fisica general unidad i y ii

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN LEY DE CREACIÓN N° 29304 - RESOLUCIÓN DE FUNCIONAMIENTO N° 647-2011 – CONAFU

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DOCENTE RESPONSABLE: JUAN ANTONIO BARDALES MIO.

UNIDAD I:

INTRODUCCION A LA FÍSICA

Valoración Significativa de la Importancia de la Física.

¿Cómo se formó el Universo? ¿De qué están hechas las cosas?

El Universo gigantesco muestra lo infinitamente gigantesco y lejano, como las

galaxias y los quasares, además de los miles de eventos siderales que vienen

ocurriendo desde hace miles de millones de años, que dieron origen a la

creación de nuestro universo y que representa todo los que nos rodea, El

Universo posee un tiempo de vida muy grande, si se compara con el tiempo de

vida del hombre, al relacionarlo la edad del universo es aproximadamente cien

mil millones de veces mayor, siendo el tiempo promedio de vida de un ser

humano muy corto, pero en ese periodo tratamos de comprenderla y mejorar

su forma de vida, de todo lo que nos rodea.

El hombre es capaz de diseñar y construir sofisticados instrumentos que sirven

para estudiar la expansión segundo a segundo del Universo, así como el

movimiento de las estrellas, la nebulosas, los quasares, los hoyos negros y

hasta el conjunto de todas las galaxias, incluyendo la que habitamos: La

hermosa VIA LÁCTEA, a la cual pertenecen el Sol y muchas estrellas. Nuestro

Sol que constituyen un Sistema que contiene a los planetas como: Mercurio,

Venus, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón (hoy día es

considerado un planeta enano) y nuestra casa que es la Tierra, lugar donde

vivimos, en el cual se desarrollan una infinidad de fenómenos físicos como la

electricidad, el magnetismo, la radiación nuclear, la lluvia acida, los vientos, los

tsunamis, etc., para su estudio modelación, interpretación y análisis, que

constituya en beneficio de la humanidad y permita controlar sus impactos a las

comunidades y sociedades del mundo.

En el otro extremo, nos encontramos con lo infinitamente pequeño, como los

átomos, las partículas elementales, los cuarks y los fenómenos subatómicos

que ocurren en fracciones infinitesimales de segundos. En este contexto la vida


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media del ser humano es gigantesca al tiempo de duración de un eventos en

dimensiones nanométricas, el desarrollo de la nanotecnología es sin duda una

forma de entender el comportamiento de las partículas elementales y la

generación de energía. Para el estudio de estas partículas, los científicos han

creado instrumentos especializados como los aceleradores de partículas,

microscopios electrónicos, entre otros.

Muchas de las cosas que nos rodean están en continuo movimiento, los

átomos están formados por partículas llamadas electrones y por núcleos, los

cuales intercambian energía en paquetes: llamados quantos, los cuales son

infinitos y es materia de estudio de la Mecánica Cuántica.

Los núcleos subatómicos están compuestos por pequeñas partículas llamadas

los protones y neutrones, formando uniones de alta generación de energía.

Pero en el núcleo del átomo, los científicos han construido una teoría de

existencia de partículas subnucleares llamadas QUARKS, que junto con los

leptones (una clase de partículas de la que pertenece el electrón) constituyen

sistemas energéticos de las partículas elementales de la materia.

En este recuento del ámbito del estudio de la Física, el ser humano trata de

comprender el origen y la evolución del Universo teniendo como base

observaciones astronómicas, creación de un conocimiento físico que explique

los fenómenos macroscópicos y microscópicos, entender las características de

su estructura, la generación de formas de energía y la conservación del medio

ambiente.

Sin embargo, muchas de las situaciones que se vivencia en nuestro universo,

son explicadas por teorías científicas que con el desarrollo de la tecnología se

ven reducidas por nuevas teorías más complejas y que van a lograr entender

con mayor panorama el estudio de los fenómenos físicos.


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Físico Inglés Sir Isaac Newton, Padre de la Física, posee una serie de

contribuciones que desarrollaron la ciencia y la tecnología.

I. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA:

La Física es la ciencia fundamental que se ocupa de los principios básicos del

Universo, siendo el cimiento para el desarrollo de otras ciencias como la

astronomía, la Química y la Geología. La belleza de la Física radica en la

sencillez de sus teorías fundamentales y en la forma como un pequeño número

de conceptos, ecuaciones o suposiciones, pueden describir nuestra visión del

mundo.

La gran cantidad de fenómenos físicos de uno o más de los siguientes campos

de acción de la Física:

Mecánica que se ocupa de los efectos de las fuerzas en objetos

materiales.

Termodinámica que se refiere al calor, temperatura y los

comportamientos de grandes números de partículas.

Electromagnetismo que trata de cargas, corrientes y campos

electromagnéticos.

Relatividad, teoría que describe las partículas que se mueven a

cualquier rapidez, enlazando el espacio y el tiempo.


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Mecánica cuántica, que trata el comportamiento de las partículas a nivel

submicroscópica, así como el mundo macroscópico.

Desde sus orígenes, el hombre ha intentado dar una explicación a los

fenómenos naturales que lo rodean y encontrar una respuesta a la manera en

que se comporta la naturaleza. La ciencia surge miles de años después cuando

algunos hombres empezaron a registrar sus observaciones y a escribir las

causas y efectos bajos los cuales se reproducirían un fenómeno natural en

ciertas condiciones permitiendo la elaboración de ideas y teorías que

explicarán el mundo, posteriormente las ideas comprobadas o refutadas

sirvieron para elaborar nuevas teorías, leyes o principios, que rigen los

fenómenos naturales como: la caída de los cuerpos, las fuerzas de

interacciones eléctricas, la composición de la materia, los colores del arco iris,

etc. Dando el origen a los procesos de investigación que luego determinaría el

método científico.

