funciones 1206968329400826-2

•Concepto de función

•Análisis de funciones I II III IV

•Reconocimiento de funciones -En diagrama Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 -En tabla de valores Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 -En gráfico cartesiano Ejemplos 1 – 2 – 3

•Clasificación de funciones -función sobreyectiva o subyectiva -función inyectiva -función biyectiva

•Elementos característicos de una función

TEMARIO

FUNCIÓN

Una relación definida entre dos conjuntos es función si y sólo si a cada elemento del conjunto de partida le hace corresponder uno y sólo uno del conjunto de llegada.Conjunto de partida: Dominio

Conjunto de llegada: Codominio

ANTERIOR

Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden

resumirse en estas dos:

El DOMINIO o conjunto de partida son los valores que toma la variable independiente (x).

El Codominio son los valores que puede tomar la variable dependiente (y).

La IMAGEN es el subconjunto del CODOMINIO que se relaciona con el DOMINIO. Puede coincidir con este.

A

B

C

D

E

1

2

3

4

5

7

Dominio(x)

Codominio

(y)

ImagenImagen

Dominio(x)

Dominio(x)

Codominio

(y)

Dominio(x)

a.

b.

c.

•m

•n

•p

•q

ffunción

A Bf

A= Dom f

Esta relación es función porque cada elemento de A está relacionado conuno y sólo uno de B. Al correspondiente de un elemento del dominio se lo llama imagen de ese elemento.

Sean los conjuntos

A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}

y las siguientes relaciones definidas de A en B

R1= {(x,y) / (x,y) Є AxB ^ y = x+1}

I R1 = {(0,1),(1,2),(2,3)}

A B

0.

3.•2

Para cada elemento x Є A, excepto 3,existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R1

Para el elemento 3ЄA, no existe imagen Є B tal que el par (3,y) Є R1

•-1

•2

•3

•0

•1

1.Por lo tanto podemos afirmar

que NO ES FUNCIÓN, ya que no cumple con la

condición de existencia.

Sean los conjuntos

A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}


R2= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y2 = x2}

II R2 = {(0,0)(1,1)(1,-1)(2,2)(3,3)}

BA

•0

•1

•-1

•2

•3

Para cada elemento x Є A, excepto 1,existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R2

Para el elemento 1 Є A, existen dos elementos 1 y -1 Є B tal (1,1) Є R2 y (1,-1) Є R2.

0.

1.

2.

3.

Por lo tanto se puede afirmar que la relación NO ES

FUNCIÓN, ya que no cumple la condición de unicidad para un

elemento del dominio.

Sean los conjuntos

A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}


R3= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = x}

A

III R3 = {(0,0) (1,1) (2,2) (3,3)}

B

Para todo elemento x Є A, en este caso sin excepción, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R3.

•0

•1

•2

•3

•-1

0.

1.

2.

3.

Por lo que puede asegurarse que la relación cumple con las condiciones de FUNCIÓN.

Sean los conjuntos

A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}


R4= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = 3}

IV R4 = {(0,3) (1,3) (2,3) (3,30)}

A B

Para todo elemento x Є A, sin excepción también, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y) Є R4.

•3

•0

•1

•-1

•2

0.

1.

2.

3.

Podemos afirmar que es FUNCION, ya que cumple con las condiciones de unicidad y

existencia.

1

2

3

a

b

Reconocimiento de funciones

1A B

SI NO

Es función?

•En diagrama

ANTERIOR CONTINUAR

CORRECTO

La relación del diagrama 1 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.

ANTERIOR

INCORRECTO

La relación del diagrama 1 es función

ANTERIOR

1

2

a

b

c


2C D

SI NO

Es función?

•En diagrama

CONTINUARANTERIOR

INCORRECTO

La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le correspondendos elementos de D.

ANTERIOR

CORRECTO

La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le correspondendos elementos de D.

ANTERIOR

1

2

3

a

b


3E F

SI NO

Es función?

•En diagrama

ANTERIORCONTINUAR

INCORRECTO

La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.

ANTERIOR

CORRECTO

La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.

ANTERIOR

1

2

3

abcd


4G H

SI NO

Es función?

•En diagrama

ANTERIORCONTINUAR

CORRECTO


ANTERIOR

INCORRECTO

La relación del diagrama 4 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.

ANTERIOR

1

2

3

a

b


5I J

SI NO

Es función?

•En diagrama

ANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO


ANTERIOR

INCORRECTO


ANTERIOR

1234

abcd


6K L

Es función?

SI NO

•En diagrama

ANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO


ANTERIOR

INCORRECTO


ANTERIOR

•En tabla de valores

1

x y

-3

4

0

4

-6

8

0

0Es función?

SI NO

ANTERIOR

CONTINUAR

INCORRECTO

La relación 1 no es función porque 4tiene dos imágenes.

ANTERIOR

CORRECTO

La relación 1 no es función porque 4está relacionado dos veces.

ANTERIOR


2

x y

-3

4

0

8

8

8

Es función?

SI NO

ANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO

La relación 2 es función.

ANTERIOR

INCORRECTO


ANTERIOR


3

x y

-3

4

0

6

0

8

Es función?

