vigas con eje curvo

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS II Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP

VIGAS DE EJE CURVO

Autores: Ing. Jorge Maiztegui Ing. Juan P. Durruty Ing. Asdrúbal Bottani

-2008-

Vigas de Eje Curvo Estructuras II

1) INTRODUCCION:

Entendemos por vigas, en general a aquellos elementos en los cuales una de sus dimensiones es mucho mayor que las otras dos que lo componen.

La trayectoria del eje de la viga puede ser una curva de cualquier forma en el espacio, el sistema de cargas solicitante también puede ser cualquiera al igual que las solicitaciones externas (con un numero de restricciones tal que aseguren el equilibrio).

Es por esto que las vigas de eje curvo no son otra cosa que un caso particular de las vigas en general, donde la trayectoria de su eje sigue un curva determinada, que podría ser circular plana, elíptica, helicoidal, etc., con un radio y un centro de curvatura determinados que también pueden ser variables punto a punto.

Podemos imaginar las vigas de eje recto como un caso particular de las de eje curvo con el centro de curvatura en el infinito.

Como veremos mas adelante todos los conocimientos adquiridos hasta el momento para vigas de eje recto, en mayor o menor medida, son aplicables a las de eje curvo.

En lo referente al calculo de solicitaciones, se pueden usar todas las herramientas disponibles para el análisis de estructuras de barras, como modelos matemáticos de elementos finitos (Programas de pórticos y emparrillados planos, pórticos espaciales, etc.) con la única precaución de dividir la viga en un numero de elementos tal que cada uno de ellos no sea muy distinto de una barrita recta.

Si disponemos de programas de pórticos y emparrillados planos, que en la actualidad son muy accesibles, podremos resolver las solicitaciones para todos aquellos casos en que el eje de la viga se encuentra contenido en un plano, ya que cualquier estado de cargas (espacial) puede ser descompuesto en dos estados, uno de cargas contenidas en el plano mencionado y otro normal al mismo. En aquellos casos en que la trayectoria del eje sigue una curva espacial cualquiera, por ejemplo un helicoide, podremos utilizar un programa de pórticos espaciales.

Aparecen sí diferencias importantes en las tensiones cuando el radio de curvatura es chico respecto de la altura de la sección, estos casos se conocen como de gran curvatura, y para dar un limite diremos que en general cuando la relación r/h < 5 se deberá hacer el estudio considerando la pieza de gran curvatura y para los casos en que r/h > 10 se podrá usar la teoría de eje recto pues las diferencias son menores al 1 %.

Como ejemplo de vigas de gran curvatura podemos citar el caso de eslabones de cadena, ganchos de grúa, etc.

Para facilitar el análisis, estudiaremos solo aquellas vigas cuyo eje este contenido en un plano, y de este modo cualquier estado de cargas actuante lo podremos descomponer en:

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I. Un estado de cargas contenidas en el plano. II. Un estado de cargas perpendiculares al plano.

Para cada caso dividiremos el estudio en tres partes. a) Calculo de solicitaciones. b) Análisis de las tensiones. c) Análisis de las deformaciones.

2) VIGAS CURVAS CON CARGAS CONTENIDAS EN EL PLANO.

2.1) CALCULO DE SOLICITACIONES

Cuando tanto el eje de la viga como las cargas están contenidas en un mismo plano xy, y además uno de los ejes principales de inercia esta en dicho plano, la viga después de deformada seguirá estando en el mismo y los esfuerzos que puedan existir son:

• Momento flector Mz • Esfuerzo axial Nz • Esfuerzo de corte Qy

La convención de signos será la siguiente:

o

Φ

R

Nx Nx

Qy Qy

Mz Mz

Lado cóncavo

Lado convexo

R

• Mz (+): Si tracciona las fibras del lado convexo • Nx (+): Si tracciona el elemento • Qy (+): Si tiende a producir un giro horario

Para la determinación de los esfuerzos característicos se pueden seguir dos

caminos.

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a) Determinando el valor por puntos en un numero de secciones determinado por definición.

b) Plantando y resolviendo las ecuaciones diferenciales que ligan los esfuerzos con las cargas externas.