Es indudable que el desarrollo de las ciencia y la tecnología se debe en gran

parte al estudio de las leyes que rigen los fenómenos naturales y de manera

particular a la Física y su relación con otras ciencias lo que ha permitido la

construcción de máquinas para facilitar el trabajo del hombre, el descubrimiento

de la electricidad, la invención del automóvil, la radio, la televisión, el teléfono

para comunicarnos y reducir las distancias, los circuitos integrados, el

funcionamiento de las computadoras a partir del desarrollo de la electrónica, las

aplicaciones del rayo láser en la medicina mediante el desarrollo de la técnica

denominada Laparoscopía, la astrofísica que ha generado los viajes

interplanetarios mediante transbordadores, sondas espaciales. Todos ello es

muestra clara del desarrollo científico y tecnológico del mundo de hoy.

1.1. CONCEPTO DE FÍSICA:

Desde que la palabra “Física” proviene del término “Physis”, que significa

“Naturaleza”, en sus inicios, más o menos hasta principios del siglo XIX, la

Física se consideró como una Ciencia que estudiaría todos los fenómenos

naturales. Pero a partir del siglo XIX, se redujo su campo, limitándola al estudio


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de los llamados “Fenómenos Físicos”, el resto de fenómenos pasaron a formar

parte de otras ciencias naturales.

La física es una ciencia natural encargada de estudiar los fenómenos físicos

que ocurren en la naturaleza, sistematizándolos a través de leyes físicas

determinadas.

1.2 ÁREA DE DESARROLLO DE LA FÍSICA

Las ramas de la física son:

1.2.1. Mecánica.- Estudia los fenómenos mecánicos producido por el

movimiento, la fuerza y la energía que se aplican a un cuerpo. La mecánica

se clasifica en: Mecánica de los Cuerpos Rígidos, Mecánica de los Cuerpos

Fluidos, Mecánica Cuántica.

1.2.2. Calor y Termodinámica.- Estudia los fenómenos producidos por el

calor y la temperatura en el interior de un cuerpo. La aplicación en procesos

termodinámicos y la conservación de energía interna.

1.2.3. Electricidad.- Analiza los fenómenos producidos por los cuerpos

cargados debido a la pérdida o ganancia de electrones.

Electromagnetismo.- Analiza los fenómenos producidos por la corriente

eléctrica en campos magnéticos y su aplicación en fenómenos

electromagnéticos.

1.2.4. Óptica.- Analiza y estudia los fenómenos producidos por la luz. La

óptica puede ser: geométrica y física.


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1.3. FENÓMENOS NATURALES.-

Todo cambio o fenómeno natural es aquella transformación que se produce en

la naturaleza, en los cuerpos macroscópicos, visibles y microscópicos.

El universo en que vivimos está determinado como una sucesión indefinida de

cambios que forman una nueva especie y generan energía y diversas formas

de productos.

El origen del universo se ha debido a una serie de transformaciones generado

por la liberación de energía, de acuerdo a la Teoría del Big-Ban propuesta por

Stephe Hawkings la gran explosión que expandió todo lo que conocemos

como COSMOS fue producto de una serie de reacciones intermoleculares,

generando las nuevas galaxias y las formas organizadas de planetas y del Sol (

En nuestra Vía-Láctea) los cuales generan energía luminosa cuyo origen está

determinado por múltiples cambios físicos – químicos nucleares que en él se

produce. Otro ejemplo de una transformación es el proceso de combustión de

un motor de automóvil está determinado por cambios químicos y

termodinámicos que generan energía mecánica. Así como todo lo que nos

rodea está supeditado a cambios y fenómenos naturales cuyo uso adecuado

generarán beneficio para el Hombre.

1.3.1. FENÓMENOS QUIMICOS: Es aquel cambio o transformación en la

cual el cuerpo varía su estructura y composición intima, la generación de un

cambio químico está dado por una aplicación de energía y en algunos

casos, emisión de energía. Los cambios químicos son irreversibles, es decir

el cuerpo no puede volver a tener la composición inicial. Ejemplo: La

combustión del alcohol, quemar una madera, la producción de Ozono, etc.

1.3.2. FENOMENOS FÍSICOS: Es aquel cambio o transformación en el cual

el cuerpo no cambia su estructura íntima, las características iniciales son

iguales a las finales; el cuerpo varía su posición, velocidad, sus

dimensiones, masas, etc. Los cambios físicos son reversibles, lo que

permite, la experimentación de los fenómenos físicos para encontrar una

respuesta adecuada a tal situación. Ejemplo: partir un bloque de madera,

caída de una piedra, desplazamiento de un carrito, etc.


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1.4. Método Científico.-

El método de investigación y su relevancia en el desarrollo de las ciencias,

tiene procedimientos o series de pasos que caracterizan a la Física por encima

de otras ciencias, éste es el método científico experimental, que consta de los

siguientes pasos:

1. Observación del fenómeno.

2. Planteamiento del problema.

3. Hipótesis.

4. Experimentación.

5. Análisis de resultados.

6. Conclusiones.

II. MAGNITUDES FÍSICAS:

Desde la antigüedad el hombre primitivo sintió la necesidad de cuantificar lo

que existía a su alrededor y observaba, empezando con las partes de su

cuerpo y la proporcionalidad que existía entre ellos. Posteriormente en la

recolección de alimentos, el cultivo, la caza, la domesticación de animales,

surgió en él la necesidad de tener una idea exacta de lo que le pertenecía.

Luego empezó a observar otros fenómenos de la naturaleza como el día y la

noche, la duración de las temporadas, la distancia entre dos lugares, la

cantidad de agua al llover, que tan frio o caliente se encuentra un objeto, etc. El


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hombre cada vez que estudia la naturaleza y sus fenómenos requiere de

métodos e instrumentos para medir con diversas intenciones como: observar la

variación de las magnitudes físicas con respecto a otras, comprobar las

hipótesis o teorías en forma experimental, hallar explicaciones sencillas y

claras a algunos fenómenos de la naturaleza.

