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Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

1/41Tema 2: Potencial eléctrico

Tema 2: Potencial Eléctrico

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2010/11



1. Introducción

2. Energía potencial eléctrica

1. de dos cargas puntuales

2. de un sistema de cargas

3. Interpretación de la Ep

3. Potencial eléctrico

4. Cálculo del potencial eléctrico

5. Cálculo del campo a partir del potencial. Gradiente

6. Superficies equipotenciales

Índice:

Tema 2: Potencial Eléctrico



Introducción

¿Cuál es el trabajo que realiza esa fuerza?¿Cuál es el trabajo que realiza esa fuerza?

Análogamente al caso gravitatorio, la fuerza eléctrica es CONSERVATIVA, y veremos que ese trabajo se puede expresar en términos de Energía Potencial (eléctrica) o simplemente Potencial (energía potencial por unidad de carga)

Hemos hablado de la fuerza eléctrica y del campo (fuerza eléctrica por unidad de carga). Ahora nos preguntamos:

~Fe~E



Igual que en el caso gravitatorio, el potencial se define respecto de un nivel de referenciaarbitrario, dándose entonces una asimilación de potencial a lo que en realidad son diferencias de potencial entre un punto y el de referencia.

A las diferencias de potencial también se les llama voltaje

A las diferencias de potencial también se les llama voltaje

Introducción



El trabajo que realiza una fuerzacualquieraes el incremento de energía cinética

Energía Potencial Eléctrica

¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza cualquiera para llevar a la partícula desde a hasta b?

fuerza

elemento de longitud tangente al camino

producto escalar

a

b~F

~F

d~l

Recordamos:

=

Z b

a

FT dl =

Z b

a

mdv

dtdl = Ek,b −Ek,a

escalaresFT

Energía cinéticaComponente tangente de la fuerza velocidad

Wa→b =Z b

a

~F · d~l =FT



¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerzaconservativa para llevar a la partícula desde a hasta b?

Si la fuerza es conservativa, la energía total se conserva en cada punto del camino:

Este signo es necesario para obtener este orden

Recordamos:

a

b~F

~F

d~l

c

cEtotal = (EK + EP )A = (EK + EP )B

El trabajo que realiza una fuerza conservativa (además de ser el incremento de Energía Cinética) es igual al menos incremento de Energía Potencial

Wa→b =Z b

a

~FC · d~l = −Z b

a

dEP = EP,A − EP,B

Energía potencial



Energía potencial eléctrica en un campo uniforme

Análogo gravitatorio

mEp,max

EK,max

~g

ref. 0

+ + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – – –

~E q + Ep,max

EK,maxref. 0

La masa, siguiendo la direcciondel campo, aumenta su EK ydisminuye su Ep

La carga positiva, siguiendo ladireccion del campo, aumenta suEK y disminuye su Ep




+ + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – – –

~E q +

+ + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – – –

~E q -

Caso anterior

La carga negativa espontanea-mente sigue la direccion con-traria a ~E (aumentando su EK)y disminuyendo su Ep

Desplazamientos espontáneos(Trabajo positivo realizado por el campo)




+ + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – – –

~E q +

+ + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – – –

~E q -

Desplazamientos no espontáneos (inducidos o forzados)El trabajo positivo es realizado por un agente exterior contra el campo.


m~g

ref. 0

La carga negativa semueve a favor del campo,aumentando su Ep

La carga positiva (o masa)se mueve contra el campo,aumentando su Ep



Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales

Calculemos el trabajo para llevar una carga prueba q0 desde a hasta b en el campo de otra carga fija q.

Tenemos libertad para elegir la trayectoria, porque la fuerza eléctrica es conservativa y el trabajo a lo largo de cualquiera de ellas es el mismo:

1 2

, ,

, ,Cualquier camino

0a a P A P A

a b a b a b P A P BC C

W d E E

W W W E E

→

→ → →

= ⋅ = − =

= = = = −

∫○

…

CF l



Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…

+q

+a

cb

~E

q0

Así que elegimos la trayectoria más conveniente:la acb, compuesta por dos tramos:

arco de circunferencia acacb +

rayo (segmento) cb

arco (r=cte) rayo ( =cte)

b c b

a b acb a a c

a c c b

W d d d

W Wθ

→

→ →

= ⋅ = ⋅ + ⋅ =

= +

∫ ∫ ∫C C CF l F l F l

0 02rayo ( =cte)

0 0

1 1 1 4 4

b b

a a

r r

c b rr ra b

qq qqW F dr drr r rθ πε πε→

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

0porque F es a dlporque F es a dr

rF




0

0

1 14a b a c c b

a b

qqW W Wr rπε→ → →

⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

El trabajo total en todo el recorrido:

Identificando con, ,a b P A P BW E E→ = −

Podemos definir la energía potencial como una función de punto:

Ep(r) =14πε0

qq0r

Energía potencial eléctrica para dos cargas puntuales

Propiedad compartida por ambas cargas



La energía potencial eléctrica es positiva para dos cargas del mismo signo

Y es negativa para cargas de signo opuesto




En general:•Para distribuciones de cargas finitas, la referencia se tomará en el infinito.

