filosofia de las matematicas critica de aristoteles a los numeros eideticos

7/29/2019 Filosofia de Las Matematicas Critica de Aristoteles a Los Numeros Eideticos

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De regreso a la fuente del platonismo en la losofa de

las matemticas: la crtica de Aristteles a los nmeros

eidticos

Burt C. Hopkins

Seattle University

Resumen: De acuerdo con la as llamada concepcin platonista de la naturaleza

de las entidades matemticas, las armaciones matemticas son anlogas a

las armaciones acerca de objetos fsicos reales y sus relaciones, con la dife-rencia decisiva de que las entidades matemticas no son ni fsicas ni espacio-

temporalmente individuales, y, por tanto, no son percibidas sensorialmente. Elplatonismo matemtico es, por lo tanto, de la misma ndole que el platonismo

en general, el cual postula la tesis de un mundo ideal de entidades ed que ala vez estn separadas (christn) y son el fundamento cognitivo y ontolgico del

mundo real de cosas fsicas que poseen propiedades espacio-temporales. Mientras

que la no-identidad entre la concepcin platonista de las entidades matemti-cas y el platonismo del Platn histrico es frecuentemente reconocida tcita o

explcitamente tanto por sus defensores como por sus crticos, su conexin conla crtica del Aristteles histrico a la losofa de Platn frecuentemente no es

reconocida. Este artculo llama la atencin sobre la conexin de Aristteles conel as llamado platonismo tradicionalmente concebido y reconstruye un aspecto

crucial de su crtica a la tesis originaria del chrismsplatnico que se pierde de

vista a menos que se reconozca el objetivo verdadero de su crtica, la descripcinplatnica igualmente originaria de los nmeros eidticos.

Palabras clave: platonismo, platonismo matemtico, tesis del chrisms, n-meros eidticos, abstraccin

Abstract: The Source of Platonism in the Philosophy of Mathematics Revisited:Aristotles Critique of Eidetic Numbers. According to the so-called Platonistic

conception of the nature of mathematical entities, mathematical statements areanalogous to statements about real physical objects and their relations, with

the one decisive difference that mathematical entities are neither physical norindividuated spatio-temporally and, thus, not perceived sensuously. Mathemati-

cal Platonism is therefore of a piece with Platonism in general, which posits thethesis of an ideal world of entities ed that are both separate (christn) from

and the cognitive and ontological foundations of the real world of physical things

possessing spatio-temporal properties. While the non-identity of the Platonisticconception of mathematical entities with the Platonism of the historical Plato

is usually either tacitly or explicitly acknowledged by its defenders and critics

alike, its connection with the historical Aristotles critique of Platos philosophyusually goes unacknowledged. This paper both calls attention to Aristotles con-nection with the so-called Platonism traditionally conceived and reconstructs a

crucial aspect of his critique of the original Platonic chrismsthesis, an aspect

Revista de FilosofaVol. XXII, N 1, 2010

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Revista de Filosofa, vol. XXII, N 1, 2010 / ISSN 1016-913X

that is missed unless the true target of this critique, the equally original Platonicaccount of eidetic numbers, is recognized.

Key words: Platonism, mathematical Platonism, chrismsthesis, eidetic num-bers, abstraction

Introduccin

De acuerdo con la as llamada concepcin platonista de la naturaleza

de las entidades matemticas, las armaciones matemticas son anlogas a

las armaciones acerca de objetos fsicos reales y sus relaciones, con la dife-

rencia decisiva de que las entidades matemticas no son ni fsicas ni espacio-

temporalmente individuales, y, por tanto, no son percibidas sensorialmente. El

platonismo matemtico es, por lo tanto, de la misma ndole que el platonismo

en general, el cual postula la tesis de un mundo ideal de entidades ed

que a la vez estn separadas (christn) del mundo real de las cosas fsicas

que poseen propiedades espacio-temporales y son el fundamento cognitivo y

ontolgico de dicho mundo. Mientras que la no-identidad entre la concepcin

platonista de las entidades matemticas y el platonismo del Platn histrico

es frecuentemente reconocida tcita o explcitamente tanto por sus defensores

como por sus crticos, su conexin con la crtica del Aristteles histrico a

la losofa de Platn frecuentemente no es reconocida.

En lo que sigue, quisiera tanto llamar la atencin sobre la conexin en-

tre Aristteles y el as llamado platonismo tradicionalmente concebido, como

reconstruir un aspecto crucial de su crtica a la tesis platnica originaria del

chrisms. Aspecto que se pierde de vista a menos que se reconozca el verda-

dero objetivo de su crtica, la igualmente originaria descripcin platnica de

los nmeros eidticos. La crtica de Aristteles a la separacin platnica entre

los seres aritmticos y los seres sensibles tiene dos aspectos: (1) la negacin

de la existencia de unidades aritmticas puras independientes de las cosas

sensibles y (2) la negacin de que haya unidad alguna entre un nmero de

cosas. El primer aspecto rechaza la tesis platnica de un uno independienteque estara separado del ser-uno de las cosas sensibles y que sera por tanto

accesible solo al pensamiento. El segundo aspecto rechaza la tesis platnica


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De regreso a la fuente del platonismo en la losofa de las matemticas

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de acuerdo con la cual paralelamente a la multiplicidad de unidades que

componen un nmero habra una unidad ideal proporcionada por un nmeroideal (arithms eidtiks).

Prestar atencin a los dos aspectos de la crtica originaria de Aristteles

al platonismo revela que la concepcin platonista tradicional de las entidades

matemticas se constituye exclusivamente a partir de una formulacin abre-

viada del primer objetivo de la crtica de Aristteles, a saber, la tesis de que el

verdadero objeto de las armaciones matemticas son las entidades matem-

ticas que existen independientemente de las entidades fsicas. Situado en el

contexto de la crtica histrica de Aristteles, el as llamado concepto plato-

nista de entidad matemtica deja de lado tanto la multiplicidad de unidades

puras que para Platn y Aristteles es el tema de la aritmtica, como la disputa

acerca del modo de ser propio de lo mltiple que ja las bases para la crtica

de Aristteles a Platn y a los platnicos. El segundo aspecto de la crtica de

Aristteles, el cual presenta al mismo tiempo una polmica sin tregua contra

la tesis platnica de los nmeros eidticos junto al informe disponible ms

detallado acerca de esta misma tesis, contiene por ello la clave del contenido

originario del platonismo matemtico o, ms precisamente, aritmtico.

Con miras a intentar ocuparnos, cuando menos, del fenmeno originario

de este platonismo y, por lo tanto, de la fuente del platonismo en la losofa

de las matemticas, se ofrecen las siguientes observaciones acerca de, por

un lado, la descripcin que hace Platn de los nmeros eidticos y, por otro,

la crtica de Aristteles.

La dialctica del Scrates de Platn

El Scrates de Platn se rehsa rmemente a relatar a sus interlocuto-

res cul es el modo del poder dialctico, exactamente en qu edse divide

y cules son sus caminos1, porque hacerlo requiere ir ms all de cualquier

imagen de lo inteligible y, por lo tanto, ms all del lgos, hacia la verdad

tal como se le aparece. Scrates no se detiene a discutir si esta verdad se le

aparece en su ser mismo o no, dado que esto no es digno de ser armado

con conanza, pero sostiene que s podemos estar seguros de que hay algo

1

Platn, Repblica, 532d-e. Para la traduccin de las citas de la Repblicase ha con-sultado la traduccin de Conrado Eggers Lan (Madrid: Gredos, 1998). Sin embargo, en

los casos en los que ha habido discrepancias, se ha optado por respetar la versin que

presenta el autor del artculo (N.de los T.).


