fisica y quimica fisica cou

146
© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 1 ÍNDICE DE “DINÁMICA” Dinámica de la partícula Sistemas de referencia. Vector de posición. Vector desplazamiento Velocidad media. Velocidad instantánea Aceleración media. Aceleración instantánea Componentes intrínsecas de la aceleración Movimiento circular: uniforme y no uniforme Ecuaciones del movimiento curvilíneo con aceleración constante Movimiento relativo a velocidades bajas Leyes de Newton de la dinámica de una partícula Características dinámicas de los sistemas inerciales y no inerciales Aplicaciones de las leyes de Newton al movimiento curvilíneo. Fuerza de fricción Dinámica de los sistemas de puntos materiales o de partículas Sistema de partículas. Centro de masas Movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas externas e internas Cinemática y dinámica del movimiento Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema Momento lineal del sistema referido al centro de masas del sistema Principio de conservación del momento lineal Momento angular o momento cinético de un sistema de partículas Momento angular para un sistema de partículas Relación del momento angular con las fuerzas externas Teorema del momento cinético Principio de conservación del momento angular Energía cinética de un sistema de partículas Colisiones. Tipos de colisiones. Impacto central y oblicuo Colisión plástica o totalmente inelástica Problemas de dinámica de una partícula Problemas de dinámica de un sistema de partículas

Upload: ochoar

Post on 15-May-2015

663 views

Category:

Education


20 download

DESCRIPTION

Para los que están en el COU.

TRANSCRIPT

Page 1: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 1

ÍNDICE DE “DINÁMICA” Dinámica de la partícula Sistemas de referencia. Vector de posición. Vector desplazamiento

Velocidad media. Velocidad instantánea

Aceleración media. Aceleración instantánea

Componentes intrínsecas de la aceleración

Movimiento circular: uniforme y no uniforme

Ecuaciones del movimiento curvilíneo con aceleración constante

Movimiento relativo a velocidades bajas

Leyes de Newton de la dinámica de una partícula

Características dinámicas de los sistemas inerciales y no inerciales

Aplicaciones de las leyes de Newton al movimiento curvilíneo. Fuerza de fricción

Dinámica de los sistemas de puntos materiales o de partículas Sistema de partículas. Centro de masas

Movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas externas e internas

Cinemática y dinámica del movimiento

Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema

Momento lineal del sistema referido al centro de masas del sistema

Principio de conservación del momento lineal

Momento angular o momento cinético de un sistema de partículas

Momento angular para un sistema de partículas

Relación del momento angular con las fuerzas externas

Teorema del momento cinético

Principio de conservación del momento angular

Energía cinética de un sistema de partículas

Colisiones. Tipos de colisiones. Impacto central y oblicuo

Colisión plástica o totalmente inelástica

Problemas de dinámica de una partícula

Problemas de dinámica de un sistema de partículas

Page 2: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 2

Revisión de la dinámica de la partícula.-

Sistemas de referencia: El llamado sistema de referencia está formado por el cuerpo de re-ferencia, las coordenadas y los relojes sincronizados entre sí y ligados con él.

Concepto de reposo: Si las coordenadas de todos los puntos del cuerpo en el sistema de re-ferencia elegido permanecen constantes, entonces el cuerpo está en reposo respecto de este sistema de referencia.

Concepto de Movimiento: Si las coordenadas de algunos puntos del cuerpo se modifican en el tiempo, el cuerpo está en movimiento respecto del sistema de referencia dado.

Relatividad del movimiento: Tanto el reposo como el movimiento son conceptos relativos, es decir, dependen del sistema de referencia.

Definir cinemáticamente un movimiento o formular una ley de movimiento de un cuerpo es definir en cualquier tiempo, la posición de este cuerpo respecto del Sistema de Re-ferencia dado.

Z

!s t ut

r r’ !r C

C

X Y

Vector de posición: El vector de posición de una partícula situada en un punto P del sis-tema cartesiano OXYZ, siendo rx, ry y rz las componentes del vector respecto al centro O, se expresa por x y zr r i r j r k! " "

! ! !! . El vector de posición se relaciona con la trayectoria s que a

su vez depende del tiempo mediante: # $% &r r s t!! ! . Si la partícula se mueve, su vector de po-

sición cambia, pero siempre va dirigido desde el origen O hasta el nuevo punto P’ que tiene de componentes sobre los ejes r’x, r’y y r’z: x y zr ' r ' i r ' j r ' k! " "

! ! !!

Vector desplazamiento: Es el vector resultante de la diferencia entre los vectores de posi-ción en dos instantes determinados x x y y z zr r '- r (r ' - r )i (r ' - r ) j (r ' - r )k' ! ! " "

! ! !! ! !

Velocidad media: La velocidad media de una partícula es la relación entre el vector despla-zamiento y el tiempo transcurrido en dicho desplazamiento. Si la trayectoria de la partícula es recta o si describe una trayectoria curvilínea. La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento:

2 1m

2 1

r r rvt t t

' (! !' (

! ! !!

Velocidad instantánea: La velocidad del punto material en un instante dado es igual a la primera derivada del vector de posición del punto con relación al tiempo.

yx zmt 0 t 0

drr dr dr drv lim v lim i j kt dt dt dt dt' ) ' )

'! ! ! ! " "

'

! ! ! ! !! !

Como el vector de posición se relaciona con la trayectoria, que a su vez depende del tiempo, la velocidad instantánea también se expresa como el producto del módulo de la ve-locidad por el vector unitario que nos indica la dirección y sentido de la velocidad:

# $% & tdr dr dsr r s t v u vdt ds dt

! * ! ! !! !! ! !! !

El módulo de la velocidad es t 0 t 0

r s dsv lim limt t dt' ) ' )

' '! ! !

' '

!!

Page 3: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 3

Aceleración media: La aceleración es una magnitud que nos mide la rapidez de cambio de la velocidad. La aceleración media, que posee un punto material, cuando éste cambia la ve-locidad instantánea en un intervalo de tiempo como la división entre el incremento del vec-tor velocidad y el tiempo transcurrido en dicho incremento

2 1m

2 1

v v vat t t

' (! !' (

! ! !!

Aceleración instantánea: Se llama aceleración del punto material a una magnitud vectorial que caracteriza el cambio con el tiempo del módulo y de la dirección de la velocidad del pun-to material. La aceleración del punto material en un instante dado es igual a la primera de-rivada de la velocidad o a la segunda derivada del vector de posición del punto material con relación al tiempo.

yx zmt 0 t 0

dvv dv dv dva lim a lim i j kt dt dt dt dt' ) ' )

'! ! ! ! " "

'

! ! ! ! !! !

La aceleración instantánea, en un movimiento curvilíneo, siempre va dirigida hacia la concavidad de la trayectoria.

Componentes intrínsecas de la aceleración: Como en un movimiento curvilíneo la acele-ración instantánea siempre está dirigida hacia la concavidad de la curva, se puede descom-poner en dos componentes, llamadas componentes intrínsecas de la aceleración. Estas componentes son la tangente a la trayectoria y la normal a la trayectoria que está dirigida hacia el centro de la curvatura.

% &2

tt t t n t n

n t t

d v d vdv d du va v u u v u u a adt dt dt dt dt R

d va a a a u

dt

! ! ! " ! " ! "

! ( ! (

! !!!! ! ! ! ! ! !! !

!! ! ! ! !

Significado físico de las componentes intrínsecas de la aceleración:

→ La aceleración tangencial td v

adt

!!!

nos mide los cambios en magnitud del módulo de

la velocidad o celeridad.

→ La aceleración normal 2

nvaR

!!

nos mide los cambios en la dirección de la velocidad.

Demostración: Consideremos una sección de la trayectoria curvilínea. En cada instante el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y el vector aceleración está dirigido hacia la concavidad de la trayectoria.

1) La aceleración mide la rapidez de los cambios de velocidad, es decir, los cambios de la celeridad o de la dirección de la velocidad o de los dos.

2) La rapidez de cambio en el módulo de la velocidad (la celeridad) se denomina acelera-ción tangencial.

3) La rapidez de cambio en la dirección del vector velocidad se denomina aceleración centrípeta o normal.

Demostración de que el vector resultante de la derivada del vector unitario tangente respecto del tiempo es perpendicular al propio vector unitario tangente:

# $ t t t tt t t t t t t t

t tn n n n

du du du duu u 1 d u u 0 u u 2u 0 udt dt dt dt

sd vdu du d Ru u u udt dt dt dt R

+ ! * + ! * " ! ! *

, -. /0 1 2! ! ! !

3! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !

!! ! ! ! ! !

Movimiento circular: Para describir el movimiento circular lo podemos hacer de dos for-mas: a) considerar que la partícula va recorriendo una distancia a lo largo de la circunferen-

Page 4: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 4

cia y b) considerar que la partícula va describiendo un ángulo que barre, en cada vuelta completa, un círculo de 360º ó 2π radianes.

ds Rdv R v Rdt dt

0! ! ! 4 + * ! 4 5

!! ! !

ω

v

R

Movimiento circular uniforme: La velocidad angular es constante. El tiempo en dar una vuelta es siempre el mismo, se llama período (T) y se mide en segundos. El número de vuel-tas que da en un segundo de tiempo se llama frecuencia (f) y se mide en Hz (hercios):

# $# $# $

2 1

2 1

2 1 2 1

2 2t t t T

t t

0 ( 0'0 64 ! ! ! ! 67

' (

0 ( 0 ! 4 (

En el movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante y por tanto el módulo de la velocidad. Sin embargo, el vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, cambia continuamente de dirección, luego la partícula posee aceleración normal. Luego en un movimiento circular uniforme toda la aceleración es centrípeta o normal.

Movimiento circular no uniforme: La velocidad angular no es constante y, por tanto, la partícula posee aceleración angular. Consideraremos solamente el caso de aceleración angu-lar constante.

Vectorialmente: El vector de posición va desde el origen al punto de la circunferencia. La velocidad lineal es un vector tangente a la circunferencia y de origen el punto de la circunfe-rencia. La velocidad angular tiene de origen el centro de la circunferencia, es perpendicular a la circunferencia y el sentido el que nos marque el sentido de avance del sacacorchos en el giro de la partícula. La trayectoria es una circunferencia. La aceleración:

# $ t ndv d d dRa R R R v a adt dt dt dt

4! ! 4 5 ! 5 " 4 5 ! 8 5 " 4 5 ! "

!! !! ! !! ! !! ! ! ! !

t

n2

n

a R

a v ( R)

Si v a R

! 8 5

! 4 5 ! 4 5 4 5

4 3 * ! (4

!! !!! ! ! ! !

!!! !

Si la aceleración angular es constante:

2

d dt (t - t )1d dt dt (t t )dt (t t ) (t t )2

4 ! 8 * 4 ! 4 " 8

0 ! 4 ! 4 " 8 ( * 0 ! 0 " 4 ( " 8 (

" "

" " " " " "

Ecuaciones del movimiento curvilíneo con aceleración constante:

% & 20

dv a dt v v a(t t )1dr v dt v a(t t ) dt r r v (t t ) a(t t )2

! + * ! " (

! + ! " ( + * ! " ( " (

" "

" " " " "

! !! ! !

! ! ! ! !! ! !

El movimiento está siempre en un plano y la trayectoria es una parábola

20

v v a(t t ) v en plano de v y a1r v (t t ) a(t t ) r en plano de v y a2

! " ( *

' ! ( " ( * '

" " "

" " "

! !! ! ! !

! ! ! !! !

Ejemplo: Consideramos una caída vertical, un lanzamiento hacia arriba formando un ángu-lo, etc. Son todos movimientos que los podemos considerar con aceleración constante, la de

Page 5: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 5

la gravedad. Si el origen O está en el suelo, el eje de ordenadas OY es positivo hacia arriba y el origen de tiempos t0=0. La aceleración del movimiento tendrá de valor ay=g=-9,8 ms-2. El movimiento se desarrolla sobre el plano OXY y la ecuación de la trayectoria es una parábola

2

x xx y x yx y y y

x y x x xm x y 2y s y y y

v vv v v v i v jv v v v v g(t t )

r r r r r v (t t )r r i r j 1a a g 9,8 j r r v (t t ) g(t t )

2

!9 9 :! " ! " *9 : ; <=! " ! ( (> ?= = == = =! " *; < ; ! " (9 := == = = ! " * ; <! ! ! (= = => ? ! " ( ( (= ==> > ?

"

" " " " "

" " " " " "

" " " "

! !! ! !! ! !! ! !

! !!!! ! !

xx

x y 22

y yx x

xx v t tv

Si r r 0 1 x 1 xy v t gt y v g2 v 2 v

9 ! * !==! ! * ;, - , -= ! ( * ! (. / . /=> 1 2 1 2

""

" "

" "" "

Movimiento relativo a velocidades bajas.- Siempre que analicemos el movimiento de una partícula lo haremos con respecto a un Sistema de Referencia. La velocidad de una partícu-la, como veremos, depende del sistema de referencia que utilicemos.

P r’

r O R O’

Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y O’X’Y’Z’, cuyos centros O y O’ se en-cuentran a una distancia RO’O. Una partícula situada en un punto P tendrá de coordenadas (x,y,z) para el primer sistema OXYZ y (x’,y’,z’) para el segundo O’X’Y’Z’. Los vectores de posi-ción y las velocidades instantáneas de la partícula en un sistema y en otro están relaciona-dos por:

O O'O O'

O'O

relativa

r R r ' r ' r R

v ' v Va ' a a

9 ! " * ! (=

! ( *;= ! (>

! !! ! ! !!! !

! ! !

relativa

x

y

z

Si a 0 a ' ax ' x V ty ' y V t

Transformaciones Galileanas (sistemas inerciales)z ' z V tt ' t

! * !! ( +9

= ! ( +=;

! ( +== !>

! ! !

Si la velocidad relativa de un sistema respecto de otro es constante o cero las aceleraciones

son iguales.

# $O'O

O'OO'O

O O' O'O 2

O'O

v ' Vv (velocidades altas) Si v ' c; V cv ' V1r r ' R

cv v ' V (velocidades bajas)

"9 != 5= "! " * ;== ! ">

# #!! !

!! !

Leyes de la dinámica de una partícula de Newton: Las leyes de Newton en su forma con-vencional (1642-1727) en Principia (1687):

1ª) Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que sobre él actúe una fuerza.

Page 6: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 6

2ª) Todo cuerpo sobre el que actúa una fuerza o varias se mueve de tal forma que la va-riación de su momento lineal o cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual

a la fuerza neta: N

i netai 1

dP d(mv)F F madtdt

!

! ! ! !@! !! ! !

3ª) Cuando dos cuerpos ejercen fuerzas entre sí, estas fuerzas son de intensidades iguales y sentidos opuestos. Si sobre el cuerpo 1 (F12) ejerce una fuerza el 2 esta ha de ser igual a la fuerza que sobre el 2 (F21) ejerce el 1: 12 21F F! (

! !

Análisis de las leyes de la dinámica: La primera ley únicamente contiene un significado preciso para una fuerza nula, es decir, que todo cuerpo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme no está sometido a la acción de ninguna fuerza. Y se dice que es un cuerpo libre (o partícula libre). La primera ley, por sí sola, únicamente puede darnos una noción cualitativa acerca de la fuerza.

La segunda ley, nos da una afirmación explícita acerca de la fuerza, en la cual la fuerza se relaciona con la rapidez de cambio del momento lineal. Ahora bien, la definición de fuerza sólo expresa algo completo y preciso cuando se define la “masa”.

La tercera ley es realmente un principio, ya que se trata de una declaración relativa al mundo físico real y contiene toda la física de que están dotadas las leyes del movimiento de Newton. Con la tercera ley cuando consideramos dos cuerpos aislados 1 y 2 tenemos que:

2112 21 1 1 2 2

2 1

amF F m a m am a

! ( * ! ( * ! (!! ! ! ! !

Siempre nos será posible establecer una masa unidad y determinar la masa de otro cuerpo comparando el cociente de aceleraciones cuando interactúen los dos. La masa así determi-nada es la masa inerte, que es la masa que determina la aceleración de un cuerpo sometido a una fuerza dada. Si la masa se determina pesando un cuerpo es la masa gravitatoria o pesante. El primero en comprobar la equivalencia entre las dos masas fue Galileo (caída de cuerpos), Newton, etc. La tercera ley no es un principio general de la Naturaleza, puesto que sólo se aplica en el caso de que la fuerza ejercida por un objeto (punto) sobre otro objeto (punto) es-té dirigida a lo largo de la recta que une a ambos. Son éstas las llamadas fuerzas centrales y a ellas se aplica la tercera ley, sean las fuerzas atractivas o repulsivas. Fuerzas centrales son las gravitatorias y las electrostáticas, por lo cual las leyes de Newton podrán aplicar-se a los problemas en los que intervengan fuerzas de esta naturaleza. A veces, las fuerzas elásticas son centrales, ya que son manifestaciones macroscópicas de fuerzas electrostáticas microscópicas. Toda fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos en interac-ción es no central esencialmente, y no se aplica la tercera ley en tales casos. Así, por ejemplo, la fuerza que ejercen entre sí las cargas eléctricas en movimiento no obedece la ter-cera ley (fuerzas electromagnéticas), puesto que dicha fuerza se propaga a la velocidad de la luz; incluso la fuerza gravitatoria que se ejercen entre sí los cuerpos en movimiento depende de la velocidad, pero el efecto de ésta es pequeño y difícil de detectar, siendo el único efecto observable la precesión del perihelio de los planetas más cercanos al Sol.

Sistemas inerciales: “Se llama sistema inercial a todo sistema de referencia en el que sean válidas las leyes de la dinámica de Newton”. Propiedades:

Un cuerpo, aislado de acciones exteriores, está en reposo o en movimiento rectilíneo unifor-me, respecto a cualquiera de estos sistemas.

Para estos sistemas, el espacio es homogéneo (igual naturaleza) e isótropo y el tiempo es homogéneo.

Cuando las leyes de Newton sean válidas en un sistema de referencia, lo serán tam-bién en todo sistema que se mueva uniformemente respecto del primero, o sea sin acelera-ción. El Sistema Solar, si despreciamos la debilísima acción gravitatoria estelar, puede ser considerado como un sistema aislado, y por consiguiente, es una referencia inercial. Por tanto, un triedro con origen en el centro del Sol (c.d.m. del sistema solar) y ejes en direccio-

Page 7: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 7

nes de tres estrellas fijas, es un sistema inercial con alto grado de exactitud, es el llamado sistema copernicano.

Galileo comprobó experimentalmente que las leyes de la mecánica son idénticas para dos observadores que se hallen en movimiento de traslación rectilíneo y uniforme. Es lo que se conoce como principio de relatividad de Galileo. Este principio se limita a las leyes de la mecánica si la velocidad de los cuerpos es muy inferior a la de las interacciones. La va-lidez de la Mecánica Clásica está acotada por dos extremos:

1) Cuando la velocidad de las partículas es muy grande y no se puede considerar como infinita la velocidad de propagación de las interacciones (próxima a 3×108 m/s).

2) Cuando las dimensiones de las partículas involucradas en el fenómeno es del orden de 0,1 nm.

Características dinámicas de los sistemas inerciales y no inerciales.- Un sistema se llama inercial si se comporta como una partícula libre, es decir, no está sujeto a interacción, y por tanto o está en reposo o se mueve con velocidad constan-te y sin aceleración, por lo que no ha de rotar. Dos sistemas se dice que son inerciales uno con respecto del otro si están en reposo relativo o se mueven con velocidad constante uno con respecto del otro.

Características de los sistemas inerciales: Sean los Sistemas OXYZ y O'X'Y'Z' que se encuentran a una distancia R los dos centros. Una partícula situada en el punto P ten-drá de coordenadas (x,y,z) para el primero y (x',y',z') para el segundo. Relacionados por:

O'O

O'O O'O

O'O

r R r '

v V v ' Si V 0 a a ' F F 'a a a '

9 ! "=

! " * ! * ! * !;= ! ">

!! !! ! ! !! !! !

! ! !

Para los Sistemas Inerciales tenemos que son iguales las leyes del movimiento, es decir, miden las mismas aceleraciones de la partícula situada en P y las mismas Fuerzas aplicadas en P. Esto es lo que se denomina el Principio Clásico de Relatividad.

Características de los Sistemas No Inerciales: Si el Sistema O'X'Y'Z' es No Inercial, es decir que la velocidad relativa de éste sistema con respecto al OXYZ no es constante, y por tanto, el sistema O'X'Y'Z' con respecto al OXYZ posee aceleración, tenemos:

O'O

O'O O'O inercial

O'O

r R r '

v V v ' ma ' ma ma F ' F Fa a a '

9 ! "=

! " * ! ( * ! ";= ! ">

!! !! ! ! !! ! !! !

! ! !

En el Sistema O'X'Y'Z' medimos una fuerza distinta que en el Sistema OXYZ, consi-derando que en el primero aparece una Fuerza Ficticia llamada de Inercia que es conse-cuencia de la aceleración relativa del Sistema O'X'Y'Z' con respecto al OXYZ. Aplicaciones de las leyes de Newton del movimiento.- El movimiento de una partícula, bajo una fuerza constante, tiene la aceleración también constante. Además, analizando las ecuaciones siguientes, la velocidad siempre cambia en una dirección paralela a la fuerza aplicada, por lo que la trayectoria tiende hacia la dirección de la fuerza. Respecto al despla-zamiento, si la fuerza es constante, es una combinación de dos vectores. Uno es la velocidad inicial y el otro la dirección de la fuerza aplicada. Si los dos vectores son paralelos el movi-miento es rectilíneo y si no lo son estará en el plano determinado por los dos.

2

Fv v (t t )F mam 1 Fr r v (t t ) (t t )

2 m

9( ! (==! * ;

= ( ! ( " (=>

" "

" " " "

!! !!

!!

! ! !

Movimiento curvilíneo.- Una partícula experimenta un movimiento curvilíneo cuando la fuerza resultante forma un ángulo con la velocidad. Recordando que la aceleración es siempre paralela a la fuerza. La aceleración tendrá una componente paralela a la velocidad,

Page 8: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 8

que cambia su magnitud, y otra componente perpendicular a la velocidad que nos expresa los cambios en la dirección del movimiento.

Ft O

F r

Fn B θ A F

Par de torsión (Torque).- Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, este no sólo se mueve en la dirección de la fuerza sino que también lo hace alrededor de un punto. Considera la fuerza F actuando sobre una partícula A. Supongamos que el efecto de la fuerza es mover la partícula alrededor de O. La experiencia nos dice que el efecto de rotación de F se incremen-ta con la distancia perpendicular o distancia de la palanca OB, desde el centro de rotación O a la línea de acción de la fuerza F. La magnitud física que lo define se llama par de torsión o momento del par

M F OB F OA sen M r F! 5 ! 5 5 0 * ! 5! !!

Fuerza de fricción.-

!" Si el cuerpo no se mueve la fuerza de fricción estática es igual a la F aplicada.

!" La magnitud fuerza de fricción estática fs tiene su valor máximo fs(máximo) = µs×N

!" Si el cuerpo comienza a deslizarse sobre la superficie la magnitud de la fuerza de fric-ción rápidamente decrece a fk con el coeficiente de fricción cinética µk.

!" La dirección de fs y de fk es siempre paralela a la superficie y opuesta al movimiento deseado y N es perpendicular a la superficie.

Dinámica de los sistemas de puntos materiales o de partículas: Cuando tiramos al aire un palo su movimiento es más complicado que cuando tiramos un objeto más sencillo. Esto se debe a que cada parte del palo se mueve describiendo una trayectoria diferente, por lo que no podemos representar la trayectoria del palo como si fuese una única partícula, por lo que decimos que es un sistema de partículas.

Si observa atentamente el movimiento del palo encontramos que hay un punto espe-cial de este que se mueve describiendo una trayectoria parabólica, como si fuese una sola partícula. Este punto se llama centro de masas y está en la unión de los ejes del palo. Cada cuerpo tiene un centro de masas y se mueve como una partícula libre siguiendo una trayec-toria parabólica.

Sistema de partículas. Centro de Masas.- Un sistema de partículas es un conjunto de par-tículas sometidas a unas fuerzas interiores, entre ellas, y a unas ligaduras que constriñen el movimiento del sistema. Un ejemplo de sistema con ligaduras es el sólido rígido que se caracteriza porque las distancias entre las partículas son inalterables.

Un Sistema de partículas puede interaccionar con otro y a esas interacciones se les llama fuerzas exteriores del Sistema. Si las fuerzas exteriores son cero el sistema se dice que está aislado.

Consideremos un sistema de dos partículas m1 y m2 que respecto a un sistema de referencia inercial (OXYZ) tienen sus vectores de posición de componentes respectivas (r1x; r1y; r1z) y (r2x; r2y; r2z). Se define el centro de masas del sistema de dos partículas como aquel punto cuyo vector de posición, respecto del sistema inercial OXYZ exterior al sistema de partículas, viene dado por:

1 1 2 2CM

1 2

m r m rRm m

"!

"

! !!

Page 9: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 9

r1

RCM

r2

O

Consideramos el sistema inercial OXYZ fuera del sistema de partículas y el sistema O'X'Y'Z' cuyo origen es el propio centro de masas (CM). La relación entre los vectores de posición de cada partícula respecto de O y de O' viene dada por la siguiente relación:

# $ # $1 CM 11 CM 1 2 CM 2

2 CM 2 CM 1 1 2 21 2

1 1 2 2CM

1 2

r R r 'm R r ' m R r '

r R r ' R m r ' m r ' 0m m

m r m rRm m

9= ! "

" " "=! " * ! * " !; "= "= !

">

!! ! ! !! !! !! ! ! !! !!

Movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas externas e internas.- El movimiento de un sistema de partículas es más sencillo si lo estudiamos en fun-

ción del centro de masas. Para ello, consideremos el más simple, que es un sistema de dos partículas de masas distintas m1 y m2.

Cinemática del movimiento: La velocidad, la aceleración y la posición del centro de ma-sas en cualquier instante vienen dadas por

# $

# $ # $

# $ # $ # $

CM 1 1 2 2 1 1 2 2CM 1 2 CM 1 1 2 2

1 2 1 2

1 1 2 2CMCM

1 2

CMf CM i CM

2CMf CM i CM i CM

dR d m r m r m v m vV m m V m v m vm m m mdt dt

m a m adVadt m m

V V a t

1R R V t a t2

+

9 " ", -! ! ! * " ! ". /= " "= 1 2;

"= ! != ">9 ! " +=;

! " "=>

! ! ! ! !! ! ! !

! ! !!

! ! !

! ! ! !

Dinámica del movimiento: Sobre cada partícula actúan dos fuerzas la externa, suma de todas las fuerzas externas, y la interna, debida a la otra partícula. La fuerza total sobre cada partícula de masas distintas m1 y m2 es igual a

# $

# $

1 12 1

2 21 2

dF F pdtdF F pdt

9 " !=;= " !>

! ! !

! ! !

La Fuerza total sobre el sistema se caracteriza porque la suma de las fuerzas internas es ce-ro 12 21F -F!! !

:

# $ # $ # $# $

n

i 1 12 2 21 1 2 total ni 1

externa totaln ni 1

i 1 12 2 21 externai 1 i 1

d d dF F F F F p p pdt dt dt dF p

dtF F F F F F

!

!

! !

9= ! " " " ! " !== * !;=

! " " " !==>

@@

@ @

! ! ! ! ! ! ! !! !

! ! ! ! ! !

La suma de las fuerzas externas es igual a la variación del momento lineal del sistema con respecto del tiempo:

# $ # $ # $ # $n

externa total 1 2 1 1 2 2 CM CMi 1

d d d dF p p p m v m v MV Madt dt dt dt

!

! ! " ! " ! !@! !! ! ! !! !

Page 10: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 10

Al aplicarle una fuerza externa al sistema, éste se mueve como si toda la masa estu-viera concentrada en el Centro de Masas.

Análisis de la 2ª ley de Newton aplicada a un sistema de partículas:

En la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema hay que te-ner mucho cuidado en no incluir las fuerzas internas que son las que ejerce una parte del sistema sobre otra parte.

La masa total del sistema es la suma M=m1+m2. Consideramos que en el sistema no entra ni sale masa cuando se mueve, es decir, la masa es constante. El sistema es cerrado.

La aceleración del centro de masas del sistema no da información sobre la aceleración de cualquier otra parte del sistema.

Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema: El momento lineal de un sistema de dos partículas, de masas distintas m1 y m2, relativo al sistema inercial OXYZ (llamado de laboratorio) es la suma de los momentos lineales de cada una de las partículas.

# $total 1 2 1 1 2 2 1 2 CM CMp p p m v m v m m V MV! " ! " ! " !! !! ! ! ! !

El momento lineal de un sistema de partículas vemos que es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad del centro de masas.

El momento lineal de un sistema de partículas es el mismo que el de una partícula ideal de masa igual a la masa total del sistema, de posición la del centro de masas, y que se mueva de la misma forma que éste.

Momento lineal del sistema referido al centro de masas del sistema: El momento lineal de un sistema de partículas, tomando como referencia el sistema Centro de Masas del propio sistema de partículas, es siempre cero.

# $

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

m r ' m r ' 0d m r ' m r ' m v ' m v ' 0dtp ' p ' 0

" !9== " ! " !;=

" !=>

! !

! ! ! !

! !

Principio de conservación del momento lineal: “Si un sistema está aislado y cerrado, es decir, la suma de las fuerzas externas es cero y no pueden entrar ni salir partículas del sistema, entonces el momento lineal o la cantidad de movimiento del sistema permanece constante con respecto al tiempo”.

# $ # $ # $

# $ # $

n

ext total 1 2 1 2i 1

1 2 1 2i f

d dF 0 p p p 0 p p ctedt dt

p p p p!

! * ! " ! * " ! *

" ! "

@! ! ! ! ! !

! ! ! !

El principio de conservación del momento lineal es una ley general, más que las leyes de Newton, ya que es válido en el mundo subatómico y para partículas a altas velocidades (teoría general de la relatividad).

“Si el momento lineal total es constante, la velocidad del centro de masas también lo es y la aceleración del centro de masas será cero”.

Momento Angular o Momento Cinético de un sistema de partículas.- Momento angular referido a una partícula: Se define el momento angular de una partícu-la, de masa m, moviéndose con una velocidad v (y teniendo un momento lineal p=mv), res-pecto de un punto O en un sistema inercial OXYZ, L r p! 5

! ! !

L

r v m

Page 11: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 11

La unidad es 1 kg×m2/s =1 J×s. El módulo del momento angular es LO=r×p×sen8. Si los vectores posición y momento lineal están en la misma dirección el momento angu-lar es cero.

Como todas las cantidades lineales (velocidad, aceleración), el momento lineal tiene su equivalente angular. La partícula se mueve, respecto a O, en la dirección de su momento lineal, el vector de posición rota alrededor de O. Para tener momento angular, la partícula no debe rotar por sí misma alrededor de O. También se dice que el momento angular es el momento del momento lineal.

En un movimiento lineal, la causa de la variación del momento lineal con respecto del tiempo es una fuerza. En un movimiento angular o curvilíneo la causa de la variación del momento angular con respecto del tiempo está relacionada con el momento de la fuerza (par de torsión o torque) aplicada a la partícula.

n n

ext exti 1 i 1

dL dr dpp r v p r F r F Mdt dt dt

! !

, - , -. / . /! 5 " 5 ! 5 " 5 ! 5 !. / . /1 2 1 2@ @

! ! ! ! ! !! ! ! ! !!

La ecuación anterior corresponde a la segunda ley de Newton en forma angular.

Si el momento de la fuerza es cero, M=0, el momento angular es constante. Esta condición se cumple totalmente si F=0, es decir, si la partícula es libre y se mueve con velo-cidad constante luego su trayectoria es una línea recta. La condición M=0 también se cum-ple si F es paralela a r, es decir, la dirección de F pasa a través del punto O. Una fuerza cu-ya dirección siempre pasa por un punto fijo se llama fuerza central. Momento angular para un sistema de partículas: Para un sistema de dos partículas, de masas m1 y m2, el momento angular del sistema respecto del punto O, del sistema inercial OXYZ, será la suma de los momentos angulares de cada partícula respecto del mismo pun-to. Lo que nos lleva, después del desarrollo matemático, al siguiente enunciado:

“El momento angular de un sistema de partículas es la suma del momento angular orbital, Lorbital, definido respecto del sistema inercial OXYZ (sistema-L), y del momento angu-lar interno, Linterno, definido respecto del sistema centro de masas (sistema-C) que se toma como origen”.

# $ # $# $ # $% &

O 1 2 1 1 2 2

O CM CM 1 1 2 2

O orbital interno

L L L r p r p

L R MV r ' p ' r ' p '

L L L

9 ! " ! 5 " 5=

A B! 5 " 5 " 5; C D=

! ">

! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! !

! ! !

Demostración

# $ # $# $ # $% & # $ # $% &

# $ # $% &

1 CM 1 1 CM 1

2 CM 2 2 CM 2

1 1 2 2 1 1 2 2

O 1 1 2 2

O CM 1 1 CM 1 CM 2 2 CM 2

O CM 1 2 CM 1 1 2 2 1 1 2

0 0

r R r ' v V v '

r R r ' v V v '

m r ' m r ' m v ' m v '

L r p r p

L R r ' m V v ' R r ' m V v '

L R m m V m v ' m v ' m r ' m r

*

*

! * !

! " ! "

! " ! "

" "

! 5 " 5

! " 5 " " " 5 "

! 5 " " " " "

9=;=>

! !! ! ! !! !! ! ! !

! ! ! !

! ! ! ! !! ! ! ! !! !! !! ! ! ! !! ! # $ # $ # $

# $ # $ # $ # $ # $2 CM 1 1 2 2

O CM 1 2 CM 1 1 2 2 CM CM 1 1 2 2

' V r ' p ' r ' p '

L R m m V r ' p ' r ' p ' R MV r ' p ' r ' p '

5 " 5 " 5

! 5 " " 5 " 5 ! 5 " 5 " 5

! ! ! ! !! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !

Relación del momento angular con las fuerzas externas: Consideremos un sistema com-puesto por dos masas (denominadas 1 y 2). Sobre la masa 1 se ejercen dos fuerzas, la ex-terna y la interna (debida a la masa 2), y sobre la masa 2 se ejercen también dos fuerzas, la externa y la interna (debida a la masa 1). De tal forma que la variación del momento angular con respecto del tiempo de todo el sistema será:

# $ # $ # $ # $

# $

O 1 2 1 1 12 2 2 21

O 1 1 2 2 1 12 2 21 1 1 2 2 1 2

d dL L L r F F r F Fdt dtd L r F r F r F r F r F r F M Mdt

A B A B! " ! 5 " " 5 "C D C D

! 5 " 5 " 5 " 5 ! 5 " 5 ! "

! ! ! ! ! ! !! !

! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! !

Page 12: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 12

Teorema del momento cinético: “La suma de los momentos de las fuerzas externas ac-tuando sobre un sistema de partículas es igual a la velocidad de cambio con respecto del tiempo del momento angular del sistema”.

Esto tiene significado sólo si los vectores momento (torque) resultantes de las fuerzas externas y momento angular están referidos al mismo origen. En un sistema inercial se puede aplicar a cualquier punto. En un sistema acelerado (tal como una rueda girando) sólo se aplica al centro de masas del sistema.

Principio de conservación del momento angular: “Si el momento neto de las fuerzas ac-tuantes sobre un sistema de partículas es cero, el vector momento angular del sistema per-manece constante, aunque dentro del sistema haya cambios”.

# $1 2 O OdM M 0 L 0 L cte.dt

" ! * ! * !! ! ! !

El Principio de Conservación del Momento Angular implica que si en un sistema ais-lado el momento angular de alguna parte del sistema cambia por interacciones internas, el resto del sistema debe experimentar un cambio igual de momento angular pero opuesto.

El principio de conservación del momento angular va más allá de las limitaciones de la mecánica Newtoniana. Es válido para partículas cuyas velocidades se aproximan a la ve-locidad de la luz y también en el mundo de las partículas subatómicas. No se han encontra-do excepciones.

Son ejemplos de conservación del momento angular:

!" Patinador girando: un patinador girando sobre sí mismo que no esté sometido a un momento o torque exterior su momento angular permanece constante alrededor del eje de rotación, aunque varíe su velocidad angular alejándose los brazos del cuerpo.

!" Estabilización de un satélite: Antes de lanzar un satélite de comunicaciones al espacio desde la bodega de la lanzadera espacial se le hace girar alrededor de su eje central. Esto se debe a que de la misma forma que la dirección del movimiento de una partícu-la es más difícil de cambiar por un impulso cuando el momento lineal de la partícula es grande que cuando es pequeño. De la misma forma la orientación de un objeto gi-rando es más difícil de cambiar por un torque externo cuando el objeto tiene un mo-mento angular grande que si es pequeño. La orientación de un satélite que no está gi-rando puede ser alterada por pequeños momentos externos como presiones de radia-ción solares o pequeñas restos de atmósfera.

Energía cinética de un sistema de partículas.- Análisis de la energía cinética de una partícula: Teorema trabajo-energía cinética: Si sobre una partícula, de masa m, realizamos una fuerza y la partícula experimenta un desplaza-miento se define el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula:

f f f f2 2

neto neta cinéticaf ii i i i

dp 1 1W F dr dr vdp mvdv mv mv Edt 2 2

! + ! ! ! ! ( ! 'E E E E!! ! ! !! ! !

La energía cinética de un sistema de N partículas será la suma de las energías cinéti-cas de cada una de ellas.

Sea un sistema de dos partículas, de masas m1 y m2, si consideramos sus velocida-des referidas a un sistema inercial OXYZ, la energía cinética del sistema será iguala la suma

de las energías cinéticas de cada partícula: # $ # $2 2c 1 1 2 2

1 1E m v m v2 2

! " .

La energía cinética de cada partícula depende de la velocidad, y esta depende del sis-tema de referencia elegido, luego la energía cinética de un sistema de partículas depen-derá del sistema de referencia usado.

Por tanto, si consideramos las velocidades, de cada partícula, respecto del centro de masas del sistema, la energía cinética interna será: # $ # $2 2

c 1 1 2 21 1E ' m v ' m v '2 2

! " .

Siendo la relación entre ellas:

Page 13: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 13

# $ # $

# $ # $ # $ # $ # $

# $ # $ # $ # $ # $

2 22 2c 1 2 1 CM 1 2 CM 21 2

2 2 2c 1 2 CM 1 1 2 2 CM 1 1 2 2

2 2 2c CM 1 1 2 2 c traslación c interna

1 1 1 1E m v m v m V v ' m V v '2 2 2 21 1 1E m m V m v ' m v ' V m v ' m v '

2 221 1 1E M V m v ' m v ' E E '2 2 2

9 ! " ! " " "=== ! " " " " ";== ! " " ! "=>

! !! !

! !! ! ! !

! !

“La Energía Cinética de un sistema de partículas puede expresarse como la suma de la energía cinética orbital, asociada con el movimiento del centro de masas, y de la energía ci-nética interna, relativa al centro de masas”. Es importante entender claramente que la energía cinética interna es una propie-dad del cuerpo, independiente del observador y distinta de la energía cinética traslacional del sistema. Colisiones. Tipos de colisiones.- Cuando dos partículas se aproximan su interacción mutua cambia su movimiento. Como en la colisión no intervienen fuerzas externas, entonces por aplicación del Princi-pio de conservación del momento lineal decimos que el momento lineal del sistema en conjunto permanecerá constante.

La interacción provoca un cambio de momento lineal en las partículas y puede alte-rar o no la energía interna de ellas y disipar o no-energía mecánica. En una colisión las dos partículas no tienen que entrar en contacto físicamente. Así cuando un cometa se aproxima al Sistema Solar su trayectoria se curva debido a la interacción o colisión. Otro ejemplo sería la colisión de un partícula alfa con un núcleo.

Un impacto tiene lugar cuando dos cuerpos colisionan durante un intervalo muy pequeño de tiempo, provocando fuerzas relativamente grandes entre los dos cuerpos. En ge-neral hay dos tipos de impacto. El Impacto Central tiene lugar cuando la dirección de movimiento de los centros de masas de las dos partículas que colisionan está a lo largo de la línea que pasa a través de los centros de masas de las partículas. Esta línea se llama línea de impacto, perpendicular al plano de contacto. Cuando el movimiento de una o de las dos partículas forma un ángulo con la línea de impacto se dice que le impacto es oblicuo.

Procedimiento para analizar el impacto central: 1º) Se conserva el momento lineal del

sistema de partículas; 2º) el coeficiente de restitución # $# $

Bf Af final

Bi Ai inicial

v ve

v v(

! ((

relaciona las velo-

cidades relativas de las partículas a lo largo de la línea de impacto, solamente antes y des-pués de la colisión.

Procedimiento para analizar el impacto oblicuo: 1º) Se conserva el momento lineal del sistema de partículas a lo largo de la línea de impacto; 2º) el coeficiente de restitución

# $# $

xBf xAf final

xBi xAi inicial

v ve

v v(

! ((

relaciona las componentes de las velocidades relativas de las partícu-

las a lo largo de la línea de impacto, eje x, solamente antes y después de la colisión; 3º) el momento lineal de la partícula A se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la línea de impacto, ya que no existe impulso sobre la partícula A en esa dirección; 4º) el momento de la partícula B se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la línea de impacto, ya que no actúa impulso sobre la partícula B en esa dirección.

Las colisiones o impactos son: 1) Elástico, sin pérdida de energía mecánica ya que el impulso de deformación es igual y opuesto al impulso de restitución (e=1). 2) Inelástico, con pérdida parcial de energía mecánica (e<1). 3) Plástico o totalmente inelástico (e=0), después de la colisión las dos partículas están acopladas y se mueven con una velocidad común.

Para el análisis del problema de las colisiones no es posible utilizar el principio de trabajo-energía, ya que a partir de él no es posible conocer cómo varían o se mueven duran-te la colisión, las fuerzas internas de deformación y de restitución. Ahora bien, conociendo las velocidades de las partículas, antes y después de la colisión, la pérdida de energía du-

Page 14: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 14

rante la colisión se puede calcular en base a la diferencia de la energía cinética de las partí-culas. Cuando ocurre la colisión, la pérdida de energía, Ec2-Ec1=-(U2-U1), se debe a que parte de la energía cinética de la partícula se transforma en energía térmica así como en crear sonido y en la deformación localizada del material.

Impacto Central

Colisión Elástica siendo la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el eje OY:

Conservación del momento lineal:

# $ # $ # $ # $Ai Bi A Ai B Bi A Af B Bf Af Bfinicial inicial final finalp p m v m v m v m v p p" ! " ! " ! "! ! ! !! ! ! !

Conservación de la energía cinética:

# $ # $ # $ # $2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf

inicial final

1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2A B A B" ! "C D C D

La conservación del momento lineal y la conservación de la energía cinética, implica que el coeficiente de restitución sea igual a uno (e=1). Es decir, la relación entre las veloci-dades relativas de las partículas, a lo largo de la línea de impacto, exactamente antes y des-

pués de la colisión es # $# $

Bf Af final

Bi Ai inicial

v ve 1

v v(

! ! ((

.

Demostración:

# $ # $# $# $

# $ # $ # $ # $

# $ # $ # $ # $# $ # $# $ # $

A Ai B Bi A Af B Bf Bf BiA

B Af AiA Af Ai B Bf Bi2 2 2 2

A Ai B Bi A Af B Bf Bf Bi Bf BiA2 2 2 2

B Af Ai Af AiA Af Ai B Bf Bi

m v m v m v m v v vmm v vm v v m v v

m v m v m v m v v v v vmm v v v vm v v m v v

" ! " (9 : * ( !; < (( ( ! (> ?9 :" ! " " (= = * ( !; < " (A B A B( ( ! (= => C D C D ?

! ! ! !! ! ! !

# $# $

# $ # $# $ # $

# $ # $# $

Bf Bi Bf Bi Bf BiA

B Af Ai Af Ai Af AiBf Af

Bf Bi Af AiBi Ai

Bf Af Bi Ai

v v v v v vmm v v v v v v

v vv v v v e 1v v

v v v v

( " (9 :( ! != =( " (= = (= =" ! " * ! ( !; < (= =( ! ( (= == => ?

Al resolver el sistema siguiente podemos calcular las velocidades de las partículas exactamente después de la colisión:

# $ # $# $

# $ # $# $

A Ai B Bi A Af B Bf

Bf AfBf Af Bi Ai

Bi Ai

A B Ai B BiA Ai B Bi A Af B Bi Ai Af Af

A B

A Ai B A BiA Ai B Bi A Bf Bi Ai B Bf Bf

A B

m v m v m v m vv v1 v v v vv v

m m v 2m vm v m v m v m v v v v

m m2m v m m v

m v m v m v v v m v vm m

" ! "9 := = *(; <! ( * ( ! ( "= =(> ?

( "" ! " ( " " * !

"

" (" ! " ( " * !

"

Impacto Oblícuo

Plano de contacto

línea deimpacto Ø ß

Plano de contacto

línea deimpacto

Impacto Central Impacto Oblícuo

contacto

línea deimpacto

øµ

A B A BØ

A B

v

VB

B

mA

=m B

90º

Page 15: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 15

Si el eje Y se establece dentro del plano de contacto y el eje X a lo largo de la línea de impacto, las fuerzas impulsivas de deformación y restitución actúan sólo en la dirección del eje X. Descomponiendo los vectores velocidad o momento lineal en componentes a lo largo de los ejes X e Y es posible escribir cuatro ecuaciones escalares independientes para deter-minar las componentes de la velocidad antes y después del impacto. Colisión Elástica siendo la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY:

Conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto, eje X:

A xAi B xBi A xAf B xBfm v m v m v m v" ! "

Conservación del momento lineal de la partícula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicu-lar a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula A en esa direc-ción: A yAi A yAfm v m v!

Conservación del momento lineal de la partícula B, a lo largo del eje Y, que es perpendi-cular a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula B en esa direc-ción: B yBi B yBfm v m v!

Conservación de la energía cinética:

# $ # $ # $ # $2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf

1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2

" ! "

La conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto y la conservación de la energía cinética, implica que el coeficiente de restitución sea la rela-ción de las componentes de las velocidades relativas de las partículas a lo largo de la línea

de impacto, que es el eje X: # $# $

xBf xAf final

xBi xAi inicial

v ve 1

v v(

! ! ((

.

Demostración:

# $ # $# $# $

A xAi B xBi A xAf B xBf xBf xBiA

B xAf xAiA xAf xAi B xBf xBi

m v m v m v m v v vmm v vm v v m v v

" ! " (9 : * ( !; < (( ( ! (> ?

# $ # $ # $ # $

# $ # $ # $ # $

# $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $

# $ # $ # $ # $

2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf

2 2 2 2A Af Ai B Bf Bi

2 2 2 22 2 2 2A xAf yAf xAi yAi B xBf yBf xBi yBi

2 2 2 2A xAf xAi B xBf xBi

m v m v m v m v

m v v m v v

m v v v v m v v v v

m v v m v v

9 :" ! "= =

A B A B= =( ( ! (C D C D= = *; <A B A B( " ( ( ! " ( (= =C D C D= =

A B A B= =( ( ! (> C D C D ?

# $ # $# $ # $

# $ # $# $ # $

2 2xBf xBi xBf xBi xBf xBiA

2 2B xAf xAi xAf xAixAf xAi

v v v v v vmm v v v vv v

( " (* ( ! !

" ((

# $# $

# $ # $# $ # $

# $# $

# $ # $# $ # $

# $ # $# $

xBf xBi xBf xBi xBf xBiA

B xAf xAi xAf xAi xAf xAi

xBf xBi xBf xBi xBf xBi xBf xAf

xAf xAi xAf xAi xAf xAi xBi xAi

xBf xBi xAf xAi

xBf xAf xBi xAi

v v v v v vmm v v v v v vv v v v v v v ve 1v v v v v v v vv v v v

v v v v

( " (9 :( ! != =( " (= =

( " (= = (! * ! ! (; <( " ( (= == =" ! "= =

( ! ( (> ?

Al resolver el sistema siguiente podemos calcular las velocidades de las partículas exactamente después de la colisión:

Page 16: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 16

# $ # $# $

# $

A xAi B xBi A xAf B xBf

xBf xAfxBf xAf xBi xAi

xBi xAi

A B xAi B xBiA xAi B xBi A xAf B xBi xAi xAf xAf

A B

A xAi BA xAi B xBi A xBf xBi xAi B xBf xBf

m v m v m v m vv v1 v v v vv v

m m v 2m vm v m v m v m v v v v

m m2m v m

m v m v m v v v m v v

" ! "9 := = *(; <! ( * ( ! ( "= =(> ?

( "" ! " ( " " * !

"

" (" ! " ( " * !

# $# $

A xBi

A B

m vm m"

Colisión Elástica y oblicua entre dos partículas de masa distinta estando una de ellas en reposo y si conocemos el ángulo de desviación de la que hace de proyectil: 1ª Forma.- Consideramos la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY:

Conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto, eje X:

A xAi A xAf B xBfm v m v m v! "

Conservación del momento lineal de la partícula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicu-lar a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula A en esa direc-ción: yAi yAfv v!

Conservación del momento lineal de la partícula B, a lo largo del eje Y, que es perpendi-cular a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula B en esa direc-ción: B yBi B yBfm v m v 0! !

Conservación de la energía cinética: # $ # $ # $2 2 2A Ai A Af B Bf

1 1 1m v m v m v2 2 2

! "

Considerando lo anterior

# $ # $# $

# $ # $

A xAi A xAf B xBf

xBf xAf xAi

A B xAiA xAi A xAf B xAi xAf xAf

A B

A xAiA xAi A xBf xAi B xBf xBf

A B

m v m v m vv v v

m m vm v m v m v v v

m m2m vm v m v v m v vm m

! "9 : *; <( !> ?(

! " " * !"

! ( " * !"

Conocemos el ángulo de desviación del proyectil respecto de la dirección original y no la di-rección original. Sea F el ángulo el ángulo de la dirección respecto de la línea de impacto y G el ángulo de desviación después del impacto. Luego

# $# $ # $

# $

# $# $

# $ # $# $

# $ # $ # $

yAi

yAixAi A B

A B xAiyAf A B

A BxAf

A B

A B2

A B B A B

vtan

vv m mtan tan

m m vv m mtan

m mv

m mtan tantan tan1 tan tan m m

m m tan tan 2m tan m m tan 0

9 :F != = "= = * F " G ! ! F; < ( (= =F " G != = "> ?

"F " GF " G ! ! F

( F + G (

" G F ( F ( ( G !

2ª Forma.- 1) Ecuación de conservación del momento lineal: Ai Af Bfp p p! "! ! ! . 2) Ecuación de

conservación de la energía: # $ # $ # $2 2 2Ai Af Bf

A A B

1 1 1p p p2m 2m 2m

! "! ! !

Resolvemos el sistema de la siguiente forma:

Page 17: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 17

# $ # $ # $ # $

# $ # $ # $ # $ # $ # $

2 2 2 2Ai Af Bf Bf Ai Af Ai Af Ai Af

2 2 2 2 2 2BAi Af Bf Bf Ai Af

A A B A

p p p p p p p p 2p pm1 1 1p p p p p p

2m 2m 2m m

( +9 :! " * ! ! " (= = *; <A B! " * ! (= =C D> ?

! ! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! !

# $ # $ # $ # $2 2 2 2BAf Ai Af Ai Af Ai Af

A

mEcuación de 2º grado en p : p p 2p p cos p pm

+ A B" ( + G ! (C D

Colisión Elástica y oblicua entre dos partículas de masa igual estando una de ellas en reposo y si conocemos el ángulo de desviación de la que hace de proyectil: Las dos par-tículas salen perpendicularmente.

1ª Forma.- Consideramos la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY:

Conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto, eje X:

xAi xAf xBfv v v! "

Conservación del momento lineal de la partícula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicu-lar a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula A en esa direc-ción: yAi yAfv v!

Conservación del momento lineal de la partícula B, a lo largo del eje Y, que es perpendi-cular a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula B en esa direc-ción: yBi yBfv v 0! !

Conservación de la energía cinética: # $ # $ # $2 2 2A B Ai Af BfSi m m v v v! * ! "

Considerando lo anterior

# $

# $

xAi xAf xBf xAfxAi xAf xAi xAf

yAi yAf yAf yAi

yBi yBf xBf xAixAi xBf xAi xBf

yBf yBixBf xAf xAi

v v v v 0v v v v

v v v vv v 0 v v

v v v vv v 0v v v

! " !9 : 9 9! " " * ;= = =! != = = >*; < ;! ! !9= = = ! ( " * ;= = = ! !( !> ? > >

2ª forma:

# $ # $ # $

# $ # $ # $ # $

# $ # $ # $

Ai Af BfA B 2 2 2

Ai Af Bf2 2 2 2

Ai Af Bf Af Bf Af BfAf Bf Af Bf2 2 2

Ai Af Bf

v v vSi m m

v v v

v v v v v 2v v2v v 0 v v

v v v

! "9 :! * *; <

! "> ?9 :! " ! " " += = * + ! * 3; <

! "= => ?

! ! !

! ! ! ! ! ! !! ! ! !

Las velocidades finales constituyen un paralelogramo siendo la diagonal la velocidad inicial.

Colisión Plástica o totalmente inelástica: En este tipo de colisión no se conserva la ener-gía cinética # $A A B B A B CMm v m v m m V" ! "

!! !

