1.C-3 PRESION DE UN GAS IDEAL. Se desea obtener la presin que un gas ideal ejerce sobre una pared teniendo en cuenta la velocidad de transferencia de cantidad de movimiento de las molculas a la pared.a) Cuando una molcula que se desplaza a una velocidad u choca con una pared, las componentes de la velocidad de llegada son ux, uy, uz, y despus de una reflexin espectacular en la pared, sus componentes son ux, uy y uz. as, la cantidada de movimiento neta transmitida a la pared por la molcula es 2mux . Las molculas cuya componente x de la velocidad es igual a ux , y que chocaran con la pared durante un breve intervalo de tiempo t, deben estar dentro del volumen Suxt. Cuntas molculas con componentes de velocidad en el intervalo de ux , uy , uz a ux , uy , uz chocaran contra un rea S de la pared con una velocidad ux en un intervalo de tiempo t? . El resultado ser por Suxt. as la presin que ejerce el gas sobre la pared ser:

Explicar con todo detalle cmo se obtuvo esta expresin.Verificar que esta relacin es dimensionalmente correcta

b) inserte la ecuacin 1C.1-1 para la distribucin en equilibrio de maxwell boltzmann en la ecuacin 1.C3-1 y efecte la integracin. Verificar que este procedimiento conduce a SOLUCION a) Tengamos en cuenta de que est compuesta internamente esta integral de la ecuacin 1C3-1 con sus unidades a dimensionales S : es la superficie donde ocurre los choques ( L2)u: se refiere a todas las componentes de la velocidad (L/t)t: intervalo de tiempo (t)m: masa (M)f: funcin de velocidad en las tres direcciones : duxduyduz:estos son los incrementos entre velocidades en las tres direcciones por lo tanto seria la multiplicacin de tres velocidades : Remplazamos las unidades adimensionales en la ecuacin sin tener en cuenta la integral y tendremos

Segn la ecuacin 1C1-1 tenemos que la funcin de velocidades est dada por la siguiente ecuacin

n: Densidad m:Masak :Constante de boltzmannT : Temperaturau :Velocidad Donde k es la constante de boltzmann

Reemplazando y usando unidades a dimensionales en la funcin de velocidades

Ahora reemplazamos estas magnitudes a dimensionales en la ecuacin para obtener las unidades por la cual est formada la funcin de velocidades

Ahora reemplazando en la integral las magnitudes a dimensionales tenemos

Comprobado por lo tanto la ecuacin 1C3-1 es correcta.b) Comprobado ya lo anterior, reemplazamos la ecuacin 1C1-1 en la ecuacin 1C1-3 y reducimos

El primer paso para lograr la integracin es identificar que variables no participan en esta operacin en otras palabras las constantes

La variable u es un vector compuesto por la velocidad en tres direcciones:

Ahora usemos el mtodo de adimensionalizacion, para lograr integrar sencillamenteDefinamos la variable adimensional , y

Ahora hallando sus correspondientes derivadas tenemos:

Reemplazando en las respectivas integrales

Integrando por partes

Haciendo uso de la funcin gamma tenemos

De igual manera para las otras integrales de similar forma se aplica la funcin gamma para ser resueltas quedando de la siguiente manera

Por lo tanto la integral general ser

1D1. Rotacin uniforme de fluidosa) Verificar que la distribucin de velocidad en un fluido en estado de rotacin pura(es decir, que gira como un cuerpo rgido), es v=[w x r], donde w es la velocidad angular (una constante) y r es vector de posicin, con componentes x, y, z.b) Cules son v + (v)+ y (.v) para el campo de flujo en el inciso a) ?c) Interpretar la ecuacin 1.2-7 en trminos de los resultados del inciso b).SOLUCIONa) Para resolver este inciso visualicemos primero las ecuaciones A.6-1,2-13 del apndice del BSL y tengamos en cuenta , donde el delta es el vector unitario, desarrollemos con el apndice A del BSL la multiplicacin vectorial de w y r.donde r= x, y, z.

Trabajando con vectores unitarios tenemos

En forma compacta estos pueden expresarse como sumatorias

Por lo tanto el producto quedara de la siguiente forma

El producto de dos vectores unitarios se define tambin de la siguiente manera

Reemplazando esto en la ecuacin anterior, quedando de la siguiente forma:

Ahora definamos que valores tomara Ahora el problema nos dice que el fluido se mueve como un mi cuerpo rgido entonces solo posee movimiento en las direcciones x - y , despreciamos la direccin zPor lo tanto resolviendo esa sumatoria tenemos

Siendo 1,2,3 = x,y,z respectivamenteSimplificando estas expresiones con lo ya antes mencionado llegamos a :

Ahora transformando a coordenadas cilndricas

Usando las equivalencias de los distintos vectores unitarios para coordenadas cilndricas

Reemplazando en las ecuaciones anteriores tenemos como resultado

Por lo tanto, la velocidad angular de cada punto en el fluido es , el cual es una constante, y no hay velocidad radial. Esta es la forma en que un cuerpo rgido gira a una velocidad angular constante

b)