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semejante que se puede ver2. En lugar de aventurarse a dejar atrs completa-

mente el mbito de las imgenes (algo que, debe subrayarse, Scrates estarano poco dispuesto a hacer), la primera descripcin (socrtica) de los ed

en los dilogos se limita al preludio del canto (sobre las vas ms propias

de la dialctica). El preludio socrtico se centra en el saber-hacer (tchn),

requisito para la conversin (metastroph) y redireccin (periagg)3

de

toda el alma desde las cosas en devenir hacia lo que verdaderamente es. El

Scrates de Platn identica este saber-hacer con la tchninferior del contar

y calcular utilizada por todos aquellos que cuentan cosas y hacen uso de las

sumas resultantes para resolver problemas (ya sean prcticos o tericos) de

multiplicacin y divisin, y para estudiar proporciones numricas. Scrates

subraya, sin embargo, que nadie lo usa correctamente como algo apto en

todas sus formas de atraer a alguien hacia el ser4.

El contar y el calcular, usados correctamente, atraen y redirigen al

alma hacia el ser y hacia la verdad misma, al forzarla a ejercitar su ms alto

poder intelectual, el nos, primero para aclarar sensaciones opuestas que

estimulan los sentidos y luego para contemplar y estudiar la naturaleza de los

nmeros puros empleados por aquellos que son formidables en la aritmtica

(los matemticos).

Las sensaciones opuestas (por ejemplo, grande y pequeo) registradas

por el mismo sentido (la vista en este caso) en la misma cosa (por ejemplo, en

la percepcin de cada uno de los tres dedos) despiertan en el alma la activi-

dad del nos (nsis) y el contar, con miras a examinar si cada cosa que se

le transmite [grande y pequea] es una o dos; y, si parecen ser dos, captar

que cada una aparece como algo distinto y uno. En el caso presente, el

noscaptar que cada una es una y ambas juntas son dos y, por lo tanto,

captar las dos como separadas, porque no captara cosas inseparables comodos sino como una

5. La vista ve lo grande y lo pequeo mezclado, mientras

que el nosalcanza claridad acerca de esto al captar cada cosa como una y a

ambas como dos. Lo que la vista ve es llamado visible y lo que el noscapta

es llamado inteligible.

2

Ibid., 533a.3Cf. ibid., 518d.

4Ibid., 523a.

5Ibid., 524b-c.


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El nmero y su fuente (arch), el uno6, tambin aparecen ante la vista

junto a algo opuesto a ellos y, por lo tanto, tambin llevan a la contemplacinde lo que es y redirigen el alma hacia ello. No solo ve la vista la misma cosa al

mismo tiempo como una e ilimitadamente mltiple, sino que esto ocurre ms

aun con el nmero. De hecho, la contemplacin de la naturaleza de los nmeros

es alabada por Scrates por su facilidad para redirigir el alma misma desde el

devenir hacia la verdad y el ser7, especialmente cuando los nmeros estudiados

no son aquellos que tienen cuerpos visibles o tangibles8, sino aquellos hechos

de partes en las que todas y cada una son iguales a cada una sin diferir en lo

ms mnimo, y sin que ninguna tenga a su vez parte alguna dentro suyo9. El

estudio de estos nmeros obviamente fuerza al alma a usar el nosmismo diri-

gido a la verdad misma10

porque son cosas que solo admiten ser pensadas.

La primera descripcin socrtica de Platn acerca de los eden los di-

logos termina aqu, en el preludio al canto de la dialctica y su camino hacia

y ms all de los ed. El intento socrtico de usar el poder de la dialctica

para redirigir el alma hacia el ser y la verdad misma, permanece por tanto

encubierto en una oscuridad que es en ltima instancia mtica. En cuanto

a la respuesta a la pregunta por qu el que las cosas tomen parte de un

edoses la causa (aita) del ser de cada una de ellas?, Scrates no est listo

an11

para armar con conanza si se debe a la presencia (parousa) de

un edosen ellas o si se debe a que genera una comunidad (koinna) entre

ellas. Su identicacin del tomar parte o participar (mthexis) con la imita-

cin (mmsis) tampoco clarica este asunto porque la descripcin que hace

Scrates de la relacin imagen-original aclara que los edque funcionan como

originales no pueden (como los originales sensibles) ser percibidos indepen-

dientemente de las imgenes que los reejan en el lgos. Por eso, la descripcin

socrtica de la relacin imagen-original en la imitacin es, cuando menos,paradjica, porque tanto la semejanza entre la imagen y el original como el

6El nmero (arithms) en el contexto de la Grecia antigua es una multiplicidad de unos

perceptibles o inteligibles. El dos es por lo tanto el primer nmero y el uno, el cual (al

combinarse originalmente en el contar) compone las partes de cada nmero, no es un

nmero (pues no es una multiplicidad) sino el arch (fuente) del nmero. Dado que cada

nmero est compuesto por una cantidad exacta de unos, se presenta al alma como

uno y mltiple y, por tanto, como una mezcla de opuestos.7

Ibid., 525c.8

Ibid., 525d.9Ibid., 526a.

10Ibid., 526a-b.

11Cf. Platn, Fedn, 100d.


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mayor grado de esencia (ousa) del original, no pueden ser establecidos por

la percepcin y, por tanto, por la investigacin de la naturaleza. Y, cuandomucho, la descripcin est (como Aristteles sostendr) vaca de contenido

12,

al hablar en metforas poticas13

.

El Scrates de Platn, por lo tanto, no sigue el impulso de su propio

lgosque lo impele a cursar el camino dialctico hasta su n trans-imaginal,

de acuerdo con sus propias estipulaciones en lo que respecta al uso correc-

to de la contemplacin de la naturaleza de los nmeros para guiar al alma

hacia el ser mismo y la verdad. En ningn lugar es esto ms evidente que en

la descripcin que se hace en el mito de la reminiscencia sobre el origen del

aprendizaje y, por lo tanto, el origen del lgosdel alma acerca de los ed.

La descripcin aritmolgica de Platn de los ed

La segunda descripcin que se hace en los dilogos de los edno es ni

evidente ni socrtica. En el lugar de las guras dramticas del lsofo Scrates

y de varios no-lsofos, las guras del lsofo annimo de Elea (el Extranjero)

y del destacado matemtico Teeteto persiguen hasta su n el uso correcto

de la tchnpropia del contar y del calcular para redirigir el alma entera haciala fuente del ser y la verdad. En otras palabras, completan en los hechos lo

que es mera prescripcin en la descripcin socrtica de los ed. Su investi-

gacin dilectica, libre de imgenes, de los edy, ms precisamente, de los

mayores (los ms originarios) gneros (gn14), es presentada de un modo

en el cual la inexactitud de las imgenes que pertenecen al mito socrtico es

superada por la exactitud del nmero y del uno. Cada uno de los cinco gn,

en s y por s (aut kathaut), que la inteligibilidad de cualquier edos

12Aristteles, Metafsica, I, 991a22. Para la traduccin de las citas de la Metafsicase ha

consultado la traduccin de Toms Calvo Martnez (Madrid: Gredos, 1998). Sin embargo,

en los casos en los que ha habido discrepancias, se ha optado por respetar la versin que

presenta el autor del artculo (N.de los T.).13

Ibid., 991a23.14

Gn es el plural de gnos, que se deriva de ggnesthai, que signica llegar a ser

y nacer. Gnos signica tanto un grupo cuyos miembros comparten un parentesco por

el nacimiento (familia) o por la generacin (tribu), como la apariencia (edos) comn

caracterstica de sus miembros. Gnos es por lo tanto frecuentemente empleado por

Platn de manera intercambiable con edos, pese a que en su dilogo titulado el Sosta

se hace referencia a los gnmayores con ms frecuencia a travs del trmino gnque a travs del trmino ed. Si bien este dilogo sienta las bases loscas para la

distincin tcnica entre (en su traduccin latina) gnero (genus) y especie (species),

esta distincin no es utilizada en el dilogo.


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presupone es examinado en una investigacin guiada por la naturaleza de

los nmeros puros empleados por aquellos que son hbiles para el contar yel calcular. Sin embargo, incluso con esta exactitud aadida, se demuestra

que el verdadero modo de ser de los edexcede al mbito del lgos, por la

simple pero profunda razn de que las unidades inteligibles presupuestas por

el saber-hacer del contar aritmtico para componer los nmeros con los que

cuenta son naturalmente inapropiadas para contar las unidades inteligibles

que la dialctica debe presuponer en su investigacin libre de imgenes de

los edms originarios.