Page 18: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Dinámica de una partícula” Página 18

Problemas de “Dinámica de una partícula”: 1) Conocido el vector de posición de una partícula, de componentes rx=t2; ry=2t en metros, calcula a los 3 s: a) la velocidad; b) la aceleración; c) la aceleración tangencial; d) la acelera-ción normal; e) la ecuación de la trayectoria. [a) vx=6 m/s; vy=2 m/s; b) ax=2 m/s2; c) at(x)=1,8 m/s2; at(y)=0,6 m/s2; d) an(x)=0,2 m/s2; an(y)=-0,6 m/s2; e) y=2x½].

2) Desde el suelo se dispara un proyectil con una velocidad de 80 ms-1 formando un ángulo de 45º con la horizontal. Calcula: a) tiempo de vuelo; b) alcance máximo; c) vector de posi-ción cuando lleva la mitad de tiempo de vuelo; d) ecuación de la trayectoria. [a) 11,5 s; b) 653 m; c) rx=326 m y ry=163,1 m; d) y=x-0,0015x2]

3) Un proyectil es lanzado hacia arriba formando un ángulo con la horizontal. Prueba que el tiempo de vuelo del proyectil desde el suelo a su altura máxima es igual al tiempo de vuelo desde su altura máxima al suelo.

4) Una partícula describe una circunferencia de 5 m de radio con velocidad constante de 2 ms-1. En un instante dado frena, con una aceleración constante de 0,5 m/s2 hasta pararse. Calcula: a) la aceleración de la partícula antes de empezar a frenar; b) la aceleración 2 s después de empezar a frenar; c) la aceleración angular mientras frena; d) tiempo que tarda en parar; e) número de vueltas que da desde que empieza a frenar hasta que se para. [a) 0,8 m/s2; b) 0,53 m/s2; c) 0,1 rad/s2; d) 4 s; e) 0,12]

5) Un volante parte del reposo con aceleración constante. Después de dar 100 vueltas la ve-locidad es de 300 rpm, calcula: a) la aceleración angular; b) la aceleración tangencial de un punto situado a 20 cm del eje. [a) 0,785 rad/s2; b) 0,157 m/s2]

6) Una persona de 95 kg está situada sobre una báscula en un ascensor. Determina el peso aparente en los casos: a) el ascensor sube con una aceleración de 1,80 m/s2; b) el ascensor sube a velocidad constante; c) el ascensor baja con una aceleración de 1,30 m/s2. [a) 1102 N; b) 931 N; c) 807,5 N]

7) Una persona de 60 kg está situada sobre una báscula dentro de un ascensor moviéndose. La masa del ascensor y de la báscula es de 815 kg. Partiendo del reposo, el ascensor sube con una aceleración, siendo la tensión en el cable del ascensor de 9410 N. ¿Cuál es la lectu-ra sobre la escala durante la aceleración?. [645 N]

8) Desde lo alto de un ascensor de 3 m de altura se deja caer un objeto cuando el ascensor sube con una aceleración de 2 m/s2. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo del as-censor. [0,71 s]

9) Un objeto de 2 kg se suspende del techo de un vagón de ferrocarril. Si la cuerda que suje-ta al objeto es inextensible y consideramos que su peso es nulo. Calcula el ángulo, que la cuerda forma con la vertical, si el vagón lleva un movimiento rectilíneo uniformemente ace-lerado de aceleración 3 m/s2 . [17º]

10) Un bloque en reposo sobre una superficie horizontal pesa 425 N. Una fuerza aplicada al bloque tiene una magnitud de 142 N, estando dirigida hacia arriba formando un ángulo con la horizontal. El bloque empieza a moverse cuando el ángulo es de 60º. Determina el coefi-ciente de fricción estático entre el bloque y la superficie. [0,235]

11) Un patinador sobre hielo lleva una velocidad inicial de 7,60 m/s. Se desprecia la resis-tencia del aire. Calcula: a) la desaceleración causada por la fricción cinética, si el coeficiente de fricción cinética entre el hielo y el filo de los patines es de 0,100; b) ¿cuánta distancia re-correrá hasta que se pare?. [a) 0,98 m/s2; b) 29,5 m]

12) A un bloque de 121 kg le aplicamos una fuerza de 661 N formando un ángulo de 20º por encima de la horizontal. El coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie es de 0,410. ¿Cuál es la cantidad mínima de masa que se ha de poner encima del bloque para impedir que se mueva?. [56,7 kg]

13) Un bloque de masa 10 kg es empujado hacia arriba en un plano inclinado, de 30º con la horizontal, con una fuerza de 73,1 N y que forma un ángulo de 10º con la tangente al plano inclinado. Si el sistema no tiene rozamiento determina la fuerza que ejerce el plano sobre el bloque y la aceleración a lo largo del plano. [72,2 N y 2,3 m/s2]

Page 19: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Dinámica de una partícula” Página 19

14) Sobre una mesa horizontal tenemos un objeto de masa 10 kg. Si el coeficiente de roza-miento del objeto y la mesa es de 0,25 y, partiendo del reposo, adquiere una velocidad de 12 m/s en 36 m de movimiento rectilíneo, determina el valor de la fuerza horizontal aplicada. [44,5 N]

15) Dos cuerpos de 0,5 kg cada uno cuelgan de los extremos de un hilo que pasa por una polea. ¿Qué masa hay que añadir a uno de ellos para que el otro recorra 1 m en 2s? y ¿qué tensión soportará la cuerda?. [53 g y 5,2 N]

16) Dos fuerzas tienen de componentes: 1ª) F1x=2N, F1y=7N; 2ª) F2x=3N, F2y=4N. Se aplican simultáneamente sobre una masa de 500 g. Calcula: a) ¿cuánto vale el módulo de la acele-ración que adquiere la masa?; b) si la masa tiene una velocidad inicial, de componentes vix=3m/s; viy=-4m/s, y se encuentra en el punto (0m,0m) ¿qué posición ocupará al cabo de tres minutos?. [a) 24,2 m/s2; b) (162,5; 355,6) km]

17) Un bloque de masa 0,2 kg sube por un plano inclinado de 30º con la horizontal, si la ve-locidad inicial con la que empezó la subida fue de 12 m/s, a) calcula hasta donde subirá si el coeficiente de rozamiento es µ=0,16 y, b) ¿cuál será la velocidad del bloque cuando llegue a la parte más baja del plano inclinado?. [a) 11,5 m; b) 9,03 m/s]

18) Sobre una mesa horizontal hay un cuerpo de 10 kg, que está unido mediante un hilo y una polea a otro de 5 kg que está colgando verticalmente. El coeficiente de rozamiento del cuerpo con la mesa es 0,20. a) Calcula la aceleración del sistema y dibuja las fuerzas exis-tentes. b) Determina la masa mínima que ha de tener un cuerpo para que al colocarlo sobre el de 10 kg éste no se mueva. [a) g/5; b) 15 kg]

19) Un bloque A de 5 kg situado sobre una mesa horizontal, está unido a un hilo que pasa a través de una polea ideal colocada en el borde de la mesa. El coeficiente de rozamiento del bloque con la mesa es de 0,2. Calcular la aceleración del bloque A si: a) del extremo del hilo cuelga un bloque B de igual masa que A; b) se tira del extremo del hilo con una fuerza cons-tante de 50 N. [a) 3,92 m/s2; b) 8,0 m/s2.]

20) Un ciclista va a realizar un giro llamado el “rizo de la muerte” en el que realiza un giro por una carretera colocada perpendicularmente. Si el radio del rizo es de 2,7 m, ¿cuál es la velocidad menor que puede tener el ciclista para que pueda permanecer en contacto con el rizo?. [5,1 m/s]

21) Un coche de masa 1600 kg viaja a una velocidad constante de 20 m/s por una carretera circular llana de radio 190 m. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente µs estático entre los neumáticos del coche y la carretera para prevenir que el coche se deslice?. [0,21]

22) En una carretera en la que no hay fricción, por ejemplo, sobre hielo, un coche se mueve con una velocidad constante de 20 m/s alrededor de una curva con peralte. Si el radio es de 190 m ¿cuál es el ángulo que deberá tener el peralte si no hay rozamiento?. [12º]

23) En un cilindro de radio 2,1 m apoyamos un objeto, de masa 49 kg, que tiene un coefi-ciente de rozamiento con la pared del cilindro de 0,40. a) ¿Cuál es la velocidad mínima para que el objeto no se deslice hacia abajo?; b) ¿cuál es la fuerza centrípeta sobre el objeto?. [a) 7,2 m/s; b) 1209 N]

Page 20: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 20

Problemas de Dinámica de un sistema de partículas: 1) Calcula el centro de masas de las tres partículas: 3,0 kg en el punto (0m;0m); 8,0 kg en el (1m;2m) y 4,0 kg en el (2m;1m). [(1,1m;1,3m)]

2) La molécula de amoniaco (NH3) tiene la forma de una pirámide triangular. Los tres hidró-genos están en la base formando un triángulo equilátero, siendo la distancia de cada H has-ta el centro del triángulo de 9,4×10-11 m, y la distancia de cada H al N de 10,14×10-11 m. Si la relación de las masas atómicas N/H es de 13,9 determina el centro de masas relativo al átomo de N. [6,75×10-12 m del N]

3) Un sistema está compuesto de tres partículas con masas 3 kg, 2 kg y 5 kg. La primera partícula tiene una velocidad de 6 m/s dirigida hacia el eje +X. La segunda se está moviendo con una velocidad de 8 m/s en una dirección que hace un ángulo de -30º con el eje X. De-termina la velocidad de la tercera partícula si el C.M. aparece en reposo relativo al observa-dor. [vx=-6,37m/s; vy=1,6 m/s].

4) Un sistema está formado por dos partículas, de masas m1=2 kg y m2=3 kg, inicialmente en reposo en los puntos de coordenadas (0m;4m) y (3m;0m). En el instante t=0 s se les apli-can las fuerzas F1x=4N y F2y=6N, respectivamente. Calcular: a) posición y velocidad del CM al cabo de 2 s; b) posición de la segunda partícula al cabo de 4 s. [a) Rx(CM)=3,4m; Ry(CM)=4m; Vx(CM)=1,6m/s; Vy(CM)=2,4m/s; b) r2x=3m; r2y=16m].

5) Dos masas de 10 kg y de 6 kg están situadas en los puntos (0,3) m y (4,0) m, respectiva-mente y unidas por una barra rígida de masa despreciable. Estando inicialmente en reposo, se someten a las fuerzas de 8 N paralela al eje X, la primera, y de 6 N paralela al eje Y, la se-gunda. a) Calcula las coordenadas del centro de masas (CM) en función del tiempo. b) Ex-presa el momento lineal en función del tiempo. [a) Rx(CM)=1,50+0,25t2 m; Ry(CM)=1,88+0,188t2 m; b) Px(CM)=8t kg×m/s; Py(CM)=6t kg×m/s]

6) Un objeto cae desde una altura de 180 m y, al cabo de 3 s, explota dividiéndose en dos fragmentos de igual masa, uno de los cuales sale con velocidad horizontal, al eje +X, de 20 m/s. Calcular: a) velocidad del otro fragmento; b) posición del primero cuando el segundo alcanza el suelo. [a) vx=-20m/s; vy=-58,8m/s; b) r1x=40m; r1y=116,3m].

7) Un proyectil explota en el punto más alto de su trayectoria resultando dos fragmentos A y B. El fragmento A, de 2 kg, sale horizontalmente con una velocidad doble a la que tenía el proyectil en el momento de la explosión. Determinar la velocidad de salida del fragmento B e indicar cuál de los dos fragmentos alcanza antes el suelo. Haz un esquema de las trayecto-rias. (Resolver el problema para valores de 1, 2 y 4 kg de la masa del fragmento B). [vA=2v; vB(1)=-v; vB(2)=0; vB(4)=½v; igual t]

8) Un patinador de 70 kg, en reposo sobre una pista de hielo, lanza un objeto de 10 kg con una velocidad horizontal de 10 m/s en el sentido positivo del eje OX. El coeficiente de roza-miento patín-hielo es de 0,1. Determinar: a) la velocidad del patinador 0,2 s después del lanzamiento; b) velocidad del objeto respecto del centro de masas patinador-objeto, en ese mismo instante. Dato: g=10 m/s2. [a) vx=-1,23m/s; b) vx=9,83m/s; vy=-17,5m/s].

9) Una cañón de masa 1300 kg lanza una bala de masa 72 kg en una dirección horizontal con una velocidad relativa al cañón de 55 m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso del cañón respecto de la Tierra y la velocidad de la bala respecto de la Tierra?.[-2,9 y 52 m/s]

10) Una bala de masa 3,50 g se dispara horizontalmente. La bala atraviesa un objeto, de masa 1,20 kg, que está en reposo, y luego se incrusta en otro objeto de masa 1,80 kg, que también está en reposo. El primer objeto adquiere una velocidad de 0,630 m/s y el segundo, con la bala en su interior, adquiere una velocidad de 1,40 m/s. Calcula: a) la velocidad de la bala inmediatamente después de salir del primer bloque; b) la velocidad inicial de la bala. [721 m/s y 937 m/s]

11) Un cuerpo de 6 kg, en reposo en el origen de coordenadas, explota en tres fragmentos de masas 1 kg, 2 kg y 3 kg. Considera el plano XY horizontal y el eje Z vertical. Las componen-tes de las velocidades de los dos primeros: (v1x=8m/s) y (v2x=-4m/s;v2y=2m/s). Calcula: a) la velocidad del tercer fragmento; b) la cantidad de movimiento del sistema antes y después de la explosión; c) momento cinético respecto al origen, de cada fragmento y del sistema, a los

Page 21: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 21

tres segundos de la explosión. [a) v3y=4/3m/s; b) 0; c) L1y=360kg×m2/s; L2x=-180kg×m2/s; L2y=-360kg×m2/s; L3x=180kg×m2/s; |Ltotal|=0kg×m2/s]

12) Un sistema de dos partículas, de masas m1=2 kg y m2=3 kg, situadas en los puntos (0,1,1) m y (-1,0,1) m, se mueven con velocidades de componentes: v1x=10m/s; v2x=-4m/s y v2y=4 m/s. Calcula: a) la velocidad del centro de masas; b) los momentos lineales de cada una respecto del centro de masas; c) el momento angular del sistema respecto del centro de masas (sistema-C); d) el momento angular del sistema respecto del sistema OXYZ (sistema-L); e) verifica la relación: L=Lorbital+Linterno. [a) Vx(CM)=8/5m/s; Vy(CM)=12/5m/s; b) p’1x=84/5kg×m/s=-p’2x; p’1y=-24/5kg×m/s=-p’2y; c) L’z=-21,6J×s; d) Lx=-12J×s; Ly=8J×s; Lz=-32J×s; e) Lx(orbital)=-12J×s; Ly(orbital)=8J×s; Lz(orbital)=-10,4J×s]

13) Un núcleo originalmente en reposo, se descompone radiactivamente por emisión de un electrón de momento lineal y en ángulo recto a la dirección del electrón un neutrino. Calcu-la: a) en qué dirección retrocede el núcleo original; b) cuál es el momento lineal del núcleo residual y su velocidad. Datos: pelectrón=9,22×10-21 kg×m/s; pneutrino=5,33×10-21 kg×m/s; mnú-

cleo(residual)=3,90×10-25 kg. [a) 150º con el electrón; b) 1,07×10-20 kg×m/s y 27,3 km/s]

14) Sea el sistema constituido por dos partículas, denominadas 1 y 2, de masas, posición y velocidad: m1=4kg; r1y=4m; v1x=2m/s y m2=6kg; r2x=4m; v2y=3m/s. Verifica: a) la relación en-tre el momento angular referido al sistema-L y al sistema-C; b) la relación entre la energía cinética del sistema referida al sistema-L y al sistema-C. [a) Lz(total)=40J×s; Lz(orbital)=30,4J×s; Lz(interno)=9,6J×s; b) Ec(total)=35J; Ec(orbital)=19,4J Ec(interna)=15,6J]

15) Una partícula de masa 5 kg moviéndose a una velocidad de 2 m/s colisiona con otra de 8 kg en reposo. Si la colisión es elástica calcula la velocidad de cada partícula después del choque en los dos casos: a) colisión frontal; b) si la primera es desviada 50º desde su direc-ción original. [a) v’1=0,46 m/s; v’2=1,54 m/s; b) v’1=1,57 m/s; v’2=0,97 m/s]

16) Una partícula de 4 kg se mueve en el sentido positivo del eje OX con una velocidad de 2 m/s. Otra partícula de 1 kg se mueve hacia el origen, para chocar con la de 4 kg, a una ve-locidad de 4 m/s en una dirección que forma un ángulo de +30º con el eje OX. Calcular la velocidad de cada partícula después del choque, supuesto éste: a) elástico; b) inelástico. [a) v’1x=-0,2 m/s; v’2x=5,28 m/s; v’2y=-2 m/s; b) VCM=0,91i-0,4j m/s]

17) Dos bolas A y B de masas diferentes y desconocidas chocan, estando A inicialmente en reposo cuando B tiene una velocidad. Después del choque B tiene otra velocidad de módulo la mitad de la inicial y dirección perpendicular a su movimiento original. Determina en qué dirección se mueve A después del choque. [a -26,56º de la dirección de B]

18) En un reactor nuclear se producen neutrones rápidos que deben ser retardados antes de que ellos participen en el proceso de reacción en cadena. Esto se realiza haciéndolos coli-sionar con el núcleo de átomos en un moderador. Calcula: a) ¿qué fracción de la energía ci-nética de un neutrón, de masa m1, se reduce en una colisión frontal elástica con un núcleo de masa m2 inicialmente en reposo?; b) la fracción por plomo, carbono y hidrógeno. Datos: la relación entre la masa nuclear y la masa del neutrón (m2/m1) es para el plomo de 206, para el carbono 12 y para el hidrógeno 1. [a) fracción = (Ki - Kf)/Ki = 4×m1×m2/(m1+m2)2; b) 0,019; 0,28 y 1]

19) El péndulo balístico es un aparato que se usaba para medir las velocidades de las balas. El aparato consiste de un gran bloque de madera de masa 5,4 kg colgado desde dos largos cordones. Una bala de masa 9,5 g se dispara horizontalmente contra el bloque, que está en reposo. El bloque con la bala incrustada, después del impacto, suben, de tal forma que su centro de masa sube una distancia vertical de 6,3 cm hasta que se para. Calcula: a) la velo-cidad de la bala antes de la colisión; b) la energía cinética inicial de la bala y la energía me-cánica que permanece. [a) 630 m/s; b) 1900 J y 3,3 J]

20) Dos partículas, de igual masa, tienen una colisión elástica estando una de ellas en repo-so. Demuestra (a menos que la colisión sea frontal) que las dos partículas después de la co-lisión se mueven perpendicularmente. i if f f fv v v v v v! " # ! "2 2 2

1 11 2 1 2! ! !

21) Un núcleo radiactivo de Uranio-235 se desintegra espontáneamente a Torio-231 emi-tiendo una partícula alfa. Si la partícula alfa tiene una masa de 4,00×u y una energía cinéti-

Page 22: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Dinámica de los sistemas de puntos materiales” Página 22

ca de 4,60 MeV calcula la energía cinética de retroceso del núcleo Torio-231 de masa 231×u. [79,7 keV]

22) Un protón, de masa atómica 1×u, con una velocidad de 500 m/s colisiona elásticamente con otro protón en reposo. El protón primero se desvía 60º de su dirección inicial. a) ¿Cuál es la dirección de la velocidad del protón en reposo después de la colisión?; b) ¿cuáles son las velocidades de los dos protones?.

[a) 30º respecto del incidente; b) 250 m/s y 433 m/s]

23) Dos esferas pequeñas de 0,5 kg y 1 kg cuelgan de un mismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud. Se eleva la esfera de 0,5 kg hasta que el hilo está horizontal y se suelta, dejándola caer libremente. Calcular: a) velocidad de la esfera inmediatamente antes de cho-car con la otra esfera; b) velocidad de cada esfera después del choque, supuesto elástico; c) altura máxima de cada esfera tras el choque. [a) 19,6½ m/s; b) v’1(0,5)=1,48 m/s; v’2=2,9 m/s; c) 0,11 m; 0,44 m]

24) Una granada de masa m se mueve horizontalmente a 2 m/s, explota en tres fragmentos de masas m/3, m/2 y m/6. Inmediatamente después de la explosión, los tres fragmentos se mueven en un mismo plano vertical, el primero, horizontalmente, a 5 m/s y el segundo, a 5 m/s, formando 45º con la horizontal. a) Calcule la velocidad del tercer fragmento después de la explosión y haga un esquema vectorial de las velocidades de los tres fragmentos. b) Ex-prese la velocidad del centro de masa del sistema en función del tiempo.

Page 23: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 1

ÍNDICE DE “CAMPOS. TRABAJO Y ENERGÍA”

Campos Escalares y Vectoriales

Significado físico del vector gradiente

Circulación de un Campo Vectorial. Campos Conservativos

Campos conservativos: propiedades

Trabajo. Energía Cinética. Energía Potencial

Trabajo de una fuerza variable

Energía Cinética

Energía Potencial

Propiedades de un campo de fuerzas conservativo

Conservación de la Energía Mecánica

Principio de conservación

Ejemplos de campos conservativos

Fuerzas disipativas

Flujo de un Campo Vectorial

Teorema de Gauss

Interacciones fundamentales de la Naturaleza

Modelo estándar

Fuerza electromagnética

Fuerza débil

Fuerza fuerte

Problemas de Campos, Trabajo y energía

Page 24: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 2

Campos Escalares y Vectoriales.- Concepto de Campo: El concepto de campo surge a mediados del siglo pasado, debido a Faraday, para explicar las interacciones entre cargas eléctricas. Para explicar estos hechos Faraday supuso que una carga eléctrica situada, en reposo, en el espacio está rodeada de un campo eléctrico (electrostático), el cual actúa sobre otra carga en reposo. Si la primera carga estuviese en movimiento estaría rodeada de un campo electromagnético, el cual influi-ría electromagnéticamente sobre otra carga en reposo o en movimiento.

La interacción mutua entre dos partículas se describe mediante el concepto de campo de fuerzas. Es decir, en vez de hablar de la acción de una partícula sobre otra, podemos de-cir que la partícula crea un campo en torno a ella y determinada fuerza actúa entonces so-bre cada una de las otras partículas situadas en el campo.

El concepto de campo tiene mucha importancia en la Física ya que las interacciones no se propagan instantáneamente sino a una velocidad finita. Así la fuerza que actúa sobre una partícula en un instante dado, no está determinada por las posiciones de las demás en el mismo instante. Un cambio en la posición de una de las partículas repercute sobre las otras partículas tan sólo después de transcurrido un cierto tiempo. Esto significa que el cam-po tiene una realidad física y no podemos hablar de una interacción directa de partículas co-locadas a distancia las unas de las otras.

Las interacciones en un instante cualquiera pueden ocurrir solamente en puntos muy próximos en el espacio sería interacciones de contacto.

Por tanto, lo correcto es hablar de la interacción de una partícula con el campo y de la ulterior interacción del campo con una segunda partícula. Ahora bien, es conveniente recor-dar que las interacciones electromagnéticas tienen al fotón como partícula transportadora de la interacción siendo la velocidad de la luz finita.

En una región del espacio se considera que existe un Campo cuando hay un ob-servable físico en cada punto del espacio. Si el observable físico es de naturaleza escalar, tal como la temperatura, la presión, etc., será un Campo Escalar y si es de naturaleza vecto-rial, tal como la velocidad, la fuerza, etc., será un Campo Vectorial.

Campos escalares: Una magnitud escalar U, como la temperatura, que toma valores determinados en

cada punto del espacio se llama función escalar del punto o campo escalar ! "U U r#!

. Por ejemplo, campo de temperatura, de densidad de un medio no homogéneo, de presiones, etc. Un campo escalar puede definirse mediante la función escalar del argumento vectorial

! "U U r#!

U=1

U=0,5

U=-1

U=-0,5

1 2 1 2x

y y

x

U=1/rU=-1/r

x

y

z

Representaciones gráficas de los campos escalares:

2 2 2 2

1 1U(x, y) ; U(x, y)x y x y

# # $% %

Superficie de nivel: Consideremos un campo escalar U(x,y,z), los puntos del campo (puntos del espacio) en los cuales U(x,y,z) toma el mismo valor constituyen una superficie de nivel. Siempre se cumple que por cada punto del campo pasa sólo una superficie de nivel. Campos vectoriales:

Page 25: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 3

Una magnitud vectorial ! "F F r#! ! !

que toma un valor determinado en cada punto del espacio se llama función vectorial o Campo Vectorial. Ejemplos de campos vectoriales: un campo de fuerzas, de fuerza gravitatoria o de fuerza electrostática, el campo de velocidades de las partículas de un líquido en movimiento, un campo de intensidad eléctrica, un campo magnético o de inducción magnética.

Representaciones gráficas de un Campo Vectorial central están en el dibujo anterior. Líneas del campo: En un campo vectorial se llaman líneas del campo a unas líneas tales que en cada punto de la línea el vector del campo es tangente a la curva (líneas radiales y líneas circulares). Siempre se cumple que por cada punto del campo pasa sólo una línea del campo y, por tanto, las líneas no se cortan.

Derivada direccional; gradiente: En un campo escalar U=U(x,y,z), como la Temperatura, al pasar de un punto P, de vector de posición ! "x y zr ;r ;r , a otro punto P’ infinitamente próximo,

de vector de posición ! "x x y y z zr dr ;r dr ;r dr% % % , éste varía un diferencial de U (dU).

Si U dependiera sólo de la variable x entonces dUdU dxdx

#

y

x=dx&

dy &y

y=f(x)tg =dy/dx

x

dy=y'∙dx

línea tangente

&y es el cambio en y a lo largo de la curva

dy=y'∙dx es el cambio de en y a lo largo de la

línea tangente. Un diferencial de U sería la derivada de U con respecto a la variable multiplicado por

lo que varía la variable, es decir, un diferencial de x. Como U depende de las tres variables x, y, z:

y,z x,yx,z

U U UdU dx dy dzx y z

' () ) )' ( ' (# % %* +* + * +) ) ), - , -, -

Diferencial de una función U en un punto es el producto de las derivadas de la fun-ción en ese punto por un incremento de la variable independiente. Ejemplo:

! " ! "

2

2

y x

U x y

U UdU dx dy 2xy dx x dyx y

. #/

' () )0 ' (# % # %* +* +/ ) ), - , -1

Si el diferencial de desplazamiento en el campo escalar es igual a dr dx i dy j dz k# % %! ! !!

Podemos escribir:

Page 26: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 4

y,z x,yx,z

U U UdU U dr i j k dx i dy j dz kx y z

U U UdU U dr dx dy dzx y z

2 3) ) ) 2 3# 4 5 # % % 5 % %6 7 8 9) ) )8 9' () ) )' ( ' (# 4 5 # % %* +* + * +) ) ), - , -, -

! ! ! ! ! !! !

! !

Que es el producto escalar del gradiente de U por el diferencial del vector desplazamiento.

Significado físico del vector gradiente: Representa la dirección del máximo cambio en los valores del Campo Escalar o la dirección de máxima pendiente en el Campo Escalar.

Or

dr

!U

U=cte

U=cte

!U

vdUds =!U∙cosß

ß

Si nos movemos en una superficie equiescalar o de nivel, es decir, por puntos en los que dU=0, significa que el producto escalar del vector gradiente de U, U4

!, por el vector dr

!

es cero: dU U dr 0# 4 5 #! !

El producto escalar cero implica que los dos vectores son perpendiculares, por tan-to, el vector gradiente de U es un vector perpendicular a la superficie de nivel.

Circulación de un Campo Vectorial. Campos Conservativos.- Circulación elemental:

Sea un campo vectorial cuyo vector campo en el punto P(x,y,z) viene dado por

x y zF F i F j F k# % %! ! !!

y sea x y zdr dr i dr j dr k# % %! ! !!

un desplazamiento elemental cualquiera. Se

define la circulación elemental del vector al producto escalar del vector en ese punto por el diferencial de la posición:

x y zx x y y z z

x y z

F F i F j F kdC F dr F dr F dr F dr

dr dr i dr j dr k

. :# % %/ / ; # 5 # % %0 <# % %/ /1 =

! ! !!! !

! ! !!

Ejemplo: En física elemental aprendimos que el trabajo realizado por la fuerza aplicada so-bre un objeto es igual al producto de la fuerza por el desplazamiento. Si la fuerza y el des-plazamiento no es paralelo, entonces la componente de la fuerza perpendicular al desplaza-miento no realiza trabajo.

Si la fuerza varía con la distancia o también la dirección del movimiento cambia con el tiempo, podemos escribir, para un desplazamiento infinitesimal

dW F dr# 5! !

Circulación a lo largo de una trayectoria: Supongamos que el objeto se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea que une

dos puntos A y B. Si hay definido un campo de fuerzas en todos los puntos de la trayectoria curvilínea, como a lo largo de una curva hay sólo una variable independiente podemos es-cribir la circulación como función de una única variable. Por tanto, la integral de a lo largo de una curva dada será una integral sencilla de una variable y se llama integral de línea o curvilínea, en contrate con la integral en una superficie que es doble.

F

d r

dW=F∙drA

B

Page 27: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 5

Se llama Circulación del Campo Vectorial a lo largo de la trayectoria desde A hasta B a la integral curvilínea de la función vectorial tomada sobre el camino AB:

i i

N B

(r ) i (r ) ir 0 Ai 1

lim F r F dr& >

#

5 & # 5? @! !!! !! !

Propiedades de la Circulación: B A C B

A B A CF dr F dr F dr F dr5 # $ 5 # 5 % 5@ @ @ @! ! ! !! ! ! !

Ejemplo: Dada la fuerza 2F xyi y j# $! !!

calcula el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de los caminos indicados en la figura desde (0,0) hasta (2,1).

12

3

3(2,1)

21

1

Al ser B 2,1

2

A 0,0W F dr xydx y dy2 3# 5 # $8 9@ @

! !, debemos escribir la integral en términos de

una variable.

A lo largo del camino 1 que es la línea recta de ecuación y=½∙x B 2,1

2 2,1 22 21 1 1A 0,0 2 4 20,0 01 1

2 2

W F dr xydx y dyW xydx y dy x x x dx 1

y x dy dx

. :2 3# 5 # $/ /8 9 2 3 2 3; # $ # $ #0 < 8 9 8 9/ /# ; #1 =

@ @ @ @! !

A lo largo del camino 2 o una parábola de ecuación y=¼∙x2 B 2,1

2 2,1 22 2 4 21 1 1A 0,0

4 16 2 30,0 021 14 2

W F dr xydx y dyW xydx y dy x x x x dx

y x dy xdx

. :2 3# 5 # $/ /8 9 2 3 2 3; # $ # $ #0 < 8 9 8 9/ /# ; #1 =

@ @ @ @! !

A lo largo del camino 3 que es la línea quebrada desde (0,0) hasta (0,1), que es una recta x=0 (dx=0), y luego hasta (2,1), que una recta y=1 (dy=0), y sumamos los resultados:

A B0,1 2,1 0,1 2,1

2 2 2 530,0 0,1 0,0 0,1

W xydx y dy xydx y dy y dy x1dx2 3 2 3 2 3# $ % $ # $ % #8 9 8 9 8 9@ @ @ @

Campos conservativos.- En el ejemplo anterior hemos calculado tres trabajos por tres caminos distintos, y los

tres han sido distintos. Le podemos dar un significado físico a estos hechos si interpretamos las integrales en todos los casos. Como el trabajo realizado por la fuerza sobre un objeto que se mueve a lo largo del camino de integración se expresa por el producto escalar del campo

de fuerzas por el desplazamiento B

AW F dr# 5@

! ! lo lógico es que dependa del camino de in-

tegración, tanto como de los puntos extremos A y B, y se llama no-conservativo. Físicamen-te significa que la energía se ha disipado depende de la trayectoria como, por ejemplo, en el rozamiento.

Sin embargo, existen campos de fuerzas, llamados conservativos, para los que el trabajo es el mismo entre dos puntos dados A y B independientemente del camino por el que lo calculemos. Por tanto, para que el campo de fuerzas sea conservativo se ha de cumplir que el integrando sea una diferencial exacta de una cierta función escalar U llamada poten-cial, o más bien, energía potencial ya que tiene unidades de energía. Se ha de cumplir que:

Page 28: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 6

BB B B

A B AA A A

W F drW F dr U dr dU U U

F dr U dr dU

. :# 5/ / ; # 5 # 4 5 # # $0 <

/ /5 # 4 5 #1 =

@ @ @ @! ! ! !! !

! !! !

Propiedades de un campo conservativo:

1) En cada punto, de un campo vectorial conservativo F F(r)#! ! ! se define un escalar que

depende solamente de las coordenadas de ese punto U U(r)#! y constituyendo un

campo escalar asociado al vectorial, cuya relación es: F U# 4! !

2) En un campo vectorial conservativo la circulación a través de una trayectoria cerrada

es cero: F dr 05 #@! !"

3) En un campo escalar, asociado a un campo vectorial conservativo, lo único que está definido es la diferencia de potencial entre dos puntos ya que el potencial de un pun-to queda indeterminado por una constante: F dr dU5 #

! !

Trabajo. Energía Cinética. Energía Potencial.- Trabajo de una fuerza variable:

Se define el Trabajo realizado por la fuerza aplicada sobre una partícula, de masa m, a lo largo de un arco de trayectoria entre dos puntos, de posición inicial A hasta el de posi-ción final B, como la circulación de la fuerza a lo largo de ese arco de curva:

B B

por x x y y z zA A

W F dr F dr F dr F dr2 3# 5 # % %8 9@ @! !

El trabajo es una magnitud escalar, aunque las dos magnitudes implicadas en su definición son vectoriales. La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es el Joul (J). Energía Cinética:

La energía cinética es un tipo de energía que está asociada con el estado de movi-miento de un cuerpo, por lo que es relativa, depende del sistema de referencia. El teorema trabajo-energía nos dice que “El trabajo realizado por la fuerza neta sobre una partícula de masa m es igual a la variación de su energía cinética”:

f f f f2 2

neto neta f i cinéticai i i i

dp 1 1W F dr dr v dp mv dv mv mv Edt 2 2

# 5 # 5 # 5 # 5 # $ # &@ @ @ @!! ! ! !! ! !

Para cuerpos que se mueven a velocidades próximas a la de la luz se ha de utilizar la Teoría de la Relatividad que considera como ley universal “la velocidad de la luz es una invariante física, teniendo el mismo valor para todos los observadores en movimiento relati-vo uniforme”.

Como consecuencia las transformaciones de Galileo no son correctas y todos los ob-servadores en movimiento relativo uniforme son equivalentes, lo que lleva al principio de la relatividad especial siguiente “todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores inerciales que se muevan con velocidad relativa constante unos res-pecto de otros”.

Con lo cual para que se cumpla el principio de conservación del momento lineal en partículas rápidas

Page 29: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 7

v v v

c t0 0 0

relativasobre propia relativa2

2c

E F ds vdp vp pdv

mvdpF ; p mv mvdt v1

c

E mc ( 1)

# # # $

# # # # C' ($ * +, -

# C $

@ @ @!!! ! ! !

Energía Potencial: La energía potencial de la partícula es otro tipo de energía que aparece en los campos de fuerzas conservativos y sólo es función de la posición de la partícula.

En un campo de fuerzas conservativo a cada punto del campo le podemos asociar un potencial, que es una magnitud escalar, y como el potencial tiene dimensiones de energía se llama energía potencial:

p pF dr E dr dE5 # $4 5 # $! !! !

En un campo de fuerzas conservativo el trabajo realizado sobre una partícula será:

! "p p

B B

p p(B) p(A) pA A

F dr E dr dE

W F dr dE E E E

. 5 # $4 5 # $/0

# 5 # $ # $ $ # $&/1 @ @

! !! !

! !

Propiedades de un campo de fuerzas conservativo:

1) En cada punto, de un campo de fuerzas conservativo F F(r)#! ! !

se define un escalar que depende solamente de las coordenadas de ese punto p pE E (r)#

! y constituyendo

un campo escalar asociado al vectorial, con dimensiones de energía, cuya relación es:

p pF dr E dr dE5 # $4 5 # $! !! !

2) El signo menos físicamente significa que la fuerza se dirige hacia los puntos del campo en los que decrece la energía potencial en la dirección del gradiente:

3) En los campos de fuerzas conservativos coexisten dos campos, el campo vectorial de fuerzas y el campo escalar de energía potencial. Siendo las líneas de fuerza del campo vectorial perpendiculares a las superficies de nivel de la energía potencial.

4) En un campo de fuerzas conservativo la circulación a través de una trayectoria ce-

rrada es cero: F dr 05 #@! !"

5) En un campo de fuerzas conservativo lo que verdaderamente tiene significado físico es el incremento de energía potencial. En un campo escalar, asociado a un campo vectorial conservativo, lo único que está definido es la diferencia de potencial entre dos puntos ya que la energía potencial de un punto queda indeterminada por una constante: pdW F dr dE# 5 # $

! !

Conservación de la Energía Mecánica.- Considera un campo de fuerzas conservativo, la fuerza actuante sobre una partícula que se desplaza realiza un trabajo sobre ella:

! "sobre c p

c(f ) c(i) p(f ) p(i)

c(f ) p(f ) c(i) p(i)

W E E

E E E E

E E E E

# & # $&.// $ # $ $0/

% # %/1

La energía mecánica de un cuerpo es la suma de la energía cinética y de la energía poten-cial.

Page 30: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 8

Principio de conservación: “Si un cuerpo se encuentra en un campo de fuerzas conservati-vo la suma de la energía cinética y de la energía potencial es siempre constante”.

Es decir, la condición necesaria y suficiente para que se conserve la energía mecánica es que la fuerza derive de un potencial escalar.

Ejemplos de campos conservativos: 1º) La fuerza que ejerce un muelle al ser comprimido o estirado depende del desplazamiento que experimenta, conocida como ley de Hooke F k r# $ 5

! ! , la fuerza del muelle es la fuerza ejercida por el muelle sobre un cuerpo y el desplazamiento se refiere a la posición de equi-librio, por lo que el muelle puede ser comprimido o alargado. El trabajo que realiza un mue-lle se invierte en incrementar la energía potencial del muelle:

ff f2 2 2

f i p(muelle)i i i

F k r

1 1 1W F dr kr dr kr kr kr E2 2 2

# $ 5

2 3 2 3# 5 # $ 5 # $ # $ $ # $&6 7 6 78 9 8 9@ @

! !

! ! ! !

2º) La fuerza gravitatoria que viene dada por la ley de gravitación universal es conservativa

ya que depende de la distancia entre las masas r2MmF G ur

# $! ! y el trabajo realizado por el

campo gravitatorio sobre un cuerpo de masa m se invierte en incrementar la energía po-tencial del cuerpo:

r2

ff f

r p(gravitatoria )2i i f ii

MmF G ur

Mm Mm Mm MmW F dr G u dr G G G Er r rr

# $

2 32 3# 5 # $ # # $ # $&6 76 78 9 8 9@ @

! !

! ! ! !

En las proximidades de la superficie terrestre:

A B A B

Tr r2

Tf f f

r f i p(gravitatoria)ii i

M mF G u mgu

R

W F dr mgu dr mgr mgr mgr E

# $ # $

# 5 # $ 5 # $ # $ $ # $&@ @

! ! !

! ! ! !

3º) La fuerza electrostática que viene dada por la ley de Coulomb es conservativa ya que de-

pende de la distancia entre las cargas e r2QqF K u qEr

# #! !! el trabajo realizado por el campo

electrostático sobre un cuerpo de carga q’ se invierte en incrementar la energía potencial del cuerpo:

e r2

ff f

e r e e e p(electrostática)2i i f ii

QqF K u qEr

Qq Qq Qq QqW F dr K u dr K K K Er r rr

# #

2 32 3# 5 # # $ # $ $ # $&6 76 78 9 8 9@ @

! !!

! ! ! !

Fuerzas disipativas: Si además de las fuerzas conservativas hay fuerzas disipativas, o de fricción, como la fuerza de rozamiento, la energía mecánica no se conserva ya que aparece un trabajo disipativo que se pierde. Las fuerzas disipativas tienen sentido opuesto al deseo del desplazamiento, luego el

trabajo debido a estas fuerzas es siempre negativo: disipativoW F dr 0# 5 D@! !"

! "! "

cons disi c d p d

B B B

neto c d p d p dA A A

F dr F F dr F dr F dr dE F dr

W F F dr dE F dr E W

5 # % 5 # 5 % 5 # $ % 5

# % 5 # $ % 5 # $& %@ @ @

! ! ! ! ! !! ! ! ! !

! ! !! !

Page 31: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 9

La conservación de la Energía ha de incluir el Trabajo debido a las fuerzas de roza-miento. Si en el sistema intervienen varias fuerzas conservativas (elástica y gravitatoria) hay que considerarlas todas:

neto c

neto p(muelle) p(gravitatoria ) disipativo

c p(m) p(g) d

disipativo c p(muelle) p(gravitatoria)

W EW E E W

E E E W

W E E E 0

# &. :/ / ;0 <# $& $ & %/ /1 =& # $& $ & %

# & % & % & D

Flujo de un Campo Vectorial: Si consideramos una superficie plana dentro de un Campo Vectorial F

! se llama Flu-

jo del Campo vectorial a través de la Superficie S!

al producto escalar del Campo por el vec-tor F SE # 5

!!

-

+S

El Flujo depende de la magnitud de los vectores y de sus orientaciones respectivas, de tal forma que el flujo será máximo cuando el ángulo sea de 0º ó de 180º. El vector de una superficie plana equivale al producto vectorial de sus lados, si A y B son los lados de la su-perficie que forma un ángulo entre sí en una determinada dirección: S A B# F

! ! !

Si la superficie está curvada, o el campo no es uniforme, entonces dividimos la su-perficie en diferenciales de superficies y consideramos que los vectores unitarios de los dife-renciales son perpendiculares a ellos y dirigidos hacia la convexidad

1 2 1 1 2 2dS dS ... dS u dS u ...% % # % %! ! ! !! !

El Flujo Total será: n

i ini 1

lim F dS F dS>G

#

E # 5 # 5? @@! !! !

En superficie cerrada o superficie gausiana: n

i ini 1

lim F dS F dS>G

#

E # 5 # 5? @@! !! !#

El Flujo a través de una Superficie nos mide la cantidad de líneas del campo que pa-san por esa superficie. Si la superficie es cerrada, superficie gausiana, el flujo puede ser positivo, negativo o cero:

1) Si el flujo es mayor que cero quiere decir que salen más líneas del campo que entran. Físicamente quiere decir que dentro de esa superficie se generan más líneas del cam-po y diremos que dentro de esa superficie hay fuentes del campo vectorial.

2) Si el flujo es negativo quiere decir que salen menos líneas del campo que entran. Fí-sicamente quiere decir que dentro de esa superficie hay sumideros de esas líneas del campo.

3) Si el flujo es cero quiere decir que entran el mismo número de líneas del campo que salen.

Por tanto, desde el punto de vista físico lo que nos mide el flujo a través de una superficie cerrada es la magnitud de las fuentes o sumideros del Campo vectorial contenidos en su in-terior. Se define la divergencia de un campo vectorial como:

V 0

F dSF lim F dS FdV

V>

54 5 # ; E # 5 # 4@@ @@ @@@

!!!! ! !! !

Page 32: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 10

Teorema de Gauss: “El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada que envuelve a un volumen es igual a la divergencia del campo vectorial a través de dicho volu-men”.

El significado físico del teorema de Gauss es que el flujo del campo vectorial a través de una superficie cerrada nos da la magnitud de las fuentes del campo vectorial que hay en el vo-lumen encerrado por dicha superficie.

Interacciones fundamentales de la Naturaleza.- El concepto general de fuerza es igual a la relación entre el cambio del momento li-neal y el tiempo que tarda en producirse. Siendo la fuerza la causa de todo cambio, reac-ción, creación o desintegración (transmutación). En la Naturaleza se distinguen cuatro fuerzas fundamentales: gravitatoria, electromagnética, fuerte y débil. Estas fuerzas se han reconocido como resultado del análisis de gran número de experimentos.

La fuerza gravitatoria actúa sobre todas las partículas, pero su efecto en el nivel de partículas subatómicas es muy débil. La fuerza electromagnética actúa sobre todas las par-tículas cargadas. La fuerza fuerte es la que obliga a los núcleos a permanecer unidos, o a que los nucleones permanezcan pegados, y actúa sólo sobre algunas partículas llamadas hadrones; constituidas por los bariones, como los protones y neutrones, que tienen espín semientero y son fermiones, y los mesones que tienen espín entero y son bosones. La fuerza débil es la responsable de la desintegración-ß y de procesos similares, y actúa sobre todas las partículas.

Las fuerzas fundamentales o interacciones están asociadas con unas fuentes. Estas entidades se asocian con el origen de las fuerzas o la materia sobre la que actúan las fuer-zas. Esto sale directamente de la ley de conservación del momento o la equivalente tercera ley de Newton de “acción y reacción”, si una fuente es origen de una fuerza es una entidad sobre la que puede actuar dicha fuerza. Esto es natural porque las fuerzas son expresiones del cambio de momento lineal entre cuerpos interaccionantes.

Modelo estándar: La teoría moderna de clasificación de partículas se llama el modelo estándar. Consi-

dera que todos los fenómenos de la Física de partículas se basan en las propiedades y en las interacciones de un pequeño número de partículas elementales que pertenecen a tres tipos distintos. Los dos primeros tipos se llaman leptones y quarks, y el tercero es una serie de bosones que actúan como transportadores de las fuerzas o de las interacciones. En el mo-delo estándar, estas partículas se consideran elementales, es decir, se tratan como partícu-las puntuales, sin estructura interna o estados excitados.

1) Leptones: Los leptones son todos fermiones, de espín-½, sobre los que no actúa la interacción

fuerte. Existen seis leptones, tres cargados negativamente (electrón, muón y tauón) y tres neutros que están asociados a ellos. Los leptones cargados tienen la misma carga negativa que el electrón (-1,6∙10-19 C) y su masa es distinta. El electrón tiene una masa de 9,1∙10-31 kg (0,51 MeV/c2), el muón de 105,658 MeV/c2 y el tauón 1784 MeV/c2.

La unidad de masa atómica, 1u=(6,022∙1023)-1 g, equivale a 931,48 MeV. Lo que se obtiene mediante

! "

! " ! "

622 31 8 me s 19

1925

kg 2 2 68 ms

10 MeVE m c 9,1 10 kg 3 10 0,511875MeV1,6 10 J

105,658MeV 105,658MeV 1,6 10 Jm 1,878 10 kgc 10 MeV3 10

$$

$

$$

H $

# # 5 F 5 F #5

5# # F # 5

5

Además de los seis leptones existen sus correspondientes antipartículas (antilepto-nes):

Page 33: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 11

e e

e eH HI I

$ $ % %$ %

J JJ J J J' ( ' (' ( ' ( ' ( ' (* + * +* + * + * + * +* + * + * + * +* + * +I IH H, - , - , - , -, - , -

$$ $

Leptones (espín-½) Energía en reposo Qe Vida media Electrón Neutrino-electrón

0,511 MeV < 3∙10-5 me

-1 0

Estable Estable

Mu-leptón o muón Neutrino-mu

105,7 MeV 0 MeV

-1 0

2,2∙10-6 s Estable

Tau-leptón o tauón Neutrino-tau

1784 MeV 0 MeV

-1 0

3,0∙10-13 s Estable

Los neutrinos y los antineutrinos se detectan en los procesos de desintegración-ß inversos

e

e

n e p

p e n

$ %

% %

J % > %

J % > %$

El muón y el tauón son inestables, con tiempos de vida de 2,2∙10-6 s y 3,0∙10-13 s, respecti-vamente. Se desintegran por interacción débil, y la gran diferencia en sus tiempos de vida es una consecuencia de la diferencia de masa.

e e

e

e e

e

$ $ $ $H I

$ $% %H IH

. :H > % J % J . :I > % J % J/ / / /0 < 0 <

I > H % J % JH > % J % J / // / 1 =1 =

$ $

$$

2) Quarks: 2 2 2

u e c e t e3 3 31 1 1

d e d e d e3 3 3

q q q q q qup charged top u c tdown strange bottom d s b q q q q q q

' ( ' ( ' (# % # % # %' ( ' ( ' ( ' ( ' ( ' ( * + * + * +; ;* + * + * + * + * + * + * + * + * +# $ # $ # $, - , - , - , - , - , - , - , - , -

Quarks (espín-½) Energía Carga (Qe) Extrañeza Nº bariónico Up (u) Down (d)

0,35 GeV 0,35 GeV

+ 2/3 - 1/3

0 0

+ 1/3 + 1/3

Strange (s) Charm (c)

0,50 GeV 1,50 GeV

- 1/3 + 2/3

-1 0

+ 1/3 + 1/3

Bottom (b) Top (t)

4,50 GeV 92 GeV

- 1/3 + 2/3

0 0

+ 1/3 + 1/3

Como los leptones, estos seis tipos distintos de quarks, o sabores, existen a pares. Cada par está formado de un quark con carga fraccionaria, respecto de la carga del electrón. Sin em-bargo, no puede medirse sobre los quarks libres y aislados porque hasta la fecha no han podido ser aislados. Además de la carga eléctrica los quarks poseen otro atributo llamado carga color, que juega el mismo papel que la carga eléctrica en la interacción electromagné-tica. Para explicar por qué se observan sólo ciertas combinaciones de quarks, se considera que hay tres tipos de cargas color, que arbitrariamente se llaman rojo (r), verde (g) y azul (b), a las que añadimos las cargas anticolor. Los estados color corresponden a diferentes valo-res de dos de las cargas color llamados la carga color hipercarga y la carga color isospín.

Cargas color Estados color

Color Isospín (I)

Color Hypercarga (Y)

rojo (r) + 1/2 + 1/3 verde (g) - 1/2 + 1/3 azul (b) 0 - 2/3

Los quarks están unidos por la fuerza fuerte o fuerza “color”. Se considera que los quarks de diferentes colores se atraen formando combinaciones estables, es decir, sin color tales como !qr, qg

" , qb"" " o !qr, qr" . Por esta razón una distribución estable de quark son combina-

ciones sin color de tres quarks o de un quark y un antiquark.

De la misma forma que los átomos neutros están formados de cargas positivas y ne-gativas, una combinación de tres quarks con tres colores diferentes o de un quark con una carga color y un antiquark con la carga anticolor dan un sistema de color neutro o sin color (blanco). Así, los hadrones son combinaciones de quarks sin color. Dos hadrones sin color,

Page 34: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 12

cuando están separados, prácticamente no sienten fuerza color. De la misma forma que dos átomos neutros cuando están separados no sienten apenas la fuerza eléctrica. Pero si dos hadrones se encuentran próximos, los quarks coloreados, en cada uno, pueden sentir la fuerza color de los quarks en el otro. Esta fuerza se llama “interacción residual”, que se po-ne de manifiesto en fenómenos nucleares y es el origen de la fuerza entre protones y neu-trones. Es decir, los núcleos existen por un efecto residual de la fuerza color.

3) Bosones intermediarios: Los bosones intermediarios tienen espín-1 y son las partículas llamadas transportistas de las interacciones.

En una interacción física cambia el momento y la energía, que están cuantiza-dos, es decir, que no pueden variar continuamente, sino que están restringidos a tomar ciertos valores discretos. Por tanto, en una interacción entre dos partículas no se produce un flujo continuo de momento y energía entre ellas a través del campo, la interacción tiene lugar a través del intercambio de bosones. Es decir, cuando se produce una interacción ésta consiste en el intercambio de bosones. El sentido del paso del bosón no se puede discernir por el principio de incertidumbre.

En la interacción electromagnética, la partícula transportadora es el fotón, cuya masa es cero en reposo. En la interacción débil las partículas transportadoras de la inter-acción son W± y Zº. Las partículas W± tienen de masa 80,6 GeV/c2 y la Zº de 91,2 GeV/c2. Los bosones W y Z son muy inestables y se descubrieron en la interacción protón-antiprotón. En la interacción fuerte o fuerza color entre los quarks las partículas trans-portadoras son bosones llamados gluones, que se suponen sin masa y espín-1. Llevan carga color pero no carga eléctrica. Hay ocho gluones, que corresponden a las combinaciones color posibles.

Fuerza electromagnética: Si dos electrones se ejercen una fuerza, esta interacción está descrita por una teoría muy lograda llamada electrodinámica cuántica (QED). Esta teo-ría establece que cada electrón detecta la presencia del otro por intercambio de fotones (que no tienen masa y son bosones de espín-1) entre los dos, siendo el fotón el cuanto del campo electromagnético. Sin embargo, no podemos detectar estos fotones porque son emitidos por un electrón y absorbidos por el otro en un intervalo de tiempo muy corto, y por su corta existencia le llamamos fotones virtuales o partículas mensajeras.

Como las partículas mensajeras de la interacción electromagnética no tienen masa la interacción se produce a muy largas distancias.

Fuerza débil: Una teoría del campo de la fuerza débil se desarrolló análogamente con la del campo electromagnético. Las partículas mensajeras que transmiten la fuerza dé-bil, entre leptones, no son los fotones sino unas partículas con masa llamadas W y Z y que son bosones de espín-1. La teoría ha revelado que la fuerza electromagnética y la fuerza dé-bil son aspectos diferentes de una fuerza llamada electrodébil.

Esta conclusión es una extensión lógica del trabajo de Maxwell, quien consideró que la fuerza eléctrica y la magnética son aspectos diferentes de una única fuerza electromagné-tica. La teoría electrodébil predijo las propiedades de las partículas mensajeras. Es decir, sus cargas y sus energías en reposo (las dos W±, la positiva y la negativa, tienen 80,6 GeV y la Zº tiene 91,2 GeV). Recordamos que el protón tiene una energía de 0,938 GeV. La teoría fue confirmada en 1983 en el acelerador del CERN de Ginebra, por el descubrimiento de las partículas mensajeras W y Z.