El operador nabla no es ms que las diferenciales en las tres direcciones por lo que podemos generalizar de la siguiente manera

c) El texto antes de la ecuacin 1.2-4 dice que no esperamos que este presente ninguna fuerza viscosa, si el fluido se encuentra en un estado de rotacin pura. Este requerimiento conduce a la necesidad de que ij sea una combinacin simtrica de los gradientes de velocidad. Por esto se entiende que si se intercambian i y j, la combinacin de los gradientes de velocidad permanece sin cambio. 1D2. Fuerza sobre una superficie de orientacin arbitrariaConsiderar el material dentro de un elemento de volumen OABC que se encuentra en estado de equilibrio, de modo que la suma de las fuerzas que actan sobre las caras triangulares OBC, OCA, OAB y ABC debe ser cero. Sea dS el rea de ABC, y sea el vector n la fuerza por rea unitaria que acta desde el lado negativo hacia el lado positivo de dS. Demostrar que n=[n.n].a) Demostrar que el rea OBC es la misma que el rea de la proyeccin ABC sobre elplano yz; esta rea es (n.x)ds. Escriba expresiones similares para las reas de OCA y OAB.b) Demostrar que segn la tabla 1.2-1 la fuerza por rea unitaria sobre OBC es . escriba expresiones de fuerza semejantes para OCA y OAB.c) Demostrar que el balance de fuerzas para el elemento de volumen OABC da :

Donde los ndices i,j toman los valores x, y, z. la doble operacin suma en la ltima expresin es el tensor de esfuerzo escrito como una suma de productos de diadas unitarias y componentes unitarias

Figura 1D.2 Elemento de volumen OABC sobre el que se realiza un balance de fuerzas. El vector n=[n.n] es la fuerza por rea unitaria ejercida por el material negativo( material dentro de OABC) sobre el material positivo ( material fuera de OABC). El vector n es el vector normal unitario dirigido hacia afuera sobre la cara ABC.

SOLUCION a) Pongmosle ecuaciones a nuestras respectivas rectas Para OBCSea OB : Y=0Sea OC: Z=0Sea CB: Que son las ecuaciones que definen esas lneas que encierran el rea OBCPor lo tanto su area ser

Para ABCABC es la cara superior de la figura si vemos sobre el eje x , tienen en comn la lnea BC, esto est comprobado por lo siguiente:Primero definimos las rectas que conforman la figura que son CA , AB y BC luego estas las proyectaremos en el plano YZ veamos :AC existe en el plano XZ como una lnea oblicua mientras en el plano YZ solo es una lnea recta de valor Z=0

En ZY

En XZ

Y anlogamente en XY:Si trabajamos en el plano YZ todas las x se hacen cero, tenemos entonces

En ZY queda como esta

En XZ en el plano YZ

XY en el plano YZPor lo tanto su sombra reflejada en YZ posee como area b) Primero veamos el contenido de la tabla 1.2-1Tabla 1.2-1 resumen de las componentes del tensor de esfuerzo molecular ( o tensor de densidad de cantidad de movimiento molecular)Direccin normal a la cara sombreadaVector de fuerza por rea unitaria sobre la cara sombreada( densidad de flujo de cantidad de movimiento a travs de la cara sombreada )Componentes de las fuerzas (por rea unitaria ) que actan sobre la cara sombreada ( componentes de la densidad de flujo de cantidad de movimiento a travs de la cara sombreada)

Componente xComponente yComponente z

X

Y

z

Esto es simple por ejemplo tengamos la cara OBC, en esta cara que pertenece a la cara normal al eje x tenemos segn el cuadro que est compuesto por tres vectores de fuerza unitaria los cuales OBC=++OCA=++OAB=++c) El balance de fuerza en el volumen OABC es :El rea de una determinada cara est definida por donde i=x,y,z

En general

O tambin operando, adecuando y convirtiendo a sumatorias puede ser:

2B.12 Flujo de un fluido en una red de tubos (figura 2B-12). Un fluido circula en flujo laminar desde A hasta B a travs de una de red de tubos, como se muestra en la figura. Obtener una expresin para la velocidad de flujo msico del fluido que entra en A (o sale por B) como una funcin de la cada de presin modificada PA-PB. Ignorar las perturbaciones en las diversas uniones de los tubos.

En A de la tubera se divide en 3 tubos, y en la siguiente serie de uniones el fluido fluye igualmente en seis tubos, y luego a la siguiente serie de uniones el liquido fluye de nuevo en tres tubos, y finalmente en B es el fluido todo volvi a una sola tubera, llamaremos a la presin modificada en la uniones entre 3 tubos se dividen en seis tubos de P36 y cuando las 6 tuberas se unen para formar 3 tubos P63.

Utilizando Hagen Poiseuille

Sustituyendo 1; 2; 3 en ecuacin (1)

Sumado obtenemos:

2C.2 Distribucin tiempo en tubo de flujo. Definir el tiempo de residencia de la funcin F (t) como la fraccin del fluido que fluye en un conducto que fluye completamente a travs del conducto en un intervalo de tiempo t. Tambin se definen los tm tiempo de residencia medios, por la relacin.

