝟒 + 𝐲𝟒 + 𝐳𝟒

𝐠 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 − 𝟏

DERIVACION DE FUNCIONES VECTORIALES (11)

Las funciones vectoriales son vectores, en los que cada una de sus componentes dependen de una variable “t” como variable independiente. Su forma es la siguiente:

𝐫(𝐭) = 𝐱(𝐭)𝐢 + 𝐲(𝐭)𝐣 + 𝐳(𝐭)𝐤 Su derivada es la derivada de cada una de sus componentes con respecto a la variable “t”.

Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1

𝐫(𝐭) = ⟨√𝟐𝐭𝟐 − 𝟏, 𝐥𝐧√𝐭𝟓 , 𝟑𝐞𝟐𝐭⟩

cuando t = 3/2

2

𝐫(𝐭) = ⟨(𝐭 + 𝟏)𝟐, 𝐞√𝐭, √𝐭𝟐 − 𝟏

𝟑⟩

cuando t = 2

3

𝐫(𝐭) = ⟨𝟑𝐭 − 𝟏

𝟒 + 𝟓𝐭, 𝟓𝐭𝟐 − 𝟑𝐭, 𝐥𝐧

𝟒

𝐭𝟐⟩

cuando t = 3

4

𝐫(𝐭) = ⟨√𝐭𝟑, 𝐥𝐧

𝐭𝟐 − 𝟏

𝐭, 𝐞

𝟑𝐭𝟐⁄

, ⟩

cuando t = 2

5

𝐫(𝐭) = ⟨𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝐭, (𝐭𝟐)𝐭, (𝟒 − 𝐭𝟐)𝟑⟩

cuando t = 1

6

𝐫(𝐭) = ⟨𝟔𝐭𝟐 , 𝐬𝐞𝐧𝟖𝐭𝟐, 𝐭

𝟓𝟔⁄ ⟩

cuando t = 3

7

𝐑 = 〈𝟑𝐭, 𝐭𝟐 − 𝟏,𝐭 − 𝟏

𝐭〉

cuando t = 2

8

𝐫(𝐭) = (𝟐𝐭

𝟑,𝟓

𝟒𝐭,𝟖𝐭

𝟕𝐭)

cuando t = 1/2

9

𝐫(𝐭) = (𝐞𝐭𝟑, 𝐭𝟐𝐭, 𝟐𝟒𝐭)

cuando t = 1

10

𝐫(𝐭) = (√𝟐𝐭𝐭

,𝟑

√𝐭,

𝟏

𝐭 − 𝟏)

Cuando x = 2

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL (12)

• Un campo escalar está formado puntos en una superficie, y los que tienen las mismas características o magnitudes pueden relacionarse entre sí, generando por ejemplo planos de curvas de nivel, o de isobaras o de isoyetas. En este tipo de campos el gradiente nos indica crecimientos en diferentes direcciones.

• Un campo vectorial está formado por vectores, los que muestran por ejemplo flujos, que tienen características variables en diferentes posiciones. De ellos es importante conocer:

Si tenemos una función vectorial representada por: F(x,y,z) = (𝐅𝐱𝐢 + 𝐅𝐲𝐣 + 𝐅𝐳𝐤)

Siendo el operador diferencial Nabla:

𝛁 · 𝐅 = (𝛛

𝛛𝐱𝐢 +

𝛛

𝛛𝐲𝐣 +

𝛛

𝛛𝐳𝒌) ∙ (𝐅𝐱𝐢 + 𝐅𝐲𝐣 + 𝐅𝐳𝐤)

- La divergencia de un campo vectorial se define como:

𝛁 · 𝐅 = (𝛛𝐱𝐢 + 𝛛𝐲𝐣 + 𝛛𝐳𝐤) ∙ (𝐅𝐱𝐢 + 𝐅𝐲𝐣 + 𝐅𝐳𝐤) Si el escalar obtenido es: Positivo: el sistema tiene una expansión (salen o alejan partículas). Negativo: el sistema tiene una compresión (entran o acercan partículas) Cero: Conservación de las partículas del sistema sin acercamiento o alejamiento.

- El rotacional de un campo vectorial se define como:

𝛁𝐱𝐅 = |

𝐢 𝐣 𝐤𝛛

𝛛𝐱

𝛛

𝛛𝐲

𝛛

𝛛𝐳

𝐅𝐱 𝐅𝐲 𝐅𝐳

|

La regla de la mano derecha en cada dirección indica, si es: Positiva, crecimiento en esa dirección. Negativa, decrecimiento en esa dirección.