De esta manera se debe reconocer la importancia de la medición en un

proceso de investigación científica, teniendo en cuenta la variedad de

fenómenos y procesos susceptibles de ser medidos, que con desarrollo de la

humanidad el hombre a desarrollo técnicas cada vez más complejas hasta

realizar mediciones de fenómenos naturales que van más allá de nuestros

sentidos.

Medir es el proceso de cuantificar las dimensiones o características de un

objeto mediante una comparación con una unidad o patrón de medida que se

toma como base. Desarrollamos un proceso que parte de saber que queremos

medir cuál es el método con el cual vamos a medir y que instrumentos

utilizaremos, registrando las mediciones y procesando sus valores para inducir

a establecer la medida precisa a la medición. En toda medición se producen

equivocaciones en su proceso experimental y operacional, lo cual trae consigo

a determinar que la existencia de la medida exacta es una utopía, se determina

un valor con un grado referencial de precisión, para lo cual el investigador

deberá establecer los errores cometidos en dicho proceso, como por ejemplos

los errores producidos por el calibramiento del instrumento de medición, en la

posición del experimentador, en el cálculo de la medida promedio y en la

determinación de la significatividad de las cifras que debe contener el valor

promedio por efecto de redondeo.

2.1. Magnitud Física

Es todo aquello que puede ser medido con cierto grado de precisión usando

para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecidas. Las

magnitudes físicas, se clasifican en:

2.1.1. SEGÚN SU ORIGEN


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2.1.1.1. Magnitudes Fundamentales: Son aquellas magnitudes que sirven

de base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las

demás magnitudes.

2.1.1.2. Magnitudes Derivadas: Son aquellas que pueden ser expresadas

en función de las magnitudes fundamentales.

2.1.2. SEGUN SU NATURALEZA

2.1.2.1. Magnitudes Escalares: Son aquellas que quedan perfectamente

definidas mediante un número real y su correspondiente unidad de medida.

Ejemplo: -10ºC; 5kg; etc.

2.1.2.2. Magnitudes Vectoriales: Son aquellas que además de conocer su

valor, se requiere de su dirección y sentido para quedar perfectamente

definidas. Ejemplo:

La Velocidad

La Aceleración

La Fuerza, etc.

2.2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)

2.2.1. ORIGEN DEL S.I.

Para descubrir las leyes que gobiernan los fenómenos naturales, los

científicos deben llevar a cabo mediciones de magnitudes relacionadas con

dichos fenómenos. La física, en particular, suele ser denominada “ciencia de

la medición”. Lord Kelvin, destacada física inglés del siglo pasado, destacó la


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importancia de las mediciones en el estudio de las ciencias, por medio de las

siguientes palabras:

“Siempre digo que es posible medir aquello de lo que se habla y se consigue

expresarlo en números, entonces puede saberse algo al respecto; pero

cuando no puede expresarse así, el conocimiento es deficiente e

insatisfactorio”.}

Como sabemos, para efectuar una medición es necesario escoger una

unidad para cada magnitud. El establecimiento de unidades, reconocidas

internacionalmente, también es imprescindible en el comercio y en el

intercambio entre los países.

Antes de que el Sistema Métrico Decimal fuese instituido (a fines del siglo

XVIII) las unidades de medida se definían muy arbitrariamente y variaban de

un país a otro, dificultando las transacciones comerciales y el intercambio

científico entre las naciones. Las unidades de longitud, por ejemplo, casi

siempre se derivan de las dimensiones de ciertas partes del cuerpo del

monarca de un país; por ejemplo, la yarda, el pie, la pulgada, etc. Aún en la

actualidad, en los países de habla inglesa se utilizan todavía unidades como

éstas, pero se definen modernamente con bases en patrones menos

arbitrarios. También podemos destacar otras inconveniencias de las

unidades antiguas; sus múltiplos y submúltiplos no eran decimales, lo cual

dificultaba enormemente la realización de las operaciones matemáticas con

dichas medidas. Hasta hace poco tiempo, los extranjeros en Inglaterra

tenían muchos problemas para efectuar operaciones con las monedas

inglesas, pues el sistema monetario británico no era decimal (1 libra esterlina

valía 12 chelines y 1 chelín, 20 peniques).

Las inconveniencias que acabamos de señalar llevaron a algunos científicos

de los siglos XVII y XVIII a proponer unidades de medida definitivas con

mayor rigor y que se adoptarían en forma universal. Las diversas

propuestas, aunque no tuvieron aceptación inmediata, acabaron por dar

lugar al establecimiento del llamado Sistema Métrico Decimal, en Francia. La

firma del decreto del 7 de abril de 1975, que instauró este sistema,


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constituyó una de las contribuciones más significativas de la Revolución

Francesa.

Por esa misma época, el Sistema Métrico Decimal ya se empezaba a

conocer en otros países y en París la célebre Convención de Metro, en la

que 18 de las naciones más importantes del mundo se comprometieron a

adoptarlo, Inglaterra no asistió a dicha reunión negándose a emplear las

unidades de este sistema.

Desde entonces, el uso del sistema métrico se fue extendiendo poco a poco

a todo el mundo. Nuevas unidades para medir otras magnitudes,

conservando las mismas características que se emplearon en la definición

del metro, fueron incorporándose al sistema. Por otra parte, la precisión de

los patrones establecidos en el siglo pasado no bastaba en el gran avance

científico del siglo XX. Así que los científicos advirtieron la necesidad de una

reestructuración del sistema métrico, y en 1960, durante la 11ava Conferencia

General de Pesas y Medidas, también llevada a cabo en París, se elaboró

un nuevo sistema denominado Sistema Internacional de Unidades (S. I.)