El informe de Aristteles acerca de la doctrina no-escrita (agrphois

dgmasin) de Platn, el cual incluye una polmica contra la supuesta ense-

anza de Platn segn la cual los edson nmeros15

, provee de un contexto

indispensable para encontrar en algunos de los dilogos mismos referencias

veladas a una enseanza platnica genuina acerca de los nmeros eidticos.

Este es especialmente el caso del Sosta, en donde un lsofo y un matemti-

co investigan dialcticamente los cinco notms originarios presupuestos

por el pensamiento cada vez que el discurso entiende algo, es decir, los gn

Movimiento, Reposo, Ser, el Otro y el Mismo.

La comunidad (koinna) de los ed

La discusin del Sosta acerca de los cinco gneros supremos est

congurada de acuerdo con el curioso estatus de aquello comn (koinn)

que se muestra en los nmeros matemticos que se ubican entre los objetos

inteligibles en comparacin con aquello comn que se muestra en los obje-

tos inteligibles no-matemticos. La manera en la cual los edde la justicia

y la salud son compartidos por ms de una cosa y son por ello comunes a

cada una de las cosas que toman parte de ellos contrasta claramente con la

manera en que las cosas que toman parte del koinnde un nmero mate-

mtico se relacionan con aquello (el nmero) que tienen en comn. Mientras

que la justicia y la salud caracterizan las diversas cosas que toman parte del

edosde cada una, las diversas cosas que tienen un nmero matemtico en

comn no se caracterizan por aquel nmero que tienen en comn. Por tanto,

si bien tanto Scrates como Hipias toman parte del edossalud y cada uno

es saludable, tomados en conjunto tambin tienen el ser dos en comn, pese

a que cada uno de ellos no es dos sino solo uno. Cuando se trata de objetos

15Aristteles, Metafsica, XIII, 9, 1086a12-13; XIV, 3, 1090b32-33.


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inteligibles como el edossalud, lo que cada uno de ellos es lo son tambin

ambos, mientras que cuando se trata de objetos inteligibles como el nmero,lo que cada uno de ellos es no lo son tambin ambos

16.

El curioso carcter koinndel nmero exhibe por tanto una estructura

que supone un obstculo para cualquier pensamiento que presuponga que

todas las cosas que toman parte de objetos inteligibles deben tener tambin

a estos objetos en comn. El obstculo es el impase (apora) que sigue al

reconocimiento por el pensamiento de que los nmeros son objetos inteligibles

para los cuales esta presuposicin no se sostiene. Cada uno de los elementos

unidos por un nmero es diferente de aquello comn que compone el nme-

ro y, de la misma manera, el nmero es diferente de los elementos que une.

Esta aporaprovee la clave matemtica a la investigacin y descripcin que

el Extranjero y Teeteto realizan acerca de los cinco gnmayores, porque su

investigacin muestra que la presuposicin de que las cosas deban tener en

comn aquello de lo cual toman parte tampoco se sostiene para estos objetos

inteligibles ms originarios.

Empezando con los tres primeros de estos objetos, Movimiento, Reposo

y Ser, ellos investigan a qu se reeren los lsofos que presuponen que la

totalidad del Ser est compuesta de dos elementos (Movimiento y Reposo)

cuando dicen que tanto ambos como cada uno de ellos son17

. Al decir que el

Movimiento y el Reposo son, no pueden estar diciendo que el Movimiento es

idntico al Ser, porque esto presupondra que el Reposo no es algo que es. De

manera semejante, no pueden estar diciendo que el Reposo es idntico al Ser,

porque entonces se presupondra que el Movimiento no es. Se estn reriendo

al Ser, por tanto, como una tercera cosa al lado o fuera del Movimiento y el

Reposo? Esto es imposible, pues presupondra que ni el Reposo ni el Movimien-

to sony que el Ser, de acuerdo con su naturaleza, no es ninguno (ni Reposoni Movimiento)

18. Algo en reposo o en movimiento puede comprenderse como

algo que es, mientras que algo que no est ni en movimiento ni en reposo no

es comprensible en absoluto como algo que es. As, si se presupone que algo

que tiene algo en comn con otra cosa debe ser tambin caracterizado como

aquello que tienen en comn, se seguira que el Movimiento (en s y por s),

por tener el Ser (en s y por s) en comn con el Reposo (en s y por s), se

identicaracomo Ser (en s y por s), e, igualmente, que el Reposo (en s y por

16Cf. Platn, Hipias mayor, 300a-302b.

17Cf. Platn, Sosta, 250a-d.

18Cf. ibid., 250d.


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s), al tener el Ser (en s y por s) en comn con el Movimiento (en s y por s),

se identicaracomo Ser (en s y por s). Pero esto es precisamente lo que nopuede presuponerse cuando se trata de comprender lo que es: que alguna de

las dos cosas que son las ms opuestas entre s, eslo que la otra es. Si esto

se presupone, entonces lo que se est moviendo estara en reposo cuando es

e, igualmente, lo que est en reposo estara movindose cuando es.

En lugar de intentar resolver esta aporadel Ser, el Extranjero le propone

a Teeteto que dejen reposar el asunto e investiguen los modos de ser en conjunto

comunidad (koinna) de los gnMovimiento, Reposo y Ser19

. El Extranjero

articula tres modos: no hay relacin alguna entre ellos, estn todos mutua-

mente relacionados, o algunos estn relacionados y otros no. Los resultados de

la discusin hasta ese entonces niegan tanto la carencia completa de relacin

entre estos gncomo el que todos ellos estn mutuamente relacionados. Estn

relacionados porque tanto el Movimiento como el Reposo son; no estn todos

mutuamente relacionados porque el Movimiento y el Reposo, siendo opuestos,

no estn relacionados en el sentido especco en que algo en reposo no puede

permanecer siendo lo que es y estar en movimiento y, de manera semejante,

algo en movimiento no puede permanecer siendo lo que es y estar en reposo.

As, las relaciones entre los gnMovimiento, Reposo y Ser son parciales: Mo-

vimiento y Reposo, como opuestos, no tienen un gnosen comn y carecen

por tanto de relacin; sin embargo, dado que cada uno es, guardan de todas

formas relacin con el gnosSer. El Ser, como el koinnque une el Movimiento

y el Reposo, lo hace de manera tal que permite su conjuncin como opuestos en

gnero sin que los trminos de esta conjuncin estn basados en algo comn

a cada uno de tal forma que cada uno fuese una parte idntica de aquello que

tienen en comn. Tanto el Movimiento como el Reposo, por lo tanto, sonsin

que el Movimiento tenga algo en comn con el Reposo y viceversa.La koinnaparcial entre Movimiento, Reposo y Ser exhibida por la in-

vestigacin del Extranjero y Teeteto trae a la luz una diferencia decisiva entre

el carcter koinndel Ser y el del nmero, pese a la semejanza de que ni las

unidades que estn en comunidad en un nmero ni los gnque estn en

comunidad en el Ser puedan ser caracterizados en trminos del koinnque

los rene. Los objetos inteligibles reunidos por el nmero dos no son dos, ya

que cada uno es exactamente uno; y los objetos inteligibles (gn) reunidos

por el gnosSer no son Ser, sino precisamente Movimiento y Reposo. En este

19Cf. ibid., 252d-253c.


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sentido son similares. Pero mientras que las unidades que toman parte del

koinnde un nmero no dieren una de otra y son por lo tanto iguales, losgnque toman parte del koinndel gnosSer no solo son diferentes sino que

son mximamente diferentes, opuestos.