En general resulta más sencillo resolver por secciones, aunque daremos las indicaciones para poder abordar por cualquiera de los dos caminos. a) Por definición:

Se consideran todas las cargas que quedan a la derecha o a la izquierda de la sección en análisis según convenga, y se reducen a una resultante con un par resultante en la sección.

El momento flector es el par (producto de las fuerzas por las distancia correspondientes).

El axial y el corte surgen de la proyección de la resultante según la tangente la normal al eje de la pieza en esta sección. Ejemplo:

P

P

Φ

Φ

B

A Q

N

Φ⋅−= senPNB

Φ⋅= cosPQB Φ⋅⋅= senRPM B

b) Por ecuaciones:

Su estudio para este curso no es obligatorio, para aquellos alumnos que tengan interés en profundizar el análisis se pueden remitir al Anexo 1.

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2.2) ANALISIS DE LAS TENSIONES

2.2.1) GENERALIDADES Y DISTRIBUCION DE TENSIONES

Veremos a continuación qué efecto produce la curvatura de la pieza sobre la distribución de tensiones normales en una sección transversal de una viga sometida a un momento flector.

Admitimos que siguen teniendo validez las hipótesis de Bernoulli-Navier respecto

de las secciones planas (las secciones que son planas antes de la deformación, después de haberse producida la misma se siguen manteniendo planas) y por lo tanto las deformaciones δds de cada fibra son proporcionales a la distancia que las separa del eje neutro.

Hasta acá aparentemente no nos apartamos del análisis para vigas de eje recto.

La diferencia radica en que la longitud inicial de cada fibra es distinta, y por ende

la deformación específica dsdsδ=ε no es igual para las fibras ubicadas hacia el lado

cóncavo o convexo, aunque estén a igual distancia del eje neutro.

Las tensiones normales E⋅ε=σ ya no son directamente proporcionales a la distancia a la fibra neutra.

Como consecuencia de lo expuesto, las fibras que se ubican hacia el centro de

curvatura (lado cóncavo de la pieza) tendrán una mayor deformación especifica ε dado que tienen una menor longitud inicial ds, lo que genera un incremento en las tensiones normales (concentración de tensiones), inversamente ocurre con las fibras que están hacia el lado convexo, donde las tensiones disminuyen.

dsdsΔ

=ε

21 dsds Δ=Δ 21 dsds <

2121 σσεε >∴>

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Como en flexión simple los volúmenes de tensiones de tracción y compresión deben ser iguales para que haya equilibrio, el eje neutro ya no será baricéntrico, desplazándose hacia el lado cóncavo.

A medida que el radio de curvatura crece respecto de la altura h de la pieza, la curvatura disminuye atenuándose el efecto de concentración de tensiones, el comportamiento se asemeja cada vez mas al de una pieza de eje recto, y el análisis por uno u otro camino no difiere demasiado cuando la relación 10h

R > .

Este efecto de concentración llega a su máximo en al caso de quiebres bruscos,

tal el caso de esquinas de pórticos donde el radio R = 0 en su cara interna, o el extremo de fisuras.

Para disminuir este efecto se puede redondear los quiebres, tratando de que el radio R tenga un valor mayor.

M M

Incorrecto Correcto M M

R = 0 σ → ∞ R ≠ 0

Para ver como es la ley de variación de las tensiones, tomamos un elemento de viga (arco de radio R y ángulo dΦ) que sufre una deformación δdΦ.

Aunque el radio R de la pieza fuese variable punto a punto (por ejemplo una espiral logarítmica) el análisis que haremos sigue teniendo validez ya que en el elemento diferencial se puede suponer que el radio vale r y es constante.

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Eσ = ε ⋅ dx ydxo ddx dxδ

ε = = δ + ⋅δ Φ

dx (R y) d= + ⋅ Φ dxodxo R d dR

= ⋅ Φ⇒ Φ =

Reemplazando en ε:

0 0dx y d y 1 d(R y) dxo / R (R y) d 1 y / R R (1 y / R) d

δ εδ Φ δ Φε = + ⋅ = + ⋅ ⋅

+ ⋅ + Φ + + Φ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΦΦδ

⋅+⋅ε−⋅ε+ε⋅+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΦΦδ

⋅+ε⋅+

=εdd

Ry

Ry

Ry

)Ry1(

1dd

Ry

)Ry1(

10000

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

ΦΦδ

⋅+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅ε⋅

+=ε 00 d

dRy

Ry1

)Ry1(

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

ΦΦδ

⋅+

+ε=ε 00 dd

yRy (1)

