facultad de ciencias...2.2.3. transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.4....

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

FACULTAD DE CIENCIAS

Medicion de Difusividades Termicas en Lıquidos Mediante

Simulacion del Efecto de Lente Termica

TRABAJO DE TITULACION PREVIO A LA OBTENCION DEL TITULO DE

FISICO

PROYECTO DE INVESTIGACION

Ramiro Alejandro Yerovi Vargas

[email protected]

DIRECTOR: Dr. Cesar Costa Vera

[email protected]

Quito, julio de 2017

DECLARACION

Yo, RAMIRO ALEJANDRO YEROVI VARGAS, declaro bajo juramento que el

trabajo aquı descrito es de mi autorıa; que no ha sido previamente presentado

para ningun grado o calificacion personal; y, que he consultado las referencias

bibliograficas que se incluyen en este documento.

La Escuela Politecnica Nacional, puede hacer uso de los derechos correspon-

dientes a este trabajo, segun lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual,

por su Reglamento y por la normatividad vigente.

Ramiro Alejandro Yerovi Vargas

CERTIFICACION

Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Ramiro Alejandro Yerovi

Vargas, bajo mi supervision.

Dr. Cesar Costa Vera

DIRECTOR DEL PROYECTO

AGRADECIMIENTOS

Mi gratitud y reconocimiento:

A Dios y a mi madre Sandra por su amor, incondicional apoyo, sacrificio, entre-

ga, por motivarme a ser mejor cada dıa y por siempre creer en mi en el arduo

camino para ser Fısico. A mi padrino Carlos por ser un soporte en mi educacion

y por darme un buen ejemplo. A mi esposa Lucıa por darme animo, ser un pilar

fundamental en mi vida y por su amor. A mis amigos y companeros de la vida,

de labores y aulas por el aliento que me dieron y sobre todo por su sinceridad.

Al Dr. Cesar Costa Vera, por las largas jornadas de revision, analisis del trabajo

y sus consejos. Al Dr. Luis Rodriguez, Becario Prometeo adscrito al Departa-

mento de Fısica de la EPN, por proponer el problema de simular el efecto de la

lente termica para medir las difusividades termicas en lıquidos.

DEDICATORIA

A mi madre Sandra, porque siempre me ha apoyado y me ha ensenado el valor

de luchar por lo que quiero con paciencia pero con mucha tenacidad y por

darme un gran ejemplo.

Ramiro Alejandro

Contenido

1 Introduccion 1

2 Bases Fısicas del Fenomeno de Lente Termica 3

2.1. Lente Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. ¿Que es una Lente Termica? . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2. Generacion de la Lente Termica . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.3. Evidencia Experimental de la Lente Termica . . . . . . . 4

2.1.4. Experimentacion Basada en la Lente Termica . . . . . . 5

2.2. Modelos Fısicos Subyacentes y Estructuracion Teorica de la Len-

te Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1. Difusividad Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2. Laseres Continuos como Fuentes de Bombeo y Prueba

(Pump-Probe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3. Transferencia de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.4. Consideraciones Opticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.5. Difusividad Termica a partir de la Lente Termica . . . . . 12

3 Simulacion Fısica en COMSOL Multiphysics® 14

3.1. ¿Que es COMSOL Multiphysics®? . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Metodologıa de la Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1. Procedimiento de la simulacion . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Implementacion del modelo en COMSOL Multiphysics ® . . . . 19

3.3.1. Parametros de la Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.2. Geometrıa de los Componentes . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.3. Materiales de los Componentes . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.4. Seleccion de los Modulos Fısicos . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.5. Seleccion de la Multifısica . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.6. Seleccion de la Malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

i

CONTENIDO ii

3.3.7. Seleccion del Estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.8. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Resultados y Discusion 36

4.1. Simulacion de los Haces de Prueba y Bombeo . . . . . . . . . . 36

4.2. Resultados del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Conclusiones y Recomendaciones 40

Bibliografıa 42

Indice de figuras

2.1. Formacion de la lente termica (transversal en el centro en celeste)

en una muestra (bolitas azules) donde estan presentes los haces de

prueba (probe) en rojo y de bombeo (pump) en rosa. . . . . . . . . . 4

2.2. Figura de un haz laser enfocado. El punto de menor area se conoce

como cintura (waist, en Ingles), representado geometricamente, con

una lınea gruesa negra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Representacion grafica del cambio entre el dominio del tiempo y el

dominio de la frecuencia en la transformada de Fourier1 . . . . . . . 9

3.1. Modulos de COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Arreglo del experimento de la lente termica tipo pump-probe, con S

como muestra, BS como divisor de senal (en Ingles, beamsplitter),

M espejo y P polarizador2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Flujo de la simulacion, en ovalos se representa el inicio y fin, en

rectangulos las actividades y con rombos las condiciones o decisio-

nes del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4. Parametros globales en COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . . . . 19