Al tener las partículas mensajeras de la interacción débil, una masa muy elevada, di-cha interacción no llega muy lejos, y se dice que es de corto alcance.

Se manifiesta sobre todo produciendo la transmutación de partículas, en vez de ejer-ciendo un efecto de tiro o empuje directo. Fue postulada inicialmente para explicar la desin-tegración ß: 1ª) ! " ! " en udd p uud e% $> % % J$ ; 2ª) ! " ! " ep uud n udd e% %> % % J . Un quark-d es sustituido por un quark-u lo que involucra cambio de sabores de quarks. Es decir, la fuerza débil es capaz de cambiar el sabor de un quark, el d por el u, y los leptones, así los electrones se vuelven neutrinos y así sucesivamente.

A energías altas se han producido en los aceleradores de partículas los bosones por interacción electromagnética:

Page 35: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos. Trabajo y energía” Página 13

Z

Z

p (uud) e p e

e e

% $ % $C

% $ % $

% > %

% >H % H

%

%

Hoy en día la interacción electromagnética y la débil se consideran unificadas, llamándose Electrodébil. Fuerza fuerte: La teoría de la fuerza fuerte, es decir, la fuerza que actúa entre quarks, también ha sido desarrollada. Las partículas mensajeras en este caso se llaman gluones y, como el fotón, no tienen masa, por lo que la interacción fuerte entre quarks es de largo alcance. Sin embargo, la interacción fuerte residual entre los estados quarks enlaza-dos (hadrones) es de corto alcance. La teoría considera que cada “sabor” de quark puede presentarse en tres variedades que se llaman rojo (r), verde (g) y azul (b). Así, existen tres quarks de sabor u, uno de cada color. La teoría se llama cromodinámica cuántica (QCD) y una importante predicción de la teoría es que los quarks se pueden unir sólo en combina-ciones de color neutras. Es decir que se unan tres quarks en r-g-b, o dos quarks en color-anticolor, como en r-r-.

La tentativa de unificar las fuerzas fundamentales de la naturaleza se está desarro-llando actualmente en dos pasos. El primero, sería la unificación de la fuerza fuerte y la electrodébil llamada teoría de la gran unificación. El segundo, sería añadir la fuerza gravi-tatoria con lo que tendríamos la llamada teoría de todo.

Tipo de interacción

Fuentes Intensidad relativa

Alcance Bosón transportista Sienten la interacción

Fuerte carga color

1 10-15 m 8 bosones(gluones: 2 quarks) (1,8∙10-36 hasta 3,2∙10-25 kg)

Los Hadrones: bariones (fermiones: n y p) y mesones (bosones). No los leptones

Débil carga débil

10-14 10-18 m 3 bosones (W+- y Z)(1,4∙10-25 kg)

Leptones y Quarks

Electromagnética carga eléctrica

10-2 infinito El fotón(masa=0) Partículas cargadas y neu-tras con momento magnéti-co intrínseco (n)

Gravitatoria masa 10-38 infinito El gravitón (?) Todas las partículas (hasta el fotón)

Page 36: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Campos. Trabajo y energía” Página 14

1) Calcula el Trabajo realizado sobre una partícula al desplazarla desde el punto (1,1) m hasta el (2,4) m por los campos de fuerzas: 2 2 2 2F x i y j; F y i x j# $ # $

! ! ! !! !. Siguiendo las trayec-

torias: a) por la recta que pasa por los citados puntos; b) por la quebrada que pasa por los puntos (1,1), (2,1) y (2,4); c) por la quebrada que pasa por los puntos (1,1), (1,4) y (2,4); d) por la parábola de ecuación y=x2. Posteriormente determina si el campo de fuerzas es con-servativo. [1º: a) -56/3 J; b) igual a; c) igual a; d) igual a; Conservativo][2º: a) 0 J; b) -11 J; c) 13 J; d) -1,3 J. No conservativo]

2) Sea el campo de fuerzas que actúa sobre una partícula: jxixy2F 2!!!

$# . Calcula el Traba-jo realizado al desplazar la partícula desde el punto (0,0) m hasta el (2,4) m siguiendo las trayectorias siguientes: a) por la quebrada (0,0), (2,0) y (2,4); b) por la quebrada (0,0), (0,4) y (2,4); c) a lo largo de la recta que une los dos puntos (0,0) y (2,4). Posteriormente comprobar si el campo es conservativo. [a) -16 J ; b) 16 J; c) 16 J. No Conservativo]

3) Un cuerpo se mueve a lo largo de la trayectoria [x=t+1; y=2t-2; z=t] y bajo la acción del campo: k2j)1t3(itF

!!!!%%$# . Calcular: a) el trabajo realizado entre los instantes 2 s y 3 s; b)

el desplazamiento de la partícula. [a) -12,5 J; b) 61/2 m]

4) Un bloque de 5 kg desliza por una superficie horizontal lisa con una velocidad de 4 m/s y choca con un resorte de masa despreciable y constante elástica 800 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Calcular: a) cuánto se comprime el resorte; b) desde qué altura de-bería caer el bloque sobre el resorte, colocado verticalmente, para producir la misma com-presión. (La fuerza del muelle es F=-k∙r). [a) 0,11/2 m ; b) 0,8 m].

5) Un bloque de 2 kg se lanza hacia arriba con una velocidad de 10 m/s por un plano incli-nado que forma un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es µ=0,4. Calcular: a) longitud que recorre hacia arriba el bloque, hasta detenerse; b) velocidad del bloque al volver al punto de lanzamiento. [a) 6,0 m; b) 4,3 m/s]

6) Un proyectil de 0,01 kg con velocidad de 40 m/s en dirección horizontal, se incrusta en un bloque de 4 kg, suspendido de un punto fijo mediante una cuerda de 1 m de longitud. Calcular: a) la altura a la que asciende el bloque tras el impacto; b) velocidad mínima de la bala para que el bloque describiera una circunferencia vertical completa. [a) 0,51 mm; b) 2510 m/s].

7) Un bloque de 10 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado de 30º, con la horizontal, con una velocidad de 10 m/s. El bloque vuelve al punto de partida con una velocidad de 5 m/s. Calcula: a) la longitud que recorre hasta que sube, el trabajo de rozamiento y el coefi-ciente de rozamiento con el plano; b) deformación máxima y final de un resorte de constante elástica 500 N/m, colocado en dicho punto de partida, al volver el bloque. [a) 6,25 m; -187,5 J y µ=0,346; b) 0,748 m y 0,092 m]

8) Un bloque de 20 kg se encuentra sobre una superficie horizontal unido a uno de los ex-tremos de un resorte de constante elástica 100 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Se tira del bloque con una fuerza de 150 N en una dirección que forma un ángulo de 30º con la horizontal hasta desplazar el bloque una longitud de 0,5 m. Si el coeficiente de roza-miento es de 0,4 calcula: a) el trabajo de la fuerza de rozamiento; b) velocidad y aceleración del bloque en ese instante. [a) -24,2 J; b) 1,7 m/s y 1,6 m/s2].

9) Calcular el trabajo neto realizado al arrastrar un bloque de 80 kg, sobre un plano hori-zontal, aplicándole una fuerza de 400 N durante una distancia de 15 m si: a) la fuerza apli-cada es horizontal y no existe rozamiento entre el bloque y el plano; b) la fuerza aplicada forma un ángulo de 30º con la horizontal; c) la fuerza es horizontal y el coeficiente de roza-miento es 0,4; d) la fuerza forma un ángulo de 30º con la horizontal y el coeficiente de roza-miento es 0,4. [a) 6000 J; b) 5196 J; c) 1296 J; d) 1692 J]

10) Un proyectil de 100 g lleva una velocidad de 210 m/s cuando choca y se incrusta en un bloque de madera de 2 kg que descansa en un plano horizontal. El bloque, con el proyectil incrustado, recorre 4 m antes de encontrarse con un resorte de constante elástica 200 N/m, al que comprime. Si consideramos el coeficiente de rozamiento 0,2 determina: a) velocidad del bloque inmediatamente después de incrustarse en el proyectil; b) longitud que se com-

Page 37: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Campos. Trabajo y energía” Página 15

prime el resorte; c) distancia a que queda del resorte el bloque cuando es expulsado por aquél. [a) 10 m/s; b) 0,92 m; c) 19,6 m]

11) Un cuerpo se desliza sin rozamiento por una vía en forma de rizo. Si la altura de la que parte es de 4 m y el rizo tiene 1 m de radio, calcula: a) las velocidades en el rizo pero a 1 m de altura y en la parte superior que está a dos metros de altura; b) analiza desde qué altura se debe dejar caer el cuerpo para que al pasar por el punto más alto la fuerza centrípeta sea igual que el peso del cuerpo. [a) 7,7 y 6,3 m/s; b) 2,5 m]

12) Un bloque de masa 2 kg se lanza con una velocidad de 6 m∙s-1 por una superficie hori-zontal rugosa de µ=0,2. Después de recorrer una distancia de 4 m, choca con el extremo li-bre de un resorte, de masa despreciable y constante elástica 200 N∙m-1, colocado horizon-talmente y fijo por el otro extremo. Calcule: a) la compresión máxima del resorte y el trabajo total realizado en dicha compresión; b) la altura desde la que debería dejarse caer el bloque sobre el extremo del resorte, colocado verticalmente, para que la compresión máxima fuera la misma que en el apartado a). Dato: g=10 m∙s-2. [a) 0,43 m y 18,3 J; b) 0,485 m]

13) Un muelle se comprime 2 cm si se le aplica una fuerza de 270 N. Un bloque cuya masa es de 12 kg se deja caer desde lo alto de un plano inclinado, sin rozamiento, cuyo ángulo de inclinación es de 30º. El bloque en su caída por el plano inclinado choca con el muelle y lo comprime hasta 5,5 cm. Calcula: a) ¿desde qué distancia ha caído?; b) ¿cuál es la velocidad del bloque justamente antes de chocar con el muelle?. Dato: g=9,8 m∙s-2. [a) 35 cm; b) 1,7 m/s]

14) Un bloque de 2,0 kg se deja caer desde una altura de 40 cm sobre un muelle colocado verticalmente. La constante elástica del muelle es de 1960 N∙m-1. Calcula la distancia máxima que se comprime el muelle. Dato: g=9,8 m∙s-2. [10 cm]

Page 38: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 1

ÍNDICE DE “CAMPOS GRAVITATORIO Y ELECTROSTÁTICO”

Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal

Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios. Leyes de Kepler

Ley de Newton de la gravitación universal

Bases de la Gravitación Universal

Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria

Campo y potencial gravitatorios

Energía potencial gravitatoria de una masa puntual

Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales

Ley de Gauss para el campo gravitatorio

Aplicaciones del teorema de Gauss

Campo gravitatorio terrestre. Satélites

Campo gravitatorio terrestre: variación de g con la altura

Energía potencial gravitatoria terrestre

Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape

Energía mecánica de un satélite en órbita

Velocidad de escape

Trabajo sobre un satélite: para situarlo en una órbita de altura h y para sacarlo de la inter-acción gravitatoria terrestre

Interacción electrostática. Ley de Coulomb

Campo y Potencial electrostáticos

Líneas del campo y superficies equipotenciales

Energía potencial electrostática

Ley de Gauss para el campo electrostático

Campo electrostático en la materia: conductores y dieléctricos

Polarización

Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléctrica

Condensadores

Energía almacenada en un condensador cargado

Asociación de condensadores: serie y paralelo

Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrostático

Problemas del campo gravitatorio

Problemas del campo electrostático

Page 39: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 2

Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal.- Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios: Modelo geocéntrico: Considera la Tierra en el centro del Universo y las estrellas pegadas a una esfera celestial que rota alrededor de un eje que pasa a través de los polos Norte y Sur de la Tierra y de los polos celestiales Norte y Sur. Sin embargo, el movimiento retrógrado del planeta Marte no se comprendía con este modelo y fue el problema durante 2000 años. Hiparco (150 a.C.) propuso un sistema de círculos para explicar el movimiento retrógrado. Consideraba que un planeta rotando en forma de epiciclos (círculo que se suponía descrito por un planeta alrededor de un centro que se movía en el deferente) alrededor de una curva deferente (círculo que se suponía descrito alrededor de la Tierra por el centro del epiciclo de un planeta). Posteriormente, Ptolomeo (100 a.C.) introdujo refinamientos en el sistema epi-ciclos -deferente- que se utilizó hasta el siglo XVI.

Modelo heliocéntrico: Nicolás Copérnico (1473-1543) desarrolló un modelo más sencillo para entender el Universo. Esto se debió a que con la obtención de nuevos datos observados y aplicarlos al modelo geocéntrico era necesario introducir modificaciones a las trayectorias de los planetas. Copérnico se plantea que las dificultades tenían su origen en la teoría y propone el modelo heliocéntrico que sirve para calcular las posiciones planetarias y que tie-ne como objetivo eliminar las dificultades del sistema de Ptolomeo. El sistema de Copérnico lo que hizo fue cambiar el sistema de referencia, tomando el Sol como centro, que al tener una gran masa respecto de los otros planetas, hace que el nuevo sistema sea prácticamente inercial y, por tanto, más sencillo en su descripción.

En 1596 Johannes Kepler (1571-1630) publicó las leyes del movimiento planetario. Kepler analizó las observaciones astronómicas de su maestro Tycho Brahe (1546-1601), que personalmente no pudo demostrar el sistema copernicano, y publicó en 1609 un estudio elaborado del sistema heliocéntrico pero considerando órbitas elípticas. Las leyes de Kepler nos proporcionan una descripción cinemática del movimiento planetario, pero no nos infor-man por qué los planetas se mueven en aquel camino y no en otro. La tercera ley se publicó diez años después de las dos primeras.

Leyes de Kepler: 1) Un planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol, con el Sol en un foco de la

elipse.

2) La línea que conecta un planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3) Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la elipse de sus órbitas.

En 1623, Galileo (1564-1642), que tuvo relación con Kepler, verificó con ayuda de un telescopio que los satélites de Júpiter cumplían leyes análogas a las de Kepler, respecto de éste planeta. Sus trabajos colaboraron a la aceptación definitiva del Sistema Copernicano. Ley de Newton de la gravitación universal.- Las leyes de Kepler proporcionan una descripción de cómo se mueven los planetas, pero no explican por qué se mueven en aquel camino y no en otro. Usando las tres leyes de Kepler Newton fue capaz de encontrar una expresión que describe la fuerza a la que están someti-dos los planetas en sus órbitas. En 1666 Isaac Newton (1642-1727) formuló la ley de Gravi-tación Universal que fue publicada en 1687 en su trabajo "Principios Matemáticos de la Fi-losofía Natural".

Enunciado de la ley de gravitación universal: “la interacción gravitatoria, entre dos cuerpos, se expresa por una fuerza atractiva y central, directamente proporcional al produc-to de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia en-

tre ellos”: r r2 3Mm Mm rF G u G r u

rr r! " ! " # !

!! ! ! !!

M ur F F m

Page 40: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 3

El vector de posición tiene su origen en el centro de masas de una masa M y el extre-mo en el centro de masas de la otra masa m. La fuerza gravitatoria, tiene signo negativo, por ser atractiva y, por tanto, tiene sentido contrario al vector unitario que va de una masa a otra. Bases de la Gravitación Universal: 1ª) Los planetas describen órbitas cerradas alrededor del Sol por lo que la fuerza es atrac-tiva, ya que si fuese repulsiva la órbita no sería cerrada.

2ª) Como el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, su velocidad areo-lar es constante se ha de cumplir que el momento angular del planeta, respecto del Sol es constante. Lo que supone que el momento de la fuerza sea cero, luego la fuerza ha de ser central.

Demostración: sea A el área barrida por el radio vector, luego el que su derivada respecto del tiempo (velocidad areolar) sea constante supone que el momento angular respecto del Sol sea constante

rdr

A=(r∙dr)/2

1dA r dr21 1 1dA drr r v L cte.

dt dt2 2 2m

! $

! $ ! $ ! !

! ! !

! ! !! ! !

Luego al cumplirse la segunda ley de Kepler se ha de cumplir que el momento angu-lar sea constante, lo que implica que la fuerza ha de ser central:

ext

ext

dL r F MdtL cte. M 0 r F

! $ !

! # ! #

! ! !!

! ! !! "

La fuerza ha de ser paralela al radio vector y es lo que se llama una fuerza central. Por tanto, la fuerza que ejerce el Sol sobre un planeta es una fuerza atractiva y central, es decir, que actúa a lo largo de la línea que une los dos cuerpos.

Otro aspecto, muy importante, es determinar la relación de la fuerza y del radio vector o distancia entre los dos cuerpos. Newton determinó, realizando una serie de cálculos ma-temáticos basados el análisis de las órbitas elípticas, que para que las órbitas elípticas de los planetas, obtenidas por Kepler, sean posibles, la fuerza ha de ser proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre el Sol y la Tierra.

Si asumimos que la fuerza gravitatoria es una propiedad universal de toda la materia, podemos considerar que la fuerza está asociada con la “cantidad de materia” o masa gravi-tatoria, en cada cuerpo. Cavendish, en 1.798, determinó la constante de proporcionalidad, que se conoce con el nombre de constante de gravitación universal y que no depende del medio. 3ª) Para comprobar la 3ª ley de Kepler, vamos a consideremos órbitas circulares, en las cua-les se ha de cumplir que la fuerza centrípeta de la Tierra es igual a la fuerza gravitatoria

% &

222 2 2 3

222 2

Mv Gr 4v Mm Mm G v G T r

r r GMr 2v rT

' (!) ) *! # ! # !+ ,

*) )!- .

Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria:

La masa inercial se obtiene de 12 21 21

2 11 1 2 2

F F amm am a m a

' ! "# ! "+

! "-

! ! !!! !

Page 41: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 4

Si le damos a una masa un valor, se determinan las masas inerciales de las demás.

La masa gravitatoria se obtiene de la fuerza peso peso rF mg u! " #! !

y la aceleración de la gra-

vedad de la ley de gravitación universal T2 2T

M mg G 9,8R s

! /# , lo que nos indica que g0 es in-

dependiente de la masa m del cuerpo que cae.

Es un hecho muy probado que todos los cuerpos caen en la superficie de la Tierra con la misma aceleración. Este hecho es indicativo de que las masas gravitatoria e inercial son iguales. Si la masa gravitatoria mg fuese distinta de la masa inercial mi la fuerza gravita-toria en la superficie de la Tierra (peso) sería igual

% & % &T g gT

peso i 2 2iT T

M m mMF m g G g GmR R

! ! # !# #!

Si la relación entre las dos masas no fuera la misma para todos los cuerpos la aceleración g0 será diferente para cada cuerpo, lo que es contrario a la experiencia. Las dos masas, son in-distinguibles experimentalmente y, por tanto, la magnitud masa es para la masa inercial o la masa gravitatoria.

La masa de la Tierra, se determina a partir de los datos experimentales conocidos: G, g0 y RT. El peso de un cuerpo, en la superficie de la Tierra, es la fuerza con que la Tierra lo atrae:

2T T

peso T2T

g RM mF mg G MGR

! ! # ! ##

!

Campo y potencial gravitatorios.- Se llama Campo Gravitatorio a la situación física por la cual al colocar una masa en dicho campo ésta experimenta una interacción o fuerza gravitatoria. Siendo el campo gravi-tatorio un campo vectorial de fuerzas.

Campo gravitatorio creado por una masa M: Sea una masa M, en un punto del espacio, y colocamos otra masa, m, en diferentes posiciones del espacio alrededor de M. Debido a la interacción gravitatoria entre las dos masas, la masa m experimenta una fuerza en cada po-sición dada por la ley de gravitación universal. Es decir, que la interacción entre las masas, m y M, va a depender de sus posiciones relativas. Por lo que, en cada punto del espacio po-demos definir un vector intensidad del campo gravitatorio, creado por la masa M.

En cada punto del campo vectorial gravitatorio, se define un vector llamado intensidad del campo gravitatorio, que se define como la fuerza por unidad de masa que coloquemos en dicho punto, siendo la unidad N∙kg-1=m∙s-2 :

r2m 0F Mg lim G um r0

! ! "!! !

g

M ur g

La intensidad del campo gravitatorio, producido por M, en un punto del espacio, es una magnitud vectorial, cuyo vector tiene su origen es ese punto del campo y la dirección y sen-tido hacia el centro de masas de la masa M.

La intensidad del campo gravitatorio en un punto del campo gravitatorio depende del vector de posición de dicho punto, por lo que el campo gravitatorio es conservativo. Por lo tanto, la circulación del campo gravitatorio no depende de la trayectoria elegida sino de los puntos inicial y final y la circulación a lo largo de una trayectoria cerrada será cero. Decimos entonces que en cada punto del campo gravitatorio hay definido un potencial gra-vitatorio.

Page 42: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 5

Potencial gravitatorio: El potencial gravitatorio es la magnitud escalar asociada, en cada punto del campo vectorial gravitatorio conservativo, al vector intensidad del campo gravita-torio o campo gravitatorio g dr dU1 ! "

! !

Demostramos que el campo gravitatorio es conservativo

% &ff f

r f i2i i i f i

M M M MC g dr G u dr G G G U U Ur r rr

C g dr 0

2 34 52 3! 1 ! " 1 ! " " ! " " " " ! " " ! "67 89 :7 8; < = >; <

! 1 !

? ??

! ! ! !

! !$

M

La Representación gráfica un campo gravitatorio se hace mediante las líneas de fuerza. Una línea de fuerza se dibuja de tal forma que en cada punto la dirección del campo es tan-gente a la línea que pasa a través del punto. Por convenio, las líneas de fuerza se dibujan de tal forma que su densidad es proporcional a la intensidad del campo.

El campo gravitatorio, alrededor de una masa M, tiene las líneas de fuerza radiales y dirigi-das hacia la masa M y las superficies de nivel o superficies equipotenciales del campo gravi-tatorio, debido a una masa M, tienen simetría esférica.

Energía potencial gravitatoria de una masa puntual: Si colocamos una masa, m, en un punto del espacio donde existe un campo gravitato-rio, la fuerza que experimenta es el producto del valor de la masa m, que es escalar, por el vector intensidad del campo gravitatorio en ese punto: F mg!

! !. La fuerza tiene la dirección y

sentido de la intensidad del campo gravitatorio en ese punto. Al ser el campo gravitatorio conservativo, la fuerza gravitatoria, es una fuerza conservativa. Por lo que en cada punto de un campo vectorial de fuerzas gravitatorias, podemos definir un potencial escalar, asociado a dicha fuerza, llamado energía potencial gravitatoria.

Deducción: f

por gif f

por r p(g)2 ii f i

f

por g p(g) sobrei

W F dr

Mm Mm Mm MmW G u dr G G G E m Ur r rr

W F dr E W

! 1

2 34 52 3! " 1 ! " " ! " " " " ! "6 ! " 69 :7 87 8; < = >; <

! 1 ! "6 ! "

??

?

! !

! !

! !

La energía potencial gravitatoria p(g)MmE G mU

r! " ! , es una propiedad del sistema

de dos partículas y no de una de ellas. No hay forma de dividir esta energía y saber cuanto le corresponde a una partícula y cuanto a la otra. Sin embargo, si una de las masas es muy superior a la otra (M>>m) se habla de la energía potencial de la menor m.

Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales: Si tenemos una distribución de masas puntuales M1, M2, M3, ...Mn, para hallar el campo y el potencial gravitatorios, en un punto del espacio, aplicamos el Principio de Su-perposición: El campo gravitatorio producido, por un conjunto discreto de masas, en un punto del campo, es la suma vectorial de los campos gravitatorios debidos a cada una de las masas, en ese punto. El potencial gravitatorio, en el mismo punto del campo, se obtiene por la suma escalar de los potenciales gravitatorios debidos a cada una de las masas

Page 43: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 6

1 2 i

n n21 i

1 2 i r r r2 2 21 2 ii 1 i 1

n n21 i

1 2 i1 2 ii 1 i 1

MM Mg g g ... g G u G u ... G u

r r r

MM MU U U ... U G G .... Gr r r

! !

! !

4 54 5 4 5! @ @ ! ! " @ " @ ! "9 :9 : 9 :9 : 9 :9 :

= > = >= >

4 54 5 4 5! @ @ ! ! " @ " @ ! "9 : 9 :9 := > = >= >

A A

A A

! ! ! ! ! ! !

La fuerza gravitatoria obedece el principio de superposición, que nos dice que la fuer-za total sobre una partícula, de masa m, situada en un punto es la suma de las fuerzas ejercidas sobre ella por todas las demás partículas consideradas al mismo tiempo; la ener-gía potencial para un sistema de partículas será la suma de las energías potenciales de ca-da par de partículas:

% &

% &

n

1 2 ii 1

n

p 1 2 ii 1

F m g g ... m g mg

E m U U ... m U mU

!

!

! @ @ ! !

! @ @ ! !

A

A

! ! ! ! !

Ley de Gauss para el campo gravitatorio.-

La ley del físico Gauss (1777-1855) relaciona los campos en una superficie Gaussiana (superficie cerrada) y la masa que hay dentro de la superficie.

Concepto de flujo del campo gravitatorio: el flujo (de fluir) del campo gravitatorio, a tra-vés de una superficie, se define como el producto escalar de la intensidad del campo gravita-torio por el vector superficie (es un vector cuya magnitud es igual al área y cuya dirección es normal al plano del área). Luego el flujo del campo depende de tres factores: del valor de la magnitud intensidad del campo, del valor del área de la superficie y del ángulo entre los vec-tores respectivos (o de las orientaciones relativas).

-

+S

dS

dS

g

Expresiones del flujo a través de una superficie plana, S, y a través de una superficie irre-gular, que la dividimos en diferenciales de superficie dS:

n

1 1 i in

i 1

g S g S cos

g dS ... lim g dS g dS0B

!

C ! 1 ! 1 1 D

C ! 1 @ ! 1 ! 1A ??

! !! !

! ! !! ! !

El flujo del campo gravitatorio, a través de una superficie, nos mide la cantidad de lí-neas del campo gravitatorio que pasan por esa superficie. El flujo total, a través de una su-perficie Gausiana esférica de radio R, en cuyo interior hay una masa total M será:

% &

n

i in

i 1

2r r2

lim g dS g dS

Mg S G u 4 R u 4 GMR

0B!

C ! 1 ! 1

4 5C ! 1 ! " 1 * ! " *9 := >

A ??! !! !

!! ! !

%

Demostración infinitesimal:

Page 44: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 7

% &

E F E F

r r2

2 20 00 0

Md g dS G u rd rsen d ∙u GMsen d dr

g dS GM sen d d GM cos 4 GM* * * *

4 5C ! 1 ! " 1 D D G ! " D D G9 := >

C ! 1 ! " D D G ! " " D G ! " *?? ? ?

!! ! !

!!

y

z

x r∙senD ∙dØØ

D

dr

rr∙dD

Enunciado de la ley de Gauss: “El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es igual a 4 GMC ! " * , siendo M la masa dentro de la superficie o una distribución de masas cuya suma es Mtotal.”

En el caso de una superficie cerrada (superficie gaussiana), el flujo, a través de ella, puede ser cero o negativo: a) Si el flujo es cero quiere decir que entran en la superficie cerrada, el mismo número de líneas del campo gravitatorio que salen, es decir, en su interior no hay fuentes del campo que son las masas. b) Si el flujo del campo gravitatorio es negativo quiere decir que salen, de la superficie cerrada, menos líneas del campo gravitatorio que entran. Es decir, en su interior hay fuentes del campo que son las masas.

Aplicaciones del teorema de Gauss: Cuando hemos calculado el campo y el potencial gra-vitatorio en un punto determinado, hemos supuesto que las masas son puntuales o de ta-maños mucho más pequeños que las distancias al punto. Ahora bien, si los tamaños de las masas no se pueden despreciar frente a las distancias, para calcular el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en un punto del campo, es más sencillo utilizar el teorema de Gauss. Ejemplos: a) Halla el campo gravitatorio, de una masa M, en un punto exterior a ella y a una distancia r de su centro de masas.

M

ur r dS

Esfera imaginaria de radio r

R

En primer lugar, consideramos una esfera imaginaria de radio r, tomando la distancia r desde el centro de masas de M hasta el punto exterior. El flujo a través de la esfera imagina-ria vendrá dado por el teorema de Gauss

2r

r2

g S g 4 r u 4 GMGMg ur

C ! 1 ! 1 * ! " *

! "

!! ! !

! !

El campo gravitatorio en el exterior de la masa M es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde su centro de masas.

b) Halla el campo gravitatorio, de una masa M esférica, de radio R, en un punto de su inter-ior y a una distancia r de su centro de masas.

Page 45: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 8

M

R

r

Esfera imaginariade radio r

g rR0

linealr

1/r²

Consideremos una esfera imaginaria de radio r. Siendo r la distancia desde el centro de ma-sas de M hasta el punto interior, y siendo m la masa que hay dentro de la esfera imaginaria. El flujo a través de la esfera imaginaria vendrá dado por el teorema de Gauss

2r

i r2

g S g 4 r u 4 Gmmg G ur

C ! 1 ! 1 * ! " *

! "

!! ! !

! !

Si la esfera es homogénea su densidad permanece constante: 3

3 3 34 43 3

3

3i 2 2 3

M m rm MR r R

rMm R Mrg G u G u G ur r rr r R

H ! ! # !* *

! " ! " ! "! ! ! !

El campo gravitatorio en el interior de la masa M es directamente proporcional a la distancia desde su centro de masas.

Si se considera la Tierra homogénea, de masa MT, y dejamos caer un cuerpo, de masa m, hacia su centro de la Tierra. La velocidad con la que llega será calculada de la siguiente for-ma, si vi=0; ri=RT; rf=0

c p

ff f

2T Ti r3 3i i T T i

2 2 2T Tc f T T3 3

T T

Tf

T

W E E

M r M1W mg dr mG u dr mG r2R R

M m M m1 1 1W E mv 0 0 G R G R2 2 2R R

M mv GR

! 6 ! "6

2 3! 1 ! " 1 ! " 7 8

7 8; <

2 3! 6 ! " ! " " !7 8

7 8; <

!

? ?! ! ! !

Campo gravitatorio terrestre. Satélites.- El movimiento de los satélites viene regido por el campo gravitatorio terrestre. Para analizarlo, vamos a estudiar el campo gravitatorio terrestre considerando cómo varía éste con la altura, cómo varía la energía potencial gravitatoria y posteriormente analizaremos el movimiento de los satélites artificiales.

Campo gravitatorio terrestre; variación de g con la altura:

A mayor altura sobre la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio terres-tre disminuye. Sean MT y RT la masa y el radio de la Tierra. Si aplicamos el teorema de Gauss para el cálculo del campo gravitatorio a una distancia r>RT del centro de masas de la Tierra y exterior a ella, es decir, r=RT+h, siendo h la distancia desde la superficie terrestre o altura:

Page 46: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 9

% &

2T

T T2 2

T

g S g 4 r u 4 GMrM Mg G u G ur rr R h

C ! 1 ! 1 * ! " *

! " ! "@

!! ! !

! ! !

Energía potencial gravitatoria terrestre: La energía potencial gravitatoria de una masa, m, en el campo gravitatorio terrestre disminuye con la altura h.

ff fT T T T

por r p(g)2i i f ii

T Tp(g)

T

M m M m M m M mW F dr G u dr G G G E

r r rrM m M mE G G

r R h

2 32 3 4 5! 1 ! " 1 ! " " ! " " " " ! "69 :7 87 8; < = >; <

! " ! "@

? ?! ! ! !

Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape.- Cuando un satélite está girando alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular está sintiendo la fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria es atractiva y perpendicular al desplazamiento, por tanto, la fuerza gravitatoria no realiza trabajo sobre el satélite y éste no varía su energía cinética.

Al no variar la energía cinética del satélite no cambia el módulo de su velocidad. Sin embargo, el satélite está sometido a una fuerza, la gravitatoria, y ha de experimentar una aceleración que se invierte en cambiar la dirección de la velocidad.

Velocidad orbital:

% &

f

por c t ti

Tg r t n n n centrípeta2

2orbT

n r r2

T Torb

T

d vW E F dr 0 v cte a 0 u

dtM mF G u ma m a a ma F F

rvMa G u u

rrM Mv G Gr R h

! 6 ! 1 ! # ! # ! !

! " ! ! @ ! ! !

! " ! "

! !@

?!! ! ! !!

! ! !! ! ! ! !

! ! !

Existe una relación entre velocidad orbital, altura y periodo. Un satélite a una altura ha de tener una velocidad orbital única y un periodo fijo.

% &

% &orb T

T

orb

2 2v r r R hT T

2 R hT

v

* *! I 1 ! 1 ! 1 @

* @!

Energía mecánica de un satélite en órbita: Un satélite, de masa m, girando alrededor de la Tierra, a una distancia r del centro de masas de la Tierra, es decir, a una altura h sobre la superficie tiene una energía mecánica total que es la suma de la energía cinética y de la energía potencial gravitatoria: Emecánica = Ecinética + Epotencial(gravitatoria)

% &2 T T T T T

m orbT

M m M M m M m M m1 1 1 1E mv G mG G G G2 r 2 r r 2 r 2 R h

! " ! " ! " ! "@

La energía mecánica total es la suma de la energía cinética, que es siempre positiva, y de la energía potencial gravitatoria, que es negativa. La energía potencial gravitatoria es el doble, en valor absoluto, que la energía cinética por lo que la energía mecánica total del sa-télite en órbita es negativa.

Newton, haciendo los cálculos necesarios, demostró:

1º) Si la energía mecánica total del satélite en órbita fuese cero, la órbita no sería una elip-se (órbita cerrada) sino una parábola. Por tanto, el satélite se escaparía del campo gravi-

Page 47: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 10

tatorio terrestre. Esto ocurre cuando la energía cinética, en valor absoluto, es igual que la energía potencial gravitatoria.

2º) Si la energía mecánica total del satélite en órbita fuese mayor que cero, la órbita sería una hipérbola. Es decir, si la energía cinética del satélite en órbita fuese mayor, en valor absoluto, que la energía potencial gravitatoria la energía del satélite sería positiva y se escaparía del campo gravitatorio.

Velocidad de escape: Para que un satélite se escape de la superficie de la Tierra hemos de conseguir que la energía mecánica total sea cero. Por tanto, la velocidad de escape de la superficie de la Tierra se calcula de la siguiente forma:

2 Tm esc

T2

2 T Tesc T

T T

escape T

M m1E 0 mv G2 R

M Rv 2G 2g 2g RR R

v 2g R

! ! "

! ! !

!

# #

#

Es independiente de la masa del satélite, aunque el empuje requerido para acelerarlo, que será el producto de la masa por la aceleración necesaria para alcanzar dicha velocidad, y obtener esa velocidad sí depende de la masa. En la práctica, se necesita una velocidad menor, debido a que la Tierra está girando y, si lanzamos el satélite en el sentido de giro de la Tierra, es decir, en sentido Oeste-Este ya lleva una velocidad relativa, y la de escape sería menor. Y, si el lanzamiento se hace cerca del Ecuador mayor será esa velocidad relativa.

Si el satélite se encuentra girando en una órbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra, entonces la velocidad de escape de dicha órbita y la energía adicional para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre sería:

% &

% & % &

% &

2 Tm esc

T2

2 T Tesc

T T

2T

escapeT

M m1E 0 mv G2 R h

M m Rv 2G 2gR h R h

Rv 2gR h

! ! "@

! !@ @

!@

#

#

Trabajo sobre un satélite:

Para colocar un satélite, en una órbita determinada, el trabajo que tienen que reali-zar los motores sobre el satélite, es decir, en contra de las fuerzas del campo gravitatorio, se invierte en incrementar su energía mecánica total:

% &

% & % &

f f f f

neto neta g motor g m p(g) motori i i i

neto c p(g) motor

motor c p(g) c p(g) c p(g)f i

W F dr F F dr F dr F dr E W

W E E W

W E E E E E E

! 1 ! @ 1 ! 1 @ 1 ! "6 @

! 6 ! "6 @

! 6 @ 6 ! @ " @

? ? ? ?! ! ! ! !! ! ! !

El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite desde la superficie de la Tierra para situarlo en una órbita de altura h:

% & % &

% & % &

motor c p(g) c p(g)f i

2 T T T Tmotor orb

T TT T

W E E E E

M m M m M m M m1 1W mv G G G G 0R RR h R h2 2

! @ " @

4 5 4 5! " " " ! " @ J9 : 9 :@ @= >= >

El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite desde una órbita de altura hi para si-tuarlo en otra órbita superior de altura hf:

Page 48: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 11

% & % &

% & % &

% & % &

motor c p(g) c p(g)f i

2 2T Tmotor orb orb

T Tf i

T Tmotor

T Tf i

W E E E E

M m M m1 1W mv G mv GR h R h2 2

M m M m1 1W G GR h R h2 2

! @ " @

4 5 4 5! " " "9 : 9 :@ @= > = >

4 5 4 5! " " "9 : 9 :@ @= > = >

El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en la superficie de la Tierra para sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre:

En la superficie de la Tierra consideramos la velocidad inicial cero y hay que alcanzar la velocidad de escape

% & % &

% &

motor c p(g) c p(g)f i

2 2T Tmotor esc esc

T Tf i

T Tmotor º Tf

T Ti

W E E E E

M m M m1 1W mv G 0 G mvR R2 2

M m M mW 0 0 G G g R mR R

! @ " @

4 5 4 5! " " " !9 : 9 := > = >

4 5! " " ! !9 := >

El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en una órbita a una altura h para sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre:

En una órbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra, la velocidad inicial es la velocidad orbital y para salir hay que alcanzar la velocidad de escape

% & % &

% & % &

% & % & % & % &

motor c p(g) c p(g)f i

2 2 2 2T Tmotor esc orb esc orb

T Tf i2

2 T T º Tmotor orbf

T T Ti

W E E E E

M m M m1 1 1 1W mv G mv G mv mvR h R h2 2 2 2

M m M m g R m1 1 1W 0 mv G GR h R h2 2 2 R h

! @ " @

4 5 4 5! " " " ! "9 : 9 :@ @= > = >

4 5! " " ! @ !9 :@ @ @= >

Interacción electrostática. Ley de Coulomb.- El origen de la interacción eléctrica son las cargas eléctricas. Los aspectos más impor-tantes son:

1) Existen dos tipos de interacción, atractiva y repulsiva, debido a que existen dos tipos de cargas eléctricas, positivas y negativas.

2) La interacción atractiva se produce entre las cargas de distinto tipo y la interacción repulsiva entre las cargas del mismo tipo.

3) Las cargas eléctricas son de naturaleza escalar y aditivas. En cuanto a la cuantifica-ción de la carga eléctrica, se ha observado en la naturaleza, que son múltiplos de la carga elemental que es la carga del electrón, de valor -1,6∙10-19 C. La conservación de la carga es un principio a considerar, ya que la carga eléctrica se puede mover a través de un objeto, pasar de un objeto a otro pero no se destruye.

Charles Augusto Coulomb (1736-1806) realizó una serie de experimentos para deter-minar la interacción entre dos cargas puntuales y llegó a la siguiente expresión, conocida como ley de Coulomb: “La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas, en reposo o en movimiento relativo muy lento, es directamente proporcional al producto del valor de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y su direc-ción es a lo largo de la línea que une las dos cargas. La interacción depende siempre del medio”.

Page 49: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 12

r

e e r e2 3

er

rurQq QqF K u K r1 1r r K

4 4

' !))! ! +) ! !

*K *K K)- #

!!!! ! !

! !

Las propiedades eléctricas del medio que se expresan por la constante e1K

4!

*K, sien-

do rK ! K K# un parámetro (llamado permitividad) que depende de las propiedades eléctricas del medio, su valor es igual al producto de la permitividad del vacío por la constante dieléc-trica del medio. Campo y Potencial electrostáticos.- Concepto de campo electrostático creado por una carga puntual Q: Existe un campo elec-trostático en una región del espacio si al colocar una carga eléctrica ésta experimenta una fuerza eléctrica. La intensidad del campo electrostático creado por la carga puntual Q, en reposo, en un punto del espacio es una magnitud vectorial definida

e r2q 0

F QE lim K uq r0

! !!! !

La intensidad del campo electrostático creado por una carga Q, en un punto del espa-cio, depende del vector de posición de dicho punto. Por tanto, el campo electrostático es un campo conservativo ya que la Circulación del campo electrostático no depende de la trayec-toria elegida sino de los puntos inicial y final. Es decir, la Circulación del campo electrostá-tico a lo largo de una trayectoria cerrada será cero. Y decimos que en cada punto del campo electrostático podemos definir un potencial electrostático.

ff f

e r e e e e2i i f ii

f e

ei

Q Q Q QC E dr K u dr K K K Vr r rr

E dr dVC E dr V

C E dr 0

4 52 3! 1 ! 1 ! " ! " " ! "69 :7 8; < = >' 1 ! ")! 1 ! "6 # +

! 1 !)-

? ?

? ?

! ! ! !

! !! ! ! !$

Concepto de potencial electrostático debido a una carga puntual Q: eQV Kr

!

Líneas del campo y superficies equipotenciales:

-+

Energía potencial electrostática: Si colocamos una carga eléctrica, q, en un punto del espacio, en el que existe un cam-po electrostático, experimenta una fuerza eléctrica que viene dada por eF qE!

! !. Al ser el

campo eléctrico conservativo, la fuerza eléctrica también es conservativa.

Por tanto, podemos definir en cada punto del campo eléctrico en el que coloquemos una carga q una magnitud escalar llamada energía potencial del campo electrostático aso-ciada a la carga. Si el campo electrostático está creado por una carga Q:

Page 50: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 13

% &

ff

por e r e e e p(e)2i f ii

e p ef

por e p(e)i e

p(e) e

Qq Qq Qq QqW K u dr K K K Er r rr

F dr dEW F dr E

C F dr 0

QqE Kr

2 32 3! 1 ! " ! " " ! "67 87 8; < ; <

' 1 ! ")! 1 ! "6 # +

! 1 !)-

!

?

? ?

! !

! !! !

! !$

La variación de energía potencial electrostática al cambiar de posición la carga q es igual al producto del valor de la carga q por la variación del potencial electrostático entre esos dos puntos: por p(e) eW E q V! "6 ! " 6

Campo y potencial electrostáticos de una distribución de cargas puntuales: Si tenemos una distribución de cargas puntuales (Q1, Q2, Q3, ..., Qn), para calcular el campo eléctrico en un punto del espacio aplicamos el Principio de Superposición:

“El campo electrostático, producido por un conjunto discreto de cargas puntuales, en un punto del campo, es la suma vectorial de los campos electrostáticos debidos a cada una de las cargas

1 2 i

n21 i

1 2 e r e r e r2 2 21 2 ii 1

QQ QE E E ... K u K u ... K ur r r!

! @ @ ! @ @ !A! ! ! ! ! !

Y, el potencial electrostático en el mismo punto es la suma de los potenciales debidos a ca-da una de las cargas

n21 i

e 1 2 e e e1 2 ii 1

QQ QV V V ... K K ... Kr r r

!

! @ @ ! @ @ !A

Ley de Gauss para el campo electrostático: La ley de Gauss para el campo electrostático relaciona los campos electrostáticos, en la superficie Gausiana que es una hipotética super-ficie cerrada, y las cargas encerradas por dicha superficie. Por otra parte, la ley de Gauss re-laciona el flujo total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada (superficie Gausiana) con la carga neta, qneta, que está dentro de dicha superficie.

El enunciado de la ley de Gauss nos dice: “El flujo total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada (superficie Gausiana) es igual a la carga neta, qneta, que está en el in-

terior de dicha superficie dividido por la permitividad del vacío netaqC !

K#.”

El flujo total de las líneas del campo eléctrico, a través de una superficie Gaussiana, nos mide la cantidad de líneas del campo que pasan a través de dicha esa superficie. El flujo puede ser cero, positivo o negativo.

!" Si el flujo es cero, quiere decir que entran en la superficie Gaussiana el mismo número de líneas del campo que salen. Es decir, que en el interior de la superficie la qneta es cero (o no hay cargas o la suma de las positivas y negativas es cero).

!" Si el flujo es positivo, o mayor que cero, quiere decir que salen de la superficie Gau-siana más líneas del campo que entran. Es decir, que en el interior de la superficie la qneta es mayor que cero o positiva.

!" Si el flujo es negativo, quiere decir que salen menos líneas del campo que entran. Es decir, que en el interior de la superficie Gaussiana la qneta es menor que cero o negati-va.

Determinación del flujo total a través de una superficie Gausiana: n

i ini 1

lim E dS E dS0B

!

C ! 1 ! 1A ??! !! !%

Page 51: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 14

y

z

x r∙senD ∙dØØ

D

dr

rr∙dD

% &

E F E F

r r2

2 20 00 0

Q Qd E dS u rd rsen d ∙u sen d d44 r

Q Q Q Qsen d d cos 44 4 4

* * * *

4 5C ! 1 ! 1 D D G ! D D G9 :9 : *K*K= >

C ! D D G ! " D G ! * !*K *K *K K? ?

##

# # # #

!! ! !

Ejemplos de aplicación de la ley de Gauss: a) Calcula el campo electrostático producido por la superficie de un conductor metálico pla-no cargado positivamente y uniformemente por toda la superficie, con una determinada

densidad superficial de carga, qSL ! , que es la relación entre exceso de la carga total sobre

la superficie y la superficie del plano. Consideramos, como superficie Gausiana, un cilindro de bases superficiales, S, cuyo punto medio está en la superficie plana del conductor, y el flujo total por las dos bases (superficies) del cilindro será

SS

S

+

+

+

+

superficietotal

SqE S E S 2 E S

E2

LC ! 1 @ 1 ! ! !

K KL!K

# #

#

!! ! !! ! !

!

El campo es independiente de la distancia al plano y es por tanto uniforme. b) Calcula el campo eléctrico producido por dos superficies planas, iguales y paralelas, que están uniformemente cargadas, una positivamente y la otra negativamente: en la zona com-prendida entre las dos

consideramos la superficie Gausiana en forma de cilindro, de bases S, en la zona entre los dos planos paralelos en la que los campos electrostáticos (el de la positiva y el de la negati-va) tienen la misma dirección y sentido, luego el flujo a través de la zona media del cilindro será la suma de flujo de la positiva y de la negativa:

E>0E=0

L

E=0

+Q -Q

V1 V2

d1 2

S S

L=Q/S

Page 52: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 15

21total

S S 2 SqqE S E S 2 E S

E

@ "

L L LC ! @ ! ! @ ! @ !

K K K K KL!K

# # # # #

#

! ! !! ! !! ! !

!

La dirección del campo E va desde placa positiva a la negativa.

% &E dr dV

E d V V V V V" @ @ "

1 ! "

1 ! "6 ! " " ! "

! !!

c) Campo electrostático debido a una distribución de carga esférica, Q, de radio a:

- Para un punto exterior (r>a): 2total r r2

Q QE S E 4 r u E u4 r

C ! 1 ! 1 * ! # !K *K# #

!! ! !! !

- Para un punto interior (r<a) hay dos casos:

1º.- Si toda la carga está en la superficie de la esfera cargada entonces el flujo a través de una superficie imaginaria es cero, ya que no hay cargas en el interior, y el campo será cero en el interior de la esfera Φ=0, luego E=0.

2º.- Si la esfera está uniformemente cargada, en el interior y en el exterior:

3

3

3

3 3 34 43 3

r22

total r ra

r r2 3

Q q rq Qa r a

qE u4 rqE S E 4 r uQ QrE u u

4 r 4 a

H ! ! # !* *

' !) *K)C ! 1 ! 1 * ! # +K ) ! !) *K *K-

#

#

# #

! !

!! ! !! ! !

a

r r

E

ra

Campo electrostático en la materia: conductores y dieléctricos.- Conductores: Se llaman conductores a aquellos materiales que contienen partículas carga-das y se pueden mover libremente a través de ellos o en su interior. Son ejemplo de conduc-tores los metales, las disoluciones electrolíticas (con iones) y los gases ionizados. En la pre-sencia de un campo eléctrico las partículas cargadas, y que se pueden mover libremente, lo hacen de tal forma que las partículas cargadas positivamente van en el mismo sentido de las líneas del campo y las cargadas negativamente lo hacen en sentido contrario de las lí-neas del campo.

En el caso de un conductor metálico las únicas partículas cargadas que se pueden mover li-bremente son los electrones.

Page 53: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 16

E=0-

--- - +

++++-

+

En presencia de un campo eléctrico, los electrones se acumulan sobre la superficie del con-ductor, hasta que el campo eléctrico que ellas producen dentro del conductor, cancela com-pletamente el campo eléctrico externo en el interior del conductor. Por tanto, en un conduc-tor situado dentro de un campo eléctrico y el cual está en equilibrio electrostático, es decir, sin movimiento de cargas el campo eléctrico dentro es cero. Y el campo eléctrico en la super-ficie del conductor en equilibrio es normal a la superficie.

Dieléctricos: Los dieléctricos son materiales que no son conductores de la electricidad por no tener electrones que se puedan mover libremente a través de ellos ni dejar que estos pa-sen por su interior. Son ejemplos de estos materiales la goma, el caucho, los plásticos y en general todos los compuestos cuyos átomos estén unidos por enlaces covalentes, es decir, en los que los átomos que están unidos están compartiendo los electrones exclusivamente entre ellos.

Polarización: Los dieléctricos, al estar constituidos por electrones, pertenecientes a los átomos, se alteran ante la presencia de un campo eléctrico.

- +E

p=q∙d

Así, en los átomos aislados el centro de masas de los electrones (la carga negativa) co-incide con el centro de masas de las positivas que es el centro del núcleo. Ahora bien, si co-locamos unos átomos dentro de un campo eléctrico, el movimiento de los electrones se verá perturbado desplazando el centro de masas de los electrones (la carga negativa) hacia el ori-gen del campo eléctrico y el centro de masas de las cargas positivas en el sentido del campo. Éste fenómeno se llama polarización y se mide con la magnitud física, de carácter vectorial, llamada momento dipolar. El momento dipolar es el producto de la magnitud de la carga desplazada por el des-plazamiento, siendo el sentido del vector de la carga negativa a la positiva p q d! 1

!! . Las mo-léculas también pueden adquirir un momento dipolar eléctrico inducido por un campo eléc-trico externo.

Al no coincidir el centro de masas de las cargas positivas y de las negativas se les llama dipolos. Por lo que si un dieléctrico se coloca en el interior de un campo eléctrico sus áto-mos o moléculas llegarán a ser dipolos eléctricos orientados en la dirección del campo eléc-trico externo aplicado. Muchas moléculas tienen un momento dipolar eléctrico permanente y se llaman polares, así el HCl tiene un momento dipolar de 3,43∙10-30 C∙m. En ausencia de un campo eléctrico externo, las moléculas polares están orientadas al azar y no se observa momento dipolar en el conjunto. Sin embargo, si se aplica un campo eléctrico los dipolos tienden a orientarse de tal forma que el polo negativo se orienta hacia el origen del campo y el positivo en su mismo sentido.

Por tanto, un material dieléctrico en la presencia de un campo eléctrico se polariza. Y se define la polarización del material como el momento dipolar del medio por unidad de vo-

OH

H-++

p

pptotal

Page 54: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 17

lumen. Si p es el módulo del momento dipolar inducido en cada átomo o molécula y hay n átomos o moléculas por unidad de volumen, la polarización P será:

3 2

n

moléculas CP n p Cmm m

P u

4 5! 1 1 M9 := >

L ! 1

! !

! !

La componente de la polarización de un dieléctrico en la dirección de la normal a la superficie del cuerpo es igual a la carga por unidad de área sobre la superficie del cuerpo polarizado. Luego la polarización coincide con la densidad superficial de carga inducida por la polariza-ción.

En general, el vector polarización de un dieléctrico depende de tres factores: a) del campo eléctrico aplicado; b) del tipo de material de que esté constituido el dieléctrico es-pecificado por la susceptibilidad eléctrica; c) del medio físico en el que se encuentre, es-pecificado por la permitividad. Siendo eP E! K N#

! !.

Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléc-trica: Si colocamos un dieléctrico dentro de un campo eléctrico producido por dos placas metálicas uniformemente cargadas, dentro del dieléctrico se crea una polarización con una carga superficial que contrarresta al campo eléctrico externo:

++++

"L

E

---

cargas

libres+++

polarización libreLlibre

L Lp p

------

d

Lneta= Llibre -P

+Q -Q

6 V=E∙d

Kr

Por la ley de Gauss tenemos que el campo eléctrico entre las placas metálicas será:

- sin el dieléctrico: libre libre libret

2Q 2 S2E S E

L LC ! ! ! # !

K K K# ## # #

- con el dieléctrico neta libreneta libre polarización

neta libre

izquierda: Pderecha: P

L ! L "'L ! L @ L # + L ! "L @-

% &

neta libre

libre e e r

libre libre

r

PE

P E E E 1 E E E D

E

L L "! !

K K

L ! @ K ! K N @ K ! K N @ ! K K ! K !

L L! !

K K K

# #

# # # # #

#

La magnitud D, llamada desplazamiento eléctrico, depende solamente de las cargas li-bres que crean el campo. Su dirección y sentido es el mismo que el del campo eléctrico E.

El desplazamiento eléctrico D, al depender sólo de las cargas libres es más operativo, ya que no hay forma directa de controlar la carga de polarización. Así, el desplazamiento eléctrico con dieléctrico y el desplazamiento eléctrico sin dieléctrico son iguales D=D0, pero el campo eléctrico depende del dieléctrico:

Page 55: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 18

libre

r

r

D DE E E

E EE E

! ! LK ! K K ! K

! KJ

#

# # #

#

#

El campo eléctrico depende de la constante dieléctrica rK , que varía desde 1 (para el vacío) hasta 310 (titanato de estroncio), siendo para el agua a 25ºC igual a 78,5.