Analizaremos ahora el caso en que la sección esta sometida a un momento

flector y a un esfuerzo axial (M y N) externos. Estas acciones externas deben estar en equilibrio con la reacción interna

manifestada a través de un determinado estado de tensiones, debiéndose cumplir:

∫ =⋅σ NdA ∫ =⋅⋅σ MdAy

∫ ∫ ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

ΦΦδ

⋅+

⋅+⋅ε⋅= dAdd

yRyEdAEN 00

∫ ∫ ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

ΦΦδ

⋅+

⋅+⋅⋅ε⋅= dAdd

yRyEdAyEM 0

2

0

O sea:

∫ ⋅+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

ΦΦδ

⋅+⋅ε⋅= dAyR

yddEAEN 00

∫ ∫ ⋅+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

ΦΦδ

⋅+⋅⋅ε⋅= dAyR

yddEdAyEM

2

00

Teniendo en cuenta que ∫ =⋅ 0dAyY que:

∫∫ ∫ ∫ ∫ ⋅+

⋅−=⋅+⋅

−⋅++⋅

=⋅+

⋅−⋅+=⋅

+dA

yRyRdA

yRyRdA

yR)yR(ydA

yRRyRyydA

yRy 22

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Si llamamos Z a:

∫ ⋅+

⋅−

= dAyR

yA1Z

Reemplazando en las ecuaciones de N y M, se obtiene:

)ZA(ddEAEN 00 ⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

ΦΦδ

⋅+⋅ε⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

ΦΦδ

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

ΦΦδ

⋅= 00 ddZARE)ZAR(

ddEM

ZRAEM

dd

0 ⋅⋅⋅=ε−

ΦΦδ (2)

RMAE

ZRAEMZAEAEN 00 −⋅ε⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅ε⋅=

Entonces:

AE1

RMN0 ⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ε (3)

Si sustituimos las ecuaciones 2 y 3 en la 1, teniendo en cuenta además que

tenemos: E⋅ε=σ

ZRAEM

yRyE

AE1

RMNE

⋅⋅⋅⋅

+⋅+

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=σ

Que reordenada es la Fórmula de GRASHOF o de WINKLER

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+⋅⋅

+=yR

yZRA

MAN 11σ

En la fibra baricéntrica tenemos y = 0 resultando:

RAM

AN

g ⋅+=σ

yR

yZRA

Mg +

⋅⋅⋅

+σ=σ

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2.2.2) CALCULO DE Z:

Recordemos que ∫ +⋅

−= dA

yRy

AZ 1

1) SECCION RECTANGULAR:

R y

dy

h/2 h/2

b dA

Y(-) Y(+)

( )

2hR

2hR

lnhR1Z

yRlnhb

bR1dy

yRb

AR1Z

dAyR

1RAA1dA

yRRRy

A1dA

yRy

A1Z

2h

2h

−

+⋅+−=

+⋅⋅+−=+

⋅+−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⋅−⋅−=+−+

⋅−

=+

⋅−

=

−∫

∫ ∫∫

Veamos la influencia de la relación R/h (curvatura) en las tensiones:

R/h Z 0.51 1.3537110.75 0.2070781 0.0986123 0.0094175 0.00335310 0.000835

Con estos valores construiremos una tabla de comparación con los resultados

obtenidos por aplicación de la teoría de eje recto.

Para comparar supongamos que se trata de un caso de flexión simple (N = 0).

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⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+⋅⋅

=yR

yZRA

M 11σ Z1

RZy+

⋅−=

Coeficiente * M/bh

Eje curvo Eje recto R/h yn/h yn (% de h) σ int. σ ext. σ int. σ ext. 0,51 -0,2933 29,3 -70,46 2,68 -6 6 0,75 -0,1287 12,9 -11,54 3,91 -6 6

1 -0,0898 9 -9,14 4,38 -6 6 3 -0,028 2,8 -6,75 5,39 -6 6 5 -0,0167 1,7 -6,43 5,62 -6 6

10 -0,0083 0,8 -6,21 5,81 -6 6

Como puede observarse en el ejemplo anterior, para relaciones R/h > 10 la diferencia en las tensiones según se calcula por uno u otro método es insignificante.

