fijas_mat san marcos

7/29/2019 FIJAS_MAT San Marcos

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1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -A CONTINUACION PRESENTAMOS LASPREGUNTAS QUE POR SU SIMILITUD SE

REPITEN EN LOS EXAMENES DE ADMISION

A LA UNIVERSIDAD SAN MARCOS. ESTASSON EXTRAIDAS DE LOS MISMOSEXAMENES DE ADMISION.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ECUACIONES- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1. SAN MARCOS ADMISION 2008 - II

Manuel pag una deuda de S/. 350 con billetes de S/.10, S/. 20 y S/. 50. Cul fue la mnima cantidad debilletes que utiliz en el pago de su deuda?A)9 B) 8 C) 10 D) 11 E) 7- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

10(a) + 20(b) + 50(c) = 350a + 2b + 5c = 35Mnima cantidad de billetes (por induccin) se da para:

a = 1 ; b = 2 ; c = 6 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2. SAN MARCOS ADMISION 2008 - II

Juan le dice a Pedro: Si me dieras 5 de tus canicas,ambos tendramos la misma cantidad y este lerespondi: Si me dieras 10 de las tuyas, tendra eldoble de lo que te quedara. Cuntas canicas tieneJuan?A) 45 B) 30 C) 50 D) 35 E) 40- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

J + 5 = P 5 ........... (1)P + 10 = 2(J 10) ... (2)Resolviendo (1) y (2): J = 40 ; P = 50 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - II

Si p q r

0, hallar el valor de x en el siguientesistema.px + qz = rqy + rx = prz + py = q

A)pq

rqp 222 B)

pr2

qpr 222

C)pq2

rqp 222 D)

pr2

prq 222

E)

qr

prq 222

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

p x + q z = r ........... (multiplicando r)

r p x + r q z = r ......(a)r z + p y = q ........... (multiplicando q)q r z + q p y = q2 .....(b)Restando (a)-(b):r p x - p q y = r - q 2...... (1)

Dato: q y + r x = p ......... (multiplicando p)p q y + p r x = p ..... (2)

Sumando (1) y (2): 2 p r x = r - q + p

x = pr2qpr 222

RPTA: B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - II

Si x > 0, las soluciones de la ecuacin 3 2/1x3x =10 se puede hallar resolviendo la ecuacinA) x2 + x 10 =0 B) 3x2 + 3x 10 = 0

C) 9x2 82x + 9 = 0 D) 9x2 + 3x - 3

10= 0

E) 9x2 8x + 9 = 0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Ordenando:10

x

3x3

3x + 3 = 10 x

Elevando al cuadrado ambos lados:(3x + 3) = 100x9x - 82x + 9 = 0

Es decir: 3 10x3x2

1

se puede hallar resolviendo: 9x - 82x + 9 = 0 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

El valor de a para que el sistema:

54ayx3

18y2x

Sea posible e indeterminado es:A) 3/2 B) -6 C) -2 D) 2 E) 6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:Se debe cumplir que son rectas paralelas:

54

18

a

2

3

1

de donde a = -6 RPTA: B

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Para qu valores a y b el sistemaax + y = 8.......(1)x + by = 9.......(2) tenga infinitas soluciones?

D como respuesta la suma de los valoresencontrados.A) 117 / 54 B) 113 / 56 C) 145 / 72D) 126 / 45 E) 130 / 63- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Las rectas deben ser paralelas:

8/9a;9

8

b

1

1

a b = 9/8 ;

(Nota: existen mas fracciones equivalentes).

Pero la suma es: a + b =72

145

8

9

9

8 RPTA: C


Si los enteros x = a e y = b constituyen una solucindel sistema

x

121y

y

12y2

x2

, entonces a + b es igual a

A) 7 B) 8 C) 6 D) 4 E) 5- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

2b

12

b

2a ; ab = 2b + 12 . . . (1)

1a

12b ; ab = 12 - a . . . (2)

b = (12 - a)/a . . . (3) Usando sustitucin:

(3) en (1) :

12a

a122

aa12

a2

a - 34a + 120 = 0a = 30; a = 4 y b = 2 a + b = 6 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I

Dado los trminos semejantes:

(3a + 2b)ma+4b n-b-3a y a51b213 nmb

25a

3

5

El valor de: ....b

a

b

a

b

aba

1211

4

4

3

3

2

2 es

A) 8 B) 16 C) 20 D) 7 E) 13- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Por ser trminos semejantes: a + 4b = 13 + 2b

a + 2b = 13 ......... (1) - b 3a = 1 5a

2a b = 1 ....... (2)Resolviendo (1) y (2): a = 3 ; b = 5

Se pide: ....b

a

b

a

b

a

b

a1

2

114

4

3

3

2

2 =

.....5

3

5

3

5

3

5

31

2

114

4

3

3

2

2

Hay una serie geomtrica de razn 3/5 < 1

Recordamos: S = 1 + q + q2 + q3 +. =q1

1

; (q < 1)

En la serie ser:25

211

1

1211

53

=

2

16= 8

El valor es 8 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -9. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I

Sean x, y nmeros reales no nulos. Si 1x

y6

y

x el

valor de la expresin x2 - xy - 6y2 esA) 0 B) 2y C) 1 D) 2x E) 2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Operando: 1x

y6

y

x x2 - 6y2 = xy

x2 -xy - 6y2 = 0 En la expresin es: 0 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

POLINOMIOS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -10. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II

Determine el MCD de los siguientes polinomios:

P(x ; y) = x3 + x2y + xy2 + y3

Q(x ; y) = x3 - xy2 + x2y - y3

R(x ; y) = x4 - 2x2y2 + y4

A)x(x-y) B)(x+y)y C)x+y D)x-y E)(x+y)(x-y)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:Factorizando cada polinomio:

P(x ; y) = x3 + x2y + xy2 + y3 = x2(x + y) + y2(x + y)P(x ; y) = (x + y)(x2 + y2)

Q(x ; y) = x3 - xy2 + x2y - y3 = x(x2 - y2) + y(x2 - y2)Q(x ; y) = (x2 - y2)(x + y) = (x - y)(x + y)(x + y)Q(x ; y) = (x + y)2(x - y)

R(x ; y) = x4 - 2x2y2 + y4 = (x2 - y2)2 = (x + y)2 (x - y)2

Luego: MCD (P, Q, R) = x+y RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -11. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II

Si (x) =2

ee xx y (x) =

2

ee xx

Calcular: )x2(1 )x2(

A))x(1

)x(

B))x(

)x(1

C))x(

)x(

D) -)x(

)x(

E) -)x(1

)x(

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Usando la regla de correspondencia:

)x2(1

)x2(

=

2

ee1

2

ee

x2x2

x2x2

Operando tenemos en el numerador binomiosconjugados de la forma: a2 - b2 = (a+b)(a-b); en eldenominador un binomio al cuadrado:


2/8

2

=2x2

x2x2

x2x4

x4

)1e(

)1e)(1e(

1e2e

1e

Simplificando observamos que si dividimos numeradory denominador por 1/2 obtenemos:

=)x()x(

2

ee2ee

1e

1exx

xx

x2

x2

RPTA: C

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -12. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - I

Cual es el nmero que se debe restar al siguiente

polinomio P(x) = 2x5 - x3 - 2x2 + 1 para que seadivisible por (x - 2)? Dar como respuesta la suma decifras de dicho nmero.A) 10 B) 19 C) 13 D) 16 E) 9- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Al polinomio P(x) = 2x5 - x3 - 2x2 + 1 Se le restar N:

P(x) = 2x5 - x3 - 2x2 + 1 - NEste polinomio debe ser divisible por (x - 2), usando elteorema del resto:(x - 2) = 0 x = 2

P(2) = 2(2)5 - (2)3 - 2(2)2 + 1 - N = 0N = 49

Se pide la suma de ci fras: 4 + 9 = 13 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -13. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - I

Dado: R(x) =1x

1x

Q(x) =1x

1x2

2

Calcular: R( Q( R(x) ) )

A)1x

1x

B) x+1 C)2

1x

1x

D) x - 1 E)1x)1x( 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

SOLUCION:Primero calculamos Q( R(x) )

Q(R(x)) =

11x

1x

11x

1x

1)x(R

1)x(R2

2

2

2

=

=22

22

)1x()1x(

)1x()1x(

Usando las identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 + (a b)2 = 4ab

Q( R(x) ) =

x2

1x

)1)(x(4

)1x(2 22

Calculando R( Q( R(x) ) )

R( Q( R(x) ) ) = R(x2

1x2 ) =

1x2

1x

1x2

1x

2

2

=x21x

x21x2

2

Observamos binomios al cuadrado:

R( Q( R(x) ) ) =2

2

2

1x

1x

)1x(

)1x(

RPTA: C

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

14. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2001

Si el cociente notable2n

m30

yx

xx

tiene 10 trminos,

hallar el valor de (m+n)

A) 23 B) 21 C) 25 D) 35 E) 50- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Por propiedad de Cocientes Notables:

# de trminos: 102

m

n

30

Resolviendo: n = 3 ; m = 20 ; m + n = 23 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -15. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Al efectuar la suma siguiente3a1a

3a1a

se obtiene:

A)2a9

a4

B)

9a

a52

C)3a

a2

D)2a9

a4

E)

9a

1a2

2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Dando comn denominador (a+3):

3a

a2

3a

1a1a

3a

1a

3a

1aR

RPTA: C

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

SUCESIONES- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -16. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSHallar la suma de los 30 primeros nmeros mayoresque 1 de la forma 4n + 1 4n - 1.A) 1 050 B) 960 C) 990 D) 980 E) 900- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Hay 2 series cada uno de quince trminos:1 : 4 (1) + 1 = 52 : 4 (2) + 1 = 93 : 4 (3) + 1 = 1315 : 4 (15)+1 = 61

5, 9, 13, ... 61 suma: 152

615

La segunda suma es: 1 : 4 (1) - 1 = 32 : 4 (2) - 1 = 73 : 4 (3) - 1 = 1115 : 4 (1)-1 = 59

3,7,11,59

Suma: 152

593

La suma total es: 960 RPTA: B

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -17. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSLa suma de los 2 nmeros que siguen, en la serie3, 14, 39, 84, 155, . . . . es

A) 258 B) 413 C) 657 D) 399 E) 671- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

SOLUCION:Buscando la relacin por diferencia:3 14 39 84 155 258 339

11 25 45 103 14114 20 26 32 38

6 6 6 6La suma es: 258 + 339 = 657 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -18. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

En una sucesin los 6 primeros trminos son:4. -2, 7, -5, 10, -8. La suma de los 5 ltimos trminos a

partir de - 8 esA) -4 B) 4 C) 2 D) 10 E) 62- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

La sucesin se forma sumando en parejas de 2

2

24

2

57

2

810

2

2

A partir del -8 la suma de los 5 ltimos trminos es:-8 + 2 + 2 = -4 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

19. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

En una proporcin geomtrica contina la suma de lostrminos medios es igual a los 5/13 de la suma de losextremos. Si la razn de la proporcin es menor queuno, hallar dicha razn.A) 1/7 B9 2/7 C) 2/3 D) 1/3 E) 1/5- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Usando las propiedades de proporciones:

kcb

ba

11k

c)ca(k

ca 22

(a+c)=(k2+1)c

Por dato: 2b = c)1k(13

5)ck(2)ca(

13

5 2

Resolviendo: 5k - 26k + 5 = 0 Resulta:k = 1/5 ; k = 5 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -20. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Si x es el trmino que sigue a 15 en la sucesin:0 , 1 , 3 , 7 , 15 ,... entonces el valor de x - 30 x + 2 esA) 72 B) 81 C) 63 D) 33 E) 31- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Tenemos:

De este modo: 312 30(31) +2 = 33 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -21. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Hallar el dcimo trmino del a sucesin:

;.........16

31;

8

17;

4

7;

2

1

A)1024

133B)

1024

147C)

1024

165D)

1024

199E)

1024

101

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

El denominador es una serie de la forma:21, 22, 23, 24, 210

El denominador dcimo es : 210

= 1024el numerador es una serie1 7 17 31 49 71 97 127 161 199

6 10 14 18 22 26 30 34 384 4 4 4 4 4 4 4

El dcimo trmino es: 199/1024 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -22. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Hallar la suma de los 20 primeros trminos de lasucesin: 3 x 4 , 6 x 7 , 9 x 10 , 12 x 13 , A) 26 460 B) 28 520 C) 26 400D) 28 400 E) 26 520- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Podemos escribir como:3 x (3+1) , 6 x (6+1) , 9 x (9+1) , 12 x (12+1) ,

32

+3 , 62

+6 , 92

+9 , 122

+12 .Al sumar tenemos:S = (32 + 62 + 92 +122 +.) + (3 + 6 + 9 + 12 + .)S = 32(12 + 22 + 32 +42 +.) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + )Se trata de dos series conocidas cuya suma de los 20primeros trminos es:S = 32(20x21x41)/6 + 3(20x21)/2 = 26 460 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -23. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

N nmeros naturales estn en progresin aritmtica derazn 2 y el promedio aritmtico de los dos ltimosnmero es 8N. Hallar el promedio aritmtico de los Nnmeros dados.A) 6N+2 B) 7N+10 C) 7N+5 D) 6N+1 E) 7N+2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Sean los ltimos trminos: m, m-2Dato: (m-2 + m)/2 = 8 N m = 8N+1Por trmino de lugar N (ltimo):TN = a + (n-1)r (el ultimo termino es m = 8N+1)8N+1= a + (N -1)(2)a = 6N +3 (primer termino)

FIJASDEMATEMATICAPARA

SAN

MARCOS

EDITORADELTA-JR

CAMANA1135STAN

D467CERCADODELIMA

http://editoradelta.blogsp

ot.com


3/8

3

Promedio:

2N7)N(2

)N()3N6()1N8(

RPTA: E


De cuntas maneras diferentes podemos elegir a 5personas de un grupo de 11 para ir a una fiesta, si sesabe que entre las 11 hay una pareja de esposos queno va el uno sin el otro?A) 3528 B) 210 C) 630 D) 3024 E) 126- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Al tomar 5 de los 11 hay dos casos:

1) Que estn los esposos que van juntos: 93C

2) Que no estn los esposos que van juntos: 95C

Total de maneras: 93C +95C = 210 RPTA: B


En la siguiente progresin aritmtica: 10, x, z,.....Se sabe que la suma de los primeros 6 trminos es270. Determine el valor de (x + z)A) 62 B) 60 C) 70 D) 54 E) 65- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

S = (a + u)/2 = [a + (a+(n-1)r)]/2 = [2a1+(n-1)r]n/2270=[2(10)+(6-1r)]6/2 r = 14La serie ser: 10, 24, 38 x + z = 62 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

PUNTOS Y RECTAS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -26. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II

Si AP es una bisectriz del ngulo A; adems AB //QP,calcular el valor de: x

A. 34 B. 30 C. 45 D. 60 E. 15- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

De los datos: + 28 = 2 = 28

Pero: 2 + x = 90 x = 34 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -27. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

En la figura, AB = 20 km, AP = 3

km, y BQ = 12 km. Una personaubicada en el punto P debe

llegar a un punto de AB y luegodirigirse al punto Q. Cul es lalongitud del mnimo recorrido?A) 21 km B) 24 kmC) 25 km D) 28 km E) 26 km- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Para hallar el camino mas corto de P a Q pasando porun punto de AB, se traza simtricamente AP y BQ,respecto a la vertical AB, se cumple:a + b = 20...... (1)

Por semejanza:12

b

3

a .. (2)

Resolviendo: b = 16, a = 4Por Pitgoras: 22 12b = 20

22 3a = 5

La distancia es 20 + 5 = 25. RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -28. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Dados los tringulosPQR y PSR, segn lafigura adjunta, si =/5 y el ngulo PSR =50, Entonces el ngulo es igual a:A) 20 B) 18C) 22 D) 24E) 26- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

De la figura:

13565

5

En el triangulo PQR

18022

13026

= 24RPTA: D

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -29. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II

Hay dos postes de altura a y b separados por k metros.Si se traza una lnea de la cima de un poste a la basedel otro y viceversa cortndose en un punto P. Hallar laaltura del punto P al piso.