Nmeros eidticos

La descripcin que hace Aristteles de lo que Platn dijo en sus doctri-

nas no-escritas acerca de los nmeros eidticos se ocupa precisamente de la

diferencia aqu notada entre la koinnaque el nmero genera y aquella que

el gnosSer produce. Aristteles seala que Platn distingua los nmeros

eidticos de los matemticos sobre la base de sus unidades. Cada nmero

matemtico es la unidad de una multiplicidad de unidades inmutables que

son semejantes, mientras que cada nmero eidtico es la unidad de unidades

inmutables que son nicas20. Las unidades de los nmeros matemticos son

por tanto comparables y susceptibles de combinarse indiscriminadamente

una con otra para formar una comunidad cualquiera, mientras que aquellas

de un nmero eidtico son incomparables (asmbltoi)21 y, por lo tanto, inca-

paces de combinarse una con otra para formar una comunidad cualquiera.Por tanto, el koinndel gnosSer (como un todo) que une una pluralidad de

gn(Movimiento y Reposo) es anlogo al koinndel nmero matemtico (como

un todo) que une una pluralidad de unidades(mnadas). En ambos casos,

la unidad de una multiplicidad es proporcionada por el koinndel todo sin

que ese todo est fragmentado por la multiplicidad: por ejemplo, el nmero

dos une dos unidades sin estar fragmentado en estas unidades, ya que cada

unidad es exactamente una, no dos; del mismo modo, el gnosSer une gn

sin estar fragmentado en estos gn, ya que cada gnos(Movimiento y Repo-

so) es (por s mismo) precisamente no Ser. Sin embargo, la analoga entre la

koinnade las unidades unidas en un nmero matemtico y aquella de los

gnelementales unidos por el gnosSer se viene abajo en el siguiente punto.

El todo que compone la unidad de un nmero matemtico no es atribuible

a las unidades de la multiplicidad que unica; dos, por ejemplo, no es un

atributo de ninguna de las unidades unidas por el nmero dos, porque cada

una es precisamente una, no dos. El todo que compone la unidad del gnos

Ser, sin embargo, es atribuible a los gnde la multiplicidad que es unicada

20Cf. Aristteles, Metafsica, I, 987b19.

21Cf. ibid., XIII, 7.


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por este todo, porque el Ser solo puede ser comprendido si se presupone que

el Movimiento y el Reposo sonsin que, por supuesto, ninguno de los dos seidentique con el Ser en s mismo.

Si se presupone que los gnMovimiento, Reposo y Ser, en tanto objetos

inteligibles, son unidades con el mismo modo de ser que las unidades en

los nmeros matemticos, su nmero (arithms) sera tres. El Movimiento

sera uno, el Reposo otro uno y, nalmente, el Ser un tercer y ltimo uno.

Pero precisamente esta presuposicin fue descartada cuando se rechaz la

presuposicin de que el gnosSer fuese un tercer gnosy, por tanto, estuviese

completamente separado de los gnMovimiento y Reposo, porque se seguira

de esto que ni el Movimiento ni el Reposo seran(y, por lo tanto, no tomaran

parte del Ser). La indagacin dialctica del Extranjero y Teeteto en lo que se

reere al Ser muestra que el koinnde este es precisamente el Movimiento y

el Reposo juntos. La multiplicidad de gnque componen al Ser, por tanto, no

puede ser explicada sobre la base de la presuposicin de que estos gnson

objetos inteligibles como la multiplicidad de unos que componen un nmero.

En esta presuposicin hay tres gneros, Movimiento, Reposo y Ser, mientras

que el examen dialctico (llevado a cabo por el Extranjero y Teeteto) de esta

presuposicin lleva a la presuposicin superior de que el Ser no es un tercer

gnero, sino precisamente el Movimiento y el Reposo juntos. La presuposicin

de que el Ser se pueda hacer inteligible empleando nmeros matemticos,

por lo tanto, no puede resistir el escrutinio dialctico, a pesar de que el Ser

tiene una estructura parcialmente aritmtica; porque, como la totalidad

del nmero, la totalidad del ser retiene su integridad y no se divide entre sus

partes. La unidad no-matemtica pero aun as aritmtica que se demues-

tra en el Sostaque el Ser posee, muestra la estructura de un arithms de

objetos inteligibles cuyas unidades son ed, lo que conrma el reporte deAristteles segn el cual Platn distingua entre nmeros matemticos yed

compuestos como nmeros22

.

El problema originario de la participacin y la tesis de la as llamada sepa-

racin (chrisms)

La segunda descripcin que Platn hace de los edproporciona una

respuesta a la pregunta que permanece sin respuesta en su descripcin socr-

tica, acerca de si las cosas particulares que forman parte de la multiplicidad

22Cf. ibid., I, 987b15-19; XIII, 1086a12-13.


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que participa de un edoslo hacen debido a la presencia del edosen ellas

o porque el edosgenera una comunidad entre ellas. La participacin en elestatus en s y por s de un gnoses el resultado de que las cosas particu-

lares que participan de l se renan de una manera tal que se establece su

comunidad con aquello comn que caracteriza al gnos. Dado que aquello

comn no se fragmenta en las cosas particulares que este establece que deben

ir juntas, la presuposicin de que las rene estando en ellas debe ser recha-

zada. La presuposicin superior es que un gnos(como un todo) compone las

partes que deben ir juntas con l (como suspartes) de un modo que es anlogo

al modo en el que un nmero (como un todo) rene a sus partes.

La segunda descripcin que Platn lleva a cabo de los edpuede ser

caracterizada como aritmolgica antes que como aritmtica, en reconoci-

miento de la naturaleza no-matemtica de las unidades que son unicadas

como un arithms en un nmero eidtico (arithms eidtiks). La descripcin

aritmolgica de los edrealizada por Platn reemplaza, por tanto, el lgos

metafrico de la participacin presente en la descripcin socrtica por el lgos

aritmtico de la descripcin del Extranjero y Teeteto. En lugar del discurso

vago o vaco acerca de cmo las cosas particulares en una multiplicidad

toman parte de o imitan al edosresponsable de su nombre y su ser, el

discurso acerca de la participacin adquiere el tipo de precisin que solo la

exactitud del nmero matemtico y del uno (matemtico) puede proporcio-

nar. Esta precisin, sin embargo, tiene un alto precio. Por un lado, este tiene

que ver con la participacin de los objetos inteligibles entre s, tanto de los

edpresupuestos en el camino dialctico como de los gnms originarios

presupuestos por el ser de cada edos. Por lo tanto, deja desatendida la parti-

cipacin de las cosas no-eidticas en los edresponsables de su ser. Por otro

lado, se centra en la inhabilidad del lgospara dar cuenta del modo de serde los edcontndolos. El no ser susceptibles de ser contados sita el modo

de ser propio de los objetos inteligibles ms all del poder que tiene el lgos

para proveer una descripcincompleta y completamente clara de la esencia

(ousa) de las cosas en el mbito inteligible. Ms aun, dado que estas cosas

(ed) son responsables del ser de las cosas del mbito visible, la limitacin del

lgosa este respecto se extiende ms all de las cosas en el mbito inteligible

hasta las cosas visibles hechas inteligibles por los ed.

La mayor precisin de la segunda descripcin que Platn hace de los

eden comparacin con la primera no la provee de ninguna ventaja denitiva

al articular la verdad del n (tlos) del mbito inteligible que (en tanto ms


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all del Ser) es la fuente de todo lo que es. Pero el resolver en el mbito

inteligible el problema de la participacin, problema con el que se encuentrapor primera vez en el mbito visible, permite discernir con mayor claridad la

relacin entre los edde los mbitos de lo visible y de lo inteligible. As como

el gnosSer (en s y por s) est separado (christn) de los gn(Movimiento

y Reposo), tambin el mbito inteligible (como un todo) est separado de la

multiplicidad de cosas del mbito visible. Por lo tanto, aquello de lo que la

tesis platnica de la as llamada separacin (chrisms) se ocupa ms origi-

nariamente es la estructura-arithms propia del modo de ser del gnos, la

cual es responsable de reunir elementos que son fundamentalmente opuestos

para formar partes de un todo ms comprehensivo. Dado que la participacin

en este sentido es innegablemente ms cercana a la fuente de lo que es, que

la participacin en el sentido de una multiplicidad de cosas tomando parte

de la unidad de una cosa inteligible, puede decirse que este ltimo sentido de

participacin (del devenir con su opuesto, el Ser) presenta una imagen de la

participacin originaria. En este sentido, y solo en este, es legtimo nalmente

hablar (platnicamente) de la participacin como una forma de imitacin.