De la definicin de la velocidad:

2C.5 Pelcula descendente sobre una superficie cnica (vase la figura 2C.5). Un fluido circula hacia arriba por un tubo circular y luego hacia abajo sobre una superficie cnica. Encontrar el espesor de la pelcula como una funcin de la distancia s hacia abajo en el cono.

s=distancia corriente abajo a lo largo de la superficie del cono, medida desde el pice del cono.

a) El espesor de la pelcula es 2.2 pueden aplicarse aproximadamente sobre cualquier regin pequea de la superficie del cono. Demostrar que al realizar un balance de masa sobre un anillo del liquido contenido entres s y s +s se obtiene:

b) Integrar esta ecuacin y evaluar la constante de integracin igualando la velocidad de flujo de masa hacia arriba por el tubo central a la correspondiente del fluido que circula hacia abajo en la superficie cnica en s=L. obtener la siguiente expresin para el espesor de la pelcula.

2C.6 Cono giratorio de la bomba (ver fig. 2C.6). Encontrar la tasa de flujo de masa a travs de esta bomba como una funcin de la aceleracin de la gravedad, la diferencia de presin impresionada, la velocidad angular del cono, la viscosidad del fluido y la densidad, el ngulo del cono, y otras magnitudes geomtricas marcadas en la figura.

Fig. 2C.6 una bomba rotativa de cono. La variable r es la distancia desde el eje de rotacin hacia el centro de la rendija.

(a) Comienza por analizar el sistema sin la rotacin del cono. Supongamos que es posible aplicar los resultados de 2B.3 problema a nivel local. Es decir, adaptar la solucin para el flujo msico de ese problema, haciendo las sustituciones siguientes:

Obteniendo de este modo

El flujo de masas w tasa es una constante en el rango de z. Por tanto, esta ecuacin puede integrarse para dar

(b) modificar A continuacin, el resultado anterior para tener en cuenta el hecho de que el cono est girando con fl velocidad angular. La fuerza media por unidad de volumen centrfuga que acta sobre el lquido en la ranura tendr una componente z dada aproximadamente por:

Cul es el valor de K? Incorporar esto como una fuerza adicional que tiende a conducir el fluido a travs del canal. Demostrar que esto lleva a la siguiente expresin para la tasa de flujo de masa:

Supngase que es posible aplicar los resultados del problema 2B.3 es decir la solucin del flujo msico haciendo las sustituciones siguientes.

Sustituimos:

Despejamos:

B)

En la ecuacin (2C.6-2)

Ya no solo actua la fuerza de presin si no tambin la gravitacional y centrifuga por lo que

Definamos constantes:

Integrando:

Reemplazando valores de nuestras constantes:

En funcin de k, p1 y p2

2C.7 Un sencillo de la velocidad de subida del indicador (ver fig. 2C.7). Bajo las circunstancias apropiadas del aparato sencillo que se muestra en la figura puede ser usado para medir la velocidad de ascenso de un avin. La presin manomtrica en el interior del elemento de Bourdon se toma como proporcional a la velocidad de ascenso. A los efectos de este problema, el aparato puede suponerse que tienen las siguientes propiedades: (i) el tubo capilar (de radio R y longitud L, con R >

Para p0pmedia

c) para este caso:

Analizamos

De la que

d) mientras ms alto este el avin, la presin ir disminuyendo y la presin del aparato tambin decrecer.e) Los ciemos indican el aumento o decrecimiento de presin.

3B11. Flujo radial entre dos cilindros coaxiales

(a) De la ecuacin de continuidad (B.4-2), en coordenadas cilndricas se tiene:

Se ha considerado en el enunciado del problema lo siguiente:

La temperatura es constante. (si T es constante entonces es constante). El flujo es radial. ()

Como es completamente radial, entonces la derivada parcial es una derivada en una direccin.

Donde C es una constante.

Si ,

(b) De la ecuacin de continuidad (B6-4), en coordenadas cilndricas.

En el enunciado del problema se considero:

Temperatura constante, como consecuencia se tendra y constante El flujo es completamente radial, como consecuencia

Tambin se desprecia los trminos finales (fuerzas viscosas y fuerzas por el campo gravitacional).

Como se sabe el efecto combinatorio de la presin esttica y la fuerza de gravitacin es

la ecuacin seria

Se desprecia la fuerza por el campo de gravitacin.

Por lo tanto en resumen se tendra las siguientes ecuaciones.

(c) De la ecuacin (3B11-1),

Si

Si

(d) Se parte de la ley de viscosidad de Newton, en coordenadas cilndricas.