A)

ba

a

B)

ba

ab

C)

b

ba D)

b

aE)

ba

ba

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Se observa que:b

x

nm

m;

a

x

mn

n

Sumando miembro a miembro

baabxbxax1 RPTA: B


Halle el valor de x en la ecuacin

)60(tan2

x)30csc()4x()45(cos)1x(6 22

A) 10 B) 21/5 C) 15 D) 21/4 E) 14- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

6(x-1)cos2(45) - (x-4)csc30=2

xtan2(60)

cos45=2

2

2

1 ; csc30= 2; 360tan

Reemplazando:

22

)3.(2

x2).4x(

2

2)1x(6

x2

38x23x3 x = 10 RPTA: A

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

TRIANGULOS


Los lados de un tringulo son nmeros naturalesconsecutivos y el ngulo mayor es el doble del menor.Hallar la suma de los lados.A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 E. 17- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Sea el triangulo ABC de lados consecutivos:p, p+1, p+2, prolongando CB hasta P, de manera que: APC =

Por semejanzaentre PAC y PBA:

2p

p

1p2

2p

p = 4Suma de lados:4 + 5+ 6 = 15

RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -32. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II

Si AP es una bisectriz del ngulo A; adems AB //QP ,calcular el valor de: x

A. 34B. 30C. 45D. 60E. 15

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

De los datos: + 28 = 2

= 28Pero:2 + x = 90 x = 34RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -33. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II

Halle el permetro del tringuloequiltero ABC, sabiendo que labase media del trapecio BCMN

mide 3 3 . M y N son puntos

medios de los lados AB y AC

respectivamente.A. 4 3 B. 8 3 C. 12 3 D. 24 3 E. 8 3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Si el lado del trianguloequiltero mide: 2a, labase media mide:

MN = a

Por dato: PQ = 3 3

332

a2a

a = 2 3

Permetro = 3(2a) = 12 3 RPTA: C


En la figura AB BC, hallar el valor de x + y


4/8

4

A) 70B) 47C) 63D) 49E) 51

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

De la figura, en ABC: 64 + 57 + x + 26 = 180x = 33

ADE, nguloexterior:y + 41 = x + 26y + 41 = 59y = 18x + y = 51

RPTA: E


Calcular la medida de una de las diagonales de unpentgono regular cuyo lado mide 2 cm.

A) (1 + 5 ) cm B) (2 - 2 ) cm C. (2 - 5 ) cm

D) (2 + 2 ) cm E) (1 - 5 ) cm- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Como el triangulosombreado pertenece aun decgono regular:

L10 = )15(2

R

2 = )15(2

x

x = 1 + 5

Otro mtodo, es usando la formula: L52 = L102 + L62

RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

36. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSUn tringulo issceles tiene un rea de 12 cm y sualtura es menor en 2 cm que el tercer lado. Hallar elpermetro del tringulo.A) 16cm B) 22cm C) 29cm D) 18cm E) 14cm- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

En la figura tenemos:

122

H2H

(H - 2) (H) = 24H = 6

Permetro:10 + 6 = 16 RPTA: A


En un triangulo AOB tal BO = 4m y AB = 8m. Cul essu rea total?

A) 32 B) 16 C) 8 D) 8 3 E) Ninguna anterior

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Por Pitgoras:

34x

2

344S = 8 3

RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

CIRCUNFERENCIA- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -38. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

En la figura, la recta t es tangente a la circunferencia yparalela al segmento DE.Si AD = 6, AE = 5 y CE = 7, hallar BD.

A) 2.5B) 4C) 3D) 4.5E) 3.5

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

De la semejanzade tringulosentre: ADE y ABC(por el ngulo yel ngulo A), setiene que:

2

B

A

C

x 7

ED

6

5

AD

AC

AE

AB

6

75

5

6x

x = 4 RPTA: B


En la figura, A, B y C son centros de lascircunferencias; T y P son puntos de tangencia.Si AC = 7 cm, calcular el

permetro del tringuloABC.A) 14 cm B) 35 cmC) 22 cm D) 21 cmE) 28 cm

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

En la figura se tiene:TA = r + n = 7(TA radio de lacircunferencia)Permetro:n + r + 7 + 7 = 21RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -40. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

En la figura, P, Q, y T son puntos de tangencia, a y bson los radios de las semicircunferencias.

Determinar la distancia del punto T a la recta PQA) ab2 B)

baab2

C)ba

ab

D) ba E) ab

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Sea OM OP,TR = x distancia

Se tiene:x = m + b ...... (1)

Por proporciones: m / (a-b) = b / (a+b) ..... (2)(2) en (1) x = (2ab)/(a+b)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -41. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Si la circunferencia rueda a la derecha, desde laposicin indicada en la figura, qu longitud recorrerhasta que el punto B toque la superficie por terceravez?A) 10/3B) 40C) 100/3D) 20E) 80/3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

La longitud del recorrido del ngulo en radianes es:I = R

Primero recorre 2 -3

2=

34

3

20)5)(

3

4(l1

Una vuelta entera es: 2(5)

El punto B toque la superficie por tercera vez:l1 + l2 + l3 = 20/3 + 2[(2)(5)] = 80/3 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -42. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Un crculo y un cuadrado tienen la misma rea cul esla relacin del permetro del crculo al permetro delcuadrado?

A)2 B)

2 C)

4 D)

1 E)

4

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Por dato tenemos:A(circulo) = A(cuadrado)

22 ar

1

ar

Formando la relacin:2

1

a4

2

a4

r2

RPTA: A


En la figura, se tiene un cuadradode lado 8 cm y tres semicrculos

con radios iguales. Hallar el reasombreadaA) 8(8 - ) B) 8(4 - )C) 16(4 - ) D) 16 E) 8- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Haciendo traslacin de reas hacemos posible unasolucin rpida del problema pues:A(x) = Area del cuadrado - Area de medio circulo

2)4(

8)x(A2

2

A = 64 - 8A = 8( )8

RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

44. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSEn la figura se muestra un trapecio issceles cuyasbases miden a cm y b cm. Hallar el radio de lacircunferencia inscrita.