3.5. Definir Geometrıa en COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . . . . . 20

3.6. Interfaz de geometrıa de COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . . . 20

3.7. Captura de la geometrıa disenada en COMSOL Multiphysics ® . . 20

3.8. Captura de pantalla del contenedor de vidrio (paredes delgadas ex-

teriores) y la muestra lıquida (bloque central) . . . . . . . . . . . . . 21

3.9. Materiales utilizados en la simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.10. Fenomenos fısicos disponibles en COMSOL Multiphysics ® . . . . 23

3.11. Captura de los modulos fısicos incorporadas en nuestra simulacion . 23

3.12. Interfaces del modulo de transferencia de calor en COMSOL Mul-

tiphysics ® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.13. Parametros de entrada de la interfaz de transferencia de calor en

solidos de COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

iii

INDICE DE FIGURAS iv

3.14. Fısica de transferencia de calor en solidos y sus interfaces en COM-

SOL Multiphysics ® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.15. Captura de pantalla donde se ve el modulo fısico de “optica geometri-

ca” y sus opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.16. Multifısica de “fuente de calor por rayos” . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.17. Interfaz especıfica del modulo de “fuente de calor por rayos” . . . . 28

3.18. Seleccion de los dominios en la interfaz de transferencia de calor

(condiciones de frontera) en COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . 28

3.19. Seleccion de los dominios en la interfaz de optica geometrica (con-

diciones de frontera) en COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . . . . 29

3.20. Tipos de mallado en COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . . . . . . 31

3.21. Interfaz del mallado en COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . . . . 31

3.22. Captura del mallado de nuestro modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.23. Estudios disponibles para nuestro modelo . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.24. Estudios utilizados en nuestro trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.25. Captura de la interfaz del estudio “trazado de rayos bidireccional-

mente acoplado” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.26. Tipos de resultados en COMSOL Multiphysics ® . . . . . . . . . . 34

3.27. Interfaz de resultados graficos de COMSOL Multiphysics ® . . . . . 34

3.28. Contornos isotermicos que evidencian la formacion de la lente termi-

ca y sus curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1. Forma de la intensidad del laser obtenida de la expresion 2.4, con

unidades de W/m3, la escala va del azul al rojo de menos a mas in-

tensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Calentamiento de una muestra de agua bajo la expresion 2.4 . . . . 37

4.3. Calentamiento de la muestra producida por el laser a lo largo del

tiempo: a la izquierda al segundo 0, al medio a los 10ηs y a la dere-

cha a los 330ηs, , con unidades de grados K, la escala va del azul al

rojo de menos a mas temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Indice de tablas

3.1. Tabla de Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Tabla de valores de ındices de refraccion y coeficientes termo-opticos 22

3.3. Tabla de difusividades obtenidas de la simulacion . . . . . . . . . . 35

4.1. Tabla de difusividades obtenidas por nuestra simulacion del efecto

de lente termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

v

Capıtulo 1

Introduccion

Este trabajo busca determinar las difusividades termicas de lıquidos simulando

el efecto de la lente termica en COMSOL ®. Esto involucra ecuaciones dife-

renciales parciales acopladas en diferentes modelos fısicos. En este caso los

modelos que se usaran son el de transferencia de calor no convectiva, con una

fuente de calentamiento laser, para simular el calentamiento local en un lıquido

debilmente absorbente, y un modelo optico de propagacion de rayos para de-

terminar el ensanchamiento provocado por el calentamiento. Los resultados se

compararan con resultados publicados en la literatura y observaciones experi-

mentales.

El efecto de la lente termica es un fenomeno reconocido desde la decada de

1960 y sus aplicaciones se encuentran en crecimiento, entonces resulta atracti-

vo realizar un desarrollo tecnico cientıfico [1, 2, 3]. La espectrometrıa de efecto

de la lente termica es de 100 a 1000 veces mas sensible que la espectrometrı-

a comun en la medicion de propiedades en soluciones y muestras solidas [1].