La diferencia de potencial entre dos puntos del campo también varía con el medio:

% &% &

% & % &% &% &

rr r

V V E d E d V VV V V V 1

V VV V E d@ " @ "

@ " @ "@ "@ "

" ! 1 ! K 1' ") # " ! K " # K ! J+"" ! 1)-

## ##

Condensadores.- Concepto de capacidad de un conductor: “Se define la capacidad de un conductor como la relación entre su carga y el potencial C=Q/V siendo la unidad 1 faradio (1 F=1C/1V)”.

Consideremos una esfera conductora, de radio R, que contiene una carga Qlibre y ro-deada del vacío, en primer lugar, y de un dieléctrico εr, posteriormente. La relación entre la carga Qlibre y el potencial eléctrico, en cada caso, en la superficie de la esfera conductora es constante e independiente de la carga Qlibre.

libre libre

rlibrelibre

r

Q QC CV VC 4 R; C 4 R 4 RQQ VV

4 R4 R

' ( ' (! !) ) ) )) ) ) )# ! *K # ! *K K ! *K+ , + ,) ) ) )!!) ) ) )*K K*K - .- .

##

# # #

###

El razonamiento anterior es válido para todos los conductores cargados de distinta geometría.

Concepto de condensador: Un condensador, o capacitor, está constituido por dos conduc-tores aislados entre sí. Cuando un condensador se carga sus platos o conductores tienen igual carga pero opuesta. Cuando un conductor no está aislado su capacidad se afecta por la presencia de otros conductores que modifican su potencial. Sea el condensador formado por dos conductores planos paralelos cargados con +Q y con -Q. La capacidad del sistema que se llama capacitor o condensador depende de si hay entre los conductores un dieléctrico:

libre libre

libre librer

Q S SCV E d d

Q S SC CV E d d

C C

L 1! ! ! K

6 1L 1

! ! ! K K ! K6 1

J

# ## #

# # #

#

Por tanto, si se introduce un dieléctrico en un condensador observamos que: a) dismi-nuye el campo eléctrico en su interior (E<E0); b) disminuye la diferencia de potencial entre las placas (V<V0), y c) aumenta la capacidad del condensador (C>C0).

Energía almacenada en un condensador cargado: Cargar un conductor requiere gastar energía debido a que hay que vencer la repulsión entre las cargas y, por tanto, hay que hacer un trabajo sobre el sistema. Éste trabajo se manifiesta en el incremento de la energía potencial del conductor. Supongamos que, en un instante dado, una carga q’ se ha transfe-rido desde un plato a otro. La diferencia de potencial V’ entre los platos en ese instante será q’/C. Si un incremento extra de carga dq’ se transfiere entonces el incremento de trabajo necesario será

Page 56: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 19

sobre p(e) 2Q2

sobre0

W Eq ' Q1 1 1W dq ' CV QVq ' C 2 C 2 2dW V 'dq ' dq '

C

! 6') # ! ! ! !+

! !)-?

Densidad de energía: es la energía potencial por unidad de volumen entre los platos del condensador. Si consideramos un condensador de platos planos y paralelos de superficie S y siendo d la distancia entre los platos:

2 2S1 1 2p(e) r 22 2 d

r r2

E CV V 1 V 1U ES d S d S d 2 2d

K K! ! ! ! K K ! K K

1 1 1#

# #

Asociación de condensadores: serie y paralelo.- Los condensadores en un circuito se pueden combinar de distintas formas, las más sencillas son en serie y en paralelo. Ahora vamos a calcular el condensador equivalente a una combinación determinada, es decir, la capacidad de un único condensador que tenga la misma capacidad que la combinación da-da de condensadores.

Serie: Consideremos dos condensadores de distinta capacidad, C1 y C2, conectados en serie a una batería, que mantiene una diferencia de potencial V que cruza los terminales de la combinación en serie. Esto produce las diferencias de potenciales V1 y V2 en los condensa-dores C1 y C2. Al estar en serie la carga de cada uno es la misma, pero como tienen distinta capacidad la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno es distinta. Luego el condensador equivalente a los dos ha de tener la misma carga de cualquiera de ellos y la di-ferencia de potencial entre sus extremos ha de ser igual a la suma de las diferencias de po-tencial de cada uno

total 1 2

total

total 1 2 eq

1 2 eq

V V VQ Q Q QC C C C

1 1 1C C C

6 ! 6 @ 6

! @ !

@ !

Paralelo: Consideremos dos condensadores de distinta capacidad, C1 y C2, conectados en paralelo a una batería. Los terminales de la batería están conectados a los platos de los dos condensadores. Como la batería mantiene una diferencia de potencial V entre los termina-les, aplica la misma diferencia de potencial V a cada condensador. Al estar en paralelo la di-ferencia de potencial entre los extremos de cada uno es la misma, pero como tienen distinta capacidad la carga sobre cada uno es distinta. Luego el condensador equivalente a los dos ha de tener la misma carga de los dos y la diferencia de potencial entre sus extremos ha de ser igual a la de cada uno.

total 1 2

eq 1 2

eq 1 2

Q Q QC V C V C V

C C C

! @

6 ! 6 @ 6

! @

Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrostático.-

Característica de la fuerza Gravitatoria Electrostática

Fuentes de la fuerza La masa Las cargas eléctricas (+ y -)

Tipo de fuerza Central, conservativa y atractiva Central, conservativa y atractiva y repulsiva

Page 57: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Campos gravitatorio y electrostático” Página 20

Relación entre fuerza-fuentes

Directamente proporcional al producto de las masas

Directamente proporcional al producto de las cargas

Relación entre fuerza-distancia

Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

Intensidad de la fuerza G=6,67∙10-11 Nm2kg-2 Kvacío=9∙109 Nm2C-2

Influencia del medio en la fuerza No influye Inversamente proporcional a la

constante dieléctrica

Page 58: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Campos gravitatorio y electrostático” Página 21

Problemas del campo gravitatorio.- G=6,67∙10-11 Nm2kg-2; RT= 6,37∙106 m; g0=9,80 ms-2.

1) Dos partículas, de masa m, están fijas en los puntos (a; 0) y (-a; 0). Calcular: a) campo gravitatorio en un punto de la mediatriz del segmento que une ambas masas, en función de la ordenada del punto; b) velocidad de una tercera masa puntual m, inicialmente en reposo en el punto (0; b) al pasar por el origen.

[a) gy=-(2Gmy)/(a2+y2)1,5; b) v=[4Gm((a2+b2)½-a)/(a(a2+b2)½)]½]

2) Una masa puntual de 8 kg está situada en el punto (0; 0). Calcular: a) punto del eje OY en el que habría que colocar otra masa puntual de 6 kg para que una partícula libre, de 2 kg, se encuentre en reposo en el punto (0;2) m; b) energía potencial gravitatoria de la partí-cula libre. [a) (0;2+(3)½) m ; b) - 9,96∙10-10 J]

3) Calcula: a) la altura sobre la superficie terrestre a la que el valor de g se ha reducido a la mitad; b) el potencial gravitatorio terrestre en un punto situado a 6.370 km de distancia de la Tierra. [a) 2.638 km; b) U=-31,3 MJ/kg]

4) Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una velo-cidad de 1.000 m/s. a) Calcular la altura máxima que alcanzará; b) repetir el cálculo des-preciando la variación de g con la altura y comparar el resultado con el del apartado ante-rior. [a) 51.274,7 m ; b) 51.020,4 m]

5) Calcula: a) el trabajo que hay que realizar para trasladar un cuerpo de 20 kg desde la su-perficie terrestre hasta una altura igual al radio de la Tierra; b) velocidad con que habría que lanzarlo para que alcanzara dicha altura. [a) W=+6,26∙108 J; b) 7.912 m/s]

6) Un satélite artificial describe una órbita circular a una altura igual a tres radios terrestres sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) la velocidad orbital del satélite; b) la aceleración del mismo. [a) 3.957 m/s=14.243 km/h; b) 0,61 m/s2]

7) Un satélite se encuentra en órbita geoestacionaria. Calcula: a) la velocidad del satélite; b) el radio de la órbita. [a) 11.071 km/h; b) 42.167 km ó 36.000 km de altura]

8) Calcula la velocidad de escape para un cuerpo situado en: a) la superficie terrestre; b) a una altura de 2.000 km sobre dicha superficie. [a) 40.286 km/h; b) 35.145 km/h]

9) Un objeto que pesa 686 N en la superficie de la Tierra se encuentra en la superficie de un planeta cuyo radio es el doble del terrestre y cuya masa es 8 veces la de la Tierra. Calcular: a) peso del objeto en dicho lugar; b) tiempo de caída desde una altura de 20 m sobre la su-perficie del planeta. [a) 1376 N; b) 1,4 s]

10) Calcula el campo gravitatorio en el interior de la Tierra. Posteriormente, determina la ve-locidad con la que llegaría un objeto que se deja caer desde la superficie de la Tierra, a tra-vés de un agujero a lo largo de un diámetro, al centro de la Tierra. % & 12

T Tv GM m R "!

11) Se desea situar un satélite artificial, de 50 kg de masa, en una órbita circular situada en el plano del ecuador y con un radio igual al doble del radio terrestre. Calcule: a) la energía que hay que comunicar al satélite y la velocidad orbital del mismo; b) la energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo gravita-torio terrestre.[a) 2,40 GJ; 5,64 km/s; b) 8 GJ]

12) Se desea situar un satélite artificial, de 100 kg de masa, en una órbita circular situada en el plano del ecuador y con un radio igual a 2,5∙RT. Calcule: a) la energía que hay que co-municar al satélite y la velocidad orbital del mismo; b) la energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre. [a) 5 GJ; 5 km/s; b) 1,25 GJ]

13) Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión?. b) Si cae a la Tierra, haga un análisis energético del proceso de caída. Con qué velocidad llega a la superficie de la Tierra. ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida. Razone las respuestas.

Page 59: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Campos gravitatorio y electrostático” Página 22

14) A una altura de 500 km giran dos satélites de masa 1000 kg, cada uno, describiendo la misma órbita circular, pero en sentido contrario, con lo que chocarán. Si la colisión es to-talmente inelástica calcula: a) la energía mecánica inmediatamente después de la colisión; b) la velocidad con la que llegan al suelo si despreciamos el rozamiento con la atmósfera te-rrestre. Datos: g0=9,8 m∙s-2; RT=6,37∙106 m. [a) -1,16∙1011J; b) 3014 m/s]

15) Un satélite, de 1000 kg, está girando alrededor de la Tierra en una órbita circular a una altura de 350 km. a) ¿Cuál es la energía mecánica del satélite?. b) ¿Cuál es la energía que se ha gastado para colocarlo en dicha órbita?. Datos: G=6,67∙10-11N∙m2∙kg-2; g0=9,8 m∙s-2; RT=6370 km. [a) -2,96∙1010J; b) 3,28∙1010J]

16) Un cuerpo, inicialmente en reposo a una altura de 150 km sobre la superficie terrestre, se deja caer libremente. a) Explique cualitativamente cómo varían las energías cinética, po-tencial y mecánica del cuerpo durante el descenso, si se supone nula la resistencia del aire, y determine la velocidad del cuerpo cuando llega a la superficie terrestre. b) Si, en lugar de dejar caer el cuerpo, lo lanzamos verticalmente hacia arriba desde la posición inicial, ¿cuál sería su velocidad de escape?. Datos: G, RT y MT.

Problemas del campo electrostático:

Ke=9∙109 N∙m2∙C-2; K# =8,85∙10-12 C2∙N-1∙m-2; qe=-1,6∙10-19 C; me=9,1∙10-31 kg.

1) Se desea trasladar, una a una, cuatro cargas de valor Q situadas en el infinito, hasta los cuatro vértices de un cuadrado de lado a. Calcular: a) trabajo necesario para el desplaza-miento sucesivo de cada una de las cargas; b) energía potencial electrostática del sistema de cargas en la situación final.

% & % & % &2 1 2 1 2 1 2 1 21 1e e e e2 2 2

a) 0; K Q a ; K Q a 1 ; K Q a 1 1 ; b) K Q a 4" " " "2 3@ @ @ @7 8; <

2) Dos cargas positivas, de 2∙10-6 C y 4∙10-6 C, están situadas, respectivamente, en los pun-tos (0;2) m y (0;-2) m. Calcular: a) el campo y el potencial electrostáticos en el punto (4,0) m; b) trabajo necesario para trasladar una carga de 6∙10-3 C desde el infinito hasta el punto (4,0) m. [a) Ex=2415 N/C; Ey=402,5 N/C; V=12075 V; b) 72,45 J]

3) Una carga negativa de valor q=-0,7∙10-6 C, se encuentra fija en un punto de la mediatriz del segmento que une dos cargas iguales, una positiva y la otra negativa, de valor 0,4∙10-6 C, que están fijas y a una distancia de 10 cm. La fuerza que actúa sobre la carga de -0,7∙10-6 C es de 1,4∙10-3 N. Calcular: a) la dirección y sentido de la fuerza sobre q; b) la distancia a que se encuentra q del segmento que une las otras dos cargas. [a) paralela al segmento que las une y sentido de la positiva; b) 0,56 m]

4) Dos esferas muy pequeñas, de radio despreciable, pesan 4 N cada una y están suspendi-das de un mismo punto por sendos hilos de 5 cm de longitud. Al cargar cada una de las es-feras con la misma carga negativa, los hilos se separan y, en la situación de equilibrio, for-man un ángulo de 45º con la vertical. Calcular el valor de la carga. [1,5∙10-6 C]

5) Un electrón, con una velocidad de 10 km/s, penetra en la región comprendida entre dos conductores planos y paralelos, de 8 cm de longitud y separados entre sí 1 cm, en la que existe un campo eléctrico uniforme. El electrón penetra en la región por un punto equidis-tante de los dos conductores planos y, a la salida, pasa justamente por el borde del conduc-tor superior. Calcular: a) el campo eléctrico que existe entre los dos conductores y la dife-rencia de potencial entre ellos; b) la variación de energía cinética del electrón. [a) 888,7 V/m; 8,88 V; b) 7,1∙10-19J=0,225 eV]

6) Una carga positiva de valor 4∙10-6 C está distribuida uniformemente sobre una superficie esférica de 10 cm de radio. Calcular: a) trabajo necesario para desplazar radialmente una carga de 3∙10-6 C, desde un punto situado a 10 cm de la superficie esférica a una distancia de 15 cm ; b) en qué puntos sería nulo el campo si colocamos una carga puntual de 6∙10-6 C a 20 cm de distancia de la superficie esférica. [a) -0,108 J; b) 16,5 cm y 13,5 cm]

7) a) Determinar, aplicando el teorema de Gauss, el campo electrostático creado por una distribución plana uniforme, de densidad de carga L C∙m-2, en un punto situado a una dis-

Page 60: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Campos gravitatorio y electrostático” Página 23

tancia d del plano. b) ¿Cuál seria el campo creado por dos planos paralelos, separados por

una distancia d, cargados con densidades @L y "L , respectivamente. ;22 3L L7 8K K; <# #

8) Dos esferas metálicas de radios 4 cm y 6 cm, muy alejadas entre sí, se cargan con 3∙10-6 C cada una. Calcular: a) diferencia de potencial entre ambas esferas; b) potencial y carga de cada esfera después de unirlas mediante un hilo conductor de capacidad despreciable. [a) V4=675 kV y V6=450 kV; 225 kV; b) 540 kV y q4=2,4∙10-6 C y q6=3,6∙10-6 C]

9) Calcula la fuerza de atracción entre un ion cloruro y un ion sodio a una distancia de 2,0∙10-8 cm el uno del otro, si se encuentran: a) en el vacío (la constante dieléctrica es uno); b) en agua (la constante dieléctrica es 81). [a) 5,76 nN; b) 0,0711 nN]

10) Un condensador de placas planas paralelas tiene las placas a 1 mm. Si no hay materia entre ellas, la capacidad es de 3∙10-6 F y la intensidad del campo eléctrico entre las placas es de E0 = 1000 V/m. Le introducimos un dieléctrico de vidrio de constante dieléctrica 6. Calcula: a) la diferencia de potencial entre las placas, sin dieléctrico y con dieléctrico; b) la capacidad del condensador con dieléctrico; c)la energía potencial del condensador sin dieléc-trico y con dieléctrico; d) la carga de las armaduras. [a) 1 V; 1/6 V; b) 18 mF; c) 1,5∙10-6 J; 0,25∙10-6 J; d) 3∙10-6 C]

11) Un condensador de platos paralelos tiene una capacidad de 1,0∙10-12 F. La carga sobre cada plato es de 1,0∙10-6 C y su separación es de 1 mm. a) Calcula la diferencia de potencial y el campo eléctrico entre los platos; b) considerando que la carga permanece constante, calcula la diferencia de potencial y el campo eléctrico entre los platos si la separación entre ellos se hace de 2 mm; c) calcula el trabajo requerido para realizar la separación entre los platos. [a) 1 MV y 1 GV/m; b) 2 MV; c) 0,5 J]

12) Un electrón se acelera en dirección horizontal, desde el reposo, mediante una diferencia de potencial de 100 V. A continuación, penetra en una región en al existe un campo eléctri-co uniforme vertical de 200 N∙C-1. a) Dibuje la trayectoria seguida por el electrón y calcule la velocidad con la que entra en la región del campo. b) Calcule el vector velocidad del electrón cuando ha recorrido una distancia horizontal de 0,4 m en el campo. [a) 6000 km/s; b) vx = 6∙106m/s; vy = 2,3∙106m/s]

13) Una partícula con una carga de 1 pC, inicialmente en reposo, es acelerada por un cam-po eléctrico uniforme de 8∙106 N∙C-1 hasta alcanzar una velocidad de 8 m∙s-1. Si la partícula tarda 2s en alcanzar dicha velocidad, calcule: a) la masa de la partícula y el espacio recorri-do en ese tiempo; b) la diferencia de potencial entre las posiciones inicial y final. [a) 2 mg y 8 m; b) 64 MV]

14) Una partícula de 6∙106 C se encuentra en reposo en el punto (0,0). Se aplica un campo eléctrico uniforme de 500 N∙C-1, dirigido en el sentido positivo del eje OY. a) Describe la tra-yectoria seguida por la partícula hasta el instante en que se encuentra en el punto A, situa-do a 2 m del origen. ¿Aumenta o disminuye la energía potencial de la partícula en dicho desplazamiento?, ¿en qué se convierte dicha variación de energía?. b) Calcule el trabajo rea-lizado por el campo en el desplazamiento de la partícula y la diferencia de potencial entre el origen y el punto A. [b) 6 mJ; 1000 V]

15) Una carga puntual q1=+1,0∙10-3C está en el origen (0,0) m y otra carga q2=-2,0∙10-3C en el punto (5∙10-3; 0) m. Determina: a) los puntos sobre el eje OY en los que el potencial del campo electrostático sea cero; b) el trabajo realizado por el campo si q2 se traslada desde su posición a un punto en el que el potencial es cero. [a) ±2,9∙10-3m; b) 2,6 MJ]

16) Dos platos paralelos tienen la misma área 100 cm2 y la misma carga pero opuesta de va-lor 8,9∙10-7C. Si se llena el espacio entre los platos con un material dieléctrico el campo eléc-trico dentro del dieléctrico es 1,4∙106 V/m. a) Calcula la constante dieléctrica del material. b) Calcula la carga de polarización inducida sobre cada superficie del dieléctrico. Dato: K0=8,85∙10-12F/m. [a) 7,2; b) 7,7∙10-5 C/m2 ó 7,7∙10-7 C]

17) Dos láminas no conductoras están cargadas uniformemente por toda la superficie. Una de ellas, cargada positivamente, tiene una densidad superficial de carga de 6,8∙10-6 C∙m-2 y la otra, cargada negativamente, tiene una densidad superficial de carga de -4,3∙10-6 C∙m-2.

Page 61: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Campos gravitatorio y electrostático” Página 24

Si se colocan paralelas determina la intensidad del campo eléctrico: a) entre las láminas; b) a los lados de cada una. Dato: K0=8,85∙10-12 C2∙N-1∙m-2. [a) 6,3∙105N/C; b) 1,4∙105N/C]

18) En las proximidades de la superficie terrestre se aplica un campo eléctrico uniforme. Se observa que al soltar una partícula de 2 g cargada con 5∙10-5 C permanece en reposo. a) De-termine razonadamente las características del campo eléctrico (módulo, dirección y sentido). b) Explique qué ocurriría si la carga fuera de 10∙10-5 C y de –5∙10-5 C.

19) Dos cargas puntuales iguales de –5∙10-8 C, están fijas en los puntos (0,0) m y (5,0) m. Calcule: a) el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) en el punto (10,0) m; b) la veloci-dad con que llega al punto (8,0) m una partícula de carga 8∙10-9 C y masa 5∙10-3 g que se abandona libremente en el punto (10,0) m. Dato: Ke.

20) Las armaduras de un condensador plano están a 10 mm, siendo la intensidad del cam-po eléctrico, entre ellas, de 50 MV/m si están en el vacío. Si se llena la mitad del espacio en-tre las armaduras con un dieléctrico, homogéneo e isótropo, de constante dieléctrica 6. Para los dos casos de los dibujos a) y b), determina la diferencia de potencial entre las dos arma-duras del condensador y la intensidad del campo eléctrico en ambas mitades en los dos ca-sos siguientes: 1º) si las cargas en las armaduras permanecen constantes con la introduc-ción del dieléctrico; 2º) si se mantiene constante la diferencia de potencial entre las armadu-ras con la introducción del dieléctrico.

Soluciones:

a) caso 1: 6V0=500 kV; 6V=291,7 kV; E1=50 MV/m; E2=(50/6) MV/m;

caso 2: E’1=85,7 MV/m; E’2=14,3 MV/m;

b) caso 1: 6V=14,28 kV; E1= E2=14,28 MV/m

caso 2: 6V0=500 kV; E’1=85,7 MV/m; E’2=14,3 MV/m;

1 2

1

2

a) b)d

Page 62: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 1

ÍNDICE DE “ELECTROMAGNETISMO” Campo magnético: origen y efectos Origen del campo magnético Campo magnético producido por una carga eléctrica Efectos del campo magnético Fuerza magnética sobre una espira o sobre un hilo Los efectos del campo magnético sobre una espira rectangular son los siguientes Fuerza magnética sobre una carga eléctrica en movimiento Ejemplos de movimiento de partículas cargadas en un campo magnético Dipolos magnéticos Análisis comparativo entre las interacciones eléctrica y magnética entre dos cargas en mo-vimiento relativo Campo magnético producido por un hilo conductor por el que pasa una corriente eléctrica Relación entre el campo magnético de una corriente y el campo magnético de una carga en movimiento Ley de Ampère Aplicaciones de la ley de Ampère Comparación entre los campos electrostático y magnético estacionario Fuerzas entre corrientes. Definición de Ampère Inducción electromagnética. Ley de Lenz-Faraday Ley de Faraday-Henry de la inducción electromagnética Enunciado de la ley de Lenz Autoinducción e inducción mutua. Transformadores Autoinducción Energía almacenada en una bobina Inducción mutua El Transformador Detectores de metales Problemas de electromagnetismo

Page 63: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 2

Campo magnético: origen y efectos.- La palabra magnetismo procede de una ciudad de Asia Menor llamada Magnesia donde se observaron, por primera vez, los fenómenos magnéticos. Los antiguos griegos ob-servaron que ciertos minerales de hierro, tales como el imán o magnetita (Fe3O4), tienen la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro.

La propiedad se manifiesta, en su estado natural, por el hierro, cobalto, manganeso y por muchos compuestos de estos metales. Esta propiedad no está relacionada con la fuerza gravitatoria ya que no la presentan todos los cuerpos y parece estar concentrada en deter-minados lugares del mineral. Tampoco está relacionada con la interacción electrostática, ya que no son atraídos, por estos minerales ni trozos de corcho ni de papel.

Las regiones del cuerpo donde el magnetismo parece estar concentrado son llamadas polos magnéticos. Un cuerpo magnetizado se llama un imán. La Tierra es un enorme imán. Por ejemplo, se observa que si una varilla imanada se deja girar libremente, en algún lugar de la superficie de la Tierra, siempre se orienta y de la misma forma hacia los polos geográ-ficos, llamados Norte y Sur. Éste experimento también sugiere que hay dos tipos de polos magnéticos, que se designan con las letras N y S.

Si dos varillas imanadas se ponen cerca, los polos de igual nombre se repelen hasta enfrentarse los de distinto nombre. De tal forma que: “La interacción entre polos magné-ticos iguales es repulsiva y entre polos magnéticos distintos es atractiva”. Podríamos medir la intensidad de un polo magnético definiendo una masa magnética o una carga magnética, e investigando la dependencia de la interacción magnética con la distancia entre los polos. Sin embargo los físicos desconocían la naturaleza del magnetismo.

Por otra parte, una dificultad fundamental apareció cuando se quisieron hacer las medidas de intensidad, y es que experimentalmente ha sido imposible aislar un polo magné-tico o aislar un tipo de partícula que tenga un sólo tipo de magnetismo (N ó S), como sí ha ocurrido con las cargas eléctricas. Origen del campo magnético: Los hechos experimentales que demostraban la conexión entre la electricidad y el magnetismo (electromagnetismo) son:

1) En 1820, el danés C. Oersted descubrió que una corriente eléctrica, al pasar por un hilo conductor, producía un campo magnético a su alrededor. De tal forma que al pa-sar la corriente eléctrica por el hilo que tiene cerca unos imanes perpendiculares al hilo los orienta dependiendo del sentido de la intensidad de corriente. Sin embargo, Oersted no determinó ninguna ley cuantitativa del descubrimiento ni dio una explica-ción correcta del fenómeno. Pero las noticias de su descubrimiento llegaron a Francia donde Biort y Savart interpretaron éste fenómeno.

2) En el mismo año, de 1820, y a las pocas semanas de que Oersted publicara su descu-brimiento, Andre Marie Ampère (1775-1836) presentó los resultados de una serie de experimentos en los que se ponía de manifiesto la interacción magnética entre hilos conductores por los que pasan distintas corrientes eléctricas.

La experiencia, ha demostrado que el magnetismo es una manifestación de las cargas eléctricas en movimiento relativo a un observador. Por esta razón, las interacciones eléctricas y magnéticas se deben considerar siempre bajo el nombre más general de interacción electro-magnética.

Podemos decir que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas o las cargas eléctricas en movimiento relativo.

Como veremos a lo largo del tema, las interacciones eléctricas y magnéticas están muy relacionadas, siendo sólo dos aspectos diferentes de una misma propiedad de la mate-ria, sus cargas eléctricas.

Consideremos dos circuitos eléctricos, 1 y 2, con intensidades I1 y I2, siendo F12 y F21 las fuerzas respectivas de uno sobre otro. La F12 significa la fuerza ejercida sobre el circuito 1 debido al 2. La F21 significa la fuerza ejercida sobre el circuito 2 debido al 1:

Page 64: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 3

I

O

rr

dl

dl

ICircuito 1

F

FCircuito 2

21

12

1

2

2

1r21

21

La ecuación obtenida nos expresa la fuerza que un circuito, denominados 1 y 2, ejer-ce sobre otro por los que están pasando intensidades de corriente eléctrica I1 y I2, respecti-vamente. Siendo F21 la fuerza que ejerce sobre el circuito 2 el circuito 1 y F12 la fuerza que ejerce sobre el circuito 1 el circuito 2:

2

2 1212 m 1 2 1 31 2 12

12 211 21

21 m 2 1 2 32 1 21

7 Nm A

dl rF K I I dl

rF F

dl rF K I I dl

r

K 104

!

" #$ #%

%%$ ! & '#% $ #%

%()

$ $*

+ +

+ +!

" """"" "" """"

# #

# #

La constante 27 N

A4 10!) $ *! se le llama permeabilidad magnética del vacío.

La ecuación de interacción entre corrientes, obtenida por Ampère, es análoga a la de la ley de Coulomb de la interacción electrostática. La explicación de los hechos experimenta-les anteriores se debió a Biot y Savart que dijeron:

1) Una corriente eléctrica al pasar por un circuito crea en el espacio que lo rodea un campo magnético de la misma forma que un imán.

2) Un campo magnético interacciona con una corriente eléctrica.

El valor del campo magnético lo dedujeron de las ecuaciones obtenidas por Ampère sobre las fuerzas entre corrientes. Por tanto, de las ecuaciones anteriores, se pueden sepa-rar los términos correspondientes al circuito 1 y al circuito 2:

2 1212 1 1 m 2 1 1 1231 2 112

1 2121 2 2 m 1 2 2 2132 1 221

dl rF I dl K I I dl B

r

dl rF I dl K I I dl B

r

" #$ # $ #%

%%'

#% $ # $ #%%(

+ + +

+ + +

" "" "" """ "" "" ""

# # #

# # #

Siendo 21B"

el campo magnético (inducción magnética) producido por el circuito 1 en

el circuito 2, y 12B"

el campo magnético (inducción magnética) producido por el circuito 2 en el circuito 1.

Page 65: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 4

Por tanto, el campo magnético, en un punto, producido por una espira por la que pasa una intensidad de corriente, viene dado por la ley de Biot y Savart:

2 12 2 1212 m 2 12 23 32 12 12

1 21 1 2121 m 1 21 13 31 21 21

dl r dl rB K I dB I

4r r

dl r dl rB K I dB I

4r r

" # #)$ & $%

*%%'

# #)% $ & $% *%(

+

+

!

!

" "" "" "" "" "" "" "" "

#

#

Algunos campos magnéticos: en la superficie de la Tierra es de 10-4 T, en el espacio interestelar es de 10-2 T, un electroimán 1,5 T y en la superficie de una estrella de neutrones 108 T.

Campo magnético producido por una carga eléctrica: El campo magnético producido por una carga eléctrica q, que se mueve respecto de

un punto O, con una velocidad v, viene dado por:

r3 2

v uv rB q q4 4r r

) ) ##$ $

* *! !

"" """" "

Es decir, una carga eléctrica en movimiento relativo al observador produce un campo magnético añadido a su campo eléctrico.

La unidad de campo magnético B se denomina tesla (T), en honor de Nikola Tesla: 1T=1 N/(1A∙1m). Un tesla corresponde al campo magnético que produce una fuerza de un newton sobre una carga de un culombio moviéndose a una velocidad perpendicular al cam-po de un metro por segundo.

En un punto determinado, el vector campo magnético es perpendicular al vector ve-locidad de la carga y al vector posición del punto respecto de la carga.

Para cargas que se mueven con una velocidad muy inferior a la velocidad de la luz (v<<c):

r2

rr r2 2 2

qE u4 r

v u q qB q v u v u v E4 r 4 r 4 r

$*,) #

$ $ ) # $ ) , # $ ) , #* * *,

!

!! ! ! ! !

!

" "

""" "" "" " "

Por tanto, aunque una carga en reposo produce sólo un campo eléctrico, “una carga en movimiento relativo al observador, produce un campo eléctrico y un campo magné-tico”. Estando los dos campos relacionados por la ecuación anterior.

Los campos eléctricos y magnéticos son simplemente dos aspectos de una propiedad fundamental de la materia, la carga eléctrica. Es más apropiado usar el término campo electromagnético para describir la situación física que implica cargas en movimiento.

Otra propiedad interesante es la siguiente: “dos observadores en movimiento relati-vo miden diferentes velocidades de la carga eléctrica en movimiento y por tanto también miden diferentes campos magnéticos”.

v

B

Er

Campos E y B

q +

Page 66: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 5

En otras palabras, los campos magnéticos dependen del movimiento relativo de la carga y del observador. Efectos del campo magnético:

Los efectos del campo magnético son las fuerzas magnéticas.

Fuerza magnética sobre una espira o sobre un hilo conductor debido a un campo magnético producido por otro hilo conductor:

m

m

1 r1 2

F I dl B

dF Idl B

dl udB I4 r

" $ #%'% $ #(

) #$

*

+

!

"" "

"" "

" """

#

I

B

B

I

B

dF=I∙dl∙B

1

dl

Los efectos del campo magnético sobre una espira rectangular son los siguien-tes: Analizamos el dibujo con la espira rectangular cuyo plano no está colocado perpen-dicularmente al campo magnético B

1) Sobre cada lado del rectángulo aparece una fuerza magnética de valor mdF Idl B$ #"" "

2) Sobre los lados superior e inferior, las fuerzas son iguales pero de sentido contrario.

3) Sobre los lados izquierdo y derecho, las fuerzas también son iguales, pero si la espira está girada, formando un ángulo, respecto al campo magnético B, aparece un par de fuerzas.

4) El par de fuerzas, aplicado sobre la espira, genera un momento sobre la espira cuyo efecto es girar la espira hasta que esté perpendicular al campo magnético B. Lo que haría es que el vector superficie de la espira estuviese paralelo al campo magnético B hasta que el momento del par de fuerzas sea cero.

FF

F

I

I

I

IB

B

BB

B

espira rectangular espira vista desde arriba

Galvanómetro

Norte Sur

F

F

B

S-

F

S

Page 67: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 6

El momento del par de fuerzas es:

. /. /

dM r dF r Idl B

M I r dl B IS B m B

$ # $ # #

$ # # $ # $ #+

"" " "" "

" "" " " "" "#

Siendo S la superficie de la espira y m el momento magnético de la espira. El par de fuerzas tiende a orientar el momento magnético de la espira m paralelamente al campo magnético B.

Fuerza magnética sobre una carga eléctrica en movimiento: “La fuerza ejercida por un campo magnético B, sobre una carga eléctrica, en movi-

miento, es proporcional a la carga eléctrica y a la componente de la velocidad de la carga en una dirección perpendicular a la dirección del campo magnético”.

mF qv B$ #" ""

La dirección de la fuerza magnética es perpendicular al plano que forman los vecto-res velocidad y campo magnético. Si la velocidad es paralela a la dirección del campo mag-nético la fuerza magnética es cero.

Consideremos que la partícula se mueve en una región donde existen los campos eléctrico y magnético la fuerza total, denominada fuerza de Lorentz, será:

. /t e mF F F qE qv B q E v B$ 0 $ 0 # $ 0 #" " " " " " "" "

Conclusiones:

1) La fuerza magnética siempre es perpendicular al desplazamiento y no realiza trabajo

físico sobre la carga q: 2 2

m c1 1

F v W F dr F vdt 0 Em m1 & $ 2 $ 2 $ $ 3+ +" " """ " .

2) Como no se aplica trabajo sobre la carga, no varía su energía cinética, y no se altera el módulo de su velocidad.

3) La fuerza magnética está definida para cada punto del espacio, por donde pasa la car-ga, y el efecto físico sobre ella será que le produce una aceleración centrípeta y no tan-gencial:

. /2

c t m n t n nd v vE 0 v cte 0 a 0 F ma m a a ma m udt R

" 4% %3 $ & $ & $ & $ & $ $ 0 $ $' 5% %( 6

" "" " " " " ""

4) El resultado sobre la carga es que ésta va a describir una trayectoria curvilínea sin cambiar el módulo de su velocidad.

Ahora bien, si la partícula cargada se estuviera moviendo perpendicularmente a un campo magnético uniforme, es decir, con la misma intensidad y dirección en todos los puntos, entonces la fuerza es perpendicular a la velocidad y su efecto es cambiar la direc-ción de la velocidad sin cambiar su magnitud y el resultado es un movimiento circular uniforme.

. /. /m

m n

2m

F qv B qB v qB v m v q BmF ma m v qB m

v B

vF q v B mR

mvRqB

" 4 " 4$ # $ ! # ! # $ 7#% % % %& & 7 $ !' 5 ' 5$ $ 7# ! $ 7% %% % ( 6( 6

"1%

%% $ $'%% $%(

" " " "" " " " " """ "" " " "

""

" ""

Page 68: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 7

Éste fenómeno, viendo la dirección de giro de la carga al entrar en un campo magné-tico, tiene aplicación para determinar si una partícula está cargada positiva o negativamen-te.

Si la partícula cargada se mueve inicialmente en una dirección que no es perpendi-cular al campo magnético, podemos separar la velocidad en dos componentes paralelo y perpendicular al campo. La componente paralela permanece constante y la componente perpendicular cambia continuamente en la dirección pero no en magnitud.

Ejemplos de movimiento de partículas cargadas en un campo magnético: Espectrómetro de masas (espectrógrafo de masas):

Se utiliza para separar iones por su masa distinta, como pueden ser los isótopos de un elemento químico. Se aceleran los iones haciéndolos pasar por unas rendijas metálicas, una positiva y otra negativa, que tienen una diferencia de potencial, lo que contribuye a la variación de su energía cinética. Posteriormente, los iones se encuentran un campo magné-tico uniforme, que es perpendicular a su trayectoria, lo que hace que describan una semi-circunferencia, en un sentido o en otro dependiendo de la carga, hasta chocar con una placa fotográfica.

Al pasar las placas metálicas el trabajo realizado por el campo eléctrico es igual al incremento de la energía cinética de los iones:

2por c

1W E mv q V2

2q Vvm

$ 3 $ $ 3

3$

Al entrar en el campo magnético la fuerza magnética es igual a la fuerza centrípeta, ya que los iones giran describiendo una circunferencia:

. /

2m

2

v B

vF q v B mR

q 2q Vv BRm m

2 Vqm BR

1

$ $

3$ $

3$

""

" ""

Como se obtiene la relación q/m en función de B, ΔV y R. Esta técnica se puede apli-car a electrones, protones y otras partículas cargadas, átomos o moléculas. Si medimos la carga independientemente, podemos obtener la masa de la partícula.

El experimento con el espectrómetro de masas se usa también para obtener la varia-ción del momento con la velocidad de una partícula que se mueve con diferentes velocida-des. Se ha encontrado que, considerando que q permanece constante, p varía con la veloci-dad no de la forma p=mv sino como se expresa mediante la teoría de la relatividad:

q positiva

B está dirigido hacia arriba

· · · · · · · ·· · · · · ·

q negativa.

hacia dentro

hacia nosotros

Page 69: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 8

. /relativa

propia 2vc

pmvRqB qB

p qBRmv

p mv1

$ $

$

$ $!

"" "

Por tanto, la carga eléctrica es invariante, es la misma para todos los observadores en movimiento relativo uniforme, pero el momento de la partícula varía en total acuerdo con las predicciones de la teoría de la relatividad.

Experimento de Thomson:

Este experimento, realizado por J. J. Thomson en 1897, sirvió para descubrir la na-turaleza de los rayos catódicos. Llegó a la conclusión de que eran partículas cargadas nega-tivamente y determinó la relación qe/m. Hoy se aplican en los tubos de TV y en los oscilos-copios.

Se hacen pasar los rayos catódicos entre dos placas de longitud a, una positiva y la otra negativa. Entre las placas existe un campo eléctrico E y los electrones se desvían de su trayectoria, formando un ángulo θ, hasta que impactan en la pantalla, a una distancia L de las placas.

Y +++++++++

V0 a d

L

-- E

---------------

2

xex

2 2

2x a

xq1y Ex v tF q E m a 2 m v d qEa1q Ly at mvdy qEaa E 2 tanm

dx mv$

" 48 9% %" 4 $$$ $ " 4 : ;

% % % % % %< =& & & $' 5 ' 5 ' 5$ 8 9% % % % % %$ ( 6 - $ $( 6 : ;% %< =( 6

!!

!

!

"" " "

""

Si aplicamos también un campo magnético B, dirigido hacia el interior del papel, la fuerza magnética Fm que experimenta el electrón es hacia abajo. Que es en sentido contrario a la fuerza eléctrica Fe que experimenta el electrón. Si conseguimos que las dos fuerzas sean iguales Fm=Fe, la fuerza neta es cero y los rayos catódicos no se desvían de su trayectoria. De esta forma, calculamos la velocidad inicial v0 de las partículas cargadas que constituyen los rayos v0=E/B. Si sustituimos este valor en la ecuación anterior podemos determinar la relación q/m para las distintas experiencias

2

2

2

d qEaq E q v B L mv

E dvq dEvB m LEa LB a

" 4$" 4$ % %% % % %&' 5 ' 5

$% % % %$ $( 6 % %( 6

!!

!!

" ""

Ciclotrón:

El ciclotrón es un aparato que sirve para acelerar partículas cargadas.

Desde el punto de vista electrostático se pueden acelerar partículas cargadas haciendo que pasen por una zona en la que exista una diferencia de potencial alta, pero pa-

Page 70: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 9

ra conseguir que una partícula cargada tenga una alta energía cinética (alta velocidad) se necesitan diferencias de potencial muy altas.

Hemos visto que una partícula cargada en un campo magnético sigue un camino cir-cular. El ciclotrón se dice que es un acelerador cíclico, es decir, que acelera cíclicamente o cada cierto tiempo, a una carga eléctrica que pasa muchas veces a través de una diferencia de potencial relativamente pequeña.

El ciclotrón consiste en una cavidad cilíndrica dividida en dos mitades (llamadas De-es por la forma) y situadas en un campo magnético uniforme paralelo a sus ejes. Las dos Dees están eléctricamente aisladas una de la otra.

En el centro de la cavidad cilíndrica entre las dos Dees, en la que está hecho el vacío, se coloca la fuente de iones. Se aplica entre las Dees una diferencia de potencial alternativa del orden de 10 kV.

Dipolos magnéticos:

Cuando una partícula cargada se mueve en una órbita cerrada, como un electrón en un átomo, produce un campo magnético en el que las líneas de fuerza dan vueltas con la órbita. Las líneas de fuerza siguen a la partícula en su movimiento, si la partícula se mueve muy rápidamente el campo magnético es el promedio estadístico del campo producido en cada instante. Siendo el cálculo bastante complejo.

V B

Si la partícula se mueve con movimiento circular uniforme, la velocidad de la partí-cula es v r$ 7 , siendo 7 la velocidad angular que es perpendicular al radio r.

Por tanto, el campo magnético en el centro es igual a 2qvB

4 r)

$*! .

El momento angular de la partícula es L r p rmv$ # $" " " . Y, el campo magnético en O

en función de L es igual a

23

qvB q L4 r B

4 mrL r p rmv

)" 4$ )% %* & $' 5*% %$ # $( 6

!!

"

" " "

Una partícula cargada describiendo una pequeña órbita, como un electrón atómico, constituye un dipolo magnético. Se define el momento magnético de la partícula cargada en una órbita cerrada y el campo magnético

3

2 MqM L B2m 4 r)

$ & $*!

"" "

Análisis comparativo entre las interacciones eléctrica y magnética entre dos cargas en movimiento relativo: Considera dos cargas q y q’, en movimiento relativo y con velocidades relativas v y v’ respecto de un observador O. La fuerza eléctrica producida por q’ sobre q y medida por O es qE. El campo magnético producido por q’ es del orden de magnitud de v’E/c2 y la magnitud de la fuerza sobre q es del orden de

Page 71: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 10

2m

2e

m e2 2 2

1B v ' E v ' EF vv 'c

v 'E vv ' vv ' F cF qvB qv qE Fc c c

" 4$ ) , # $ #% %% % & >' 58 9% %$ $ $ $: ;% %< =( 6

! !" " "" "

Si las velocidades de las cargas son pequeñas, en comparación con la velocidad de la luz, la fuerza magnética es muy inferior a la fuerza eléctrica. Sin embargo, si las cargas tie-nen una velocidad del orden de 106 m/s, que es la velocidad de los electrones en los átomos, entonces la relación Fm/Fe es del orden de 10-4.

Campo magnético producido por un hilo conductor por el que pasa una corriente eléc-trica: Queremos calcular el campo magnético producido por el hilo conductor, por el que pasa una corriente eléctrica de intensidad I, en un punto P que está a una distancia R desde el punto O que es el más cercano del hilo.

Consideremos un hilo conductor recto de longitud infinita, en el eje Y, con la intensi-dad de corriente dirigida hacia el eje positivo. Sea un diferencial del hilo, dl, a una distancia l, sobre OY, del punto O, y que se encuentra a una distancia r del punto P. Se forma un triángulo rectángulo de cateto, sobre el eje OY, de longitud l, el cateto sobre el eje OX, de longitud R, y la hipotenusa de longitud r. Siendo θ el ángulo formado por el sentido de la co-rriente y el vector de posición desde dl hasta el punto P. El campo magnético, dB, producido por dl en P vendrá dado por la ley de Biot-Savart

. /

. / . /2

2

2

r2

2R0 0r sen2 2

cosR l Rsen senrRR dl dtan(180 ) tan

senl

dl udB I4 r Isen RB I d sen d

4 4 Rdl u sen senB I I dl4 4r r

* *

? ?-

!? !?

-" 4" 4 $ !- $ % %% % -% % % %&' 5 ' 5% % % %$ -! - $ ! - $% % % %-( 6 ( 6" 4) #

$% %*% % ) )-

& $ - $ - - $' 5* *) # ) - -% %$ $% %* *( 6

+ ++ +

!

! !

! !

" """ "" """ "

I2 R)*!

Relación entre el campo magnético de una corriente y el campo magnético de una carga en movimiento:

Supongamos un conductor de sección S"

, en el que hay n partículas cargadas por unidad de volumen, cada una con una carga q. Si les aplicamos un campo eléctrico se mue-ven, en la misma dirección, con una velocidad v" . Las cargas que en el tiempo t3 pasan a través de una sección son las que están dentro del volumen limitado por Sv t3

" " .

La carga Q qnSv t3 $ 3" " y la corriente I serán:

. /. /

r r2 2

r2

qn Sv tQI qnSvt t Idl jS dl jdV nqvdV

Ij qnvS

Idl u qv uB ndV

4 4r rqv uB

4 r

" 33% $ $ $% 3 3 & $ $ $'% $ $%(

) # ) #$ $

* *

) #$

*

+ +! !

!

" "" "

" " " "" "" ""

" " """" """"

"

Page 72: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 11

Ley de Ampère.- Considera una corriente rectilínea infinita de intensidad I. El campo magnético en un punto P a una distancia r desde la corriente es perpendicular a OP.

I

B

r

IB ut2 RIC fmm B dl 2 R I

2 R

)$

*)

$ $ 2 $ * $ )*+

!

!!

" "

""#

La circulación magnética es proporcional a la corriente eléctrica I, y es independiente del radio de la trayectoria cerrada. Por tanto, si dibujamos diversos círculos alrededor de la corriente I, la circulación magnética, alrededor de todos ellos, es la misma y es igual a I)! .

Haciendo un análisis más elaborado, se obtiene que la ecuación anterior es válida para cualquier forma de la corriente, y no necesariamente la rectilínea. Si tenemos varias corrientes I1, I2, I3,... unidas por una línea cerrada, cada corriente contribuye a la circula-ción del campo magnético a lo largo de la línea cerrada.

Por lo que se establece la ley de Ampère: “La circulación del campo magnético (fuer-za magnetomotriz) a lo largo de una línea cerrada, que enlaza las corrientes I1, I2, ..., es igual al producto de la permeabilidad magnética del vacío por la intensidad neta que pasa por el interior de la trayectoria cerrada”.

. /1 2 3B dl I I I I ...2 $ ) $ ) 0 0 0+ ! !""

#

En el tema de electrostática usamos la ley de Coulomb para calcular el campo eléc-trico causado por una distribución de cargas. Sin embargo, para distribuciones complejas utilizamos la ley de Gauss. La situación en el estudio del magnetismo es similar. Podemos calcular el campo magnético causado por una distribución de corriente con la ley de Biot y Savart (equivalente magnética a la ley de Coulomb), pero en casos complicados utilizaremos la ley de Ampère. Las dos leyes son uniones entre una distribución de corriente y el campo magnético que ella genera.

Para calcular la intensidad neta, consideramos que una corriente es positiva si pasa a través de la trayectoria cerrada, L, en el sentido indicado por el dedo pulgar de la mano derecha, al tener la mano derecha cerrada y los dedos restantes indicando la direc-ción del camino cerrado L.

Aplicaciones de la ley de Ampère: 1º) Campo magnético producido, a una distancia r, por una corriente rectilínea a lo largo de un cilindro circular, de radio a, si la distancia r>a:

L

I

B

r dl

L

+I +I

-I +I

Page 73: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 12

L LB dl B dl BL B2 r I

IB2 r

2 $ $ $ * $ )

)$

*

+ + !

!

""# #

2º) Campo magnético producido, a una distancia r, por una corriente rectilínea a lo largo de un cilindro circular, de radio a, si la distancia r<a.

Tenemos dos posibilidades. Si la corriente se realiza a lo largo de la superficie del cilindro, como puede ocurrir si el conductor es un cilindro rodeado de metal, la corriente a través de L’ es cero y la ley de Ampère da B2 r 0* $ ó B=0 (r<a).

La otra posibilidad es que la corriente esté uniformemente distribuida a través de la sección que cruza el conductor, la corriente por unidad de área es constante, luego la corriente a través de L’ es

2 2

2 2

2 2

L L

2

I I 'a r

r rI ' I Ia a

B dl B dl BL ' B2 r I '

I ' IrB2 r 2 a

" $%* *%'

*% $ $% *(

2 $ $ $ * $ )

) )$ $

* *

+ + !

! !

""# #

3º) Campo magnético en el centro de un solenoide muy largo: Consideremos un solenoide que tiene n vueltas por unidad de longitud llevando una corriente I. Si las vueltas están muy próximas en el espacio y el solenoide es muy largo, el campo magnético está entera-mente confinado en su interior, como se confirma experimentalmente.

Si aplicamos la ley de Ampère a un camino correspondiente a un rectángulo que tie-ne la base inferior dentro del solenoide, y paralela al campo, y la base superior fuera del so-lenoide. Al calcular la circulación del campo magnético en el rectángulo, la contribución de los lados que hacen de altura a la circulación del campo es cero porque son perpendiculares al campo, la contribución de la base superior también es cero por no existir campo. Por tan-to, sólo contribuye la base interior del solenoide. Siendo N vueltas por L longitud: n=N/L

Q

PQRS PB dl B dl Bx nxI

B nI

2 $ 2 $ $ )

$ )

+ + !

!

" "" "#

S R

........................

P Q B ***************** Comparación entre los campos electrostático y magnético estacionario: Los campos magnéticos difieren de los campos eléctricos en algunos aspectos:

1) Los campos magnéticos son producidos por cargas eléctricas en movimiento relativo al observador, tales como una corriente eléctrica, y los campos electrostáticos por cargas en reposo relativo.

2) Las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas, es decir, no comienzan en al-gún punto y terminan en otro, sino que están curvadas alrededor de las cargas en mo-vimiento o de la corriente eléctrica. Esto se debe a que no se han encontrado los polos magnéticos o “masas magnéticas”.

3) Si consideramos una superficie cerrada en el interior de un campo magnético, el flujo magnético entrante es igual al saliente. Por lo que decimos que el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es siempre cero. El flujo del campo elec-

Page 74: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 13

trostático a través de una superficie cerrada no es cero, es igual a la relación entre la carga neta en su interior y la permitividad del vacío.

4) El campo magnético no es conservativo ya que la circulación del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada no es cero. El campo electrostático sí es conservativo.

5) Como el campo magnético no es conservativo no podemos asociar, en cada punto del espacio de un campo magnético, una energía potencial magnética asociada a una car-ga en movimiento, ni a masa magnética o a carga magnética.

Fuerzas entre corrientes. Definición de Ampère.- Considera dos conductores rectilíneos y paralelos, con corrientes rectilíneas de in-tensidades I y I’, que van en el mismo sentido:

La fuerza que ejerce un conductor rectilíneo sobre el otro será F’ y F. El hilo conductor que lleva la corriente I atrae a la I' con una fuerza por unidad de longitud f:

. / . /r r

r r

I II 'L 'F ' I ' dl ' B I ' dl ' u u2 R 2 R

F ' II ' 2II 'fL ' 2 R 4 R

I' II 'LF I dl B' I dl u u2 R 2 R

F II ' 2II 'fL 2 R 4 R

! !) )" $ # $ $% * *%

') )% $ $ $% * *(

) )" $ # $ $% * *%'

) )% $ $ $% * *(

+ +

+ +

! !

! !

! !

! !

"" " " "

"

"" " " "

"

# #

# #

Por tanto, obtenemos que: “dos hilos con corrientes paralelas en la misma dirección se atraen mutuamente con una fuerza inversamente proporcional a su separación como re-sultado de su interacción magnética; si las corrientes paralelas están en dirección opuesta, se repelen mutuamente”.

Definición de ampere: “Un ampere es la intensidad de una corriente constante que, man-teniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de 1 m uno de otro, en el vacío, producirá entre es-tos conductores una fuerza igual a 2∙10-7N por metro de longitud”.

Por tanto, el culombio se define como la cantidad de carga que fluye cruzando la sec-ción transversal de un conductor en un segundo cuando la corriente es de un amperio.

A continuación vamos a estudiar las leyes del campo electromagnético considerando campos que varían con el tiempo y veremos que un campo magnético variante con el tiempo requiere la presencia de un campo eléctrico (ley de Faraday-Henry) y un campo eléctrico va-riante con el tiempo requiere un campo magnético (ley de Ampère-Maxwell).

Inducción electromagnética. Ley de Lenz-Faraday.- El fenómeno de la inducción electromagnética fue descubierto simultáneamente en 1831, por M. Faraday y por Henry. La inducción electromagnética es el principio por el que funcionan los generadores eléctricos, el transformador y muchos otros aparatos de uso dia-rio.