A) ab cm B)21 ab cm

C) 2 ab cm C)41 ab cm

E) a b cm

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Trazando la altura delrapecio, este adems

es el dimetro de lacircunferencia.

Si las bases son a y b, por los puntos de tangencia y lasimetra tenemos que se forma un triangulo rectngulode hipotenusa: (a+b)/2 y catetos (a-b)/2 ; hUsando Pitgoras y la Identidad algebraica dediferencia de cuadrados en el triangulo:

222

h2

ba2

ba

abh Pero h = 2R

Entonces:2ab

RabR2 RPTA: B

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

CUADRILATEROS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -45. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I

Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 8m y 12 m, respectivamente, y forman un ngulo de 60.Hallar el producto de las longitudes de sus diagonales.


5/8

5

A) 16 133 m2 B) 18 133 m2 C) 16 19 m2

D) 12 19 m2 E) 16 7 m2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

En la figura:

Por Pitgoras en ACE:AC2 = AE2 + CE2

AC2 = 162 + (4 3 )2

AC2 = 304En BDF: BD2 = DF2 + BF2

BD2 = (4 3 )2 + 82

BD2 = 112

Se pide el producto: (AC)(BD) = 16 133 RPTA: A


En la figura, se tiene doscircunferencias de centros O1 yO2 y del mismo radio, lascuales se intersectan en lospuntos P y Q. Si 21OO es el

dimetro de la circunferenciainterior y PQ = 6m, hallar elrea de la regin sombreada.

A)2

5m2 B) 5 m2 C)

2

365m2

D) (5 - 6 3 )m2 E)3

5m2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Se forma un tringulo equiltero O1PO2O1P = PO2 = O1O2 = R MO2P = 60Por simetra tenemos: PM = MQ = 3

En el triangulo obtenemos:

R = 2 3 , r = MO2 = 3

El rea sombreada es:2 [A. sector (120) - A. (PQO2) A. semicrculo]

3652

)3(

2

36)32(

360

1202

2

RPTA: D


Un rombo de lado 8 cm es tal que uno de sus ngulosinternos mide 45. Hallar el rea del rombo.

A) 28 2 cm2 B) 36 2 cm2 C) 30 2 cm2

D) 32 2 cm2 E) 26 2 cm2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Debemos tener en cuenta lapropiedad del rea del triangulo:

A = sen2

ab

En el problema:

Area del rombo = 2(Area ABC)

Por la propiedad

Area ABC =2

)8)(8(sen 45

= 16 2Entonces:

Area del rombo = 2(16 2 )

= 32 2 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -48. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - I

Se tiene un cuadrado inscrito en unasemicircunferencia de dimetro 2R. Hallar el rea delcrculo inscrito en dicho cuadrado.

A) 2R5 B) 2R5 C)5

R2D)

5R2

E) 2R

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

= lado del cuadradoPor Pitgoras:

5

R2R

22

22

r = radio inscrito en el cuadrado.

r =5

R

2

; Area =

5R

r2

2 RPTA: E


Hallar el rea de la zona sombreadaen el cuadrado ABCD, donde M y Nson puntos medios de los lados, yMN = 1,5 m.A) 2.65 m2 B) 2.25 m2C) 2.50 m2 D)2.16 m2

E) 2.56 m2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

= lado del cuadrado

MN =2

2

2

AC

= 1.5 2

A = (1.5 2 )2 = 4.5

A AMB = A BNC =4

1A

A sombreada =2

1A = 2.25 RPTA: E

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

RELACIONES METRICAS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -50. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II

Los lados de un tringulo son nmeros naturalesconsecutivos y el ngulo mayor es el doble del menor.Hallar la suma de los lados.A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 E. 17- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Sea el triangulo ABC de lados consecutivos: p, p+1,p+2, prolongando CB hasta P, de manera que APC =

Por semejanza entrePAC y PBA:

2p

p

1p2

2p

p = 4

Suma de lados: 4 + 5+ 6 = 15 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -51. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2006 - II

Consideremos un tringulo rectngulo cuyos catetosmiden a y b (a < b), en l se traza la alturacorrespondiente al ngulo recto determinndose dos

regiones triangulares cuyas reas son A y B que tienencomo uno de sus lados a dichos catetos de longitudesa y b respectivamentea. Calcule A / B en trminos de a y bb. Demuestre que A < B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Condiciones1. Tringulo rectngulo

2. Longitud de los catetos es a y b, tal que a < b3. altura correspondiente al ngulo recto4. A: rea de la regin triangular determinada por la

altura y el cateto de longitud a.B: rea de la regin triangular determinada por laaltura y el cateto de longitud b.

Piden:a. Calcular A/B en trminos de a y b.b. Demostrar que A < B

a. Las condiciones

En el ABC notemos que al haber tarazado la alturaBH..m Ang. BAC = m Ang. HBC = m ang. ACB = m Ang. ABH = EntoncesTriang. AHB = Triang. BHCPor relacin de reas de regiones semejantes

2

2

b

a

B

A

Debido a que AB y BC son elementos homlogos dedichos tringulos semejantes (sus hipotenusas)b. De lo anteriorA / B = a2 / b2 ..(1)De la condicin a < b como b 0, entonces

(por ser la longitud de un cateto) a/b < 1Elevando al cuadrado a2 / b2 < 1 (2)De (1) y (2) A / B < 1 luego: A < B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -52. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS 2005 - II

En el tringulo ABC, calcular ladistancia del baricentro alvrtice C, siendo CD dimetrode la circunferencia.

