fisica unidad 1 uigv a distancia

Facultad de Ingeniera de Sistemas, Cmputo y Telecomunicaciones

Sistema a Distancia

FSICA I

OSCAR MONROY CRDENAS

2009

Fsica I - Unidad I Oscar Monroy Crdenas

1 Sistema a Distancia

UNIDAD I

LECCIN 1: CANTIDADES FSICAS

Este captulo debe comprenderse como un tema introductorio a partir del cual se trata de explicar sucintamente el significado de la fsica como ciencia fundamental. Se estudia los conceptos de cantidad fsica y cantidad fsica derivada. Finalmente usando la teora del anlisis dimensional se examinan las dimensiones de las cantidades que intervienen en las leyes fsicas. Mediante el principio de homogeneidad dimensional.

1.1. Qu es la Fsica?

La fsica es la ciencia ms fundamental que se ocupa de la comprensin y descripcin de los fenmenos naturales mediante principios que son compatibles con el funcionamiento de los sistemas naturales. El lenguaje de la fsica es la matemtica. Los principios fsicos (que son proposiciones lgicas referidas al funcionamiento de los sistemas naturales) se pueden expresar en palabras, pero se establecen con mayor claridad y exactitud usando las matemticas.

1.2. Por qu medimos en la fsica?

La medicin es una tcnica que inventamos para expresar en nmeros una propiedad fsica de un sistema como resultado de compararla con la escala de un instrumento de medida diseado para tal propsito. Las cantidades fsicas que se asignan a una propiedad fsica constituyen un lenguaje que utilizamos para relacionarlas matemticamente y cuantificarlas. Por ejemplo, los latidos del corazn o las pulsaciones son propiedades fsicas que les pertenecen exclusivamente a los sistemas biolgicos; la cantidad fsica asignada para medir el nmero de latidos o pulsaciones por unidad de tiempo se llama frecuencia. Al intervalo que se observa entre una pulsacin y otra consecutiva se le asocia una cantidad fsica llamada intervalo de tiempo, y para medirlo, se invent el reloj, disendose en l una escala de longitudes que permite expresar en nmeros dicha propiedad fsica.

Las mediciones se expresan en unidades convencionales. A un conjunto de unidades estndar se les llama sistema de unidades. En la actualidad el sistema de unidades predominante en el mundo es el sistema mtrico. La versin modernizada del sistema mtrico (MKS) se denomina Sistema Internacional de Unidades (SI).

Existe una tercera pregunta fundamental: cul es el propsito de la fsica? Esta pregunta no puede ser contestada en nuestro estado actual de conocimientos. Sin embargo, parece estar ntimamente relacionada con el propsito del cosmos, donde est implcito el lenguaje intrnseco de la naturaleza. La bsqueda de este lenguaje es en realidad el objetivo primordial de la fsica actual y nos conducira hacia la verdadera unificacin de la fsica.



1.3. El Sistema Internacional de Unidades (S.I).

El 31 de diciembre de 1982, el Per adopt el S.I. (ley No 23560) como sistema legal de unidades para las medidas.

El S.I. consta de siete cantidades fundamentales, las cuales se describen en la Tabla adjunta.

Cantidad Fundamental Dimensin Nombre de la unidad

Smbolo

Masa M kilogramo kg Tiempo T segundo s

Intensidad de corriente elctrica I ampere A Temperatura termodinmica kelvin K

Cantidad de sustancia N mol mol Intensidad luminosa J candela cd

En el apndice A se describen estas cantidades fundamentales, as como las unidades complementarias y sus significados.

Cuando los nmeros que expresan mediciones son muy grandes o muy pequeos se utilizan prefijos como unidades en el S.I. (vase la tabla adjunta).

Prefijo Smbolo Significado Ejemplo Tera- T 1012 1 Termetro (Tm) 1 1012 m Giga- G 109 1 Gigmetro (Gm) 1 109 m Mega- M 106 1 Megmetro (Mm) 1 106 m Kilo- k 103 1 kilmetro (km) 1 103 m Deci- d 10-1 1 decmetro (dm) 1 10-1 m Centi- c 10-2 1 centmetro (cm) 1 10-2 m Mili- m 10-3 1 milmetro (mm) 1 10-3 m

Micro- 10-6 1 micrmetro (m) 1 10-6 m Nano- n 10-9 1 nanmetro (nm) 1 10-9 m Pico- p 10-12 1 picmetro (pm) 1 10-12 m

* OBSERVACIN:

Una cantidad fsica fundamental es aquella que se define de manera completamente independiente basndose en un patrn natural (ver Apndice A). Por el contrario, una cantidad fsica derivada es aquella que se define en trminos de una o ms cantidades fsicas fundamentales.

1.4. Anlisis Dimensional.

Es un procedimiento que permite comprobar la consistencia dimensional de cualquier ecuacin.



1.4.1. Ecuacin dimensional.

Es una igualdad que exhibe las dimensiones de las cantidades fundamentales de un sistema de unidades. Es de la forma

[X] = La Mb Tc ...

[X]: se lee "dimensin de X" a, b, c, ...: Nmeros enteros o fracciones de enteros

1.4.2. Propiedades.

[ ] 1realnmero = , [ ] [ ] [ ]yxyx = , [ ][ ]yx

yx

=

[ ] [ ]xxc = , (c: nmero real) [ ] [ ]nn xx = , [ ] [ ] [ ]nnn yxyx ==

1.4.3. Principio de homogeneidad dimensional.

"Todos los trminos de una ecuacin que representa una ley fsica son dimensionalmente iguales".

Por ejemplo, supongamos que una ley fsica est expresada por la ecuacin

v = vo + a t,

donde vo, v: velocidades, a: aceleracin y t: tiempo. Entonces el principio de homogeneidad exige que:

[v] = [vo] = [a t]

1.4.4. Dimensiones de algunas cantidades derivadas.

[rea] = [largo] [ancho] = L L = L2

[volumen] = [largo] [ancho] [altura] = L L L = L3

[velocidad] = [ ][ ]tiempoentodesplazami

=

TL

= L T-1

[aceleracin] = [ ][ ]tiempovelocidad

=

TLT 1

= L T-2

[fuerza] = [masa] [aceleracin] = M L T-2



[presin] = [ ][ ]reafuerza

= 2

2

LMLT

= M L-1 T-2

[trabajo] = [fuerza] [distancia] = M L T-2 L = M L2 T-2

[densidad] = [ ]volumenmasa

= 3LM

= M L-3

Ejemplo 1.1: Dadas las siguientes ecuaciones:

(I) F t = 2 E/v, (II) m = ( )2o

cv1

m

, (III) E = m g

+

2at1

2

,

donde mo, m: masas, F: fuerza, t: tiempo, E: energa, v, c: velocidades y a, g: aceleraciones.

a) Examinar si las ecuaciones dadas son dimensionalmente correctas. b) Indicar las ecuaciones incorrectas y explicar por qu. c) Reformule las ecuaciones incorrectas de modo que sean dimensionalmente correctas.