Supongamos un conductor eléctrico que forma un camino cerrado o circuito, deno-minado malla, de superficie S, y lo colocamos en una región donde existe un campo magné-

I I'

B

B'

F F'

R

Page 75: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 14

tico B. Si el flujo magnético a través de la malla varía con el tiempo, se observa una corrien-te en el conductor mientras el flujo está variando. El flujo magnético tiene de unidad We-ber (Wb)

m B S B S cos@ $ 2 $ -" "" "

La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia de un campo eléctrico ac-tuando sobre las cargas libres en el conductor. Este campo eléctrico produce una fuerza electromotriz a lo largo del circuito, que se llama fuerza electromotriz (fem) inducida.

Hechos experimentales:

1) Si un hilo metálico constituyendo una malla o circuito cerrado, conectado a un galva-nómetro, se coloca próximo a un imán que se está moviendo, el galvanómetro de-muestra que se produce una corriente en la malla, que se llama corriente inducida.

2) Si un hilo metálico constituyendo una malla o circuito cerrado, conectado a un galva-nómetro, se mueve próximo a un imán que está en reposo, el galvanómetro demuestra que se produce una corriente en la malla, que se llama corriente inducida.

3) Si colocamos dos circuitos cerrados próximos, uno conectado a un galvanómetro que indica que no pasa corriente y el otro, conectado a una batería mediante un interrup-tor cerrado, por el que sí está pasando una corriente. Al abrir el interruptor se cierra la corriente y se observa una fem inducida en el primero que no se observaba cuando había una corriente estacionaria.

4) Mientras mayor sea la variación del flujo magnético, con respecto del tiempo, a tra-vés del circuito cerrado mayor es la fem inducida.

El cambio, con respecto del tiempo, en el flujo magnético puede ser debido al cambio del campo magnético o al movimiento del circuito con respecto del campo magnético o a la deformación relativa del circuito con respecto del campo magnético. La dirección en la cual actúa la fem inducida depende de si el flujo magnético a través del circuito se incrementa o disminuye.

La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia de un campo eléctrico ac-tuando sobre las cargas libres del conductor. Este campo eléctrico produce una fem a lo lar-go del circuito, que se llama fem inducida. La medida de esta fem inducida nos demuestra que depende de la velocidad con la que varíe el flujo magnético. A mayor velocidad de cam-bio del flujo magnético mayor es la fem inducida.

El signo de la fem inducida es siempre opuesto al de la variación del flujo magnético.

. /md d B S cosdt dt@

, $ ! $ ! -""

Ley de Faraday-Heny de la inducción electromagnética: “En un circuito cerrado, o malla, situado en un campo magnético, se produce una fem inducida si varía el flujo mag-nético a través del circuito, siendo el valor de la fem la rapidez de cambio del flujo magnético a través del circuito”. Si variamos el flujo magnético a través de un carrete o bobina de N vueltas, aparece una fem en cada vuelta, y estas fem se suman

mdNdt@

, $ !

La fem implica la existencia de un campo eléctrico no conservativo

m

L L

d dE ' dl B dSdt dt@

, $ 2 $ ! $ ! 2+ ++" "" "

#

B (decrece)B (aumenta)

,,

Page 76: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 15

La ecuación anterior es válida para una línea arbitraria cerrada L aunque no coinci-da con un conductor eléctrico. Es decir, “Un campo magnético dependiente del tiempo im-plica la existencia de un campo eléctrico tal que la circulación del campo eléctrico a lo largo de un camino cerrado arbitrario es igual al negativo de la rapidez de cambio del flujo magné-tico a través de la superficie envuelta por el camino.

En 1834, justo tres años después de la promulgación de la ley de inducción, Hein-rich F. Lenz publicó la regla, conocida como ley de Lenz, para determinar la dirección de una corriente inducida en un circuito cerrado o malla.

Demostró que las corrientes inducidas se mueven en un sentido tal que tiende a oponerse a cualquier cambio en el flujo magnético presente. Es decir, si aumenta el flujo los electrones se moverán para disminuirlo y si disminuye el flujo los electrones se moverán pa-ra aumentarlo.

Enunciado de la ley de Lenz: “Una corriente inducida en una malla aparecerá en una di-rección tal que se opone al cambio que la produzca”.

El signo menos que aparece en la ley de Faraday nos expresa la oposición. La ley de Lenz se refiere a corrientes inducidas y no a fem inducidas, lo que significa que sólo la po-demos aplicar directamente a conductores cerrados, formando una malla.

Interpretaciones de la ley de Lenz:

1) Si acercamos un imán, por su polo N (Norte), a una malla o circuito eléctrico cerrado, le produce a esta una corriente inducida. La corriente inducida en la malla, lo hace de tal forma que se opone al acercamiento del imán, creando un polo N próximo al del imán.

2) Si alejamos un imán, por su polo N, a una malla, le produce una la corriente inducida. La corriente inducida se opondrá creando un polo S sobre la cara de la malla próxima al polo N del imán.

3) Si acercamos o alejamos un imán hacia una malla siempre experimentaremos una fuerza de resistencia y tendremos que realizar un trabajo. Aplicando el principio de conservación de la energía, este trabajo debe ser exactamente igual a la energía térmi-ca que aparece en el enrollamiento, ya que estas son las dos energías que aparecen en el sistema aislado (ignorando la energía radiada desde el circuito como onda electro-magnética).

Autoinducción e inducción mutua. Transformadores.- Descripción del fenómeno autoinducción: Consideremos un circuito llevando una corriente eléctrica I. De acuerdo con la ley de Ampère la corriente produce un campo magné-tico que, en cada punto, es proporcional a I.

Por tanto, el flujo magnético a través del circuito debido a su propio campo magnéti-co, llamado el autoflujo es proporcional a la intensidad de corriente I. Si la corriente I cam-biase con el tiempo, el autoflujo a través del circuito también cambiaría y, de acuerdo con la ley de la inducción electromagnética, una fem es inducida en el circuito. Este caso especial de inducción electromagnética se llama autoinducción.

m

autoflujo

B dS

B dl I

LI

@ $ 2

2 $ )

@ $

+++ !

""

""#

I

B

Page 77: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 16

El coeficiente L depende de la forma geométrica del conductor y se llama inductan-cia del circuito. La inductancia es una magnitud eléctrica que sirve para caracterizar los circuitos según su aptitud para engendrar corrientes inducidas. La unidad de induc-tancia es el henry (H), siendo 1 henry=1 weber/1 ampere.

Inductor: En el tema anterior analizamos que un capacitor o condensador es una estructu-ra que podemos utilizar para producir un campo eléctrico conocido en una determinada zo-na del espacio. Simétricamente, podemos definir un inductor como una estructura que podemos usar para producir un campo magnético conocido en una región. Considera-mos como prototipo de un inductor la porción central de un solenoide muy largo, en el que se especifica su campo magnético asociado.

Si se establece una corriente i en los enrollamientos o N vueltas de un inductor hay un Flujo Magnético @ debido a la corriente a través de las vueltas, y se dice que las vueltas están vinculadas o unidas por este flujo compartido.

La inductancia del inductor es igual a NLi@

$ , siendo N el número de vueltas. El

producto N@ se llama el flujo enlazado.

Autoinducción: Si dos carretes, que podemos llamar inductores, están muy próximos, una corriente i

en uno de ellos crea un flujo magnético a través del segundo. Sabemos que si cambiamos este flujo, porque cambiemos la corriente, aparece una fem inducida en el segundo carrete, de acuerdo con la ley de Faraday.

Además, aparece una fem inducida en un carrete si cambiamos la corriente en el mismo carrete. Este proceso se llama autoinducción y la fem que aparecen se llama autoinducida.

. /L

N Lid N diL

dt dt

@ $

@, $ ! $ !

El signo menos nos indica que la fem se opone al cambio en la corriente. Si la corriente se incrementa (dI/dt>0) la fem autoinducida se opone a la corriente. Si la corriente decrece (dI/dt<0) la fem autoinducida actúa en la misma dirección que la corriente. Por tan-to, la fuerza electromotriz autoinducida actúa en la dirección que se opone al cambio en la corriente.

En un circuito de corriente alterna la fem autoinducida actúa en la dirección que se opone al cambio en la intensidad de la corriente y hace que la intensidad vaya retrasada respecto a la fem.

. ...................................................

################A##########

Bi

B

I I I

V

V

I (aumenta) I (disminuye)

Page 78: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 17

. /. /

. / . /

Lm

m

m mm

0di cos t dtdi Lcos t L 0

dt

I cos t dt sen t I cos tL L 2

, 0 , $" 4,% % & $ 7' 5

, 7 ! $% %( 6, , *8 9$ 7 $ 7 $ 7 !: ;7 < =+

fem

i

0t

TT/2

*

Energía almacenada en una bobina: Consideremos una bobina conectada a un generador de corriente alterna. Se ha de cumplir

Potencia suministrada = Potencia consumida

2 2L

dii - i i R Li i Rdt

, $ , 0 $ 0

La potencia almacenada en la bobina es igual a Ldi- i Lidt

, $ y lo hace en forma de campo

magnético:

B2

B

B

dU diLi 1U LIdt dt2dU Lidi

" $% & $'% $(

Inducción mutua:

Consideremos dos carretes próximos, una corriente estacionaria i en un carrete crea un flujo magnético en el otro carrete. Si cambia la intensidad i con el tiempo, aparece una fem, dada por la ley de Faraday, en el segundo carrete; este proceso se llama inducción. Se le conoce como inducción mutua para sugerir la interacción mutua de los dos carretes y distinguirlo de la autoinducción en el que sólo hay un carrete. Por tanto, podemos decir que “Es la producción de una fem en un circuito por la variación de la intensidad de corriente que circula por otro”.

1

2

1

2

I1

@2

@1

I2

Inducción Mutua

Consideremos dos circuitos, 1 y 2, que están próximos. Cuando una corriente circula por el circuito 1, i1, se genera un campo magnético proporcional a la intensidad y a su alre-dedor. Como consecuencia, a través del circuito 2, hay un flujo magnético que es proporcio-nal también a la intensidad.

El flujo magnético que pasa por el circuito 2 debido a la intensidad de corriente que pasa por el 1: 2 21 21 1N M i@ $

Siendo M21 un coeficiente que representa el flujo magnético a través del circuito 2 por unidad de corriente en el 1. Similarmente, si una corriente eléctrica circula por el circui-

Page 79: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 18

to 2, I2, se produce un campo magnético a su alrededor. Por lo que habrá un flujo magnético a través del circuito 1 que será proporcional a la intensidad del 2.

El flujo magnético que pasa por el circuito 1 debido a la intensidad de corriente que pasa por el 2: 1 12 12 2N M i@ $

Siendo M12 un coeficiente que representa el flujo magnético a través del circuito 1 por unidad de corriente en el 2. Los dos coeficientes, M21 y M12, dependen exclusivamente de las formas geométricas de los dos circuitos y de sus orientaciones relativas. Se demuestra, matemáticamente, que los dos coeficientes son iguales y se llaman la inductancia mutua de los dos circuitos y se mide en Henry (Wb/A).

Si la intensidad i1 por el circuito 1 es variable aparece una fem inducida sobre el cir-

cuito 2: 2

1M

diMdt

, $ !

Si por el circuito 2 la intensidad, i2, es variable aparece una fem inducida sobre el

circuito 1: 1

2M

diM

dt, $ !

El fenómeno de la inducción mutua nos indica que hay un cambio de energía entre dos circuitos cuando sus corrientes varían con el tiempo. Decimos que los circuitos están acoplados electromagnéticamente. “La energía puede ser cambiada entre dos circuitos vía el campo electromagnético”. Aplicaciones de la inducción mutua: el transformador, el telégrafo, la radio, la tele-visión, el radar, etc. La transmisión de una señal de un lugar a otro por producir una co-rriente variable en un circuito, llamado transmisor, y actúa sobre otro circuito acoplado a él llamado receptor.

El transformador: Consta básicamente de dos arrollamientos, con diferentes número de vueltas, alrededor de un núcleo de hierro en forma de cuadro. Un arrollamiento llamado primario de Np vueltas está conectado a un generador de corriente alterna de fuerza elec-tromotriz . /msen t, $ , 7 . El otro arrollamiento, llamado secundario, y de Ns vueltas está co-nectado a una resistencia.

!"Cuando se conecta el primario a una fem variable, este se convierte en un circuito consti-tuido por un generador de corriente alterna y una autoinducción pura, ya que la resisten-cia de la bobina es despreciable.

!"Por la bobina del primario pasa una corriente alterna de intensidad desfasada en 90º res-pecto de la tensión, que genera un campo magnético variable y, en consecuencia, un flujo variable a través de cada una de sus vueltas.

!"La pequeña corriente alterna del primario induce un flujo magnético alterno en el núcleo de hierro.

!"Como el núcleo de hierro se extiende a través del arrollamiento del secundario, este flujo inducido se extiende a través de las vueltas del arrollamiento secundario.

!"Aplicando la ley de inducción de Faraday la fem inducida por vuelta es la misma para los dos arrollamientos, el primario y el secundario, vuelta, .

!"El voltaje en cada circuito es igual a la fem inducida en cada circuito.

Por tanto, considerando valores cuadráticos medios:

p smvuelta

p s

ss p

p

V Vddt N N

NV V

N

@, $ ! $ $

$

Page 80: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Electromagnetismo” Página 19

Hasta ahora hemos considerado que el circuito secundario está abierto, por lo que no se transmite energía a través del transformador. Si lo cerramos el arrollamiento secundario es-tá conectado a una resistencia.

!"Una corriente alterna Is aparece en el secundario con la consiguiente disipación de energía I2∙R∙t en la resistencia.

!"Esta corriente induce su propio flujo magnético variable en el núcleo de hierro e induce una fem opuesta en el arrollamiento primario, que es esencial en la operación del trans-formador.

!"El voltaje del primario Vp no puede cambiar en respuesta a esta fem que se opone porque debe ser siempre igual a la fem que le proporciona el generador . /msen t, $ , 7 .

!"Para mantener Vp, el generador produce ahora corriente alterna Ip en el circuito primario, con magnitud y fase constante que serán justa las que necesita para cancelar la fem opuesta generada en el arrollamiento primario por Is.

En lugar de analizar los anteriores procesos tan complejos en detalle, tenemos la ventaja de utilizar el principio de conservación de la energía. Para un transformador ideal con una resistencia, el factor de potencia es la unidad. Considerando que pV, $ encontra-

mos que la velocidad con la que el generador transfiere energía a la vuelta primaria es igual a Ip∙Vp. Similarmente, la velocidad a la que la energía es transferida desde el primario al se-cundario es igual a Is∙Vs .

Con lo cual Pp=Ps, luego Ip∙Vp=Is∙Vs y la relación Is=Ip∙(Np/Ns) nos da la “Transfor-mación de corriente”. El transformador tiene una gran aplicación práctica en el transporte de energía eléc-trica de unos lugares a otros muy lejanos, ya que el trabajo que hay que realizar: W(sobre)=I∙V∙t=I2∙R∙t, si disminuimos la R o la I disminuimos el trabajo en el transporte.

Por tanto, en el transporte de energía eléctrica interesa que la intensidad sea lo más baja posible o la diferencia de potencial lo más alta posible. Esto se consigue con los trans-formadores.

Detectores de metales:

Un detector de metales está formado por dos carretes perpendiculares llamados transmisor y receptor, Ct y Cr. Cuando una corriente it varía sinusoidalmente en el carrete transmisor Ct, el carrete produce a su alrededor un campo magnético que varía continuamente. Si un conductor, como una moneda de oro enterrada, está cerca el campo magnético induce una corriente que varía continuamente en el conductor. Es decir, la moneda actúa como otro ca-rrete.

La corriente que varía continuamente en el conductor produce su propio campo magnético variable, el cual induce una corriente ir en el carrete receptor Cr del detector y señala la pre-sencia de la moneda u otro conductor. Así, el carrete Ct no induce directamente una co-rriente en el carrete Cr ya que enmascararía la señal desde el conductor enterrado, los dos carretes se montan con sus ejes centrales perpendiculares entre sí. El campo magnético de Ct está aproximadamente paralelo al plano de cada vuelta en Cr y no produce flujo magnéti-co a través de Cr e inducir una corriente en Cr.

Page 81: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Electromagnetismo” Página 20

Problemas de electromagnetismo: 2

2 212 7 19 31C N

e eN m A8,85 10 ; 4 10 ;q 1,6 10 C;m 9,1 10 kg! ! ! !

2, $ 2 ) $ * 2 $ ! 2 $ 2! !

1) Un electrón que se mueve con una velocidad de 50km/s, en el sentido positivo del eje OX. Penetra en una región en la que existe un campo magnético de 0,05 T dirigido en el sentido negativo del eje OZ. Calcular: a) la aceleración del electrón; b) el radio de la órbita descrita y el período orbital. [a) 4,40∙1014 m/s2 hacia -OY; b) 5,70 mm y 0,714 ns]

2) Un electrón con velocidad de 40 km/s en el sentido positivo del eje OX, penetra en una región en la que existe un campo magnético de 0,5 T en el sentido positivo del eje OZ. Calcular: a) la diferencia de potencial necesaria para que el electrón adquiera la energía cinética inicial; b) el campo eléctrico que habría que aplicar para que el electrón mantuviera rectilínea su trayectoria. [a) 4,55 mV; b) 20.000 V/m hacia + OY]

3) En un espectrógrafo de masas los iones de diversos isótopos de un elemento son acelera-dos mediante una diferencia de potencial de 4 kV y, a continuación, penetran en una región de campo magnético uniforme de 0,1 T que les obliga a describir un arco de 180º y alcanzar un colector donde son recogidos. ¿A qué distancia habrá que colocar los colectores para re-coger los isótopos del catión cobre(II) cuyos números másicos son 65 y 63?. Datos: 1u=1,66∙10-27kg; qe=1,6∙10-19C. [para el 65 a 1038 mm y para el 63 a 1022 mm]

4) Entre las placas de un condensador plano, situado en el vacío, existe un campo eléctrico de 100 kN/C. La distancia entre las placas es de 1 cm y despreciamos la interacción gravita-toria. a) Dibuje el condensador, indicando la dirección y sentido de las líneas del campo y calcule la diferencia de potencial entre las placas. ¿Cuál de las placas está a más potencial?. b) Si se lanza, paralelamente a las placas y en su punto medio un electrón con una veloci-dad de 1000 km/s, la trayectoria de éste se curvará ¿cuánto tiempo tardará el electrón en golpear la placa positiva?. c) Si hacemos coincidir el semieje positivo OX con la trayectoria inicial del electrón, es decir, equidistante de las placas y paralelo a ellas, calcular la intensi-dad, dirección y sentido del campo magnético que habría que colocar entre las placas para que el electrón no se desvíe de su dirección inicial.

5) Una fuente de iones produce 6Li (de masa 6∙u) con carga +e. Los iones son acelerados por una diferencia de potencial de 10 kV y pasan horizontalmente por una región en la que hay un campo magnético vertical y uniforme de 1,2 T. Calcula la intensidad del campo eléctrico que se ha de colocar en la misma región para que los iones 6Li no se desvíen. [680 V/m]

6) Una partícula alfa (B) tiene de carga +2e y de masa 4,0∙u. En un campo magnético de 1,2 T describe una trayectoria circular de radio 4,50 cm. Calcula: a) su velocidad; b) su período de revolución; c) su energía cinética en eV; d) la diferencia de potencial por la que se ha ace-lerado para alcanzar esa energía. [a) 2,60∙106m∙s-1; b) 1,09∙10-7 s; c) 1,4∙105eV; d) 70 kV].

7) Un protón, un deuterón y una partícula alfa se aceleran por la misma diferencia de po-tencial, entran en una región de campo magnético uniforme B y se mueven perpendicular-mente a B. a) Compara sus energías cinéticas. Si el radio de la trayectoria circular del pro-tón es de 10 cm determina los radios del deuterón y de la partícula alfa. Datos: 1H de masa 1,00∙u; 2H de masa 2,01∙u; 4He de masa 4,00∙u. [a) 2∙Kp=2∙Kd=KB; b) Rd=RB=14 cm]

8) Dos conductores rectilíneos paralelos, recorridos por corrientes del mismo sentido de 10 y 20 A, respectivamente, están separados entre sí 10 cm. Calcular: a) el campo magnético en un punto situado a 10 cm del primer conductor y a 20 cm del segundo; b) fuerza por unidad de longitud sobre un conductor rectilíneo situado en el mismo plano que los otros dos con-ductores, paralelo y equidistante de ambos, por el que circula una corriente de 5 A de senti-do contrario a las de los otros dos. [a) 0,040 mT; b) 2∙10-4 N/m hacia el de 10 A]

9) Sobre dos raíles paralelos al eje OX, situados en un plano horizontal y separados 30 cm, se apoya una barra de cobre de 0,1 kg. Se hace circular de un raíl al otro, a través de la ba-rra de cobre, una corriente de 30 A. Calcular el campo magnético que habría que aplicar pa-ra que la barra se deslice sobre los raíles con velocidad constante si el coeficiente de roza-miento barra-raíl es de 0,2. [21,8 mT]

10) Dos hilos de cobre están colocados perpendicularmente al plano XY. El primero en el punto (-1;0) m lleva una intensidad de 1 A en sentido del eje Z, y el segundo en el punto

Page 82: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Electromagnetismo” Página 21

(1;0) m lleva una intensidad en sentido del eje -Z. Calcula la intensidad del campo magnéti-co, debido a los dos hilos, en un punto a 2 m de cada hilo en el eje OY. [Bx=½∙3½∙10-7T; By=½∙3∙10-7T; |Bneto|=3½∙10-7T a 60º con el eje OX]

11) Dos hilos paralelos, perpendiculares al plano XY sobre el eje X, distan 5,3 cm y llevan corrientes de 15 A y 32 A en direcciones opuestas. ¿Cuál es el campo magnético resultante, en magnitud y dirección, en un punto situado a 3,75 cm de los dos?. [1,89∙10-4 T a 70º del eje X]

12) Cuatro hilos de cobre están colocados paralelamente en los extremos de un cuadrado de 20 cm de lado. Cada uno lleva una corriente de 20 A, dos contiguos en el mismo sentido y los otros dos en sentido contrario. Calcula la magnitud y dirección del campo magnético B en el centro del cuadrado. [8,0∙10-5T]

13) Por una espira rectangular de 10 cm de base sobre el eje X y de 20 cm de altura sobre el eje Y, circula una corriente de 5 A en sentido horario. Se aplica un campo magnético de va-lor 2 T y dirigido en el sentido positivo del eje OY. Calcular: a) la fuerza magnética sobre ca-da lado de la espira; b) momento sobre la espira. a/1 k N y -1 k N; b/ 0, 2 i N !m .

14) Un cable coaxial está formado por un conductor cilíndrico de radio R y otro conductor, también cilíndrico, de radios interior y exterior R1 y R2, respectivamente. Ambos conducto-res están recorridos por corrientes de 1 A, y de sentidos contrarios. Calcula el campo mag-nético: a) en un punto situado entre los dos conductores; b) en un punto exterior al cable; c) en un punto r<R; d) entre R1<r<R2 . [a) B=µ0I/(2πr); b) B=0; c) B=µ0Ir2/(2πrR2); d) B=µ0I/(2πr)[1-(r2-R12)/(R22-R12)]]

15) Sea una bobina de 10 espiras planas y paralelas al plano XY, de superficie 5 centímetros cuadrados cada una. Actúa un campo magnético uniforme de valor, en función del tiempo, de componentes Bx=0,5+0,04t2 Bz=0,5+0,04t2, siendo B en tesla y t en segundos. Calcula: a) el flujo magnético a través de la bobina en el instante 2 s; b) la fuerza electromotriz inducida en el mismo instante; c) valor máximo de la fem inducida que podría obtenerse cambiando la orientación de la bobina. [ a) 3,3 mWb; b) 0,8 mV; c) 1,6 mV]

16) Una bobina constituida por 10 espiras de 2 cm2 cada una, gira a 100 rpm alrededor de un eje situado en su plano e inicialmente paralelo al YZ. Si está en presencia de un campo magnético uniforme de 0,2 T dirigido en el sentido positivo de OX. Calcular: a) la fem indu-cida en la bobina y su valor medio; b) la fem inducida si, manteniendo la espira en reposo la intensidad del campo disminuye uniformemente con el tiempo anulándose en 5 s. [a) ε=(8∙10-3∙π/6)∙sen(20π/6)t; b) 0; c) 8∙10-5 V]

17) Un conductor cilíndrico hueco, de radios R1 y R2 , lleva una corriente uniformemente distribuida sobre sus cortes transversales de valor I. Usando la ley de Ampère demuestra: a) que en un punto r>R2 el valor de B=µ0I/(2πr); b) que en el punto R1<r<R2, el valor de B=µ0I/(2πr)∙[(r2-R12)/(R22-R12)] ; c) que en el punto r<R1 el valor de B es cero.

18) Por una bobina de 500 espiras circula una corriente continua de 2 A, que produce un flujo de 2∙10-4 Wb. Determina: a) el valor de la fem inducida si la corriente se interrumpe en 0,4 s; b) el coeficiente de autoinducción de la bobina; c) la energía almacenada en el campo magnético. [ a) 0,25 V; b) 50 mH; c) 0,1 J]

19) Dos bobinas de 300 y 600 espiras se colocan una al lado de la otra. Por la primera pa-san 3 A de corriente originando un flujo magnético en ella de 3∙10-4 Wb y en la segunda de 2∙10-4 Wb. Determinar: a) la inductancia de la primera; b) la inductancia mutua; c) la fem media inducida en la segunda cuando se interrumpe la corriente de la primera en 0,4 s. [a) 30 mH; b) 40 mH; c) 0,3 V]

20) Por una bobina de 400 espiras circula una corriente continua de 2 A que da lugar a un flujo de 0,1 mWb. Calcular: a) el valor medio de la fem. inducida en la bobina si se inte-rrumpe la corriente en 80 ms; b) la autoinducción de la bobina; c) la energía almacenada en el campo magnético. [a) 0,5 V; b) 20 mH; c) 40 mJ]

21) Una bobina que está formada de 200 vueltas y su radio es de 0,10 m se encuentra per-pendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,2 T. Calcula la fem inducida en el carrete si, en 0’1 s, a) el campo magnético se dobla, b) el campo se hace cero, c) el campo

Page 83: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Electromagnetismo” Página 22

invierte su dirección, d) la bobina rota 90º, e) la bobina rota 180º. [a) -4* V siendo el sentido de giro contrario al aumento de B; b) +4* V siendo el sentido de giro el mismo a la disminu-ción de B; c) +8* V; d) +4* V; e) +8* V].

22) Dos carretes se encuentran en posiciones fijas. Cuando por el carrete 1 no pasa corrien-te y la corriente en el carrete 2 se incrementa a la velocidad de 15,0 A/s, la fem en el carrete 1 es 2,5∙10-2V. a) Determina su inductancia mutua. b) Cuando el carrete 2 no tiene corrien-te y el carrete 1 tiene una corriente de 3,60 A, ¿cuál es el flujo enlazado en el carrete 2?. [a) 1,67∙10-3 H; b) 6,0∙10-3 Wb]

23) Dos carretes A y B tienen 200 y 800 vueltas. Una corriente de 2 A en el carrete A produ-ce un flujo magnético de 1,8∙10-4 Wb en cada vuelta del carrete B. Calcula: a) el coeficiente de inducción mutua M; b) el flujo magnético a través del carrete A cuando hay una corriente de 4 A en el carrete B; c) la fem inducida en el carrete B cuando la corriente en el carrete A cambia desde 3 A hasta 1 A en 0,3 s. [a) 0,072 H; b) 1,44∙10-3 Wb; c) +0,48 V]

24) El carrete 1 tiene N1=100 vueltas y L1=25 mH y el carrete 2 tiene N2=200 vueltas y L2=40 mH. Están fijos y el coeficiente M12=3 mH. Una corriente de 6 mA en el carrete 1 está va-riando a 4 A/s. a) ¿Cuál es el flujo enlazante �12 en el carrete 1 y cuál es la fem autoinduci-da que aparece en él?. b) ¿Cuál es el flujo enlazante �21 en el carrete 2 y la fem inducida mutuamente?. [a) 1,5∙10-4 H y 0,1 V; b) 1,8∙10-5 H y 0,012 V]

25) Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, separados 10 cm, transportan co-rrientes de 5 y 8 A, respectivamente, en sentidos opuestos. Determine: a) el campo magnéti-co en un punto del plano definido por los dos conductores situado a 2 cm del primero y a 12 cm del segundo; b) la fuerza por unidad de longitud entre los dos conductores. Dato: µ0.

Page 84: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 1

ÍNDICE DE “CORRIENTE ALTERNA” Concepto de Corriente Alterna Generadores de corriente alterna Magnitudes características de la corriente alterna: Valor instantáneo y valor máximo, perío-do, frecuencia, pulsación y fase Intensidades y tensiones eficaces Comportamiento de R, L y C en corriente continua y en corriente alterna Bobina con resistencia Condensador Condensador y Resistencia Circuitos de corriente alterna (serie RCL). Impedancia Resonancia Potencia en corriente alterna Problemas de corriente alterna

Page 85: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 2

Corriente Alterna.- Introducción: Todas las casas, oficinas y fábricas están conectadas con alambres que lle-van corrientes alternas, es decir, corrientes cuyos valores varían con el tiempo de una forma sinusoidal. Cambian de dirección 100 veces por segundo ya que la frecuencia es de 50 Hz.

La velocidad de los electrones en un alambre es de 4∙10-5m/s. Si invertimos su direc-ción cada 10-2s los electrones se moverán 4∙10-7m en la mitad de un ciclo. A esta velocidad un electrón, antes de invertir su movimiento, no pasa más de diez átomos de cobre en el cristal.

Por lo que podemos preguntar ¿cómo puede el electrón alguna vez llegar o trasladar-se a cualquier parte?. La conducción de electrones no es “trasladarse a cualquier parte”. Cuando decimos que la corriente en un alambre es de un amperio queremos decir que los transportadores de la carga pasan a través de un plano cortante que cruza el alambre a la velocidad de un culombio por segundo. La velocidad a la cual los transportadores de la car-ga cruzan aquel plano no se considera directamente. Así un amperio puede corresponder a un grupo de transportadores de carga moviéndose muy lentamente o a unos pocos movién-dose rápidamente.

Además, la señal dirigida a los electrones para que inviertan sus direcciones, la cual se origina en la fem alterna proporcionada por el generador de la compañia, se propaga a una velocidad próxima a la de la luz. Todos los electrones reciben sus intrucciones para in-vertir la dirección al mismo tiempo.

Generadores.-

En su forma más sencilla, un generador de corriente alterna funciona de la siguiente forma:

a) Una bobina de alambre, sujeta por un eje, está enrollada alrededor de un núcleo de hierro en un campo magnético uniforme (inductor).

b) El eje de la bobina está rotando por algún medio mecánico, tal como un motor o una turbina.

c) Como consecuencia de la variación del flujo magnético, respecto del tiempo, a través de la bobina se induce en la bobina (inducido) una fuerza electromotriz (fem).

d) Cada extremo del alambre que forma la bobina está conectado al circuito externo por medio de un anillo metálico que gira con la bobina. Los anillos metálicos se deslizan, rozando, al pasar con un trozo de carbón que está fijo, a los cuales está conectado el circuito externo.

e) Si el generador se conecta a un circuito externo, del generador sale una corriente eléc-trica alterna.

Si la bobina tiene N espiras y está girando con una velocidad angular constante, de frecuencia f, en un campo magnético uniforme, la fuerza electromotriz inducida viene dada por la ley de Lenz-Faraday:

! " ! "m md dN N BScos t NBS sen t sen t sen 2 ftdt dt#

$ % & % & ' % ' ' % $ ' % $ (

La intensidad de la corriente también depende del tiempo: ! "mi I sen t% ' ) *

B uniforme

Bobina girando

Intensidad

Anillos metálicos

por medios mecánicos

I tiempo

f.e.m.

T0

-E

+E T/2

ESQUEMA DE UN GENERADOR

Page 86: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 3

Las expresiones anteriores nos indican: a) que la fem varía sinusoidalmente con el tiempo y que esta cambia la polaridad cuando gira la bobina llamándose generador de co-rriente alterna; b) que la intensidad no está en fase con la fem.

Magnitudes características de la corriente alterna: Valor instantáneo y valor máximo, período, frecuencia, pulsación y fase El voltaje producido en los terminales de un generador de corriente alterna fluctúa sinusoidalmente entre valores positivos y negativos como una función del tiempo. Y, la co-rriente, por tanto, también oscilará. Siendo:

a) El valor instantáneo del voltaje: mv V sen t% '

b) El valor instantáneo de la intensidad: ! "mi I sen t% ' ) *

c) El valor máximo del voltaje: Vm. El valor máximo de la intensidad: Im.

d) El período es el tiempo que transcurre para que el voltaje y la intensidad adquieran el mismo valor (T en segundos).

e) La frecuencia es el número de veces por segundo en que adquieren el mismo valor. La frecuencia f en s-1 ó Hz (en Europa es de 50 Hz y en América de 60 Hz). Siendo T=1/f.

f) La fase del voltaje t' y la fase de la intensidad t' ) * se miden en radianes. Siendo la diferencia de fase: * .

g) La pulsación es el número de veces en que adquieren el mismo valor en 2( segundos. Se mide en rad/s. La pulsación: 2

T 2 f(' % % (

Representación gráfica de corrientes alternas:

V

-

+t

V (máximo)

' t*

I(máxima)

T/2

T/4

3T/4

T

T/4

T/2

i(t)=I∙sen

Representación gráfica de Fresnel de la intensidad

!'+,),*"

Intensidades y tensiones eficaces:

Una lámpara, provista de filamento, puede brillar conectada a una corriente alterna o a una corriente continua. Si aplicamos una tensión alterna a una resistencia, habrá una disipación de energía por efecto Joule, igual que si la tensión es continua.

Concepto de valor eficaz: “Se llama valor eficaz de una tensión alterna aquel valor que produce el mismo efecto Joule, en una resistencia, como si fuese una tensión continua”.

Ley de Joule: “una corriente alterna de intensidad i en el instante t desarrolla en una resistencia óhmica, R, durante el tiempo infinitamente pequeño, dt, que sigue ese ins-tante, una cantidad de calor positiva cualquiera que sea el sentido de la corriente”.

La energía

! " 22R mdW iv dt i Rdt I sen t Rdt% % % ' ) *- ./ 0

“Se denomina intensidad eficaz de la corriente alterna considerada si el calor des-arrollado es el mismo, al cabo de un período T (o de un número entero de períodos), que con una corriente continua de una determinada intensidad”.

Por tanto, se ha de cumplir:

! "2T 22 m

Joule eficaz0

IQ i Rdt I RT RT2

1 2% % % 3 4

5 67

Page 87: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 4

Demostración:

! " 8 9 ! "

! "! "

! "

! "

! " ! "

2 2 2T T T22 2 2m m mef m

0 0 0

mef

T2 2

T 02 2T0

2 0

I I I1 1 TI i dt I sen t dt sen t dtT T T T 2 2

II2

1cos 2 t cos t sen t 1 cos2 t dt2sen t dt cos 2 t 1 2sen t

T 1 Tsen 2 t1 2 2 2 2sen t 1 cos 2 t2

:% % ' % ' % %;;

<; %;=

: >:' % ' & '; ; % & ';; ;; ; ;' % ' % & ' %< ? <

; ; % & ' %- ./ 0; ; '' % & ' =; ;= @

7 7 7

77 ;

;

De la misma manera, se define la diferencia de potencial eficaz entre dos puntos para los que, en el instante t, la diferencia de potencial es

! "

mef

2T2m

ef m0

VV2

1 sen t dtT2

%

$$ % % $ % $ '7

Comportamiento de R, L y C en corriente continua y en corriente alterna.-

Resistencia (R): En un circuito de corriente continua la energía consumida en una resis-tencia R por efecto Joule es igual

2

2media

W IVt I Rt

P IV I R

% %

% %

Si aplicamos una tensión alterna a una resistencia, habrá disipación de energía por efecto Joule, sin embargo como la fem y la intensidad dependen del tiempo

R

R m m

mm

vv iR V sen t sen t

Vi sen t I sen tR

$ %% % ' % $ '

% ' % '

Comparando las ecuaciones de vR y de i se observa que estas cantidades dependen del tiempo y que las dos están en fase, esto significa que sus correspondientes valores máximos coinciden en el tiempo y siendo Vm=ImR.

Por tanto: “En un circuito de corriente alterna que contienen sólo resistencia, la corriente invierte su dirección cada vez que lo hace la polaridad de los terminales del generador”.

Fasores: En la siguiente figura se representa el método de los fasores.

Los fasores son en esencia “vectores rotantes”. a) Las dos flechas (los fasores) rotan en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor

del origen con frecuencia angular ' b) La longitud de un fasor es proporcional a la amplitud de la cantidad alternante. c) La proyección de un fasor sobre el eje vertical es proporcional al valor instantáneo de

esta cantidad alternante para un valor instantáneo dado del ángulo de fase t* % '

Page 88: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 5

V

It

En los extremos de una R : el voltaje instantáneo y la intensidad instantánea están en fase

I (máxima)V (máximo)

*,%,',

m

mt

Potencia media consumida en la resistencia: T

m mm ef ef

0

I V1P Pdt I VT 2 2

% % %7

Demostración: T T T

2 m m m mm m m ef ef

0 0 0

I V I V1 1 1 TP P Pdt iv dt I V sen t dt I VT T T T 2 2 2

% % % % ' % % %7 7 7

Autoinducción (L): La palabra autoinducción procede de auto- e inducción, es decir, que produce una fem en un circuito por la variación de corriente que pasa por él. Siendo una aplicación de la ley de Lenz-Faraday. La diferencia de potencial aplicada a los extremos de una bobina inductiva pura de valor L:

m

LL

v V sen tv V 0 diV L

dt

% ':;) % <

% &;=

m

Lm m m

m

m

Vdi sen tdtLv V 0V V Vi sen tdt cos t sen tdi L L L 2V sen t L 0

dti I sen t

2

:% ';

;) %: > ; (; ; ; 1 2A % ' % & ' % ' &< ? < 3 4' '' & % 5 6; ; ;= @ ; (1 2% ' &; 3 4; 5 6=

7

Estando la intensidad retrasada en 2( respecto del voltaje.

Relación de los valores máximos: ! "

mm

m m m L

V ILV I L I X

: %; '<; % ' %=

Siendo XL la reactancia inductiva. Bobina con resistencia (RL): La diferencia de potencial aplicada a los extremos de una bo-bina inductiva, con una autoinducción de valor L y una resistencia interna a la bobina R, se obtiene aplicando la ley de Ohm

! "

! "

L

m

L m

m

v V iR

v V sen tdiv iR V iR L i I sen tdt

di I cos tdt

) %

:; % ';;% & % ) % ' ) *<;; % ' ' ) *;=

El voltaje y la intensidad no están en fase.

Page 89: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 6

! " ! "! " ! "8 9 8 9

! " ! "

m m m

m m m

m m m m m

2 2m m mm m m

m m

V sen t I R sen t LI cos t

V sen t I R sen t cos cos tsen I L cos t cos sen tsen

V sen t sen t I R cos I L sen cos t I R sen I L cos

V I R cos I L senV I R cos I L sen0 I Rsen I L cos

' % ' ) * ) ' ' ) *

' % ' * ) ' * ) ' ' * & ' *

' % ' * & ' * ) ' * ) ' *

% * & ' *% * & ' *: >A< ?% * ) ' *= @ ! "2m m0 I R sen I L cos

: >; ;< ?

% * ) ' *; ;= @

Sumamos:

! " ! " ! " ! " ! "! " ! " ! " ! "

! " ! " ! "

2 2 22 2m m m m m

2 22 2m m m m

2 2 2m m m

V I R cos I L sen 2 I R cos I L sen

0 I R sen I L cos 2 I R sen I L cos

V I R I L

: >% * ) ' * & * ' *; ;< ?

% * ) ' * ) * ' *; ;= @

% ) '

! " ! "2 2 2 2 2m m

L2 2 2m m 2 2 2

2 2m m L m

V I R L

X LV I R L

Z R L

V I R X I Z

% ) '

% ': >; ;% ) ' < ?% ) '; ;= @

% ) %

XL se llama la reactancia inductiva y Z la impedancia.

De las ecuaciones anteriores se obtiene:

! "

! "

2m L m L

m m m L mmm m m L

mm m L2 2

m L

m L L

mm m L

L

2

I X cos I XV I R cos I X cos I RI R RV I R cos I X sen

V R R0 I Rsen I X cos cosZI R X

I X Xsentancos I R R

0 I Rsen I X cosX

arctanR

Z

: >1 2& *% * & % * ); ;3 43 4% * & * ; ;: > 5 6A< ? < ?% * ) *= @ ; ;* % %

; ;)= @& &*: * % % %; *;% * ) * A <

&1 2;* % 3 4; 5 6=

2 2L

L

R 0R XXR arctancos R 2Z

% B:: % ); ;A & (< < 1 2* % % &* % 3 4; ; 5 6= =

La intensidad está retrasada respecto del voltaje.

La potencia consumida en la autoinducción:

m m ef ef1P I V cos I V cos2

% * % *

Demostración:

Page 90: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 7

! "

! "

! "

! "

T T T

m m0 0 0

Tm m

0T

2m m

0T T

2m m

0 0

T T2

0 0

1 1 1P Pdt ivdt I V sen tsen t dtT T TI VP sen t sen t cos cos tsen dt

TI V

P cos sen t sen sen tcos t dtT

I VP cos sen tdt sen sen t cos tdtT

1 Tsen tdt 1 cos2 t dt2 2

sen t

% % % ' ' ) *

% ' ' * ) ' *

% * ' ) * ' '

- .% * ' ) * ' 'C D

/ 0

' % & ' %

'

7 7 777

7 7

7 7! " ! "

T T T

00 0

m m m mef ef

1 1 1cos tdt sen 2 t dt cos 2 t 02 2 2

I V I VTP cos cos I V cosT 2 2

: >; ;; ;< ?; ;' % ' % ' %- ./ 0; ;'= @

% * % * % *

7 7

De las ecuaciones obtenidas sacamos las siguientes conclusiones:

a) La intensidad, i, de la corriente en la autoinducción no está en fase con el voltaje de la autoinducción. La intensidad está retrasada respecto del voltaje.

b) Si la autoinducción fuese pura, es decir, no presentase resistencia (R=0 ohmios) la in-tensidad estaría retrasada en 90º respecto del voltaje.

c) La resistencia que presenta la autoinducción pura (sin resistencia) al paso de la co-rriente llamada reactancia inductiva es directamente proporcional a la autoinducción L y a la pulsación (y a la frecuencia), es decir, mientras mayor sea la autoinducción L y mayor la frecuencia de la corriente alterna mayor es la resistencia de la autoinduc-ción.

d) Una autoinducción absorbe y libera energía alternativamente en periodos iguales de tiempo y, en el promedio, la potencia es cero y una autoinducción no realiza potencia disipativa en un circuito de corriente alterna.

VoltajeIntensidad

R·i

L·(di/dt)i

(R·I)(I·L·

*'"

Z=V/I

R

L· '*

t

v(t)V

Condensador (C): Un condensador, en corriente continua, se caracteriza porque

a) La corriente fluye por él sólo el breve periodo de tiempo después de que se aplique el voltaje de la batería, para cruzarlo.

b) La carga fluye sólo mientras el condensador se está cargando.

c) Cuando el condensador esté totalmente cargado no salen más cargas de los terminales de la batería.

El condensador en corriente alterna: Supongamos que los extremos de una batería se conectan a un condensador totalmente cargado, donde repentinamente se invierten las conexiones, con el terminal positivo de la batería estando conectado al plato negativo y el terminal negativo conectado al plato positivo. Entonces, lo que ocurre es que la carga fluirá, otra vez, pero en dirección inversa, hasta que la batería recargue el condensador de acuerdo con las nuevas conexiones.

Page 91: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 8

Esto, es similar a lo que ocurre cuando un condensador se conecta a un circuito de corriente alterna, donde la polaridad del voltaje aplicado al condensador cambia continua-mente.

Cuando el generador está conectado a un condensador exclusivamente, la diferencia de potencial que cruza el condensador será:

libreC m

C C

CC m m m m

mm m C

qv V sen t

Cq Cv

dqi CV cos t V C cos t V C sen t I sen t

dt 2 2IV I XC

% ' %

%

( (1 2 1 2% % ' ' % ' ' % ' ' ) % ' )3 4 3 45 6 5 6

% %'

Estando la intensidad adelantada en 2( respecto del voltaje. Relación de los valo-

res máximos: m m CV I X% . Siendo XC la reactancia capacitativa.

Condensador y Resistencia (RC): La diferencia de potencial aplicada a los extremos de un condensador en serie con una resistencia R, es igual

! "

! " ! "

! " ! "

! " ! "

mC

m

m m m

mm m

mm m

mm m

v V sen tq 1v iR V iR iR idti I sen tC C

1V sen t I R sen t I sen t dtCIV sen t I R sen t cos tC

IV sen t I R sen t cos cos t sen cos t cos sen tsen

CI

V sen t sen t I R cos senC

% ':;% ) % ) % ) < % ' ) *;=

' % ' ) * ) ' ) *

' % ' ) * & ' ) *'

' % ' * ) ' * & ' * & ' *'

- .' % ' * ) *C D'/ 0

7

7

! "

! "

mm

22 mm

m mm m

2m mm m

2 222 2 2m

m m m

2m m

Icos t I R sen cos

C

II V I R cos senV I R cos sen CCI I0 I Rsen cos 0 I R sen cosC C

I 1V I R I RC C

1V I R

- .) ' * & *C D'/ 0: >1 2: > % * ) *; ;% * ) * 3 4; ; '; ; ; 5 6 ;' A< ? < ?

; ; ; ;1 2% * & * % * & *3 4; ; ; ;'= @ '5 6= @- .1 2 1 2% ) % )C D3 43 4' '5 65 6 C D/ 0

% )2

2 2m C mI R X I Z

C1 2 % ) %3 4'5 6

XC se llama la reactancia capacitativa y Z la impedancia.

De las ecuaciones anteriores se obtiene:

Page 92: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 9

! "

2m C m C

m m m C mmm m m C

mm m C2 2

m C

m

Cm

mm

C

I X cos I XV I R cos I X cos I R

I R RV I R cos I X senV R0 I Rsen I X cos Rcos

ZI R X

I 1Xsen C CtanI cos I R R R0 I Rsen cos

C Xarctan

R

: 1 2*% * ) % * ); 3 43 4% * ) * ;: > 5 6A< ? <% * & *= @ ; * % %

; )=: >; ;* ' '* % % % %; ;; ;*% * & * < ?

' ; ;1 2* %; 3 4; 5 6= @2 2 2

C

C

R 0Z R XXR arctancos R 2Z

;;

% B:: % ); ;A (1 2< <* % %* % 3 4; ; 5 6= =

La intensidad está adelantada respecto del voltaje.

La potencia consumida en el condensador:

m m ef ef1P I V cos I V cos2

% * % *

De las ecuaciones obtenidas sacamos las siguientes conclusiones:

a) La intensidad de la corriente alterna no se interrumpe con un condensador.

b) La intensidad en el condensador no está en fase con el voltaje del condensador, ya que la tangente de la diferencia de fase es positiva y, por tanto, la intensidad está adelan-tada respecto del voltaje.

c) Si no consideramos la resistencia la intensidad estaría adelantada en 90º respecto del voltaje.

d) La resistencia que presenta el condensador al paso de la corriente llamada reactancia capacitativa es inversamente proporcional al valor de la capacidad del condensador C y a la pulsación (y a la frecuencia).

e) Mientras mayor sea la capacidad C y mayor la frecuencia de la corriente alterna menor es la reactancia capacitativa. Así, a altas frecuencias la corriente puede ser intensa aunque la capacidad sea pequeña.

f) Un condensador absorbe y libera energía alternativamente en periodos iguales de tiempo y, en el promedio, la potencia es cero y un condensador no realiza potencia di-sipativa en un circuito de corriente alterna.

i *

v(t)

VC

R·I (I/C '"

(V)

R·i

t

V(t)i(t)

B

B'A'

A C

C'

Análisis de las gráficas voltaje e intensidad:

1) Cuando el voltaje se incrementa desde A hasta B, la carga sobre el condensador se in-crementa y alcanza su valor máximo en B.

2) La corriente, o velocidad de flujo de carga, tiene un valor máximo positivo en el co-mienzo del proceso de carga en A', cuando no hay carga sobre el condensador y por lo tanto no hay voltaje sobre el condensador para oponerse al voltaje del generador.

Page 93: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 10

3) Cuando el condensador está totalmente cargado en B, el voltaje del condensador tiene una magnitud igual a la del generador y completamente opuesta al voltaje del genera-dor. El resultado es que la corriente decrece a cero en B'.

4) Mientras el voltaje del condensador decrece desde B a C, el flujo de carga sale del con-densador en dirección opuesta a aquella del proceso de corriente de carga, como viene indicada por la corriente negativa desde B' a C'.

5) El voltaje y la corriente no están en fase y la corriente adelanta al voltaje en 90º.

6) El hecho que la corriente y el voltaje en un condensador tengan una diferencia de fase de 90º tiene una importante consecuencia desde el punto de vista de la potencia eléc-trica.

7) Como la potencia eléctrica es el producto del voltaje y de la intensidad. Para un inter-valo de tiempo desde los puntos A y B o desde A' y B' que tienen el voltaje y la intensi-dad positiva, la potencia instantánea es también positiva, significando que el genera-dor está dándole energía al condensador.

8) Durante el período B y C o B' y C' la corriente es negativa mientras el voltaje permane-ce positivo, siendo la potencia negativa lo que significa que el condensador está retor-nando energía al generador.

9) Así la potencia se alterna entre valores positivos y negativos por iguales periodos de tiempo. En otras palabras, el condensador absorbe y da energía alternativamente. Consecuentemente, en promedio, la potencia es cero y un condensador o capacitor no consume energía en un circuito de corriente alterna.

Circuitos de corriente alterna (serie RCL). Impedancia.-

Vamos a analizar la relación entre la fem y la intensidad de corriente en un circuito de corriente alterna que tiene una resistencia (R), un condensador (C) y una autoinducción (L) en serie (circuitos serie RCL).

En los circuitos en serie RCL la oposición total al flujo de carga se llama impedancia del circuito que está formada parcialmente de la resistencia R, la reactancia capacitativa y la reactancia inductiva.

La fem alterna aplicada y la corriente alterna resultante

! "m

m

sen ti I sen t$ % $ '

% ' ) *

Para calcular la amplitud de la corriente y la diferencia de fase en un circuito serie RLC:

R L Cv v v$ % ) )

Donde vR, vL y vC son las diferencias de potencial en los extremos de la resistencia, la autoinducción y el condensador. Esta relación entre estas cuatro cantidades que varían con el tiempo permanece exacta en todos los instantes

! "

! "

! "

R m

L m m

C m m

v iR I R sen t

div L I L cos t I L sen tdt 2

q 1 1 1v idt I cos t I sen tC C C C 2

% % ' ) *

(1 2% % ' ' ) * % ' ' ) * )3 45 6

(1 2% % % & ' ) * % ' ) * &3 4' ' 5 67

Análisis de los resultados obtenidos:

1) La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia está en fase con la intensi-dad.

2) La diferencia de potencial en los extremos de la autoinducción está adelantada en 90º respecto de la intensidad.

3) La diferencia de potencial en los extremos del condensador está retrasada en 90º res-pecto de la intensidad.

Page 94: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 11

4) La diferencia de fase entre la fem y la intensidad va a depender de los valores de L, de C y de la pulsación (o de la frecuencia).

Obtención de la relación entre el voltaje y la intensidad analíticamente:

! "! " ! "

! " ! "

! " ! " ! "! " ! " ! "

! " ! "

R m

R L C L m m L

C m m C

m m m L m C

m m m L C

m m m L C

v I R sen t

v v v v I L cos t I X cos t1v I cos t I X cos t

Csen t I Rsen t I X cos t I X cos t

sen t I Rsen t I X X cos t

sen t I R sen tcos cos t sen I X X

:; % ' ) *;;$ % ) ) % ' ' ) * % ' ) *<;; % & ' ) * % & ' ) *; '=

$ ' % ' ) * ) ' ) * & ' ) *

$ ' % ' ) * ) & ' ) *

$ ' % ' * ) ' * ) & ! "! "! "

m m m L C

m m L C

cos t cos sen tsen

I R cos I X X sen

0 I Rsen I X X cos

' * & ' *

$ % * & & *: >; ;< ?

% * ) & *; ;= @

Con las dos ecuaciones anteriores sacamos las dos conclusiones siguientes:

a) Elevando al cuadrado las ecuaciones 1) y 2) y sumándolas tenemos

! "! "

! " ! "! "! "! "

22m m m L Cm m m L C

2m m L C m m L C

I R cos I X X senI R cos I X X sen

0 I Rsen I X X cos 0 I R sen I X X cos

: >$ % * & & *$ % * & & *: >; ; ; ;A< ? < ?% * ) & *; ; ; ;% * ) & *= @ = @

! " ! " ! "

! "

22 2m m m L C

22m m L C m

ef ef

I R I X X

I R X X I Z

I Z

: $ % ) &- ./ 0;;$ % ) & %<;$ %;=

El valor de Z, que se llama la impedancia del circuito. Se relaciona con los elemen-tos del circuito R, L, C y ! mediante la expresión anterior. Siendo XL y XC las reactancias inductiva y capacitativa. Tanto la impedancia como las reactancias y la resistencia se miden en ohmios ".

b) A partir de las ecuaciones tenemos

! "! "

! "! "! "

! " ! "! "

! "! "

! "

m m m L C

m m L C

m L Cm m m L C

m

222m L Cm L C

m m

m22

m L C

m m L C

I R cos I X X sen

0 I Rsen I X X cos

I X X cosI R cos I X X

I R

I R X XI X Xcos I R cos

R R

R RcosZI R X X

0 I Rsen I X X cos

ta

$ % * & & *: >; ; A< ?% * ) & *; ;= @

: & & *;$ % * & &;;

1 2; ) &1 2&; 3 43 4$ % * ) % *< 3 43 4; 3 45 6 5 6;; $

* % %;) &;=

% * ) & *

! "m L C L C

m

L C

I X X X Xsenncos I R R

X Xarctan

R

:;;; & & &*; * % % % &<

*;; &1 2;* % &3 4; 5 6=

Page 95: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 12

Podemos tener dos casos:

1) Que el voltaje en los extremos de la autoinducción L sea mayor que en los extremos del condensador y la intensidad va retrasada respecto del voltaje.