Donde

Como la densidad es constante el trmino se puede omitir

Como

Como

3. B.13 EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVES DE UNA CONTRACCION SUBITASolucin:a) Ecuacin 3.5.12

Si 1 es el tubo grande y 2 el pequeo la velocidad del tubo 2 debe ser mayo a la del tubo 1

Para un gas ideal Ecuacin 3.5.12

Si la elevacin no cambia, la presin disminuye a medida que el fluido se mueve en la parte estrecha del tubo.3.C.3. DEFORMACION DE UNA LINEA DE FLUIDO Comprobar que La curva en cualquier momento

Reemplazando

El elemento diferencial de longitud a lo largo de la curva

Reemplazando

3D.3 Forma alternativa de la ecuacin de movimiento.

De la ecuacin de movimiento (3.2-9)

Velocidad de incremento de cantidad de movimiento por unidad de volumen.Velocidad de adicin de cantidad de movimiento por conveccin por unidad de volumen.Velocidad de adicin de cantidad de movimiento por transporte molecular por unidad de volumen.Fuerza externa sobre el fluido por unidad de volumen.

Conclusiones:

Velocidad constante, como consecuencia la temperatura es constante, lo cual la densidad tambin es constante, se tendra en tanto que:

No hay velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso. Como es constante su derivada es cero, adems , por lo tanto la velocidad de incremento de cantidad de movimiento es cero.

Es un fluido incomprensible, por lo tanto las fuerzas externas sobre el fluido se pueden despreciar.

La ecuacin 3.2-9 se simplifica

Dividido por

Como

De las definiciones de la ecuacin se tiene un sistema de ecuaciones.

--------------------------

Si

Reemplazo

4.B.-1 El flujo de un fluido con un esfuerzo cortante que se aplica constante sobre . una pared

a)

Diferenciamos con respecto a y

Para el primer y el segundo miembro miembro la derivada puede salir

Multiplicando por

es constante

Reemplazando en (*)

Reemplazando (* * *) en (* * * *)

b) * El fluido se encuentra en reposo antes de t=0

* En t=0 se aplica una fuerza constante al fluido en direccin X

*

Reemplazando en (* * *)

c) Resolver la ecuacin usando el mtodo del ejemplo 4.1-1

Condiciones iniciales

Adimensionalizando

Reemplazando en (1)

Adems las condiciones limite

Adimensionalizando variables

Convertimos las derivadas en la ecuacin (2) en las derivadas respecto a las derivadas adimensionales en (3)

Sustituimos en la ecuacin (2)

Esta es una ecuacin diferencial dependiente de una sola variable, la solucin aparece en el apndice C . 1 8

Con las siguientes condiciones limite

CL2

CL3

Sol

CL1 CL2

La funcin error del apndice C-6

d) Utilizar el resultado del inciso C para obtener el perfil de velocidad

Solucin Tenemos la ecuacin de Newton

Reemplazamos

Hacemos el cambio de variable

Utilizando la ecuacin 4B1-2

Entonces se quiere la velocidad para y = 0

4B.8 El campo de flujo alrededor de una fuente lineal.

(a) Para este flujo puramente radial, .

Este operador, nafla se representa en su forma diferencial, en coordenadas cilindricas. (Tabla A7-2)

Como

(b) Se integra la ecuacion (4B.8-1).

Si

Si derivo se tendria

Se calcul el flujo volumtrico por unidad de longitud de la fuente

Del ecuacin, reemplazo

De la ecuacin , reemplazo

De la ecuacin de movimiento (B6-4), en coordenadas cilndricas

Simplificando:

El fluido es incomprensible, por lo tanto la fuerza de gravitacion se desprecian. El fluido no es viscoso, por lo tanto . El flujo del fluido es radial, por lo tanto

Entonces la ecuacion se reduce a:

Si

Sustituyo

4D.1 Flujo cerca de una pared oscilatorio.

La ecuacin de movimiento esta dado por:

Las condiciones inicial y limite est dada por

Para resolver esta ecuacin diferencial con derivada parciales optimas por el mtodo de transformada de laplace.

Se aplica la transformada de laplace con respecto a t.

Se resuelve la ecuacin diferencial ordinaria.

El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial es:

La solucin general es:

Las constantes y se obtienen mediante las condiciones limite.

Obligatoriamente

Reemplazo y en la solucion general

Ahora invertimos usando el teorema de la convolucion.

si

5B2 velocidad de flujo msico en un chorro circular turbulento

(a) Se parte de la ecuacin 5.6-21

Se deriva las variables en:

Para la ecuacin 5.6-21

Se parte ahora de la ecuacin 5.6-22

Para la ecuacin 5.6-22 su absorcin es:

Ahora se va verificar la ecuacin de continuidad del ejemplo 5.6-1. La ecuacin de continuidad es:

Reemplazando

Comprobando si cumple:

se cumple la ecuacin de continuidad.

Para la ecuacin de movimiento en variables abreviadas.

Lado izquierdoLado derecho

Empezamos en lado izquierdo.