Resolucin:

a) Aplicando el principio de homogeneidad y las propiedades de las ecuaciones dimensionales:

(I) [ F t ] = [ F ] [ t ] = (M L T-2) T = M L T-1

v

E2 =

[ ][ ]vE

= 1

22

LTTML

= M L T-1

[ F t ] =

v

E2 = M L T-1

Por tanto, la ecuacin (I) es correcta.

(II) [ m ] = M

( )

2o

c/v1m

= [ ]

2

o

c

v1

m=

1M

= M



[ m ] = ( )

2o

c/v1m

= M

Por tanto, la ecuacin (II) es correcta.

(III) E = m g

+

2ta1

2

= m g + m g 2ta 2

,

[ E ] = M L2 T-2, [ m g ] = M L T-2

2ta

mg2

= [ m g ] [ a ] [ t ]2 = (M L T-2) ( L T-2) T2 = M L2 T-2

Por tanto, la ecuacin (III) es incorrecta.

b) La Ec.(III) es incorrecta, porque no se verifica el principio de homogeneidad dimensional.

[ E ] =

2at

mg2

[ m g ],

c) Para que la Ec.(III) sea dimensionalmente correcta, se reescribe:

E = m g

+

2atb

2

donde:

[ b ] =

2ta 2

= [ a ] [ t ]2 = ( L T-2 ) T2 = L

Ejemplo 1.2: Un cuerpo se mueve en una trayectoria rectilnea de acuerdo a la ley: v = a + bt + ct2, donde v: velocidad y t: tiempo.

a) Hallar las dimensiones de los coeficientes a, b y c. b) Cules son las unidades de a, b y c en el SI ? c) Tienen significado fsico los coeficientes a, b y c?

Resolucin:

a) De acuerdo al principio de homogeneidad:

[ a ] = [ v ] = LT 1



[ b ] [ t ] = [ v ] [ b ] = [ ][ ] TTL

tv 1

= LT 2

[ c ] [ t ] 2 = [ v ] [ c ] = [ ][ ] 21

2 TTL

tv

= = LT 3

b) Unidad de a : ms 1 o m/s Unidad de b : ms 2 o m/s2 Unidad de c : ms 3 o m/s3

c) [ a ] = [ v ] : velocidad

[ b ] = [ ][ ]tiempovelocidad

: aceleracin

[ c ] = [ ][ ]tiemponaceleraci

: no tiene significado

Ejemplo 1.3: Las frecuencias de vibracin de una cuerda dependen de la fuerza F aplicada, de la masa por unidad de longitud y de su longitud l.

a) Utilizando el anlisis dimensional, hallar la ecuacin respectiva. b) Interprete la ecuacin obtenida. c) Si las cantidades y l permanecen constantes, cmo debe cambiar el valor

de la fuerza aplicada a la cuerda para que la frecuencia se duplique?

Resolucin:

a) Segn el enunciado se plantea la ecuacin:

f = k Fx y lz, (1)

donde k es una constante dimensional.

Aplicando el principio de homogeneidad:

[ f ] = [ F ] x [ ] y [ l ] z

T 1 = (MLT 2) x (ML 1) y Lz = (MxLxT 2x) (My L-y) Lz

Reescribiendo:

M0 L0 T1 = Mx+y Lx-y+z T2x

Comparando:

M0 = Mx+y x + y = 0 (2)



L0 = Lx-y+z x - y + z = 0 (3)

T-1 = T-2x - 2x = -1 x = 21

Insertando en (2):

21

+ y = 0 y = - 21

En la ecuacin (3):

21

21

+ z = 0 z = - 1

La ecuacin buscada es:

f = k F1/2 -1/2 l -1

O tambin:

f = F

lk

b) Para una longitud l fija; a mayor fuerza, mayor ser la frecuencia de vibracin y viceversa. Es decir:

f F1/2

Para una fuerza F constante; a mayor longitud de la cuerda, menor ser la frecuencia de vibracin y viceversa. Es decir:

f l1

c) Inicialmente: f = F

lk

Finalmente:

f = F

lk

= 2 f

Combinando estas ecuaciones se obtiene:

F = 2 F



De donde

F = 4 F

Por tanto, la fuerza aplicada a la cuerda se cuadriplica.

Ejemplo 1.4: Hallar las dimensiones de cada una de las cantidades desconocidas en las siguientes ecuaciones dimensionalmente correctas:

a) a = k d c2, donde a: aceleracin, d: distancia y c: velocidad.

b) P = P0 R

mg

TZ1

, donde P, P0: presiones, Z: distancia,

T: temperatura termodinmica, m: masa y g: aceleracin.

c) x2 = KE

+ K

KA--E2 cos

t

m

K2 +

pi

4,

donde x: distancia, m: masa y t: tiempo.

Resolucin:

a) Utilizando el principio de homogeneidad:

[ a ] = [ k ] [ d ] [ c ]2 [ k ] = 2]c[]d[]a[

[ k ] = 3212

LL

)LT()L(TL

=

= L2

b) Las cantidades desconocidas son y R.

Tz

= 1 [ ] = ]z[]T[ =

L

[ ] = L1

Rmg

= 1 [ R ] = ][]g[]m[

[ R ] =

1

2

L)LT()M(

[ R ] = ML2 T 2 1

c) Las cantidades desconocidas son K, E y A.

t

m

K2 = 1 2/12/1

]m[]K[

[ t ] = 1



[ K ] = 2]t[]m[ = 2T

M = M T 2

KE

= [ x2 ] [ E ] = [ x ]2 [ K ] = L2 M T 2

[ KA ] = [ E ]2 [ A ] = ]K[]E[ 2

= ( )

2

222

TMTML

= 2

424

TMTML

= L2 M T-2

Ejemplo 1.5: La distancia (d) recorrida por un bloque que resbala desde el reposo sobre un plano inclinado depende de la aceleracin (a) que adquiere y del tiempo (t) empleado desde la partida.

a) Utilizando el anlisis dimensional, hallar la ecuacin emprica respectiva. b) Interprete la ecuacin obtenida. c) Usando la tabla adjunta, haga una grfica de la distancia d en funcin de t2.