Durante la generacion de la lente termica se producen cambios al interior de

la muestra que modifican su ındice de refraccion y otras propiedades termo-

electricas debido al calentamiento, lo que permite obtener dichas propiedades,

es relevante para nuestro estudio calcular la difusividad termica de las muestras

analizadas. Al ser un metodo para estudiar muestras transparentes sirve para

analizar lıquidos o inclusive nanofluıdos debilmente absorbentes [1, 2, 3, 4].

Se han calculado las difusividades termicas en algunos lıquidos con la tecnica

de resolucion en el dominio de la frecuencia como medio teorico [5] con arreglos

experimentales tipo pump-probe [2, 5]. Realizaremos el calculo de las difusivi-

dades termicas mediante una simulacion computarizada de la lente termica, lo

que nos permitirıa hacer estudios previos o exploratorios para disenar nuevos

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION 2

materiales. En la industria, el calculo de las difusividades termicas permitirıa,

por ejemplo, disenar materiales refrigerantes avanzados [6].

En el Capıtulo 2 se detallan los fundamentos fısicos necesarios para el desarro-

llo y entendimiento del fenomeno del efecto de la lente termica, ademas de los

principios en los que se basan los componentes a ser modelados, ası como el

tratamiento teorico de la tecnica Frequency Resolved Thermal Lensing (FRTL

por sus siglas en ingles).

El Capıtulo 3 muestra brevemente detalles del programa COMSOL ® y los

modulos bajo los cuales se desarrollaron las simulaciones. Se presenta la im-

plementacion y simulacion del modelo.

El Capıtulo 4 presenta los resultados de la simulacion del efecto de la lente

termica y una discusion respecto a la diferencia entre lo obtenido y lo reportado

en la literatura.

En el Capıtulo 5 se plantean las conclusiones y recomendaciones del trabajo.

Capıtulo 2

Bases Fısicas del Fenomeno de Lente Termica

2.1. Lente Termica

2.1.1. ¿Que es una Lente Termica?

Es la formacion de una lente al interior de un material debido a un cambio en

la temperatura. Esto provoca cambios en la densidad y el ındice de refraccion

en lıquidos debilmente absorbentes. En condiciones de iluminacion con un haz

laser colimado, por ejemplo, esto se traduce en cambios en la intensidad de luz

transmitida a traves del volumen calentado [4].

2.1.2. Generacion de la Lente Termica

El efecto de la lente termica ocurre cuando la energıa de un haz laser es absor-

bida produciendo calentamiento local de forma radial en el medio alrededor del

eje optico. Se crea entonces una distribucion radial de temperatura que produce

un cambio en el ındice de refraccion dn/dT, esto convierte al medio en una lente

para el haz que toma corto tiempo en desarrollarse, mientras entra en equi-

librio termico con el medio. En la mayorıa de lıquidos el ındice de refraccion

varıa debido a un cambio en la densidad, tornando la relacion dn/dT negativa y

provocando una lente divergente en el medio.

La formacion de la lente termica provoca que el haz de luz que atraviesa la

muestra se esparza y que su perfil de intensidad de salida se modifique. Midien-

do el cambio en la intensidad se puede obtener informacion de las propiedades

termo-opticas de la muestra. En primera aproximacion, se puede considerar al

medio como una lente fina, con una aproximacion parabolica de la distribucion

del ındice de refraccion en el medio. Es decir una lente sin aberraciones como

fue reportado por Gordon et al. [4]. Aunque esta aproximacion explica de forma

3

CAPITULO 2. BASES FISICAS DEL FENOMENO DE LENTE TERMICA 4

general el comportamiento de la lente termica, cuantitativamente no es precisa,

por lo que se debe tomar en cuenta su naturaleza aberrante [7].

2.1.3. Evidencia Experimental de la Lente Termica

La primera evidencia experimental de la presencia de este fenomeno se do-

cumenta en la publicacion de Gordon, et al [4]. Al someter a lıquidos transpa-

rentes a un haz de calentamiento (pump) se comprueba que la intensidad de

otro laser de prueba (probe) disminuye su intensidad. Los haces, en rojo el haz

de bombeo y en rosa el haz de prueba, en la muestra (en cırculos azules) y

la formacion de la lente termica se muestran (seccion transversal celeste en

el centro) en la Figura 2.1. La disminucion de la intensidad del haz de prue-

ba permite comprobar la hipotesis de la existencia de la lente termica y valida

el modelo planteado ya que la intensidad de la senal se dispersa como si se

tratara de una lente divergente. Con el paso del tiempo se han desarrollado

mas comprobaciones experimentales de la lente termica y se han desarrollado

muchas mas aplicaciones de dicho fenomeno [7, 2, 5, 3].