Ahora el lado derecho:

Lo cual cumple con la ecuacin de movimiento

(b) La tasa de flujo msico es:

5C1

A) Se tienen los perfiles:

Obtenemos una expresin para J, para el flujo total de cantidad de moviento en la difusin Z:

Dado que el ancho de la ranura en la direccin Y es W; en la integral tomamos en cuenta a W;

Tambin se tiene:

Lo elevamos al cuadrado obteniendo:

Se reemplaza en la ecuacin:

Dado que J es constante para cada valor de Z, se concluye que

B) Integrando la ecuacin de funcin de corriente; se llega a:

Tomando en cuenta esto tenemos que

Y como tendremos

El flujo de cantidad de movimiento J en la direccin Z tiene unidades de

Donde tiene unidades de

Obtenemos

Ya que W es el ancho de la ranura que emerge en la direccin Z.

C) `

D) Partimos de la ecuacin de movimiento para el componente Z en coordenadas cartesianas, tomando en cuenta que el chorro turbulento depende de X y Z:

Obteniendo:

Descomponiendo la segunda derivada

Se sabe que:

Acomodando tenemos:

Luego tomamos que: y sustituimos en la anterior ecuacin:

Donde f es una funcin de . Continuacin se convierte las derivadas con respecto de x y z a derivadas con respecto de . (Que se indican con primas), obteniendo:

Multiplicando por se obtiene:

Cuando cambiamos a una nueva variable , la ecuacin ser:

E)

F) La ecuacin:

Puede ser integrada y da:

Pero cuando es cero, F y su segunda derivada son cero, de modo que C tambin es 0.

G) Integramos:

H) Integrando esto ltimo:

La velocidad axial es:

5.C.3 Inestabilidad en un sistema mecnico simplea) Un disco gira con velocidad angular constante . Por encima del centro del disco se suspende una esfera que experimenta una fuerza centrifuga y la varilla forma un ngulo con la vertical

Fuerza centrifuga = =

La fuerza centrifuga es = Dibujo

Igualando Fuerza centrifuga =

Reemplazando en *

Cuando tiende a 0

Esto indica que si la velocidad angular tiende a 0 entonces el ngulo tambin tiende a 0b) Demostrar que si esta por debajo de algn valor de umbral, entonces el ngulo es 0 Solucin: se tiene la ecuacin en el inciso 5.C.3-1

La cual describe la relacin entre la cantidad de velocidad angular y cuando el sistema esta girando.Entonces calculamos la velocidad de umbral Hacemos

Esta es la velocidad supuesta, entonces para valores debajo de 3.1320 no habr anguloPara valores mayores a 3.1320 se observa el grafico (*)c) En el inciso a y b solo se considera la operacin del sistema en estado estacionario, luego demostrar que la ecuacin de movimiento es:

Solucin:Las coordenadas cartesianas son:

Reemplazando en *

c) Demostrar que para la ecuacin del estado estacionario entre la por lo tanto , entonces queda:

Ahora la ecuacin de movimiento de Lagrange es una ecuacin:

Lagrange Energa Cintica Energa Potencial Energa Cintica

Energa Potencial

Ahora se tiene la ecuacin de Lagrange:

Ordenando:

Calculando las derivadas

d) Primero se considera la ecuacin del inciso b que es , y de modo que la ecuacin 5.C.3-2 se convierte en:

Solucin: consideramos la parte inferior del diagrama, lo inestable para pequeas perturbaciones , y estado estacionario . Tenemos Reemplazando en: 5.C.3-2

Reemplazando en (a)

Ahora tenemos una perturbacin pequea de la forma

De la ecuacin 4.1-43

Reemplazando en la ecuacin 5.C.3-3

i) Si , ambos y son reales y por lo tanto oscila, lo que indica que , el sistema es estable.ii) Si , la raz es imaginaria positiva y crecer indefinidamente con el tiempo. Lo cual quiere decir que , el sistema es inestable respecto a perturbaciones infinitesimales. Ya que para t=0 inestable con respecto a oscilaciones infinitesimales.e) Luego se considera que la fghjk supera del inciso b) Hacer un anlisis semejante del inciso d) Establecer una relacin y en el cuadrado de (es decir lineal izar la ecuacin)sustente de una solucin de:Solucin:Ahora nuestros clculos son:

Entonces la ecuacin de movimiento al reemplazar b en la ecuacin (5.C.3-2)

Por lo tanto se tiene la siguiente ecuacin de movimiento.

Entonces se prueba una nueva solucin de la forma.

En

Entonces para la rama superior por lo que de nuevo queda comprobado que el sistema es estable para perturbaciones pequeas.

6.A.4 Movimiento de una esfera en un lquido.Una esfera hueca, de 5,0mm de dimetro, con una masa de 0.5cm/s, se libera en una columna de liquido y alcanza una velocidad terminal de 0.5cm/s. la densidad del lquido es 0.9 g/cm3. La aceleracin de la gravedad local es de 980.7 cm/s2. La fuerza es lo suficientemente lejos de los muros de contencin para que se efecto pueda ser descuidado.a) Calcular la fuerza de arrastre sobre la esfera en dinasb) Calcular el factor de friccin.c) Determinar la viscosidad del lquido.

