Flujo crítico en canales trapeciales de fondo curvo

Gilberto Sotelo Ávila

Universidad Nacional Autónoma de Mexico

Dressier (1978) publicó las ecuaciones que llevan su nombre para analizar el flujo en canales rectangulares de fondo curvo e introdujo por primera vez un número de Froude local. Para las mismas condiciones, Sivakumaran et al. (1983) propusieron un número de Froude que llamaron generalizado, también con aplicación a canales rectangulares. Posteriormente, Sotelo y Escalante

presentaron una generalización de las ecuaciones del flujo curvilíneo para emplearse en canales de cualquier forma de sección, utilizando para ello un sistema de coordenadas curvilíneo, que se adapta a la forma del fondo. Por último, Sotelo y Gallegos (2000) expusieron el calculo del régimen crítico en un canal rectangular de fondo curvo con un enfoque distinto. El objetivo de este artículo es presentar el régimen crítico en canales de fondo curvo para cualquier forma de sección, utilizando como ejemplo la trapecial.

Palabras clave: flujo crítico curvilíneo, regimen crítico en canales trapeciales de fondo curvo.

Antecedentes

El régimen crítico en canales de fondo curvo ocurre en obras donde el fondo del canal adopta una curvatura vertical importante, lo cual se presenta al cambiar la plantilla del canal de una inclinación menor a una mayor, cuando se producen deflexiones verticales obligadas por la topografía del terreno o para dirigir el flujo. También puede presentarse en la proximidad de la cresta sobre un vertedero tipo cimacio, donde el flujo equivale al que ocurre en un canal rectangular con fondo de curvatura convexa variable. De igual manera que en los canales de fondo plano, el régimen crítico en canales de fondo curvo es de gran importancia, ya que es el régimen de transición entre un flujo subcrítico y un supercrítico.

Condición general del estado crítico

Sotelo y Escalante demostraron que la energía del flujo (por unidad de peso y tiempo) en la sección s de

un canal de fondo curvo está dado por la ecuación de su artículo, la cual se transcribe a continuación:

donde:

H energía total del flujo en la sección s en m. d distancia en dirección ortogonal al fondo de la sección

y desde éste hasta la superficie libre en m. ángulo que forma la tangente al fondo de la sección y la horizontal.

z altura del fondo de la sección del canal respecto a un nivel de referencia en m. curvatura del fondo de la sección en igual a donde R es el radio local de la curva.

g aceleración gravitacional en m/s2. s coordenada curvilínea que sigue el eje en el fondo

del canal en m.

I, integral que depende de la distribución de la velocidad y de la forma de la sección.

Q caudal en la sección en m3/s.

Las ilustraciones y aclaran mejor esta simbología, y la ecuación de la referencia antes citada define el valor de la integral como sigue:

También, de la ecuación de la mencionada referencia, se tiene que:

donde:

t tiempo. u componente de la velocidad en la dirección de s y

perpendicular a la sección ortogonal al fondo. u, componente u de la velocidad en el fondo de la

sección.

Como en el caso de un canal de fondo plano, se considera z=0 en la ecuación y con ello se define la energía específica en la sección del canal de fondo curvo, la cual resulta ser igual a:

donde:

dimensión horizontal de la sección a la distancian. n coordenada recta en el plano de una sección ortogonal

al fondo y a s. S coordenada curvilínea que sigue fielmente el eje en el

fondo del canal.

O bien, de la ecuación se llega a la expresión:

Para encontrar la condición de flujo curvilíneo permanente crítico (o no permanente en un instante t) se sigue el procedimiento convencional de energía específica mínima; es decir, se deriva la ecuación anterior respecto a d para cualquier forma de sección, donde z , K y Q permanecen constantes y se obtiene:

donde es un parametro adimensional del flujo curvilíneo relacionado con el número de Froude, lo cual se explica más adelante.

y las ecuaciones y se convierten en las siguientes: Cuando las variables adoptan el valor crítico,

De la ecuación y utilizando la regla de Leibniz para derivar una integral, resulta:

donde B es el ancho de la sección a la distancia n del fondo y T es el ancho de la superficie libre. Por tanto, se tiene:

*-

AI despejar: Estas expresiones representan la condición que debe

cumplirse para que haya regimen crítico en una sección ortogonal al fondo, siendo el valor crítico del parametro

de la ecuación El termino K I, depende de la forma de la sección y puede obtenerse ya sea de manera analítica o numérica.