Figura 2.1: Formacion de la lente termica (transversal en el centro en celeste)

en una muestra (bolitas azules) donde estan presentes los haces de prueba

(probe) en rojo y de bombeo (pump) en rosa.


2.1.4. Experimentacion Basada en la Lente Termica

Los experimentos de la lente termica pertenecen al grupo de experimentos fo-

totermicos, que entre sus principales aplicaciones esta la caracterizacion termi-

ca y optica de los materiales [3]. Actualmente, la industria demanda conocer

de manera efectiva las propiedades de los lıquidos sobre todo para el caso de

enfriamiento [6], los metodos fototermicos ofrecen una solucion rapida, simple

y exacta la cual no afecta a las propiedades de la muestra durante la medicion

[3].

La espectrometrıa de efecto de lente termica es un metodo sensible con respec-

to a sus bajas medidas de absorbancia del orden de 10−7 1 por lo que es ideal

para trabajar con lıquidos debilmente absorbentes. Para esto se puede usar

un mecanismo tipo pump-probe debido a que el analisis con dos longitudes de

onda a la vez permite identificar la composicion de la muestra [1]

Segun el ensamble experimental que se utilice se puede sacar provecho del

efecto de la lente termica para varias aplicaciones y analisis de las muestras. En

nuestro caso de estudio nos interesa conocer como obtener las difusividades

termicas. Entonces se han disenado arreglos experimentales con dos laseres

tipo pump-probe [2, 5], que van a ser objeto de analisis para ser comparados

con los resultados obtenidos en la simulacion.

2.2. Modelos Fısicos Subyacentes y Estructuracion Teorica de la

Lente Termica

El efecto de la lente termica se puede explicar en base a la transmision de calor

en lıquidos por medio de la ecuacion del calor, ademas por la optica correspon-

diente a los lentes divergentes, y propagacion de haces luminosos en medios

transparentes.

2.2.1. Difusividad Termica

La difusividad termica es un parametro que mide la velocidad a la que la tem-

peratura cambia dentro de una sustancia, se mide en m2/s y es un parametro

1la absorbancia es adimensional y se obtiene de la relacion entre la intensidad del haz

antes y despues de pasar por la muestra


usualmente usado en generacion de nuevos materiales refrigerantes avanza-

dos para el enfriamiento de componentes electronicos [6]. La difusividad termi-

ca se obtiene con frecuencia de manera experimental permitiendo calcular in-

directamente la conductividad termica, los dos parametros son utilizados en el

estudio de los procesos de transferencia de calor. Por tal motivo, se han desa-

rrollado varios metodos para medir la difusividad termica como: la tecnica de

laser flash, la de hilo caliente, el metodo fotoacustico, entre otros.

Muchos de estos metodos estan limitados por la complejidad experimental que

presentan [3].

2.2.2. Laseres Continuos como Fuentes de Bombeo y Prueba (Pump-Probe)

Un esquema particular para hacer mediciones fototermicas utiliza como haces

de prueba y de bombeo laseres tipo CW o de onda continua, caracterizados

por su longitud de onda y un perfil de intensidad. En muchos casos el perfil de

intensidad es Gaussiano (Ec. 2.1) con cintura ω0.

La intensidad del haz de Bombeo es:

I(r) =2P

πω20

e−2r2

ω20 , (2.1)

con: P como la potencia optica del laser de bombeo, r como la coordenada

radial, ω0 como la cintura del haz de bombeo.

La cintura del laser es la longitud que describe la menor dispersion del haz,

es decir cuando esta mejor enfocado. La Figura (2.2) muestra su ubicacion

geometrica, con una lınea gruesa negra en la parte mas angosta del haz.


Figura 2.2: Figura de un haz laser enfocado. El punto de menor area se conoce

como cintura (waist, en Ingles), representado geometricamente, con una lınea

gruesa negra.

El haz de bombeo se modula debido a que se enciende y se apaga periodi-

camente. Con esto se induce un calentamiento y enfriamiento periodico en la

muestra que se traduce en un efecto de lente termica con la misma periodici-

dad. En dependencia de la inercia termica del medio (su difusividad), el efecto

respondera de menor o mayor manera a la frecuencia de encendido-apagado

[7]. En este caso, la magnitud de la senal de prueba que se mantiene encendida

de forma permanente es tambien una funcion de la modulacion de la frecuencia

del laser de Bombeo. El perfil de intensidad del haz de prueba es afectado por

el cambio de fase inducido por el haz de Bombeo, el cambio de intensidad del

haz de prueba es capturado a traves de una ranura que se conoce como senal

fototermica, la cual da informacion relacionada a las propiedades termicas de

la muestra. La muestra es practicamente transparente y sus dimensiones son

infinitas con respecto a las direcciones radial y axial.