Es concordante la grfica con su resultado anterior?

t(s) 0 1 2 3 4 5 d(cm) 0 5 20 45 80 125

Resolucin:

a) Segn el enunciado se escribe: d = k ax ty, (1)

donde k es una constante adimensional

Utilizando el principio de homogeneidad:

[ d ] = [ a ]x [ t ]y

L = (L T 2)x Ty = Lx T 2x + y

Comparando ambos lados se obtienen:

L = Lx x = 1;

T = T 2x + y 2x + y = 0 y = 2

Sustituyendo estos valores en la Ec.(1) se obtiene:

2katd = (2)

b) Suponiendo que la inclinacin del plano no cambia, entonces es razonable suponer que se aceleracin (a) es constante. Por tanto, la distancia recorrida aumentar con el cuadrado del tiempo: d t2.



c) Utilicemos los datos de la siguiente tabla:

Figura 1.1

La grfica d versus t2 es concordante con el resultado anterior, porque:

ka = 2td

=

15

=

420

=

945

=

1680

=

5125

= 5 cm/s2 5 x 102 m/s2.

Por tanto, la Ec.(2) quedar finalmente como:

( ) 2t05,0d =

Ejemplo 1.6: Dada la ecuacin dimensionalmente homognea:

z + w1/2 =

22

P3

syx

+ ,

donde P: presin, determinar las unidades de z en el S.I.

Resolucin:

Del principio de homogeneidad y usando las propiedades de las ecuaciones dimensionales, se tiene:

[ z ] = 22

P3

sxy

+ = [ P ]2 = (M L1 T 2)2 = M2 L2 T 4

Por tanto, la unidad de z es: kg2 m 2 s 4

Ejemplo 1.7: La ecuacin F = tx y vz es dimensionalmente homognea, donde F: fuerza, t: tiempo, : densidad y v: velocidad. Calcular zy/x.

Resolucin:

El principio de homogeneidad requiere:

t2 d(102 m) 0 0 1 5 4 20 9 45

16 80 25 125



[ F ] = [ t ]x [ P ]y [ v ]z

M LT 2 = (Tx) (ML3)y (LT 1)z

M LT 2 = My L3y + z Tx z

Comparando trminos:

M = My y = 1, L = L3y + z 3y + z = 1 z = 4,

T 2 = Tx z x z = 2 x = 2

Por tanto:

zy/x = 41/2 = 4 = 2

Ejemplo 1.8: La presin dentro de una burbuja de jabn depende del trabajo por unidad de rea () que realiza el aire en su interior y del radio (r) de la burbuja. Utilizando el anlisis dimensional:

a) Hallar la ecuacin emprica respectiva. b) Cul es la dimensin de ? c) Cmo puede interpretar la cantidad ?

Resolucin:

a) Segn el enunciado:

P = k x ry (1)

donde k es una constante adimensional. Aplicando el principio de homogeneidad, se tiene:

[ P ] = [ ]x [ r ]y

M L-1 T 2 =

2

22

LTML Ly

M L-1 T 2 = Mx Ly T 2x

Identificando exponentes :

M = Mx x = 1

L1 = Ly y = -1

Reemplazando estos valores en la Ec.(1) da:



P = r

k (2)

b) [ ] = [ ][ ]reatrabajo

= 2

22

LTML

= M T-2

c) Reescribiendo la ecuacin anterior, se tiene :

[ ] = L

MLT 2=

[ ][ ]longitud

fuerza

La ecuacin dimensional anterior sugiere que sea interpretado como una medida de la fuerza por unidad de longitud la cual acta a lo largo de la extensin lineal de un objeto.



LECCIN 2: MTODOS DE ADICIN Y DIFERENCIA VECTORIAL

La naturaleza parece tener carcter vectorial. Por sta razn, el lenguaje vectorial es muy importante para una formulacin sistemtica y exacta de las leyes de la fsica de Newton. Si la fsica se describiera con palabras sera mucho ms complicada, porque caeramos continuamente en tautologas y ambigedades. Adems existiran muchas posibles interpretaciones errneas como las que ocurren en las constituciones polticas y religiosas lo cual sera un retraso para la ciencia pura. En este captulo se desarrolla el lgebra vectorial estudiando la adicin de vectores, el producto escalar y el producto vectorial, as como sus principales propiedades que sean tiles para el desarrollo del curso.

1.5. Clasificacin de las cantidades fsicas.

Las cantidades fsicas se clasifican en dos grupos bien definidos:

1.5.1. Cantidades escalares.

Son aquellas que solo requieren de un nmero para ser especificadas. Ejemplos: temperatura, presin, densidad, etc.

1.5.2. Cantidad vectorial (o vector).

Son aquellas que requieren de tres elementos (como mximo) para ser especificadas completamente: magnitud, direccin y sentido. Ejemplos: fuerza, aceleracin, desplazamiento, etc. Hay que advertir que cuando una cantidad vectorial se describa analticamente slo bastan dos elementos para quedar especificada (la magnitud y su direccin).

1.6. Representacin geomtrica y elementos de un vector.

El segmento orientado (flecha) es la representacin geomtrica de un vector, y sus tres elementos son los que se indican en la figura 1.2. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector, su direccin est determinada por el ngulo que forma la flecha con una recta de referencia arbitraria, y la cabea de la flecha representa el sentido del vector.

Figura 1.2



1.7. Adicin de vectores por el mtodo geomtrico.

1.7.1. Mtodo del tringulo.

Consiste en dibujar dos vectores, uno a continuacin del otro. El vector que se dibuja desde la cola del primer vector y termina en la cabeza del segundo vector equivale a la suma de los vectores y se llama resultante. En la figura 1.3 se muestra esta regla para dos vectores A

y B

.

Figura 1.3

(*) OBSERVACIN:

Propiedad cclica del tringulo vectorial: Se puede obtener tambin un tringulo vectorial (cerrado) dibujando un tercer vector C opuesto al vector R (o sea, RC = ) tal que el vector resultante sea nulo (ver figura 1.4).

Figura 1.4

1.7.2. Mtodo del polgono.

Consiste en dibujar dos o ms vectores, uno a continuacin del otro. El vector que se dibuja desde la cola del primer vector y termina en la cabeza del ltimo vector equivale a la suma de todos los vectores. En la figura 1.5, se muestra esta regla para cuatro vectores A

,B

, C

y D

.

