Presentado por:

Lic. SANDRA SALAZAR PALOMINO Lic. WILBERT COLQUE CANDIA

APURÍMAC – PERU 2009

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

�

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Definición: Una función real de n variables independientes denotado por RBRDf ⊂→⊂ 2: es una regla de correspondencia de un conjunto “D” de vectores del espacio n dimensional a un conjunto “B” de números reales talque: RBRDf ⊂→⊂ 2:

( ) zxfx =→ ; ( )nxxxx ;;.........; 21= ( ) zxxxf n =⇒ ;......;; 21 A las variables nxxx ;;.........; 21 se les llama variables independientes y a z se le llama variable dependiente. Dominio de una función de varias variables: Se llama dominio de definición o dominio de existencia de la función f al conjunto:

( ) ( ) ( ){ }nn

nf xxxfxfzRxxxxD ;.......;;/;.......;; 2121 ==∈== Los casos más importantes para su estudio son las funciones reales de dos y tres variables, por lo tanto presentaremos los siguientes casos. 1º Caso: Si RRf →2: es una función real de dos variables independientes. RRf →2: ( ) ( ) zyxfyx =→ ,, Gráficamente:

2º Caso: Si RRE →3: es una función de tres variables independientes. S recibe la denominación de superficie, cuya ecuación es ( ) 0,, =zyxE , el cual define una o más funciones de la forma ( )yxfz ,= Es decir: ( ) 0,, =zyxE define implícitamente a la función ( )yxfz ,= ( )11 , yx

EJEMPLOS:

1. Describe y grafica el dominio de las siguientes funciones;

a) 22x-1z y−=

b) 22 44 yxz −+−= SOLUCIÓN:

a) ( ) 221, yxyxfz −−== existe 01 22 ≥−−⇔ yx

11 2222 ≤+⇒−≥−− yxyx ( ){ }1/, 222 ≤+∈= yxRyxD f Gráficamente:

b) ( ) 22 44, yxyxfz −+−==

sea ( ) 4, 2−= xyxg ; ( ) 24, yyxh −=

( ) ( ) ( )yxhyxgyxf ,,, +=⇒

( ) 4, 2−= xyxg existe 042 ≥−⇔ x 22 −≤∧≥⇒ xx

( ){ }22/, 2 ≥∧−≤∈=⇒ xxRyxDg

( ) 24, yyxh −= existe 2204 2 ≤≤−⇒≥−⇔ yy

( ){ }22/, 2 ≤≤−∈=⇒ yRyxDh

( ){ }22/, 2 ≤∧≥∈== yxRyxDDD hgf I

Gráficamente:

2. Hallar el dominio de ( )22 9436ln yxz −−=

SOLUCIÓN: ( ) ( )22 9436ln, yxyxfz −−== existe 09436 22 >−−⇔ yx

149

369422

22 <+⇒<+⇒yx

yx

( )

<+∈= 1

49/,

222 yx

RyxD f

Gráficamente:

3. Hallar el dominio de ( )

−=x

yarcsenyxf

1,

SOLUCIÓN:

( )x

ysenz

xy

arcsenyxfz11

,−=⇒

−==

1

11

11

≤−

≤−

≤≤−

xy

senz

a) Si 0>x , entonces 111 +≤≤+−⇒≤−≤− xyxxyx ( ){ }11/, 2 +≤≤+−∈= xyxRyxD f

Gráficamente:

b) Si 0<x , entonces 111 +≥≥+−⇒≥−≥− xyxxyx ( ){ }xyxRyxD f −≤≤+∈= 11/, 2

Gráficamente:

4. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Límite:

Sea RRSf →⊂ 2: una función de dos variables independientes definida en el

conjunto S y sea ),( baa = un punto de acumulación de S entonces:

( ) ( ) εδε <−>∃>∀⇔=→

LyxfLyxfbayx

,/0;0,lim),(),(

siempre que

( ) ( ) δ<−< bayx ,,0 O equivalentemente a:

( ) ( ) εδε <−>∃>∀⇔=→→

LyxfLyxfbyax

,/0;0,lim siempre que

δδ <−<∧<−< byax 0 0 Observación: Al considerar ( )xf

ax→lim sabemos que el punto x se aproxima al punto a a lo largo

del eje x por la derecha y por la izquierda respectivamente, en cambio en una función de dos variables independientes ( )yxfz ,= el punto ( )yxx ,= se aproxima

al punto ),( baa = a través de dos curvas que pasan por el punto ),( baa = tales que: ( ) 1

1

lim Lxf

Cxax

=

∈

→ ∧ ( ) 2

2

lim Lxf

Cxax

=

∈

→

Entonces:

i. Si ( )xfLLax→

⇒≠ lim21 no existe.

ii. Si 21 LL = se considera una tercera curva 3C que pasa por el punto

),( baa = tal que:

( ) 123

3

lim LLLxf

Cxax

===

∈

→

Se puede considerar que el ( )xfax→

lim existe y para verificarlo se debe probar

dicho límite aplicando la definición.

2. Continuidad: Se dice que la función RRSf →⊂ 2: es continua en el punto SP ∈0 si se cumple las siguientes condiciones:

i. ( )0Pf existe

ii. ( )xfPx 0

lim→

existe

iii. ( ) ( )00

lim PfxfPx

=→

Definición: Se dice que una función RRSf n →⊂: es continua en SP ∈0 sí y sólo si

cada una de las funciones coordenadas: RRSf i →⊂: ; ni ,1=∀ son continuas en el punto 0P . EJEMPLOS:

1. Verificar los siguientes límites: a) ( ) ( )( ) 1223lim

3,2,=+

→yx

yx

b) ( ) ( )( ) 2lim 22

1,1,=+

→yx

yx

c) ( ) ( )( ) 424lim 22

1,3,−=+−+

−→yxyx

yx

d) ( ) ( )( ) 32lim 2

1,3,=+

−→xyx

yx

SOLUCIÓN a) ( ) ( )( ) 1223lim

3,2,=+

→yx

yx

( ) εδε <−≥∃>∀ Lyxf ,/0;0 siempre que δδ <−<∧<−< byax 0 0

( ) εδε <−+≥∃>∀ 1223/0;0 yx siempre que δδ <−<∧<−< 30 20 yx

De: ( ) ( ) ( ) ( )322362631223 −+−=−+−=−+ yxyxyx

Y como: BABA +=+

( ) ( ) 3223322332231223 −+−≤−+−≤−+−=−+ yxyxyxyx

5

523εδεδδδ =⇒<=+<

Si 5εδ = ; entonces ( ) 1223lim

)3,2(),(=+

→yx

yx

b) ( ) ( )( ) 2lim 22

1,1,=+

→yx

yx

( ) εδε <−≥∃>∀ Lyxf ,/0;0 siempre que δδ <−<∧<−< byax 0 0

( ) εδε <−+≥∃>∀ 2/0;0 22 yx siempre que

δδ <−<∧<−< 10 10 yx

De: ( ) ( ) 112 2222 −+−=−+ yxyx

( )( ) ( )( )1111 −+++−= yyxx

1111 −++−+≤ yyxx

Debemos acotar superiormente los factores 1+x y 1+y , elegimos entonces 11 =δ

313112011111

313112011111

<+⇒<+<⇒<<⇒<−<−⇒<−

<+⇒<+<⇒<<⇒<−<−⇒<−

yyyyy

xxxxx

( )( ) ( )( ) 11111111 −++−+≤−++−+⇒ yyxxyyxx

6633 2

εδεδδδ =⇒<=+⇒

Por lo tanto: { }

==

6;1min;min 21εδδδ

c) ( ) ( )( ) 424lim 22

1,3,−=+−+

−→yxyx

yx

( ) εδε <−>∃>∀ Lyxf ,/0;0 siempre que δδ <−<∧<−< byax 0 0

( ) εδε <++−+>∃>∀ 424/0;0 22 yxyx siempre que

δδ <+<∧<−< 10 30 yx

De: ( ) ( ) 1234424 2222 ++++−=++−+ yyxxyxyx

( )( ) ( )( )1131 +++−−= yyxx

1131 +++−−≤ yyxx

Debemos acotar los factores 1−x y 1+y , elegimos entonces 11 =δ

3114213113 <−<⇒<<⇒<−<−⇒<− xxxx

11 <+y

11314242 +++−−≤++−+⇒ yyxxyxyx

4

43 2

εδεδδδ =⇒<=+⇒

Por lo tanto: { }

==

4;1min;min 21

εδδδ

d) ( ) ( )( ) 32lim 2

1,3,=+

−→xyx

yx

( ) εδε <−>∃>∀ Lyxf ,/0;0 siempre que δδ <−<∧<−< byax 0 0

( ) εδε <−+>∃>∀ 32/0;0 2 xyx siempre que

δδ <+<∧<−< 10 30 yx

De: ( ) ( )( ) 32223112 2 −−++=−+++ xxxyxxxyx

( ) ( )( ) 31123112 −+++≤−+++= xxyxxxyx

Acotando x2 y 1+y , elegimos entonces 11 =δ

51313113 <+<⇒<−<−⇒<−⇒ xxx

8244213113 <<⇒<<⇒<−<−⇒<−⇒ xxxx

1313583112 2

εδεδδδ =⇒<=+=−+++⇒ xxyx

Por lo tanto: { }

==

13;1min;min 21

εδδδ

2. Calcular los siguientes límites.

a. ( ) ( )( )yxyxyx

−+−→

2

5,2,lim

b. ( ) ( ) ( )xxy

xysenyx

yx π

π

2cos

2lim2

3

2,1, −

+→

c. ( ) ( )( )( )xysen

xysenxysenyx 4cos1

2lim

0,0, −→

d. ( ) ( ) 44

22

0,0,lim

yxyx

yx +→

e. ( ) ( ) 22

22

0,0,lim

yxyx

yx +→

SOLUCIÓN: a. ( ) ( )( ) 9lim 2

5,2,=−+

−→yxyx

yx

b. ( ) ( ) ( ) 3

2

14

2

2cos4

2

2cos

2lim2

3

2,1,=−=−

+=−

+→ π

π

π

π

sen

xxy

xysenyx

yx

c. ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

[ ][ ] 22

2

2

0,0,0,0,16.

44

.4

4cos1

2.2

2.

2

lim4cos12

lim

yxxy

xysenxysen

xysen

xyxy

xysensenxy

xysensenxy

xysenxysenxysen

yxyx

−

=− →→

( ) ( ) 41

82

lim 22

22

0,0,=

→ yxyx

yx

d. ( ) ( ) 00

lim 44

22

0,0,=

+→ yxyx

yx indeterminado

Entonces nos definimos: ( ){ }xyRyxC =∈= /, 21 y ( ){ }22

2 /, xyRyxC =∈=

Sea ( ) ( ) 44

22

,yx

yxxfyxf

+==

1. ( ) ( ) ( )( )14

4

044

22

, 0,0,0 2

12

limlimlim1

1

Lx

xyx

yxxf

xCyx

yxCx

x===

+=

→∈

→

∈→

2. ( ) ( ) ( )( ) ( )44

6

084

6

044

22

, 0,0,0 1

limlimlimlim2

2

xxx

xxx

yxyx

xfxx

Cyxyx

Cxx +

=+

=+

=→→

∈→

∈→

14

2

0

01

lim Lx

xx

==+

=→

Como ( ) ( ) 44

22

0,0,21 limyx

yxLL

yx +⇒≠

→ no existe.

3. Analizar la continuidad de los siguientes limites:

a. ( ) ( ) ( )( ) ( )

=

≠+=0,0, , 0

0,0, ,, 22

yxsi

yxsiyx

xy

yxf

b. ( ) ( ) ( )( ) ( )

=≠+−+

+=

0,0, , 0

0,0, ,cos

, 22

2

22

22

yxsi

yxsiyxxsen

yx

yxx

yxf

SOLUCION:

a. ( ) ( ) ( )( ) ( )

=

≠+=0,0, , 0

0,0, ,, 22

yxsi

yxsiyx

xy

yxf

( ) ( )00

lim PfxfPx

=→

i) ( ) ( ) ∃== 00,00 fPf

ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00

lim,lim220,0,0,0,=

+=

→→ yx

xyyxf

yxyx indeterminado

Entonces nos definimos las curvas:

( ){ }0/, 21 =∈= yRyxC y ( ){ }xyRyxC =∈= /, 2

2

1. ( ) ( ) ( )( )12

022

, 0,0,0

00

limlimlim1

1

Lxyx

xyxf

xCyx

yx

Cxx

===+

=→

∈→

∈→

2. ( ) ( ) ( )( )24

4

022

, 0,0,0

01

limlimlim2

2

Ly

y

yx

xyxf

yCyx

yxCx

x==

+=

+=

→∈

→

∈→

Como 21 LL = , entonces definimos ( ){ }xyRyxC tan/, 2

3 =∈=

( ) ( ) ( )( )

3

2

2

0

2

22

022

022,

0,0,0

011

0

tan1

tanlim

tan1

tanlim

tan

tanlimlimlim

33

L

xx

x

xx

xx

x

xx

xx

xx

yx

xyxf

x

xxCyx

yxCx

x

==+=+

=

+

=+=+=

→

→→∈

→

∈→

Como 321 LLL == , entonces ( ) ( ) 0lim220,0,=

+→ yx

xyyx

Por lo tanto ( )yxf , es continua.

b. ( ) ( ) ( )( ) ( )

=≠+−+

+=

0,0, , 0

0,0, ,cos

, 22

2

22

22

yxsi

yxsiyxxsen

yx

yxx

yxf

1. En ( ) ( )0,0, ≠yx Sea ( ) ( )0,0, 000 ≠= yxP

( ) ( ) ( ) ( )

( )0020

20

02

20

20

20

200

22

2

22

22

,,0,,

,cos

coslimlim

0000

yxfyx

xsen

yx

yxx

yxxsen

yx

yxxP

yxyxyxyx

=+−++=

+−++=

→→

( )yxf , es continua en ( ) ( )0,0, 00 ≠yx por lo tanto es continua en ( ){ }0,02

−R 2. En ( ) ( )0,0, =yx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞−∞=

+−++=

→→ 22

2

22

22

,,,,

coslimlim

0000 yxxsen

yx

yxxxf

yxyxyxyx indeterminado

Entonces nos definimos las curvas: ( ){ }0/, 2

1 =∈= yRyxC y ( ){ }xyRyxC =∈= /, 22

( ) ( ) ( )( )

2

2

0

2

2

2

2

022

2

22

22

, 0,0,0

coslim

coslim

coslimlim

11

xxsen

x

xx

xxsen

x

xxyxxsen

yx

yxxxf

x

xCyx

yx

Cxx

−=

−=

+−++=

→

→∈

→

∈

→

Por definición de valor absoluto se sabe que:

<−≥=

0;

0;

xx

xxx

( ) ( )( ) 1

2

0

2

0

0

2cos

limcos

limlim Lx

senxx

xxx

senxx

xxxf

xxx=−=

−−=

−−

−=−−− →→→

( ) 2

2

0

0

011cos

limlim Lx

senxx

xxxf

xx==−=

−=

++ →→

Como 21 LL ≠ , entonces ( )xfx

0lim→

no existe

Por lo tanto ( )xfx

0lim→

no existe, entonces no es continua en ( )0,0

Ejercicios propuestos: Probar los siguientes límites:

1. ( ) ( )( ) 13lim 2

1,2,=−

→yx

yx Rpta:

=

8,1minεδ

2. ( ) ( )( ) 143lim2,3,

=−→

yxyx

Rpta: 7εδ =

3. ( ) ( )( ) 5lim 2

2,1,=+

→xy

yx Rpta:

=

6,1minεδ

4. ( ) ( )( ) 443lim 22

2,2,−=−

−−→yx

yx Rpta:

=

35,1minεδ

Encontrar los siguientes límites:

5. ( ) ( ) yxx

yx +→ 0,0,lim Rpta: No existe

6. ( ) ( )( )yxyxyx

−+→

2

5,3,lim Rpta: 19

7. ( ) ( ) 22

22

0,0,lim

yxyx

yx +

−→

Rpta: No existe

8. ( ) ( ) yyx

yx

tanlim

0,2, → Rpta: 2

9. ( ) ( ) 22

2

0,0,lim

yxyx

yx +

+→

Rpta: No existe

DERIVADA DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES: Definición: Sea RRSf →⊂ 2: una función de dos variables independientes tal que ( )yxfz ,= , es decir:

RRf →2: ( ) ( ) zyxfyx =→ ,,

a) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable x está dado por: ( ) ( ) ( )

xyxfyxxf

xyxf

x ∆−∆+=

∂∂

→∆

,;lim

,0

; y es constante

b) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable y está dado por:

( ) ( ) ( )y

yxfyyxfy

yxfy ∆

−∆+=∂

∂→∆

,;lim

,0

; x es constante

Definición: Sea RRSf →⊂ 3: una función real de tres variables independientes donde

( )zyxfw ,,= , es decir: RRSf →⊂ 3:

( ) ( ) wzyxfzyx =→ ,,,,

a) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable x está dado por: ( ) ( ) ( )

xzyxfzyxxf

xzyxf

xw

x ∆−∆+=

∂∂=

∂∂

→∆

,,,;lim

,,0

; y , z constantes

b) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable y está dado por:

( ) ( ) ( )y

zyxfzyyxfy

zyxfyw

y ∆−∆+=

∂∂=

∂∂

→∆

,,,;lim

,,0

; x , z constantes

c) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable z está dado por:

( ) ( ) ( )z

zyxfzzyxfz

zyxfzw

z ∆−∆+=

∂∂=

∂∂

→∆

,,,;lim

,,0

; x , y constantes

EJEMPLOS: 1. Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones.

a. xyyxyxz 33 4455 +−+=

b. 2yxz =

c. 22

22

arctanyxyx

z+

−=

SOLUCIÓN: a) xyyxyxz 33 4455 +−+=

yyxxxz

3125 434 +−=∂∂

3125 434 +−=∂∂

yxxxz

b)

2yxz = 12 2−=

∂∂ yxyxz

xyxxz y ln2

2=∂∂

c) 22

22

arctanyxyx

z+

−=

+−

∂∂

+−

+−+

=

+−

∂∂

+−+

=∂∂ −

22

222/1

22

22

22

2222

22

2

22

22.

21

.1

1.

1

1yxyx

xyxyx

yxyxyx

yxx

yxyxx

z

( ) ( )( )

44

2

22

2

22

22

2

222

2222

22

22

2

22

2.

21

22.

21

.2

yxx

yyx

xyyxyx

x

yx

yxxyxxyxyx

xyx

−=

+−

+=

+

−−+

−

++=

( )( ) ( )( )

4422

2

22

22

2

222

2222

22

22

2

22

22

222/1

22

22

22

2222

22

2

22

22

2.

21

22.

21

.2

.21

.1

1.

1

1

yx

yyxyx

yxyx

x

yx

yxyyxyyxyx

xyx

yxyx

yyxyx

yxyxyx

yxy

yxyxy

z

−−=+−+−=

+−−+−

−++=

+−

∂∂

+−

+−+

=

+−

∂∂

+−+

=∂∂ −

2. Calcular xz

∂∂

y yz∂∂

en ( )xysenez /=

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( )

( )xy

ex-y

xy

xy

exy

xxy

exy

senx

exz

xysen

xysenxysenxysen

cos..

.cos..cos..

/

2///

=

−=

∂∂=

∂∂=∂

∂

( ) ( ) ( )

( )xy

ex

xxy

exy

yxy

exy

seny

eyz

xysen

xysenxysenxysen

cos..1

1.cos..cos..

/

///

=

=

∂∂=

∂∂=∂

∂

3. Hallar las derivadas parciales de

222 zyxxw ++=

SOLUCIÓN: Sea xu = ; 222 zyxv ++= , entonces vuw = Utilizando formula se tiene:

( ) 222222

222222

222222

.ln2.ln.

.ln2)(.ln.

.)2.(ln.

222

222

2221

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

xxzzyxz

xxzw

xxyzyxy

xxyw

zyxxxxxxw

++++

++++

−++++

=++∂∂=

∂∂

=++∂∂=

∂∂

+++=∂∂

4. Si xyxexyz /+= ; hallar yz

yxz

x∂∂+

∂∂

SOLUCIÓN:

( )

xyxyxy

xyxyxyxy

xyxyxyxy

exx

xexxy

yxex

yz

eexy

yex

yxey

exy

xxey

xx

eex

xyxz

///

///2

/

////

1..

.

+=+=

∂∂+=∂

∂+−=+

−+=

+

∂∂+=∂

∂+∂∂+=∂

∂

Luego:

( ) xyzxyxexyexyeexy

yxyz

yxz

x xyxyxyxy +=++=++

+−=∂∂+∂

∂ ////

5. Si zyx

xyz

eeee

u++

= ; hallar zu

yu

xu

∂∂+

∂∂+

∂∂

SOLUCIÓN: ( )

( )( )[ ]( )( )

( )[ ]zyx

xzyx

zyxzyx

xzyxxyz

zyx

xxyzxyzzyx

eeeeyzeeez

eeeeeeeyzeeee

eee

eeyzeeeexu

++−++=

++++−++=

++−++=

∂∂

..2

( )( )

( )[ ]( )( )( )[ ]

zyx

yzyx

zyxzyx

yzyxxyz

zyx

yxyzxyzzyx

eeeexzeeez

eeeeeeexzeeee

eee

eexzeeeeyu

++−++=

++++−++=

++−++=

∂∂

..2

( )( )

( )[ ]( )( )( )[ ]

zyx

zzyx

zyxzyx

zzyxxyz

zyx

zxyzxyzzyx

eeeexyeeez

eeeeeeexyeeee

eee

eexyeeeeyu

++−++=

++++−++=

++−++=

∂∂

..2

( )( ) ( )[ ]( )1 +++=

+++++++++

=∂∂+

∂∂+

∂∂

yzxzxyz

eeeyzxzxyeeeeee

zzu

yu

xu zyxzyx

zyx

6. Si 3 22 yx

zu

+= , hallar

∂∂+∂

∂+∂∂

zu

zyu

yxu

x3

SOLUCIÓN:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3/4223/2223/22223 22

3/2223 22

3

2

.322.

31.0

yx

xz

yxyx

xz

yx

xyxzyx

xu

+−=

++

−=

+

+−+=

∂∂

−

( ) ( )( ) ( ) 3/42223 22

3/2223 22

3

22.31

.0

yx

yz

yx

yyxzyx

yu

+−=

+

+−+=

∂∂

−

3 22

1

yxzu

+=

∂∂

( ) ( )( )

( )u

yx

z

yx

z

yx

z

yx

z

yx

yxz

yx

z

yx

zy

yx

zxzu

zyu

yxu

x

=+=

+++−=

++++−=

+++−+−=

∂∂+∂

∂+∂∂

3 223 223 22

3 223/422

22

3 223/422

2

3/422

2

32

3

23

3

2

3

233

Ejercicios propuestos: Determinar las derivadas parciales de las siguientes funciones:

1. ( ) xyeyxyxf += 3, Rpta:

+=

+=2

2

2

33

22

xyy

xyx

xyexf

eyyxf

2. ( ) 22

22

arctan,yxyx

yxf+

−= Rpta:

( )( )

−−=−=

−

−

2/144

2/1442

yxyf

yxxy

f

y

x

3. ( )yx

eyxf xy2

/ ln, = Rpta:

−=

−=

xyx

yexy

f

yx

yxex

f

xyy

xyx

2/

2/

2

ln1

ln21

4. 22

22 tanyx

zyxz

−−= Rpta:

−−=−=

22

22

yxyz

z

yxxz

z

y

x

Verificar si las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones dadas.