El segundo termino de la ecuación se multiplica y divide por donde b es el ancho de la sección del canal y también se obtiene:

cuando alcanza la condición crítica. Esto equivale a que F=Ud/C, siguiendo el criterio de Henderson 967) utilizado en canales de fondo plano.

Sotelo y Escalante (2001 a) demostraron y propusieron la ecuación que aparece en su trabajo para determinar el componente de la velocidad en la superficie libre u(s,d)=ud, que es igual a:

Con base en lo anterior se define un número de Froude generalizado para el flujo curvilíneo que según las ecuaciones y vale:

La definición del número de Froude generalizado mediante la ecuación equivale a comparar el componente de la velocidad u, con la celeridad c de propagación de una onda superficial. Es decir, sustituyendo la ecuación O en la al despejar resulta:

Para el régimen crítico, F=1 y cuando (fondo plano) la ecuación se simplifica y el número de Froude corresponde a la forma convencional del flujo

rectilíneo, que esta dado por donde uo=U (velocidad media del flujo) y con (coeficiente de Coriolis).

Es sencillo concluir que usando la ecuación la se puede escribir de cualquiera de las formas siguientes:

Esta ecuación permite obtener la celeridad o rapidez con que se propaga una onda de amplitud pequeña sobre la superficie libre del flujo en un canal de fondo curvo. Cuando el flujo es crítico, ud=C y cualquier pequeño disturbio sobre la superficie viaja a la misma velocidad con que se mueve el agua al nivel de dicha superficie.

Canal trapecial

a) Celeridad de la onda

Sotelo y Escalante (2001 b) obtuvieron su ecuación como la solución de I, para el canal trapecial, la cual se transcribe a continuación:

Este resultado es idéntico al que se obtiene para el flujo rectilíneo cuando se define al número de Froude para flujo curvilíneo con la ecuación

Celeridad de la onda de amplitud pequeña

La condición de régimen crítico sobre el umbral curvo mostrado en la ilustración esta expresada por la ecuación El término en el numerador representa el parámetro y el del denominador el valor que adquiere

donde b=X es el ancho del fondo como dimensión característica de la sección y k es el talud, de manera que el ancho de la superficie libre vale Se tiene que:

que también es adimensional. Dentro del intervalo se aprecia que cualquier disturbio en la

superficie viaja más rápido sobre un fondo cóncavo o más lento sobre uno convexo que si lo hace sobre un fondo plano

Los razonamientos anteriores son válidos en flujo permanente o impermanente, y también la definición de número de Froude vale para ambos.

b) Regimen crítico

La condición de régimen crítico en el canal trapecial se obtiene sustituyendo las ecuaciones y en la y resulta que: Para el canal rectangular se hace y se obtiene:

y la ecuación se convierte en:

El parámetro en el lado izquierdo de esta ecuación se mantiene constante en cada instante y el término del lado

Cuando el fondo es plano, y en la ecuación de modo que la ecuación se convierte ahora

en:

Esto significa que se recupera la expresión conocida para la celeridad de la onda sobre un fondo plano con la definición dada para el número de Froude (ecuación 8).

Un análisis sencillo de la ecuación para el canal rectangular muestra que la curva de la celeridad tiene un

punto singular cuando o bien, cuando

= valor que a su vez define un límite superior absoluto en la validez de las ecuaciones para el flujo de poca profundidad en el canal rectangular.

La ilustración muestra el lugar geométrico de la ecuación y representa la variación de la celeridad

relativa adimensional: c con la curvatura

derecho es función de los parámetros k/kb y K d ; el primero depende Únicamente de la geometría del canal y el segundo, de la magnitud de d, que en este caso sería el valor crítico.

La ilustración muestra la representación gráfica de la ecuación y permite determinar con suficiente precisión el tirante crítico relativo K dc en un canal trapecial, en términos de parámetros que son constantes para una condición dada de geometría y gasto.