2.2.2. MAGNITUDES FUNDAMENTALES DEL SI

Magnitud Símb. Unidad Abreviatura

Longitud L Metro m

Masa M Kilogramo Kg

Tiempo T Segundo s

Intensidad de Corriente

Eléctrica

I Amperio A

Temperatura Kelvin K

Intensidad Luminosa J Candela cd

Cantidad de Sustancia N Mol mol


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2.3. Ecuación Dimensional

Es aquella igualdad matemática que sirve para relacionar las dimensiones de

las magnitudes físicas fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas

y fijar así sus unidades, además permite verificar si una fórmula o ley física, es

o no correcta, dimensionalmente.

Notación: Se usa un par de corchetes, así:

: se lee “Ecuación Dimensional de …”

Ejemplo: B : Ecuación dimensional de la magnitud física B

2.3.1. ECUACIONES DIMENSIONALES MAS CONOCIDAS

1. AREA = L². 2.VOLUMEN= L3

3. VELOCIDAD= LT-1. 4.ACELERACION= LT-2

5. FUERZA = MLT-2. 6.TRABAJO= ML²T-2

7. POTENCIA = ML2T-3. 8.PRESION= ML-1T-2

9. CALOR = ML²T-2. 10ENERGIA= ML²T-2

11. TORQUE = ML²T-2. 12.MOMENTUM LINEAL= MLT-1

13. IMPULSO = MLT-1. 14.CAUDAL= L3T-1

15. VELOCIDAD ANGULAR = T-1 16.ACELERACION ANGULAR = T-2

17. CARGA ELECTRICA = IT

18.RESISTENCIA ELECTRICA =ML²T-3I-2

19. POTENCIAL ELÉCTRICO = ML²T-3I-1

20. CAPACIDAD ELÉCTRICA =M-1L-2T4I²

2.3.2. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

1º Todo número expresado en cualquiera de sus formas tiene como

dimensión a la unidad. Ejemplo:

Cos 74º = 1 5 = 1

2 = 1 12

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2º Sólo se podrá sumar o restar magnitudes de la misma especie y el

resultado de dicha operación será igual a la misma magnitud. Ejemplo:

3m + 2m = 5m 3m + 2m = 5m

L + L = L

8S – 5S = 3S 85 - 5S = 3S

T – T = T

3º Si una fórmula física es dimensionalmente correcta u homogénea, todos

los términos de dicha ecuación deben ser dimensionalmente iguales. Así:

sea la fórmula física:

P + Q = R – S

P = Q = R = S

2.4. PREFIJOS Y SUBFIJOS DE UNA UNIDAD DE MEDIDA

Toda unidad de medida patrón de una magnitud física, posee elementos

numéricos de multiplicidad y submultiplicidad, los cuales en base a potencia de

base diez, relacionan medidas de la magnitud en casos de valores

significativos.

Múltiplos Submúltiplos

Deca (da) 10 deci (d) 10-1

Hecto (h) 102 centi (c) 10-2

kilo (K) 103 mili (m) 10-3

Mega (M) 106 micro () 10-6

Giga (G) 109 nano (n) 10-9

Tera (T) 1012 pico (p) 10-12

Peta (P) 1015 femto (f) 10-15


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Exa (E) 1018 atto (a) 10-18

Zetta (Z) 1021 zepto (z) 10-21

Yotta (Y) 1024 yocto (y) 10-24

2.5. ALGUNAS EQUIVALENCIAS ENTRE UNIDADES

Longitud Masa Fuerza Volumen

1 m = 100 cm 1 kg = 1000 g 1 N = 105 Dinas 1 l = 1 dm3

1 km = 1000 m 1 kg 2,2 lb 1 kgf 2,2 lbf 1 ml = 1 cm3

1 pulg = 2,54 cm 1 utm = 9,8 Kg 1 kgf = 9,8 N 1m3=103dm3 =103l

1 pie = 12 pulg 1 slug 1,49 utm 1 N 1,49 P 1 m3 = 106 cm3

1 pie 0,305 m 1 slug 32,12 lb 1 lbf 32,12 P

Área Carga eléctrica Trabajo Tiempo

1 m2= 104 cm2 1 C = 3 x 109 stc 1 Kgm = 9,8 J 1 h= 60 min= 3 600 s

1 Hectárea= 104 1 J = 107 Ergios 1dia = 24 h = 86 400 s

1 Km2 = 106 m2


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ACTIVIDADES ACADÉMICAS DE EXTENSIÓN:

1. Redacta un ensayo argumentativo sobre los errores de medición y explica su

importancia en el proceso experimental.

2. Elabora un cuadro comparativo entre exactitud y precisión de una medición.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

1. En un intento desesperado por proponer una ecuación durante un examen,

un estudiante expreso la siguiente ecuación: axv 2 . Utilizando el análisis

dimensional para demostrar que la ecuación podría ser válida.

2. El radio r de un círculo inscrito en cualquier triángulo, cuyos lados sean

cba ,, está dado por 21

/ scsbsasr donde s s la abreviatura de

2/cba . Verifique la consistencia dimensional de dicha ecuación física.

3. La ley de la gravitación universal está representado por:2r

mMGFG . Donde

FG representa la fuerza de atracción gravitatoria, M y m son las masas de los

cuerpos, r es la longitud entre los cuerpos. Si la en el sistema internacional se

mide en Kg.m/s2. ¿Cuál es la unidad de la constante de gravitación universal G

en el sistema internacional?

4. Una braza es un método para medir longitudes, por lo general reservada

para medir la profundidad de las aguas. Una braza mide aproximadamente

6pies de longitud. Tome la distancia a la Luna como de 250 000 millas, usando

la aproximación citada para hallar la distancia a la Luna en brazas.

5. Una aspirina contiene 325mg de ácido acetilsalicílico. Expresar esta masa en

Kg y en Lb.

6. Un aula del Instituto Superior Tecnológico de Jaén, tiene por medidas los

siguientes datos, 50ft(pie) de largo, 26ft(pie) de ancho y 8ftpie) de ancho.

¿Calcular su volumen en m3 y cm

3?.