2) Que el voltaje en los extremos del condensador sea mayor que en los extremos de la autoinducción y la intensidad va adelantada respecto del voltaje.

Z

frecuencia

domina C domina L

domina R

V(R)

V(C)

V(L)

I(m)

v(V)*

*v(V)

(R·I)

(R·I)R·i

R·iI·L '"

'I·L

(I/C '"

(I/C '"

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

! "2

22 2m m m L C m

ef ef

L C

1V I R L I R X X I ZC

V I ZX X

arctanR

RarccosZ

1 2% ) ' & % ) & %3 4'5 6%

&1 2* % &3 45 6

* %

Resonancia.- En Física el fenómeno de la resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza vi-brante, es decir, la que produce la vibración se iguala exactamente a la frecuencia natural del objeto sobre el cual se aplica la fuerza.

En el caso eléctrico la fuerza vibrante es proporcionada por el campo eléctrico osci-lante que está relacionado con el voltaje suministrado por el generador. Para que se produz-ca la resonancia en los circuitos eléctricos la diferencia de fase entre la intensidad y el volta-je ha de ser nula, es decir, el voltaje y la intensidad han de tener la misma fase.

El comportamiento de la corriente y el voltaje en los circuitos serie RCL da lugar a la condición de resonancia. Para que la Intensidad y la fem estén en fase se ha de cumplir que las reactancias inductiva y capacitativa sean iguales. Lo que llevaría a que la impedancia sea mínima. En este caso, se dice que el circuito está en resonancia:

L C

resL C

1X X Larctan 0 CR1

X X 0LC

:: & > ' %1 2 ;* % & % '; ; ;3 4 A5 6< ? <; ; ;' %& %= @ ;=

La frecuencia resonante es determinada por la autoinducción y la capacidad, pero no por la resistencia. Efectos de la resonancia en el comportamiento de un circuito

Z (impedancia)

I (eficaz)

f (resonante) f (frecuencia)

Page 96: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: “Corriente Alterna” Página 13

Potencia en corriente alterna.- La potencia instantánea (t) (t) (t)P i% $ E

La potencia media consumida m m ef ef1P I cos I cos2

% $ * % $ *

Demostración:

! "

! "

! "

! "

T T T

m m0 0 0

Tm m

0T T

2T T

0 02m mT T0 0

0 0

1 1 1P Pdt idt sen t I sen t dtT T T

IP sen t sen t cos cos tsen dtT

1 Tsen tdt 1 cos2 t dtI 2 2P cos sen tdt sen sen t cos tdt

T 1sen t cos tdt sen 2 t dt 02

% % $ % $ ' E ' ) *- ./ 0

$% ' ' * ) ' *

:' % & ' %;- .$ ;% * ' ) * ' ' <C D

/ 0 ; ' ' % ' %=

7 7 77

7 77 7

7 7m m m m

ef efI ITP cos cos I cos

T 2 2

>;;?;

; ;@$ $

% * % * % $ *

El factor cos * se le conoce con el nombre de factor de potencia.

! "2T

2mef m

0

1 sen t dtT2

$$ % % $ % $ '7

La diferencia de fase entre la intensidad y el voltaje tiene un efecto muy importante sobre la potencia disipada por el circuito. Recordamos que sobre un periodo de tiempo sólo la resistencia consume potencia.

Page 97: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: PROBLEMAS de “Corriente Alterna” Página 14

1) Una bobina de 100 espiras, de 20 cm2 cada una, gira a 50 r.p.m. en un campo magnético uniforme de 1 T. a) Escribir la expresión de la fem inducida e indicar su valor eficaz; b) ¿cuál sería la intensidad si la resistencia del circuito es de 20 ohmios?. [a) ! "10

3 6sen t( ( ; 0,74 V; b) 37 mA]

2) Un circuito serie de una autoinducción de L=0,1 H y una resistencia R=100B está ali-mentado por un generador cuya tensión eficaz es de 4 V y cuya frecuencia es de 1000 Hz. Calcular: a) valor máximo de la caída de tensión en la autoinducción y desfase entre la ten-sión del generador y la intensidad; b) capacidad de un condensador, conectado en serie con R y L, para que la intensidad sea máxima. [a) 5,59 V; 81º adelanta la tensión; b) 2,5∙10-5 F]

3) Un circuito serie RCL está conectado a un alternador de frecuencia 50 Hz y 120 V de ten-sión máxima. Calcula: a) inductancia, capacitancia e impedancia del circuito; b) valor ins-tantáneo de la intensidad. Datos: R=20B ; L=1 H; C=1,0∙10-5 F. [a) XL=314,6B F XC=318,3B ; Z=20,4B ; b) ! "i 5,88sen 100 t 0,183% ( ) A]

4) Dos elementos A y B se conectan en serie a un generador de corriente alterna. Indicar el tipo de elementos y calcular sus valores si el voltaje entre los extremos de los dos y la inten-sidad vienen dados por las ecuaciones de los datos. Datos: ! "3

8v 100sen 50t% ) ( V; ! "8i 20sen 50t (% ) A. [L=0,01 H; R=3,5B ]

5) En un circuito serie RCL los valores eficaces de la intensidad y del voltaje son 10 A y 300 V y la intensidad está retrasada respecto de la tensión 60º. Calcular: a) impedancia; b) reac-tancia; c) resistencia. [a) 30B ; b) 26B ; c) 15B ]

6) En un circuito serie RCL si el valor máximo de la tensión del generador es de 200 V y su frecuencia de 50 Hz, calcular: a) valor eficaz de la intensidad; b) factor de potencia; c) poten-cia media. Datos: R=200B ; L=1 mH; C=2∙10-6F. [a) 8,8∙10-2A; b) 0,12; c) 1,55 W]

7) Un circuito conectado a un generador de 110 V y 60 Hz consume 300 W. El factor de po-tencia es 0,6 y la intensidad está retrasada respecto de la tensión. a) Determinar qué ele-mento debe conectarse en serie para que el factor de potencia sea 1,0; b) ¿cuál será en ese caso la potencia?. [a) un condensador de valor 1,4∙10-4F; b) 834 W]

8) Una bombilla de 60 W a 125 V se quiere conectar a una red de 220 V y 50 Hz. Para que funcione correctamente, se le conecta en serie un condensador de capacidad C. Calcule: a) el valor de C necesario; b) la potencia consumida. [8,44∙10-6 F; b) 60 W]

9) Un circuito serie RCL se conecta a un generador de corriente alterna. Calcule: a) la lectu-ra del voltímetro al colocarlo en paralelo con cada uno de los elementos del circuito; b) factor de potencia y frecuencia de resonancia del circuito. Datos: Vef(generador)=100 V; f= 100

( Hz;

R=200B ; L=0,05 H; C=2,0∙10-4F. [a) 98 V; 24,5 V y 2,45 V; b) 0,98 y 50 Hz]

10) Una resistencia inductiva (R=300B y L=1 H) y un condensador de 2,0∙10-5F se unen a la tensión alterna. Calcule las tensiones eficaces en los bornes de cada aparato. Dato:

! "v 120 2 sen 100 t% ( V. [154,2 V y 56,5 V]

11) Cuando al carrete de un determinado electroimán se le aplica una tensión continua de 240 V, la intensidad de la corriente que lo atraviesa es de 12 A. Cuando se le aplica una tensión alterna de amplitud 240 V y 50 Hz de frecuencia, la intensidad eficaz es de 6 A. Cal-cule la inductancia del carrete y obtenga la expresión de la intensidad instantánea en fun-ción del tiempo, sabiendo que mv V sen t% ' [0,064 H; ! "2i 8,5sen 100 t (% ( & ].

12) Una bobina, de resistencia 300B y autoinducción 1 H, y un condensador, de 0,020 mF, se conectan en serie a una tensión alterna de 50 Hz y valor máximo 240 V. Determinar: a) lectura de un voltímetro conectado en paralelo con la bobina; b) factor de potencia y fre-cuencia de resonancia del circuito. [a) 230 V; b) 0,93 y 35,6 Hz]

13) Un circuito serie consta de una resistencia de 20 B y una bobina, de resistencia y auto-inducción desconocidas. Al conectarlo a una tensión ! "v 120cos 100t% V, los valores máxi-mos de las diferencias de potencial entre los extremos de la resistencia y de la bobina son

Page 98: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal Física: PROBLEMAS de “Corriente Alterna” Página 15

60 V y 90 V, respectivamente. a) Calcular los valores de la resistencia de la bobina y la auto-inducción. b) ¿Qué condensador habría que añadir al circuito para que le factor de potencia fuese igual a la unidad? [a) RL = 7,5B y L = 0,29 H; b) 0,34 mF]

14) Utilizando una autoinducción de 0,005 H y una resistencia de 60B se desea montar un circuito serie RCL que, conectado a la red (220 V y 50 Hz), permita el paso de una intensi-dad de corriente máxima. Calcular: a) capacidad del condensador que debe utilizarse para conseguir dicho efecto; b) caída de tensión y desfase entre tensión e intensidad en cada uno de los elementos del circuito. [a) 2,03 mF; b) 220 V y 5,76 V]

15) Un generador tiene de ecuación m sen t$ % $ ' siendo la fem máxima de 25,0 V y la fre-cuencia angular de 377 rad/s. Se conecta a un condensador de 4,15∙10-6F. Calcula: a) el va-lor máximo de la intensidad de corriente y el valor de la fem del generador en ese instante; b) el valor de la intensidad de corriente en el instante en el que la fem es de -12,5 V y está incrementando en magnitud. [a) 0,039 A y 0 V; b) -0,034 A]

16) Una bobina, que tiene una inductancia de 0,088H y una resistencia desconocida, y un condensador de 9,4∙10-7F se conectan en serie a un generador de corriente alterna de fre-cuencia 930 Hz. Si la constante de fase entre el voltaje aplicado y la intensidad de corriente vale 75º, calcula la resistencia de la bobina. [89B ]

17) Un generador proporciona un voltaje sinusoidal de 75,0V de voltaje eficaz y 550Hz de frecuencia. Se conecta a los extremos de los tres elementos RCL que están en serie, siendo la resistencia R=15B , el condensador C=4,70∙10-6F y la bobina L=0,0250H. Calcula: a) lo que medirá un voltímetro conectado en paralelo al condensador y a la bobina; b) la potencia disipada en cada uno de los tres elementos. [a) 64,2 V; b) 101W; 0W y 0W]

Page 99: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 1

ÍNDICE DE “NATURALEZA DE LA LUZ. DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO” Introducción histórica de la Naturaleza de la luz. Teoría corpuscular de Newton. Teoría on-dulatoria de la luz La Teoría electromagnética de Maxwell Dificultades de la teoría clásica: radiación térmica y efecto fotoeléctrico Efecto fotoeléctrico. Análisis de los resultados del efecto fotoeléctrico Cuantización de la energía. Fotones Dualidad onda-corpúsculo. Hipótesis de De Broglie Teoría de la Relatividad Análisis del fenómeno dualidad onda-corpúsculo: Partículas y campos Ondas de materia: verificación experimental El experimento de Davisson-Germer El experimento de G.P. Thomson Aplicaciones de las ondas de materia La función de onda Ondas de luz y fotones Ondas de materia y electrones El átomo de hidrógeno Efecto túnel Principio de incertidumbre de Heisenberg Problemas de “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo”

Page 100: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 2

Introducción histórica de la Naturaleza de la luz:

La naturaleza de la luz fue especulada desde la antigüedad por los filósofos, cuando era conocida la propagación rectilínea, la refracción y la reflexión. Los primeros escritos so-bre óptica se deben a los filósofos y matemáticos griegos [Empedocles (490-430 a.C.) y al matemático Euclides (300 a.C.). Descartes (1596-1650) consideró, por sus ideas metafísicas, que la luz era esencial-mente una presión transmitida a través de un medio perfectamente elástico (el éter), el cual llena todo el espacio, y atribuyó la diversidad de los colores a movimientos rotatorios con di-ferentes velocidades de las partículas en este medio.

Hasta después de Galileo (1564-1642), quien demostró, por su desarrollo de la mecá-nica, el poder del método experimental que la óptica aplicó sobre unos fundamentos firmes. La ley de la reflexión era conocida desde los griegos, la ley de la refracción fue descubier-ta experimentalmente en 1621 por Snell. En 1657 Fermat enunció el principio de tiempo mínimo que considera que la luz sigue siempre el camino que condice a su destino en el tiempo más corto, y de esta consideración distintos medios tendrán distinta “resistencia” y se deduce la ley de la refracción.

El primer fenómeno de interferencia, conocido como “anillos de Newton”, fue descu-bierto independientemente por Boyle (1627-1691) y Hooke (1635-1703). Hooke también ob-servó la presencia de luz en la sombra geométrica, la difracción de la luz, aunque este fe-nómeno fue observado por Grimaldi (1618-1663).

Hooke fue el primero en considerar que la luz consiste en rápidas vibraciones que se propagan instantáneamente, o a una velocidad muy alta, sobre cualquier distancia y consi-derando que en un medio homogéneo cada vibración generará una esfera que se extenderá uniformemente1. Por medio de estas ideas Hooke intentó dar una explicación del fenómeno de la refracción y una interpretación de los colores.

La cualidad básica del color fue revelada sólo cuando Newton (1642-1727) descubrió en 1666 que la luz blanca puede descomponerse en sus colores componentes por medio de un prisma, y encontró que cada color puro se caracteriza por un índice de refracción.

Teoría corpuscular de Newton: Las dificultades que la teoría ondulatoria encontró para explicar la propagación rectilínea de la luz y el fenómeno dela polarización2 llevaron a New-ton a considerar una teoría de la emisión (o corpuscular) en la que se consideraba que la luz se propaga desde un cuerpo luminoso en forma de partículas diminutas.

En el tiempo de la publicación de la teoría del color de Newton no era conocido si la luz se propaga o no instantáneamente. El descubrimiento de la velocidad finita de la luz fue realizado en 1675 por Römer desde las observaciones de los eclipses de los satélites de Júpi-ter.

Teoría ondulatoria de la luz: Entre sus primeros iniciadores se encontraba Hooke, y fue mejorada y extendida por Huygens (1629-1695) en su libro “Tratado de la luz” completado en 1678 y publicado en 1690. Enunció el principio conocido por su nombre que nos dice que “cada punto del éter sobre el que llega la perturbación luminosa puede convertirse en un centro de nuevas perturbaciones que se propagan en forma de ondas esféricas; estas on-das secundarias se combinan de tal forma que sus envolventes determinan el frente de onda en un tiempo posterior”.

Con ayuda de este principio Huygens explicó las leyes de la reflexión y de la re-fracción. También pudo explicar la doble refracción del espato de Islandia (descubierto en 1669 por Bartholinus) considerando que en el cristal hay, además de la onda esférica pri-maria, una onda elipsoidal secundaria. Fue en el transcurso de esta investigación cuando Huygens hizo el descubrimiento de la polarización: “cada uno de los dos rayos que salen de la refracción del espato de Islandia pueden anularse pasando a través de un segundo cristal del mismo material si el segundo cristal está girado alrededor de la dirección del ra-yo”.

1Hay que especificar que las primeras teorías ondulatorias de Hooke y Huygens opera con simples “pulsos” en lugar de con trenes de ondas de longitudes de onda determinadas. 2El fenómeno de la polarización fue descubierto por Huygens 1678.

Page 101: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 3

Este fenómeno de la polarización no lo pudo interpretar Newton ya que la interpreta-ción era contraria a la teoría corpuscular de Newton. Según el propio Newton para interpre-tar estos fenómenos asume que los rayos tienen “lados”, y de hecho esta “transversalidad” le lleva a él a una objeción insuperable para aceptar la teoría ondulatoria, ya que en aquel tiempo los científicos estaban familiarizados sólo con ondas longitudinales (la propagación del sonido).

El rechazo de la teoría ondulatoria por Newton, que poseía una gran autoridad en el mundo científico, la lleva al olvido durante cien años.

Aceptación de la teoría ondulatoria: A principios del siglo XIX se realizó un descubrimien-to decisivo que llevó a aceptar la teoría ondulatoria. La primera etapa fue el enunciado en 1801 por Young (1773-1829) del principio de interferencia y la explicación de los colores de pequeñas películas.

En esta misma época, en 1808, fue descubierta la polarización de la luz por re-flexión por Malus (1775-1812). Una tarde, desde una ventana acristalada, observó la re-flexión del sol a través de un cristal de espato de Islandia, y encontró que las dos imágenes obtenidas por doble refracción varían en intensidad relativa cuando el cristal va rotando al-rededor de la línea de visión. Malus no encontró explicación de este fenómeno, siendo de la opinión de que las teorías conocidas eran incapaces de dar una explicación.

Mientras tanto, la teoría de la emisión o corpuscular de Newton había sido desarrolla-da por Laplace (1749-1827) y Biot (1774-1862). Sus defensores propusieron un galardón en 1818 dado por la Academia de París sobre el tema de la difracción, esperando que un tra-tamiento de este tema llevaría al triunfo de la teoría de la emisión. Pero sus esperanzas se vieron truncadas, a pesar de una fuerte oposición, el premio fue concedido a Augustin J. Fresnel (1788-1827) cuyo tratamiento se basó en la teoría ondulatoria, y fue el primero en realizar una serie de investigaciones que le llevaron, en el curso de unos años, al descrédito completo de la teoría corpuscular.

La esencia de las memorias de Fresnel consiste en una síntesis del principio de construcción de Huygens con el principio de interferencia de Young. Fresnel demostró la propagación rectilínea de la luz y las pequeñas desviaciones de ésta en el fenómeno de di-fracción. Fresnel calculó la difracción causada por pequeños objetos, aberturas y pantallas; fue particularmente impresionante la confirmación experimental por Arago de una predic-ción, deducida por Poisson desde la teoría de Fresnel, por la que en el centro de la sombra de un disco pequeño circular aparecerá una mancha brillante.

En el mismo año de 1818 Fresnel investigó el problema tan importante de la influen-cia del movimiento de la Tierra en la propagación de la luz. L cuestión era si existía diferen-cia entre la luz de las estrellas y la de las fuentes terrestres. Arago (1786-1853) encontró desde experimentos que no hay diferencia entre la luz que viene de las estrellas y la de fuen-tes terrestres.

Junto con Arago, Fresnel investigó la interferencia de rayos polarizados de luz y en-contró en 1816 que dos rayos polarizados hacia la derecha uno del otro nunca interfieren. Este hecho no se podía explicar suponiendo que las ondas son longitudinales. Young, que tuvo conocimiento del descubrimiento de Arago, encontró la clave a la solución en 1817 asumiendo que las vibraciones eran transversales.

En 1850 se realizó un experimento crucial que confirmó la teoría ondulatoria. El experimento sugerido por Arago fue realizado por Foucault, Fizeau y Breguet. La teoría corpuscular explica la refracción en términos de atracción de los corpúsculos-luz en el lími-te hacia el medio ópticamente más denso, lo que implica una velocidad mayor en el medio más denso. Sin embargo, en la teoría ondulatoria, aplicando la construcción de Huygens, se obtiene una velocidad menor en un medio más denso ópticamente. La medida directa de la velocidad de la luz en aire y agua se decide sin ambigüedad a favor de la teoría ondula-toria.

Las décadas siguientes llevaron al desarrollo de la teoría del éter elástico. Navier des-arrolló la teoría considerando que la materia está constituida de partículas muy pequeñas (masa puntuales, átomos) que se ejercen fuerzas a lo largo de las líneas que las unen. Una objeción al éter es explicar cómo se mueven los planetas a velocidades altas por el éter sin

Page 102: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 4

que ofrezca resistencia. La explicación de Stokes es que la velocidad de los planetas era muy pequeña comparada con las velocidades de las partículas etéreas en las vibraciones de la luz. En una primera etapa, se consideró la existencia de un éter elástico (MacCullagh en 1880).

A pesar de las dificultades la teoría del éter elástico persitió durante bastantes años y un gran número de físicos del siglo XIX contribuyeron a ella, entre ellos W. Thomson, Neu-mann y Kirchhoff.

La Teoría electromagnética de Maxwell: Mientras tanto, las investigaciones en electricidad y magnetismo se desarrollaban independientemente de la óptica, culminando en el descu-brimiento de la inducción electromagnética de Faraday (1791-1867). El fenómeno de la in-ducción electromagnética indica la posibilidad de transmitir una señal desde un lugar a otro usando un campo electromagnético dependiente del tiempo.

James Clerk Maxwell (1831-1879) predijo la existencia de las ondas electromagnéticas como resultado de las ecuaciones del campo electromagnético demostrando que los campos eléctrico y magnético satisfacen una ecuación de ondas.

Ecuaciones de Maxwell:

1ª: Ley de Gauss para el campo eléctrico QE dS! "#$!

""#

2ª: Ley de Gauss para el campo magnético B dS 0! "$""

#

3ª: Ley de Lenz-Faraday: mddE ' dl B dSdt dt

%! " & ! ' ( " &$ $$" "" "

#

4ª: Ley de Ampère-Maxwell: dB dl I E dSdt

! " ) * ) # !$ $$! ! !" "" "

#

La separación del campo electromagnético en sus componentes eléctrico y magnético depende del movimiento relativo del observador y de las cargas que producen el campo. Por otra parte, los campos E y B están directamente relacionados por las leyes de Lenz-Faraday y la ley de Ampére-Maxwell.

La ley de Lenz-Faraday es la que nos expone que la circulación de un campo eléctrico a lo largo de una trayectoria cerrada (fem) es igual a menos la rapidez de cambio del flujo magnético a través de una superficie definida.

La ley de Ampère, fue ampliada por Maxwell, considerando que un campo eléctrico cambiante produce un campo magnético.

En la cuarta, un campo eléctrico dependiente del tiempo implica la existencia de un campo magnético en el mismo lugar, tal que la circulación del campo magnético a lo largo de un camino o trayectoria cerrada arbitraria es proporcional a la velocidad de cambio del flujo magnético a través de una superficie encerrada por el camino o trayectoria.

Haciendo unos desarrollos matemáticos con las cuatro ecuaciones, Maxwell obtuvo las ecuaciones de las ondas electromagnéticas, donde se obtenía que la velocidad de dichas on-

das era igual a + ,12c &" ) #! ! ! . Resumió todas las experiencias previas en este campo en un

sistema de ecuaciones, y la consecuencia más importante de ellas fue establecer la posibili-dad de ondas electromagnéticas, propagadas con una velocidad que se puede calcular con medidas puramente eléctricas.

Cuando Kohlrausch (1809-1858) y Weber (1804-1891) realizaron en 1856 estas medi-das la velocidad coincidía con la de la luz. Esto llevó a Maxwell a considerar que las ondas de luz son ondas electromagnéticas; esta consideración fue verificada por experimentación en 1888 por Hertz (1857-1894). A pesar de esto, la teoría electromagnética de Maxwell tuvo que realizar una gran lucha para su aceptación general.

La teoría electromagnética de la luz es capaz de explicar, en sus principales característi-cas, todos los fenómenos relacionados con la propagación de la luz. Sin embargo, falla al ex-

Page 103: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 5

plicar los procesos de emisión y absorción, en la cual las características de la interacción entre materia y campo óptico se ponen de manifiesto.

Las leyes que gobiernan estos procesos son el objeto de la óptica moderna y por tanto de la física moderna. Su historia comienza con el descubrimiento de ciertas regularidades en espectros. La primera etapa se debe a Fraunhofer, que descubrió en 1815 las líneas os-curas del espectro solar, y su interpretación como líneas de absorción, dada en 1861 por Bunsen y Kirchhoff, sobre la base de experimentos. La luz del espectro continuo del conjun-to del sol, pasando los gases enfriados de la atmósfera solar, pierde por absorción justo aquellas longitudes de onda que son emitidas por los gases. Este descubrimiento fue el co-mienzo del análisis espectral que se basa en el reconocimiento que cada elemento químico gaseoso posee un espectro de líneas característico.

El problema de como la luz se produce y se destruye en los átomos no es exclusivo de una naturaleza óptica sino que implica también la mecánica del propio átomo; y las leyes de las líneas espectrales no revelan mucho la naturaleza de la luz y sí de la estructura de las partículas emisoras. Así, la espectroscopia proporciona los cimientos empíricos para la físi-ca de átomos y moléculas.

Los métodos de la mecánica clásica son inadecuados para la descripción de los fenó-menos que ocurren dentro de los átomos y se sustituyen por la mecánica cuántica, que se originó en 1900 por Max Planck. Sus aplicaciones a la estructura atómica, llevaron en 1913, a la explicación por Bohr de la sencilla ley de las líneas espectrales de los gases.

El concepto de “Naturaleza de la Luz” ha sido muy influenciado por la teoría cuántica. En una primera forma debido a Planck aparece una proposición que es contraria a las ideas clásicas, a saber un sistema eléctrico oscilando no da su energía al campo elec-tromagnético de una manera continua sino en cantidades finitas o “cuantos”, que son pro-porcionales a la frecuencia de la luz, siendo la constante de proporcionalidad la constante de Planck.

Sobre la base de la teoría de Planck, Einstein (1879-1955) en 1905 hizo revivir la teoría corpuscular de la luz de una nueva forma, considerando que la energía de los cuan-tos de Planck existen como partículas-luz reales, llamados “cuantos de luz” o fotones. Con esta teoría se explican los fundamentos de los fenómenos fotoeléctrico y fotoquímico, que son inexplicables con la teoría ondulatoria.

En fenómenos de este tipo la luz no comunica a una partícula una energía proporcio-nal a su intensidad, como expresa la teoría ondulatoria. La energía comunicada a otras par-tículas es independiente de la intensidad y depende sólo de la frecuencia de la luz.

Dificultades de la teoría clásica: radiación térmica y efecto fotoeléctrico.-

Radiación térmica: Los problemas más importantes en la Física son la naturaleza funda-mental de la materia y la evolución del universo.

Uno de los fenómenos más desconcertantes estudiados a fines del siglo XIX fue la dis-tribución de longitudes de onda, o distribución espectral, de la radiación emitida por objetos a altas temperaturas.

La radiación emitida por un atizador calentado al rojo o una fogata depende de mu-chas variables. Pero en 1900 se estudió la radiación emitida por un “radiador ideal”, es de-cir, un radiador cuya radiación emitida depende sólo de la temperatura del radiador.

En el laboratorio podemos hacer un radiador ideal realizando una cavidad dentro de un cuerpo y calentando las paredes de la cavidad a una temperatura uniforme. Taladramos un agujero pequeño a través de la pared de la cavidad y una muestra de la radiación, del in-terior de la cavidad, se escapará hacia el laboratorio, donde se podrá estudiar.

La cavidad se consigue con un tubo de wolframio que se calienta hasta que se ponga incandescente por el paso de una corriente, se hace el taladro de 1 mm de diámetro. Se ob-serva que la radiación de la cavidad es más brillante que la radiación de otra pared externa de la cavidad, aunque la temperatura de las paredes internas y externas son más o menos iguales.

Los experimentos demuestran que la radiación procedente de esa cavidad tienen un espectro muy sencillo que depende solamente de la temperatura de las paredes.

Page 104: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 6

Un cuerpo negro es un sistema que absorbe toda la radiación que incide sobre él; y puede aproximarse por una cavidad con una abertura muy pequeña. Las características de la radiación emitida y absorbida por las paredes de la cavidad en equilibrio térmico depen-den solamente de la temperatura de las paredes. La propiedad de la radiación de la cavidad que queremos medir se llama su brillo espectral + ,S - definido de tal forma que + ,S d- - nos da la potencia radiada por unidad de área de la apertura de la cavidad que se encuentra en el intervalo de longitud de onda de d- . - * -

La curva continua, de la gráfica, nos indica el brillo espectral para una cavidad cuyas paredes están a 2000 K.

Radiación EspectralW/cm2∙)m

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 6 -+)m)Longitud de onda

Experimental

Clásica

T=2000 K

VisibleTeoría

La predicción de la teoría clásica para la variación del brillo espectral con la longitud de onda, a una temperatura dada, es conocida como la ley de radiación clásica:

42 ckTS( ) /

- "-

Aquí c es la velocidad de la luz y k es la constante de Boltzmann cuyo valor es igual a 23 J

KA

Rk 1,38 10N

&" " ! . La ecuación anterior comparada con la experimental nos indica que

se cumple a longitudes de onda altas.

En 1900, el físico alemán Max Panck propuso una fórmula para el brillo espectral que coincidía con los resultados experimentales perfectamente en todas las longitudes de onda y para todas las temperaturas. Ley de la radiación de Planck:

+ , + ,

2

5 hc/ kT2 c h 1S

e 1-

/- "

- &

Para obtener esta ecuación Planck introduce la constante h, llamada constante de Planck, y cuyo valor es 6,63∙10-34J∙s.

La aceptación de la ecuación anterior de la ley de radiación de Planck implica dos su-posiciones muy importantes, que suponen una ruptura con la Física clásica.

!" En primer lugar, supone que la energía de la radiación de la cavidad está cuanti-zada. Es decir, la energía de la radiación existe en forma de múltiplos de la constante h por la frecuencia de la radiación (E=hf).

!" En segundo lugar, supone que la energía de los átomos que forman las paredes de la cavidad está cuantizada. Es decir, “los átomos que forman las paredes de la cavi-dad pueden existir sólo en estados que correspondan a valores específicos de energía; los estados con energías intermedias están prohibidos”.

Page 105: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 7

Por tanto, para obtener la ley de Planck hemos de aceptar el principio de cuantiza-ción de la energía, para la radiación en la cavidad y para los átomos en las paredes de la cavidad.

La ley de radiación de Planck se transforma en la ley de radiación clásica que se cum-ple bien para los experimentos con longitudes de onda larga.

+ , + ,

+ ,

2 3x

2x

5 hc/ kT2

5 4

x xe 1 xhclim 0 2 6kT2 c h 1S e 1 x

e 1 2 c h kT 2 ckTShc

-.0

-

1 1 2" * * *3 3 3. ' 4 53 -/ 3 3 3- " & "4 6 7- 3& / - /3 - " "3 - -6

Efecto fototeléctrico:

Quizás es irónico que en el famoso experimento de Hertz, en 1887, en el cual produjo y detectó en el laboratorio ondas electromagnéticas, confirmando, por consiguiente, la teo-ría de Maxwell, se descubriera el efecto fotoeléctrico.

Hertz usaba un descargador de arco en un circuito resonante para generar las ondas y otro circuito similar para detectarlas. Notó accidentalmente que cuando la luz proveniente del generador se bloqueaba y no llegaba al receptor, el arco receptor tenia que hacerse mas corto para que se produjeran las chispas. La luz de cualquier chispa que llegaba a los ter-minales del arco, facilitaba el paso de las chispas.

Hertz no continuó esta investigación más allá, pero muchos otros sí lo hicieron. Se encontró que cuando una superficie limpia era expuesta a la luz se emitían partículas negativas.

En 1900, Lenard:

!" Desvió estos “rayos” en un campo magnético y encontró que tenían una razón de car-ga a masa de la misma magnitud que la medida por Thomson para los rayos catódi-cos.

!" Encontró que la corriente fotoeléctrica era proporcional a la intensidad de luz.

!" Si el cátodo se hacía positivo, se observaba aún algo de corriente, lo cual indicaba que los electrones se emitían con alguna energía cinética.

!" En la figura se representa un aparato para estudiar el efecto fotoeléctrico:

!" Luz de frecuencia f ilumina una placa metálica P (negativo ó cátodo) y los electrones son arrancados del plato.

!" Una diferencia de potencial V entre P y el colector C (positivo ó ánodo), en forma de ta-za, donde golpean los fotoelectrones, manifestándose como una corriente fotoeléctrica en el amperímetro A.

!" La diferencia de potencial V es igual a V = Vext + Vcpd en el que el primer término re-presenta la lectura del voltímetro + ,extV iR iR* &" # & " &# * y el segundo es la medida de la diferencia de potencial de contacto (un efecto batería) introducido por el hecho de que el plato y el colector están hechos de diferentes materiales.

Page 106: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 8

Cristal de cuarzo

LUZ

ii

+-

Corriente i

V0

+- 0

a

b

Potencial parada

V0

1

2

3

4 6 8 10 12 frecuancia (1014Hz)

a

bc

f 0

Vacío

Na

Potencial de frenada en función de la frecuencia de la luz incidente

Los datos esenciales obtenidos están en la gráfica anterior:

!" La primera representa la corriente fotoeléctrica i como una función de V, para luz incidente de dos intensidades diferentes pero de igual longitud de onda.

!" El potencial de retardo o de parada V0 es la diferencia de potencial requerida para parar los fotoelectrones más rápidos, y así origina que la corriente fotoeléctrica sea ce-ro.

!" El producto (e∙V0) mide la energía cinética de los fotoelectrones más energéticos. Es decir: e∙V0=Ec(m).

!" La característica central de la figura es que V0 es la misma en las dos curvas. Esta ob-servación puede generalizarse: “la energía cinética de los fotoelectrones más ener-géticos es independiente de la intensidad de la luz incidente”.

!" En la otra figura se representa para (datos de R.A. Millikan en 1916) el potencial de retardo o de parada, V0, frente a la frecuencia, f, de la luz incidente. Extrapolando la gráfica de cinco puntos observamos que hay una frecuencia umbral f0 correspondiente a un potencial de parada de cero.

!" Para luz con frecuencias inferiores a f0 el efecto fotoeléctrico no se produce.

Análisis de los resultados del efecto fotoeléctrico:

!" El problema de la intensidad: En la teoría ondulatoria cuando se incrementa la inten-sidad de un rayo de luz se incrementa la magnitud del vector E campo eléctrico osci-lante. La fuerza que el rayo incidente ejerce sobre un electrón es e∙E. Por lo que al ser más intensa la luz más energético serán los fotoelectrones que salen. Sin embargo, se demuestra que V0, y por tanto la energía cinética, no dependen de la intensidad de luz.

!" El problema de la frecuencia: La teoría ondulatoria establece que el efecto fotoeléctrico tendrá lugar en todas las frecuencias de luz incidente y dependiendo sólo de que sea bastante intensa. Sin embargo, en la figura se demuestra que hay una frecuencia um-bral por debajo de la cual no se produce el efecto fotoeléctrico, luego no depende de la intensidad de la luz.

Page 107: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 9

Cuantización de la energía. Fotones.-

En 1905, Einstein hizo la hipótesis audaz de que la luz algunas veces se comporta como si su energía estuviera concentrada en paquetes o haces discretos que llamó cuantos de luz; que nosotros conocemos hoy en día como fotones. El análisis cuantitativo de la teo-ría corpuscular de Einstein es el siguiente: Escribió el principio de conservación de la ener-gía para el efecto fotoeléctrico de la siguiente manera

+ ,fotón c máximaEcuación fotoeléctrica: E hf W E" " *

La ecuación se interpreta de la siguiente manera:

#" Un fotón incidente lleva una energía E=hf, a la superficie del metal, donde el fotón in-teractúa con un electrón.

#" Si el electrón se escapa del metal, una cantidad de energía W (la función trabajo del material) debe ser proporcionada para superar el campo eléctrico que existe en la su-perficie.

#" La restante energía del fotón (hf-W) es igual a la energía cinética máxima que el fotoe-lectrón arrancado puede tener. Siendo la energía cinética máxima del fotoelectrón arrancado igual a Ec(m)=h∙f-W.

De los datos experimentales del efecto fotoeléctrico tenemos que:

+ ,c máximaeV E"!

Aplicando la ecuación de Einstein:

+ ,c máximaeV E hf W

hf WVe e

" " &

" &

!

!

#" La teoría fotónica de Einstein predice una relación lineal entre el potencial de parada V0 y la frecuencia f, en completa concordancia con los datos experimentales.

#" La pendiente de la recta experimental en la figura será la relación entre la constante de Planck y la carga del electrón, h/e.

#" El valor de la pendiente h/e=(ab/bc)=[(2,35-0,72)V]/[(10-6)∙1014Hz]=4,1×10-15V∙s.

#" El valor de h=e×4,1∙10-15V∙s=1,6∙10-19C×4,1∙10-15V∙s=6,6∙10-34J∙s.

#" Encontramos que el valor de h es igual a 6,6∙10-34J∙s que está de acuerdo con el obte-nido por Planck en la radiación térmica.

Dualidad onda-corpúsculo. Hipótesis de De Broglie.-

Introducción histórica: En la historia de la Física se comprueba que los físicos rara-mente se equivocan cuando consideran la simetría de la naturaleza. Por ejemplo, hemos es-tudiado que un campo magnético variable produce un campo eléctrico, esto llevó a conside-rar que un campo eléctrico variable produciría un campo magnético. Esto se comprobó posteriormente. Otro ejemplo, el electrón tiene una antipartícula, es decir, una partícula de la misma masa pero de carga opuesta. Se pensó que el protón deberá tener una antipartí-cula. Se construyó un acelerador protónico de 5 GeV en la universidad de California (Ber-keley) para encontrar el antiprotón hasta que se encontró.

Hipótesis de De Broglie: En 1924 Luis de Broglie consideró el problema sobre el hecho de que la luz parece tener una naturaleza dual onda-partícula mientras la materia (en aquel tiempo) se consideraba enteramente como partícula. Esta consideración dual no es contra-ria con el hecho de que la luz y la materia son formas de energía, que cada una se puede transformar en la otra y que ambas están gobernadas por la simetría espacio-tiempo de la teoría de la relatividad.

Luis de Broglie comenzó a pensar que la materia también tendrá una naturaleza dual y que las partículas tales como los electrones tendrán propiedades ondulatorias.

Page 108: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 10

Si queremos describir el movimiento de una partícula como una onda, la primera ta-rea es contestar a la siguiente pregunta: ¿cuál es su longitud de onda?. Luis de Broglie su-

girió que la relación hp

- " aplicada a la luz también se aplicaría a la materia. Por tan-

to, la longitud de onda de una partícula de momento p viene dada por hp

- " .

Una longitud de onda calculada mediante la ecuación anterior se llama longitud de onda de De Broglie. De la ecuación anterior, obtenemos el papel central que juega la cons-tante de Planck, h=6,6×10-34 Js que conecta los aspectos ondulatorios y de partícula de la luz y de la materia. Al ser la constante de Planck muy pequeña esta doble naturaleza onda-corpúsculo se pone de manifiesto en partículas muy pequeñas.

Einstein propuso que la energía de un cuanto de luz (fotón) es E=hf. En la cual f es la frecuencia de la luz y h es la constante de Planck, introducida unos pocos años antes y que tiene un valor de h=6,63∙10-34 Js=4,14∙10-15 eV∙s. Los fotones llevan energía y mo-mento lineal. Para hallar el momento de un fotón que se mueve a alta velocidad utiliza la Teoría de la Relatividad: Para cuerpos que se mueven a velocidades próximas a la de la luz se ha de utilizar la Teoría de la Relatividad que considera como ley universal “la veloci-dad de la luz es una invariante física, teniendo el mismo valor para todos los observadores en movimiento relativo uniforme”.

Como consecuencia las transformación de Galileo t’=t no es correcta y todos los obser-vadores en movimiento relativo uniforme son equivalentes.

Y Y’ P r’

r O R O’ X=X’ Vrelativa Z Z’

Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y O’X’Y’Z’, cuyos centros O y O’ se en-cuentran a una distancia RO’O. Una partícula situada en un punto P tendrá de coordenadas (x,y,z,t) para el primer sistema OXYZ y (x’,y’,z’, t’) para el segundo O’X’Y’Z’. Las nuevas transformaciones compatibles con que la velocidad de la luz sea constante:

2r r

2 2r r

x v t t v x/cTransformaciones Lorentz : x ' ; y ' y ; z ' z ; t 'v v1 1c c

& &" " " "

8 9 8 9& &: ; : ;< = < =

El principio de la relatividad especial “todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores inerciales que se muevan con velocidad relativa cons-tante unos respecto de otros”. Con lo cual para que se cumpla el principio de conservación del momento lineal en partículas rápidas

+ ,

+ ,+ ,

+ ,

+ ,

+ , + ,

2 2c 2v

csobre 2 2 2 2

t crelativa

propia relativa 2 22 tv 2c vc

22 2t

1E mc 1 mc 11dpF

dt E E mc mc 1 mc mcmv

p mv mv 1E mc mc11

E pc mc

1 8 93 : ;

" & " > &3 : ;3 : ;&1 2 < =3"3 3 3 " * " > & * " >3 3 3

4 5 4" " " >3 3 3 " " >3 3 3&6 7 &3

33 " *36

""

"" " "

Page 109: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 11

Demostración:

+ , + ,

+ , + ,

+ ,+ , + ,

+ ,

2 2

2 2

2 2

2v v v v

c t 2 20 0 0 0v vc c

2 2 2vv2 2 2 2 2mcv

c 2 2 2 2c v0 0v vc c

2 2 22 2 2

cv vc c

mv mvE F ds vdp vp pdv dv1 1

mv mv mvE dv mc c v mc c v mcc v1 1

c

mv m c v 1E mc mc 1 mc 11 1

&

" " " & " && &

? @" & " & & & " * & &A BC D && &

8 9* & : ;

" & " & " > &: ;: ;& &< =

$ $ $ $

$

Para obtener la expresión de la energía total: la expresión del momento lineal la ele-vamos al cuadrado y despejamos la velocidad al cuadrado, la expresión de la energía cinéti-ca la elevamos al cuadrado y sustituimos la velocidad al cuadrado obtenida anteriormente. Obtenemos:

+ ,+ ,

+ ,+ ,

+ , + ,

+ , + ,

2

2

2

2

2

2

2 22

v 2 22c

2 2 2v 2 2 2

2c2 2

2 2 2 2 2t c

vc

2 22 22 2 2 2 4 2 2t 2 2 2 2

22 2 2

22 2t

m vp1mv p cp v

m c p1 m v cpc v

1E E mc mc 1 mc mc mc1

c cE mc mc m c p cc v p cc

m c p

E pc mc

1 2"3 3

&3 3" ' ' "4 5

*3 3&"3 3

&6 71 " * " > & * " > "3

&3343 " " " *3 &

&3 *6

" *

Esta expresión + , + , + ,22 2 2tE pc mc" * nos da la relación relativista entre el momento

lineal, p, y la energía total de la partícula, de masa m, sea de un electrón o de un protón.

La ecuación anterior la podemos aplicar a un fotón cuya masa es cero, mfotón=0, y por tanto para un fotón viajando a la velocidad de la luz E=p∙c. Sustituyendo la energía por E=hf=pc, deducimos que hf=pc, y despejando el momento lineal p=hf/c. Como la velocidad de la luz es igual a c f" - , obtenemos que el momento de un fotón y la longitud de onda de la luz se relacionan por

fotón

fotón

E pc pc hf hpE hf c f

" "1 1' ' "4 4" " - -66

Con esta última expresión obtenemos que los modelos ondulatorios y de fotón están íntimamente relacionados. La energía E de un fotón se relaciona con la frecuencia f de la onda por E=hf. De igual forma, el momento p del fotón se relaciona con la longitud de onda de la onda . En cada caso, el factor de proporcionalidad es la constante de Planck h.

Las relaciones anteriores nos permiten mirar el espectro electromagnético de una for-ma distinta. Hasta ahora hemos expuesto el espectro electromagnético como una serie o ca-dena de longitudes de onda o, de igual forma, de frecuencias. Ahora podemos considerarlo también como una cadena de energías fotónicas o de momentos fotónicos.

Con el modelo fotónico de la luz se pueden resolver los problemas que planteaba el efecto fotoeléctrico. Por ejemplo, el problema de la intensidad en el modelo fotónico se expli-ca sencillamente. Si doblamos la intensidad de luz simplemente doblamos el número de fo-

Page 110: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 12

tones pero no cambiamos la energía de los fotones individuales que viene dada por la expre-sión E=hf. Por lo que la energía cinética que un electrón puede alcanzar debido a la colisión del fotón permanece constante.

Respecto al problema de la frecuencia, el modelo fotónico lo explica sencillamente. Así la conducción de los electrones en el interior del metal se debe a un campo eléctrico, por lo que el arranque de un electrón necesita un mínimo de energía, W, llamada función trabajo del material. Si la energía del fotón excede de la función trabajo, es decir si hf>W, el efecto fotoeléctrico puede ocurrir. Si esto no es así el efecto no tendrá lugar.

Análisis del fenómeno dualidad onda-corpúsculo: Partículas y campos

Nuestra experiencia sensorial, nos lleva a considerar que los objetos que tocamos, tie-nen una forma y un tamaño bien definidos, por lo que están bien localizados en el espacio. Por tanto, tendemos a extrapolar y consideramos que las partículas fundamentales de la materia (electrones, protones, etc.) tienen forma y tamaño y las imaginamos como pequeñas esferas con un radio determinado, con una masa y carga. Los experimentos nos demuestran que nuestra extrapolación sensorial de los constituyentes básicos de la materia es errónea. El comportamiento dinámico de los átomos y de las partículas subatómicas requiere que aso-ciemos a cada partícula un campo (un campo de materia), de la misma forma que asocia-mos un fotón (que puede considerarse equivalente a una partícula) con un campo electro-magnético.

Ondas de materia: verificación experimental.- Para probar que en un experimento estamos tratando con una onda lo que debemos hacer es medir su longitud de onda. Esto es lo que hizo Thomas Young en 1801 cuando es-tableció la naturaleza ondulatoria de la luz visible; y lo que hizo en 1912 Max von Laue para establecer la naturaleza ondulatoria de los rayos X.

Para medir una longitud de onda necesitamos dos o más centros de difracción (aguje-ros, rendijas, o átomos) separados por una distancia que sea del mismo tamaño que la lon-gitud de onda que estamos buscando para medir.

Si aplicamos la ecuación c

h hp 2mE

- " " a un electrón con una energía cinética de

120 eV encontramos que la longitud de onda asociada al electrón de masa me=9,1∙10-31kg será de 112 pm, que es del orden de la distancia que separa a los átomos.

Sin embargo, si aplicamos la ecuación anterior a una pelota de masa 150 g con una velocidad de 35 m/s encontramos que la longitud de onda asociada a la pelota será de 1,26×10-34m, que para detectarla necesitamos un par de rendijas a una distancia de este orden. Lo que nos indica el por qué no se observa que la pelota se comporte como una onda.

El experimento de Davisson-Germer: Los físicos Davisson y Germer crearon un aparato para demostrar la naturaleza ondulatoria de los electrones. Los electrones son emitidos desde un filamento a temperatura alta, son acelerados por una diferencia de potencial ajus-table. La energía cinética de los electrones que se dirigen hacia un cristal de Ni es igual al producto e∙V. Después de que se reflejen en el cristal de Ni se registran en un detector, que puede girar para obtener diferentes posiciones angulares. El “rayo” reflejado, desde la super-ficie del cristal, entra en el detector y se registra como una corriente I.

Los distintos experimentos se hacen a diferentes valores de diferencia de potencial V y la lectura de la corriente I por el detector se hace colocándolo a ángulos distintos. Se com-prueba que para V=54 voltios se observa un fuerte rayo difractado a 50º. Si el potencial ace-lerador se incrementa o decrece un poco, la intensidad del rayo difractado disminuye. El ra-yo difractado se forma por reflexión de Bragg del electrón como onda de materia desde una familia determinada de planos atómicos dentro del cristal: + ,dsen m m 0,1,2,...E " - " . Pa-ra el cristal de Davisson y Germer d que es la distancia interatómica 215 pm. Para m=1 que corresponde a un pico de difracción de primer orden nos lleva a una longitud de onda de 165 pm: 215 pm×sen 50º=165 pm.

Page 111: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 13

Filamento

Cristal

Detector

Rayo

V

Rayo Incidente

Rayo Difractado

d

Esquema de los átomosen el cristal

E

E

El valor esperado de la longitud de onda de De Broglie para un electrón de energía 54 eV es de 167 pm, que está en correspondencia con el valor medido. Por lo que se confirma la predicción de De Broglie.

El experimento de G.P. Thomson: En 1927 G.P. Thomson trabajando independientemente de Davisson y Germer confirmó la ecuación de Luis de Broglie usando un método algo dife-rente. Dirigió un rayo monoenergético de rayos X o electrones a través de una hoja metálica (A) muy fina, que hacía de blanco. El blanco no era un cristal, como en el experimento de Davisson y Germer, pero estaba hecho de un gran número de pequeños cristalitos orienta-dos al azar. Con esta distribución habrá siempre, por casualidad, un cierto número de cris-tales orientados en un determinado ángulo para producir un rayo difractado.

Rayo incidente

Rayos X o electrones

Blanco (Al) AnillosDifracciónCircular

Película fotográfica Si una placa fotográfica se sitúa perpendicularmente al rayo incidente se observa una mancha central rodeada por anillos de difracción. Haciendo el experimento con electrones de una determinada longitud de onda, para una energía de 15 eV, se obtiene la misma figu-ra de difracción que si utilizamos rayos X de la misma longitud de onda. Las medidas y el análisis de las dos figuras de difracción confirman la hipótesis de De Broglie en cada detalle.

G. P. Thomson compartió el premio Nobel en 1937 con Davisson por los experimentos de difracción de los electrones y su padre J.J. Thomson recibió el premio Nobel en 1906 por su descubrimiento del electrón y por la medida de su relación carga/masa.

Aplicaciones de las ondas de materia: Hoy en día la naturaleza ondulatoria de la materia está aceptada, y los estudios de difracción implicando rayos de electrones y neutrones se usan rutinariamente para estudiar la estructura atómica de los sólidos y de los líquidos. Así en los laboratorios de análisis químico, físico y metalúrgico poseen aparatos comerciales de difracción de electrones. Las ondas de materia son complementarias a los rayos X para es-tudiar la estructura atómica de los sólidos. Los electrones, por ejemplo, son menos pene-trantes que los rayos X y son útiles para estudiar los rasgos en la superficie. Por el contra-rio, los rayos X interactúan, en gran parte, con los electrones de un blanco que utilicemos, y por esta razón no se utilizan para localizar los átomos ligeros, particularmente hidrógeno. Los neutrones, sin embargo, interactúan en gran parte con los núcleos y pueden usarse me-jor que los rayos X para los átomos ligeros. Por ejemplo, con una difracción de neutrones sobre benceno sólido se pude comprobar la estructura del anillo bencénico hexagonal y los seis átomos de hidrógeno acoplados a él.

La función de onda: Cuando Thomas Young midió la longitud de onda en 1801 no tenía ni idea sobre la naturaleza del rayo de luz solar que cae sobre las dos rendijas en su aparato de interferencia. No fue hasta finales del siglo cuando Maxwell postuló que la luz es una configuración en movimiento de campos eléctrico y magnético.

Estamos exactamente en la misma situación en esta etapa de nuestra introducción a las ondas de materia. Podemos medir la longitud de onda asociada con un electrón o un

Page 112: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 14

neutrón pero hasta ahora no conocemos cual es la naturaleza de lo ondulatorio. Es decir, no conocemos que cantidad en una onda de materia corresponde al campo eléctrico en una onda electromagnética, al desplazamiento transversal en una onda viajando a lo largo de una cuerda estirada, o a la variación de la presión local en una onda de sonido viajando por medio de un tubo lleno de aire.

Usaremos el término función de onda para la cantidad cuya variación con la posición y el tiempo representa el aspecto ondulatorio de una partícula en movimiento y le asigna-mos el símbolo F . Posteriormente, interpretaremos la función de onda físicamente de una forma análoga con la luz: “Onda de materia es a partícula como onda de luz es a fotón”.

En primer lugar desarrollaremos un teorema útil que se aplica a todo tipo de ondas. Cuando analizamos las ondas sobre cuerdas, vimos que se puede enviar una onda viajera, de cualquier longitud de onda, a través de una cuerda estirada de longitud infinita. Sin em-bargo, si lo hacemos en una cuerda de longitud finita, sólo las ondas estacionarias se pue-den conseguir y estas tienen una serie discreta de longitudes de onda. Esta experiencia ge-neral con las ondas se puede resumir: “Una onda en el espacio, localizada en una zona con-creta, tiene como resultado que solo puede tener una serie discreta de longitudes de onda, y por tanto una serie discreta de frecuencias. Es decir, la localización nos conduce a la cuanti-zación”

Este teorema sirve no sólo para ondas en cuerdas sino para ondas de todos tipos, in-cluyendo ondas electromagnéticas y, como veremos, ondas de materia. Una onda estaciona-ria se produce cuando una cuerda se restringe a una longitud L con los extremos fijos, sien-do la longitud de onda - = 2L/n, para n = 1, 2, 3,..., en el que el número entero n define el modo de oscilación. Tales números enteros se llaman números cuánticos. Las frecuencias que corresponden a estas longitudes de onda están también cuantizadas y vienen dadas por f=v/ - =v/(2L)∙n, en la que v es la velocidad de la onda.

Ondas de luz y fotones: Podemos considerar las ondas electromagnéticas estacionarias exactamente como las producidas en una cuerda estirada. Las ondas electromagnéticas es-tacionarias se consiguen atrapando una radiación entre dos espejos paralelos que sean to-talmente reflectantes. En la región visible o próxima a la visible las ondas estacionarias se consideran en la cavidad de un gas láser. También se consideran ondas estacionarias en la región de microondas del espectro usando como espejos paralelos hojas de cobre.