Para el canal rectangular, k=0, y de la ecuación resulta:

Cuando el canal es rectangular, k=0, y la ecuación se convierte en:

O bien, con q=Q/b (gasto unitario) se obtiene:

Cuando el canal es triangular, b=0, la ecuación se simplifica a la forma siguiente:

En la ecuación se observa que el parámetro crítico en el trapecial depende de K d, pero también de

Cuando el canal es muy ancho y es muy pequeño o nulo, es válida la ecuación donde dicho parámetro ya no depende de

El número de Froude en un canal trapecial, cualquiera que sea su talud o ancho de sección, se puede desarrollar de acuerdo con la ecuación utilizando las ecuaciones

o según sea el caso. Para el fondo convexo es necesario considerar que

K en la ecuación adecuada a la forma de la sección. Para la sección trapecial, la ecuación se representa en la ilustración cuyo eje horizontal contiene los valores de K d (negativos en fondo convexo), y el eje vertical corresponde directamente a los valores de dados por la ecuación 22; es decir, el eje vertical contiene

los valores de = uo/ Esto tuvo por objeto mostrar intervalos de variación más amplios y unificar la presentación con la de otras curvas que se comentan más adelante.

Las curvas mostradas en la ilustración representan la condición de régimen crítico para cada valor del parametro K d/b entre O y y sirven de frontera entre el régimen subcrítico y el supercrítico. La curva K d/b=0 es la Única que pasa por las restantes no lo hacen

En la ilustración se muestra la representación gráfica de la ecuación anterior para determinar el tirante crítico relativo K d, en un canal rectangular, con la misma explicación de la ilustración

Para el canal triangular, b=0, y con un reacomodo de términos en la ecuación resulta que:

La ilustración muestra la representación gráfica de la ecuación anterior y permite obtener el tirante crítico relativo K d, en un canal triangular, con lo cual se repite la misma explicación de la ilustración

La condición crítica también se puede obtener siguiendo un camino similar al de la ecuación 6a, pero ahora usando la 6b; resulta que:

debido a que depende de K dlb. La curva para El término a la izquierda de la ecuación anterior se K corresponde al canal rectangular y la rama EF aplica para cualquier forma de sección, siempre que d de dicha curva ocurre para Ir dentro del sea el tirante y se desee establecer la condición de intervalo -2s K d O para el fondo convexo. separación en el fondo.

Las curvas para el canal trapecial se prolongan hacia El lugar geométrico de la ecuación corresponde a el lado de curvatura cóncava. la curva AB, mostrada en la ilustración la cual limita la

Analizando el caso de la sección rectangular, esta zona donde el flujo se separa sin que haya dado por la ecuación y siempre se mantiene positivo. necesariamente cavitación; es decir, la ecuación sólo Sin embargo, se debe cumplir que lo que establece que la presión en el fondo ha llegado al valor significa que K Con este límite superior, la rama de la presión atmosférica local. La curva AB se intersecta FG en la ilustración es la continuación de la curva de con la EF en el punto para el que K Para frontera entre el regimen subcrítico y el supercrítico en un alcanzar la cavitación sería necesario donde canal rectangular de curvatura positiva. A medida que es la presión de cavitación del agua (cuyo valor es

d aumenta de valores negativos (a traves de cero) hasta menor al de la atmosférica), la cual depende de su valores positivos, el de continúa disminuyendo en forma temperatura. Según esta explicación, la ecuación se continua y monotónica hasta el valor mínimo convierte en: p a r a Después, la curva se eleva bruscamente, de manera que los regímenes crítico y subcrítico no son posibles mas allá de K ya que d) y, como consecuencia, sería imaginario.

La influencia de en el canal trapecial se acentúa en flujo cóncavo para y cada curva queda limi- tada hasta un valor dentro del I n t e r v a l o d como se muestra en la ilustración

Es importante también mencionar que los resultados serían idénticos para el flujo no permanente, si bien las condiciones críticas estarían cambiando con el tiempo.

Separación del flujo y cavitación

Sotelo y Escalante (2001 b) encontraron que la presión en el fondo del canal se valúa con la ecuación O sin importar la forma de la sección. Se observa que dicha presión siempre permanece positiva cuando el fondo es cóncavo

pero puede haber separación del flujo cuando es convexo si la velocidad es suficientemente grande Y

El límite se introduce con la curvatura negativa en la ecuación antes mencionaday se obtiene la condición de separación:

O bien, eliminando el denominador con el auxilio de la ecuación se obtiene:

En la ilustración se muestran las curvas para valores del parámetro cose entre O y todas a la izquierda de la curva AB de separación. Esta Última curva corresponde al valor cero de dicho parametro.