La fuerza de la esfera en el fluido.

a) La fuerza resultante ser:

La fuerza de arrastre sobre la esfera es de 8.7 dinas.b) El factor de friccin se define como:

Ordenando el sistema

Reemplazamos los datos en la ecuacin:

c) De acuerdo a la figura 6.3-1 se sabe que

Entonces:

6.B.2 Factor de friccin para el flujo 6.B2 a lo largo de un piso.a) Una expresin para la fuerza de arrastre sobre una placa plana, humedecida por ambos lados, se da en la ecuacin 4.4-30. Esta ecuacin se deriv mediante capa limite laminar y se sabe que estar en buen acuerdo con los datos experimentales. Definir un factor de friccin y el numero de Reynolds, obtener f frente al R.b) Para el flujo turbulento, un tratamiento de la capa limite aproximado basado en la distribucin de velocidad 1/7 la del polar de la ecuacin 4.4-30 se sabe que en flujo laminar es:

Y la propiedad de Reynolds para una placa es:

Y usando la definicin del factor de friccin de la ecuacin 6.1-1.

b) La turbulencia establecida para un flujo turbulento en la ecuacin 6.B.2-1 es:

Entonces la usando la ecuacin de friccin

6.B.9. Factor de friccin para flujo que circula en un cilindro infinito El flujo que rodea un cilindro largo es muy diferente del flujo pasado de una esfera, y el mtodo introducido en G.4-2 no puede ser utilizado para describir este sistema. Se ha encontrado que, cuando los enfoques del fluido con una velocidad V, la fuerza cintica que acta sobre la longitud L del cilindro es:

El nmero de Reynolds se define aqu como la ecuacin 6B.9-1 solo es vlida hasta el punto -1 en este rango de Re, Cul es la frmula para el factor de friccin como funcin del nmero de Reynolds?

La expresin A y K los hacemos ingresar:

Reemplazamos:

7B-2 RELACION ENTRE LA FUERZA Y LA PERDIDA VISCOSA PARA FLUJO EN CONDUCTOS DE SECCION TRANSVERSAL VARIABLE.La ecuacin 7.5-6 proporciona la relacin entre la fuerza de resistencia y la prdida viscosa para conductos rectos de seccin transversal arbitraria, pero constante. Aqu se considera un canal horizontal recto cuya seccin transversal varia gradual mente con la distancia corriente abajo. La situacin se restringe a canales asimtricos por lo que la fuerza de resistencia est dirigida axialmente.Si la seccin transversal y la presin y la presin en la entrada , y las de salida son , probar entonces que la relacin semejante a la ecuacin 7.5-7 es:

Dnde:

Se hace el balance para la cantidad de movimiento para la direccin Z: de la ecuacin 7.2-3

Despreciamos fuerzas gravitacionalesSuponiendo:

Hacemos un balance macroscpico de energa mecnica:De la ecuacin 7.4-2 para estado estacionario.

A la ecuacin (2) la multiplicamos por ():

Ahora demostramos que , adems

Se sabe que : Entonces se puede reescribir la ecuacin 3 como:

Ahora hallamos el equivalente de :

Reemplazando los resultados hallados en la ecuacin (1):

Se asume que los dimetros en ambos tubos son iguales por lo que se dice que la energa cintica son iguales, por lo tanto tambin Sust (1) con la ecuacin (2):

Para B aplicamos el balance entre los planos.

En la ecuacin (4) se elimino el termino de energa cintica, se supone un mismo dimetro. De la ecuacin 7.5-7 sabemos que:

De la ecuacin 2.3-22

Combinando ambos para los planos 0 y 4

rea transversa de un tubo delgado

Como se sabe que: . . . (6)Combinando las ecuaciones (4)(5)(6)

Ordenando las ecuaciones 3 y 7:

Esta ecuacin es til para calcular presiones , por lo que solo basta sustituir en la ecuacin de Haggen-Pouseville para el clculo de viscosidad.

7.B-11 DESINTEGRACION DE ASTILLAS DE MADERA En la manufactura de pulpa de papel, las fibras de celulosa de las astillas de madera se separan de la lignina mediante calentamiento a presin con soluciones alcalinas en grandes tanques cilndricos denominados digestores. Al final del periodo de coccin se abre una pequea compuerta situada en el fondo del digestor, se deja que la pasta de astillas de madera reeblandecidas choque contra una lamina de impacto para completar la desintegracin de las astillas y la separacin de las fibras. Estimar la velocidad de la corriente de descarga y la fuerza adicional que impacta sobre la lamina poco despus que comienza la descarga. Pueden despreciarse los efectos de presin dentro del digestor, asi como la poca energa cintica del fluido en el interior del tanque Hacemos un balance de energa mecnica macroscpico de la ecuacin 7.4-5

Como , por el diametro grande del digestor por la altura de partida

Despejamos

Sabemos que:

, La cantidad de agua es despreciable.

Ahora hacemos un balance para la cantidad de movimiento, de la ecuacin 7.2-3

Dentro del digestor no tomamos en cuenta la gravedad, y asumimos que la presin es despreciable.

