funciones trigonometricas (parte 2)

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

(Parte 2)

José David Ojeda Marín

Razones trigonométricas para

ángulos notables

Razones trigonométricas de ángulos notables

ANGULOS DE 30° Y 60°Para determinar las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, se utiliza una construcción auxiliar de un triangulo equilátero.


60°

30°

l

l /2

h

A

C

B


• Como el ABC es equilátero, se observa que A = B = C = 60° ; CD es la altura sobre AB, mediatriz de AB y bisectriz de C.

• Por lo anterior CDB = 90° , DCB = 30° y

DB = además:l

2

1


22

2

2h

ll

Por Pitágoras

lll

lh2

3

4

3

4

222

Despejando h y simplificando


• Ahora podemos calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60° del triangulo.

230csc 3

3

3

130tan

3

32

3

230sec

2

330cos

31

330cot

2

130

sen


3 1 3 60 cot 60

2 331

cos60 sec 60 22

3 2 2 3tan60 3 csc 60

1 33

sen

Razones trigonométricas de ángulos notablesANGULOS DE 45°

Para determinar las razones trigonométricas del ángulo de 45°, se utiliza un triangulo rectángulo isósceles.


45°

45°

l

lA B

C


• Como el ABC es rectángulo se verifican , entre otras, las siguientes propiedades:

B = 90°, A = C = 45°, AB = BC = l

Además:

2 2 2 22

2

h l l l

h lPor Pitágoras


• Ahora podemos calcular las razones trigonométricas del ángulo de 45°.

1 2 45 tan45 1 sec45 2

22

1 2cos45 cot 45 1 csc45 2

22

sen

Razones trigonométricas de ángulos notablesÁNGULOS de 0° y 90°

Recordemos que según los visto en el tema de funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales:

0 0 tan0 0 sec0 1

cos0 1 cot 0 csc0

90 1 tan90 sec90

cos90 0 cot 90 0 csc90 1

sen

I nd I nd

sen I nd I nd


Nota: Recordar siempre las siguiente equivalencias:

tan

coscos

cot

1sec

cos1

csc

sen

sen

sen


Ejemplo: Determinar el valor de la siguiente expresión:

Solución: como yentonces.

) 30 60a sen sen

1

302

sen 3

602

sen

1 3 1 3 30 60

2 2 2sen sen


Ejemplo 2: Determinar el valor de la siguiente expresión:

Solución: Sabemos por conversión de ángulos del sistema cíclico a sexagesimal que:

) tan sec

3 6b

603

306

rad

rad


Entonces:

entonces

tan sec tan30 sec303 6

0 3 3

tan sec 3

3 6


Ejercicios: Hallar el valor de las siguientes expresiones

) 45 60° ) sen 90° tan45

2 45°c) tan sec d)

4 3 30°

a sen sen b

sensen

Ángulos complementarios

Funciones trigonométricasDos ángulos y son complementarios si y solo si

. Se dice entonces que es complemento de y viceversa.En el siguiente triangulo se puede ver que , es decir que y son complementarios.

90

90

A

B C

cb

a

Funciones trigonométricas• Se puede también observar que:

• La relación que se presenta entre estos pares de funciones se denomina con funcionalidad

y

y

cos

tan c

y

ot

sec csc

b bc cb ba a

sen

b ba a

Funciones trigonométricas

• Confuncionalidad: El valor de una función trigonométrica de un ángulo es igual al valor de la cofunción correspondiente de su ángulo complementario.

• Recordar que:

90

90

cos

tan cot

sec csc90

sen


• Ejemplo: En el siguiente grafico, si hallar 2

5

sen sec


• Puesto que los ángulos y son complementarios:

• Por tanto:

• Como:

entonces

cossen 2

cos5

1sec

cos

5

sec3

Funciones trigonométricas• Ejemplo: A partir de la siguiente gráfica, determinar:

cos secsen

C B

A

D5 cm

3 cm


En el triangulo CAB se tiene queComo y son complementarios, entonces:

Como y son complementarios, entonces

Por tanto:

3

5sen

os

35

c sen

os

35

c sen

1 5cos

sec4

Reducción de ángulos al primer cuadrante


• Es posible expresar las funciones trigonométricas de cualquier angulo θ en términos de la funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida es mayor o igual que cero y menor o igual que 90° ( ).0 90


Ángulos de referencia: Si es un ángulo no cuadrantal, se llama ángulo de referencia al ángulo agudo que forman el lado final del ángulo con uno de los semiejes de x.

θr

θ

θ


r

r

r


TodosSentimos

Tantas Cosas

II

III IV

I

…y eso es positivo


• Ejemplo: Determinar las razones trigonométricas del ángulo de 150°

Solución: El ángulo de referencia para un ángulo de 150°, es un ángulo de 30° en el segundo cuadrante.