La separación del flujo en una curva convexa ocurre cuando la presión es igual a cero y se representa en la ilustración mediante la curva AB. La cavitación por efecto de curvatura sólo puede ocurrir en una curva vertical convexa siempre que la presión en uno o varios puntos del fondo sea negativa (por debajo de la atmosférica) y alcance el valor de la presión de cavitación, la cual depende de la temperatura e impurezas del agua. Esta situación se define mediante las curvas de la ilustración a la izquierda de AB, cada una identificada por el valor del parámetro cose con valores entre y Si para fines prácticos se acepta que m, el

parametro alcanza valores de (d entre y m. Una explicación similar se da para la ilustración

Naturaleza hiperbólica de las ecuaciones diferenciales

Para averiguar la naturaleza hiperbólica de las ecuaciones diferenciales, por ejemplo, la de Sotelo y Escalante (2001 a), se sigue el procedimiento de Courant y Friedrichs, presentado en Friedrichs (1 de valuar la desigualdad discriminante. Las ecuaciones son hiperbólicas si y sólo si se cumple que:

Se tienen los mismos resultados para el flujo no permanente, excepto que las variables dependen también del tiempo.

Límites para la validez de la hipótesis de flujo poco profundo

Dentro de las hipótesis impuestas al flujo quedó excluida cualquier discontinuidad en K para el fondo del canal. La cantidad K d se puede considerar como un indicador de la pequeñez de la profundidad, ya que es el cociente del tirante del flujo y el radio de curvatura del fondo. Sus valores límite se pueden obtener de la curva FG en la ilustración para el canal rectangular.

Debido a que la curva de régimen crítico para el canal rectangular manifiesta una inversión brusca inesperada para d esto sugiere que las ecuaciones pierden validez mas allá de este valor. En igual forma, la curva AB se intersecta con la EF para K Para valores negativos mayores, el régimen crítico y el supercrítico no pueden ocurrir, ya que el flujo se separaría del fondo (siempre que no se sobreponga una presión mayor que la atmosférica sobre la superficie libre).

Por las razones anteriores, Dressler 978) sugirió que las ecuaciones para el fiujo curvilíneo permanente o no en un canal rectangular se aplicaran tentativamente dentro del intervalo hasta que esta cuestión se definiera experimentalmente. Los experimentos realizados por Sivakumaran et al. (1 983) mostraron que el intervalo se puede ampliar (con buena concordancia

Es de fácil verificación que esta igualdad siempre se satisface cuando O. Para el caso se sustituye de nuevo a la curvatura en la desigualdad anterior y ésta, al simplificar, se convierte en el parámetro:

Esto significa que la ecuación es hiperbólica para entre teoría y experimentos) hasta valores: cualquier valor positivo de la curvatura o igual a cero. Para la negativa ocurre lo mismo, a menos que se presente lo siguiente:

es decir, hasta fondos convexos de gran curvatura, casi igual que en los cóncavos.

Si se analiza la ecuación para el canal trapecial, se observa que la singularidad del denominador cero ocurre para siempre que Esto significa que el intervalo de validez para flujo cóncavo en canales trapeciales se amplía en la medida que crece; sin embargo, dicho incremento no es significativo, dado que dicho parámetro es, generalmente, pequeño en la práctica.

Conclusiones

Las ecuaciones 6a y 6b representan la condición general del régimen crítico en un canal de fondo curvo con cualquier forma de sección transversal. Los valores de la integral I, y del ancho de superficie libre

La curva CD de la ilustración es la definida por el signo de igualdad en la ecuación es decir, como una función de K Esto significa que las ecuaciones diferenciales nunca son elípticas en su intervalo Útil, debido a que la separación del flujo siempre ocurre antes, cuando el parámetro es pequeño y no hay presión constante mayor que la atmosférica actuando siempre sobre la superficie libre. Si ocurre una presión distinta de la atmosférica, su valor se debe agregar a la ecuación O de Sotelo y Escalante (2001 a), y la separación no se produce a menos que se alcancen números de Froude muy grandes.