5. ( ) fyfxfyx

yxyxf yx 2;, 22

22

=++

=

6. ( ) ( ) fnyfxfDyCxByAx

yxf yx

nn

2;, 22 −=++

+=

7. ( ) ( ) xyyffxffyxxyyxf yx =++= ;/arctan,

8. ( ) fyfxfxy

yxyxf yx =++= ;arctan, 22

DERIVACIÓN IMPLICITA Definición: Sea RRSf →⊂ 2: una función real de dos variables independientes, se dice que la ecuación ( ) 0, =yxE define a “y” implícitamente como función de “x”; es decir ( )xfy = ;

x∀

Para hallar las derivadas parciales de funciones implícitas de varias variables se sigue lo siguiente:

1. ( ) 0,, =zyxE una función real de tres variables define implícitamente a ( )yxfz ,=

z

x

EE

xz −=∂∂

; z

y

E

E

yz −=

∂∂

2. ( ) 0,,, =wzyxE una función real de cuatro variables, define implícitamente a ( )zyxfw ,,=

w

x

EE

xw −=∂∂

; w

y

E

E

yw −=∂∂

; w

z

EE

zw −=∂∂

EJEMPLOS:

1. Suponiendo que w es función de todas las otras variables, hallar las derivadas correspondientes de las siguientes funciones.

a) 1)/(=−

xywsenew b) ( ) 0)cosh(22 =+− rwsrw

SOLUCIÓN: a) ( ) 01,,1 )/()/( =−−=⇒=− xywsenxywsen ewwyxEew ( )yxfw ,=⇒

( ) ( ))/(

22)/(

)/()/(

.cos)/).(/cos(.

/)/cos(.)/(.

xywsenxywsen

xywsenxywsenx

exy

xwy

xyxywe

xyx

xywexywsenx

exE

E

=−−=∂∂−=∂

∂−=∂∂=

( ))/(

)/()/(

.cos

1)./cos(.)/(.

xywsen

xywsenxywseny

exy

xw

xxywexywsen

ye

yE

E

−=

−=∂∂−=∂

∂=

( ) )/()/( )./(1)/(.1 xysenxywsenw exysenxywsen

we

wE

E −=∂∂−=

∂∂=

Por lo tanto:

)/(

)/(2

)./(1

.cos

xysen

xywsen

w

x

exysen

exy

xwy

EE

xw

−

=−=∂

∂

)/(

)/(

)./(1

.cos

xysen

xywsen

w

y

exysen

exy

xw

E

E

yw

−

−=−=∂

∂

b) ( ) ( ) ( ) )cosh(,,0)cosh( 2222 rwsrwwsrErwsrw +−=⇒=+− ( )yxfw ,=⇒

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )rwsenhsrrwrrrwwrwsenhsrrE

Er2222 cosh22.cosh. +−=++−=

∂∂=

( )rwssE

Es cosh2−=∂∂=

( ) ( ) ( ) ( )rwsenhsrrrrwsenhsrwE

Ew2222 1.1 +−=+−=

∂∂=

Por lo tanto:

( ) ( ) ( )( ) ( )rwsenhsrrrwsenhsrrwr

EE

rw

w

r22

22

1cosh2

+−++−=−=

∂∂

( )( ) ( )rwsenhsrrrws

EE

sw

w

s221

cosh2+−

=−=∂∂

2. Hallar las derivadas respectivas de:

a) ( )yxfzxzzyyx , ; 1coscoscos ==++

b) ( )x,yfzyx

zyxz =

−

−= ; tan22

22

SOLUCIÓN: a) ( ) 01coscoscos,, =−++= xzzyyxzyxE

zsenxyxE

Ex −=∂∂= cos

zxsenyyE

E y cos+−=∂∂=

xysenzzE

E z cos+−=∂∂=

Por lo tanto:

xysenz

zsenxyEE

xz

z

x

coscos

+−+−=−=

∂∂

xysenz

zxsenyE

E

yz

z

y

coscos+−−=

−=

∂∂

b) 0tan tan222222

22 =−

−−

⇒−

−=yx

z

yx

z

yx

zyxz

( )

( ) ( ) 0tan),,(

0tan,,

2/1222/122

2222

=−−−=⇒

=−

−−

=

−−

yxzyxzzyxE

yx

z

yx

zzyxE

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 22

22/322

2/12222/322

2/12222/322

2/12222/3222/322

2/1222/12222/322

tan

tan1sec

sec.

.sec2.21

.

yx

z

yx

zx

yxzyx

zxyxz

yx

zx

yxzyx

zx

yx

zx

yxzx

yxzxyxzxE

Ex

−−=

−−=−−−=

−−+−−=

−∂∂−−−

−=∂

∂=

−−

−

−−−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22

22/322

2/12222/322

2/322

2/12222/322

2/3222/12222/322

tan.zy-

tan.zy-

.seczy

221

..sec2.21

.

yx

z

yxyxz

yx

yx

zyyxz

yx

yyxzyxzyyxzyE

E y

−−=−−=−−−−=

−−−−−

−=∂∂=

−

−

−−−

( ) ( ) ( )( )( )

22

2

22

2/1222

22

2/1222/12222/122

tan.1-

1sec1-

.sec

yx

z

yxyxz

yx

yxyxzyxzE

E z

−−=−−

−=

−−−−=∂∂=

−

−−−

Por lo tanto:

( )

22

22

2

22

22

22/322

tan.1

tan

yxzx

yx

z

yx

yx

z

yx

zx

EE

xz

z

x

−=

−−

−−=−=∂∂

( )

22

22

2

22

22

22/322

tan.1-

tan.zy

yxzy

yx

z

yx

yx

z

yx

E

E

yz

z

y

−−=

−−

−−=−=∂∂

3. Si u y v son funciones de x e y definidas implícitamente para las ecuaciones

vuyx −=+ 23 ; 222 vuyx −=− hallar xu∂∂

y yv∂∂

SOLUCIÓN: a) Derivando ambas ecuaciones respecto a la variable x:

xv

xu

u∂∂−

∂∂= 23 ……….(1)

xv

vxu

∂∂−

∂∂= 41 …………(2)

Multiplicando por ( )v4− a la primera ecuación:

xv

vxu

uvv∂∂+

∂∂−=− 4812 …………(1*)

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (2) y (1*)

( )uvv

xu

xu

uvv81121

81112−−=

∂∂⇒

∂∂−=+−

b) Derivando ambas ecuaciones respecto a la variable y:

yv

yu

u∂∂−

∂∂= 21 ……….(1)

yv

vyu

∂∂−

∂∂=− 42 …………(2)

Multiplicando por ( )u2− a la segunda ecuación:

yv

uvyu

uu∂∂+

∂∂−=− 824 …………(2*)

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2*)

( )18

411841

−−=

∂∂⇒

∂∂−=−

uvu

yv

yv

uvu

4. Si ( ) zyezxu ++= ∧ ( )yxfz ,= . Hallar yu

xu

∂∂+

∂∂

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

∂∂+++=

∂∂++∂

∂+=

∂∂++∂

∂+=

+∂∂+∂

∂+=∂∂

+

+++

++

xz

zxe

xz

zxxz

exz

exz

ezx

zxx

eex

zxxu

zy

zyzyzy

zyzy

11

11.