•Para distribuciones de carga infinitas, la referencia se elegirá en algún punto a convenir.


La Ep es cero en el infinito (para distancia infinita entrecargas). Pero ese nivel de referencia es arbitrario, siemprese puede anadir una constante, tal que Ep = 0 en un puntoelegido por conveniencia.



¿Que representa la Ep?

Ep(r) = Ep(r)−Ep(∞)Segun la definicionde W en funcion de Ep

≡= 0Puesto que:

q

~E

q0

r

Ep(r) =1

4πε0qq0r

Interpretación de la Energía potencial eléctrica

Wr→∞campo

La Ep(r) representa el trabajo que tieneque hacer el campo de q para llevar a q0desde una distancia r hasta el infinito.




mEp,max

EK,max

~g

ref. 0

Interpretación de la Energía potencial eléctrica…

Trabajo realizado por el campo Trabajo realizado por el agente externo contra el campo

La fuerza externa es igual y opuesta al campo (condiciones estacionarias para que no se acelere la partícula), y el recorrido es opuesto. Desde B hasta A.

desde A hasta B:

campo

Fza externa

=

( )

a b

b a

b a

a ba a

extb b

W d d

d d W

→

→

= ⋅ = − ⋅

− ⋅ = ⋅ =

∫ ∫∫ ∫

E l E l

E l F l


m

~g

ref. 0

extF

=



Interpretación de la Energía potencial eléctrica…

q

~E

q0

r

Ep(r) =1

4πε0qq0r

¿Que representa la Ep?

Ep(r) representa el trabajo que tieneque hacer el campo para llevar lacarga q0 desde r hasta el ∞, perotambien el que tendrıa que hacer elagente externo contra el campo paratraer a q0 desde el ∞ hasta r.



Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales

Si el campo, en lugar de por unasola carga q, estuviera generadopor un sistema de cargas

{q1, q2, q3, . . .}

a distancias

{r1, r2, r3, . . .}de nuestra carga test q0



• La fuerza total sobre q0 es la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada carga individual (teorema de superposición)

• El trabajo total que se realiza sobre q0 es la suma de las contribuciones individuales

• La energía potencial del sistema es igual al trabajo:

i=∑ iF F

0 3 01 2

i0 04 4q q q qq qE W

r r r rπε πε⎛ ⎞

= = + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑… iP

1 2 3 i

El trabajo total que se realiza sobre q0 es la suma de las contribuciones individuales

i

0

0

=

donde 4

a

bi

W d d W

q qWrπε

= ⋅ = ⋅

=

∑ ∑∫ ∫ i i

ii

i

F l F l




Considerándola como trabajo de ensamblajeentre cargas

Otra expresión para la Ep del sistema:

Para traer la primera carga desde el infinito, no hay que hacer ningún trabajo (aún no hay campo ni fuerza que vencer)

q1

Para traer la segunda, hay que vencer la fuerza que aparece entre ellas:

0W =1

q1 q2

r12

W2 =q1q2

4πε0r12




Para traer la tercera

q3

q1 q2

r12

r13r23

1 3 2 33 13 23

0 0

+ = 4 4

q q q qW W Wr rπε πε

= +13 23

Y así sucesivamente para ir trayendo una a una cargas desde el infinito hasta un punto Pi del espacio…




Para ensamblar el sistema completo:

La suma se extiende a todos los pares de cargas i<j para no incluir la interacción de una carga consigo misma y para asegurar que cada par sólo se cuente una vez.

El trabajo de ensamblaje total es la suma de los trabajos de ensamblaje para ir añadiendo al sistema cargas sucesivas.

q1

q2

r12

q3 qn

r13

r3n

1

1 22

0

1 3 2 33

0 0

0 trabajo 1ª carga

trabajo 2ª carga4

4 4

Wq qW

r

q q q qWr r

πε

πε πε

=

=

= +

12

13 23

1 2 1

0 0 0

trabajo 3ª carga

trabajo n-sima carga4 4 4

q q q q q qWr r rπε πε πε

−= + + +…n n n nn

1n 2n n-1,n

i

W W= ∑ i

Ep(r) = W =1

4πε0

Xi<j

qiqjrij

+




Es la energía potencial por unidad de carga:

Potencial Eléctrico

Potencial de una carga puntual:

V (r) =q

4πε0

1

rEp(r) =qq04πε0

1

r

V =Epq0

No depende de q0 (carga test): sólo de la carga que origina el campo.

No depende de q0 (carga test): sólo de la carga que origina el campo.

q

~E

q0

r

Potencial creado por una carga q a una distancia r.

Potencial creado por una carga q a una distancia r.

Definición:

( )VA − VB = VAB = Ep,Aq0− Ep,B

q0



UNIDADES: V =Epq=

[Julios]

[Coulombio]≡ Voltio = V

o bien

camino inversoagente externo

Va − Vb =Z b

a

~Ed~l

Va − Vb = −Z a

b

~Ed~l

es el trabajo realizado por el campo para desplazar una unidad de carga desde ahasta b.

es el trabajo realizado por el campo para desplazar una unidad de carga desde ahasta b.

es el trabajo realizado contra el campo (por un agente exterior) para desplazar una unidad de carga desde b hasta a.

es el trabajo realizado contra el campo (por un agente exterior) para desplazar una unidad de carga desde b hasta a.