La manera comn de entender la participacin, la cual identica la par-

ticipacin con la imitacin de las cosas del mbito del devenir respecto de las

cosas del mbito del ser, est, por tanto, extremadamente lejos de cmo luce

la participacin platnica cuando se une dialcticamente la descripcin

socrtica de ella con la aritmolgica. Antes que una teora de dos mundos, de

mbitos separados del devenir y del Ser que se relacionan como una imagen

a su original, precisamente la totalidad de la relacin imagen-original entre

devenir y Ser es ella misma vista como una imagen y, por tanto, como una

imitacin de la totalidad de la mthexisoriginaria propia de la comunidad de

ed(o gn) (koinna tn eidn). Como imagen de la relacin de participacinoriginaria, la participacin de las cosas que devienenen las cosas que sones

una distorsin de esa relacin originaria. Tanto el nombre como el ser de la

cosa que deviene tienen su fuente en un edos, lo que se presta a la creencia

de que los not(ed, gn) son susceptibles de ser contados y de que por

lo dems se relacionan de la misma manera en que los nombres de la cosas

del mbito del devenir que toman parte de ellos se relacionan con aquellas

cosas. Pero precisamente esta presuposicin debe dar paso, en la cima de la

investigacin dialctica, a la visin del nosde los modos de ser no susceptibles

de ser contados, aunque aritmolgicos, propios de los gneros mayores.

En este, el nivel nal de penetracin intelectual, los notpresupuestos por


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el lgos(edygn) no estn numricamente relacionados como lo estn las

palabras (onmata) silentes o audibles que les corresponden. El contar quehace el lgosde estas ltimas (onmata) con miras a comprender los primeros

(edygn) es por lo tanto engaoso.

La disputa de Aristteles con Platn acerca del modo de ser propio de los ed

La disputa de Aristteles con la descripcin platnica de los ed se

ocupa de la separacin que esta plantea entre la esencia (ousa) que per-

tenece a un gnosy la multiplicidad de cosas particulares que esta engloba.

De acuerdo con Aristteles, la respuesta a la pregunta por qu las cosas se

ven iguales? no es porque hay un edosde un mximo rango, el gnos, que

englobe todo lo que es, sino porque cada una de las cosas que son es generada

en alguna materia (hl) por un edoscuyo modo de ser propio es el ser-

en-obra (enrgeia)23

en la materia. La esencia de las cosas causadas por

el perpetuo ser-en-obra del edos(sin que este sufra cambio alguno jams)

es percibida y comprendida por el alma porque el mismo ser-en-obra de un

edosresponsable de la generacin tambin moldea la percepcin del alma

e informa su entendimiento. La esencia o, ms precisamente en el marcode la metafsica de Aristteles, la entidad de las cosas tiene su fuente en la

naturaleza (phsis). La descripcin que lleva a cabo Aristteles de los ed,

por tanto, se mantiene atada a la primera navegacin (la investigacin acerca

de la naturaleza) abandonada por el Scrates de Platn. Este es incluso el caso

cuando los eden cuestin son objetos matemticos, puesto que su modo de

ser abstrado no es ms capaz de existir separado de la multiplicidad de las

cosas sensibles (naturales) que los edde pollos o humanos o de cualquier

otro ser natural.

La descripcin aristotlica de los ed se ocupa por tanto de las dos

premisas claves de la descripcin socrtica de los edrealizada por Platn y

de la premisa principal de la descripcin aritmolgica, todo lo cual presupone

que el modo de ser propio de un edoses accesible a travs de una multiplici-

dad. En el caso de la descripcin socrtica, la armacin de que los edson

23Enrgeia se deriva del adjetivo neutro griego energn, el cual signica en obra

ahora mismo. Su traduccin tradicional latinizada como actualidad, como el estadoo condicin de actuar o hacer, obscurece tanto la inmediatez como la concrecin del

modo de ser-en-obra del edos, el cual siempre obra en alguna materia (hl), siendo

siempre el producto de esto algo particular.


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patrones (paradegmata)24

de las cosas que participan en ellos es rechazada

por Aristteles porque (i) no se ocupa de qu es aquello que est en obra (er-gazmenon), poniendo su mirada en los ed

25y (ii) presupone que algo solo

puede llegar a ser como alguna otra cosa al ser una imagen de ella26

. En el

caso de la descripcin aritmolgica, Aristteles rechaza la posicin segn la

cual en la relacin entre las dos causas de las cosas (el Uno independiente y

la dada indeterminada) el edosgenera solo una vez haciendo a la vez mu-

chas cosas a partir de esta materia [la dada]27

. La generacin seguramente28

ocurre de modo opuesto29

, siendo el edosla causa de la generacin de mu-

chas cosas, mientras que la materia genera una sola vez. Y en ambos casos

se rechaza la posicin segn la cual el edoses capaz de existirseparado de

la multiplicidad de cosas, aunque por razones diferentes. En la descripcin

socrtica, esto se debe a que la causa del movimiento de cada cosa permanece

sin explicar cuando su ousaes postulada como existiendoseparada de la cosa.

En la descripcin aritmolgica, se debe a que la fuente del uno es una medida

que se origina en las cosas sensibles, lo que descarta la descripcin hecha

por Platn de acuerdo con la cual la fuente de un nmero matemtico (y, por

extensin, de un nmero eidtico) es el uno debido a la existencia separada

de la unidad genrica de un nmero.

La crtica de Aristteles a la descripcin socrtica de los ed presentada por

Platn

La crtica de Aristteles a la descripcin socrtica que hace Platn de los

edno niega de plano la armacin de que se tome parte de (metchein)30 los

edsino solo que las cosas que signican (smanei)31 entidad son diferen-

tes en el caso de los edy las diversas cosas que toman parte de un edos32.

No hay nada aparte (par)33 de estas cosas, no hay un uno-sobre-muchos

24Cf. ibid.,I, 991a21.

25Ibid., 991a23.

26Ibid., 991a25.

27Ibid., 988a3-4.

28Ibid., 988a1.

29Ibid.

30

Cf. ibid., 990b32.31Cf. ibid., 991a.

32Cf. ibid.

33Cf. ibid., 991a2.


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(hn ep polln)34

, sino que ms bien hay algo comn (koinn)35

entre ellos y

su edos. Los edson la ousade las cosas en el sentido en el que los paresque participan del Dos en s mismo

36son la misma cosa (es decir, duales),

sin importar si son destructibles o eternos. Ser dual es comn tanto al ob-

jeto inteligible como a las cosas que toman parte de l, lo que signica que el

edos[del Dos en s] es igual37

al par, las dos cosas, al que se aplica. Tomar

parte de un edos, por lo tanto, no duplica el mundo, porque las cosas que

toman parte de l lo hacen en virtud de aquello por lo que tienen ser, y este

ser es el mismo (tautn)38

tanto en la cosa como en el edos. El Dos en s

no es ms dual que el par de cosas que toman parte de l, porque no es ms

dual en tanto aplicado tanto a s mismo como a algo39

.

La crtica de Aristteles a la tesis de Platn acerca del ser separado (chrisms)

de la unidad propia del gnos

La descripcin llevada a cabo por Aristteles acerca del origen de los

nmeros matemticos supone una crtica fundamental a la descripcin arit-

molgica que presenta Platn segn la cual la unidad del nmero tiene una

fuente en un gnosseparado de la multiplicidad de unidades que componencada nmero. La descripcin de Aristteles, por lo tanto, solo puede ser com-

prendida en el contexto de la descripcin aritmolgica que hace Platn de la

fuente propia de la unidad de los nmeros eidticos y matemticos, en tanto

explcitamente lidia con la tesis del chrisms, la atribucin de una unidad

genricaa cualquiera de los dos gneros de nmeros y la necesidad de suponer

un uno (hn) no-matemtico con miras a fundar aritmticamente la unidad

matemtica. La disputa de Aristteles40 con aquellos que hablan de las

cosas matemticas como separadas de las cosas sensibles41, sin embargo,

noes sobre si ellas tienen ser, sino sobre el modo de su ser42. El nmero,

caracterizado como la delimitacin discreta de un campo de unidades para

34Cf. ibid.