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7. Sobre una plataforma circular de 4 cm de radio, se aplica una carga de

30000 mg. Calcular el valor de la presión mecánica producido por el peso de la

carga sobre la superficie de la plataforma, en Pa (Pascal). (Sugerencia utilizar

el factor =3,14 y g = 9,8 m/s2.

8. La base de una pirámide cubre un área de 13 acres ( 1 acre = 43 569ft) y

tiene una altura de 481 ft. Si el volumen de la pirámide está dado por la

expresión: bhV

3

1, donde b es el área de la base y h es la altura de la

pirámide. Encontrar el volumen de la pirámide en m3.

9. La velocidad de la luz es alrededor de 3,0 x108

m/s. Convierta dicho dato en

millas/hora.

10. Encuentre la edad de la Tierra en años, si la edad de la Tierra es 1x1017

s,

11. La energía E de un objeto en reposo, con masa m, están dado por la

Ecuación de Einstein: 2mcE , donde c es la velocidad de la luz en el vacío.

Calcule la energía en reposo E de un electrón (me=9,11x10-31

Kg).

12. Una célula del tejido humano tiene un diámetro del orden de 1m. Estime el

número de células en un tejido de 1cm3.

13. El radio del planeta Saturno es 5,85x107m y su masa es de 5,68x10

26 Kg.

Encuentre la densidad de Saturno ( su masa dividida entre su volumen) en

g/cm3(Recuerde que Saturno tiene el volumen de una esfera dado por 3

3

4r

)

14. El desplazamiento de un objeto en movimiento con aceleración uniforme es

alguna función del tiempo y la aceleración. Suponga que escribimos este

desplazamiento como nmtKax , donde K es una constante sin dimensiones.

Demuestre por análisis dimensional que esta expresión se satisface por m=1 y

n=2. ¿Puede ese análisis dar el valor de k?


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15. Un billete de S/10 tiene las siguientes dimensiones 13,5 cm de largo y 6,5

cm de ancho. Si deseamos medir la línea ecuatorial terrestre utilizando estos

billetes. ¿Cuál es la cantidad de billetes que se necesitarán?, sabiendo que la

longitud del radio terrestre es de 6 378 Km. Expresar la longitud de la línea

ecuatorial como la longitud de la circunferencia dado por Tc rl 2 .

16. La esfera 1 tiene un área A1 y un volumen V1. Una esfera 2 tiene un área

A2 y un volumen V2. Si el radio de la esfera 2 es el doble del radio de la esfera

1. ¿Cuál es la proporción entre las áreas A1/A2?, ¿Cuál es la relación entre los

volúmenes V1/V2?

17. El tiempo que emplea la luz en llegar a la estrella más cercana a la Tierra,

Proxima Centauri (4x1018

m), es proporcional a la distancia que emplea la luz

en ir a la Luna (4x108m), en: ………………………..

18. En un proceso físico químico la temperatura inicial era de 27°C y su

temperatura final es de 67°C. ¿Cuál es la variación de temperatura en la escala

Kelvin y Fahrenheit?


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UNIDAD II:

MAGNITUDES VECTORIALES –

ANÁLISIS VECTORIAL

1. INTRODUCCIÓN:

Es frecuente en las magnitudes físicas, encontrar cantidades físicas que tienen

dirección y magnitud, tales como el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, etc.

El vector es un objeto físico matemático invariante, es decir absolutamente

independiente de los ejes coordenados. Estos ejes pueden estar sometidos a

traslaciones o rotaciones, la magnitud de un vector y su orientación en el

espacio permanecerán invariables.

Si un fenómeno físico puede ser expresado en forma vectorial, esto nos

asegura que este fenómeno es completamente independiente del sistema de

referencia al cual se relaciona.

2. MAGNITUDES FÍSICAS POR SU NATURALEZA: ESCALARES Y

VECTORIALES.

Las magnitudes físicas por su naturaleza, pueden aparecer como escalares,

vectoriales y tensoriales.

a) Magnitudes Escalares: requiere solamente de un valor numérico y unidad

de medida, la cual representa el módulo o magnitud de una característica

física. Ejemplos:

- La longitud de una pizarra es de 3m.

- La temperatura de una persona sana es de 37°C.

- La masa permitida de una mujer gestante promedio es de 58Kg.

- La intensidad luminosa de un fluorescente es de 25kcd.


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b) Magnitudes Vectoriales: son magnitudes físicas de mayor diversidad en la

naturaleza, requiere complementar al módulo, la dirección y el sentido. La

dirección que tiene que ver con la linealidad sobre la cual se referencia la línea

de acción. El sentido establece la orientación, desde donde inicia su aparición

el vector hasta donde se aplica o donde se dirige. Ejemplos:

- La velocidad de un automóvil, tiene que ser expresada completamente

partiendo de su rapidez como el módulo de 80 km/h, su desplazamiento

permitirá identificar su dirección y sentido.

- La fuerza generada por el peso de una persona, cuya masa promedio es de

60 Kg, al multiplicarlo por el facto de la aceleración de la gravedad

obtendremos el módulo del peso, sin embargo su dirección estarán en la línea

perpendicular a la superficie terrestre y su sentido orientado hacia el centro de

la tierra.

3. VECTOR, TIPOLOGÍA Y EL ANÁLISIS VECTORIAL.

La idea aproximada de vector, parte de precisar dos puntos geométricos sobre

una línea recta, a lo que comúnmente se le llama segmento, si a uno de los

puntos le asignamos una orientación mediante una cabeza de flecha,

podremos definir el concepto matemático de VECTOR, el cual cumple un papel

importante en la formación del pensamiento físico del científico, ingeniero,

técnico, etc. La representación gráfica de un vector, permite modelar

magnitudes físicas cuya concepción teórica – filosófica se consolida por la

concepción grafico mental, pues de mucho en el proceso analítico de

situaciones físicas abstractas que son de gran importancia para el desarrollo de

la mecánica, los fluidos, la electricidad, el magnetismo, etc.