15030


• Como se trata de un ángulo en el segundo cuadrante, sabemos que las funciones seno y cosecante son positivas, las demás son negativas.

1 150 30

23

cos150 cos302

150 30° 3tan150

cos150 cos30 3

sen sen

sen sen


cos30 cos30cot150 3

30 30°1 1 2 3

sec150cos150 cos30 3

1 1csc150 2

150 30

sen sen

sen sen


Funciones trigonométricas de ángulos coterminales

Todo ángulo β cuya medida es mayor que 360° o negativa, es coterminal con un ángulo cuya medida se encentra entre 0° y 360° y se tiene que.

tan tan sec sec

cos cos cot cot csc csc

sen sen


• Ejemplo: Determinar el valor de y de .Solución: El ángulo de -210° es

coterminal con el angulo de 150° y este ángulo a su vez tiene como ángulo de referencia a 30°. Por lo anterior.

y

210sen

cos 210

150210 3 =1

°2

0sen n sense

cos 1503

2cos 210 cos 30°=


-250°

150°30°


• Determinar los valores de sen, cos y tan de un ángulo de 780°.

• Solución: Cada ángulo de una vuelta mide 360°.

Puesto que , el ángulo de 780° es coterminal con el ángulo de 60°. Entonces

780 2 360 60


780 =

cos7

60°

cos60

3

3

2

tan60

180

tan780

2

s sen en

Circunferencia Unitaria


• Circunferencia Unitaria: Es aquella circunferencia que tiene como centro el origen del plano cartesiano y de radio la unidad (radio 1)


r = 1

1-1

1

-1

0

P(x, y)


• En la grafica anterior se muestra la circunferencia unitaria que contiene el punto P(x, y). Al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene que para todo punto P(x, y) se cumple que:

2 2 1x y


• Si θ es un ángulo en posición normal cuya medida es t radianes, la medida del arco s comprendido por dicho ángulo en la circunferencia unitaria se calcula asi:

, pero como

Por tanto:

s r 1 tts


• En la circunferencia unitaria, un ángulo de t radianes comprende

un arco de t unidades.

Funciones trigonométricas definidas en la

circunferencia unitaria

Funciones trigonométricas definidas en la circunferencia

unitaria• Si se tiene un arco descrito en la

circunferencia unitaria con extremos en los puntos (1, 0) y P(x, y), se tiene que

con y 0

1 con x

cot

cos sec

ta

0

1 con n x 0

1

1

con y 0s

c c

t

t t

t t

y y

r

x

sex

yy

rx

x

x

xy r

x

r

y y

n t


unitaria• Si la medida de un ángulo en

posición normal es t radianes y el lado final del ángulo contiene al punto P(x, y) que pertenece a la circunferencia untaría, entonces

cossey x tn t


unitaria• A partir de las expresiones anteriores

y para t que pertenece a los reales:

cos 0coscos

tan

cot

se

0

1 cos 0

cos1

0

c

csc

y sen tcon t

x tx t

con sen ty sen t

rcon t

x tr

con sen ty sen t

t

t

t

t

Líneas Trigonométricas

Líneas trigonométricas

• Son los segmentos definidos para un ángulo θ en posición normal, cuyas medidas coinciden con cada una de las funciones trigonométricas del ángulo.

• En la siguiente gráfica se muestra la circunferencia unitaria y un ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en el primer cuadrante.


P

QR

ST

U

θ

1

-1

-1 1O


• El es congruente con el ángulo θ y , y , son rectángulos con sus ángulos correspondientes congruentes; por lo anterior son congruentes y en consecuencia sus lados correspondientes son congruentes. Entonces…

UTOOQP ORS TUO


PQ SR OU

OP OS TO

OQ OR TU

OP OS TO

PQ SR OU

OQ OR TU


P

Qθ

1

-1

-1 1O

1

PQ PQsen PQ

OP


P

Qθ

1

-1

-1 1O

cos1

OQ OQOQ

OP


P

QR

S

θ

1

-1

-1 1O

tan1

PQ SR SRSR

OQ OR


P

Q

TU

θ

1

-1

-1 1O

cot1

OQ TU TUTU

PQ OU


P

QR

S

θ

1

-1

-1 1O

sec1

OP OS OSOS

OQ OR


P

Q

TU

θ

1

-1

-1 1O

csc1

OP OT OTOT

PQ OU

GRAFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Gráfica de funciones trigonométricas

GRAFICA DE LA FUNCION SENO

6

3

2

23

56

0 0

63

2

23

56

76

43

32

1

-1

Gráfica de funciones trigonométricas

funciones trigonometricas (parte 2)

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