BC = 12 m5 y OD = 30 m

A) 4 m B) 10 m C) 6 mD) 8 m E) 2 m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Por relaciones

mtricas en elCBD:

CB2 = MCxCD

(12 5 )2 = (CM)(60) CM = 12Por teora del baricentro, la distancia delvrtice C al baricentro en el punto G es: CG

=3

2CM CG =

3

2(12) = 8 RPTA: D


Se tiene un tringulo issceles PQR cuya rea es 144m2, los ngulos en P y en R miden 15 cada uno.Calcular la altura relativa al lado QR .

A) 12 m3 B) 12 m C) 12 m2

D) 12 m56

E) m2

12

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

FIJASDEMATEMATICA

PARASANMARCOS

http://editoradelta.blogspot.com


6/8

6

SOLUCION:

Se busca: PH = xDe la figura: PQ = QR = 2xrea:

1442

x2x2QRPH

x = 12 RPTA: B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -54. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

En la figura, PQRS son lospuntos medios del cuadrilteroABCD y SP = 2CQ. La medidadel ngulo x es:A) 150 B) 30 C) 120D) 60 E) 90- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

En el triangulo cuyahipotenusa es 2x y uncateto es x se cumpleque el Angulo es 30El ngulo x = 60RPTA: D


Los ngulos de un tringulo rectngulo estn enprogresin aritmtica. Hallar su permetro en funcin dela altura H, relativa a la hipotenusa.A) 3H(3 + 2) B) 2H(3 + 1) C) 4H (3 - 1)D) 3H (3 + 1) E) 2H(3 + 2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Usando los tringulos notablesde 30 y 60 obtenemos elpermetro 2H (3 + 1)RPTA: B

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

AREAS- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

56. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSSi ABCD es un cuadrado y el rea de cada tringulo es125 m Cul ser el rea del cuadrado sombreado,

si ?2

MBAM

A) 120 mB) 100 mC) 125 mD) 75 mE) 130 m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

El rea sombreada es:A = Area(ABCD) - 4(Area de cada triangulo) .(1)Area(ABCD) = (a5)2 =5a2

Area de un triangulo:

1252

)a2)(a(

a2 = 125En (1):A = 5a2 - 4(a2) = a2 = 125RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -57. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

El permetro de un cuadrado es igual al permetro deun tringulo equiltero. Cul es el valor del rea deltringulo equiltero, si el rea del cuadrado es

m3481

?

A) 31m B) 29m C) 28m D) 30m E) 27m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Sea a: lado del cuadrado ; b: lado del triangulo

Por dato: 4a = 3b; b2 =9a16 2

3481

a2

Nos piden: A = 3481

43

916

a43

916

43b 2

2

A = 27 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -58. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

En la figura, se tiene una sucesin de tringuloscongruentes, m y n son puntos enteros positivos.Cul es la cuarta partedel rea sombreada?

A)16

mnabB)

8

abnm

C)8

mnabD)

4

mnab

E)2

mnab

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

El rea de un tringulo esta dado por:

2

abEn total hay mn tringulos.

Se pide:8

mnab

2

abmn

4

1

RPTA: C

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -59. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOSEn la figura se tiene el rectngulo ABCD, O es el punto

medio de AC ; AD//RS ; m32AC ; CD = 2 2 mEl rea de la reginsombreada es:A) 22 m B) 32 m

C) 2m23

4D) 2m2

3

5

E) 2m22

3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

El rea A(x) buscada es la resta de:

A(x) = A(ABCD) - A(tringulos)Las reas de los tringulosestn dados por la formula:(base x altura)/2La del rectngulo esta dado por:lado x lado; as tenemos:

A(x) = 2(22) - 2(2

)2(2= 22

RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -60. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Sean cuatro crculos todosde radio igual a 1.5u,uniendo los centros seobtiene un cuadrilteroirregular convexo. El rea de

la regin sombreada mide:A) 2,25 u B) 2,75 uC) 4,30 u D) 3 uE) 3,25 u- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Sumando las reas de cada sector circular:

A = )360b(R)

360a(R 22 )

360d(R)

360c(R 22

360

dcbaR2

360

3605.1 2 = 2.25 R.A


En la figura se tieneun rectngulo inscritoen un tringulo. Si elrea del rectngulo.Si el rea delrectngulo es 32m,entonces el valor de k

es.A) 5 m B) 9 m C) 6 m D) 8 m E) 7 m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Aplicando semejanza

32ak;16

k

8

a8

16 - 2a = k

kk

32216

K2 - 16k + 64 = 0K = 80 RPTA: D

8-a

k

16

a


En la figura O es el centro del

crculo. Calcular el reasombreada.

A)

4

14

t2

B)4

t2C)

4

t2D)

42

4t2

E)

41

t

42

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

A(x) = 2A +B

2

4

)2/t(t2A

22;

4

)2/t(B

2

A

B

A

A(x)=216

t

8

tt4BA

222

A(x)

42

4

t2RPTA: D


En la figura, BM = MC y AO = OM.

Qu parte delrea del tringuloABC es el reade la reginsombreada?

A) 21 B) 53 C) 43 D) 52 E) 32

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

A AOP = A OPM = A ABO = A OBM = SA ABC = 3 + 3SA sombreada = 2S + 2

3

2

)S(3

)S(2

ABCA

Asombreada

RPTA: E


En la figura, AB es dimetro del semicrculo y

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7/8

7

AO = OB = 2m. Haciendo centro en A y B se hatrazado los arcos DO y CO, respectivamente. Halle elrea de la regin sombreada.