SolucinEVOLUCIN DE VARIAS VELOCIDADES MEDIAS A PARTIR DE MEDIDAS EN TUBO PITOTSe tiene la tablaPosicinDistancia desde el centro del tubo (pulg)Velocidad local(pies/s)

12,807,85

22,1710,39

31,4311,31

40,7211,66

50,0011,79

60,7211,70

71,4311,47

82,1711,10

92,809,26

Estos datos lo se alistan para la grfica Para la posicin 1

(Abscisa)

(Ordenada)Anlogamente se hace el mismo procedimiento para cada posicinEsto lo tabulamos en una tablaPosicin

10,91500,7031

20,70920,8383

30,46730,9140

40,23530,9624

50,00001,0000

60,23530,9624

70,46730,9140

80,70920,8383

90,91500,7031

Lo graficamos en Excel y obtenemos el siguiente grafico

987

Aplicamos de la regla de Simpson a 11 puntos uniformemente espaciados sobre la curva continua da los promedios de velocidad siguientes.Regla de Simpson

n, es un numero par y la funcin es continua en el intervalo [a,b]

Para la curva de los datosF(x)

ixi=uv/vmax2u*v/vmaxkiki*f(xi)

001,0000,000010,0000

10,10,9870,197440,7894

20,20,9690,387720,7753

30,30,9500,569842,2791

40,40,9290,743121,4863

50,50,9060,906143,6245

60,60,8791,054422,1088

70,70,8421,179144,7164

80,80,7911,265322,5305

90,90,7171,290145,1605

1010,6111,221411,2214

sumatoria=24,6922

integracion=0,8231

Para la curva de trazosF(x)

ixi=uV/vmax2u*v/vmaxkiki*f(xi)

001,0000,000010,0000

10,10,9950,199040,7960

20,20,9860,394420,7888

30,30,9800,588042,3520

40,40,9750,780021,5600

50,50,9600,960043,8400

60,60,9401,128022,2560

70,70,9201,288045,1520

80,80,8701,392022,7840

90,90,7551,359045,4360

1010,0000,000010,0000

sumatoria=24,9648

integracion=0,8322

Para la curva de los datosF(x)

ixi=uV^2/vmax^22u*v^2/vmax^2kiki*f(xi)

001,0000,000010,0000

10,10,9740,194740,7790

20,20,9390,375720,7514

30,30,9020,541042,1642

40,40,8630,690321,3806

50,50,8210,821143,2843

60,60,7720,926521,8529

70,70,7090,993043,9722

80,80,6251,000622,0011

90,90,5140,924743,6987

1010,3730,745910,7459

sumatoria=20,6303

integracion=0,6877

Para la curva de trazosF(x)

ixi=uV^2/vmax^22u*v^2/vmax^2kiki*f(xi)

001,0000,000010,0000

10,10,9900,198040,7920

20,20,9720,388920,7778

30,30,9600,576242,3050

40,40,9510,760521,5210

50,50,9220,921643,6864

60,60,8841,060322,1206

70,70,8461,185044,7398

80,80,7571,211022,4221

90,90,5701,026044,1042

1010,0000,000010,0000

sumatoria=22,4689

integracion=0,7490

Para la curva de los datosF(x)

ixi=uV^3/vmax^32u*v^3/vmax^3kiki*f(xi)

001,0000,000010,0000

10,10,9610,192240,7686

20,20,9100,364120,7282

30,30,8560,513842,0551

40,40,8020,641221,2824

50,50,7440,744042,9760

60,60,6780,814021,6281

70,70,5970,836443,3454

80,80,4950,791221,5825

90,90,3680,662842,6510

1010,2280,455510,4555

sumatoria=17,4729

integracion=0,5824

Para la curva de trazosF(x)

ixi=uV^3/vmax^32u*v^3/vmax^3kiki*f(xi)

001,0000,000010,0000

10,10,9850,197040,7881

20,20,9590,383420,7669

30,30,9410,564742,2589

40,40,9270,741521,4830

50,50,8850,884743,5389

60,60,8310,996721,9934

70,70,7791,090244,3607

80,80,6591,053622,1072

90,90,4300,774743,0987

1010,0000,000010,0000

sumatoria=20,3956

integracion=0,6799

7C.1 Correlaciones en el extremo de viscosmetros de tubo. (Figura 7C.1).

Analizar los datos de viscosmetro de flujo en un tubo para determinar la viscosidad, se compara la cada de presin contra datos de velocidad de flujo en la expresin terica (la ecuacin de Haen. Poiseville de la ecuacin 2.3-21). En esta ltima se supone que el flujo est totalmente desarrollado en la regin entre los dos planos donde se mide la presin. En un aparato como el que se muestra en la figura. Se conoce la presin en la salida del tubo (2) y tambin arriba del fluido en el depsito (1). Sin embargo, en la regin de entrada del tubo, los perfiles de velocidad aun no estn totalmente desarrollados. Por tanto no es vlida la expresin terica que relaciona la curva de presin en l velocidad del flujo.