Figura 1.5



(*) OBSERVACIN:

Propiedad cclica del polgono vectorial: Se puede obtener tambin un polgono vectorial (cerrado) dibujando un ltimo vector E , opuesto al vector R (o sea, RE = ) tal que el vector resultante sea nulo (ver figura 1.6).

Figura 1.6

1.7.3. Mtodo del paralelogramo.

Si dos vectores A

y B

tienen origen comn y forman un ngulo tal que 0 < < pi (ver figura 1.7); al trazar lneas paralelas a estos vectores se forma un paralelogramo. El vector que ocupa la diagonal mayor del paralelogramo equivale a la suma de los vectores A

y B

. La magnitud de la resultante BAR

+= se calcula por la frmula:

++==+= cosAB2BARBAR 22

(1.1)

Figura 2.7

(*) OBSERVACIONES:

1) La magnitud del vector BA que ocupa la otra diagonal del paralelogramo (ver figura 1.8) se determina por la ley del coseno:

+= cosAB2BABA 22

(1.2)

Figura 1.8



2) Si A y B son perpendiculares ( = 90), entonces de las Ecs.(1.1) y (1.2) se obtiene:

22 BABABA +==+

(1.3)

Figura 1.9 a Figura 1.9 b

3) Si A y B tienen el mismo sentido: = 0. Se obtiene la magnitud mxima de la resultante (ver figura 1.10):

BARBA mx +==+

(1.4)

Figura 1.10

4) Si A y B tienen sentidos contrarios (tal que A > B): = 180 y se obtiene la magnitud mnima de la resultante (ver figura 1.11):

BARBA mn ==+

(1.5)

Figura 1.11

1.8. Conceptos adicionales.

1.8.1. Diferencia de vectores.

Consiste en sumar un vector y el opuesto de otro vector (vase las figuras 1.12).

Figura 1.12.



1.8.2. Traslacin de vectores.

Los vectores graficados se pueden trasladar a cualquier parte conservando sus tres elementos: magnitud, direccin y sentido.

1.8.3. Vectores iguales.

Dos vectores A

y B

son iguales si tienen sus tres elementos iguales (ver figura 1.13):

BA

=

Figura 1.13.

1.8.4. Vectores opuestos

Dos vectores A

y B

son opuestos, si al sumarse da el vector nulo (ver figura 1.14):

0BA

=+ AB

=

Figura 1.14.

1.8.5. Vectores paralelos

Dos vectores A

y B

son paralelos (ver figura 1.15), si estn relacionados por:

BA

= (: N real) (1.6)

Si 1= , los vectores sern iguales, y si 1= , los vectores seran opuestos.

Figura 1.15.



Ejemplo 1.9: Determinar la resultante del sistema de vectores mostrado en la figura 1.16.

Figura 1.16.

Resolucin:

El vector resultante est dado por

FEDCBAR

+++++= (1)

En la figura 1.16 es claro que

BCDAFE

+=++ (2)

Reemplazando (2) en (1) se obtiene: ( ) ( )DCBBCDR ++++= ( )DB2D2B2R +=+=

Ejemplo 1.10: La figura 1.17 muestra un cuadrado PQRS de 4 unidades de lado, donde M es el punto medio del segmento PR . Determinar el valor del ngulo , tal que el mdulo de la resultante sea 221 unidades.

Figura 1.17



Resolucin:

Usando la regla del tringulo el vector B

es igual a la suma de un vector sobre el segmento SP y otro vector sobre el segmento PM . Anlogamente el vector C

es igual a la suma de un vector sobre el segmento SR y otro vector sobre el segmento RN (ver figura 1.18).

Figura 1.18

Sumando todos los vectores paralelos, el sistema se reduce a dos vectores, como se muestra en la figura 1.19.

Figura 1.19

Del teorema de Pitgoras:

102 + (8 + y)2 = 221

(8 + y)2 = 121 y = 3 u

Por tanto:

tan = 43

= 37

Ejemplo 1.11: Dos hombres A y B jalan horizontalmente las cuerdas atadas a un poste las cuales forman entre si un ngulo de 45. El hombre A ejerce una fuerza de magnitud 1500 N y el hombre B una fuerza de magnitud 1000 2 N. Utilizando la escala 1cm 500 N, hallar la magnitud de la fuerza resultante, resolviendo:

a) Geomtricamente por el mtodo del tringulo. b) Geomtricamente por el mtodo del paralelogramo.



Resolucin:

a) Sean los vectores A y B las fuerzas que ejercen los hombres A y B respectivamente. Entonces segn el enunciado escribimos las equivalencias

cm3N1500AA =

, cm22N21000BB =

Dibujando los vectores A y B a escala (ver figura 1.20) y usando la regla del tringulo se obtiene la resultante R

, cuya magnitud es

R = 22 25 +

R = 29 cm 500 29 N

Figura 1.20

b) Dibujando los vectores A y B a escala (ver figura 1.21) y usando la regla del paralelogramo se obtiene la resultante R

, cuya magnitud es

Figura 1.21

R = 45cosAB2BA 22 ++

R=

++

21)22()3(2)22(3 22

B

A

R = A + B

1 cm

1 cm

B

A

R45



R = 29 cm 500 29 N

Ejemplo 1.12. Utilizando la figura 1.22:

a) Dibuje un tringulo en trminos de los vectores A , B y X . b) Expresar el vector X en funcin de los vectores A y B . c) Cuntos tringulos vectoriales se pueden dibujar a escala de esta manera? Cul es el factor de escala que los relaciona?

Figura 1.22

Resolucin:

a) En la figura 1.23 se muestran tres tringulos semejantes con los vectores A

, B

y X

Figura 1.23

b) De cualesquiera de los tringulos mostrados en la figura 1.24 se puede expresar el vector X

en funcin de los vectores A

y B

. Por ejemplo, en el tringulo ms grande se cumple

AX2B31B

=+

+ ,

1 cm

1 cm

A

B

X



B34AX2

= ,

B32A

21X

=

Puede repetirse el mismo procedimiento para los otros tringulos obtenindose el mismo resultado.

c) Como el procedimiento puede realizarse indefinidamente, entonces se pueden dibujar infinitos tringulos.

Las reas de los tringulos mostrados en la figura 1.23 son:

A1 = ( )( )

212

= 1 cm2, A2 = ( )( )

224

= 4 cm2, A3 = ( )( )

248

= 16 cm2, y

as sucesivamente.