SI NO

ANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO


ANTERIOR

INCORRECTO


ANTERIOR


4

x y

-3

4

0

0

-6

Es función?

SI NO

ANTERIOR

CONTINUAR

INCORRECTO

La relación 4 no es función porque 0no tiene imagen.

ANTERIOR

CORRECTO

La relación 4 no es función porque 0no tiene imagen.

ANTERIOR

•En gráfico cartesiano

y

x

p

n

m

O a b c

1

Es función?

SI NOANTERIOR CONTINUAR

CORRECTO

La relación del gráfico 1 es función.

ANTERIOR

INCORRECTO


ANTERIOR


y

x

p

n

m

O a b c

2

Es función?

SI NOANTERIOR

CONTINUAR

INCORRECTO

La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen. (No cumple la condición de existencia.)

ANTERIOR

CORRECTO

La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen.

ANTERIOR


y

x

p

n

m

O a b c

3

Es función?

SI NOANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO


ANTERIOR

INCORRECTO


ANTERIOR

Clasificación de las funciones

•Función sobreyectiva o suryectiva

Una función f de A en B se sobreyectiva, si y sólo si para todo y pertenecientea B existe un elemento x perteneciente a A, tal que f(x) = y.

Ejemplo:Dados: A = {-1,0,1,2,} ; B = {0,1,4,} y f : A → B / f(x) = x2 tenemos:

A B

0.

-1.

1.

2.

•0

•1

•4

f

Observamos que el conjunto imagen coincide con B, es decir,todos los elementos de B reciben por lo menos una flecha.

ANTERIOR

CONTINUAR

En otras palabras para que una función sea sobreyectiva, el codominio y la imagen deben coincidir. Recordemos que el

codominio son todos los R, excepto que se nos comunique lo contrario.

R R

Dominio Codominio

Como puede verse la imagen es el conjunto R, por lo tanto Codom=Img

ES SOBREYECTIV

A

y

x

•Función inyectiva

Ejemplo:

Dados: A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7,9,} y f : A → B / f(x) = 2x + 1 tenemos:

A Bf

0.

1.

2.

3.

1.

3.

5.

7.

9.ANTERIOR

•Función biyectiva

Una función f de A en B es biyectiva, si y sólo si, f es sobreyectiva e inyectiva.

Ejemplo:Dados: A = {0,1,2,3} , B = {1,2,3,4} y f : A → B / f(x) = x +1 tenemos:

A B

0.

1.

2.

3.

1.

2.

3.

4.

Observamos que en este caso la relación es uno a uno.

ANTERIOR

Para determinar si la gráfica como la que vemos aquí corresponde o no a una función, podemos ayudarnos con el trazado de líneas auxiliares verticales, y

analizar si alguna de ellas corta a la grafica en mas de una oportunidad.

Todas las rectas verticales cortan a la grafica en solo una oportunidad cada una, por lo que podemos asegurar que cumple la condición de existencia y unicidad, por lo tanto es

FUNCION.

Y

X

Veamos ahora esta gráfica, tracemos como antes rectas verticales para ver si cumple con las condiciones:

Como se puede ver, algunas rectas verticales cortan a la gráfica en mas de una oportunidad, con lo que no se cumple la condición de

existencia

y

x

Veamos ahora esta gráfica, el dominio esta definido como

5

);(

Al trazar las rectas auxiliares verticales, podemos ver que hay algunas que no cortan a la grafica, por lo tanto en esos valores del dominio, no hay imagen, lo que

nos permite afirmar que NO ES FUNCION, ya que no cumple la condición de existencia

Observar que el grafico termina en 5 y NO continua mas allá de ese valor.

y

x

Si al grafico anterior le modificamos el dominio, tal que DOM: ,y trazamos ahora rectas verticales,(recordar que solo debo estudiar las condiciones en el dominio, y por lo tanto trazar rectas verticales solo en el intervalo )]5;(

]5;(

Veremos que TODAS las rectas cortan a la gráfica SOLO en un punto, por lo tanto, podemos afirmar que este gráfico

corresponde a una función.

5

y

x

Elementos característicos de una gráfica

• Veremos ahora como reconocer algunas características de las graficas:

Dominio: recorrido de la función sobre el eje x Imagen: recorrido de la función sobre el eje y Puntos máximos: son aquellos donde alcanza su mayor valor,

pueden ser relativos o absolutos Puntos mínimos: son aquellos donde alcanza su menor valor,

pueden ser relativos o absolutos Raíces o ceros: son los valores donde la función corta al eje x Intervalos de positividad: son los valores de x donde la función

toma valores positivos Intervalos de negatividad: son los valores de x donde la función

toma valores negativos

Y

X-8 5

Dom: [-8;5]Img: [-5;6]

-5

6Punto mínimo relativo (3;-4)

Ptos. Máximos relativos (1;4),(-8;1)

Raíces:{-6;-2;2;4}

-6 -2 2

3

4

-4

1

4

-4

1

Pto. Máximo absoluto: (5;6)

Pto. Mínimo absoluto: (-4;-5)

Intervalos de negatividad: (-6;-2)U(2;4)

Intervalos de positividad:[-8;-6)U(-2;2)U(4;5]

Intersección con el eje y: (0;3)

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