( ) ( ) ( )zxx

eex

zxyu zyzy +

∂∂+

∂∂+=

∂∂ ++

( )

( )

∂∂++++=∂∂+

∂∂++=

+

++

yz

zxzxe

yz

eyz

ezx

zy

zyzy

1

1

Entonces:

( ) ( )

( )

∂∂+∂

∂+++=

∂∂+∂

∂+++++=∂∂+∂

∂

+

+

yz

xz

zxe

yz

xz

zxzxeyu

xu

zy

zy

11

11

5. Si xyzu = ∧ ( )yxfz ,= demostrar que:

∂∂−∂

∂=

∂∂−∂

∂yz

yxz

xuyu

yxu

xz

SOLUCIÓN:

( )zy

xz

xyxu

xx

yxy

xzxz

xyxyx

zxz

xyxu

+∂∂=∂

∂

∂∂+∂

∂+∂∂=∂

∂+∂∂=∂

∂

( )zx

yz

xyyu

yx

yyy

xzyz

xyxyy

zyz

xyyu

+∂∂=∂

∂

∂∂+∂

∂+∂∂=∂

∂+∂∂=∂

∂

Luego:

∂∂−∂

∂=

∂∂−∂

∂=

+∂∂−

+∂

∂

yz

yxz

xu

yz

yxz

xxyzzxyyz

xyxzyxz

yxz 22

Ejercicios propuestos: Determinar las derivadas parciales de las siguientes funciones:

1. ( ) zxyyxzyxf cos242,, 23 −+= Rpta:

=−=−=

xysenzf

zxyf

zyxf

z

y

x

2

cos28

cos26 2

2. ( )22

22

,,zyyx

zyxf +−= Rpta:

( )( )( )( )( )

+−−=++−=

+=

−

−

−

22222

22222

122

2

2

2

zyzxzf

zyzxyf

zyxf

z

y

x

En los siguientes ejercicios demostrar lo que se indica:

3. ( ) zyx

n

zfyfxfzyxzyx

zyxf 0;,, =++

−++−=

4. zy

zyx

zxzy

xz

11;

2 2222 =∂∂+

∂∂−=+

5. ( ) 2222 )(;,, zyxfffxzzyxyzyxf zyx ++=++++=

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sea RRSf →⊂ 2: una función definida en el conjunto abierto S talque:

( ) ( ) ( )x

yxfyxxfyxf

xx ∆−∆+=

→∆

,,lim,

0

( ) ( ) ( )y

yxfyyxfyxf

yy ∆−∆+=

→∆

,,lim,

0

Son sus derivadas parciales de primer orden de la función f con respecto a las variables x e y entonces las funciones definidas por:

( ) ( ) ( )x

yxfyxxfyxf xx

xxx ∆−∆+=

→∆

,,lim,

0

( ) ( ) ( )y

yxfyyxfyxf yy

yyy ∆−∆+

=→∆

,,lim,

0

( ) ( ) ( )x

yxfyxxfyxf yy

xyx ∆−∆+

=→∆

,,lim,

0

( ) ( ) ( )y

yxfyyxfyxf yy

yxy ∆−∆+

=→∆

,,lim,

0

Si los límites existen son llamadas derivadas parciales de segundo orden de la función f , también se denotan por:

( ) ( )( ) ( )

yy

xx

fy

yxfy

yxfy

fx

yxfx

yxfx

=∂∂=

∂∂

∂∂

=∂∂=

∂∂

∂∂

2

2

2

2

,,

,,

( ) ( )

( ) ( )xy

yx

fxy

yxfx

yxfy

fyx

yxfy

yxfx

=∂∂∂=

∂∂

∂∂

=∂∂∂=

∂∂

∂∂

,,

,,

2

2

Siguiendo el mismo procedimiento podemos hallar las derivadas parciales de orden más superior, como por ejemplo.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )yxxyy

yxxy

yxx

fyxxyy

yxfyxxy

yxfy

fyxxy

yxfyxxyxf

y

fyxxyxf

yxyxf

x

=∂∂∂∂∂∂=

∂∂∂∂∂

∂∂

=∂∂∂∂∂=

∂∂∂∂

∂∂

=∂∂∂∂=

∂∂∂

∂∂

,,

,,

,,

54

43

32

NOTA: La notación con operadores indica que el orden de derivación es de derecha a izquierda, mientras la notación con sub índices indican que el orden de derivación es de izquierda a derecha. PROPOSICIÓN: Sea RRSf →⊂ 2: una función definida en el conjunto abierto S tal que la función y sus derivadas parciales de orden superior son funciones continuas en el conjunto abierto S

entonces se cumple que sus derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales para todo par ( ) Syx ∈, , es decir: ( ) ( ) ( ) Syxyxfyxf yxxy ∈∀= ,;,, Una consecuencia importante de esta proposición es que en una función de varias variables se puede cambiar el orden de derivación sin que por ello se altere el resultado siempre en cuando la función y las derivadas parciales de orden superior sean funciones continuas. Por ejemplo la función f y sus derivadas parciales de orden superior son funciones continuas, entonces se tiene que: ..........==== yyyxxxxxyyxyxyxyxyxxxyyy ffff EJEMPLOS:

1. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones:

a. ( ) 244 4, xyyxyxf −+=

b. ( )

−+=

xyyx

yxf1

arctan,

c. ( ) xyezx

zyxf −

++=

11

ln,,

d. 0;2222 >=++ aazyx SOLUCIÓN a. ( ) 244 4, xyyxyxf −+=

( ) 243 44, xyyxyxf x −+=

( )( )( ) xyyxf

xyyyxf

xyxf

yy

y

xx

812,

84,

12,

2

3

2

−=

−=

=

( )( ) yyxf

yyxf

yx

xy

8,

8,

−=

−=

b. ( )

−+=

xyyx

yxf1

arctan,

−+

−++

=xyyx

dxd

xyyx

f x 1.

11

12

( )( ) ( )

( ) ( )( )( )222

2

11

11

xy

yyxxy

yxxy

xyf x

−

−+−−

++−

−=

( ) ( )( )

( ) ( ) 222

2

222

2

2222

2

11

1

1

111

2211

xyxxy

xyf

yxyy

f

yxyxyxxyyxyxy

f

x

x

x

+=

+−

−=

+++

+=

++++−

++−=

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )222

2

111

.1

1xy

xyxxyyxxy

xyf y

−

−+−−

++−

−=

( ) ( ) ( )( ) 222

2

222

2

2222

2

11

111

111

2211

yyxx

yyxx

f

yxyxyxxyxyxxy

f

y

y

+=

++

+=

+++

+=

++++−

++−=

( )( )

01

21

2

22

22

==

+

−=

+

−=

yxxy

yy

xx

ffy

yf

x

xf

c. ( ) xyezx

zyxf −

++=

11

ln,,

( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

0

11

11

11

.11

11

11

.11

11

.

11

1

2

22

2

2

==−=

=+−=−+−=

+−=++−

++=

−=−+=−+

+++=

−

++

++=

yzxz

xyyy

xyxyxy

yx

xyxx

z

xyy

xyxyx

xyx

ff

exf

fexyef

eyx

f

zzx

xz

f

xef

yex

yezz

xz

f

xydxd

ezx

dxd

zx

f

2. Hallar las derivadas parciales del orden que se indica.

a. xxyf si ( ) ( )xyxyxf ln, =

b. yyyxxxf si ( ) senxysenyxyxf 33, += SOLUCIÓN

a. ( ) ( )xyxyyxy

xf x ln1ln.1

. +=+=

xxyy

f xx

1==

0=xxyf

b. senxyyxf y23 3cos +=

ysenxsenyxf yy 63 +−=

( )xyxyf

senxyxf

xyxf

senxyxf

yyyxxx

yyyxx

yyyx

yyy

coscos6cos6cos6

6cos6

cos6cos3

6cos2

3

+−=−−=

−−=

+−=

+−=

3. Si ( )ysenyyxez x−= cos , hallar:

2

2

2

2

yz

xz

∂∂+

∂∂

SOLUCIÓN

( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )yysenyyx

yyysenyyxey

z

yysenyxe

yysenyxesenyyyxsenyeyz

ysenyyxeyeyex

z

eysenyyxyexz

x

x

xx

xxx

xx

cos2cose

coscoscos

cos1

cos1cos

coscoscos

coscos

x

2

2

2

2

−+−=

−+−−−=∂∂

++−=

−+−=−−−=∂∂

−++=∂∂

−+=∂∂

( )[ ]( )[ ]

0cos2coscos

cos2cose

coscoscos

2

2

2

2

x

2

2

2

2

=−+=∂∂+

∂∂

−+−+

−++=∂∂+

∂∂

yeyeyey

zx

z

yysenyyx

ysenyyxeyeyey

zx

z

xxx

xxx

4. Si ( )( )[ ]yxyxz −+= ln , hallar 2

22

2

2

2y

zxyz

xz

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

SOLUCIÓN

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )222

22

222

222

222

22

2

2 2224222

211.1

yx

yx

yx

yxx

yx

yxxxxz

xyxyxyxyxyxyxx

z

−+−=

−++−=

−−+−=

∂∂

=−++=−++−+

=∂∂

( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )222222

2

222

22

222

222

222

22

2

2

2222

422

2422222

211.