(S.I.)Unidades:

Resultados para Ep, extendidos ahora al potencial:

Propiedades: Función escalar de punto, continua y univaluada




Potencial debido a una carga puntual:Potencial debido a una carga puntual:

Potencial debido a un sistema de cargas puntuales:Potencial debido a un sistema de cargas puntuales:

Potencial debido a una distribución continua de cargas:Potencial debido a una distribución continua de cargas:

V (r) =1

4πε0

Zdq

r

V (r) =Epq0=

1

4πε0

q

r

V (r) =Epq0=

1

4πε0

Xi

qiri

dq r P

q

~E

r


P



Conocida la distribución de carga

q(r)

Conocido el campo

~E(r)

Es necesario haber elegido un potencial de referencia en algún lugar conveniente.

Cálculo del Potencial Eléctrico

V =1

4πε0

ZV

dq

r

V − Vref = +Z ref

~E d~l

Integración directa

Hay dos vías para calcular el potencial eléctrico:

Como trabajo del campo



Para que sean iguales, sus integrandos tienen que ser iguales

Para que sean iguales, sus integrandos tienen que ser iguales

Cálculo del campo a partir del potencial

Igual que el potencial se puede determinar a partir del campo eléctrico, a la inversa, también se puede determinar el campo, conocido el potencial

¿Cómo?¿Cómo?

Primero, derivemos la expresión del potencial en forma diferencial:

Igualando

Va − Vb =Z a

b

dV

Va − Vb =Z b

a

~E d~l = −Z a

b

~E d~l Z a

b

dV = −Z a

b

~E · d~l

dV = −~E · d~l



Ahora, teniendo en cuenta las componentes:

Vector desplazamiento en una dirección cualquiera

d~l = dx~i+ dy~j+ dz ~k

~E = Ex~i+ Ey~j+ Ez ~k

Vectores unitarios en las tres dimensiones x,y,z del espacio

Campo eléctrico:

Componentes de ~Een la base {~i,~j, ~k}

Obtenemos:

−dV = ~E · d~l = Ex dx+Ey dy +Ez dz




Esto nos permite definir:

eje x

eje y

eje z

Caminos a lo largo de las líneas coordenadas

Ex = − dVdx

¯dy=dz=0

Ey = − dVdy

¯dx=dz=0

Ez = − dVdz

¯dx=dy=0 x

y

z




O sea:

Ez = −∂V∂z

Ey = −∂V∂y

Ex = −∂V∂x

~E = −µ~i∂V

∂x+~j

∂V

∂y+ ~k

∂V

∂z

¶Derivada parcial respecto a x

Derivada total respecto a x manteniendo las otras variables constantes

≡’GRADIENTE de V’

El campo eléctrico es el menos gradiente del

potencial.

El campo eléctrico es el menos gradiente del

potencial. V= −∇E

~∇ ≡µ~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

¶Operador nabla: ~∇




Nota sobre el gradiente de una función escalar

gradiente de f

Su dirección es la dirección en la que faumenta con mayor rapidez al cambio de posición

Su dirección es la dirección en la que faumenta con mayor rapidez al cambio de posición

~∇f =µ~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

¶f

~E apunta en la direccion en queV disminuye mas rapidamente.

∀

V= −∇E




Formas de calcular el campoResumen:

1)A partir de la distribución de carga, por integración directa.

2)Por la ley de Gauss, en altas condiciones de simetría

3)Calculando primero el potencial, y tomando su gradiente.

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Este tema

Cálculo del campo



Superficies ‘de igual potencial’: lugar geométrico de los puntos que tienen el mismo potencial.

Superficies equipotenciales

( , , )V x y z cte=

Equivalente gravitatorio: (curvas de Epotenc

gravitatoriaconstante)Circuitos de igual elevación

Vistos desde arriba:Vistos desde arriba:MontañaMontaña



•Si una carga q0 se traslada a lo largo de una superficie equipotencial, su energía potencial eléctrica q0V no cambia. El trabajo para trasladarla de un punto a otro sobre la superficie equipotencial es NULO.

•Ningún punto puede tener dos potenciales diferentes. Las superficies equipotenciales nunca se cruzan ni se tocan. El potencial es una función univaluada y continua.

sobre sobrela equip. la equip.

0V cte d V= → =

trabajo p.u.c.


Propiedades:Como en el caso gravitatorio:



Como el potencial es constante sobre una superficie equipotencial:

El campo es perpendicular a la superficie equipotencial.

Como ~E y d~l 6= 0

Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo:

sobre sobrela equip. la equip.0dV d= ⋅ =E

sobrela equip.

d⊥E




Líneas de campo y superficies equipotenciales para diversas configuraciones




Resumen



Bibliografía

•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté(vol. II)•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de

Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. RevertéSears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education

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