Punto de aplicación (Sentido)

Eje horizontal de referencia angular

Punto de Inicio

Línea de acción L

(Dirección)

Ángulo de inclinación


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3.1. DIRECCIÓN: Es la recta orientada

L que contiene al vector y nos podemos

referir a ella a través del ángulo, (Contendría al sentido), medido en sentido

antihorario a partir del eje x positivo.

3.2. MÓDULO: Se denomina Norma o Intensidad de un vector, es el valor de la

magnitud física, representada por el vector y siempre es positiva, se denota por

VV

, se lee “módulo del vector V”

3.3. TIPOS DE VECTORES:

Existe una amplia tipología en la clasificación de vectores, por ejemplo algunas

formas de clasificación tenemos:

- Desde el marco referencial geométrico, tenemos a los vectores colineales,

paralelos, coplanares y coespaciales.

- Desde el marco referencial del punto de origen, tenemos los vectores

concurrentes y no concurrentes.

- Desde el marco referencial de la direccionalidad, tenemos los vectores

codirigidos, contrariamente dirigidos, direccionalidad variable.

3.4. VECTORES LIBRES:

Son aquellos vectores que no tienen una posición fija en el espacio, tal

cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma

dirección y sentido. Por ejemplo: la velocidad de un móvil que desarrolla un

MRU en una trayectoria infinita.


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3.5. VECTORES DESLIZANTES:

Son aquellos vectores que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual

actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres

elementos iguales ubicado en la misma recta. Ejemplo el peso de un cuerpo,

posee una dirección fija pero deslizante como el de la línea vertical a la

superficie.

3.6. VECTORES FIJOS.

Son aquellos vectores que tienen uno y solo un punto de aplicación. Ejemplo la

tensión de una cuerda, se aplica sobre el punto de corte imaginario de la

cuerda, evitando su ruptura.

3.7. VECTORES IGUALES.

Son aquellos vectores que poseen igual módulo y son codirigidos, es decir

poseen igual dirección y sentido.


22


3.8. VECTORES OPUESTOS.

Son aquellos vectores que poseen igual módulo y son contrariamente dirigidos,

es decir poseen igual dirección pero sus sentidos son opuestos.

3.9. SUMA DE VECTORES:

Como las expresiones vectoriales son entes matemáticos, requiere cumplir con

axiomas básicos de la teoría matemática y uno de esos axiomas es el de

clausura, por lo cual podemos afirmar que:

Sean

A y

B dos vectores, la suma de

SBA , será por tanto otro vector,

por consiguiente el vector suma o resultante debe poseer un módulo, una

dirección y un sentido, lo cual vamos a explicarlo con determinación.

Expresando la suma vectorial por el método gráfico:

Dados dos vectores cualesquiera

A y

B , el vector suma o resultante

BAS , se puede construir gráficamente mediante el uso de los

métodos del paralelogramo y del triángulo.


23


De tal manera que el vector suma o resultante puede ser identificado

gráficamente por los métodos del paralelogramo o del triángulo, se puede

establecer una escala para poder precisar su módulo de forma aproximada.

a. Método del Paralelogramo: implica primero

hacer concurrir a los vectores cualesquiera

A y

B , trazar líneas paralelas a cada vector en los

puntos de aplicación de los vectores iniciales, el

vector suma o resultante

BAS , se

identificará gráficamente al unir mediante un

vector el punto de concurrencia con el punto de

intersección de las paralelas.

b. Método del Triángulo: representa una

extensión especial del método gráfico del

paralelogramo, implica colocar un vector a

continuación del anterior sin variar su módulo,

dirección y sentido, el vector suma o resultante

BAS , se identificará gráficamente al unir

mediante un vector el punto de inicio del primer

vector con el punto de aplicación del segundo

vector.


24


c. Métodos Analíticos para calcular el Módulo y la Dirección del vector

Suma o Resultante: Implicará hacer uso de modelos matemáticos que nos

permitan precisar sus elementos básicos de los vectores:

3.10. DIFERENCIA DE VECTORES:

Al igual que la suma vectorial, la diferencia de vectores requiere cumplir con

axiomas básicos de la teoría matemática y uno de esos axiomas es el de

clausura, por lo cual podemos afirmar que:

Sean

A y

B dos vectores, la diferencia de

DBA , será por tanto otro

vector, por consiguiente el vector diferencia debe poseer un módulo, una

dirección y un sentido, lo cual vamos a explicarlo con determinación.

Expresando la diferencia vectorial por el método gráfico:

El módulo del vector resultante se calcula

utilizando la siguiente relación:

cos222 ABBAS

La dirección del vector resultante se

calcula utilizando la siguiente relación:

Sen

S

Sen

B

Sen

A

Dados dos vectores cualesquiera

A y

B , se expresa el

vector diferencia

BAD y se puede construir

gráficamente mediante el uso de los métodos del

paralelogramo y del triángulo.


25


De tal manera que el vector diferencia puede ser identificado gráficamente por

los métodos del paralelogramo o del triángulo, se puede establecer una escala

para poder precisar su módulo de forma aproximada.

c. Métodos Analíticos para calcular el Módulo y la Dirección del vector

Diferencia: Implicará hacer uso de modelos matemáticos que nos permitan

precisar sus elementos básicos de los vectores:

b. Método del Triángulo: representa

una extensión especial del método

gráfico del paralelogramo, implica

colocar un vector a continuación del

anterior sin variar su módulo, dirección y

sentido, el vector diferencia

BAD ,

se identificará gráficamente al unir

mediante un vector el punto de inicio del

primer vector con el punto de aplicación

del segundo vector.

a. Método del Paralelogramo: implica

primero hacer concurrir a los vectores

cualesquiera

A y

B , identificar el vector

B y ubicarlos en el diagrama, luego

trazar líneas paralelas a cada vector en

los puntos de aplicación de los vectores

iniciales, el vector diferencia

BAD , se

identificará gráficamente al unir mediante

un vector el punto de concurrencia con el

punto de intersección de las paralelas.