1

yx

xy

yx

yxxz

yz

xyz

yx

yx

yx

yyx

yx

yyyxy

z

yxy

yxyxyx

yxyxyz

−=−−−=

∂∂

∂∂=∂∂

∂−+−=−

−+−=−−−−−−=∂

∂−

−=−−+−+

−+=∂∂

( ) ( )( )222

2222

2

22

2

2 2822

yx

yxxyyxy

zxyz

xz

++−−+−=

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

5. Dada la función ( ) ( )yxgeyxf byax ,, +

= donde ( ) ( ) 1,, == yxgyxg yx . Hallar los

valores de las constantes a y b tales que: ( ) ( )yxfyxf yx ,, = ;

( ) ( )yxfayxf yxxy ,,1 +=+ SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )yxageeyxagef

eyxagyxgef

ex

yxgyxgx

ef

byaxbyaxbyaxx

byaxx

byaxx

byaxbyaxx

,1,

,,

,,

1

+=+=

+=∂∂+

∂∂=

+++

++

++

43421

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )yxbgeeyxbgef

eyxbgyxgef

ey

yxgyxgy

ef

byaxbyaxbyaxy

byaxy

byaxy

byaxbyaxy

,1,

,,

,,

1

+=+=

+=∂∂+

∂∂=

+++

++

++

43421

Como ( ) ( )yxfyxf yx ,, =

( )( ) ( )( ) bayxbgeyxage byaxbyax =⇒+=+ ++ ,1,1

( ) ( )[ ]( )( )

( ) ( )[ ]( )( )byxabgaef

eyxgaeyxgbaef

ayxabgbef

eyxgbeyxgabef

byaxyx

byaxx

byaxbyaxyx

byaxxy

byaxy

byaxbyaxxy

++=

++=

++=

++=

+

+++

+

+++

,

,,

,

,,

Luego: ( ) ( )yxfayxf yxxy ,,1 +=+

( )( ) ( )( )1

,,1=⇒

+++=+++ ++

a

byxabgaeaayxabgbe byaxbyax

Por lo tanto: 1== ba INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Sea RRSf →⊂: una función definida en el conjunto abierto S tal que ( )xfy = sabemos que el incremento de la función f en el punto predeterminado a S esta dado por:

( ) ( ) ( )xfxxfxf −∆+=∆

También si RRSf →⊂ 3: es una función de tres variables independientes definida en S tal que ( )zyxfw ,,= entonces el incremento de f en el punto ( ) Szyx ∈,, está dado

por: ( ) ( ) ( )zyxfzzyyxxfzyxf ,,,,,, −∆+∆+∆+=∆ Siguiendo el mismo procedimiento se puede hallar los incrementos de funciones de cualquier número de variable. DEFINICIÓN: Si RRSf →⊂ 2: una función de dos variables independientes definida en el punto

( ) Syx ∈, entonces la diferencial total de la función f es la función df definida por:

( ) ( ) yyxfxyxfdf yx ∆+∆= ,,

O lo que es lo mismo: ( ) dyyf

dxxf

yxdf∂∂+

∂∂=, donde: dyy =∆

Del mismo modo si RRSf →⊂ 3: es una función definida en S tal que ( )zyxfw ,,=

entonces la diferencial total de función f en el punto ( ) Szyx ∈,, está dado por:

( ) dzzf

dyyf

dxxf

zyxdf∂∂+

∂∂+

∂∂=,,

Y así sucesivamente se puede hallar la diferencial total de funciones de cualquier número de variables. OBSERVACIONES:

Se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( )yxdfdyyf

dxxf

yyxfxyxfyxf yx ,,,, ≅∂∂+

∂∂≅∆+∆≅∆

O lo que es lo mismo: ( ) ( ) ( )yxdfyxfyyxxf ,,, ≅−∆+∆+ De aquí que el incremento de una función se puede aproximar por diferenciales. Por otro lado si una cantidad ( )yxfz ,= se aproxima mediante otra cantidad ( )yyxxf ∆+∆+ , con un error de fz ∆=∆ se tiene los siguientes valores:

1.

ff

zz ∆=∆ se llama error relativo.

2. ff

zz ∆=∆

100100 se llama error porcentual

Y teniendo en cuenta el hecho de que el incremento de la función dff ≅∆ se tiene:

1’. f

dfz

dz= error relativo aproximado

2’. f

dfz

dz100100 = error porcentual aproximado

DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Dado una función de dos variables independientes con derivadas parciales de orden superior continuas en el conjunto S sabemos que:

( )

dyyg

dxxg

fd

dgdfdfd

∂∂+

∂∂=

==2

2

( ) ( ) ( ) ( )22

2222

2

2

2

222

2

2

2

dyyf

dxdyyxf

dydxxyf

dxxf

dydyyf

dxyxf

dxdyxyf

dxxf

dydyyf

dxxf

ydxdy

yf

dxxf

xfd

∂∂+∂∂

∂+∂∂∂+∂

∂=

∂∂+∂∂

∂+

∂∂∂+∂

∂=

∂∂+∂

∂∂∂+

∂∂+∂

∂∂∂=⇒

Como f y sus derivadas de orden superior son continuas, entonces: xyf

yxf

∂∂∂=

∂∂∂ 22

( ) ( )

( ) ( )

fdyy

dxx

fd

fdyy

dxdyxy

dxx

fd

dyyf

dxdyxyf

dxxf

2

2

22

222

2

22

22

222

2

2

2

2

∂∂+∂

∂=

∂∂+∂∂

∂+∂∂=

∂∂+∂∂

∂+∂∂⇒

Procediendo en forma similar la diferencial de orden “n” para la función f está dado por:

fdyy

dxx

fdn

n

∂∂+∂

∂=

Análogamente es una función de 3 variables independientes ( )zyxgw ,,= tenemos que:

( ) gdzz

dyy

dxx

dzzg

dyyg

dxxg

zyxdgdw

∂∂+∂

∂+∂∂=∂

∂+∂∂+∂

∂== ,,

Entonces:

gdzz

dyy

dxx

gdwdn

nn

∂∂+∂

∂+∂∂==

EJEMPLOS: 1. Hallar la diferencial total de las siguientes funciones. a. ( ) 22, yxyxyxf +−=

b. ( )22

,yx

xyyxf

+=

c. )cos(),( yxeyxf xy +=

d. z

yx

xyzyx )(),,( +=µ

SOLUCIÓN

a. ( ) 22, yxyxyxf +−=

dyyf

dxxf

df∂∂+

∂∂=

yxxf

fX −=∂∂= 2

xyyf

f y −=∂∂= 2

dyxydxyxdf )1()2( −+−=

b. ( )22

,yx

xyyxf

+=

dyyf

dxxf

yxd∂∂+

∂∂=),(

222

23

222

232

222

22

)()(2

)()2)(()(

yxyxy

yxyxyyx

yxxxyyyx

xf

+−=

+−+=

+−+=

∂∂

222

23

222

223

222

22

)()(2

)()2)(()(

yxyxx

yxyxxyx

yxyxyxyx

yf

+−=

+−+=

+−+=

∂∂

dyyxxyx

dxyx

yxydf

+−+

+−= 222

23

222

23

)()(

[ ]dyxyxdxyxyyx

df )()()(

1 2323222 −+−

+=

c. )cos(),( yxeyxf xy +=

dyy

fdydx

xf

yxdf∂

∂+∂∂=),(

xyxy yeyxyxsenexf

)cos()1)(( +++−=∂∂

))cos()(( yxyyxsenexf xy +++−=

∂∂

xyxy xeyxyxseneyf

)cos()1)(( +++−=∂∂

)cos()(( yxxyxseneyf xy +++−=∂∂

Luego:

dyyxsenyxxedxyxyyxsenedf xyxy ))()cos(())cos()(( +−+++++−=

[ ]dyyxsenyxxdxyxsenyxyedf xy )()cos(()()cos(( +−+++−+=

d. z

yx

xyzyx )(),,( +=µ

dzz

dyy

dxx

d∂∂+

∂∂+

∂∂= µµµµ

)1

()()1

()(2

11

yy

yx

xyzy

yyx

xyzx

zz ++=++=∂∂ −−µ

)()()()(2

21

21

yxxy

yx

xyzyx

xyx

xyzy

zz −+=−+=∂∂

−−µ

12

2

)()1(

−+−=∂∂ z

yx

xyyyxz

yµ

)()()1)(()(yx

xyLnyx

xyyx

xyLnyx

xyz

zz ++=++=∂∂µ

Luego:

))()()1()1(

()( 2

221 dz

yx

xyLnyx

xydyyyxz

dxy

yz

yx

xyd z +++−

++

+= −µ

2. Si xez z cos= . Hallar zd 3

SOLUCIÓN:

zdyy

dyx

zd 33 )(∂∂+

∂∂=

zdyy

dxdyyx

dydxyx

dxx

zd )33

( 33

32

2

22

2

23

3

33

∂∂+

∂∂∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂=

zdyy

dxdyyx

dydxyx

dxx

)33

( 33

32

2

32

2

33

3

3

∂∂+

∂∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

zdyy

zyxz

dydxyxz

dxx

z)

33( 3

3

3

2

32

2

33

3

3

∂∂+

∂∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

senxex

zxe

xz

senxexz yyy =

∂∂−=

∂∂−=

∂∂⇒ 3

3

2

2

; cos ;

xey

zxe

yz

xeyz yyy cos,cos,cos 3

3

2

2

=∂∂=

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂=∂

∂=∂∂

∂∂=∂∂

∂)cos()cos()( 2

2

2

2

2

3

xexx

xexy

zxyx

z yy

xesenxex

yy cos)( −=−∂∂=

senxexexy

zxyx

z yy −=∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂∂

)cos()(2

2

2

2

3

)cos3cos3( 32233 xdyesenxdxdyedyxdxesenxdxezd yyyy +−−= )cos3cos3( 32233 xdysenxdxdydyxdxsenxdxezd y +−−=

3. Hallar el valor aproximado utilizando diferenciales de: ( ) ( ) ( )222 97,599,102,5 ++ SOLUCIÓN: ( ) ( ) ( ) ( )222 03,06001,0202,03,, −+−++=∆+∆+∆+ zzyyxxf

Sea ( ) 222,, zyxzyxf ++= Tomar:

03,0 ; 601,0 ; 2

02,0 ; 3

−==

−==

==

dzz

dyy

dxx

( ) dzzf

dyyf

dxxf

zyxf∂∂+

∂∂+

∂∂=,,

222222222 ; ;

zyx

zzf

zyx

yyf

zyx

xxf

++=

∂∂

++=

∂∂

++=

∂∂

( ) dzzyx

zdy

zyx

ydx

zyx

xzyxdf

222222222,,

+++

+++

++=

( ) ( ) ( ) ( ) 02,003,0496

01,0492

02,0493

6,2,3 −=−+−+=df

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) 98,602,049

03,06001,0202,03,,

,,,,,,,,,,

222

=−+=−+−++=∆+∆+∆+

≅−∆+∆+∆+≅∆⇒≅∆

zzyyxxf

zyxdfzyxfzzyyxxf

zyxdfzyxfdff

4. Se desea embalar un televisor cuyas dimensiones son 55cm de largo, 40cm de

ancho y 80cm de altura con un material homogéneo cuyo peso es de 3/201

cmgr

si el grosor del embalaje lateral es de 5cm mientras que de la base y la parte superior de 2,5cm cada uno. Usando diferenciales calcular aproximadamente es peso de la envoltura. SOLUCIÓN:

Sea: =x el largo de la parte interior del volumen =y el ancho de la parte interior del volumen =z la altura de la parte interior del volumen

cmc

cmbcma

85)5,3(28060)5(24065)5(255

=+=

=+=

=+=

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )54055108055108040 ++=++=

∂∂+

∂∂+

∂∂≅

=

dV

xydzxzdyyzdxdV

dzzV

dyyV

dxxV

dV

xyzV

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )[ ]201

54055108055108040/ ++=×= nPcdVPe

435055022001600 =++=Pe DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS Para funciones diferenciales de una variable real la llamada regla de la cadena es un método para derivar una composición de funciones. En efecto: Si )(xfy = con )(xgu = entonces: ( ) ( )[ ]xgfxgfy == )(o

Luego: ( )[ ] ( )xgxgfdxdu

dudy

dxdy

''==

Ahora veremos la regla de la cadena para funciones de dos variables donde cada una de estas variables es a su vez función de otras 2 variables. Así consideramos las funciones: RRfRRg →∧→ 222 : : donde ( ) ( ) ( ) zyxfyxvug == , ,, Al hacer la composición de estas funciones obtenemos una nueva función gf o=β definido por ( )[ ] zvugf == ,β

Como z es función ( ) zvu =,β es una función de dos variables podemos hallar las derivadas parciales de z con respecto a las variables u y v mediante las siguiente regla de la cadena. Sea RRSf →⊂ 2: una función definida por ( )yxfz ,= tal que ( ) ( )vufyvugx ,;, == son funciones diferenciales con respecto a las variables u y v .

Si las derivadas parciales vy

uy

vx

ux

yz

xz

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

;;;;; existen, entonces, z es función de

las variables u y v tal como se observa en el siguiente diagrama.

Entonces las derivadas parciales de z con respecto a las variables u y v está dado por:

vy

yz

vx

xz

vz

uy

yz

ux

xz

uz

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

;

OBSERVACIÓN: 1. En el siguiente diagrama el exponente del dominio de la función g indica el

número de ecuaciones diferenciales y el exponente del rango de la función g indica el número de términos que debe tener cada ecuación diferencial en el segundo miembro así por ejemplo:

; ; ry

yz

rx

xz

rz

vy

yz

vx

xz

vz

uy

yz

ux

xz

uz

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

sz

zw

sy

yw

sx

xw

sw

rz

zw

ry

yw

rx

xw

rw

vz

zw

vy

yw

vx

xw

vw

uz

zw

uy

yw

ux

xw

uw

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

;

;

DEFINICIÓN: Sea RRSf →⊂ 3: una función definida por ( )zyxfw ,,= tal que

( ) ( ) ( )tgztgytgx 321 ; ; === son funciones diferenciales respecto a la variable t en este caso en lugar de una derivada parcial se obtiene una derivada total. En efecto:

dtdz

zw

dtdy

yw

dtdx

xw

tw

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

EJEMPLOS:

1. Por la regla de la cadena hallar las derivadas correspondientes de las siguientes

funciones: a. xyez /

= ; srx cos2= ; rsensy 4= b. yxz 2

= ; tx cos= ; senty =

c. 222 zyxw ++= ; sex r cos= ; sensey r= ; sez =

d. 2222 )( yxyxLnz +++= ; tex t cos= ; sentey t=

e. yx3=µ ; tyx =+5 ; 232 tyx =+

SOLUCIÓN

a. xyez /= ; srx cos2= ; rsensy 4=

( ) ( )( )