En cada una de las siguientes funciones, determinar la divergencia y el rotacional:

1

𝐟 = 𝟐𝐱𝐲𝐞𝐳𝐢 + 𝟑𝐲𝐳𝐞𝐱k en (0,2,1)

2

𝐟 = 𝟒√𝐱𝐲𝐢−

𝟒𝐲

𝟕𝐳𝐣 + 𝟔𝐱𝟑𝐳𝟐𝐤 en (3,2,1)

3

𝐟 =𝟐𝐞𝐱

𝟑𝐲𝐳𝐢 − 𝐥𝐧

𝟓𝐱𝟐𝐲𝐳𝟑

𝟒𝐣 +

𝟒𝐱−𝟑𝐲

𝟔𝐳𝐤 en (1,3,– 1)

4

𝐟 = (𝟐𝐲𝐳)(𝟑𝐱) en (1,2,3)

5

𝐟 = (𝟒𝐱𝐲𝟐𝐳𝟑)𝐢 − (𝟓𝐱𝟑𝐲𝐳𝟐)𝐣 + (𝟑𝐱𝟐𝐲𝟑𝐳)𝐤

En (2,– 1,1)

6

𝐟 = (𝟐𝐱 + 𝟑𝐲𝐳)𝐢 + (𝐲 − 𝟒𝐱𝐳)𝐣 + (𝟑𝐳 + 𝟓𝐱𝐲)𝐤

En (3,4,– 2)

7

𝐟 =𝟐𝐱𝐢 + 𝐲𝐣 + 𝟑𝐳𝐤

√𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐

En (2,1,4)

8

𝐟 =𝐱

𝐲𝐢 +

𝐲

𝐳𝐣 +

𝐳

𝐱𝐤

En (3,– 2,2)

9

𝐟 = 𝟐𝐱𝐢 + 𝐥𝐧(𝟓𝐲)𝐣 − 𝟒𝐳𝟑𝐤 en (1,3,2)

10

𝐟 = 𝐱𝟐𝐲𝐢 + 𝟒𝟑𝐲𝐳𝐣 + √𝐳𝐱 𝐤 en (2,1,1)

11

𝐟 = 𝐬𝐞𝐧𝐲𝐳𝐢 + 𝐬𝐞𝐧𝐱𝐳𝐣 + 𝐬𝐞𝐧𝐱𝐲𝐤

𝐄𝐧 (𝛑

𝟑,𝟑𝛑

𝟒,𝟓𝛑

𝟐)

12

𝐟 = 𝐞𝐱𝐬𝐞𝐧(𝐲)𝐢 + 𝐞𝐲𝐬𝐞𝐧(𝐳)𝐣 + 𝐞𝐳𝐬𝐞𝐧(𝐱)𝐤

𝐄𝐧 (𝟐𝛑

𝟑,𝟑𝛑

𝟐,𝟒𝛑

𝟑)

INTEGRAL DOBLE (13)

Las funciones de dos variables se integran por un procedimiento llamado doble integral o integración doble.

La expresión: ∫ ∫ 𝐟(𝐱, 𝐲)𝐝𝐲𝐝𝐱𝐝

𝐜

𝐛

𝐚

comúnmente llamada integral doble, doble integración o integral iterada, es una abreviación de la expresión:

∫ (∫ 𝐟(𝐱, 𝐲)𝐝𝐲𝐝

𝐜)

𝐛

𝐚𝐝𝐱

Para efectuar dicha operación, primero debe resolverse la integral interna, tomando a “y” como variable y a “x” como constante. El resultado obtenido se integrará nuevamente, pero ahora “x” será la variable y “y” permanecerá como constante. La interpretación geométrica de la doble diferencial es de qué se trata de un elemento diferencial cuadrado infinitesimalmente pequeño de área, con largo “dx” y altura “dy” situado en el plano o espacio bidimensional XY.

Calcule las siguientes integrales:

1. ∫ ∫ 𝐱𝐲𝟐𝟐

−𝟏

𝟏

𝟎𝐝𝐲𝐝𝐱 =

2. ∫ ∫ 𝐱𝟐𝟐

𝟏

𝟏

𝟎𝐲𝐝𝐱𝐝𝐲

3. ∫ ∫ (𝐱 + 𝐲𝟑)√𝐱

𝐱

𝟏

𝟎𝐝𝐲𝐝𝐱 =

4. ∫ ∫ (𝐱 + 𝟐𝐲)𝐝𝐲𝐝𝐱𝟏

−𝟏

𝟑

𝟐

5. ∫ ∫ 𝟑𝐱𝟐𝟒

𝟑

𝟎

−𝟐𝐲𝟐𝐝𝐲𝐝𝐱

6. ∫ ∫ (𝐱𝟐𝟑

−𝟐

𝟒

𝟏− 𝟐𝐱𝐲𝟐 + 𝐲𝟑)𝐝𝐱𝐝𝐲

7. ∫ ∫ √𝐱𝐲𝟐𝟐

𝟎

𝟏

−𝟏𝐝𝐲𝐝𝐱 =

8. ∫ ∫ 𝐲𝐝𝐱𝐝𝐲 =𝐲/𝟐

𝟎

𝟐

𝟏

9. ∫ ∫ (𝟐𝐱 − 𝟏)(𝟑𝐲 + 𝟐)𝟎

−𝟏

𝟒

𝟑𝐝𝐲𝐝𝐱 =

10. ∫ ∫ √𝐱𝐲𝟐

𝟏

𝟓

𝟑𝐝𝐱𝐝𝐲 =

11. ∫ ∫𝟒𝐱𝐲𝟑

𝟓

𝟑

𝟏

𝟏

−𝟐𝐝𝐲𝐝𝐱 =

12. ∫ ∫ (𝟒𝐱 − 𝟑𝐲𝟑)𝟐

−𝟏

𝟏

𝟎𝐝𝐲𝐝𝐱 =

13. ∫ ∫ (𝐱 + 𝟐)𝟐

𝟎

𝟏

𝟎𝐝𝐲𝐝𝐱 =

14. ∫ ∫ 𝐲𝐝𝐲𝐝𝐱 =𝐱

𝟎

𝟒

𝟎

15. ∫ ∫ (𝟐𝐱 + 𝟑𝐲)𝟐𝟐

𝟏

𝟏

−𝟐𝐝𝐲𝐝𝐱 =

16. ∫ ∫ 𝐲𝐝𝐲𝐝𝐱 =𝐱𝟐

𝟎

𝟐

𝟎

17. ∫ ∫ 𝐱𝐲𝐝𝐱𝐝𝐲 =𝟐𝐲

𝐲+𝟏

−𝟏

𝟎

18. ∫ ∫ (𝐱 + 𝟐𝐲)𝐲𝟐

𝐲

𝟐

𝟏𝐝𝐱𝐝𝐲 =

19. ∫ ∫ (𝐱𝟐 + 𝐲𝟐)𝟐

𝟏

𝟒

𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲 =

20. ∫ ∫ 𝐱𝐲𝐝𝐲𝐝𝐱𝟑

𝟐

𝟐

𝟏

21. ∫ ∫ (𝐱 + 𝐲)𝐱𝟐

𝟎

𝟐

𝟏𝐝𝐲𝐝𝐱 =

22. ∫ ∫𝐱

𝐲𝟐

𝐲𝟑𝟐⁄

𝟎

𝟐

𝟏𝐝𝐲𝐝𝐱 =

23. ∫ ∫ 𝐞𝐲𝐱⁄

𝐱𝟐

𝟎

𝟏

𝟎𝐝𝐲𝐝𝐱 =

24. ∫ ∫ (𝐱 + 𝐲𝟑)√𝐱

𝐱

𝟏

𝟎𝐝𝐲𝐝𝐱 =

25. ∫ ∫ [𝟐𝐱

𝐲+

𝐲

𝟑𝐱]

𝟒

𝟐

𝟔

𝟑𝐝𝐲𝐝𝐱

26. ∫ ∫ (𝟑 + 𝐲𝟐)𝟑𝟐⁄

𝐲

𝟎

𝟑

𝟏𝐝𝐱𝐝𝐲

27. ∫ ∫𝐱𝐲

𝟑

𝐱+𝟐

√𝐱

𝟐

𝟏𝐝𝐲𝐝𝐱

28. ∫ ∫𝟐𝐲√𝒙𝟑−𝟑

𝟕

𝐱

𝟎

𝟒

𝟐𝐝𝐲𝐝𝐱

29. ∫ ∫√𝟏𝟓−𝟐𝐲𝟐

𝟑

𝐲

𝟎

𝟐

𝟏𝐝𝐱𝐝𝐲

30. ∫∫𝟑𝐱𝟐[√𝐲𝟑 ]𝐝𝐲𝐝𝐱

31. ∫∫𝟓𝐱𝟐

𝟒𝐲𝟑𝐝𝐲𝐝𝐱

32. ∫∫√𝟏𝟐−𝟑𝐲

𝟒𝐝𝐱𝐝𝐲

33. ∫∫ √𝟑𝒙𝟐 − 𝒚𝟐𝟑 (𝐱𝐲𝐝𝐱𝐝𝐲)

INTEGRAL TRIPLE (14)

Por razonamientos y procedimientos análogos se maneja la integral triple. La interpretación geométrica de la triple diferencial es de qué se trata de un elemento infinitesimalmente pequeño de volumen, con largo “dx”, altura “dy” y profundidad “dz” situado en el espacio tridimensional XYZ.