35Cf. ibid., 991a4.

36Ibid., 990b33.

37Ibid., 991a7.

38Cf. ibid., 991a6.

39

Ibid., 991a4-5.40Cf. ibid.,XIII, 1, 1076a36-37.

41Ibid., 1076a34-35.

42Ibid., 1076a37-38.


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formar cantidades denidas, cuya fuente (arch) es el uno43

, no est, por lo

tanto, en contradiccin con la crtica de Aristteles a la descripcin que hacePlatn de la unidad del nmero.

Para Aristteles, por tanto, lo que est en disputa es la determinacin

que hace Platn del modo de ser de los nmeros puros como independien-

tes de las cosas sensibles, porque deja de lado precisamente la dependencia

caracterstica de cada nmero respecto de las cosas sensibles. Del hecho de

que es posible articular las partes de algo por medio del discurso declarativo

(ti lgi) antes de denominar el todo, no se sigue que la entidad (ousa) de

estas partes tenga prioridad sobre el ser del todo44

. De la misma manera, del

declarar que hay un nmero de algo no se sigue que ese nmero exista fuera

de aquello que delimita con respecto a su cantidad denida. Por ejemplo, al

llamar a un ser humano blanco, no se hace referencia a ningn otro ser

que precisamente a este ser humano blanco45

. De la misma manera, al decir

tres rboles, tres tiene el mismo estatus que blanco; la cantidad deni-

da de rboles, es decir, tres, carece por tanto de una naturaleza (phsis)

propia46

.

Para Aristteles, entonces, el estatus del ser de los nmeros est de-

terminado por su signicado natural: la asercin de que ciertas cosas estn

presentes en un nmero especco signica solamente que tal cosaest pre-

sente justamente en esta multiplicidad denida47

. Esta caracterizacin del

modo de ser nmero, sin embargo, presenta el problema de cmo dar cuenta

de la cualidad puramente inteligible de los nmeros matemticos. Este es un

problema para Aristteles porque, a diferencia de Platn, quien postula la

independencia del ser inteligible de la unidad respecto de los seres sensibles,

Aristteles confa en el signicado natural (revelado en el anlisis del lenguaje

ordinario) de los nmeros, excluyendo la suposicin que yace detrs de la po-sicin platnica. Excluye la hiptesisde que las caractersticas homogneas,

indivisibles (y por lo tanto, inmutables) propias de la unidad como arch de

los nmeros matemticos tengan su base en un modo de ser separado de las

cosas sensibles. Aristteles, en cambio, explica el modo de ser de estas ca-

ractersticas como proveniente de la abstraccin (ex aphairses)48

, del ser

43Cf. Aristteles, Tpicos,VI, 4, 141b5-7; Metafsica, X, 6, 1056b23.

44Cf. Aristteles, Metafsica, XIII, 2, 1077b1-2.

45

Cf. ibid., VII,4, 1029b13-14.46Cf. ibid., XIII, 6, 1080a15, 1082a16; 8, 1083b22.

47Cf. Aristteles, Fsica, IV, 12, 221b14-15.

48Aristteles, Metafsica,XI, 3, 1061a29.


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elevado desde, atrado desde o, en otras palabras, del ser abstrado de

los seres sensibles. Los objetos matemticos (t mathmatik) estudiados porla epistmmatemtica, que en su ser no estn desvinculados de los seres

sensibles, son, sin embargo, estudiados como si estuviesen desvinculados

o separados. En consonancia con esto, Aristteles sostiene que cada cosa

puede ser entendida mejor de esta manera si uno postula aquello que no

est separado como separado, exactamente como el aritmtico y el gemetra

lo hacen49

.

Cmo es que alguien que piensa objetos matemticos es capaz de

hacerlo como si estuviesen separados de las cosas sensibles, pese a que no

estn separados? La respuesta de Aristteles a esta pregunta surge de la con-

sideracin de cmo las partes singulares (mr) de los seres sensibles son

captadas en el lgos. Cuando se distinguen los aspectos de una cosa sensible

en el discurso, uno detrs de otro, del contexto concreto de su ser, contexto sin

el cual no podran existir (por ejemplo, esta columna blanca redonda),

es evidente que el nexo de ser que vincula a todas las partes en su conjunto

es ignorado de una manera tal que permite que cada parte sea escogida y

aprehendida separadamente. Este ignorar establece un nuevo modo de ver

que permite que algo enlos seres sensibles se presente a su consideracin

de una manera tal que, pese a su variedad y transitoriedad, es inmutable.

Como tal, permanece siempre en la misma condicin y, por lo tanto, satisface

el requisito que tanto para Aristteles como para Platn debe ser satisfecho

para que un ser sea objeto de epistm.

El elevarse desde, caracterstico de la abstraccin, no expresa nada ms

que el ignorar que hace posible articular en lgoslas partes singulares de

una cosa sensible, un ignorar en el que los seres sensibles son privados de

sus cualidades sensibles y sus diferencias individuales. Por decirlo de ciertomodo, se encogen, volvindose meras partes independientes de cuerpos o me-

ros cuerpos ellas mismas, de forma que una disciplina demostrativa se hace

posible. Disciplina que, por as decirlo, descifra desde aquellas partes o cuer-

pos independientes sus aspectos aritmticos y geomtricos, es decir, cuntos

o cun extensos son. Cuando el matemtico teortico, ms aun, al hacer de

aquello que se le muestra en la abstraccin el objeto de su estudio, no ve ya que

aquello que ha sido elevado abstractamente tiene su base en meros cuerpos,

sino que lo ve como una parte de estos que es independiente de suyo, estas

49Ibid., XIII, 3, 1078a21-23.


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partes se vuelven mnadas neutrales. Por tanto, el matemtico estudia las

cosas luego de haberlas despojado de todo lo perceptible, y esto deja detrs[en el caso de la aritmtica] solo lo que es de alguna cantidad

50. El postular

que las cosas matemticas soncomo naturalezas separadas51

es por lo tanto

contrario a la verdad, porque es la suposicinde que sean de esa manera52

la

que es necesaria para el conocimiento matemtico, mientras que en verdad

son derivadas53

. Se trata, por lo tanto, no de una separacin originariasino

de una indiferencia subsecuenteen relacin a la dependencia respecto de los

seres sensibles que caracteriza el modo de ser propio de los nmeros puros.

La tarea de determinar cmo este modo de ser debe ser comprendido, sin

embargo, no atae a las matemticas sino solo a la losofa primera (prt

philosopha)54

. Esto es as porque las matemticas simplemente deben acep-

tar (lambnetai)55

el modo de ser de los diversos seres abstractos originarios

que componen los contenidospre-dadosde la aritmtica y la geometra (por

ejemplo, el uno, lo recto, lo triangular y as sucesivamente) y operar con

ellos solo en tanto sus conexiones no-contradictorias son demostrables.

Para Aristteles se sigue del modo de ser abstracto propio de la mna-

da que la solucin platnica al problema de la unidad del nmero, esto es, a

la pregunta cmo lo mltiple puede ser comprendido como uno de algn

modo, es insostenible. En primer lugar, es insostenible porque la postulacin

de algo comn (koinn) por encima yal lado dela multiplicidad de unidades

supuestamente unicadas por la integridad de su gnosatribuye unidad a

algo que, propiamente hablando, no puede ser uno en absoluto. No puede

ser uno, porque aquello a lo que nos referimos al hablar de un nmero es

precisamente algo que es msque una cosa. Las cosas son una por contacto

inmediato, mezcla, o por la colocacin de sus partes; ninguna de estas op-

ciones es posible cuando se trata de las mnadas en la dada, trada y assucesivamente

56. Ms bien, precisamente as como dos seres humanos no

son algo uno aparte de ambos, as tambin necesariamente las unidades57

.