2) SECCIONES COMPUESTAS:

R

y0

G

0 1 2

3 4

y1 y2

y3

y4

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++

++

++−=

+−= ∫∫∫∫

6

556

2

112

1

001 yR

dybyR

dybyR

dybAR1dA

yRy

A1z K

Como:

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++=

+ i

i

yR1yRln

yRdy

Entonces:

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++⋅⋅+−= +

n

0 i

i1i,i yR

1yRlnbAR1Z

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Con esta ecuación se puede calcula Z para cualquier sección que se pueda descomponer en trapecios.

2.2.3) VALIDEZ DE LA FORMULA DE GRASHOF EN SECCIONES T y I:

En el caso de secciones tipo T, I o similares la hipótesis de mantenimiento de las secciones planas después de la deformación ya no es tan cierta puesto que las alas tienden a girar alrededor de su propio eje neutro, este efecto se hace mas considerable si el ala es relativamente gruesa.

Cuando las alas son muy delgadas, las que corresponden al cordón comprimido tienden a alejarse del centro de curvatura y las traccionadas a acercarse. Este efecto trae como consecuencia una disminución de las tensiones hacia los bordes y el consecuente aumento en la unión con el alma. Esto no lo contemplan las fórmulas y pueden traer como consecuencia errores considerables en el cálculo de las tensiones.

Para evitar roturas generadas por este efecto generalmente se disponen refuerzos soldados o remachados.

En el caso de alas delgadas las tensiones normales (circunferenciales) actuantes en las mismas generan un tensión radial que puede ser muy importante y que provoca una deformación en las alas, lo que hace que la longitud (ds = R*dФ) de dos fibras, ambas pertenecientes al ala, una cerca y otra lejos del alma, sea diferente y por ende también lo serán las deformaciones específicas y las tensiones normales.

Cuando las alas son de gran espesor, además del giro producido alrededor del eje neutro de toda la sección, cada una tiende a girar sobre su propio eje provocando un incremento en las tensiones normales calculadas con las ecuaciones de Grashof.

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2.2.4) TENSIONES RADIALES:

Si se toma un elemento de barra curva sometido a momento flector M, aparecen tensiones circunferenciales que pueden ser calculadas aplicando la fórmula de Grashof.

Si ahora tomamos una rebanada de este elemento, para que exista el equilibrio

en dirección del radio necesariamente aparecen las tensiones radiales, que en los bordes serán nulas salvo que existan cargas externas y crecen hacia el centro.

Cuando la sección es maciza los niveles de estas tensiones σr no son muy

importantes, pero en secciones del tipo T, I o similares adquieren valores significativos en el alma y si no se toman los recaudos correspondientes pueden desestabilizar la misma provocando la rotura de la pieza.

Para calcular σr planteamos el equilibrio en dirección radial:

Fuerza circunferencial actuante sobre la parte rayada

∫−

⋅σ=y

c

dAT

La fuerza debida a las tensiones radiales en la cara R+y es:

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td)yR(Fr r ⋅Φ⋅+⋅σ=

Donde t es el espesor de la viga a la distancia y del C.G.

Si ahora planteamos el equilibrio según la bisectriz de la pieza:

∫− ⋅σ⋅Φ=Φ⋅=Φ⋅⋅=⋅Φ⋅+⋅σy

cr dAddT)2d(senT2td)yR(

Luego:

tyR

dAy

cr ⋅+

⋅=∫−

)(

σσ

Recordemos la expresión de Grashof para el cálculo de σ:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+⋅⋅

=σyR

yZ11

RAM

∫∫∫−−− +

⋅⋅

⋅⋅+⋅

⋅=⋅σ=

y

c

y

c

y

c yRdAy

ZRAMdA

RAMdAT

Si llamamos Z´ a:

∫− +

⋅⋅

−=

y

c yRdAy

A1´Z

Tendremos que:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

−+=Z´Z1

ARÁM

ZAR´ZÁM

AÁ

RMT

Finalmente

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

⋅+⋅⋅=σ

Z´Z1

t)yR(1

AÁ

RM

r

Esta ecuación da valores suficientemente exactos para el alma de perfiles tipo T

o I aun cuando la ecuación de σ circunferencial no es exacta en estos casos. La presencia de una fuerza axial N no altera los valores de σr ya que N se

equilibra con Q.