A partir de ahora, por conveniencia, consideraremos solo el modo de oscilación que tiene la mayor longitud de onda y, por tanto, la menor frecuencia, que corresponde a la on-da con n=1. La representación en el eje de abscisas, eje x, de la longitud L (distancia entre los espejos) y en el de ordenadas de la amplitud de la onda Emáxima de nuestra onda electro-magnética estacionaria como una función de la posición, para este modo. Vemos que exac-tamente la mitad de una onda está encajada entre los espejos, los cuales están en O y en L, por lo que la longitud de onda - es 2L.

En otra figura se representa (Emáx)2 para el mismo modo de oscilación, y como la den-sidad de energía u, es igual a u=½!0E2, la gráfica representa la densidad de energía en la onda electromagnética estacionaria.

0 L 0 L

Emáx E

máx2

n=1n=1

Luz atrapada entre dos espejos paralelos planosseparados por LA la izquierda amplitud frente posición para n=1A la derecha el cuadrado de la amplitud que es proporcional a ladensidad de fotones.

Page 113: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 15

Podemos considerar que la densidad de energía en cualquier punto se debe a fotones que están localizados en aquel punto, y cada fotón llevando la misma energía hf. Por tanto, puede concluirse que el cuadrado de la amplitud de onda, en cualquier punto, en una onda electromagnética estacionaria es proporcional a la densidad de fotones en aquel punto. Esta conclusión se puede testar explorando la región entre los espejos con una sonda fotónica. Encontraremos un máximo de densidad de fotones en la mitad del camino entre los espejos y una densidad aproximadamente cero delante de los espejos.

Si la energía total en las ondas estacionarias se muestra tan baja que corresponde a la energía de un único fotón, podemos decir: “la probabilidad de detectar un fotón en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la amplitud que la onda electromagnética tiene en aquel lugar”.

Hay que hacer notar que nuestro conocimiento de la posición de un fotón es de natu-raleza estadística. Es decir, no podemos saber exactamente donde está un fotón en un mo-mento dado; podemos hablar sólo de la probabilidad relativa de que un fotón esté en una cierta región del espacio. Como veremos, esta limitación estadística es fundamental para la luz y para la materia, para los fotones y para las partículas.

Ondas de materia y electrones: Para considerar la relación entre ondas de materia y partí-culas, usamos el electrón como prototipo y nos sirven de guía para nuestra analogía entre luz y ondas de materia.

¿Cómo podríamos considerar una onda de materia estacionaria usando un electrón?. Recordando el teorema localización-cuantización desarrollado en el apartado función de on-da, queremos encontrar una situación en la que un electrón esté confinado en una región del espacio, debido a fuerzas eléctricas, que sería como un electrón atrapado. Las ondas de materia asociadas con el electrón se comportarán como una serie de ondas de materia esta-cionarias, con una frecuencia específica.

Los átomos son justamente un sistema con electrones atrapados. De hecho, muchos de los electrones en los átomos que constituyen nuestro planeta y la vida que hay han sido atrapados antes de la formación del sistema solar.

Para nuestro propósito, consideremos un electrón atrapado en un sistema unidimen-sional, en el que el electrón solamente se puede mover en el eje x, entre dos paredes rígidas separadas una distancia L. La energía potencia U(x) será cero dentro de la zona en que está atrapado L, y alcanzará rápidamente un valor infinitamente grande en x=0 y x=L La zona de atrapamiento se le suele llamar un pozo de potencial.

Para un electrón atrapado en su estado n=1, representamos la gráfica de su función de onda y del cuadrado de la función de onda.

Razonando por analogía con las ondas de luz y los fotones, concluimos que: “La pro-babilidad de encontrar el electrón en cualquier lugar es proporcional al cuadrado de la ampli-tud que la onda de materia tiene en aquel lugar”.

En particular, la probabilidad de encontrar el electrón en el intervalo entre x y x+dx, es proporcional a la cantidad + ,2 x dxF .

Para nuestros propósitos, el cuadrado de la función de onda, que llamamos densidad de probabilidad, es más importante que la propia función de onda porque el cuadrado nos dice donde es probable que se encuentre el electrón. La probabilidad de que el electrón esté

en alguna parte del pozo infinito es la unidad + ,2 x dx 1F "$ . La integral es simplemente el

área bajo la curva y como es numéricamente igual a uno se dice que está normalizada.

Energías de los estados posibles: Hemos considerado que la energía potencial del electrón atrapado es constante dentro del pozo infinito y su valor es cero. Por tanto, la ener-gía electrónica total es igual a su energía cinética, si n =1,2,... tenemos

2 2 2 2

c c 2p h hn p n hE E p E E =2m 2L 2m 8mL

1 2" " " " " "4 5-6 7

Page 114: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 16

La energía en el punto cero: Un resultado importante es que en el pozo de potencial infinito el electrón no puede estar en reposo. Esto se debe a que su energía menor es su energía en el estado fundamental que corresponde a n=1, luego E1=h2/(8mL2). Este resulta-do nos indica que los electrones no puede tener energía cero por lo que el electrón no puede ser estacionario, ni siquiera en el cero absoluto de temperatura.

El átomo de hidrógeno: Vamos a extender el análisis de un electrón atrapado en un pozo infinito a un caso más realista de un electrón atrapado en un átomo. Para ello elegimos el átomo de hidrógeno.

El átomo de hidrógeno tiene un sólo electrón unido a su núcleo (un sólo protón) por la fuerza atractiva eléctrica. La energía de los estados posibles del átomo de hidrógeno

+ ,222 2 e2c p e e e 2 2

Ze m1 Ze Ze 1E E E K K K2 r r 2 n

" * " & " &$

El átomo de hidrógeno, como el electrón en un pozo infinito, también tiene una ener-gía en el punto cero, correspondiente a n=1. La densidad de probabilidad para el estado

fundamental del átomo de hidrógeno viene dada por B

2rr2

3B

1(r) er

&

F "/

siendo rB el radio de

Bohr de valor rB=5,292×10-11m=52,92 pm. El significado físico de la ecuación anterior es que 2(r)dVF es proporcional a la probabilidad de que el electrón se encuentre en un ele-

mento específico infinitesimal de volumen. Supongamos que queremos evaluar 2(r)dVF ,

como la densidad de probabilidad 2(r)F depende sólo de r, elegimos como elemento dV el volumen entre dos capas de esferas concéntricas cuyos radios son r y r+dr. Es decir, defi-nimos un elemento de volumen 2dV 4 r dr" / .

Ahora definimos la densidad de probabilidad radial P(r) de tal forma que P(r)∙dr nos exprese la probabilidad de encontrar el electrón en el elemento de volumen definido por

B B

2r 2r2r r2 2

3 3B B

1 4rP(r)dr (r)dV e 4 r dr e drr r

8 9 8 9& &: ; : ;< = < =" F " / "

/

En la teoría semiclásica de Bohr, el electrón en su estado fundamental describe una órbita circular de radio rB. En la mecánica ondulatoria se descarta esta representación y se considera el átomo de hidrógeno como un pequeño núcleo rodeado por una nube de proba-bilidad cuyo valor P(r) en cualquier punto viene dado por

B

2r2r

3B

4rP(r) er

8 9&: ;< ="

Se puede demostrar que P(r)dr 1"$ el área bajo la curva es la unidad, lo que asegura

que el electrón en el átomo de hidrógeno está ligado en alguna parte. En la teoría semiclási-ca de Bohr el electrón en su estado fundamental gira en una órbita circular de radio rB. En mecánica ondulatoria descartamos esta representación fotográfica. Consideramos el átomo de hidrógeno como un pequeño núcleo rodeado por una nube de probabilidad cuyo valor

Probabilidad radialDensidad de

10

5

50 100 150 200 Radio (pm)

(nm-1)

Page 115: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 17

P(r) en algún punto está dado por B

2r2r

3B

4rP(r) er

8 9&: ;< =" . No debemos preguntar “¿Está el electrón

próximo a este punto?”. Aunque “¿cuáles son los puntos de ventaja de que el electrón esté próximo a este punto?”. Esta información probabilística es todo lo que podemos conocer acerca del electrón y además, también es todo lo que alguna vez necesitaremos conocer.

Como se demuestra en la gráfica la densidad de probabilidad radial tiene un valor máximo en el radio clásico de Bohr. Los puntos que indican que el electrón estará más ale-jado del núcleo tienen el valor del 68% del tiempo y los más próximos el 32% restante del tiempo.

No es fácil empezar a analizar las partículas subatómicas de esta forma probabilística y estadística. La dificultad es nuestro impulso natural a considerar un electrón como una minúscula partícula o como un grano de gelatina, estando en un determinado lugar en un determinado tiempo y siguiendo una trayectoria bien definida. Los electrones y otras partí-culas subatómicas simplemente no se comportan de esta forma. En la sección siguiente tra-taremos de ayudar a disipar esta penetrante falacia de “grano de gelatina” (jelly bean fallacy) como se le suele llamar.

Efecto túnel: En la siguiente figura se representa una barrera de energía, llamada barrera de potencial (potencial se refiere a energía potencial), de altura U y anchura L. Un electrón de energía E se aproxima a la barrera por la izquierda.

Clásicamente como E<U el electrón se Reflejará desde la barrera y retrocederá desde la dirección de la que viene. En mecánica cuántica, hay una probabilidad finita de que el elec-trón aparezca sobre la otra parte de la barrera y continúe su movimiento sobre la derecha.

Es como si un grano de gelatina se deslizase sobre una superficie sin rozamiento, en un plano inclinado, cuesta arriba sin la energía suficiente para subir y caer. Sin embargo, los electrones que no son granos de gelatina y como tales atraviesan la barrera por un túnel como realmente sucede.

ElectrónR T

U

E

L

Energía

x

0 L x

GH(x)

Barrera de Energía de altura U y anchura L, y E la energía del electrón

Probabilidad de ser Transmitido

Densidad de probabilidad para la onda de materia del electrón

Si representamos el electrón como una onda de materia, en la figura se demuestra la curva de densidad de probabilidad apropiada. A la izquierda de la barrera, hay una onda de materia moviéndose hacia la derecha y una onda de materia reflejada moviéndose hacia la izquierda. Estas dos ondas interfieren produciendo la figura de interferencia que vemos en la región x<0. Dentro de la barrera la densidad de probabilidad decrece exponencialmente. Sobre la otra parte de la barrera x>L tenemos solo una onda de materia viajando hacia la derecha con una pequeña amplitud pero constante. El coeficiente de transmisión es igual a

+ ,I J2kL 2 2T e k 8 m U E h& &" " / &

Page 116: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 18

El valor de T depende de E, de U y de L.

Como ejemplo de efecto túnel, considera un alambre pelado de cobre que ha sido cor-tado y los dos extremos unidos dando vueltas. El alambre conducirá la electricidad a pesar del hecho de que los dos alambres pueden estar cubiertos con una capa delgada de óxido de cobre, que es aislante. Los electrones simplemente penetran por efecto túnel a través de esta pequeña capa de barrera aislante.

Otros ejemplos de efecto túnel es el diodo túnel en el que el flujo de electrones a través del aparato se puede parar o no controlando la altura de la barrera, lo que se puede hacer en 5 ps. Principio de incertidumbre de Heisenberg.-

El camino erróneo de pensar como “grano de gelatina” es, sin embargo, una extensión natural de nuestra experiencia con los objetos como una pelota, que podemos ver y tocar. Pero este modelo no sirve para trabajar en el nivel subatómico. Si un electrón fuera algo pa-recido a un grano de gelatina, podríamos, en principio, medir su posición y su momento en cualquier instante, con una precisión ilimitada. Pero ello no se puede hacer.

No se está considerando dificultades prácticas de medida ya que asumimos instru-mentos de medida ideales. Tampoco es que los electrones tengan un momento y una posi-ción infinitamente precisa sino que, por alguna razón, la naturaleza no nos permite encon-trarlos o determinarlos. Lo que estamos tratando con esto es una limitación fundamen-tal sobre el concepto de “partícula”. El principio de incertidumbre de Heisenberg nos proporciona una medida cuantita-tiva de esta limitación. Supongamos que queremos medir la posición y el momento lineal de un electrón que está restringido a moverse a lo largo del eje X. Sea xK la incertidumbre en la medida de su posición y sea xpK la incertidumbre en la medida de su momento lineal. El

principio de incertidumbre de Heisenberg establece que xp xK ! K L" " $ El símbolo L recono-

ce el hecho de que, en la práctica, nunca llegaremos al límite cuántico. Es decir, si diseña-mos un experimento para determinar la posición de un electrón tan exactamente como sea posible (haciendo que Kx sea lo menor posible), encontramos que no somos capaces de me-dir su momento lineal muy bien ( xpK será grande). Si tratamos en el experimento de mejo-rar la precisión del momento medido, la precisión de la posición medida se deteriorará. Y no hay nada que podamos hacer sobre ello para mejorar los datos. El producto de las dos incer-tidumbres debe permanecer fijo, y este producto fijo es la constante de Planck. Como el mo-mento lineal y la posición son vectores, una relación como la anterior también existirá para los ejes Y y Z.

El principio de incertidumbre se ve extraño solo si se permanece pegado al concepto falso de “grano de gelatina” y pensamos en el electrón como un pequeño punto. Richard Feynman escribió en 1985: “Quisiera colocar el principio de incertidumbre en su lugar his-tórico: Cuando las ideas revolucionarias de la Física cuántica salieron a la luz pública, la gente tendía a considerarlas desde sus antiguas ideas, esto es, el grano de gelatina. Pero lle-gado un cierto punto las ideas antiguas comenzaron a fallar, así que una advertencia se desarrolló y que dice, en efecto, “Sus antiguas ideas no son buenas.....Si ha eliminado todas las antiguas ideas y hace uso de las nuevas no hay necesidad para un principio de incerti-dumbre”.

Lo que Feyman decía era que: “pensando en términos de ondas de materia. Tire la no-ción del electrón como un pequeño punto. Cuando piense en electrones, hágalo estadística-mente, y siendo guiado por la densidad de probabilidad de la onda de materia”.

Otra formulación del principio de Heisenberg: Otra forma de formular este principio es en términos de energía y tiempo, que son magnitudes escalares E tK ! K L $

Nos dice que si trata de medir la energía de una partícula, midiéndola en un intervalo de tiempo "t, su medida de la energía tendrá una incertidumbre dada por una cantidad EK dada por tK

$ . Para mejorar la precisión de la medida de la energía nos llevará más tiempo.

Page 117: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 19

Otra forma de entender la ecuación anterior es: podemos violar la ley de conservación de la energía por “pedir prestada” una cantidad de energía EK Msiempre que “devuelva” la energía prestada dentro de un intervalo de tiempo tK dado por EK

$ .

Si aplicamos esta idea al efecto túnel sería: de acuerdo con las reglas clásicas el elec-trón sólo saltará la barrera si tiene una energía adicional U-E. El principio de incertidumbre nos explica que el electrón puede “pedir prestada” esta cantidad de energía si él “la devuel-ve” en el tiempo que al electrón le llevaría viajar una distancia igual a la anchura de la ba-rrera. Así el electrón se encontraría sobre la otra parte de la barrera, los balances de energía están de nuevo en equilibrio, y nadie se dará cuenta!.

Page 118: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 20

1) Determina la energía de un fotón para: a) ondas de radio de 1.500 kHz; b) luz verde de longitud de onda 500 nm; c) Rayos-X de 0,06 nm. Considera el medio de propagación el va-cío. [a) 9,9∙10-28 J; b) 3,6∙10-19J; c) 3,3∙10-15J]

2) Una estación de radio emite con una longitud de onda de 25 m. Calcula: a) la frecuencia de las ondas electromagnéticas emitidas; b) la energía de los fotones; c) el número de foto-nes emitidos por segundo si la potencia de la emisora es de 6 kW. [a) 11,99∙106Hz; b) 7,95∙10-27J; c) 7,55∙1029]

3) Un haz de luz de 400 nm incide sobre una placa de Ce, cuyo trabajo de extracción es de 1,8 eV. Calcular: a) energía máxima de los fotoelectrones; b) número de fotones emitidos por segundo y unidad de superficie para un haz de 0,001 W/m2. [a) 2,08∙10-19J; b) 4,8∙1015 fo-tones]

4) Una radiación de 1,5∙10-6m incide sobre una superficie metálica y produce la emisión de fotoelectrones con una velocidad de 0,1∙106m/s. Calcular: a) trabajo de extracción del metal; b) frecuencia umbral de foto emisión. [a) 1,28∙10-19J; b) 1,9∙1014Hz ó 1,55∙10-6m]

5) Calcula la longitud de onda asociada a: a) el electrón acelerado por una diferencia de po-tencial de 100 V; b) el electrón de energía cinética de 1 eV; c) la bala de 10 g que se mueve a 500 m/s; d) el automóvil de 1000 kg con velocidad de 100 m/s. [a) 1,23∙10-10m; b)1,23∙10-

9m; c) 6,6∙10-39m]

6) Calcula la incertidumbre en la posición en los siguientes casos: a) electrón cuya veloci-dad, de 7.000 km/s, se ha medido con una incertidumbre del 0,003%; b) partícula de 50 g que se desplaza a una velocidad de 300 m/s, medida con la misma incertidumbre que en el caso anterior. [a) 5,51∙10-7m; b) 2,34∙10-31m]

7) Una superficie de Ni, cuyo trabajo de extracción es 5,0 eV, se irradia con luz ultravioleta de longitud de onda 200 nm. Calcule: a) la diferencia de potencial que debe aplicarse entre el Ni y un cátodo para detener totalmente los electrones emitidos; b) la energía con que estos alcanzan el ánodo si la diferencia de potencial aplicada se reduce a 1/4 del valor anterior. [a) 3,10 V; b) 6,9∙10-20J]

8) Al iluminar una superficie metálica con una longitud de onda 200 nm, el potencial de frenado de los fotoelectrones es de 2 V, mientras que si la longitud de onda es 240 nm, el potencial de frenado se reduce a 1 V. Obtenga: a) el trabajo de extracción del metal; b) el va-lor que resulta para la constante de Planck, h, a partir de esta experiencia. Datos: e=1,6∙10-

19C; c=3∙108m∙s-1. [a) Wextracción=4eV; b) h=6,40∙10-34J∙s]

9) Calcula la función trabajo del sodio a partir de los datos siguientes: f0=4,3∙1014Hz; h=6,63∙10-34J∙s. [2,9∙10-19J=1,8 eV]

10) En un experimento fotoeléctrico en el que se utiliza una superficie de sodio, al iluminar la superficie metálica con una longitud de onda λ1=300 nm y el potencial de frenado de los fotoelectrones es de 1,85 V, mientras que si la longitud de onda es 400 nm, el potencial de frenado es de 0,820 V. A partir de estos datos calcula: a) el valor que resulta para la cons-tante de Planck h; b) el trabajo de extracción del metal sodio; c) la longitud de onda para el sodio. [a) 6,59∙10-34J∙s; b) 2,27 eV; c) 544 nm]

11) El potencial de frenado para los fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada por luz de longitud de onda 491 nm es de 0,710 V. Cuando la luz incidente se cambia a un nuevo valor el potencial de frenado es de 1,43 V. a) ¿Cuál es la nueva longitud de onda?. b) ¿Cuál es la función trabajo de esa superficie?. [a) 382 nm; b) 1,82 eV]

12) Un satélite en órbita alrededor de la Tierra se puede cargar, en parte, debido a la pérdi-da de electrones causada por el efecto fotoeléctrico inducido por la luz del Sol sobre la su-perficie externa. Supongamos que el satélite está recubierto con platino, que es un metal que tiene un trabajo de extracción muy alto: 5,32 eV. Determina la mayor longitud de onda de los fotones que pueden arrancar fotoelectrones del platino. [233 nm]

13) La función trabajo del wolframio es de 4,50 eV. Calcula la velocidad de los fotoelectrones más rápidos emitidos cuando fotones de energía 5,80 eV inciden sobre una lámina de wol-framio. [676 km/s]

Page 119: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo” Página 21

14) Un electrón de energía cinética 12 eV se puede demostrar que tiene una velocidad de 2,06∙106 m∙s-1. Si consideramos que podemos medir su velocidad con una precisión del 1,50%. Determina la incertidumbre con la que simultáneamente podemos medir la posición del electrón. Dato: $=1,055∙10-34J∙s [3,77 nm que es unas 71 veces en rB=52,9 pm]

15) La longitud de onda umbral de una célula fotoeléctrica de sodio es 5,83∙10-7m. Calcule: a) la diferencia de potencial con la que debe acelerarse un electrón para que su energía ciné-tica sea igual al trabajo de extracción del sodio; b) la longitud de onda asociada a dicho elec-trón, tras ser acelerado. Datos: qe=1,6∙10-19C; c=3∙108m∙s-1; h=6,63∙10-34J∙s; me=9,1∙10-31kg. [a) 2,13 V; b) 0,841 nm]

16) Al iluminar una superficie de wolframio con luz monocromática ultravioleta de longitud de onda 1,88∙10-7 m, se obtienen fotoelectrones con energía cinética máxima Em. Si se ilu-mina la misma superficie con luz de longitud de onda 1,77∙10-7m, la energía cinética máxi-ma de los fotoelectrones es el triple de la anterior. Si conoces c y h calcula: a) la energía ci-nética máxima de los fotoelectrones en las dos situaciones anteriores; b) el trabajo de ex-tracción del wolframio.[ a) 3,21∙10-19J=2 eV y 6 eV; b) 7,37∙10-19J=4,6 eV]

17) Al absorber un fotón se produce en un átomo de transición electrónica entre dos niveles separados por una energía 12∙10-19 J. a) Explique, energéticamente, el proceso de absorción del fotón por el átomo, ¿volverá espontáneamente el átomo a su estado inicial?. b) Si el mismo fotón incidiera en la superficie de un metal cuyo trabajo de extracción es de 3 eV, ¿se producirá emisión fotoeléctrica?. Datos: h y me.

18) Un electrón se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 1000 V. Calcule: a) la energía cinética, la cantidad de movimiento y la longitud de onda de De Broglie del electrón acelerado; b) la frecuencia mínima de la radiación que debería incidir sobre un metal con trabajo de extracción de 3 eV, para obtener fotoelectrones de la misma energía ci-nética que los del apartado a).

M

Page 120: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 1

ÍNDICE DE “FÍSICA NUCLEAR” Núcleo atómico. Fuerzas nucleares Revisión de los modelos atómicos. Núcleo y electrones Análisis de la mecánica cuántica: Partículas y campos Partículas nucleares: protón y neutrón Tamaño y densidad nucleares Momento Angular del núcleo Fuerzas nucleares. Propiedades de la interacción fuerte Estabilidad nuclear. Energía de enlace Equivalencia masa-energía Teoría de la Relatividad Defecto de masa y energía de enlace nuclear Energía de enlace por nucleón. Dependencia con el número másico Fisión nuclear Fusión nuclear Radiactividad. Leyes Leyes de la desintegración radiactiva Actividad Vida media Radiactividad natural y artificial Radiactividad Alfa Radiactividad Beta Radiación Gamma Radiactividad artificial Leyes de conservación que se han de cumplir en todos los procesos radiactivos Familias radiactivas Reacciones nucleares. Fisión y fusión Leyes de conservación en una reacción nuclear Aplicaciones de la radiactividad y de las reacciones nucleares. Efectos biológicos Problemas de “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo”

Page 121: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 2

Núcleo atómico. Fuerzas nucleares.-

Revisión de los modelos atómicos. Núcleo y electrones:

Análisis histórico hasta el modelo nuclear del átomo:

1) En 1895 se descubren los rayos catódicos, su nombre se debe a que son una radia-ción procedente del cátodo. La radiación se produce entre dos electrodos, por aplica-ción de varios miles de voltios, colocados dentro de un tubo con un gas a una presión muy baja (100 Pa ó 0,001 atm).

2) En 1896 se descubre la radiactividad natural por la que se demostraba que todos los elementos químicos tienen algo en común. Así, los elementos químicos más pesados tienen las propiedades de las radiactividades alfa (partículas positivas), beta (partícu-las negativas) y gamma (radiación de muy alta energía).

3) En 1897 J.J. Thomson estudiando las propiedades de los rayos catódicos descubre que estos rayos están constituidos de partículas cargadas negativamente y establece la existencia de los electrones.

4) En 1904 Thomson propuso el primer modelo atómico en el que se consideraba el átomo como una esfera cargada positivamente de radio 10-10m con los electrones en-tremezclados sobre su volumen.

5) Entre 1909 y 1911 Geiger, Marsden y Rutherford realizan los experimentos de disper-sión de partículas alfa por láminas muy finas de metales, que no se podían explicar con el modelo atómico de Thomson.

Fuente departículas !

lámina de Au

Detector

"

"

100

1000

10.000

100.000

1.000.000

0º 20º 40º 60º 80º 100º 120º 140º

Número de partículas ! registradas

Ángulo de dispersión

En 1911 Ernest Rutherford propuso un nuevo modelo atómico, en el que conside-raba al átomo constituido por un núcleo cargado positivamente de tamaño muy pequeño (10-14m) con los electrones distribuidos alrededor a distancias de 10-10m. Estando la masa concentrada en los núcleos ya que la masa de los electrones era muy pequeña. Por lo que el año 1911 se considera el año de creación de la Física Nuclear.

El modelo nuclear de Rutherford tiene una dificultad importante y es que supone que los electrones en su movimiento poseen una aceleración radial y, por las leyes de la electrodinámica clásica, una partícula cargada y acelerada debe perder energía por radia-ción, cuya frecuencia sería cambiante con el tiempo. Sin embargo, los experimentos de-muestran que los espectros atómicos de emisión son fijos, es decir, a unas frecuencias cons-tantes.

En 1913 Moseley determinó la carga nuclear de los átomos analizando el espectro de rayos-X de los elementos químicos. Los fotones de rayos X se producen cuando un elec-trón muy energético choca con un átomo y le arranca un electrón. Si el electrón es de la ca-pa n=1 ó capa K deja un hueco al que cae un electrón de otra capa externa emitiendo un fo-tón de rayos X. Si el electrón cae desde n=2 ó capa L tenemos una línea K.

Conocidos los espectros de rayos-X de muchos elementos químicos, representó gráfi-camente en el eje de ordenadas la raíz cuadrada de la frecuencia emitida de la radiación, del

Page 122: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 3

espectro de rayos-X, denominada la línea K! y en el eje de abscisas el número del elemento en la Tabla Periódica. Se comprueba que existe una regularidad lineal, por lo que Moseley dice: “Esta regularidad lineal es una prueba de que en cada átomo hay una cantidad fun-damental, que se incrementa con regularidad cuando se pasa desde un elemento químico al siguiente. Esta cantidad sólo puede ser la carga sobre el núcleo central”. La medición de la carga nuclear encontrada por Moseley establece una relación sencilla entre la frecuencia f de la radiación característica de rayo-X y la carga nuclear Z: aZ b# $ % . Las constantes a y b no dependen del elemento. Esto le permitió ordenar los elementos desde el Ca hasta el Zn por su número atómico. Además, el método de Moseley ayudó a determinar la posición de ciertos elementos que no se habían descubierto, por entonces, en la Tabla Periódica y tam-bién confirmó el fenómeno conocido como captura-K.

En 1913 Niels Bohr propuso un nuevo modelo para superar las dificultades del de Rutherford y explicar el espectro de emisión del átomo de Hidrógeno. Bohr supone, como primera aproximación, que el núcleo coincide con el centro de masas del átomo y está en reposo en el sistema-C. La energía electrónica total del átomo es la suma de la cinética y po-tencial:

2 2 2 22

c p e e e e e1 Ze 1 Ze Ze 1 ZeE E E m v K K K K2 r 2 r r 2 r

$ & $ % $ % $ %

Dentro del contexto clásico no hay limitaciones posibles de los valores de la energía de un electrón en un átomo. Sin embargo, hay evidencia experimental para sugerir que “la energía de un electrón en un átomo puede tener sólo ciertos valores E1, E2,..., En,... Es decir, la energía del movimiento electrónico está cuantizada”. Los estados correspondientes a las energías posibles se llaman estados estacionarios. El estado que tiene la menor energía po-sible es el estado fundamental. En el caso del átomo de H se ha encontrado experimental-mente analizando los espectros de átomos hidrogenoides que la energía de los estados esta-cionarios cumplen una expresión de la forma:

' ( ' (2 22 22 18e e2 2e e e2 2 2 2 2 2

Ze m Ze m1 Ze 1 1 1 2,18 10 13,6E K K K J eV2 r 2 2n n n n

%)$ % $ % $ % $ % $ %

! !

En=-2,177×10-18∙Z2/n2 J=-13,598×Z2/n2 (eV) donde n es un número entero.

La existencia de estados estacionarios en los átomos unielectrónicos requiere que el momento angular del electrón L=mevr se encuentre limitado sólo a ciertos valores. De

acuerdo con la teoría de Bohr los posibles valores del momento angular son hL n n2

$ $*

! .

Por tanto, “el momento angular de un electrón en un átomo puede tener sólo ciertos valores L1, L2,..., Ln,..., por lo que el momento angular del movimiento electrónico está cuantizado”.

El hecho de que la energía y el momento angular estén cuantizados, en el modelo de Bohr, es una manifestación de que debemos tomar en cuenta principios nuevos para anali-zar el movimiento del electrón. La teoría correspondiente se llama mecánica cuántica.

La mecánica cuántica es el resultado de los trabajos originales de Louis de Broglie (1892-1987), Erwin Schrödinger (1887-1961), Werner Heisenberg (1901-1976), Paul Dirac (1902-1984), Max Born (1882-1970), Albert Einstein (1879-1955) y otros quienes la desarro-llaron en la década de 1920. La mecánica cuántica es esencial para conocer el comporta-miento de los constituyentes fundamentales de la materia.

Análisis de la mecánica cuántica: Partículas y campos Nuestra experiencia sensorial nos lleva a considerar que los objetos que nosotros to-

camos tienen una forma y tamaño bien definidos por lo que están bien localizados en el es-pacio. Por tanto, tendemos a extrapolar y consideramos que las partículas fundamentales (electrones, protones, etc.) tienen forma y tamaño y las imaginamos como pequeñas esferas con un radio determinado, con una masa y carga. Los experimentos nos demuestran que nuestra extrapolación sensorial de los constituyentes básicos de la materia es errónea. El comportamiento dinámico de los átomos y de las partículas subatómicas requiere que aso-ciemos a cada partícula un campo (un campo de materia), de la misma forma que asocia-

Page 123: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 4

mos un fotón (que puede considerarse equivalente a una partícula) con un campo electro-magnético.

Postula que los electrones se mueven en órbitas estacionarias, de tal forma que el momento angular del electrón, que es constante, tienen unos determinados valores, que son múltiplos de la constante de Planck. Por tanto, cada órbita estacionaria está a una distancia determinada y tiene una energía determinada, y la emisión o absorción de energía de radia-ción por un átomo es causada siempre por una transición de un electrón desde una órbita a otra. Estando la frecuencia de la radiación en una correspondencia lineal con las diferencias de energía de los estados participantes en la transición. Con ayuda de unos cálculos senci-llos basados en los postulados de Bohr se pudo obtener teóricamente las líneas espectrales y el valor de la constante de Rydberg.

La teoría de Bohr fue posteriormente modificada y perfeccionada, ya que se conside-ró el movimiento de los núcleos alrededor del centro de masa, y las órbitas circulares fueron sustituidas por elípticas. Todo esto llevó a un mejor conocimiento de los espectros ópticos de los átomos y, en particular, pudo explicar el efecto Zeeman.

En 1926 Heisenberg y Scrödinger propusieron una nueva aproximación para des-cribir los fenómenos microscópicos llamada mecánica cuántica. Esta nueva mecánica surgió del principio de la dualidad onda-corpúsculo y del principio de incertidumbre.

El antiguo modelo del átomo fue sustituido por uno nuevo, en el que la posición de los electrones en el átomo no se puede especificar exactamente pero hay una cierta probabi-lidad dada por una función de onda, la cual es solución de la ecuación de onda.

La mecánica cuántica no sólo confirmó todos los resultados de la teoría de Bohr sino que explicó por qué un átomo dado no emite energía en un estado estacionario. También permitió un cálculo de las intensidades de las líneas espectrales. Además, la mecánica cuántica explicó la difracción de electrones, un fenómeno incomprensible desde el punto de vista clásico. La mecánica cuántica también se utilizó para explicar los fenómenos nuclea-res, como la explicación de la radiación alfa en 1928 (Gamow).

Partículas nucleares: protón y neutrón.-

En 1919 se realizaron dos importantes descubrimientos. Por una parte, Aston cons-truye el espectrómetro de masas lo que permitió determinar con gran exactitud las masas atómicas y permitió conocer la existencia de los isótopos. Por otra parte, Rutherford conti-nuando con sus experimentos de dispersión de partículas alfa descubrió la escisión del nú-cleo de Nitrógeno acompañado por el escape de una partícula cargada positivamente con carga e+ y una masa igual a la del núcleo del isótopo más ligero del hidrógeno igual a

1836,1me: *14 4 18 1 17

7 2 9 1 8N He F H O+ ,& - - &. /

El experimento fue repetido con otros materiales y en todos los casos, el núcleo de estos materiales emitía núcleos de H cuando eran bombardeados con partículas alfa rápi-das. Así quedó probado que el núcleo contiene el núcleo de H más sencillo y se llamó protón.

El descubrimiento del protón llevó a considerar que el núcleo está constituido por protones y electrones: A protones en el núcleo, (A-Z) electrones en el núcleo y Z electrones girando. Este modelo proporcionó una explicación natural del hecho que la masa atómica de los elementos es proporcional al número de masa A y la carga nuclear es proporcional al número atómico Z. Posteriormente se comprobó que en el núcleo no hay electrones de-bido a los siguientes hechos:

1º) En 1925 se introdujo el concepto espín del electrón para explicar la estructura fina de la radiación atómica. Después para explicar la estructura hiperfina de los espectros se con-sideró que los núcleos atómicos tienen espín y momento magnético. El electrón tiene número cuántico de espín s=½ y el número cuántico magnético de espín puede tener dos valores ms=±½.

2º) Un electrón es una partícula cargada, y con su momento angular hay asociado un mo-mento magnético. El momento magnético surge del momento angular del electrón. El argu-

Page 124: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 5

mento clásico es que si una carga e- circula en una órbita de radio r, en el plano XY, a una

velocidad v la corriente es eVI2 r

$ %*

Esta corriente origina un momento dipolar magnético con componente z igual a

2 zz e z

e

z e

el1m IA I2 r evr l2 2m

l m vr

$ $ * $ % $ % $ 0

$

El vector momento magnético y el momento angular ee

em l l2m

$ 0 $ %" ""

El electrón en un átomo puede tener dos tipos de momento angular, su espín y su momento angular orbital, por lo que existen dos causas o fuentes del momento magnético. Estos dos momentos magnéticos pueden interactuar y producen separaciones en las energí-as de los estados del átomo y estas separaciones afectarán la apariencia del espectro del átomo, y se llama estructura fina del espectro.

3º) Las propiedades del momento magnético orbital se derivan del propio momento an-gular. En concreto la componente z está cuantizada y tiene restringidos los valores posibles a ' (z e l lm m m 0;...; l$ 0 $ 1!

La cantidad B ee

e2m

2 $ %0 $!! positiva se llama magnetón de Bohr, y su valor es igual a

9,274×10-24J/T. Siendo z B lm m$ %2

4º) El momento magnético de espín, que surge del espín del electrón, por analogía con el momento magnético orbital podemos suponer que sea em s$ 0 , pero al no tener analogía clásica se deriva de la ecuación relativista de Dirac y da em 2 s$ 0 , con un factor adicional de 2, luego el momento magnético debido al espín es el doble del valor esperado con una argu-mentación clásica. Siendo e em g s$ 0 y la componente sobre el eje z igual a

z e B s

s

m g m1m2

$ % 2

$ 1

5º) El núcleo más sencillo, el protón, tiene un momento angular intrínseco 12! y un mo-

mento magnético positivo igual a 2,7927×µN magnetones nucleares. El magnetón nuclear es 27

Np

e J5,05 102m T

%2 $ $ 3! que comparado con el electrón es unas 658 veces menor:

Me/Mp=9,274×10-24 J/T/(2,7927×5,0504∙10-27 J/T)=658. Medidas de los momentos magné-ticos de otros núcleos atómicos demostraron que sus valores absolutos están próximos al momento magnético del protón y difieren considerablemente del momento magnético del electrón. Lo que supuso un serio argumento en contra del modelo nuclear electrón-protón. El deuterón, cuyo núcleo, en el modelo nuclear protón-electrón, consistirá en dos protones y un electrón, debería tener espín 1 1

2 2ó 3! ! y los valores experimentales del espín del deute-

rón es de valor ! lo que demuestra que no hay electrones en el núcleo.

Con esta conclusión los núcleos no pueden estar compuestos solamente de protones ya que en este caso A será siempre igual a Z. Por tanto, debe de existir alguna partícula que junto a los protones constituya el núcleo.

En 1930 continuando los experimentos de Rutherford, Bothe y Becker descubrieron que cuando bombardeaban con partículas alfa algunos elementos ligeros (Be, B) se produce una radiación muy penetrante. Esta radiación no estaba compuesta de partículas cargadas, ya que no le afectaban los campos eléctricos o magnéticos y pensaron que era una radiación de alta energía. Siendo el proceso

Page 125: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 6

*9 4 13 134 2 6 6Be He C C+ ,& - - & 0. /

Pero los cálculos cuantitativos no eran buenos para explicar tanta energía emitida. En 1932 Irene y Frederic Joliot-Curie establecieron que la nueva radiación sale fuera del núcleo de los elementos ligeros. Pero fue considerada como radiación de alta energía.

En el mismo año 1932 Chadwick demostró que todas estas dificultades desaparecen y se cumplen las leyes de conservación si en lugar de considerar que se emite energía alta (radiación gamma) se emiten partículas neutras que tengan una masa parecida a la de los protones. Esas partículas neutras se llamaron neutrones y el proceso se escribe de la si-guiente forma

*9 4 13 12 14 2 6 6 0Be He C C n+ ,& - - &. /

Chadwick usó las leyes de conservación de la energía y del momento lineal para ana-lizar los resultados experimentales de choque de partículas alfa sobre Be, la radiación sa-liente la dirigió hacia una cámara de ionización, la cual fue alternativamente llenada con Hidrógeno y Nitrógeno. El análisis de la colisión de la radiación entrante en la cámara con los núcleos de H y de N le llevó a la conclusión que eran partículas de masa parecida a la del protón pero sin carga, que les llamó neutrones.

El neutrón tiene una masa 1838,6 veces la masa del electrón y es más pesado que el protón. Las medidas de su espín y momento magnético indican que como el protón y el elec-trón tiene un espín de valor 1

2 ! mientras su momento magnético es negativo y menor en

936 veces que el momento magnético del electrón. El momento magnético del neutrón es de 1,9131 magnetones nucleares

Al poco tiempo del descubrimiento del neutrón Heisenberg estableció el modelo protón-neutrón como estructura de los núcleos. Este modelo elimina completamente las dificultades asociadas con el modelo anterior protón-electrón. En este modelo todos los nú-cleos poseen dos tipos de partículas llamadas nucleones que son los protones y los neutro-nes. Hoy se conocen más de 2000 núcleos entre naturales y artificiales. Los núcleos difieren en el número de protones y neutrones.

Un núcleo es un conglomerado de protones y neutrones ocupando una pequeña re-gión del átomo. Se representa de la siguiente forma: A

Z X . El número A es el número de nu-cleones o número másico, Z es el número de protones y la diferencia (A-Z)=N es el número de neutrones.

Núcleos isótopos son los que tienen igual número de protones Z, núcleos isobaros los que tienen igual número de nucleones A y núcleos isotonos los que tienen igual número de neutrones.

Tamaño y densidad nucleares.-

Para comprender la naturaleza de las fuerzas que retienen los protones y los neutro-nes unidos en los núcleos, es necesario analizar algunas propiedades físicas del núcleo además de la carga y la masa.

Tamaño: Todos los resultados experimentales confirman que los núcleos tienen forma esfé-rica, sin embargo el radio nuclear R difiere de unos métodos a otros pero siempre es propor-

cional a A1/3, donde A es el número másico del núcleo. La relación es: 13R r A$ # donde r0 es

un coeficiente empírico, aproximadamente el mismo para todos los núcleos. Su valor acep-tado es r0=1,4×10-15m. Como el volumen de la esfera es 34

3 R* , el volumen nuclear es pro-

porcional al número de nucleones A 3 3 45 34 4

3 3V R r A 1,12 10 A m%$ * $ * $ )#

Esto sugiere que los nucleones están empaquetados a unas distancias promedio fi-jas, independientemente del número de partículas, por lo que el volumen por nucleón es

Page 126: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 7

una cantidad constante y la misma para todos los núcleos 343V r$ *# # . Otra conclusión es

que la densidad de la materia nuclear es la misma para todos los núcleos.

La densidad de la materia nuclear se puede determinar. Si la unidad de masa atómi-ca es 1u=1,66×10-27kg, la masa de un núcleo de número másico A es aproximadamente M=Au kg, por lo que la densidad promedio de la materia nuclear es independiente de A.

' (12 246 23

A27

183 45 3 34

3

1 1 0,012 kg 1 0,012 kg1u m C 1,66 10 kg12 12 N 12 6,022 10

M Au 1,66 10 kg kgd 1,49 10V r A 1,12 10 m m

%

%

%

4 54 5$ $ $ $ )6 76 7

)8 9 8 9

)$ $ $ $ )

* )#

Esta densidad de los núcleos es alrededor de 1015 veces mayor que la densidad de la materia en su conjunto como la conocemos en la superficie de la Tierra. También demuestra que la materia en su conjunto está vacía esencialmente y que la masa está concentrada en el núcleo, que ocupa una pequeña fracción del volumen atómico.

Momento Angular del núcleo.- El momento angular de un núcleo se llama, históricamente, espín nuclear. Pero esto no significa que el núcleo esté rotando como un cuerpo rígido. Lo que ocurre es que los pro-tones y los neutrones poseen momento angular orbital asociado con su movimiento en los núcleos. El momento angular nuclear resultante (espín) se obtiene combinando el momento angular orbital y los espines de los nucleones que componen los núcleos.

El espín nuclear se designa con el número cuántico I y la magnitud del espín nuclear

es ' (I I 1&+ ,. /!

La componente del espín nuclear en una dirección es z II m$ ! donde mI=±I, ±(I-1), ..., ±½ ó 0. Dependiendo si I es semientero o entero. Por tanto, hay (2I+1) orientaciones po-sibles del espín nuclear. Como el espín de los nucleones es ½ los valores de I son enteros, si A es par, o semienteros, si A es impar, en un rango desde cero, como en 4He y 12C, hasta 7 como en 176Lu.

Prácticamente todos los núcleos que tienen un número par de neutrones y protones (par-par) tienen I=0, lo que nos indica que los nucleones idénticos tienden a emparejar sus momentos angulares en direcciones opuestas. Los núcleos par-impar tienen todos espín semientero, y es razonable considerar que el espín nuclear coincide con el momento angular del último nucleón desapareado. Los núcleos impar-impar tienen dos nucleones sin aparear, un neutrón y un protón, y los resultados experimentales son un poco más difícil de prede-cir, aunque sus momentos angulares son enteros cuando hay un número par de partículas.

Fuerzas nucleares. Propiedades de la interacción fuerte.-

Las propiedades principales de las fuerzas nucleares que han sido determinadas ex-perimentalmente se pueden resumir en los siguientes apartados:

1) La fuerza nuclear es de corto alcance. Se llama de corto alcance porque sólo se pone de manifiesto cuando las partículas interactuantes están muy próximas, a una dis-tancia del orden de 10-15m (1fm) o menos. A distancias mayores de 1014 m, correspon-diente a las dimensiones nucleares la fuerza no se observa. En un núcleo, cada nu-cleón interactúa sólo con sus vecinos mientras que la repulsión de Coulomb se esta-blece entre todos los protones.

2) La fuerza nuclear es independiente de la carga eléctrica. Esto significa que las in-teracciones nucleares entre dos protones, dos neutrones, o un protón y un neutrón son básicamente las mismas. Esto se pone de manifiesto en el hecho de que la energía de enlace por nucleón es la misma independientemente de la mezcla de protones y neutrones en el núcleo.

3) La fuerza nuclear depende de la orientación relativa de los espines de los nu-cleones interactuantes. Este hecho se ha confirmado por experimentos de dispersión

Page 127: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 8

y por análisis de los niveles de la energía nuclear. Se ha encontrado que la energía de un sistema de dos nucleones en el que los dos tienen espines paralelos es diferente de la energía del sistema cuando los espines son opuestos. De hecho, el sistema neutrón-protón tiene un estado enlazado, el deuterón, en el que los dos nucleones tienen sus espines paralelos (S=1), pero no existe con los espines opuestos (S=0).

4) La fuerza nuclear no es completamente central; depende de la orientación de los espines relativa a la línea de unión de los nucleones. Esta propiedad se ha deduci-do porque se ha observado que hasta en el núcleo más simple, el deuterón, el momen-to angular orbital de los dos nucleones relativo a su centro de masa no es constante, lo que es contrario a la situación cuando las fuerzas son centrales.

5) La fuerza nuclear a distancias muy cortas llega a ser repulsiva. Este hecho ha sido introducido para explicar la separación promedio constante entre los nucleones, de lo que resulta un volumen nuclear proporcional al número de nucleones.

Una expresión correcta de la energía potencial de la interacción nuclear entre dos nucleones no es bien conocida. En 1935 Yukawa propuso la siguiente expresión:

r/ap

E aE (r) er

%)$ % #"

Los parámetros E0 y a son constantes. La constante a está relacionada con el rango de la fuerza nuclear y E0 da la intensidad de la interacción. El factor e-r/a expresa el decre-cimiento exponencial que se hace más rápidamente cero que el potencial eléctrico 1/r. Por otra parte hay dudas sobre si la interacción nuclear se pueda expresar en términos de una función de la energía potencial, de la misma forma que lo hacemos con las interacciones electromagnéticas y gravitatoria. La razón es que la fuerza nuclear es un efecto residual de la interacción fuerte entre los quarks que componen los protones y los neutrones.

Estabilidad nuclear. Energía de enlace.-

Equivalencia masa-energía:

Teoría de la Relatividad: Para cuerpos que se mueven a velocidades próximas a la de la luz se ha de utilizar la Teoría de la Relatividad que considera como ley universal “la veloci-dad de la luz es una invariante física, teniendo el mismo valor para todos los observadores en movimiento relativo uniforme”.

Como consecuencia las transformación de Galileo t’=t no es correcta y todos los ob-servadores en movimiento relativo uniforme son equivalentes.

Y Y’ P r’

r O R O’ X=X’ Vrelativa Z Z’

Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y O’X’Y’Z’, cuyos centros O y O’ se en-cuentran a una distancia RO’O. Una partícula situada en un punto P tendrá de coordenadas (x,y,z,t) para el primer sistema OXYZ y (x’,y’,z’, t’) para el segundo O’X’Y’Z’. Las nuevas transformaciones compatibles con que la velocidad de la luz sea constante:

2r r

2 2r r

x v t t v x/cTransformaciones Lorentz : x ' ; y ' y; z ' z; t 'v v1 1c c

% %$ $ $ $

4 5 4 5% %6 7 6 78 9 8 9

El principio de la relatividad especial “todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores inerciales que se muevan con velocidad relativa constante unos

Page 128: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 9

respecto de otros”. Con lo cual para que se cumpla el principio de conservación del momen-to lineal en partículas rápidas

' (

' (' (

' (

' (

' ( ' (

2 2c 2v

csobre 2 2 2 2

t crelativa

propia relativa 2 22 tv 2c vc

22 2t

1E mc 1 mc 11dpF

dt E E mc mc 1 mc mcmv

p mv mv 1E mc mc11

E pc mc

: 4 5; 6 7

$ % $ 0 %; 6 7; 6 7%: < 8 9;$; ; ; $ & $ 0 % & $ 0; ; ;

= > =$ $ $ 0; ; ; $ $ 0; ; ;%? @ %;

;; $ &;?

""

"" " "

Demostración:

' (

' ( ' (

' ( ' (

' (

relativa2v

c

2 2

mvpropia relativa

1

sobre

2v v v v

c t 2 20 0 0 0v vc c

2 2 2vv2 2 2 2 2mcv

c 2 2 2 2c v0 0v vc c

2 2 2

cv

p mv mv

dpFdt

mv mvE F ds vdp vp pdv dv1 1

mv mv mvE dv mc c v mc c v mcc v1 1

c

mv m c vE

1

%

%

: $ $ $ 0;;=; $;?

$ $ $ % $ %% %

+ ,$ % $ % % % $ & % %A B. / %% %

& %$

%

C C C C

C

"" " "

""

' ( ' (' (

2 2

2 2

2 2 2

vc c

1mc mc 1 mc 11

4 56 7

% $ % $ 0 %6 76 7%8 9

Para obtener la expresión de la energía total: la expresión del momento lineal la elevamos al cuadrado y despejamos la velocidad al cuadrado, la expresión de la energía cinética la ele-vamos al cuadrado y sustituimos la velocidad al cuadrado obtenida anteriormente. Obtene-mos:

' (' (

' (' (

' ( ' (

' ( ' (

2

2

2

2

2

2

2 22

v 2 22c

2 2 2v 2 2 2

2c2 2

2 2 2 2 2t c

vc

2 22 22 2 2 2 4 2 2t 2 2 2 2

22 2 2

22 2t

m vp1mv p cp v

m c p1 m v cpc v

1E E mc mc 1 mc mc mc1

c cE mc mc m c p cc v p cc

m c p

E pc mc

: <$; ;

%; ;$ D D $= >

&; ;%$; ;

%? @: $ & $ 0 % & $ 0 $;

%;;=; $ $ $ &; %

%; &?

$ &

Esta expresión ' ( ' ( ' (22 2 2tE pc mc$ & nos da la relación relativista entre el momento

lineal, p, y la energía total de la partícula, de masa m, sea de un electrón o de un protón.

Page 129: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 10

Defecto de masa y energía de enlace nuclear.- Conocidos los valores exactos de las masas del protón y del neutrón, se puede comparar la masa M de un núcleo atómico con la suma de las masas de todos los nucleones que constituyen el núcleo. Se ha encontrado que la masa de un núcleo es siempre menor que la suma de las masas de todos sus neutrones y protones. Este resultado es muy natural ya que el núcleo es un sistema fuertemente en-lazado de nucleones que se encuentran en un estado de energía mínimo.

La energía de enlace de un sistema es la energía desprendida cuando el sistema se forma o la energía que debemos suministrar al sistema para separarlo en sus componentes; es decir, en los nucleones individuales de un núcleo. La energía de enlace de un sistema de masa M, compuesto de partículas de masas mi se expresa por

n2

enlace ii 1

E m M c$

4 56 7$ %6 78 9E

La energía de enlace de un núcleo de masa M compuesto de A nucleones, de los que Z son protones y (A-Z) neutrones podemos escribir

' ( ' (2 2enlace p n p nE Z m A Z m M c J 931,48 Z m A Z m M c MeV+ , + ,$ & % % $ 3 & % %. / . /

En la primera expresión las masas en kg y en la segunda en unidades de masa ató-mica. Para la unidad de masa atómica (1u), a partir de E = mc2 = 931,48 MeV

2 2 819

1 eVE mc 1u c 9,3148 10 eV 931,48 MeV1,6 10 C 1 V%

$ $ ) 3 $ ) $) )

La energía de enlace de un núcleo (A nucleones y Z protones) relativa a todos los nucleones constituyentes será:

' ( ' (

' ( ' ( ' (

2enlace p n

1 2enlace at n at

E Z m A Z m M A,Z c

E Z M H A Z m M A,Z c

+ ,$ & % %. /+ ,$ & % %. /

La masa atómica difiere de la masa nuclear por una cantidad igual a la masa de Z electrones. La segunda ecuación es más conveniente ya que la masa de los átomos neutros se encuentra en las tablas.

Energía de enlace por nucleón. Dependencia con el número másico.- Una indicación de

la estabilidad de un núcleo es la energía de enlace promedio por nucleón enlaceEA

F $

La energía de enlace por nucleónGF es un máximo para núcleos en la región de núme-ro másico A=60. Por tanto, si dos núcleos ligeros se unen (fusión) forman un núcleo de ma-sa media y se libera energía, y si un núcleo pesado se divide (fisión) en dos fragmentos se libera también energía. El hecho de que la energía de enlace varíe menos del 10% por enci-ma de A=10 nos sugiere que cada nucleón en el núcleo interactúa sólo con sus inmediatos, independientemente del número total de nucleones presentes en el núcleo. El pequeño de-crecimiento después de A=60 se debe al efecto desestabilizador de la fuerza repulsiva de

50 100 150 200 250 A

2

4

8 10

Fe He U

Li 6

MeV Energía de enlace por nucleón (MeV) como función del número á i AF

F F H F I F %

Fisión ! Fusión +

Page 130: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 11

Coulomb entre protones. Si los valores de la energía enlazante por nucleón son calculados para todos los núcleos y dibujados en función de A y de Z obtenemos las gráficas siguientes:

Los núcleos más estables están determinados por la ecuación: Z=A/(1,98+0,015A2/3)

Análisis de la figura:

1) La energía enlazante por nucleón enlaceEA

F $ se incrementa rápidamente desde cero

para A=1 hasta 8 MeV para A=16, siendo el valor máximo 8,8 MeV para A!60 (58Fe y 62Ni), y entonces decrece gradualmente hasta 7,6 MeV para los elementos más pesa-dos encontrados en la Naturaleza, como el U.