50Ibid., XI, 3, 1061a28; 32-33.

51Ibid., XIII, 2, 1077a17-18.

52Ibid., 1077a18-19.

53Ibid., 1077a20.

54

Cf. ibid., XI, 4, 1061b25-27.55Cf. Aristteles, Analticos posteriores, I, 10, 76a33.

56Cf. Aristteles, Metafsica, XIII, 7, 1082a20-23.

57Ibid., 1082a23-24.


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En segundo lugar, Aristteles se queja de que acerca de qunmeros son

uno, nadie dice nada58

.La visin platnica de la unidad genrica de los nmeros es consecuen-

cia de la suposicin de la desvinculacin y, por lo tanto, independencia de

las mnadas inteligibles con respecto a los seres sensibles. Esta suposicin

sustrae la base para apelar a la articulacin natural de seres sensibles per-

manentemente diferentes y divisibles, para dar cuenta del origende la deli-

mitacin y unicacin de los nmeros particulares. Habiendo eliminado esta

fundamentacin ltima de toda unidad posible, la tesis del chrismsseduce

a quien la postula a abrazar el punto de vista de acuerdo al cual la posibili-

dad de reunir dosmnadas en unnmero tiene que ser el efecto de un gnos

o edosoriginario y por lo tanto independiente. Por ende, para Aristteles,

un nmero es precisamente no unacosa sino un montn (srs)59

de seres

58Ibid., XII, 10, 1075b34.

59Cf. ibid., VIII, 3, 1044a4; 6, 1045a8-10; XIII, 8, 1084b21-22. Las referencias de Aris-

tteles a un montn en conexin con la pregunta por el ser del nmero se insertan en

discusiones que no caracterizan al nmero explcitamente como un montn. Ms bien,

en cada caso, el que el nmero sea como un montn es presentado como la conclusinque se sigue de que el nmero no sea uno (Metafsica, VIII, 3, 1044a5), o no sea un

todo que est arriba y por encima de sus partes (ibid., 1044a10), o no sea alguna cosa

una (hn ti) (ibid., XIII, 8, 1084b21). Aristteles, sin embargo, est claramente empeado

en establecer que el modo de ser de los nmeros, como cosas matemticas, es deriva-

do (ibid., XIII, 2, 1077a19-20) en el sentido en que su ser no tiene precedencia sobre

las cosas sensibles (ibid., 1077a17-18), y que, por lo tanto, no son capaces de ser en

algn lugar como cosas separadas (ibid., 1077b14-15). El que, para Aristteles, se siga

del hecho de que los nmeros son incapaces de tener ser en este sentido, que cada uno

no es uno sino que es como un montn (ibid., VIII, 3, 1044a4), puede ser visto como el

resultado positivo de su polmica contra aquellos que hablan de los nmeros como siendo

unos en el sentido en el que la entidad (ousa) es una. La entidad no es una en el sentido

en que ellos dicen que lo es, como si fuese una unidad o un punto, sino que cada cosa

independiente (ousa) es un ser-en-obra-permaneciendo-s-mismo completo (entelcheia),

y una naturaleza (phsis) particular (ibid., 1044a7-9); y el nmero para Aristteles es

maniestamente no uno en el sentido en que lo es una cosa independiente. As, cuando

Aristteles arma que es necesario para un nmero que haya algo por medio de lo cual

l es uno (ibid., 1044a2-3), inmediatamente complementa esta armacin (siguiendo

el texto de Ross y no el de Jaeger de la Metafsica) aadiendo esto es, si es que es uno

(ibid., 1044a4); y prosigue luego armando que aquellos que sostienen que el nmero es

uno son incapaces de decir por qu medios lo es. El punto de Aristteles es, por tanto,

que aquellos (es decir, Platn y otros miembros de la Academia) que sostienen que el

nmero es uno (1) estn equivocados, puesto que su armacin se basa en la suposicin

errnea de que el nmero es uno como la entidad es una y que, por lo tanto, la unidaddel nmero es capaz de estar separada de las cosas sensibles, (2) y merecen ser criticados

porque no pueden decir por qu medios el nmero es uno y, por tanto (3), debido a (1) y

(2), el nmero no es alguna cosa una sino ms bien como un montn.


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sensibles o mnadas abstractas. Un nmero, por lo tanto, no es precisamente

nada msque estas partes, ya que un nmero es solo aquello que ha sidocontado o puede serlo60.

Este ltimo punto es crucial, de acuerdo a Aristteles, para entender

adecuadamente el pre-conocimiento que tiene el alma de todos los nmeros

posibles, lo que, siguiendo a Platn, podra ser llamado una posesin alma-

cenada (ktsis)61 en contraste con una posesin en uso (hxis)62. Puesto

que un nmero es algo que coincide con lo que es contado, no debe hablarse

de las estructuras inteligibles puras (es decir, indiferentes a las cualidades

determinadas de los seres sensibles) a disposicin del alma antes del contar

como una cosaque, a su vez, apunta a algo comn (koinn) que debiese

comprenderse como un todo por encima y por fuera de la multiplicidad de

objetos contados63. Por el contrario, debido a que originariamente se conoce

la disponibilidad de tales estructuras enel contar, ella est tambin enrai-

Una slaba es lo opuesto a un montn de acuerdo a Aristteles, en tanto la slaba es algo

distinto de las letras (elementos) de las que est compuesta. Claramente la implicancia

de esto es que el montn no es algo distinto de los elementos que lo componen. Tanto

en el caso del montn como en el de la slaba, Aristteles sostiene que el todo es uno(ibid.,VII, 17, 1041b11-12), pese a que aquello distinto de los elementos en el ejemplo de

la slaba es asemejado a la entidad (ousa) de cada cosa (pues esto es lo que es prima-

riamente responsable del ser de la cosa) (ibid., 1041a27-28), la cual no es un elemento

sino una fuente (arch) (ibid., 1041a31) de su ser una cosa independiente. En el caso

del montn, el punto de Aristteles es que el todo no es uno en este sentido. As, sostiene

que si el nmero es separado (ibid., XIII, 8, 1084b2-3) y, por tanto, en tanto nmero

es compuesto (ibid., 1084b4), el uno es anterior, pero en tanto el universal y la forma

son anteriores, el nmero lo es; ya que cada una de las unidades es parte del nmero

como su materia, pero el nmero lo es al modo del edos. Ya que el edoses indivisible,

los platnicos dicen que es tambin uno, de modo que tanto las unidades, en tanto partes

que componen la hl, como el edosy la entidad (ousa) del nmero son uno, y como

tales, son fuentes (archa). Aristteles sostiene, sin embargo, que esto es imposible (ibid.,

1084b19): ya que si el nmero es algo uno y no como un montn, entonces su edosy

su hlno solo son uno en sentidos distintos, sino que en verdad cada unidad posee el

ser como una potencia (dnamis) (ibid., 1084b21) y no como completamente en-obra

(entelcheia) (ibid., 1084b22-23). El nmero, entonces, no puede estar separado como

dicen los platnicos, esto es, de acuerdo a las dos fuentes de su ser uno que ellos identi-

can, la indivisibilidad del edosy las unidades propias de la hl. Al no estar separado,

se sigue que el nmero no es alguna cosa una, sino como un montn, esto es, como un

todo cuyo ser uno y, por lo tanto, cuya ousason derivados, en este caso, de la multipli-

cidad de unidades que componen los elementos del todo, precisamente en el sentido del

cuntos indicado por este todo no-independiente (ver ms abajo).60

Aristteles, Fsica, IV, 14, 223a24-25.61Cf. Platn, Teeteto, 197b.

62Cf. Aristteles, Analticos posteriores, I, 1, 71a13-28.