( )[ ] 044

cos2

cos2cos2

44

cos2

cos241

41

cos2

tan2

cos24

/

//2

=−=∂∂

−=∂∂

−=∂∂

+−=∂∂

∂∂+∂

∂∂∂=∂

∂

senssenssr

erz

ssr

rsenssens

sre

rz

sxy

sensexr

z

sensex

sexy

ry

yz

rx

xz

rz

s

srrsens

xy

xyxy

sy

yz

sxxz

sz

∂∂

∂∂+

∂∂∂∂=

∂∂ )4(

1)2( //

2 rsensex

rsenssexy xyxy +−−=

+=

−=∂∂

)2(cos2

4cos4

cos2)2(cos4

1 tan2/ rsens

srrsens

srsr

ersens

xy

srexs

z sxy

+=∂∂

sssen

ss

esz s

cos22

cos2cos2

2tan2

se s

2

tan2

cos2=

b. yxz 2

= ; tx cos= ; senty =

dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

∂∂+

∂∂=

)(coscos))((cos2cos2 222 tttsenttxxysentdtdz

+−=+−= )2(coscos 22 tsentt −=

c. 222 zyxw ++= ; sex r cos= ; sensey r

= ; sez =

rz

zw

ry

yw

rx

xw

rw

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂+∂

∂++=

ry

yrx

xzyx 222

1

)cos.cos(1

22sensesensesese

eerw rrrr

sr−+

+=

∂∂

sr

r

ee

e22

2

+=

szzw

sy

yw

sxxw

sw

∂∂∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂∂∂=

∂∂

∂∂+∂

∂+∂∂

++=sz

zsy

ysx

xzyx 222

1

))cos()(cos(1

22

ssrrrr

sreesesensesensese

eesw ++−

+=

∂∂

sr

s

ee

e22

2

+=

d. 2222 )( yxyxLnz +++= ; tex t cos= ; sentey t

=

dtdy

yz

dtdx

xz

tz

∂∂+

∂∂=

∂∂

)12

.(coscoscos22

22222+=+=

++

+=

∂∂

tt

t

t

t

et

ete

ete

yx

xyx

xxz

)(coscos senttetesentedtdx ttt −=+−=

)12

(22

222

22 +=+=+

++

=∂∂

tt

t

t

t

esent

esente

esente

yx

yyx

xyz

)(coscos senttesentetedtdy ttt +=+=

)(cos)12

()(cos)12

(cos senttee

sentsenttee

tdtdz t

tt

t +++−+=

[ ])(cos)(coscos)12

( senttsentsenttte

edtdz

tt ++−+=

tt

tt etsent

ee

edtdz

+=++

= 2))(cos2

( 22

e. yx3=µ ; tyx =+5 ; 232 tyx =+

dtdy

ydtdx

xdtd

∂∂+

∂∂= µµµ

.(*)..........3 32

dtdy

xdtdx

yx +=

( )( ) tx

dtdy

yxdtdx

x

dtdy

dtdx

x

dtdy

ydtdx

x

dtdy

dtdx

x

x3234

4

2

2

3 101510

2210

232

15

5

2

−=−−=+

⇒

=+

=+

−

( ) txdxdy

yx 323 102152 −=−

22315

2310152102

23

3

−−=

∂⇒

−−=

yx

txt

dyyxtx

dtdy

=+

−=−−

tdtdy

ydtdx

x

ydtdy

ydtdx

yx

232

3315

2

2224

xyxty

dtdx

ytdtdx

yxx

21523

32)152(

24

2

224

−

−=

−=−

En (*)

)215

210()

21523

(3 23

33

24

22

−

−+

−

−=

yxtx

xxyx

tyyx

dtdµ

215)210()23(3

23

232

−

−+−=

yxtxxtyxy

2. Si ( )2222 ; xyyxfw −−= . Hallar

∂∂+∂

∂yw

xxw

y

SOLUCIÓN

( ) ( )( ) vuvu xfxfxvufxvufxv

vw

xu

uw

xw

222,2, −=−+=∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

( )( ) ( )( ) yfyfyvufyvufyv

vw

yu

uw

yw

uvu 222,2, +−=+−=∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

( ) ( ) 02222 =+−+−=

∂∂+∂

∂yfyfxxfxfy

yw

xxw

y uvu

3. Si ( )yxfz ,= es diferenciable en yx , ; si θcosrx = ; θrseny = Hallar:

22

∂∂+

∂∂

yz

xz

SOLUCIÓN

θθ senyz

xz

ry

yz

rx

xz

rz

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

cos

θθθθθθ 2

2

2222

cos2coscos senyz

yz

xz

senxz

senyz

xz

rz

∂∂+∂

∂∂∂+

∂∂=

∂∂+∂

∂=

∂∂

( ) ( )θθθθθ

cosryz

rsenxzy

yzx

xzz

∂∂+−

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

( ) ( )

θθθθθ

θθθ

22

2

22222

22

coscos2

cos

ryz

yz

xz

senrsenrxzz

ryz

rsenxzz

∂∂+∂

∂∂∂−

∂∂=

∂∂

∂∂+−∂

∂=

∂∂

θθθθθ

2

2

222

2coscos2

1

∂∂+∂

∂∂∂−

∂∂=

∂∂

yz

yz

xz

sensenxzz

r

Por lo tanto:

222

2

2

2

2

22

2

2

222

2

2

1

coscos2

cos2cos1

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

∂∂+∂

∂∂∂−

∂∂

+

∂∂+∂

∂∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

yz

xzz

rrz

yz

yz

xz

sensenxz

senyz

yz

xz

senxzz

rrz

θ

θθθθ

θθθθθ

4. Si

+=xz

xy

xfxzxy

w ;ln hallar: zw

zyw

yxw

x∂∂+

∂∂+

∂∂

SOLUCIÓN

( )*....................,,ln

,,ln1

∂∂+

++=∂

∂∂∂

+

∂∂++=∂

∂

xz

xy

fx

xxz

xy

fxzy

zy

xw

xx

xz

xy

fxz

xy

fx

xxzy

xzxy

xw

Sea xz

v =∧=xy

u

vu fxz

fxy

xz

vf

xy

xf

xxz

xy

f−−=

−∂

∂+

−∂∂=∂

∂22

,

Por lo tanto:

vu

vu

zfyfxz

xy

fxzy

zy

xw

fxz

fxy

xxz

xy

fxzy

zy

xw

−−

++=∂∂

−−+

++=∂∂

,ln

,ln

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES

EJEMPLOS:

1. Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera que es paralelo al

plano

SOLUCIÓN

( ) ( ) 0.: 00 =∇− PFPPPT

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )0000

222

00

,,2,,22,2,2,,

01,,

10,6,8

*...........................////

zyxPF

zyxzyxzyxF

zyxzyxF

N

NKPFNPFPPT

=∇==∇

=−++==

=∇⇒∇⇒

En (*): ( ) ( )

( ) ( )

kz

ky

kx

kkkzyx

kzyx

5

3

4

5,3,4,,

5,3,42,,2

0

0

0

000

000

=

=

=

=

=

Como ( )zyxFP ,,0 ∈ ��se cumple que:

( )( ) ( ) ( )

25

1k 150k 1534

01,,

2222

20

20

20000

±=⇒=⇒=++

=−++=

kkk

zyxzyxF�

Entonces:��25

5 ;

25

3 ;

25

4000 ±=±=±= zyx �

( ) ( ) ( )10,6,825

1

25

5 ;

25

3 ;

25

42,,2 0000 ±=

±±±==∇ zyxPF �

( ) ( )

( )

2

10534

25100

1068

025

5010

2518

625

328

010,6,825

5;

253

;25

4

010,6,825

125

5 ;

253

;25

4,,:

±=++⇒±=++

=±+±+±

=

±±±

=±

±±±−

zyxzyx

zyx

zyx

zyxPT

�

2. Hallar la ecuación normal al elipse 132 222 =++ zyx que es paralelo a la recta�

13 ;2 ;13 : −==+= tztytxR �

SOLUCIÓN