El tringulo vectorial ms pequeo compatible con la escala dada es el de rea A1=1cm2. Adems, obsrvese que las reas de los tringulos estn en progresin geomtrica, cuya razn nos proporciona el factor de escala para construir tringulos de reas mayores. Por tanto, las reas de los tringulos estn relacionadas como sigue:

14

AA

1

2= = 4

416

AA

2

3= = 4

Ejemplo 1.13: En el conjunto de vectores mostrado en la figura 1.24, aCBA ===

. Hallar la magnitud de la resultante.

Figura 1.24

Resolucin:

Usando la regla del tringulo, de la figura 1.24 es claro que

CEA

=+ , CFB

=+

Por consiguiente, el vector resultante se escribe:



DC3FEDCBAR

+=+++++=

El vector C3

es perpendicular al plano xy, y por consiguiente al vector B

,

como se muestra en las figuras 1.25 y 1.26. Por tanto, la magnitud de la resultante R

es

R = 22 )a3()a2( + = 13 a

z

x

y

3 C

D

z

x

y

D

3 CR

a 2

3a

Figura 1.25 Figura 1.26

Ejemplo 1.14: Dados los vectores A , B y C mostrados en la figura 1.27:

Figura 1.27

a) Mostrar geomtricamente la igualdad ( ) B3AAB3A4 +=+ . b) Hallar la magnitud de ( )BA2

31C3

.

c) Sumar una combinacin de los vectores dados tal que resulte el vector nulo.

Resolucin:

a) En la figura 1.28 se muestra la suma 1RB3A

=+ y en la figura 1.29 se muestra la suma ( ) 2RAB3A4 =+ . Por tanto, los vectores 1R y 2R son iguales.




b) Primeramente dibujamos el vector A2 y a continuacin el vector B (ver figura 1.30), obtenindose el vector BA2 . Luego dibujamos el vector ( ) 3/BA2 . Finalmente dibujamos el vector C3 y a continuacin el vector ( ) 3/BA2 (ver figura 1.31). Usando la escala dada se obtiene la magnitud del vector ( )BA2

31C3R

= :

R = 22 25 + = 29 u


c) Una combinacin para obtener el vector nulo es dibujando los vectores C6 , a continuacin el vector A

y finalmente el vector B4

(ver figura 1.32), de donde se verifica

0B4AC6

=

Otra combinacin donde se obtiene el vector nulo es dibujando el vector A , a continuacin el vector B4

, y finalmente C6

(ver figura 1.33).

0C6B4A

=+

A

3 B A +

3B =

R

4 u

5 u

A

3

4 u

5 u

4A +

3 (B

A) =

R

2

4

( B A )



A-

B-

C6

4

A

B

- C6

4




LECCIN 3: MTODO DE DESCOMPOSICIN RECTANGULAR

1.9. Descomposicin rectangular de un vector en dos dimensiones.

Consiste en proyectar perpendicularmente, un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas. Por ejemplo, en la figura 1.34 se muestra la descomposicin de un vector A

sobre los ejes x e y. Los vectores proyectados xA

y yA

se llaman componentes del vector A

.

Figura 1.34

Los componentes de un vector sobre los ejes coordenados se expresan analticamente por un nmero que indica su magnitud y un signo que indica su direccin segn el eje coordenado. Por ejemplo, los componentes del vector A

en la figura 1.34 se leen como sigue:

Ax = + A cos : Componente de A

en la direccin del eje + x, Ay = + A sen : Componente de A

en la direccin del eje + y.

1.10. Representacin analtica de un vector, en dos dimensiones.

En la forma de un par ordenado: ( )yx A,AA = . (1.7)

En la forma magnitud - ngulo:

Magnitud: 2y2

x BAAA +=

(1.8)

Direccin respecto al eje x: tan =x

y

AA

= arc tanx

y

AA

(1.9)

1.11. Suma de vectores por el mtodo de componentes.

Este procedimiento para sumar vectores con el mtodo de los componentes se puede resumir como sigue:



1. Descomponer los vectores dados en sus componentes sobre los ejes x e y. Por ejemplo, considrense los vectores A y B mostrados en la figura 1.35. Sus componentes se obtienen proyectando perpendicularmente estos vectores sobre los ejes coordenados x e y.

Figura 1.35

2. Sumar todos los componentes en las direcciones de los ejes x e y (considerando los signos ):

Ax + Bx = A cos - B cos = Rx: Resultante en el eje x Ay + By = A sen - B sen = Ry: Resultante en el eje y

3. Expresar el vector resultante en la forma:

( )yx R,RR = o R R R

R

R

x y

y

x

= +

=

2 2

arctan

En la figura 1.36 se muestran las componentes Rx y Ry. Obsrvese que la resultante R

coincide con el obtenido por la regla del paralelogramo (ver figura 1.35).

Figura 1.36



(*) OBSERVACIONES:

1) Suma analtica de vectores:

BAR

+=

(Rx, Ry) = (Ax, Ay) + (Bx, By) = (Ax + Bx, Ay + By).

donde: Rx = Ax + Bx, Ry = Ay + By

2) Se puede convenir en adoptar la siguiente orientacin de los ejes de coordenadas:

Figura 1.37

Ejemplo 1.15: Las cuatro fuerzas representadas en la figura 1.38 actan sobre un cuerpo situado en el origen de coordenadas. Si F1 = 20 N, F2 = 30 N, F3 = 25 2 N y F4 = 20 2 N:

F1

F2

F3 F4

53 3745 45

y

x

Figura 1.38

a) Determine las componentes x e y de cada una de las fuerzas. b) Utilizar el mtodo de descomposicin rectangular para hallar la resultante de todas las fuerzas.



c) Hallar una quinta fuerza 5F

que debe aadirse para conseguir que la fuerza resultante sea nula. Represente esta quinta fuerza mediante un diagrama.

Resolucin:

a) En la figura 1.39 se muestra la descomposicin de las fuerzas.