63Cf. Aristteles, Metafsica, XIV, 1090a17-18.


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zada en el ejercicio del contar multiplicidades sensibles y de extraer de ellas,

ex aphairses, mnadas puras. Como una consecuencia, los nmeros demnadas puras suponen, no menos que los nmeros de los seres sensibles,

montones en este caso, montones de mnadas puras. Son, por tanto,

uno solo en el sentido en el que se puede decir que algo se extiende sobre

el todo (kathlou)64, lo que descarta que sean una cosa ms de lo que los

nmeros de los seres sensibles son una cosa65.

La respuesta de Aristteles a la pregunta que, segn l, permanece sin

respuesta en la descripcin genrica que hace Platn del nmero, es decir,

ques aquello que es responsable de la unidad propia del nmero, empieza

por aplicarse solo a las multiplicidades realmentecontadas. Tales multiplici-

dades, como multiplicidades de unos homogneos, forman una unidad en la

medida en que cada multiplicidad es medida por su propio uno. As escribe

Aristteles: En efecto decimos uno o muchos como quien dijera uno y unos,

o como cosa blanca y cosas blancas, o al poner las cosas mensurables en re-

lacin con la medida; en este sentido se habla tambin de mltiplos y es que

todo nmero es muchos porque se compone de unos y porque cada nmero

es medido por uno, y es muchos en tanto que opuesto a uno y no a poco. Y

en este sentido tambin dos son muchos, pero no lo son como una multipli-

cidad que tiene un exceso ya respecto a algo ya absolutamente, sino como

multiplicidad primera66.

El contar presupone la homogeneidad de aquello que es contado, lo que

signica que al contar nos jamos en una y la misma cosa, de modo que se

llega a su cantidad denitiva solamente luego de que una y la misma cosaha

sido contada de nuevo. El uno, por tanto, notiene prioridad en el contar a la

manera de la superioridad de un gnero sobre una especie, sino ms bien en

su condicin de medida (mtron) por medio de la cual la cantidad denitiva deuna multiplicidad se determina. El uno no es aquello comn (koinn)67 sobre

o al lado de las cosas, ya que es claro que el uno signica una medida68. El

ser uno de los seres sensibles dene tanto la posibilidad de su ser suscepti-

bles de ser contados como la indivisibilidaddel uno que, en tanto sirve para

proveer la medida de lo que es contado, es una cosa sensible y por lo tanto

64Cf. Aristteles, Analticos posteriores, II, 19, 100a6-8.

65

Cf. Aristteles, Metafsica, XIII, 4, 1079a34-36.66Ibid., X, 6, 1056b23-24.

67Cf. ibid., 1, 1053a14.

68Ibid., XIV, 1, 1087b33.


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indivisa. Por ejemplo, el ser uno de cada manzana dentro de un conjunto de

manzanas no est dividido y no tiene por tanto una divisin, pese a que cadamanzana, en tanto ser sensible, puede ser dividida, como puede serlo cualquier

otro ser sensible. La indivisibilidad, por lo tanto, pertenece a lo que es contado

solamente en tanto es el origen de la medida del contar, porque lo que sea que

no tenga una divisin, en tanto no la tenga, es a este respecto llamado uno69

.

Cualquier nmero especco es, por lo tanto, una multiplicidad medida por

el uno70

. Como tal, su entidad (ousa) es la multiplicidad de unidades como

tales, en el sentido preciso del cunto que indica. Por tanto, la entidad es

entendida aqu por Aristteles como derivada, en la medida en que aquello que

cada nmero es, no es algo que est separado o desvinculado de la cantidad

denida de unidades homogneas que delimita. As, por ejemplo, seis uni-

dades no son dos veces tres ni tres veces dos unidades, sino precisamente

una vez seis71

. Para Aristteles, luego, no hay tal cosa como el seis, con un

ser inteligible que sera distinto de las muchas hxadas delimitadas por esta

o aquella multiplicidad de una vez seis unidades.

El estatus de indivisible por cualquier cosa (pnti adiareton)72

y mxi-

mamente exacto (akribstaton)73

que la unidad (mons) posee de acuerdo al

aritmtico surge para Aristteles de la elevacin de un procedimiento habitual

al rango de epistm. La expresin habitual respecto de los seres sensibles en

todo contar en trminos de su ser uno por ejemplo, en lugar de decir una

manzana, dos manzanas, tres manzanas se dice uno, dos, tres74 apunta ya

al estatus puramente aritmtico de los seres sensibles como materia susceptible

de ser contada. Cuando se eleva abstractamente este estatus a partir de los

seres sensibles, se origina la unidad matemtica. Y no se origina como nada

ms que la condicin de ser una medida como tal, condicin expresada por

su indivisibilidad y exactitud. La condicin del uno como medida es aquelloresponsable de la aplicabilidad universal de los nmeros puros, a saber, de la

aplicabilidad de la unidad a cualquier ser arbitrariamente susceptible de ser

contado. La unidad es as aplicable porque su modo de ser noest separado

de los seres sensibles que son las fuentes de su origenabstracto. Por tanto, es

solo porque los seres sensibles, comoel gnerode seres que son, son unos e

69Ibid., V, 6, 1016b4-6.

70Ibid., X, 6, 1057a3 ss.

71

Cf. ibid., V, 14, 1020b7 ss.72Cf. ibid., X, 1, 1053a1 ss.

73Cf. ibid., 1053a1.

74Cf. ibid., XIII, 7, 1082b35.


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Burt Hopkins

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indivisibles, que el aritmtico habiendo ya postulado abstractamente la uni-

dad como totalmente indivisible es capaz de ver entonces lo que siempre sesigue de cualquier ser sensible dado en la medida en que puede ser contado o

se puede calcular con l como una unidad. As, por ejemplo, un ser humano

por el gnero de ser que es, a saber ser humano, es uno e indivisible y, como

tal, la unidad (mons) abstractaes aplicable a l75

.

La crtica de Aristteles y el problema de los nmeros detrs del platonismo

Puesto que para Aristteles no se sigue de la koinnade las unidades

de un nmero que el nmero mismo sea una unidad, como aparentemente s

sucede para Platn y el punto de vista platnico, la nica unidad posible de

un nmero para Aristteles es la unidad de medida empleada en el proceso de

contar. La unidad de dos lsofos, por ejemplo, es lsofo para Aristteles,

como lo es la unidad de tres lsofos, y as sucesivamente, para cuantos lso-

fos uno cuente. La posicin platnica que emerge de la polmica de Aristteles

contra ella, de acuerdo a la cual es solo porque hayedque se copertenecen

y cuya koinna, por lo tanto, compone un parentesco que produce junto a su

comunidad un nmero eidtico debido a la conexin aritmolgica de susmiembros, se ocupa precisamente de la pregunta por el modo de ser que

pertenece a la unidad propia de los diferentes nmeros. As, se puede hablar

del Dos en s, o del Tres en s, y as sucesivamente (aparentemente hasta el

diez76) desde el otro lado de la koinnade los edcomo aquello que provee

la unidad diferenciada responsable del modo de ser propio de cada nmero

matemtico. Por lo tanto, es solo debido a la articulacin originaria propor-

cionada por los edque componen los nmeros eidticosque puede haber

arbitrariamente muchos nmeros matemticos, tales como las dadas o las

tradas, tanto en el mbito de las unidades puras como en el de las cosas sen-

siblemente percibidas. Cualesquiera sean las dicultades de este platonismo

aritmtico, parece claro que se ocupa de un problema que surge de los nmeros

y que Aristteles no vio, a saber, cmo dar cuenta de la unidad diferenciada

propia de cada uno de los nmeros bsicos empleados al contar.

Traduccin del ingls de Alexandra Alvn y Rodrigo Ferradas

75Cf. ibid., 3, 1078a23-25.

76Cf. ibid.,XII, 8, 1073a20; XIII, 8, 1084a12-13, 25-26; Fsica, III, 6, 206b32-33.

filosofia de las matematicas critica de aristoteles a los numeros eideticos

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