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Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

1/32Problemas tema 2: Ondas

Problemas de Ondas

Boletín 2 – Tema 2

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2007/08



Sea una onda transversal que viaja a través de una cuerda y cuya ecuación es

, donde x e y están expresados en centímetros y t

en segundos. Determine a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia,

d) la velocidad, e) el sentido de propagación de la onda, f) la máxima velocidad

transversal de una partícula en la cuerda, g) el desplazamiento transversal en

x=35cm cuando t=0.26s.

y(x, t) = 6.0 sen(0.20πx + 40πt)

b)

a) A = 6 cm

y(x, t) = 6.0 sen(0.20πx+ 40πt)

Porque ‘y’ se

mide en cms

Sabemos:

K =2π

λ=“frecuencia espacial”

ω =2π

T=“frecuencia temporal”

periodo espacial

periodo temporal

λ =2π

K=

2π rad

0.20π rad/cm= 10 cm

Problema 1

K ω



c) Frecuencia

ω = 40π = 2πf

Hz

lineal

d) Velocidad (de fase): Velocidad de los puntos que tienen la misma fase (es la

velocidad a la que viaja la onda en el espacio).

Lugar geométrico de los puntos con la misma fase: Kx − ωt = cte

Derivando: K dx − ω dt = 0 K dx = ω dt

v =dx

dt=

ω

K=2πf

2π/λ= fλ λ = vT

Problema 1

f =40π

2π

rad/s

rad= 20

ciclos

s= 20Hercios

f = 1/T



e)

T =2π

ω=

2π rad

40π rad/s=1

20s = 0.05 s

v =λ

T=10 cm

0.05 s= 2m/s

ω = 40π

Sentido de la propagación

Genéricamente:

En nuestro caso,

tenemos:

cos(Kx− ωt)

cos(Kx+ ωt)

Dirección de propagación x +

Así que, la dirección de

propagación es x —

Problema 1

Velocidad de fase o

también, ‘velocidad de

la onda’, (constante)



f) Velocidad transversal máxima

Velocidad ‘transversal’:velocidad de un punto

concreto, en su oscilación.

Como cada punto oscila con

un M.A.S., esta veloc. es

una función del tiempo

(igual que en un MAS).

vy(t) =dy

dt= Aω cos(Kx− ωt)

vy(t)|max = Aω = 6 cm40πrad

s== 240π

cm

s

vy max. para cos = 1

vy(t)

vy(t0)

(variable con t)

velocidad

de fase

(constante)

Problema 1



g) Desplazamiento transversal en x=3.5cm, t=0.26s

Sólo hay que sustituir:

y = −1.9 cm

cm

cmrad/cm rad/s s

Problema 1

= 6 sen(0.20π 3.5 + 40π 0.26)

y = 6 sen(0.20π x+ 40π t) =



Una cuerda de masa 0.2kg y 4 metros de longitud se conecta a un diapasón que

oscila con una frecuencia de 20Hz. La amplitud de las oscilaciones es de 1cm. La

onda transversal excitada en la cuerda resulta tener una longitud de onda de

10cm. Determine la velocidad de la onda y la tensión aplicada a la cuerda. ¿Por

qué factor es preciso multiplicar la tensión aplicada para que la longitud de onda

se duplique?

a) Velocidad de la onda Datos:

m = 0.2 kg

l = 4m

f = 20Hz

A = 1cm

λ = 10 cm

v =λ

T= λf = 10 cm 20

ciclos

s

v = 200cm

s

Problema 2



b) Tensión aplicada a la cuerda

Sabemos:

v =

sFT

μ

Tensión aplicada

Densidad de masa lineal

Velocidad

μ =m

l=0.2 kg

4m= 0.05

kg

m

v = 200 cm/s

Despejamos FT :

FT = μv2 = 22m2

s20.05

kg

m= 0.2

kg

s2m = 0.2N

Problema 2



c)

λ

T=

sFT

μ

2λ

T=

sF 0Tμ

F 0T = 4FT

Es necesario un factor

multiplicativo de 4

Es necesario un factor

multiplicativo de 4

Para que λ se duplique sin modificarla frecuencia de la onda ni la cuerda

Problema 2

Factor multiplicativo de FT para que λ se duplique

Y buscamos F’T

tal que:

Tenemos:

2

sFT

μ=

sF 0Tμ



Un espeleólogo de masa 70kg se encuentra suspendido de una cuerda de densidad

lineal 0.9kg/m. El espeleólogo decide enviar una señal a su compañero, que se

encuentra 30m más arriba, para que suelte más cuerda. Para ello tira de la cuerda

horizontalmente para enviar un pulso transversal a través de ella. La velocidad de

la onda dependerá de la tensión a que la cuerda está sometida, sin embargo, dado

que las cuerdas empleadas en espeleología tienen una alta densidad lineal, cabe

preguntarse si es adecuado despreciar el propio peso de la cuerda a la hora de

calcular la tensión. Para comprobarlo, calcule el tiempo que tarda la señal en llegar

al compañero: a) despreciando el peso de la cuerda y b) sin despreciarlo.

a) Despreciando el peso de la cuerda

Sabemos:

v =

sFT

μ=

r70 · 9.80.9

= 27.6m

s

t =l

v=

30m

27.6m/s= 1.086 s

μ = 0.9kg

m

P = mg

m = 70 kg

l=30m

Problema 3

FT = mg = 70 kg 9.8m/s2



b) Sin despreciar el peso de la cuerda

z

z

u = m + μz

ZFT (z) =mg +

Z z

0

μg dz = mg + μgz

v =dz

dt=

rmg + μgz

μ

√μdz√

mg + μgz= dt

rμ

g

Z l

0

dz√m+ μz

=

Z t

0

dt t =

rμ

g

Z ul

u0

1

μ

du√u

Problema 3

FT (z)



Cambio:

u = m + μz

du = μdz

Límites:

u0 = mul = m + μl

t =

rμ

g

Z ul

u0

1

μ

du√u

t =1√μg

∙2√u

¸ulu0

= 0.997 s

Problema 3

z=0

z=l



Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El barco se

encuentra en reposo en una zona en la que la profundida del lecho marino es de

50m. El sistema emite un haz de ondas de sonido cuya frecuencia f=262Hz que

forma un ángulo de 30o con la superficie del mar y mide el tiempo que tarda la onda,

que se refleja en un pecio, en regresar al detector. Sabiendo que el tiempo de retardo

es 0.135s y que la densidad del agua es 1.00x103kg/m3, calcúlese a) la velocidad del

sonido en el agua, b) el módulo de compresibilidad del agua, c) la longitud de onda

de la señal emitida.

a) Velocidad del sonido en el agua

Por trigonometría simple:

ida y vuelta

v =s

t=2 · 100m0.135 s/2

= 1480m/s

sen 30o =prof .

ss =

prof.

sen 30o= 100m

f = 262Hztiempo de retardo = 0.135 sρagua = 1× 103 kg/m3

prof = 50m

s

Problema 4

Odyssey

30º



Sabemos:

b) Módulo de compresibilidad del aguaSabemos:

v =

sB

ρ

B = v2ρ =³1480

m

s

´2103

kg

m3= 2.9× 109 Pa

c) Longitud de onda de la señal

v =λ

T= λf

λ =v

f=1480m/s

262Hz= 5.65m

Problema 4



Una onda sinusoidal viaja por un hilo de longitud 8.00m y masa 6.00g con una

velocidad de 30.0m/s. La longitud de onda es 0.200m, a) determinar la amplitud

de la onda si su potencia media transmitida es 50.0W, b) si la amplitud y la

longitud de onda son las del apartado a), ¿cuál será la nueva potencia media

transmitida por la onda si la tensión se modifica de forma que la velocidad de la

onda sea el doble?

μ =6g

8m= 0.75

g

m

ω =2π

T= 2π

v

λ

a) Amplitud de la onda

Sabemos:

Pm =1

2μvω2A2

A = 7.07 cm

Problema 5

Datos

l = 8mm = 6gv = 30m/sλ = 0.2mPm = 50W



b)

P 0m =1

2μ 2v ω02A P 0m =

1

2μ 2v (2ω)2A = 8Pm = 400W

v =λ

T2v =

λ

T 0T 0 =

λ

2v=1

2T

Problema 5

Si A y λ son iguales que en a), calcular nueva Pm para 2v

ω0 =2π

T 0=2π

T/2= 2ω



Un submarino francés y otro británico se desplazan el uno hacia el otro durante

unas maniobras militares. El submarino francés navega a 50km/h y el británico a

70km/h. El submarino francés emite una señal de sonar a 1000Hz. Las ondas de

sonar viajan a 5470km/h. a) ¿Cuál es la frecuencia detectada por el submarino

británico?, b) La señal emitida por el submarino francés se refleja en el británico

y es detectada por el primero. ¿Cuál es la frecuencia detectada por el submarino

francés?