+y

+x

F

37

2

F1F1y

4545

F3 F4F4yF3y

F3x

F2y

F4x

F1xF2x 53

Figura 1.39

Las componentes de las fuerzas sobre los ejes x e y son respectivamente

F1x = F1 cos 37 = (20)

54

= + 16 N

F1y = F1 sen37 = (20)

53

= +12 N

F2x = F2 cos 53 = (30)

53

= 18 N

F2y = F2 sen 53 = (30)

54

= +24 N

F3x = F3 cos 45 = (25 2 )

21

= 25N,

F3y = F3 sen 45 = (25 2 )

21

= 25N,

F4x = F4 cos 45 = (20 2 )

21

= + 20 N



F4y = F4 sen45 = (20 2 )

21

= 20 N

b) En el eje x: Rx = 16 18 25 + 20 = 7 N

En el eje y: Ry = 12 + 24 25 20 = 9 N

La fuerza resultante es: ( )N9,7F =

c) Para que la fuerza resultante sea nula:

0FF 5

=+ ( ) ( )N9,79,7FF5 ===

Esta fuerza se representa en la figura 1.40.

+y

+x

F5

F5x = + 7 N

F5y = + 9 N

Figura 1.40

Ejemplo 1.16: Un ciclista se desplaza sobre una superficie horizontal del modo siguiente: 10 km hacia el norte, luego 15 km hacia el oeste 37 respecto al norte y finalmente 31 km hacia el sur.

a) Haga un diagrama vectorial de los desplazamientos sucesivos del ciclista. b) Determinar la magnitud y direccin del desplazamiento total del ciclista con respecto al oeste. c) Cul es el desplazamiento horizontal adicional que debe realizar el ciclista para retornar al punto de partida?

Resolucin:

a) En la figura 1.41 se muestran los desplazamientos sucesivos del ciclista



+y

+x

d 2

d 1

15 km

37

10 km31 km

d 3 d

N

S

EO

Figura 1.41

b) Los desplazamientos sucesivos del ciclista se escriben respectivamente como sigue:

km)10,0(d1 =

; km)12,9()37cos15,37sen15(d2 ==

; km)31,0(d3 =

El desplazamiento total ser:

km)9,9()31,0()12,9()10,0(d =++=

La magnitud del desplazamiento es:

km29)9()9(d 22 =+=

La direccin con respecto al oeste se determina por:

tan = 99

= 1 = 45

c) El desplazamiento adicional debe ser:

km)9,9(km)9,9(dd ===

Ejemplo 1.17: Hallar la magnitud y, la direccin respecto al eje x, de la resultante de los vectores que se muestran en la figura 1.42.



Figura 1.42

Resolucin:

Girando el sistema de coordenadas xy un ngulo de 9 en sentido antihorario, los vectores A

, B

y C

quedarn orientados como se indica en la figura 1.43. Entonces, la resultante en la direccin del eje x y la resultante en la direccin del eje y sern:

Figura 1.43

Rx = 32 12 = + 20 u

Ry = 16 + 24 25 = + 15 u

Por tanto, la magnitud de la resultante del conjunto de vectores es:

R = 22 )15()20( + = 25 u

La direccin respecto al eje x se calcula por:

tan = 2015

=

43

= 37

A

C

44 46

9

y

x

20 u 40 u

25 u

O

B



1.12. Vector unitario.

Se dice que un vector es unitario si su magnitud es igual a la unidad. Por ejemplo, un vector unitario asociado a un vector A se representa como se indica en la figura 1.44, y se define por:

AA

a

= o aAA

= (1.10)

Figura 1.44

Aqu A

representa la magnitud del vector A

, y se cumple que 1a = .

1.13. Descomposicin de un vector en tres dimensiones.

Sean i , j , k vectores unitarios asociados a los ejes coordenados x, y, z respectivamente. Cuando el vector A

se proyecta perpendicularmente sobre los ejes coordenados se obtienen los componentes xA

, yA

, zA

, como

muestra la figura 1.45. Entonces el vector A

se representa analticamente mediante los vectores unitarios por:

kAjAiAA zyx ++=

(1.11)

Figura 1.45

(*) OBSERVACIONES:

1) De la geometra de la figura 1.45 se deducen:

= cosAA x , = cosAA y , = cosAA z , (1.12)



donde , , , se llaman ngulos directores de A respecto a los ejes x, y, z respectivamente.

2) La magnitud de A est dada por:

2z

2y

2x AAAA ++= (1.13)



LECCIN 4: MULTIPLICACIN DE VECTORES

1.14. Multiplicacin de vectores.

1.14.1. Producto escalar.

El producto escalar de dos vectores A

y B

da como resultado un nmero, se simboliza por BA

, y se define por:

= cosABBA

(1.14)

: es el ngulo entre A

y B

.

A, B: magnitudes de los vectores A

y B

.

(*) OBSERVACIONES:

1) Si A y B son perpendiculares ( = 90), entonces de la Ec.(1.14) se deduce:

0BA =

(1.15)

2) Si BA = , entonces de la Ec.(1.14) se deduce:

2AAA =

(1.16)

3) Propiedad conmutativa: ABBA

= (1.17)

1.14.2. Producto escalar de vectores unitarios.

Considrense los vectores i , j , k . Entonces, segn la Ec.(1.17) se cumplen:

1kkjjii === (1.18)

Anlogamente, segn la Ec.(1.15) se cumplen:

0jkkjkiikijji ====== (1.19)

1.14.3. Desarrollo del producto escalar.

Dados los vectores kAjAiAA zyx ++=

y kBjBiBB zyx ++=

, se

cumple:



zzyyxx BABABABA ++=

. (1.20)

1.14.4. Producto vectorial.

El producto vectorial de dos vectores A

y B

da como resultado un vector, se simboliza por BA

, y su magnitud se define por:

= ABsenBA

(1.21)

: ngulo entre A

y B

.

A, B: magnitudes de los vectores A

y B

.

La direccin de BA

es perpendicular al plano que contiene a los vectores A

y B

; y se determina usando la regla de la mano derecha la cual se expresa as: cuando los dedos estirados de la mano derecha indican la direccin del vector A

y se flexionan hacia el vector B

, el pulgar extendido indicar la direccin del vector BA

(vase las figuras 2.46).

Figura 1.46

(*) OBSERVACIONES:

1) Si los vectores A y B son perpendiculares ( = pi/2):

ABBA =

(1.22)

2) Si los vectores A y B son paralelos ( = 0 = pi), entonces de la Ec.(1.21) se deduce:

0BA

= (1.23)

3) No se verifica la propiedad conmutativa:

( )BAAB = (1.24)



1.14.5. Producto vectorial de vectores unitarios.

Segn la Ec.(1.23) se cumplen:

0kkjjii === (1.25)

Similarmente, de la Ec.(1.24) se deducen las relaciones cclicas:

Figura 1.47 ( ) kijji ==

( ) ijkkj == (1.26) ( ) jkiik ==

En la Fig. 1.47 se muestra la propiedad cclica que verifican los vectores unitarios i , j , k los cuales conforman una terna que cumple la regla de la mano derecha.