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2.3) ANALISIS DE DEFORMACIONES:

En general el cálculo de deformaciones en piezas de eje curvo puede hacerse aplicando los mismos criterios que en vigas de eje recto, pues salvo en los casos de muy fuerte curvatura no existen diferencias apreciables entre una y otra forma de calcular, por otro lado, con teoría de eje recto se obtienen valores del lado de la seguridad.

Para el cálculo haremos uso del Teorema de Castigliano que expresa “En un cuerpo elástico en equilibrio sometido a un sistema de fuerzas cualquiera, el desplazamiento de un punto donde actúa una fuerza, en la dirección de la fuerza, está dado por la derivada parcial de la energía de deformación respecto de dicha fuerza”.

PAi

P ∂∂

=δ

Veamos ahora cómo se expresa la energía interna en función de los esfuerzos

característicos. a) Esfuerzo axial (N):

o

N N

ds La fuerza axial N provoca un giro de una sección respecto de otra alrededor del centro O, por lo que todas las fibras tienen la misma deformación especifica ε.

A

N=σ

La energía interna de deformación viene dada por:

dsAE

N21dsA

EAN

21dsA

E21dsA

21dAN

2

2

22

⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅σ⋅=⋅⋅ε⋅σ⋅=

Entonces:

∫ ⋅⋅

⋅= dsAE

N21AN

2

b) Esfuerzo de corte (Q): Análogamente al esfuerzo axial, la energía interna debida al esfuerzo de corte es:

∫ ⋅⋅

⋅⋅= dsAG

QAQ2

21 χ

Donde χ es un coeficiente de forma que depende de la forma de la sección, para secciones de tipo rectangular χ = 1,2.

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c) Momento flector: Para el cálculo de la energía interna provocada por el momento flector haremos uso del Principio de los Trabajos Virtuales, que en su forma más general nos dice que en una estructura sometida a un sistema de fuerzas en equilibrio, para una deformación virtual cualquiera, el trabajo exterior es igual al trabajo interno. Para un elemento ds:

Φδ⋅⋅= dM21Ae

Siendo δdФ el giro de las secciones. Recordando la ecuación:

ZRAEM

dd

0 ⋅⋅⋅=ε−

ΦΦδ

Y siendo ε , para N=0: 0

RAEM

0 ⋅⋅=ε

Reemplazando se obtiene:

( )Z1ZRAE

MZ11

RAEM

dd

+⋅⋅⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

⋅⋅=

ΦΦδ

Entonces:

( )RdsZ1

ZRAEM

21dM

21dAM

2

⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅=Φδ⋅⋅=

Si tenemos en cuenta que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+⋅⋅

=σyR

yZ11

RAM

Y calculamos la ubicación del eje neutro y0 para lo cual hacemos σ=0 ya que en el eje neutro la tensión es nula.

00

0

0

0

0

yyZRZyR

yZ11

0yR

yZ11

−=⋅+⋅+

⋅−=

=+

⋅+

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Z1RZy0 +⋅

−=⇒

Dejando de lado el signo de y0, la expresión de la energía interna queda dada

por:

∫ ⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅=

dsyRAE

M21AM

dsyRAE

M21dAM

0

20

2

h4R ⋅≥Cuando la ecuación usada para eje recto no introduce mayores errores

y en el cálculo de la energía de deformación por flexión se puede usar teoría de eje recto.

Si actuasen simultáneamente M y N aparece un trabajo recíproco de

deformación AMN, ya que como se vio, M provoca una deformación ε0 a nivel del eje neutro.

Supongamos que actúa primero N y luego M, esta última provoca un

desplazamiento del punto de aplicación de N en el valor ε ·ds, siendo: 0

RAEM

0 ⋅⋅=ε

Entonces:

dsRAE

NMdAMN ⋅⋅⋅⋅

=

Y la energía total de deformación es:

∫ ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅= ds

yRAENM

21AMN

0

La expresión que nos da la energía total de deformación para una pieza de eje

curvo es la siguiente:

∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅

⋅= dsRAE

NMdsyRAE

MdsAG

QdsAE

NA0

222

21

21

21 χ

Para obtener el desplazamiento buscado, haremos:

PA∂∂

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Por el Principio de los Trabajos Virtuales:

dsGA

QQdsEANNds

EJMM

∫∫∫ ++= χδ Para R/h > 4

Y

dsEAR

MNdsEAR

NMdsEARy

MMdsGA

QQdsEA

NN∫∫∫∫∫ ++++=

0

χδ Para R/h < 4

En donde las integrales deben resolverse con la ley de variación de los esfuerzos. 3) VIGAS DE EJE CURVO CON CARGAS NORMALES AL PLANO

3.1) INTRODUCCION: Algunos de los casos en los que aparecen este tipo de vigas son los siguientes: a) arandelas a presión:

b) vigas anillo:

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c) vigas balcón:

En todos los casos las cargas son siempre perpendiculares al plano que contiene a la viga. Estas cargas hacen que la viga se deforme y el eje se salga de su plano original, pero no se aparta de la superficie cilíndrica de origen, que tiene como directriz a la viga en cuestión. --- luego de deformada

Ningún punto sufre desplazamientos en el plano del eje, todos permanecen en la superficie cilíndrica. Tampoco existen giros contenidos en el plano.

3.2) ESFUERZOS EXISTENTES Y CONVENCION DE SIGNOS: De lo expuesto anteriormente podemos concluir en lo siguiente: a) El eje de la pieza no cambia de longitud, por lo tanto no hay deformaciones según el eje x, luego: Nx=0 b) Al no haber desplazamientos en el plano de la viga, la deformación según y es nula (δy=0), luego: Qy=0 c) Al no haber rotaciones según ejes normales al plano de la pieza, el giro según z es nulo (φ =0), luego: z Mz=0 De los seis esfuerzos posibles en el espacio, quedan solo tres, a saber:

0Q0M0M

Z

Y

X

===

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Mx: momento torsor; (+) si el vector Mx sale de la sección. My: momento flector; (+) si tracciona las fibras inferiores. Qz: corte; (+) sobre la cara derecha hacia abajo, y sobre la cara izquierda hacia arriba, el elemento siempre se mira desde el centro de curvatura.

3.3) ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS: Se trata de encontrar las ecuaciones que ligan les esfuerzos característicos entre sí y con las cargas externas. Se analiza un elemento de viga sometido a una carga q(z).

o

dΦ

R

Mx Mx + dMx

Qz

My My + dMy

RdΦ/2

D

dΦ/2

Qz + dQzq

dΦ

dΦ

D: baricentro de la carga

2

2φ

φ

d

dsenROD

⋅=

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a) Proyección de momentos sobre My:

( ) ( ) ( ) 0dsenRdQzQz2dsenODdrqdcosdMyMydsendMxMxMy =φ⋅⋅+−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ φ⋅⋅φ⋅⋅+φ⋅+−φ⋅++

Considerando que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≈χ⋅χ≈φ

φ≈φ

0dd1dcosddsen

(producto de diferenciales)

0dRQzdMydMx ≈φ⋅⋅−−φ⋅⇒

RQzMxd

dMy⋅−=

φ (I)

b) Proyectando en dirección de Mx:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

0dMydMx2dcosODRdRq

dcos1RdQzQzdsendMyMydcosdMxMxMx

≈φ⋅+−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ φ⋅−⋅φ⋅⋅+

+φ−⋅⋅+−φ⋅+−φ⋅+−

Myd

dMx−=

φ (II)

c) Sumatoria de fuerzas sobre Z:

0dQzQzdRqQz =++φ⋅⋅−−

Rqd

dQz⋅=

φ (III)

Derivando la ecuación (I) respecto de φ, y reemplazando (II) y (III), resulta:

φ⋅−

φ=

φ ddQzR

ddMx

dMyd

2

2

Despejando y reemplazando:

22

2

RqMyd

Myd⋅−=+

φ (IV)

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3.4) ANÁLISIS DE LAS DEFORMACIONES: 3.4.1) Nuevamente se hace uso del Teorema de Castigliano, que dice: la derivada de la energía interna de deformación (A) con respecto a una carga Pi da como resultado el desplazamiento del punto de aplicación de la carga, en la dirección de la carga.

ii P

A=δ

Teniendo en cuenta los esfuerzos que pueden actuar, la energía interna estará compuesta por un término debido al corte (Qz), otro debido al momento torsor (Mx) y un tercer término debido al momento flector (My).