Calcule las siguientes integrales:

1. ∫ ∫ ∫ (𝟔𝐱 − 𝐲 + 𝟒𝐳)𝟑

𝟐

𝟒

𝟏

𝟓

𝟎𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =

2. ∫ ∫ ∫ (𝟖𝐱𝟐𝐲𝟑𝐳)𝟒

𝟐

𝟑

𝟐

𝟏

−𝟏𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =

3. ∫ ∫ ∫ (𝟓𝐱𝟐 − 𝟐𝐲𝟒 + 𝟑𝐳𝟑)𝟐

𝟎

𝟒

𝟎

𝟔

𝟎𝐝𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳 =

4. ∫ ∫ ∫√𝐱𝐲𝐳

𝟑

𝟐

𝟏

𝟒

𝟎

𝟏

−𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳 =

5. ∫ ∫ ∫ 𝟓𝐱√𝐲𝟑𝐳𝟐

𝟎

𝟏

−𝟐

𝟎

−𝟑𝐝𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳 =

6. ∫ ∫ ∫ (𝟑𝐱𝐲𝟒 − 𝟐𝐲𝟐𝐳)𝟎

−𝟏

𝟐

𝟎

𝟒

𝟐𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =

7. ∫ ∫ ∫ √𝐱𝐲𝟐𝐳𝟑𝟒

𝐝𝐳𝟑

𝟏

𝟒

𝟏

𝟐

𝟏𝐝𝐲𝐝𝐱 =

8. ∫ ∫ ∫ (𝟑𝐱 − 𝟒𝐲 + 𝟐𝐳)𝟐𝟐

𝟎

𝟒

𝟐

𝟓

𝟒𝐝𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳 =

9. ∫ ∫ ∫ 𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =𝟑

𝟐

𝟐

𝟏

𝟏

𝟎

10. ∫ ∫ ∫ 𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =𝐱𝐲

𝟎

𝐱

𝐱𝟐𝟏

𝟎

11. ∫ ∫ ∫ 𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =𝟐+𝐱

𝟎

𝟏+𝐱

𝟎

𝟏

𝟎

12. ∫ ∫ ∫ 𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =√𝟒+𝐲𝟐

𝟎

𝟔+𝟐𝐲

𝟐+𝐲

𝟐

𝟎

13. ∫ ∫ ∫ 𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =𝟒𝐱𝟐+𝐲𝟐

𝟒

√𝟏𝟔+𝐱𝟐

𝟎

𝟒

𝟎

14. ∫ ∫ ∫ (𝟒𝐱)𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =𝟔

𝟑

𝟒

𝟐

𝟏

𝟎

15. ∫ ∫ ∫ √𝐳𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =𝐲

𝟎

𝐱

𝟏

𝟏

𝟎

16. ∫ ∫ ∫𝐱

𝟑𝐝𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳 =

𝐲

𝟐

𝐳

𝟏

𝟑

𝟏

17. ∫ ∫ ∫𝟐

𝟓𝐝𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳 =

𝟔

𝟒

𝐳𝟐

𝟐𝐳

𝟐

𝟎

18. ∫ ∫ ∫ (𝟐𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝟑𝐳𝟐)𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =𝟑

𝟐

𝟐

𝟏

𝟏

𝟎

19. ∫ ∫ ∫𝐱𝟐𝐲𝟑

𝐳𝟐𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =

𝟒

𝟐

𝟒

𝟑

𝟏

𝟎

20. ∫ ∫ ∫𝐳

𝐱𝟐𝐲𝟐𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 =

𝟑

𝟏

𝟐

𝟎

𝟒

𝟏

21. ∫ ∫ ∫𝟑𝐱𝐳𝟐

𝟐𝐲

𝟑

𝟎

𝟔

𝟐

𝟑𝟐⁄

𝟏𝐝𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳

22. ∫ ∫ ∫ 𝐱𝐲𝐳𝐲𝟐

𝟐𝐲

𝟐𝐳

𝐳

𝟑

𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳

23. ∫ ∫ ∫(𝐱𝐲𝟐𝐳𝟑)

𝟐𝟑⁄

𝟒

𝟑𝐱

𝐱

𝟓𝐲

𝟐𝐲

𝟒

𝟐𝐝𝐲𝐝𝐱𝐝𝐳

24. ∫ ∫ ∫ (𝐜𝐨𝐬𝐱)(𝐬𝐞𝐧𝐲)𝟓𝛑

𝟒𝛑

𝟑

𝟔𝛑

𝟓𝛑

𝟒

𝟐𝛑

𝛑(𝐜𝐨𝐬𝐳)𝐝𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳

25. ∫ ∫ ∫ √𝟐𝐱+ 𝟑𝐲+ 𝐳𝟑𝟒

𝟐

𝟕

𝟎

𝟑

𝟏𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱

26. ∫ ∫ ∫ √𝐱𝐲

𝐳

𝟑

𝟐

𝟓

𝟏

𝟔

𝟒𝐝𝐲𝐝𝐳𝐝𝐱