26


c. Propiedades Básicas de la Suma Vectorial.

- Propiedad Conmutativa:

ABBA

- Propiedad Asociativa:

CBACBA

El módulo del vector diferencia se calcula utilizando la siguiente relación:

cos2

cos2

22

22

ABBAD

ABBAD

La dirección del vector diferencia se calcula utilizando la siguiente relación:

Sen

D

Sen

B

Sen

A


27


d. Producto de un Escalar por un Vector.

- La multiplicación de un escalar “c” por un vector

A da como resultado otro

vector

Ac , el cual posee igual dirección al vector inicial, pero su módulo y

sentido tendría modificaciones que pasaremos a analizar.

- Si el escalar c>o el sentido será igual al vector

A .

- Si el escalar c<o el sentido será opuesto al vector

A .

3.11. VECTOR UNITARIO:

Es un vector colineal en la dirección del vector original o base, tiene como

módulo la unidad y tiene por objetivo interpretar la dirección del vector original

de acuerdo a un sistema de referencia.

Se define al vector unitario como el cociente entre el vector original y su

módulo, expresado por la siguiente relación:

A

10

cAc

1

cAc

A

01

cAc

1

cAc

A

AeA

Despejando el vector A,

obtendríamos:

AeAA


28


a. Los Vectores Unitarios Direccionales en los Ejes Coordenados:

En el sistema de coordenadas rectangulares, tenemos los vectores unitarios

referenciales, los cuales tiene por objeto direccionar cada vector en función de

sus proyecciones en cada sistema de referencia. Por ejemplo en el eje x su

vector unitario es el

i , en el eje y su vector unitario es el

j y en el eje z su

vector unitario es el

k .

3.12. Proyección Ortogonal de un Vector

Se define como proyección ortogonal de una vector sobre una línea, al vector

resultado de la intersección de las líneas pie punteadas trazadas de los puntos

origen y de aplicación del vector original sobre la línea sobre la cual se

proyecta.

A

LL

AAoy

Pr

L


29


La proyección del sobre la línea recta

L , es la proyección del vector sobre

dicha línea, si trazamos un vector paralelo con el objetivo de forma un triángulo

rectángulo, podemos precisar el módulo de la proyección vectorial.

El módulo del vector proyección ortogonal está dado por cos

AAL .

3.13. Proyección Ortogonal de un Vector en el Plano Cartesiano.

Un vector cualesquiera puede expresares en el plano cartesiano en función de

la descomposición del vector original en cada eje cartesiano.

L

LL

AAoy

Pr

A


30


De tal manera que el vector original puede expresarse de la siguiente manera:

jseniAjAseniAjAiAAAA yxyx coscos .

Donde el vector unitario en la dirección del vector A será:

jseniuA cos .

3.13. Proyección Ortogonal de un Vector en el Espacio Tridimensional.

Un vector cualesquiera puede expresares en el espacio tridimensional en

función de la descomposición del vector original en cada eje coordenado.

.

De tal manera que el vector original puede expresarse de la siguiente manera:

kAjAiAkAjAiAAAAA ZyxZyx coscoscos .

kjiAA coscoscos .

Donde el vector unitario en la dirección del vector A será:


31


kjiuA coscoscos .

3.14. Resultante de un Sistema Vectorial.

- La resultante de un sistema vectorial es aquel vector representativo que

genera los efectos físicos de los vectores iniciales. El vector resultante es la

representación vectorial de los sistemas físicos vectoriales, por lo tanto debe

tener un módulo, su dirección y sentido.

...

EDCBAR

-El método del polígono es uno de los métodos gráficos para determinar la

resultante de un sistema vectorial, implica la ubicación de un vector a

continuación del anterior, si variar su módulo, su dirección y sentido. El vector

resultante será representado por el vector que una el punto de origen del

primer vector con el punto de aplicación del último de los vectores. Es una

ampliación del método gráfico del triángulo.

Dados los vectores mostrados en el

gráfico, el método del polígono implicara

formar un polígono con los módulos,

dirección y sentido de los vectores

iniciales.

El vector resultante, representará

gráficamente a los vectores que

intervienen.


32


3.15. Método Analítico para la Resultante de un Sistema Vectorial.

- La Resultante de un Sistema Vectorial, puede ser determinada y calculada

mediante los métodos analíticos. Los cuales pueden darse de las siguientes

formas:

a. Descomposición Vectorial en el Plano.

El proceso determina proyectar cada uno de los vectores sobre los ejes “X” e

“Y”. Desarrollar la suma vectorial en cada eje y la obtención de la Resultante es

el vector que estará compuesto por sus componentes en cada eje con su

respectivo vector direccional.

x

y

B

C D

A

Los módulos de las componentes serán:

xxxxx CBDAV

yyyyy DCBAV

El Vector Resultante será:

jViVR yx

El módulo del Vector Resultante será:

22

yx VVR

La dirección del vector resultante será:

x

y

V

Varctan


33


b. Descomposición Vectorial en el Espacio.

En el espacio tridimensional, el proceso de determinar y calcular el vector

resultante es similar al del plano, con la inclusión de la componente Z. La única

variante implica en la dirección pues tenemos que determinar los ángulos

directores con cada eje.

c. Descomposición Vectorial en función de sus Vectores Unitarios.

Si en un sistema vectorial, al trazar los sistemas coordenadas rectangulares ya

sea en el plano o en el espacio, no se logra identificar las coordenadas de los

puntos de origen o de posición, se procede a identificar dos puntos de su línea

de acción para calcular su vector unitario que permita expresar el cada vector

en función de su módulo por su vector unitario.

