vectores

vectores

Si: A⃗=(a1 , a2 ) ; B⃗=(b1 , b2)

Módulo:|A⃗|=√a12+a22

Suma:A⃗+ B⃗= (a1+b1 , a2+b2 )

Producto por un Escalar:k A⃗=k (a1 , a2 )=(ka1 , ka2)

Componentes rectangulares de un vector

a) En el planoA⃗=A⃗ x+ A⃗ y

A⃗x= A⃗ cosθ ; A⃗ y=A⃗ sinθ

A⃗=√ A⃗x2+ A⃗ y

2

tanθ=A⃗x

A⃗ y

R⃗=√(Σ R⃗ x )2+(Σ R⃗ y )2

tanθ=Σ R⃗ y

Σ R⃗x

b) En el espacioA⃗=A⃗ x i+ A⃗ y j+ A⃗ z k

A⃗=√ A⃗ x2+ A⃗ y

2+ A⃗ z2

cos α=A⃗x

A⃗;cos α=

A⃗ y

A⃗;cosα=

A⃗ z

A⃗

Producto escalar o interno (°)

A⃗∘ B⃗=|⃗A||B⃗|cosθ

Si: A⃗=(a1 , a2 ) ; B⃗=(b1 , b2)

A⃗∘ B⃗=a1b1+a2b2

Propiedades:1) A⃗∘ B⃗=B⃗∘ A⃗2) A⃗∘ ( B⃗+C⃗ )= A⃗∘ B⃗+ A⃗ ∘C⃗3) k ( A⃗∘ B⃗ )=(k A⃗ )∘ B⃗=A⃗ ∘ (k B⃗ )4) A⃗∘ B⃗=A⃗ x B⃗x+ A⃗ y B⃗ y+ A⃗ z B⃗ z

5) A⃗∘0=06) A⃗∘ A⃗= A⃗x

2+ A⃗ y2+ A⃗Z

2

7) A⃗∘ A⃗=|A⃗|28) A⃗∘ B⃗=0⇒ A⃗⊥ B⃗9) |A⃗∘ B⃗|=|A⃗||B⃗|⇒ A⃗ ∥ B⃗

i⃗∘ i⃗= j⃗ ∘ j⃗=k⃗ ∘ k⃗=1i⃗∘ j⃗= j⃗∘ k⃗=k⃗ ∘ i⃗=0

Producto Vectorial (x)

|A⃗× B⃗|=|⃗A||B⃗|sin θ

Si: A⃗=(a1 , a2 , a3 ) ; B⃗=(b1 , b2, b3 )

A⃗× B⃗=[ i⃗ j⃗ k⃗a1 a2 a3b1 b2 b3

]¿ (a2b3−a3b2 , a3b1−a1b3 , a1b2−a2b1 )

Propiedades:1) A⃗× B⃗≠ B⃗× A⃗2) A⃗× B⃗=−(B⃗× A⃗ )3) A⃗× A⃗=0⃗4) A⃗× 0⃗=0⃗5) A⃗× ( A⃗+C⃗ )=( A⃗× B⃗ )+( A⃗× C⃗ )6) k ( A⃗× B⃗ )=(k A⃗ )×B⃗=A⃗ × (k B⃗ )7) A⃗× B⃗= 0⃗⇒ A⃗ ∥ B⃗8) |A⃗× B⃗|=|⃗A||B⃗|⇒ A⃗⊥ B⃗9) |A⃗× B⃗|=Area

i⃗× i⃗= j⃗ × j⃗=k⃗ × k⃗=0⃗i⃗× j⃗= k⃗ ; j⃗× k⃗=i⃗ ; k⃗ × i⃗= j⃗

Suma y resta de vectores método analítico

Resultante por ley de senos

R⃗sin γ

= B⃗sin β

= A⃗sinα

Resultante por ley de cosenosa) Suma

R⃗=√ A⃗2+ B⃗2+2 A⃗ B⃗ cos α

b) RestaR⃗=√ A⃗2+ B⃗2−2 A⃗ B⃗ cosα

Cinemática de la Partícula

Movimiento Rectilíneo Uniforme

V⃗= xt

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

a= ΔV⃗Δt

=V f−V o

t f−toa=

V f−V o

t

¿

x=V o t ±12a t 2

V f=V o±at

V f2=V o

2±2ax

Movimiento de Caída Libre

x=ha=g

¿

V f=V o±>¿

h=V o t ±12g t 2

V f2=V o

2±2 gh

Movimiento Circular Uniformemente variado

θ=ϖt

ϖ=12

(ωo±ωf )

ωf=ωo±αt

ωf2=ωo

2±2αθ

θ=ωot+12α t 2

Aceleración centrípeta (ac)

ac=V 2

R=ω2R [ms2 ]

Aceleración angular

α=ωf−ωo

t [ Rads2 ] [ Revmin2 ]Aceleración Tangencial (aT)

aT=αR

Aceleración total

a total=√ac2+aT

2

Movimiento rectilíneo variado

V⃗= Δ xΔt

V⃗=xT

tTV⃗=

V f−V o

2

xT= x1+x2+...+xn

tT=t 1+t 2+...+t n

Movimiento circular uniforme

r⃗=xcosθ+ y sin θ

S=Rθθ=St

Periodo (T)

T= tiempo¿vueltas

→T=1f

[s ]

Frecuencia (f)

f=¿vueltastiempo

→f = 1T

[ s−1 ] [ Hz ]

Velocidad lineal

V T=ST [ms ]

Velocidad angular

ω=θt [ rads ]ω=2 π

T [ rads ]Relación entre VT, T y ῳ

V T=2πRT

=ωR

Movimiento Parabólico

Movimiento Vertical “y”

V y=V oy−¿

h=V oy t−12g t2

V y2=V oy

2±2 gh

Movimiento Vertical “x”

x=V x t=V o t cos θ

Componentes, magnitud y dirección de la velocidad

V x=V o cosθV=√V x2+V y

2

V oy=V osinθ tanθ=V y

V x

Altura en un tiempo “t”

h=V o t sin θ−12g t 2

Altura Máxima

Hmáx=V o

2sin2θ2 g

V y=0

Tiempo De Vuelo

t v=V o sinθ

g

Alcance horizontal

R=V o

2sin(2θ)g

Resmáximosi θ=45o