1.14.6. Desarrollo del producto vectorial.

Sean los vectores kAjAiAA zyx ++=

y kBjBiBB zyx ++=

, entonces:

ZYX

ZYX

BBBAAAkji

BA =

= kBBAAj

BBAA

iBBAA

yx

yx

zx

zx

zy

zy+ , (1.27)

( ) ( ) ( )kABBAjABBAiABBABA yxyxzxzxzyzy += (1.28)

1.14.7. Producto mixto.

Considrense tres vectores A

, B

y C

expresados por kAjAiAA zyx ++=

,

kBjBiBB zyx ++=

y kCjCiCC zyx ++=

. Se define el producto mixto:

( )zyx

zyx

zyx

CCCBBBAAA

CBA =

, (1.29)



O tambin:

( )yx

yxz

xz

xzy

zy

zyz CC

BBA

CCBB

ACCBB

ACBA ++=

(1.30)

1.15. Otras propiedades de los productos escalar y vectorial.

1.15.1. Propiedad distributiva. ( ) CABACBA +=+ , (1.31) ( ) CABACBA +=+ , (1.32)

1.15.2. Propiedad de simetra del producto mixto.

( ) ( ) ( )BACACBCBA == . (1.33)

1.15.3. Doble producto vectorial.

( ) ( ) ( )CBABCACBA = . (1.34)

1.15.4. rea de un paralelogramo con lados A y B .

BArea = . (1.35)

Figura 1.48

1.15.5. Volumen de un paraleleppedo con lados A

, B

y C

.

( )CBAVolumen . (1.36)



Figura 1.49

Ejemplo 1.18: Hallar el vector B que est en el plano xy tal que sea perpendicular al vector j3i2A += y cuya magnitud sea B = 4 u. Hgase un diagrama para interpretar el resultado.

Resolucin:

Sea jBiBB yx +=

un vector en el plano xy. Como B

es perpendicular al vector A

, entonces:

0BA =

( ) ( ) 0jBiBj3i2 yx =++ ,

de donde se obtiene:

0B3B2 yx =+ (1)

Adems, por dato: B = 2y2x BB + = 4, de donde se obtiene:

Bx2 + By2 = 42 = 16 (2)

De la Ec.(1), se tiene la relacin:

By = 32

Bx (3)

Sustituyendo (3) en (2):

Bx2 + 2

xB32

= 16, Bx2 + 9

4 Bx2 = 16,

Se obtienen las soluciones: Bx = 13

12 ,

Si Bx = +13

12, sustituyendo en (3) da: By =

1312

32

=

138

Por tanto, la solucin para el vector B

es:



j138i

1312B =

Si Bx = 13

12 , sustituyendo en (3) da: By =

1312

32

=

138

,

Por tanto, la otra solucin para el vector B

es:

j138i

1312BB +==

La interpretacin geomtrica de las soluciones para el vector B

se muestra en la figura 1.50

Figura 1.50

Ejemplo 1.19: Dados los vectores: kji2A = , k2jiB ++= y k4j2i3C += , hallar ( )CBA + .

Resolucin:

Sumando los vectores B

y C

se obtiene:

k6ji4CB +=+ ,

Desarrollando el producto vectorial:

( ) k1412j

6412

i6111

614112

kjiCBA

+

=

=+

.

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]k1412j1462i1161CBA +=+



( ) k2j16i7CBA +=+ .

Ejemplo 1.20: Dados los vectores: j3iA += , j4i3B = y j10i12C += , hallar:

a) ( )CBA . b) ( ) CBA . c) Coinciden los resultados de las partes a y b?

Resolucin:

a) El producto vectorial de B y C es:

CB

= (3 4 j ) (12 + 10 j )

CB

= 36 ( ) + 30 ( j ) 48 ( j ) 40 ( j j )

Teniendo en cuenta que ( ) = 0, ( j ) = k , ( j ) = k , ( j j ) = 0, se obtiene

CB

= 78 k Por tanto: ( )CBA = ( + 3 j ) 78 k = 78 j + 234 = 234 78 j

b) Anlogamente, el producto vectorial de A y B es:

BA

= ( + 3 j ) (3 4 j ) =

BA

= 3 ( ) 4 ( j ) + 9 ( j ) 12 ( j j ) = 13 k

Por tanto: ( ) CBA = 13 k (12 + 10 j ) = 156 j + 130 = 130 156 j

c) Comparando los resultados de las partes a y b es evidente que:

( ) ( ) CBACBA

Ejemplo 1.21: Demostrar la identidad:

( ) ( ) 2222 BABABA =+



Resolucin:

Por definicin de producto escalar:

= cosABBA

(1)

Elevando al cuadrado se tiene:

( ) = 2222 cosBABA (2)

Por definicin de producto vectorial:

= ABsenBA

(3)

Elevando al cuadrado se tiene:

= 2222

senBABA

(4)

Sumando las Ecs.(2) y (4):

( ) ( )+=+ 222222 sencosBABABA

( ) 2222 BABABA =+

Ejemplo 1.22: Dado un tringulo con lados en los vectores A , B y C donde BAC

= , demostrar la ley del coseno.

Resolucin:

Considrese el tringulo de la figura 1.51:

Figura 1.51



Pngase el producto escalar: ( ) ( )BABACC =

BBABBAAAC2

+=

Puesto que ABBA

= , entonces

+=+= cosAB2BABA2BAC 22222

Este resultado se llama ley del coseno.

Ejemplo 1.23: Dado un tringulo con lados A , B y C donde 0CBA =++ , demostrar la ley del seno.

Resolucin:

Considrese el tringulo de la figura 1.52:

Figura 1.52

En el tringulo vectorial se cumple:

0CBA

=++ (1)

Multiplicando vectorialmente la Ec.(1) por el vector A se tiene: ( ) 0ACBAA =++

0CABAAA0

=++

ACCABA

==



Por consiguiente: ACBA

=

( ) ( )= 180CAsen180ABsen

= CsenBsen

= sen

Csen

B (2)

Anlogamente, multiplicando vectorialmente la Ec.(1) por el vector B : ( ) 0BCBAB =++

0CBBBAB

0

=++

CBAB

=

BCAB

=

Por consiguiente: BCAB

=

( ) ( )= 180CBsen180BAsen

= CsenAsen

=

sen

Csen

A (3)

De las Ecs.(2) y (3) se deduce:

== sen

Csen

Bsen

A (4)

Este resultado se llama ley del seno.