A) ( 3 ) m2

B) 23 m2C) ( 32 ) m2

D) ( 233 ) m2 E) 232 m2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

A ABC A APO A OCB = A sombreadaAC = 23

A ABC =

322

322

A APO = 3360)30)(2(

A OCB = 32

360

)60)(2(

A sombreada = 23 - RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

TRIGONOMETRIA- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -63. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Los valores de los ngulos comprendidos entre O y180, que satisfacen la ecuacin

2/1

28

x2cos

2 son:

A) /6 y 5/6 B) /3 y 5/6 C) /3 y 5/3

D) /6 y 5/3 E) 2/3 y 5/6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Tenemos

2

1cos2x;416

x2cos

2

2x = /3 2x = 5/3 x = /6 x = 5/6 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -64. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

La expresin

sen1

coses equivalente a

A)

4tg

B)

4tg

C)

4tg2

D)

42tg E)

42tg

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Multiplicando por (1+sen) al numerador ydenominador para buscar una IdentidadTrigonometrica.

Sen1

CosSen1

Sen1

Sen1

Sen1

Cos

=

Cos

Sen1

Cos

CosSen1

= Sec + Tg = Csc

2

Ctg2

= Ctg

24 = Tg

24 RPTA: D


Sabiendo que:

3xcossenx , determine: tgx + ctg x

A) 23 B) 2 C) 4 D) 3 E) 4+23- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Por funciones complementarias: x+x+/3 = /2

12x;

6x2

tg x+ ctgx = csc 2x

Luego: 2csc(/6) = 4 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -66. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

La ecuacin Trigonomtrica:

xsecxtanx2cosx2sen1 2222 ;es equivalente a:A) cos2x = -1/4 B) tanx = secxC) 1 + sen2x = D) cos2x = 1E) sen2x = -1/2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Por propiedades:

xsecxtanx2cosx2sen1R 2222 Desarrollando el binomio al cuadrado y llevando tan2xal segundo miembro, formamos las identidades

trigonometricas siguientes:sen2x + cos2x = 1 tan2x + sec2x =1Tenemos lo siguiente:

1

22 x2cosx2senx2sen21R

1

22 xtgxsec

Resulta que podemos obtener el valor de sen 2x

R = 1 + 2sen2x = 0 212 /xsen RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -67. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Sabiendo que es un ngulo agudo, el cual satisfacela ecuacin ctg + cosec = 5determine el valor de la expresin 24 tg + 25 senA) 10 B) 20 C) 15 D) 5/12 E) 5/13- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

A seno y coseno resulta: 1+cos = 5sen ...... (1)Por arco mitad tenemos: 1+cos = 2cos2(/2)

sen = 2sen /2 cos /2Reemplazando en (1) obtenemos:

(Sen /2) / (cos /2) = 1/5es decir: Tag /2 = 1/5

Formando su triangulo rectngulo tenemos:Sen /2 = 1/ 26 ; Cos /2 = 5/ 26

Ahora con : Sen = 2sen /2 cos /2Obtenemos Sen = 5/13Su triangulo rectngulo es de lados 5,12,13Se pide: 24 (5/12) + 26(5/13) = 20 RPTA. B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -68. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Los tres lados de un triangulo miden 9,16 y 18mts,respectivamente. Disminuidos en x el triangulo seria

rectngulo, en consecuencia:A) x= 4m B) x = 7m C) x = 2mD) x = 1.5m E) x = 1m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Se cumple: 222 x9x16x18 Resolviendo:

013x14x2 01x13x

13x1 ; 1x2 En las alternativas: x = 1 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -69. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

En la siguiente figura se tiene: 30 ,

60 , DC = 5mts. Hallar la longitud de AB.

A

D

CB

A) 53 B) 3/2 C) 3/5

D) 3/10 E) 2/3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

En el triangulo BCD: 32

L5 ;

3

10L

ABD: isosceles AB = BD = I3

10AB Rpta: D


Simplificando la expresin: x2senx2cos1

resulta:

A) tanx B) 2tanx C) 3tanx D) ctgx E) 2ctgx- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Por ngulo mitad:

xcossenx2

1xcos21x2sen

x2cos1R

2

ctgxsenxxcosxcos.senx2 xcos2R

2

RPTA: D


En la figura, hallar sen + cos D

3

A

1

45

B C

A) 252 B) 2

53 C) 3

54 D) 2

54 E) 3

52

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Se tiene un triangulo rectngulo de 45, donde:

AB C

D

3

3

45

1

+ = 45 , tg 45=1

tgtg1tgtg

)(tg ; tg=3/4

71tg;

)4

3(tg1

4

3

tg1 ;

25

7cos;

25

1sen

luego5

24cossen ; RPTA D

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ECUACION LINEAL- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -72. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Cules son las coordenadas del punto medio delsegmento de la lnea OP que se ha dibujado entre elpunto: (0,0) y el punto P(6,4)?A) (2,3) B) (12,8) C) (6,2) D) (3,2) E) (1,4)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

De la teora de Punto medio:

2

OP

2

OPx

;

2,32

0,04,6x

RPTA: D


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8/8

8

ABCD es un trapecio de rea igual a: (3(7+ 3)/2 m2 .Halle la abscisa del vrtice C

A) 5,2 m B)4,8 m C)5 m D)6 m E)4,5 m- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

De la figura observamos que:

Area =21

(BC+AD)h =2

1( { x - 2 }+{ x -1+3ctg60 } )(3)

Reemplazando el dato rea: x = 5 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -74. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Una parbola tiene su foco en el punto F(-1,2) y sudirectriz es la recta L : y 6 = 0Determinar su ecuacin.