Sabemos:

freceptor = ffocovsonido ± vreceptorvsonido ∓ vfoco

Submarino

francés

(foco)

Submarino

inglés

(receptor)

vfrances = 50 km/ h vingles = 70 km/ h

f = 1000Hz

v = 5470 km/h

Problema 6



a) Frecuencia detectada por el submarino británico

Aplicación directa de la fórmula:

receptor emisor

se aproximan

Problema 6

= 1000Hz5470 + 70

5470− 50km/h

km/h= 1022Hz

fingles = ffrancesvsonido + vinglesvsonido − vfrances =



b) Frecuencia detectada por el submarino francés, después de que se

refleje en el inglés

• La velocidad vsonido es la misma.

• El emisor es el inglés.

• El receptor es el francés.

• La frecuencia con que emite el

emisor (inglés) es la frecuencia

calculada en el apartado anterior.

Submarino

francés

(receptor)

vfrances = 50 km/ h vingles = 70 km/ h

v = 5470 km/hSubmarino

inglés

(foco)f = 1022Hz

Problema 6

1022 Hz5470 km/h 50 km/h

70 km/h

ffrances = finglesvsonido + vfrancesvsonido − vingles = 1045Hz

emisorreceptor



El pasajero de un tren (A) que viaja a una velocidad de 20 m/s, ve desde su

ventana a un peatón (B) que, detenido en un paso a nivel, espera el paso del tren.

Antes de llegar a la altura del peatón, el silbato del tren emite un sonido de

frecuencia 500 Hz. Sabiendo que la velocidad del sonido es 343m/s, a) determinar

la frecuencia del sonido que oyen A y B suponiendo que el aire está en calma, b)

determinar de nuevo la frecuencia del sonido que oyen A y B suponiendo que hay

viento con una velocidad de 5m/s en la misma dirección y con el mismo sentido

que la velocidad del tren. c) Sabiendo que 20000 Hz es la frecuencia más alta que

puede detectar el oído humano ¿es factible el hecho de que una velocidad excesiva

del tren hiciera inaudible el silbato de advertencia al peatón?

Problema 7:

Sabemos:

freceptor = ffocovsonido ± vreceptor

vsonido ∓ vfocoA B

v = 343m/s

f = 500Hz



a) Frecuencias que oyen A y B

No hay movimiento relativo entre A y el tren.

No hay efecto Doppler.

fA ≡ ftren = 500Hz

Problema 7

500 Hz 343 m/s 20 m/s

0

fB = ftrenvsonido ± vB

vsonido − vtren = 531Hz

Acumulación de frentes de

onda delante del emisor, que

acorta la longitud de onda

emitida



b) Frecuencia que oyen A y B con viento

El movimiento relativo de A y de B no cambia.

Sólo cambia la velocidad efectiva del sonido.

vefectiva sonido = vsonido ± vviento

Misma razón que en el apartado anterior.

fA ≡ ftren = 500Hz

A B

v = 343m/s

viento= +5m/s

Problema 7

500Hz343 + 5

343 + 5− 20m/s

m/sfB = ftren

vefec.sonido ± vB

vefec.sonido ∓ vtren = = 530.5Hz

.efec sonidov

En este caso, la onda se aproxima a B

arrastrada por el viento, o sea, a mayor

velocidad efectiva, (elegimos el signo +).

Elegiríamos el signo menos si el viento soplara

en contra.

0



c) Velocidad del tren para que B no escuche el silbato

Para la frecuencia máxima audible=20000Hz, la velocidad del tren

sería:

fB = 20000Hz = ftrenvsonido

vsonido − vtrenPara esa velocidad, 334.4

m/s, la frecuencia del tren se

hace inaudible, pero es

demasiado grande para que

un tren pueda alcanzarla.

¿Podrían darse frecuencias

inaudibles (superiores a

20000 Hz) para velocidades

de tren más bajas?