Sin embargo, hay un mtodo en que puede usarse la ecuacin de Hugen-Poiseville haciendo medicaciones del flujos en dos tubos de longitudes diferentes LA Y LB. El ms corto de los tubos debe ser superficialmente largo para que los perfiles de velocidad estn totalmente desarrollados en la salida. As la seccin final del tubo largo, de longitud LB-LA, ser una regin de flujo totalmente desarrollado. Si se considera el valor de para esta regin, entonces podr aplicarse la ecuacin de Hagen-Poiseville.

Demostrar que la combinacin apropiada de los balances de energa mecnica, escritos para los sistemas 1-2, 3-4 y 0-4, proporcione la siguiente expresin para cuando cada viscosmetro frene la misma velocidad de flujo.

Donde . Explicar con todo detalle como usara la ecuacin 7C.1-1 para analizar mediciones experimentales. S la ecuacin 7C.1-1 es vlida para ductos con seccin transversal no circular uniforme?

Figura 7.C1: dos viscosmetros de tubo con la misma presin de salida y a la misma velocidad de flujo las presiones se rastrearon por medio de un gas inerte.

Correcciones en el extremo de viscosmetro de tubo.Usamos la ecuacin 7.4-7, de balance de energa mecnica en estado estacionario.

Esta ecuacin es para fluido incomprensible y sin trabajo mecnico.

Donde 1 y 2 son subndices generales de las corrientes de entrada y salida; llamaremos el plano del fondo de los tanque como plano S y designaremos la P atm como la presin de salida.

Entonces para la corrida A, aplicamos el balance de la regin entre el plano S y el plano 2.

Ntese que el trmino de energa cintica es cero, debido a que la distribucin de la velocidad en la entrada y la salida no son lo mismo.

Anlogamente en la corrida B, se hace un balance para el plano 5 y plano 0 y obtenemos.

Ahora resta la ecuacin (2) a la ecuacin (1) y sealo que los trminos de energa cintica se cancelan, como los trminos de disipacin viscosa, ya que la tasa de flujo en los dos sistemas son iguales.

Se restan

__________________________________________________

Nuevamente aplicamos un balance de energa mecnica para la regin del plano 0 y el plano 4 en la corrida B:

Como

Los trminos de energa cintica se cancelan

Los trminos de disipacin viscosa se calcula usando la ecuacin 7.5-7 junto con la ecuacin 2.3-22:

Tenemos las ecuaciones

Pero de acuerdo a Fn.1 en P.50.

Dividimos por

Ahora la ecuacin se puede reorganizar y luego se combina con la ecuacion

Se multiplica a ambos miembros por

Ahora reorganizo la ecuacin

Le divido entre y despejo

Reemplazo en

Se cumple y est de acuerdo con la ecuacin 7C1-1, quedando demostrado.

9.A.8 CONDUCTIVIDAD TERMICA Y NUMERO DE PRANDTL DE UN GAS POLIATOMICOa) estimar la conductividad trmica del CH4 a 1500K y 1.37 atm. La capacidad calorfica molar a presin constante a 1500K es 20.71 cal/g.mol.K.Usando la ecuacin: 9.3-15

Para la viscosidad (*)Buscamos las variables faltantes en la tabla E1 y E2 para el CH4

Reemplazamos los datos en la ecuacin (*)

Luego reemplazamos en la primera ecuacin para hallar K

b) Cul es el nmero de Prandtl a la misma presin y temperatura?Hallamos el numero de Prandtl de la ecuacin 9.3-16

9.A.9 CONDUCTIVIDAD TERMICA DE CLORO GASEOSO.Usamos la ecuacin 9.3-15 para calcular la conductividad trmica del cloro gaseoso. Para hacer esto se necesita la ecuacin 1.4-14 a fin de estimar la viscosidad.T(K)200300400500600

(cal/g.mol).K8.068.128.448.628.72

9.C.1 Teoria de Emokog para gases densosa) Partimos de la ecuacin 9.C.1-4

Adems se tiene que , se calcula aparte

Sustituimos estas expresiones en :

b) En primer lugar se podra diferenciar el diagrama Z de Hougen-Watson a las derivadas parciales que aparecen en (a) y por lo tanto , entonces la ecuacin 9C1-1 y 9C1-2, se obtiene:

Dividimos

Se tiene que:

Reemplazamos

Entonces se pueden leer los valores de a partir del diagrama de Uyehara-Watson y construir un diagrama para la conductividad trmica. Este procedimiento no es recomendable para gases poli atmicos.c) La ecuacin de estado Redlich-Kwong

Donde a y b son constantes.Esta ecuacin no puede ser usada para clculos de equilibrios liquido vapor, pero puede usarse conjuntamente con expresiones concretas para la fase liquida en tal caso.La ecuacin de Redlich Kwong es adecuada para calcular las propiedades de la fase gaseosa cuando el coeficiente entre la presin y la presin critica es menor que la mitad del cociente entre la temperatura y la temperatura critica.