El Vector Resultante será:

kVjViVR zyx

El módulo del Vector Resultante será:

222

zyx VVVR

La dirección del vector resultante será:

R

V

R

V

R

V

z

y

x

arccos

arccos

arccos

X

Y

X

YF

YO

XF

XO

A

u Po

PF


34


Para determinar el vector unitario aplicamos el siguiente modelo operacional

vectorial:

22

ofof

ofof

Fo

Fo

yyxx

jyyixx

PP

PPu

De tal manera que podemos expresar el vector

uAA .

Igual sucede en el espacio donde el vector unitario se le agrega la componente

z:

222

ofofof

ofofof

Fo

Fo

zzyyxx

kzzjyyixx

PP

PPu

3.16. Producto Escalar.

Dados los vectores

A y

B , se define el producto escalar como

BA. al escalar

resultado del producto de las componentes de los vectores.

cos... BABA

Es el modelo matemático para calcular el escalar.

Propiedades Básicas del Producto Escalar:

1. El producto escalar es conmutativo:

ABBA ..

2. El producto escalar es distributivo:

CABACBA ...

3. Se aplica el producto de un escalar por un producto escalar resultando un

escalar:

BAcBAc ...

A

B

cos

B


35


4. Se aplica la suma de dos vectores por el producto escalar de otro vector:

CBCACBA ...

5. El producto escalar de dos vectores colineales es igual al producto de los

módulos de los vectores:

ABBABA ..

6. El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a cero:

ABBA 0.

7. El producto escalar de dos vectores unitarios iguales es igual a uno.

1...

kkjjii

8. El producto escalar de dos vectores unitarios distintos es igual a cero.

0...

ikkjji

9. El producto escalar de dos vectores en función de sus unitarios es igual al

producto de sus componentes:

zzyyxxzyxzyx BABABABAkBjBiBBkAjAiAA

.

10. El producto escalar se puede interpretar como la proyección de un vector

en función de dicho producto.

AA

BAu

A

BAuBBoy

A2

..

.cosPr

3.17. Producto Vectorial.

Dado dos vectores

A y

B , se define producto vectorial o producto cruz

BxA , al

vector perpendicular a la superficie sobre la cual se ubican los vectores

iniciales. Se define como el vector perpendicular al plano referencial donde se

lleva a cabo el producto vectorial.


36


El vector resultado del producto vectorial tiene como módulo la siguiente

relación matemática: senBABXA ..

.

La dirección del vector producto vectorial es el resultado de la rotación del

vector inicial hacia el vector final, si el giro es en sentido antihorario el vector

sale del plano de rotación, si el giro es en sentido horario el vector ingresa al

plano de rotación.

Propiedades del Producto Vectorial.

1. El producto vectorial es anticonmutativo:

AxBBxA

2. El producto vectorial es distributivo:

CxABxACBxA

3. Se aplica el producto de un escalar por un producto vectorial:

cBxABxcABxAcBxAc .

4. En el producto vectorial de dos vectores colineales, su módulo es cero:

BABxA //0

5. En el producto vectorial de dos vectores ortogonales, su módulo es igual al

producto de los módulos de los vectores:

BABABxA

6. El producto vectorial de dos vectores unitarios iguales es cero:

0

kxkjxjixi


37


7. El producto vectorial de dos vectores unitarios iguales cumple las siguientes

condiciones:

kjxi ,

kixj ,

jkxi ,

jixk ,

ikxj ,

kjxk

8. El producto vectorial de dos vectores cualesquiera se resolverá

analíticamente utilizando el desarrollo de la matriz:

kBjBiBBkAjAiAA zyxzyx

kBABAjBABAiBABA

BBB

AAA

kji

BxA xzyxxzzxyzzy

zyx

zyx

9. La magnitud del producto vectorial interpreta el área del paralelogramo de

los vectores originales que la forma: senBABXAÁrea ramoParale ..)log(

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

1. Sobre un punto de una pared se aplican 2 fuerzas de 2N y 5N de módulo.

Determinar el módulo de la fuerza resultante efectiva que se aplica sobre dicho

punto.

2. Según la figura hallar |A – B|, si |A|= 12 y |B|= 9

F1

F2

19°

18°

A B

60º 30º


38


3. Sabiendo que |A + 2B|= 7 y |2A + 3B|= 15 ¿Cual es le módulo de las

resultantes de A y B?

4. Determinar el vector resultante, si el lado del cubo es “3m”.

5. Determinar el vector resultante de los vectores mostrados en la figura, “4u” es el lado del cubo.

6. Dados tres vectores: a = 6i + 3j – 4k, b = 6i + 3j + k, c = 8i + 5j – 2k. Determinar el ángulo que está formando R con la parte positiva del eje Z; si: R = 3 a + 4 b – 4 c. 7. Expresar la fuerza de magnitud P =26, mostrada en la figura, en términos de los vectores unitarios i, j, k.

53

º

2 A + 3 B

A + 2 B

x

y

A

B

z

x

y

z

4m 3m

y

x

P 12m


39


9. El módulo de la componente en la dirección x de A + B; cuando = 30° es 7

+ ((6 3 +6)/ 3 ); cuando =135° es (2- 2 )(- 2 )+11. ¿Cuál es el valor de A?

10. A propósito del gráfico que se muestra a continuación. El punto M biseca la

arista EF, a = 70Lb y b = 65Lb. Determinar si es posible, el ángulo “” que

podrían estar formando las direcciones de los vectores indicados.

11. En relación a la figura adjunta, se pide determinar la expresión vectorial del

vector diferencia: D = b – a , utilizando los vectores unitarios i , j, k, si a = 52N

y b = 15N.

y B

A x

12 a

3

z

y b

4

x

2 A

3

y 6

B

F

E

M

C

b

z

G

a


40


12. Del sistema de fuerza que se muestra a continuación, se conoce que los

vectores F1 = 20N, F2 = 30N, F3=40N, F4=35N, F5= 15N, F6=24N, F7=28N,

F8=18N donde L1 = 10 cm, L2 = 12 cm, L3 = 20 cm.

Calcular:

87654321 FxFFxFFxFFxF .

fisica general unidad i y ii

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