2) El valor promedio de la energía enlazante por nucleón enlaceE8 MeV

AF $ $ es de 8 MeV

para la gran mayoría de los núcleos. Por lo que, en una primera aproximación, la energía enlazante del núcleo atómico Eenlace puede expresarse en términos del número másico: ' (enlaceE A 8 A MeVJ F J

3) Un análisis de la curva de la energía de enlace por nucleón y de la dependencia de la dependencia de la energía de enlace del número másico nos lleva a las siguientes con-clusiones: 1ª) Al ser los valores de la energía positivos para todos los núcleos nos indi-ca que las fuerzas nucleares son atractivas, siendo la energía de interacción entre los protones en el núcleo mayor que la energía de repulsión electrostática. Así, la energía promedio enlazante por nucleón es de 8 MeV, en el caso del helio-4 es de 7 MeV y la energía de repulsión electrostática para los dos protones a 1 fm es de 0,7 MeV. 2ª) La energía enlazante de un núcleo tiene una dependencia lineal con el número másico A y esto implica una saturación de las fuerzas nucleares. Así un nucleón interactúa con unos pocos a su alrededor y no con todos. Si cada nucleón en un núcleo interactuase con los (A-1) restantes, la energía enlazante total será proporcional a A∙(A-1)JA2 y no a A: 1∙(A-1)+2∙(A-1)+3∙(A-1)+....=A∙(A-1). Lo que implica que la saturación está relaciona-da con las interacciones de corto alcance. Así en núcleos pesados hay más neutrones que protones para mitigar la repulsión electrostática. 3ª) La energía enlazante por nu-cleón es especialmente grande en los núcleo par-par (Z par y N par). Los núcleos con número másico impar (Z par y N impar o Z impar y N par) tienen menor energía. Los núcleos impar-impar son radiactivos ya que tienen dos nucleones desapareados y me-nor energía enlazante por nucleón; sólo hay cuatro muy estables que son 2H; 6Li; 10B y 14N.

Los núcleos más estables son los que poseen los siguientes números de protones y/o neutrones: 2, 8, 20, 50, 82, 126 (éste último sólo neutrones).

Para núcleos pesados se puede producir una fisión y una desintegración alfa, y para núcleos ligeros una fusión. La energía de enlace de un núcleo (A nucleones y Z protones) relativa a todos los nucleones constituyentes será:

' ( ' ( 2enlace p nE A Z m A - Z m - M A,Z c+ ,$ F $ 3 & 3. /

Z

establesK'&(

K'%(

A

Eenlace

/AF

N

10

20

30

40

5060

708090

100

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Z

K%

K &

Page 131: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 12

Fisión: La fisión nuclear consiste en la división de un núcleo grande en dos núcleos de tamaño comparable

211 2

1 2AAAZ 1 2Z Z

1 2

A A AX X X

Z Z Z$ &: <

- & = >$ &? @

' (' ( ' (' ( ' (' ( ' (

' ( ' (

2 2p n

2 2 2fisión 1 2 1 1 1 1 p 1 1 n 1 1

2 22 2 2 2 p 2 2 n 2 2

2fisión 1 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2promedio

1 2

M A,Z c Z m A - Z m c - A

Q M M M c 0 M A ,Z c Z m A - Z m c - A

M A ,Z c Z m A - Z m c - A

Q M M M c A A A 0

A A A AA A A

: + ,$ 3 & 3 F. /;; + ,+ ,$ % & L $ 3 & 3 F=. / . /;

+ ,$ 3 & 3 F; . /?

+ ,$ % & $ %F % %F % F L. /

F & F F & FF $ $

&

' (

1 1 2 2 promedio

fisión promedio promedio

A A A

Q A A A 0

:D F & F $ F 3=

?

$ %F & F $ F % F L

Fusión: La fusión nuclear consiste en la unión de dos núcleos que colisionan en un núcleo mayor

211 2

1 2AA A1 2 ZZ Z

1 2

A A AX X X

Z Z Z& $: <

& - = >& $? @

' (' ( ' (' ( ' (' ( ' (

' ( ' (' (

2 21 1 1 1 p 1 1 n 1 1

2 2 2fusión 1 2 2 2 2 2 p 2 2 n 2 2

2 2p n

2fusión 1 2 1 1 2 2

fusión promedio promedio

M A ,Z c Z m A - Z m c - A

Q M M M c 0 M A ,Z c Z m A - Z m c - A

M A,Z c Z m A - Z m c - A

Q M M M c A A A 0

Q A A A 0

: + ,$ 3 & 3 F. /;; + ,+ ,$ & % L $ 3 & 3 F=. / . /;

+ ,$ 3 & 3 F; . /?

+ ,$ & % $ %F % F & F L. /

$ F % F $ F % F L

Radiactividad. Leyes.-

Muchos núcleos son combinaciones estables de nucleones. Sin embargo, algunas combinaciones de protones y neutrones no constituyen una configuración nuclear estable. Estos núcleos son inestables o radiactivos. Los núcleos inestables tienden a alcanzar una configuración estable por pérdida de ciertas partículas y de energía. Estas partículas se ob-servaron por primera vez a finales del siglo XIX por Becquerel (1852-1908), Pierre (1859-1906) y Marie Curie (1867-1934), y les llamaron partículas alfa(!) y beta(ß).

La radiación desde los núcleos radiactivos se analizó en experimentos en los que se desviaba la radiación en campos eléctricos y magnéticos, así como su absorción en la mate-ria. El resultado de los experimentos llevó a establecer que las sustancias radiactivas emiten tres tipos de radiación y, posteriormente, en 1911 Rutherford estableció que el núcleo ató-mico es la fuente de los tres tipos de radiación:

1) Radiación alfa(!), constituida de partículas pesadas y positivas que se mueven a una velocidad de unos 107 ms-1 y son absorbidas por una hoja de Al de unos pocos micró-metros de espesor. Posteriormente, se demostró por análisis espectral que son núcleos de 4He, compuestos de dos protones y dos neutrones.

2) Radiación beta(ß), constituida de partículas ligeras y cargadas que se mueven a una velocidad próxima a la velocidad de la luz y absorbidas por una hoja de Al de 1 mm de espesor. Las partículas beta (ß) son electrones, que lleva una carga negativa e-, o posi-trones, con una carga e+. Los dos tipos de desintegración radiactiva beta (ß) se llaman ß- y ß+. En la desintegración-ß, también se emite un neutrino.

3) Radiación gamma, γ, es una radiación muy penetrante que no se desvía en los campos eléctricos ni magnéticos. Su naturaleza es electromagnética y de longitud de onda in-ferior a los rayos-x.

Page 132: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 13

Leyes de la desintegración radiactiva:

Una investigación detallada de la radiactividad por Rutherford en 1902 le llevó a des-cubrir un isótopo del gas radiactivo radón (Rn). El radón se obtiene como resultado de la desintegración ! del Ra. Y una característica importante de este gas es que su actividad de-crece notablemente con el tiempo. Así, después de pasar 3,8 días 1

2T su actividad se reduce

a la mitad. Después de otros 3,8 días la actividad se reduce a la cuarta parte de su valor inicial, y así sucesivamente. Por lo que después de un tiempo t la actividad inicial A0 será

11 22

12

tT

tln 2

T

tln A ln A ln2T

A A 2

A A e

%

%

: $ %;;$ ) =;; $ )?

#

#

#

Este fenómeno, se interpretó como un decrecimiento en el número inicial N0 de áto-mos radiactivos

121

2

12

tT

tln 2

T

tlnN lnN ln2T

N N 2

N N e

%

%

: $ %;;;$ ) = 4 5; 6 7; 8 9$ );?

#

#

#

El tiempo 12

T en el que el número inicial N0 de átomos radiactivos se ha reducido a

la mitad se llama período de semidesintegración. El 12

T es diferente para elementos diferen-

tes pero es siempre el mismo para un isótopo determinado. Su rango varía desde 3∙10-7 s (212Po) hasta 5×1015 años (144Nd).

La radiactividad es una propiedad de los núcleos o, para ser más precisos, del estado de los núcleos. Es imposible alterar el proceso de la desintegración radiactiva sin cambiar el estado de los núcleos. Por lo que la probabilidad M de desintegración radiactiva por unidad de tiempo es constante para un núcleo dado en un estado determinado de energía.

Esto significa que el número dN de procesos de desintegración radiactiva en un tiempo dt se determina sólo por el número de núcleos radiactivos N en un instante dado de tiempo t: dN Ndt$ %M

La probabilidad M de desintegración aparece en esta ecuación como un coeficiente llamado la constante de desintegración y se expresa en s-1 (o en el inverso de cualquier unidad de tiempo). El signo menos indica que la cantidad de sustancia decrece con el tiem-po. Solucionando la ecuación anterior obtenemos la siguiente ley de variación del número de núcleos radiactivos con el tiempo:

½A0

¼A0

T½2∙T½

A=A 0∙exp(-t∙ln2/T½)

A 0

t

N0

½N0

¼N0

T½ 2∙T½

t

N=N0∙exp(- M ∙t) M ∙T½=ln2

Page 133: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 14

t

NdN Ndt ln tNdN dt

N N N e%M

: 4 5$ %M: $ %M; 6 7; D= = 8 9$ %M; ;? $?

#

#

Si sustituimos el tiempo t en esta ecuación por 12

T , período de semidesintegración,

que es el tiempo para que los núcleos se reduzcan a la mitad, obtenemos la relación entre la constante de desintegración λ y el período de semidesintegración 1

2T

12 1

2

121

2

12 Nt T

ln T ln2N1 TN N ln2 T2

:$: $ %M;; D D M $= =$; ; $ M? ?

#

##

Actividad:

La actividad de una sustancia radiactiva nos mide la rapidez en la desintegración ra-diactiva o el número de desintegraciones por segundo.

12

dN NdtdN ln2Actividad: N Ndt T

$ %M

$ %M $ %

La velocidad de desintegración (dN/dt) es proporcional al número de núcleos presen-tes. Por tanto, la velocidad de desintegración o actividad decrece en la misma proporción con el período de semidesintegración como con el número de núcleos.

La velocidad de desintegración se expresa en curies (Ci). El curie se define como la actividad de una sustancia cuando 3,70∙1010 núcleos se desintegran por segundo. Esta velocidad es igual a la actividad de 1 g de Ra. En el S.I. la unidad de actividad es el becque-rel (Bq). Un becquerel es igual a una desintegración por segundo: 1 Ci=3,70∙1010 Bq.

Para medir la actividad se mide el número de desintegraciones por unidad de tiempo (dN/dt) para un número dado N de núcleos radiactivos. La medida se realiza con una cáma-ra de ionización, uno de cuyos electrodos está recubierto con una capa de material radiacti-vo.

Las medidas de la actividad del radio demostraron que 1 g de radio (Ra) experimenta 3,70∙1010 desintegraciones por segundo, que corresponde al período de semidesintegración siguiente:

12

12

12

23 21átomosátomos A A molg

mol

21 1010 átomos

s

m 1gN n N N 6,022 10 2,665 10 átomosPa 226

dN Ndtln2dN ln2 T NActividad: N N dN

dt Tdt

ln2 ln2T N 2,665 10 átomos 4,99 10 s 1580añosdN 3,7 10dt

$ 3 $ 3 $ 3 ) $ )

$ %M: <; ; D $ %= >$ %M $ %; ;? @

$ % $ % ) $ ) $% )

Las ecuaciones que hemos obtenido

t

t

NdN Ndt ln tNdN dt

N N eN

dN NdtdN N N edt

%M

%M

:$ %M: $ %M; ;D= =$ %M; ; $? ?$ %M:

;=

$ %M $ %M;?

#

#

#

Page 134: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 15

son leyes estadísticas, que son válidas sólo cuando el número de núcleos es muy grande. Por tanto, no podemos hablar de período de semidesintegración de un sólo núcleo o predecir cuándo un núcleo dado se desintegrará. Por otra parte, λ da la probabilidad por unidad de tiempo para desintegrar un núcleo.

Cada vez que ocurre una desintegración el número de núcleos radiactivos decrece. Por tanto, la actividad será igual a la variación en el número de núcleos que se desintegran por el intervalo de tiempo considerado. Mientras la desintegración de un núcleo individual ocurre completamente al azar, el número de desintegraciones por segundo que tienen lugar en una muestra es proporcional al número de núcleos radiactivos presentes.

Vida media:

El proceso de desintegración radiactiva viene dado por una función exponencial. Por lo tanto, en cualquier instante de tiempo t (lejano desde el instante inicial), siempre hay nú-cleos sin desintegrar con un tiempo de vida mayor que t. Por el contrario, todos los núcleos que han experimentado la desintegración en el instante t han tenido un tiempo de vida me-nor que t. Los núcleos que se estén desintegrando en el instante t tienen un tiempo de vida exactamente igual a t, y el número de esos núcleos será:

t(t)

dN Ndt

dN N e dt%M

$ %M

$ M #

Podemos calcular el tiempo de vida promedio 1%N $ M de un determinado núcleo radiactivo calculando el valor promedio de tiempo t:

' (' (

' ( ' (

t

t0 0

0

0

t t t t

00 0 0

t dN t N e dtt t e dt

NdN

1 1t e dt t e e dt 0 e

O O%M

O%M

O

OO OO%M %M %M %M

:) M;

;N $ $ $ $ M;;=;; + ,+ ,N $ M $ % % % $ % $; A B. / M M. /;?

C CC

C

C C

#

#

1) La vida media o tiempo de vida promedio de un núcleo radiactivo es el inverso de la constante de desintegración.

2) La constante de desintegraciónGtiene el significado físico de la probabilidad de desinte-gración, es decir, la fracción de desintegraciones que tienen lugar por unidad de tiem-po, o fracción de núcleos que se desintegran en un segundo.

Radiactividad natural y artificial: Radiactividad Alfa: La desintegración alfa o radiactividad alfa consiste en la emisión de una partícula 4He que es un núcleo de helio, constituido de dos protones y dos neutrones. Cuando un núcleo se desintegra y emite una partícula 4He el núcleo hijo tiene un número atómico con dos unidades menos y un número másico con cuatro unidades menos que su padre:

A A 4 4Z Z 2 2238 234 4

92 90 2

X Y He

U Th He

%%- &

- &

Las partículas tienen una estabilidad muy alta por lo que se comporta como una única partícula, similar a los protones y los neutrones, y se llaman heliones. La energía po-tencial de interacción de una partícula con el resto del núcleo, que es similar a la de un protón, se indica en la figura siguiente:

Page 135: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 16

Ep

E

0

AtracciónNuclear

rRadioNuclear

RepulsiónCoulomb

BarreraPotencial

Energía cinéticapartícula- !

Nivel deEnergíade !

La energía de las partículas 4He (de 4 a 9 MeV) es menor que la altura de la barrera de Coulomb (de unos 40 MeV para muchos emisores de partículas 4He) en la superficie del núcleo, y la partícula 4He puede escapar sólo penetrando la barrera de potencial. La proba-bilidad de desintegración por unidad de tiempo M puede calcularse en términos de la pro-babilidad P de penetración de la barrera. La cantidad P se determina usando métodos me-cánico-cuánticos. Los resultados coinciden bastante bien con los valores experimentales de M .

La energía liberada en la desintegración-alfa 4He se obtiene del cambio de masa que ocurre en el proceso: Q=(mX-mY-m)c2. Para que la desintegración ocurra naturalmente es necesario que Q>0. Cuando las masas se expresan en unidades de masa atómicas y Q se expresa en MeV la ecuación será: Q=931,48∙(mX-mY-m!).

Es importante destacar que la desintegración alfa es un proceso de dos cuerpos y es equivalente a la explosión de una granada en dos fragmentos. El exceso de energía del nú-cleo radiactivo se desprende en forma de energía cinética de la partícula alfa y del núcleo hijo. Además, se ha de conservar el momento lineal. Por tanto, la conservación de la energía y del momento lineal requiere que, para cada desintegración-, las partículas han de tener una energía definida, lo que se ha confirmado experimentalmente. Sin embargo, la energía de las partículasG es ligeramente menor que Q porque parte de la energía se la lleva el nú-cleo hijo en su retroceso.

En muchos casos, las partículas procedentes de un núcleo no tienen todas las mismas energías. Por ejemplo, las partículas procedentes del 238U tienen energías de 4,18 MeV y 4,13 MeV. Esto se debe a que aunque el núcleo padre puede estar en su estado fun-damental, el núcleo hijo se puede formar en su estado fundamental o en un estado excitado.

Por ejemplo, la desintegración 4He del 212Bi a 208Tl tiene un exceso de energía de 6,203 MeV (estando los dos núcleos en sus estados fundamentales) y puede hacerlo de seis formas distintas, siendo las energías de las partículas desde 5,584 MeV hasta 6,203 MeV por lo que las partículas ! estarían acompañadas de radiación 0

212 208 483 81 2Bi Tl He- &

Ejemplo: Calcula la energía cinética de las partículas- emitidas desde el 232U. El proceso de desintegración: 232 228 4U Th He- & .

Las masas m(232U) = 232,1095u; m(228Th) = 228,0998u; m(4He) = 4,0039u.

Solución: A partir de la ecuación Q=931,48∙(mX-mY-m!)=5,40 MeV. Al ser Q>0 el proceso es espontáneo. La energía se distribuye entre la partícula- y el núcleo hijo en proporción in-versa a sus masas.

E’c(Th)=(p’Th)2/(2mTh)=Q∙m!/(mTh+m!)=0,10 MeV

E’c(!)=(p’!)2/(2m!)=Q∙mTh/(mTh+m!2)=5,30 MeV

Page 136: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 17

Las energías de los fragmentos de un cuerpo, inicialmente en reposo en el sistema-L, que explota en dos fragmentos de masas m1 y m2. Si el cuerpo está inicialmente en reposo, su momento lineal total es cero, después de la explosión los dos fragmentos separados en dirección opuesta con momentos p y p’ tal que p’1+p’2=0. Siendo los módulos iguales p’1=p’2 y la suma de las energías cinéticas inicial Ec(i)=0 y la final

E’c(f)=E’c(1)+E’c(2)=(p’1)2/(2m1)+(p’2)2/(2m2)=½∙[(1/m1)+(1/m2)]∙(p’1)2=Q

(p’1)2=(p’2)2=[2∙Q∙(m1∙m2)/(m1+m2)]

E’c(1)=(p’1)2/(2m1)=Q∙m2/(m1+m2)

E’c(2)=(p’2)2/(2m2)=Q∙m1/(m1+m2)

Radiactividad Beta:

Los núcleos que tienen demasiados neutrones comparados con el número de proto-nes pueden ser inestables y emitir electrones, proceso llamado desintegración- %K . El núcleo hijo tiene el mismo número másico, A, pero un número atómico mayor en una unidad que el núcleo padre. Es decir, en la desintegración-ß- un neutrón se sustituye por un protón:

A A 0Z Z 1 1X Y e& %- &

La carga total se conserva ya que Ze=(Z+1)e-1e. El número de nucleones también se conserva ya que A permanece constante. Por ejemplo, el 14C se transforma de acuerdo con el siguiente esquema:

14 14 06 7 1C N e%- &

Los núcleos que tienen, relativamente, un mayor número de protones comparado con los neutrones también pueden ser inestables y sufrir una desintegración- &K , un proceso que consiste en la emisión de positrones (con carga +e), que son partículas con la misma masa y espín que los electrones, pero su carga es positiva. En la desintegración- &K el núme-ro atómico del núcleo hijo es menor en una unidad, con lo que cumple la ley de conserva-ción de la carga, pero su número másico es el mismo que el del núcleo padre, con lo que cumple la ley de conservación de los nucleones. Por tanto, en la desintegración- &K un protón se sustituye por un neutrón:

A A 0Z Z 1 1X Y e%- &

Por ejemplo, el 11C se transforma de acuerdo con el siguiente esquema 11 11 06 5 1C B e- &

El núcleo hijo resultante de una desintegración-K puede estar en su estado funda-mental o en un estado excitado; en el último caso los procesos van seguidos por emisión- 0

F20

20 14

14

Ne N

O

ß ß- +

0 0

5,41 MeV1,84 MeV

1,63 2,30

64

64

64

Cu

Ni

Zn

29

28

30

ß ß+ -

00

0

0

0,57 MeV

0

Page 137: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 18

En la figura podemos ver algunos esquemas de desintegración de emisores-K . Una característica interesante de la desintegración-K es que los electrones y los positrones son emitidos con un rango muy amplio de energías cinéticas y momentos, desde cero hasta el máximo compatible con la energía total posible. Es decir, los electrones y los positrones tie-nen un espectro continuo de energía.

Sin embargo, las ecuaciones de la desintegración-K son procesos de dos cuerpos, similares a la desintegración-! , y las leyes de conservación de la energía y del momento li-neal requieren que en el centro del sistema centro de masas, donde el núcleo padre está en reposo, la energía liberada debe dividirse en una relación fija entre el núcleo hijo y el elec-trón o positrón. Esto está en contradicción con los resultados experimentales.

Esta dificultad la solucionó Wolfgang Puli en 1930 considerando que debe estar im-plicada otra partícula en la desintegración-K . Esta tercera partícula debe ser neutra para cumplir con la ley de conservación de la carga, y de masa muy pequeña, ya que la masa to-tal se toma en cuenta en las dos partículas observadas. Por estas dos razones la nueva par-tícula se llamó neutrino (propuesto por Enrico Fermi que significa pequeño neutrón). Se ha encontrado que hay dos tipos de partículas, casi idénticas, asociadas a la desintegración-K .

Una de ellas, el neutrino, se emite en la desintegración- &K , mientras la partícula emitida en

la desintegración- %K es un antineutrino. Por tanto, los procesos de desintegración-K deben reescribirse de la siguiente forma:

A A 0Z Z 1 1 eA A 0Z Z 1 1 e

: X Y e

: X Y e

%& %

&%

K - & & #

K - & & #

$

P Q P QP Q P Q

2 2e at at e

2 2e at at e

E M(A,Z) M(A,Z 1) m c M (A,Z) M (A,Z 1) 2m c 0

E M(A,Z) M(A,Z 1) m c M (A,Z) M (A,Z 1) 2m c 0

%

&

K

K

$ % & % $ % & % L

$ % % % $ % % % L

3 3 01 2 1 e14 14 06 7 1 e

234 234 090 91 1 e

11 11 06 5 1 e

: H He e

: C N e

: Th Pa e

: C B e

%%

%%

%%

&

K - & & #

K - & & #

K - & & #

K - & & #

$

$

$

El neutrino es el que lleva la energía y el momento lineal necesario para restablecer la conservación de las dos cantidades. Además, el neutrino debe tener espín ½ para com-pensar el espín del electrón y asegurar la conservación del momento angular. En el centro del sistema de referencia centro de masas el momento lineal de las tres partículas resultan-tes debe ser cero. Pero hay un número infinito de formas en las que la energía total liberada se puede repartir entre las tres y es preciso explicar la distribución continua de energía de los electrones y positrones.

X

P

P

P#

e En algunos casos un núcleo puede capturar un electrón de las capas atómicas más internas, tal como un electrón-K. Estos electrones están en orbítales muy próximos al nú-cleo, por lo que su probabilidad de ser capturados por un protón es relativamente grande. Este proceso se llama captura electrónica (EC), el resultado es la sustitución de un protón por un neutrón en el núcleo hijo. El proceso se expresa por:

Page 138: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 19

- A 0 A

Z 1 Z 1 e- 7 0 7

4 1 3 e

Captura-e : X e Y

Captura-e : Be e Li% %

%

& - & #

& - & #

P Q P Q2 2CE e at atE M(A,Z) m M(A,Z 1) c M (A,Z) M (A,Z 1) c 0$ & % % $ % % L

El neutrino fue una interesante invención para salvar dos leyes de conservación. Cuando se analizan los resultados experimentales se determina que la masa de los neutri-nos es muy pequeña del orden de 10-3me y para muchos propósitos se considera que la ma-sa es cero. El neutrino es insensible a los campos eléctricos y magnéticos. De hecho no se observó hasta 1956.

Se puede explicar el proceso de desintegración-K considerando lo siguiente:

1) En la desintegración- %K un neutrón se transforma en un protón de acuerdo con el si-

guiente esquema 1 1 00 1 1 en p e%- & & #$

2) En la desintegración- &K un protón se transforma en un neutrón de acuerdo con los

esquemas 1 1 01 0 1 e1 0 11 1 0 e

p n e

p e n%

: - & & #;=

& - & #;?

En cualquiera de los tres caminos un núcleo se desprende de sus neutrones o proto-nes en exceso sin desprenderse de ellas o sin emitirlas. Sin embargo, la masa de un neutrón excede, en 0,728 MeV, la suma de las masas del protón y del electrón, con lo que el primer proceso puede tener lugar con neutrones libres y se ha observado que estos se desintegran de esa forma, con un período de semidesintegración de 12 minutos. Por otra parte, el se-gundo proceso no puede ocurrir con los protones libres. Puede ocurrir sólo en núcleos don-de los protones pueden usar parte de la energía enlazante del núcleo para la desintegración. Esto explica por qué el hidrógeno es muy abundante en el Universo pero no hay neutrones libres.

Del análisis experimental de muchas desintegraciones-ß y de la necesidad de expli-car las transformaciones de protones en neutrones y de los neutrones en protones, se ha llegado a la conclusión que el proceso se puede deber a una interacción especial diferente de la fuerza nuclear y llamada interacción débil. La intensidad de la interacción débil es del or-den de 10-14 cuando se compara con la fuerte o interacción nuclear, o alrededor de 10-12 cuando se compara con la interacción electromagnética.

Radiación gamma:

La radiación gamma es la emisión espontánea de un cuanto- 0 por el núcleo. Por la emisión de un cuanto- 0 el núcleo pasa desde un estado excitado a otro con menor energía (radiación o transición radiativa). La radiación 0 es una radiación electromagnética de corta longitud de onda de origen nuclear. La energía del cuanto-γ nuclear varía desde 10 keV a 5 MeV. Es una radiación altamente penetrante que no se desvía por un campo eléctrico o magnético. Es una radiación de longitud de onda muy corta, mas corta que la de los Rayos-X. Radiactividad artificial: Fue descubierta en 1934 por los esposos Frederic e Irene Curie cuando estaban es-tudiando reacciones nucleares producidas por bombardeo de elementos ligeros con partícu-las alfa. Una de las reacciones que observaron

*10 4 14 13 15 2 7 7 0B He N N n+ ,& - - &. /

El núcleo 13N es inestable y se desintegra de acuerdo al siguiente esquema 13 13 07 6 1 eN C e- & & #

Page 139: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 20

Una forma de producir núcleos que tengan radiactividad- %K es por captura neutró-nica, por lo que una muestra del material se expone a un flujo fuerte de neutrones. Por ejemplo, cuando el 59Co es bombardeado con neutrones se produce 60Co, que es radiactivo-%K y se desintegra en 60Ni que tiene un T½ de 5,27 años y la emisión de electrón y dos rayos

gamma de energías 1,17 MeV y 1,33 MeV: 59 1 60 60 027 0 27 28 1 1 2Co n Co Ni e%& - - & & # & 0 & 0$

El radio-núcleo 60Co es muy usado en radioterapia y para el análisis de los defectos en las estructuras metálicas. Una serie interesante de reacciones son aquellas que resultan cuando isótopos del 92U capturan un neutrón y su posterior desintegración- %K que produ-cen nuevos núcleos con Z=93 (Np), Z=94 (Pu), Z=95 (Am), hasta Z=109 llamados transurá-nidos.

Leyes de conservación que se han de cumplir en todos los procesos radiactivos:

1) Conservación de la masa/energía.

2) Conservación de la carga eléctrica.

3) Conservación del momento lineal.

4) Conservación del momento angular.

5) Conservación del número de nucleones.

Familias radiactivas:

Cuando un núcleo inestable se descompone radiactivamente los núcleos resultantes, algunas veces, son también radiactivos, y así sucesivamente hasta llegar a producirse un núcleo estable. Esta radiactividad secuencial de un núcleo después de otro se llama serie de desintegración radiactiva o familia radiactiva. Ejemplo:

206

210

214

218

222

226

230

234

238

Hg Tl Pb Bi Pb At Rn Fr Ra Ac Th Pa U

A

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

!

K

Reacciones nucleares. Fisión y fusión.-

Cuando dos núcleos se acercan dentro del rango de las fuerzas nucleares, venciendo sus fuerzas de repulsión de Coulomb, se puede producir una redistribución de nucleones. Esto puede resultar en una reacción nuclear, similar al reagrupamiento de átomos en molé-culas que reaccionan durante una reacción química. Las reacciones nucleares se producen, usualmente, bombardeando un núcleo, que hace de blanco, con un proyectil nuclear, en muchos casos un nucleón (neutrón o protón) o un núcleo ligero como el deuterón o una par-tícula-.

Page 140: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 21

En general, cuando la energía de las partículas implicadas no es demasiado alta, una reacción nuclear ocurre en dos etapas. Primera, la partícula entrante o proyectil es captura-do, resultando la formación de un intermediado o compuesto nuclear, el cual está en un es-tado altamente excitado. En la segunda etapa, el compuesto nuclear pierde energía, bien emitiendo una partícula, que podría ser la misma que la partícula entrante, o por algún otro medio. Por ejemplo, el bombardeo del nitrógeno-14 por partículas-! (En 1919 Rutherford observó que cuando una partícula alfa choca con un núcleo de nitrógeno, se produce un núcleo de oxígeno y un protón)

' (

*14 4 18 1 177 2 9 1 8

14 177 8

N He F H O

N ,p O

+ ,& - - &. /

!

Generalmente, una vez producida la primera etapa en una reacción nuclear hay dis-tintos modos de pérdida de energía para el compuesto nuclear. Por ejemplo, cuando se bombardea el alumnio-27 con protones se obtienen varios productos:

*27 1 28 24 413 1 14 12 2

*27 1 28 27 113 1 14 14 0

*27 1 28 2813 1 14 14

*27 1 28 24 1 113 1 14 11 1 0

Al H Si Mg He

Al H Si Si n

Al H Si Si

Al H Si Na 3 H n

+ ,& - - &. /

+ ,& - - &. /

+ ,& - - & 0. /

+ ,& - - & &. /

Leyes de conservación en una reacción nuclear: Las reacciones nucleares son esencial-mente procesos de colisión en los que se deben conservar la energía, el momento lineal, el momento angular, el número de nucleones y la carga.

Si la partícula entrante y saliente son las mismas el proceso se llama dispersión. La dispersión es elástica si el núcleo queda en el mismo estado y se conserva la energía cinéti-ca, e inelástica si el núcleo permanece en un estado diferente y la energía cinética de la par-tícula entrante es distinta de la saliente.

Las reacciones nucleares frecuentemente se escriben en una notación corta:

' (' (

' (

10 1 4 75 0 2 3

10 75 3

25 2412 1113 146 7

B n He Li

B n, Li

Mg ,p Na

C p, N

: & - &;=

!;?

0

0

Las transmutaciones nucleares inducidas pueden usarse para producir isótopos que no se encuentran en la Naturaleza. En 1934, Enrico Fermi sugirió un método para producir elementos con un alto número atómico, superior al U (Z=92). Estos elementos se llaman elementos transuránidos y ninguno de ellos existen en la Naturaleza. Ellos son creados en una reacción nuclear.

Por ejemplo el Pu se obtiene a partir del U mediante las siguientes reacciones

' ( ' (1 12 2

238 1 239 239 0 239 092 0 92 93 1 94 1U n U T 23,5 ' Np e T 2,4dias Pu e% %& - & 0 $ - & & 0 $ - & & 0

Fisión nuclear: La fisión nuclear consiste en la división de la masa nuclear 235U y 90Th) en dos frag-mentos de tamaño comparable. La fisión como proceso natural es muy rara, el 238U fisiona espontáneamente con un T½ de aproximadamente 1016 años. Un método de producir la fi-sión artificialmente es excitar el núcleo. El umbral o energía mínima de activación requerida para la fisión de un núcleo pesado es de 4 a 6 MeV. Otro método de fisión inducida es por captura neutrónica. La energía enlazante de la captura neutrónica es, en algunos casos, su-ficiente para excitar el núcleo por encima de la energía umbral y la división se produce. Este es el caso del 235U, que en 1939 cuatro científicos alemanes (Otto Hahn, etc.) descubrieron

Page 141: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 22

que un núcleo de U, después de absorber un neutrón, se rompe en dos fragmentos, con una masa menor que el núcleo original

235 1 236 141 92 192 0 92 56 36 0

235 1 236 140 94 192 0 92 54 38 0

U n U Ba Kr 3 n

U n U Xe Sr 2 n

+ ,& - - & &. /+ ,& - - & &. /

Algunas reacciones producen hasta 5 neutrones, siendo el número promedio de 2,5 neutrones.

Cuando un neutrón colisiona con un núcleo de U y es absorbido, el núcleo comienza a vibrar y se distorsiona. La vibración continúa hasta que la distorsión viene a romper la fuerza nuclear fuerte atractiva y predomina la fuerza de repulsión electrostática entre los protones nucleares. En el momento en que el núcleo se rompe en sus fragmentos expulsa su energía en forma de energía cinética. La energía desprendida por los fragmentos es muy grande y en el núcleo original estaba en forma de energía potencial eléctrica. En promedio unos 200 MeV de energía es desprendida por fisión.

En la naturaleza el 92U está compuesto fundamentalmente de dos isótopos, el ura-nio-238 238U (99,275%) y el uranio-235 235U (0,720%). El fisionable es el uranio-235 ya que captura el neutrón, con una energía cinética de 0,004 eV o menor. También es fisionable el plutonio-239. El hecho de que en el proceso de fisión se produzcan neutrones (una media de 2,5 por fisión) hace que el proceso se pueda auto-sostener. Una reacción en cadena es una serie de fisiones nucleares donde algunos de los neutrones producidos por cada fisión causa fisiones adicionales.

Para otros núcleos, la energía enlazante del neutrón capturado no es suficiente para que la fisión tenga lugar y le neutrón debe tener también energía cinética. Esto es lo que le ocurre al 238U, que se fisiona sólo después de capturar un neutrón rápido con una energía cinética del orden de 1 MeV. La captura de neutrones lentos lleva a la producción de Np y Pu:

' ( ' (1 12 2

*238 1 239 239 0 239 092 0 92 93 1 94 1U n U Np e T 23,5 ' Pu e T 2,4dias% %+ ,& - - & & # & 0 $ - & & # & 0 $. / $ $

Por esta razón se producen grandes cantidades de Pu en los reactores nucleares. La razón para este diferente comportamiento está ligada con la estructura de los distintos nú-cleos. El núcleo 235U es par-impar, con 92 protones y 143 neutrones, y cuando captura un neutrón se forma un núcleo par-par 236U. El neutrón capturado se aparea con el último neutrón impar del 235U eliminando la energía del apareamiento que es de 0,57 MeV.

Sin embargo, el 238U es un núcleo par-par, con 92 protones y 146 neutrones, todos apareados, y cuando captura un neutrón se forma un núcleo par-impar, el 239U, que no tie-ne energía extra. Por la misma razón el 239Pu con 145 neutrones experimenta la fisión por captura de neutrones lentos.

Reacciones de fisión:

Los procesos de fisión tienen dos propiedades que hacen que estos procesos tengan aplicaciones prácticas: uno es que en la fisión se eliminan neutrones y el otro es que se libe-ra energía.

Para los núcleos pesados, tal como el U, la relación de neutrones a protones N/Z ≈ 1,55. Esta será también la relación de los fragmentos resultantes. Sin embargo, para los núcleos estables de masa media la relación N/Z ≈ 1,30. Esto significa que los fragmentos re-sultantes tienen demasiados neutrones y algunos se eliminan al mismo tiempo que ocurre la fisión. El número promedio de neutrones eliminados por fisión es de 2,5. Por la misma razón, los fragmentos presentan radiación-ß-.

La energía es eliminada en la fisión nuclear porque la energía enlazante por nucleón es menor en los núcleos pesados que en los núcleos de masa media. Para un núcleo pesado, la energía enlazante es de 7,5 MeV por nucleón, pero para un núcleo de masa media, co-rrespondiente a los dos fragmentos de la fisión, es de 8,4 MeV por nucleón, resultando un incremento de la energía enlazante de 0,9 MeV por nucleón, o un total de unos 200 MeV pa-ra todos los nucleones en un núcleo de U. Este es el orden de magnitud de la energía libera-

Page 142: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 23

da en la fisión de un núcleo de U, que aparece como energía cinética de los dos fragmentos, de los neutrones liberados y de los productos de desintegración (electrones y neutrinos) re-sultantes de la desintegración-ß de los fragmentos radiactivos, además de radiación elec-tromagnética. Como los neutrinos emitidos en la desintegración-ß normalmente escapan del material en el que tiene lugar la fisión, sólo unos 185 MeV por átomo se pueden retener, una energía que es todavía considerablemente mayor que la energía liberada en una reac-ción química, que es del orden de 3 a 10 eV por átomo.

El hecho es que por cada neutrón absorbido para producir una fisión, se emiten más de dos neutrones, como promedio, lo que hace posible una reacción en cadena. Es decir, si después de cada fisión, al menos uno de los nuevos neutrones produce otra fisión, y de los neutrones liberados en ésta al menos uno produce una nueva fisión, y así sucesivamente, el resultado es un proceso auto-sostenido o sin parar. Estas reacciones en cadena son muy corrientes en química. Por ejemplo, la combustión es una reacción en cadena y requiere que una molécula tenga cierta energía de excitación para que se pueda combinar con una molé-cula de oxígeno. Excepto las primeras moléculas que están excitadas y se combinan con el oxígeno, la energía liberada es suficiente para excitar más moléculas del combustible y el resultado es la combustión.

Si, en cada etapa de un proceso en cadena de fisión, se produce más de un neutrón por fisión que a su vez produce una nueva fisión, el número de fisiones se incrementa expo-nencialmente y el resultado es una reacción en cadena divergente. Esto es lo que ocurre en una bomba atómica. Pero si los procesos se controlan de tal forma que sólo un neutrón de cada fisión produce una nueva fisión, una reacción en cadena constante se mantiene bajo condiciones controladas. Esto es lo que ocurre en un reactor nuclear.

En los reactores nucleares rápidos los neutrones se usan con la misma energía, de 1 a 2 MeV, con la que se liberan en los procesos de fisión. Pero en los reactores nucleares térmicos los neutrones, en primer lugar, se frenan haciendo que colisionen con átomos de una sustancia, llamado moderador, hasta que alcancen un equilibrio térmico con la sustan-cia y los neutrones se llaman térmicos. El moderador debe ser una sustancia con un núme-ro másico pequeño y que no capture neutrones. El agua, el agua pesada y el grafito son sus-tancias muy empleadas.

Fisión:

La fisión nuclear consiste en la división de un núcleo grande en dos núcleos de ta-maño comparable

' (' ( ' (' ( ' (' ( ' (

21

1 2

239 1 141 96 194 0 58 42 0

1 2AAAZ 1 2Z Z

1 2

2 2p n

2 2 2fisión 1 2 1 1 1 1 p 1 1 n 1 1

2 22 2 2 2 p 2 2 n 2 2

fisi

Pu n Ce Mo 3 nA A A

X X XZ Z Z

M A,Z c Z m A - Z m c - A

Q M M M c 0 M A ,Z c Z m A - Z m c - A

M A ,Z c Z m A - Z m c - A

Q

& - & &

$ &: <- & = >$ &? @

: + ,$ 3 & 3 F. /;; + ,+ ,$ % & L $ 3 & 3 F=. / . /;

+ ,$ 3 & 3 F; . /?

' ( ' (

' (

2ón 1 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2promedio 1 1 2 2 promedio

1 2

fisión promedio promedio

M M M c A A A 0

A A A AA A A

A A A

Q A A A 0

+ ,$ % & $ %F % %F % F L. /: F & F F & FF $ $ D F & F $ F 3=

&?

$ %F & F $ F % F L

Fusión:

La fusión nuclear consiste en la unión de dos núcleos que colisionan en un núcleo mayor

1 1 2 01 1 1 1 e1 2 3 01 1 1 1 e

H H H e 1,35 MeV

H H H e 4,6 MeV

& - & & # &

& - & & # &

Page 143: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 24

' (' ( ' (' ( ' (' ( ' (

' ( ' (

21

1 2

1 2AA A1 2 ZZ Z

1 2

2 21 1 1 1 p 1 1 n 1 1

2 2 2fusión 1 2 2 2 2 2 p 2 2 n 2 2

2 2p n

2fusión 1 2 1 1 2 2

A A AX X X

Z Z Z

M A ,Z c Z m A - Z m c - A

Q M M M c 0 M A ,Z c Z m A - Z m c - A

M A,Z c Z m A - Z m c - A

Q M M M c A A A

& $: <& - = >& $? @

: + ,$ 3 & 3 F. /;; + ,+ ,$ & % L $ 3 & 3 F=. / . /;

+ ,$ 3 & 3 F; . /?

+ ,$ & % $ %F % F & F L. /

' (fusión promedio promedio

0

Q A A A 0$ F % F $ F % F L

Debido a la repulsión Coulombiana, el núcleo que colisiona debe tener una energía cinética mínima para sobrepasar la barrera Coulombiana para que se aproximen bastante y la fuerza nuclear produzca la necesaria consolidación entre los núcleos. Este problema no aparece en la fisión nuclear porque los neutrones no tienen carga eléctrica, y se pueden aproximar a un núcleo aunque su energía cinética sea muy pequeña o prácticamente cero. Como la barrera Coulombiana se incrementa con el número atómico, la fusión nuclear tiene lugar a energías cinéticas razonables sólo para núcleos muy ligeros con bajo número atómi-co o carga nuclear baja.

Ep

BarreraCoulomb

0

10

20

30

40

50

6070

MeV

10 20 30r (fm)

Potencial Nuclear fuerte

Interacción p-p

Partícula entrante

Ec

Cuando dos núcleos de números atómicos Z1 y Z2 están en contacto, la energía po-tencial eléctrica de los dos es Ep=Ke∙Z1∙Z2/r donde r es la suma de los radios nucleares, del orden de 10-14 m, luego

Ep=Ke∙Z1∙Z2/r = 9∙1023 Z1∙Z2 J = 1,5∙105 Z1∙Z2 eV = 0,15 Z1∙Z2 MeV.

Esto da la altura de la barrera y por tanto la energía cinética mínima que debe tener el núcleo para que ocurra la fusión. Si la energía es menor, hay una pequeña probabilidad de penetrar la barrera de potencial.

La energía cinética promedio de un sistema de partículas teniendo una tempe-ratura T es del orden de kT, o alrededor de 8,6∙10-5T eV, donde T está en Kelvin. Así una energía de 105 eV corresponde a una temperatura de 109 K que es más alta que la temperatura en el centro del Sol. Para que tenga lugar una fusión nuclear de un gran número de núcleos es necesario que el núcleo reaccionante esté a una temperatura muy superior a las generadas en las re-acciones químicas más exoérgicas, creando un problema de recipiente para las partículas reaccionantes, ya que no se conoce material que pueda resistir esas temperaturas. Además, a esas temperaturas extremas los núcleos han perdido todos sus electrones y las sustancias consisten de una mezcla neutra de núcleos cargados positivamente y electrones negativos llamada plasma. El recipiente está formado por campos magnéticos y el calentamiento se hace con rayos láser.

Page 144: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 25

En la fusión nuclear de núcleos ligeros (A<20) se libera energía, ya que cuando dos núcleos ligeros se unen en uno pesado, la energía enlazante del núcleo producto es mayor que las energías de enlace de los dos núcleos ligeros. De hecho, se considera que todos los núcleos hasta el Fe se han producido por fusión en las estrellas.

Después del hierro, la energía de enlace nuclear decrece y la fusión no puede ocurrir por lo que hay que considerar otros procesos para explicar la formación de los elementos químicos posteriores al Fe.

Si las condiciones son apropiadas, la energía liberada en la fusión es suficiente para excitar otros núcleos y provocar una reacción en cadena. Si la reacción en cadena tiene lu-gar rápidamente se libera una gran cantidad de energía en un corto intervalo de tiempo y tendrá lugar una explosión nuclear. La reacción en cadena también puede tener lugar bajo condiciones controladas, aunque todavía no se han construido satisfactoriamente los reac-tores de fusión.

La reacción de fusión más sencilla es la captura de un neutrón por un protón (o nú-cleo de hidrógeno) para formar deuterón: 1 1 2

1 0 1H n H 2,224 MeV& - &

La gran ventaja de esta reacción es que no hay repulsión eléctrica que superar. La reacción anterior ocurre cuando los neutrones procedentes de un reactor nuclear se difun-den a través de una sustancia con hidrógeno, como el agua y la parafina.

Otra reacción de fusión sencilla es la que ocurre entre dos protones. Como un núcleo con dos protones solamente no existe, el proceso va acompañado por la conversión de uno de ellos a un neutrón y la emisión de un positrón y un neutrino

1 1 2 01 1 1 1 eH H H e 1,35 MeV& - & & # &

Una tercera reacción de fusión es la que tiene lugar entre hidrógeno y deuterio, re-sultando un núcleo de tritio:

1 2 3 01 1 1 1 eH H H e 4,6 MeV& - & & # &

Otra reacción, de importancia práctica, es la fusión de dos deuterones. Dos posibles reacciones ocurren con la misma probabilidad aproximada:

2 2 3 11 1 1 12 2 3 11 1 2 0

H H H H 4,2 MeV

H H He n 3,2 MeV

& - & &

& - & &

Dos reacciones de fusión que liberan una gran cantidad de energía por unidad de masa son las que tienen lugar entre deuterio y tritio y entre deuterio y helio-3:

2 3 4 11 1 2 02 3 4 11 2 2 1

H H He n 17,6 MeV

H He He H 18,3 MeV

& - & &

& - & &

Sin embargo, el tritio y el 3He no son disponibles fácilmente y han de ser fabricados. Por otra parte, la fusión de dos deuterones tiene la ventaja de usar una sola clase de núcleo.

Aunque la energía liberada en una única fusión es mucho menor que la liberada en una reacción de fisión, la energía por unidad de masa es mayor, ya que el deuterio es un combustible muy ligero. Para la reacción de fusión deuterio-deuterio 2H-2H la energía es de 2∙1014 J∙kg-1 de combustible, que es más del doble que el valor de la fisión del uranio. La re-acción deuterio-tritio es cuatro veces mayor 2H-3H. Debido a la abundancia relativa del deu-terio, que es de aproximadamente un átomo de deuterio 2H por cada 7.000 átomos de hidró-geno 1H, y el bajo coste de extraerlo desde el agua, un reactor de fusión controlada nos pro-porcionaría una cantidad de energía ilimitada.

Las reacciones de fusión son las principales fuentes de energía liberada en las estre-llas, incluyendo el Sol. La fusión más corriente procede de cuatro protones en núcleo de helio

1 4 01 2 14 H He 2 e 2 26,7 MeV- & & # &

Page 145: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Física nuclear” Página 26

Se estima que el desarrollo de esta fusión en el Sol consume 6,64∙1011 kg de hidró-geno por segundo, con una emisión de 3,7∙1025 W. De estos sólo 1,8∙1016 W llegan a la Tie-rra, principalmente en forma de radiación electromagnética; sin embargo, esto es todavía 104 veces mayor que toda la potencia industrial generada sobre la Tierra. La fusión es el mecanismo por el que los elementos químicos ligeros o menos pesados se sintetizan en las estrellas.

Aplicaciones de la radiactividad y de las reacciones nucleares.-

Efectos biológicos:

La radiación ionizante consiste de fotones y/o partículas moviéndose que tienen su-ficiente energía para golpear un electrón y sacarlo de un átomo o molécula, y formar un ion. Una energía de 1 a 35 eV es suficiente para ionizar átomos o moléculas y las partículas o rayos emitidos en una desintegración nuclear frecuentemente tienen energías de algunos millones de eV (MeV). Por tanto, una partícula alfa, beta o rayo gamma puede ionizar miles de moléculas.

La radiación nuclear es potencialmente perjudicial para los humanos porque la ioni-zación produce significativas alteraciones de las estructuras de las moléculas dentro de las células vivas. Las alteraciones le causan a la célula malfunciones y a la muerte de la célula y del organismo. A pesar del riesgo potencial, la radiación ionizante se puede usar en medi-cina para diagnósticos y terapia, tales como localización de fracturas y tratamiento del cán-cer. El riesgo puede ser evitado sólo si las exposiciones son conocidas.

Exposición es una medida de la ionización producida en aire por rayos-X o rayos-gamma, y se define de la siguiente manera. Un chorro de rayos se envía a través de una ma-sa m de aire seco a temperatura estándar y presión estándar. Pasando a través del aire, el chorro produce iones positivos cuya carga total es q. Exposición se define como la carga to-tal por unidad de masa de aire:

Exposición=q/m (En el S.I. la unidad es C/kg).

La primera unidad de radiación se definió como roentgen (R) y es muy usada hoy.

Exposición = q/(2,58∙10-4m)

Dosis absorbida (gray o Gy)=(energía absorbida)/(masa de materia absorbente) (J/kg)

Page 146: Fisica y quimica   fisica cou

© Julio Anguiano Cristóbal

Física: PROBLEMAS de “Física nuclear” Página 27

PROBLEMAS DEL TEMA "FÍSICA NUCLEAR" 1) El cloro tiene dos isótopos naturales. El 75,53% de los átomos son de cloro-35, cuya ma-sa es de 34,96885 u, y el 24,47% restante de cloro-37, de masa 36,96590∙u. Calcula la ma-sa atómica del cloro. [35,457]

2) Determina el defecto de masa y la energía de enlace por nucleón del isótopo helio-4. Da-tos: m(helio-4)=4,0026033; m(hidrógeno-1)=1,0078252; m(neutrón)=1,0086654. [7,08 MeV]

3) Un gramo de carbón, al arder produce 29,29 kJ. Calcular la cantidad de carbón necesaria para producir la misma energía que 1 kg de uranio-235, si la fisión de un núcleo de este elemento libera 200 MeV. [2,8∙106 kg]

4) El período de semidesintegración del carbono-14 es de 5730 años. ¿Qué fracción de una muestra de carbono-14 permanecerá inalterada después de transcurrir un tiempo equiva-lente a cinco veces el período de semidesintegración?. [3,1%]

5) En una mezcla encontrada en la actualidad, de isótopos de uranio, el uranio-238 repre-senta el 99,3% y el uranio-235 el 0,7%. Sus vidas medias son 4560 millones de años y 1020 millones de años, respectivamente. Calcular: a) el tiempo transcurrido desde que se formó la Tierra, suponiendo que eran igualmente abundantes en ese momento; b) actividad de un gramo de uranio-238.Dato: (U-238)=238,05. [9390 millones de años; 12193 Bq]

6) El uranio-238 se desintegra emitiendo, sucesivamente, las siguientes partículas antes de alcanzar su forma estable: α, β, β, α, α, α, α, α, β, β, α, β, β, α. ¿Cuál es el núcleo final esta-ble? [plomo-206]

7) Formula la siguiente reacción ' (7 83 4Li p, Be0 y calcula la frecuencia de la radiación emitida.

Datos: m(Be)=8,00777; m(Li)=7,01818; m(H)=1,00813. [4,18∙1021 Hz]

8) Completa las siguientes reacciones nucleares:

' ( ' (23 4 26 105 0 12 5511 2 12 48 1 6 25Na He Mg ?; Cd e ?; C d,n ?; Mn n, ?%& - & & - 0

9) Una de las reacciones posibles de la fisión del plutonio-239 cuando capta un neutrón es la formación de cerio-141 y molibdeno-96, liberándose tres neutrones. Formula la reacción y calcular la energía liberada por cada núcleo fisionado. Datos: m(Pu) = 239,052158; m(Ce) = 140,908570; m(Mo) = 95,90499; m(n) = 1,008665; m(e) = 0,000549. [20,6 GeV]

10) Una muestra de cromo-51 contiene 4,1∙1020 átomos. Si el período de semidesintegración del citado elemento es de 27 días, calcular: a) vida media del emisor radiactivo; b) número de átomos que habrá al cabo de un año y actividad de la muestra en ese momento. [a) 38,95 días; b) 3,5∙1016 átomos y 0,28 Ci]

11) Calcula la masa de 14C de 1,0 Ci sabiendo que el período de semidesintegración del 14C es de 5570 años. Dato: m(14C)=14,0077 u. [2,14∙10-4 kg]

12) Calcula la energía cinética de las partículas-! emitidas desde el 232U. El proceso de des-integración: 232U → 228Th + 4He. Datos: m(232U)=232,1095 u; m(228Th)=228,0998 u; m(4He)=4,0039 u. [5,30 MeV]

13) Calcula la energía eliminada en la fisión del 235U por neutrones lentos. Considera el caso particular 235 1 236 95 139 1

92 0 92 42 57 0U n U Mo La 2 n+ ,& - - & &. / . Como los neutrones entrantes son

lentos, podemos ignorar su energía cinética en el balance de energía y considerar sólo las masas. Datos: m(1n) = 1,0090u; m(235U) = 235,0439u; m(236U) = 236,0456u; m(139La) = 138,9061u; m(95Mo) = 94,9058u. [207,16 MeV]

14) El 131I es un isótopo radiactivo que se utiliza en medicina para el tratamiento del hiperti-roidismo, ya que se concentra en la glándula tiroides. Su período de semidesintegración es de 8 días. a) Explique cómo ha cambiado una muestra de 20 mg de 131I tras estar almace-nada en un hospital durante 48 días. b) ¿Cuál es la actividad de un microgramo de 131I?. Dato: NA.