T dependen de la forma de la sección y pueden calcularse de manera directa mediante una ecuación, como en los casos aquí analizados, o mediante procedimientos numéricos cuando sean secciones más complicadas. El número de Froude generalizado para un canal de fondo curvo queda expresado por la ecuación y vale uno para el flujo crítico. Cuando el canal es de fondo plano, la curvatura es cero y la ecuación adopta

de Froude en canales de fondo curvo sigue la misma definición adoptada por Henderson 967) para los de fondo plano, como el cociente de lavelocidad del agua al nivel de la superficie libre y la celeridad con que se propagan los disturbios sobre dicha superficie libre. El cálculo del regimen crítico en canales trapeciales, rectangulares y triangulares se aborda utilizando las ecuaciones 6a y 6b antes mencionadas, tanto en su forma analítica como gráfica, empleando parametros adimensionales adecuados según sea la forma de la sección.

partir de la cual se produce la separación en flujo convexo y la posterior cavitación, en su caso, para distintos valores de presión negativa.

publicaciones previas mencionadas en las referencias son de naturaleza hiperbólica, con validez en los campos de aplicación que también se muestran, así como la frontera a partir de la que se inicia el comportamiento elíptico de las mismas. Con ello se infiere el campo general de aplicación del modelo de flujo, basado en la suposición de baja profundidad.

Recibido: Aprobado: 21/05/2003

Referencias

DRESSLER, R.F. New nonlinear shallow-flow equations with curvature. Journalofhydraulic research. IAHR. Vol. núm.

ESCALANTE, C.A. y SOTELO, G. Efecto resistivo en las ecuaciones generales del flujo impermanente en canales de fondo curvo. ingeniería hidráulica en México. Vol. XVI, núm. julio-septiembre pp.

FRIEDRICHS, K.O. On the deviation of the shallow water theory. New York: Committee of Pure Applied Mathematics. Courant Institute. Vol. pp.

HENDERSON, F.M. Open channel flow. New York: The Macmillan Company,

SIVAKUMARAN, S.S., TINSHANGALI, T. y HOSKING, R.J. Steady shallow flow over curved beds. Journal of fluid mechanics.

SOTELO, G. y ESCALANTE, C.A. Ecuaciones generales del flujo impermanente en canales de fondo curvo. Ingeniería hidráulica en Mexico. Vol. XVI, núm. abril-junio,

SOTELO, G. y ESCALANTE, C.A. Ecuaciones del flujo impermanente en canales trapeciales de fondo curvo. Ingeniería hidráulica en México. Vol. XVI, núm. octubre- diciembre b, pp.

SOTELO, G. y GALLEGOS, J. Regimen crítico en flujo curvilíneo. Memorias del XIX Congreso Latinoamericano de Hidráulica. Córdoba, Argentina,

la forma convencional para dichos canales. El número pp.

Se muestra en forma analítica y gráfica la frontera a Vol. pp.

Las ecuaciones generales presentadas en las pp.

Abstract

SOTELO ÁVILA, G. Critical flow over curved-bed trapezoidal channels. Hydraulic engineering in Mexico (in Spanish). Vol. XIX, no. January-March, pp.

Dressler (1978) published the equations that bear his name to analyze the flow over curved-bed rectangular channels and introduced for the first time a local Froude number: Sivakumaran et al (1 983) proposed a generalized Froude number applicable to rectangular channels. Sotelo G. and Escalante C. A. (2001) showed a generalization of the curvilinear flow equations to be used in channels with any shape of section using a curvilinear coordinate system following the bed shape. Sotelo G. y J. Gallegos (2000) exposed the critical flow computation in curved- bed rectangular channels using another approach. The scope of this paper is to show the critical regimen in curved-bed channels with any shape of cross section, using the trapezoidal channel as an example.

Keywords: curvilinear critical free-surface flow, curved-bed critical surface flow, critical flow of curved-bed trapezoidal open channels.

Dirección institucional del autor:

Dr. Gilberto Sotelo Ávila

División de Ingeniería Civil, Topográfica y Geodésica, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de Mexico. Circuito Exterior, CU,

México, D.F., México, teléfono: (52) (55) fax: + (52) (55) soteloa@servidor.unam.mx.