A) x2 + 2x 8y + 32 = 0 B)x2 + 2x + 8y - 32 = 0C) x2 + 2x 8y + 31 = 0 D) x2 - 2x + 8y - 31 = 0E) x2 + 2x + 8y - 31 = 0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Graficando tenemos:

El vrtice ser V(-1,4) ; c = 2Un punto de paso es el vrtice V (p , q)En la formula: (x p ) 2 = - 4c ( y q )

( x (-1) ) 2 = - 4(2) (y 4)operando resulta: x2 + 2x + 8y - 31 = 0 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -75. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

El rea del circulo determinada por la ecuacin:x2 + y2 = x es:

A) 2 B) /2 C) D) /4 E) /3- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Debemos formar la ecuacin de la circunferencia, parareconocer el radio:

x2 x +y2= 0 (Completando cuadrados)x2 x +(1/2)2 (1/2)2 + y2= 0(x 1/2)2 + y2 = (1/2)2

Se trata de la ecuacin de la circunferencia:(x - a)2 + (y - b)2 = R2

Entonces R = ; el rea ser: A = R2 = /4 RPTA: D- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

LOGARITMOS Y FUNCIONES- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -76. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

El logaritmo de N en base 5 es igual al logaritmo de Men base 5 Si M+N=7/4; hallar el valor de M-N.

A) 212

B) 21122

C) 41122

D) 2

122

E) 2

112

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Log5N = Log5M N = M ; M + N = 7/4M + M = 7/4 ; 4M + 4M - 7 = 0M = 2 - ; N = 9/4 - 2

M - N = 22 -4

11RPTA: C


Los logaritmos decimales de 2 y 3 son: log 2=0,3010 ;log 3=0,4711 calcular log2880 con cuatro cifrasdecimales.A) 1,4116 B) 1,7236 C) 2,2236D) 1,7060 E) 2,0103- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Tenemos:

723,112log3log22log42

1

12Log3log24Log221

10log2log12Log22

1

10.2.)12(Log2

1

2880Log2

12880log

2

RPTA: B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -78. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Hallar el valor de x en la ecuacin siguiente:

2x2x2

x xlogx

1log1xlog2

A) 2 B) 1 C) D) 4 E) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Como Log x x2 = 2 ; tenemos:2 + Logx (x-1)2 + Logx (1/x2) = 2

0x )1x(Log 2

2

x

1x )1x( 2

2

De donde x = RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -79. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Cul es el valor positivo de para que el polinomiox + ( + - 1) x + ( - 1) x +

sea divisible por ( x + 2)?A) 2 B) 3/2 C) 5/4 D) E) 5/2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Por teorema del resto para x+2 = 0x = -2 reemplazando en:x3 + (2+-1)x2+(-1)x + Tenemos = 5/4 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -80. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Si F(x) es una fraccin que cumpleF(x-1)=x-x+1 entonces, el valor de F(x + 1) - F(x - 1)esA) 2x + 4 B) 4x + 2 C) 2x - 4D) 2x - 2 E) 2x + 2x + 4- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

F(x-1) = x2 x + 1 x 1 = a; x = a + 1F(a) = (a + 1)2 (a + 1) + 1 F(a) = a2 + a + 1F(x+1) F(x-1) = (x+1)2 +(x+1) +1 - [(x-1)2 + (x-1) +1]= 4x + 2 RPTA: B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -81. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Si x > -4, hallar el valor de x que resuelve la ecuacin:log(x+5) + log(x2+8x+16) = 1 + log(x2+9x+20)

A) 1 B) 10 C) 4 D) 2 E) 6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

(x+5) (x2+8x+16) =10(x2+9x+20)(x-5) (x+4) (x+4) = 10 (x+5) (x+4)

x+4= 10; x= 6 RPTA: E- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -82. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

En el conjunto de los nmeros reales, definimos:

2xsi1-x

2xsi1-x)x(f 2

Si a < 0, calcular: af(3 - a) + f(2a)A) 3a + 2a - 1 B) 3a - a - 2 C) 2a + a - 1

D) 2a + a + 1 E) a + 3a + 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

De a < 0 ; 3 - a > 3 y 2 a < 0 Se buscaa(3-a-1) + (2a)2 - 1 = 3a2 + 2a - 1 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -83. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Hallar el producto de las soluciones de:

12logxxlog 7

A) 109 B) 106 C) 107 D) 103 E) 105- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Log x = m ; 12m7m m = 7m - 12 ; m - 7m + 12 = 0 m = 4 ; m = 3Log x = 4 ; x = 104

Log x = 3 ; x = 103104 . 103 = 107 RPTA: C- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -84. PROBLEMA ADMISION SAN MARCOS

Determinar el mximo valor que alcanza la expresin:

13x6x

322

A) 8 B) 16 C) 4 D) 3 E) 6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -SOLUCION:

Para ser mximo el denominador es mnimoPrimer Mtodo: Completando cuadrados:

32___(x-3)2 +4 El mnimo es cuando x = 3

El valor ser 32/4 = 8Segundo Mtodo: Derivando el denominador

2x-6 = 0 ........ x = 3 es un mnimoReemplazando el valor x = 3 en el denominadorResulta: 32/(9-18+13) = 8 RPTA: A- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -TODAS LAS PREGUNTAS FUERON EXTRAIDAS DELOS EXAMENES DE ADMISION A SAN MARCOS.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -LA TEORIA Y LOS PROBLEMAS DE LOS EXAMENES

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