Para esa velocidad, 334.4

m/s, la frecuencia del tren se

hace inaudible, pero es

demasiado grande para que

un tren pueda alcanzarla.

¿Podrían darse frecuencias

inaudibles (superiores a

20000 Hz) para velocidades

de tren más bajas?

Problema 7

vtren = vsonido

∙1− ftren

fB

¸= 334.4m/s

= 343m/s

∙1− 500

20000

Hz

Hz

¸próxima

diapositiva

a la que

correspondería

una velocidad

de tren:



Problema 7

Veamos cómo varía la función vtren frente a la frecuencia que

recibe el observador B, fB

vtren

fB20000 Hz

Audible

Inaudible334.4

2

0

tren sonido tren

B B

d f

d f f= >

v vLa pendiente:

es positiva, la función vtren es

creciente con fB, lo que

significa que para velocidades

del tren mayores que 334.4

m/s, la frecuencia observada

estará por encima del límite

audible, (y para velocidades

menores, por debajo). Esa

velocidad, por tanto, marca la

separación entre lo audible y

lo inaudible.



5000

Fv

Fv t

Fv = 1.22

Problema 8

vtα

a)

π/2-α



a)

Problema 8

Dos formas alternativas de calcular este tiempo:

cos5000

vtα =

O bien

A partir de la distancia recorrida

por la onda de sonido

(distancia vt, en naranja)

A partir de la distancia recorrida

por la onda de choque

(distancia vF t, en marrón)

5000

F

tgv t

α =

veloc. del sonido

veloc. del avión



×1.22

5000 m

Fv =

ʹvtαα

Problema 8

b)5000

cosʹvt

α = t’



Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia viajan por una cuerda

tensa en direcciones opuestas. a) Calcular y dibujar la forma de la onda

resultante. b) Demostrar que la potencia promedio transmitida por esta onda es

nula.

Problema 9

a) Forma de onda resultante

y1 = A sen(Kx− ωt) y2 = A sen(Kx+ ωt)

Resultante: y1 + y2 = A£sen(Kx− ωt) + sen(Kx+ ωt)

¤

A A



y = 2A sen(Kx) cos(ωt)

Onda estacionaria: Cada partıcula vibra conun M.A.S. de frecuencia ω, con una amplitudque depende de su posicion.

y1 + y2 = A£sen(Kx− ωt) + sen(Kx+ ωt)

¤

Problema 9

+sen(Kx) cos(ωt) + cos(Kx) sen(ωt)¤= A

£sen(Kx) cos(ωt)− cos(Kx) sen(ωt)+

Por trigonometría simple:



b) Potencia promedio transmitida por la onda

Una forma de hacerlo: Calculamos la potencia instantánea e

integramos en un periodo.

Sabemos:

P = −FT ∂y∂t

∂y

∂x=

= −FT£2Aω sen(Kx)

¡− sen(ωt)¢¤£2AK cos(Kx) cos(ωt)¤ == FT (2A)

2ωK£sen(Kx) cos(Kx)

¤£sen(ωt) cos(ωt)

¤=

= FTA2Kω sen(2Kx) sen(2ωt) = P (t)

=1

2sen(2ωt)=

1

2sen(2Kx)

Potencia instantáneaPotencia instantánea

Problema 9

Derivamos y = y1 + y2 respecto de t y de x



La potencia

promedio es el

promedio temporal

de la P instantánea:

Pm =1

T

Z T

0

P (t) dt =

=FTA

2Kω sen(2Kx)

T

∙−cos(2ωt)

2ω

¸T0

= 0

=1

T

Z T

0

FTA2Kω sen(2Kx) sen(2ωt) dt =

Cte.

Problema 9



Otra forma de hacerlo: Sumando las potencias promedio que

transporta cada onda.

Sabemos: Pm =1

2μvω2A2

y1 x+

y2 x−

P+m =1

2μvω2A2

P−m =1

2μvω2A2

P total

m = P+m − P−m = 0

Problema 9

La onda 1 transporta esa potencia

en la dirección x+

La onda 2 transporta esa misma

potencia en la dirección x_

La onda total (superposición de las dos),

transporta una potencia neta nula

Exactamente la misma potenciaporque tenemos la misma ω y A(y μ y v, porque es la mismacuerda)

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