( ) ∫ ⋅⋅

⋅⋅= dsAG

QzQzA2

21 χ1)

χ: coeficiente de forma que depende de la sección: -sección rectangular: χ = 1.2

almathArea⋅

=χ -sección tipo doble T: (talma = espesor alma)

-sección tipo anular: χ = 2

( ) dsJyE

My21MyA

2

⋅⋅

⋅= ∫2)

( ) ∫ ⋅⋅= dsC

MxMxA2

213) donde: C=G·Jp rigidez torsional

dsEJyMyds

CMxds

AGQzA ∫∫∫ ++⋅

=222

21

21

21 χ

En general la influencia de la deformación por corte puede despreciarse frente a las otras.

3.4.2) Es aplicable también para el cálculo de deformaciones, el Principio de Trabajos Virtuales:

dsGA

zQQzdsC

xMMxdsEJy

yMMy∫∫∫ ++= χδ

En donde las integrales deben resolverse con la ley de variación de los esfuerzos.

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Anexo A:

Cálculo de solicitaciones por ecuaciones diferenciales: (cargas en el plano de la viga)

Para hacer el análisis aislamos un elemento de viga de radio R y longitud ds con un ángulo dφ y le colocamos a este elemento, además de las cargas externas, las acciones que le transmite el resto de la viga para que no se alteren las condiciones de equilibrio y hacemos un planteo de las ecuaciones. o

dΦ

R

Nx + dNx Nx

Qy + dQy Qy

Mz + dMz Mz

R

q

P

dΦ/2

p y q son cargas exteriores por unidad de longitud, actuantes en el tramo de longitud ds. P tiene dirección radial, como si fuera una presión y q tiene dirección angular.

ds

1) Proyección de fuerzas según la bisectriz de dφ:

( ) ( )d d dp R d Qy cos Qy dQy cos N sen N dN sen 02 2 2φ φ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ φ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d2φ

p R d dQy N d 0⋅ ⋅ φ − + ⋅ φ = (1)

2) Proyección de fuerzas según la normal a dicha bisectriz:

( ) ( )d d dq R d Qy sen Qy dQy sen N cos N dN cos 02 2 2φ φ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ φ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d2φ

q R d Qy d dN 0⋅ ⋅ φ + ⋅ φ+ = (2)

3) Sumatoria de los momentos respecto de O:

( ) ( )2q R d N R N dN R Mz Mz dMz 0⋅ ⋅ φ − ⋅ + + ⋅ − + + =

2q R d dN R dMz 0⋅ ⋅ φ + ⋅ + = (3) Reordenando las ecuaciones 1, 2 y 3, se obtiene el siguiente grupo de tres ecuaciones:

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2

dQy N p R (I)d

dN Qy q R (II)ddMz dNR q R (d d

⎧− = ⋅⎪ φ⎪

⎪+ = − ⋅⎨ φ⎪

⎪+ ⋅ = − ⋅⎪

φ φ⎩

III)

Despejando (II) y reemplazando en (III):

( ) 2dMz R q R Qy q Rd

+ ⋅ − ⋅ − = − ⋅φ

De donde se obtiene:

1 dMz QyR d⋅ =

φ (IV)

Teniendo en cuenta que R d ds⋅ φ = resulta la misma relación entre el momento

flector y el corte (recordar dM Qdx = ) que en vigas de eje recto. Esto permite, entre

otras cosas, el control del diagrama de momentos (pendientes) con el valor del corte. Si se deriva la ecuación (I) respecto de φ, se obtiene:

2

2

d Qy dN dp Rd d d

− = ⋅φ φ φ

De la ecuación (II) se tenía:

dN= − q R Qy

d⋅ −

φ

2

2

d Qy dpQy R qd d

⎛ ⎞+ = ⋅ +⎜φ φ⎝ ⎠

⎟ (V)

Si ahora se deriva (IV) respecto de φ dos veces:

φφ ddQy

dMzd

R=⋅ 2

212

2

3

31φφ dQyd

dMzd

R=⋅

Reemplazando en la (V)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=+ q

ddpR

ddMz

dMzd

φφφ2

3

3

(VI)

Que nos da las relaciones de los esfuerzos característicos entre ellos y con las cargas externas.

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vigas con eje curvo

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