Ejemplo 1.24: Hallar el rea del tringulo determinado por los vectores: kj3i2A += y k2jiB ++= .

Resolucin:

El rea del tringulo de lados A

y B

est dado por



21BA

21S ==

(rea del paralelogramo) (1)

Desarrollando el producto vectorial se tiene:

k1132j

2112

i2113

211132

kjiBA

+

=

=

,

( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]k1312j1122i1123BA +=

k5j3i7BA += .

La magnitud de BA

es:

( ) ( ) ( ) 2222 u8325949537BA =++=++=

Por tanto, reemplazando en (1) se obtiene:

2u8321S = .



Problemas propuestos

1.1. Dadas las siguientes ecuaciones:

I) 2mv21Fd = , II)

a

senv2=d , III) av

21P 2 +=

donde F: fuerza, d: distancia, m: masa, v: velocidad, a: aceleracin, p: presin, y : densidad:

a) Comprobar si las ecuaciones dadas son dimensionalmente correctas. b) Indicar las ecuaciones incorrectas y explicar por qu. c) Reformule las ecuaciones incorrectas de modo que sea

dimensionalmente correctas

1.2. En la ecuacin dimensionalmente homognea yxFv = , donde v: velocidad, F: fuerza, : masa/longitud. Calcular los valores de x y y.

1.3. La ecuacin ( )+=

wtcosAex m 2tb

es dimensionalmente correcta. Hallar la

dimensin de w

xb, si A: longitud, m: masa, t: tiempo y e = 2,72.

1.4. La ecuacin ==== costadP zyx es dimensionalmente correcta. Hallar el valor de x + y + z, siendo P: presin, d: densidad, a: aceleracin, t: periodo.

1.5. La altura mxima (h) que alcanza un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba depende de la rapidez (v) con que fue lanzado y de la aceleracin de la gravedad (g) del lugar.

a) Utilizando el anlisis dimensional, hallar la ecuacin que relaciona h con v y g.

b) Interprete la ecuacin obtenida. c) Usando la tabla adjunta haga una grfica de la altura h en funcin de

v2. Est de acuerdo con sus resultados obtenidos en las preguntas (a) y (b)? Explique.

v(m/s) 0 10 20 30 40 50 h(m) 0 5 20 45 80 125

1.6. La figura 1.53 muestra un paralelogramo MNPQ. Hallar el vector resultante del conjunto de vectores mostrado.



A

B D

F

E

N

P

M

Q

C

Figura 1.53

1.7. En el cubo de la figura 1.54, hallar la magnitud del vector resultante.

Figura 1.54

1.8. Calcular la magnitud de la resultante de los vectores mostrados en el rombo de lado 2u, siendo M punto medio del lado.

Figura 1.55

1.9. Dados los vectores mostrados en la figura 1.56:

a) Hallar la magnitud de DCBA + . b) Hallar la magnitud de D3CBA2 + .

c) Sumar una combinacin de los vectores dados tal que resulte el vector nulo.

a

a

a

120

M

A

B



Figura 1.56

1.10. La figura 1.57 muestra un conjunto de vectores situados sobre un cubo de arista a.

a) Hallar la magnitud de la resultante en cada cara del cubo. b) Reducir, de dos maneras, el conjunto de vectores a un tringulo

vectorial. c) Cul es la magnitud de cada uno de los vectores del tringulo

obtenido? d) Hallar la resultante del sistema de vectores.

Figura 1.57

1.11. Un automvil se desplaza 50 km hacia el este, luego 30 km hacia el norte y finalmente 25 km hacia el este 30 respecto al norte.

a) Haga un diagrama de los desplazamientos sucesivos del automvil. b) Determine la magnitud y direccin del desplazamiento total del

automvil con respecto al punto de partida.

A

BD

CF

GH

E

JI

z

x

y

A

B

C

D

1 u

1 u



1.12. Determinar la magnitud de la resultante del siguiente conjunto de fuerzas: 70 N, en la direccin del eje + x; 100 N y 37 por encima del eje + x;

N250 y 45 por encima del eje x; 210 N en la direccin del eje y.

1.13. Una persona camina desde el punto A hasta el punto B, como se indica en la figura 1.58. Cul es la magnitud de su desplazamiento con respecto al punto A?

Figura 1.58

1.14. Un barco A se desplaza en direccin este a 10 km/h, y simultneamente otro barco B se desplaza en direccin 30 al norest e. Si los centros de ambos barcos siempre se localizan como se indica en la figura 1.59, cul es la rapidez del barco B?

Figura 1.59

1.15. En el sistema de fuerzas mostrado en la figura 1.60, determine la direccin del vector resultante con respecto al eje x.

Ax

y

50m

60

d

B

50m1

d2



Figura 1.60

1.16. Las tres fuerzas que se indican en la figura 1.61 actan sobre un cuerpo situado en el origen de coordenadas. Si F1 = 20 N, F2 = 25 2 N y F3 = 30 N, hallar una cuarta fuerza 4F

que debe agregarse para que la fuerza resultante sea nula.

Figura 1.61

1.17. La fuerza F

se suma a una segunda fuerza cuyas componentes x e y son 3 N y 5 N respectivamente. Si la resultante de las dos fuerzas se encuentra en la direccin del eje x, y tiene una magnitud de 4 N, hallar las componentes de F

.

1.18. Si A

y B

son dos vectores cualesquiera diferentes de cero que no tienen la misma direccin, demostrar que BbAa

+ (a, b: nmeros reales) es un vector sobre el plano determinado por A

y B

.

1.19. Dados los vectores j3iA += , j4i3B = ,

(a) determinar la magnitud y direccin de BA + y BA . (b) hallar ( ) ( )BABA + .



1.20. Hallar un vector unitario en la direccin de la resultante de los vectores: kji2A += , k2jiB ++= y k4j2i3C += .

1.21. Si kj14i8BA += y k2j3i5BA ++=+ , hallar A y B .

1.22. Considere los vectores j4iA += , j3i2B = , kiC += . Hallar el volumen del paraleleppedo formado con los vectores A

, B

y C

.

1.23. Dados los vectores j3iA += , j4i3B = y j10i12C += encuentre

(a) Hallar el vector ( )CBA . (b) Hallar el vector ( ) CBA . (c) Demuestre que, ( ) ( )[ ]ABA6CBA = .

fisica unidad 1 uigv a distancia

Documents