La fuente inducida por el haz de bombeo es [5]:

q(r) =αI(r)

κ=

2A0η

πω20κ

e−2r2

ω20 , (2.2)

con: A0 = αP como la potencia absorbida, α como el coeficiente de absorcion


de la muestra, κ como la conductividad termica y η como el factor de eficiencia

que toma en cuenta los procesos de relajacion radiativa (como el Scattering

Raman).

Para efectos practicos de la simulacion el laser se modelo utilizando la expre-

sion de un pulso Gaussiano bidimensional:

f (x, y) = exp

{

−[

(x − x0)2

2σ2x

+(y − y0)2

2σ2y

]}

. (2.3)

La fuente del laser Qin, toma en cuenta la potencia base del laser Q0, el coefi-

ciente de reflexion del material Rc y la absorbancia del mismo Ac, en el sentido

del eje perpendicular al plano del pulso (eje z) [8],

Qin = Q0(1 − Rc)Ac

[

1

(πσxσy)

]

exp

{

−[

(x − x0)2

2σ2x

+(y − y0)2

2σ2y

]}

exp(−Ac|z|). (2.4)

2.2.3. Transferencia de Calor

El haz de Bombeo calienta la muestra siguiendo una simetrıa cilındrica por

lo que es conveniente partir de la ecuacion del calor no homogenea (debido

a que el haz de Bombeo es la fuente de calor) en coordenadas cilındricas,

de tal manera que, el flujo de calor esta unicamente en la direccion radial y

se desprecia el flujo en la direccion axial, de donde se deduce la siguiente

expresion para el calculo de la distribucion de calor a lo largo del eje radial

[9, 7, 5]:

1

r

∂

∂r

(

r∂

∂rθ(r, t)

)

=1

D

∂

∂tθ(r, t) + q(r), (2.5)

donde: θ(r, t) es la distribucion de crecimiento de la temperatura, D: es la difu-

sividad termica del medio, q es la fuente de calor descrita en 2.2.

Para resolver la ecuacion anterior se utiliza la transformada de Hankel de orden

cero en la direccion radial, la transformada de Hankel de orden ν es:

Fν(k) =

∫ ∞

0

f (r)Jν(kr)rdr, (2.6)


la transformada de Hankel de orden cero en la direccion radial de la fuente de

calor es:

Q(k) =2A0η

πω20κ

∫ ∞

0

e−2r2

ω20 J0(kr)rdr =

2A0η

πω20κ

e−k2ω2

08 , (2.7)

con: J0(kr) como la funcion de Bessel de orden cero del primer tipo, k es la

variable en el espacio de Hankel.

Se utiliza la transformada de Fourier en el dominio del tiempo que es:

g(ω) =1√

2π

∫ ∞

−∞f (t)e−iωtdt, (2.8)

la transformada de Fourier se utiliza para pasar del dominio del tiempo al do-

minio de la frecuencia, lo cual se puede entender graficamente en la Figura

2.3.

Figura 2.3: Representacion grafica del cambio entre el dominio del tiempo y el

dominio de la frecuencia en la transformada de Fourier2

Utilizando las transformadas de Hankel y Fourier en la ecuacion 2.5, nos lleva

a la siguiente expresion reducida:

− k2Θ(ω) = j

ω

DΘ(ω) + Q(k), (2.9)

donde: Θ(ω) es la distribucion de crecimiento de la temperatura en los espacios

de Hankel y de Fourier, Q(k) es la transformada de Hankel de la fuente de calor.

2Adaptado de Network Group @ MIT - Sparse Fourier Transform


Reemplazando la transformada de Hankel de la fuente de calor en la expre-

sion reducida y tomando la transformada inversa de Hankel podemos despejar

θ(r, ω) que es la distribucion creciente de temperatura en funcion de ω y r [5]:

θ(r, ω) =A0η

2πκ

∫ ∞

0

e−k2ω2

08

(

k2+ jω

D

) J0(kr)kdk. (2.10)

La expresion muestra que el calor depositado en el volumen por el laser de

bombeo es difundido termicamente en la direccion radial generando una distri-

bucion de temperatura oscilante.

2.2.4. Consideraciones Opticas

La optica geometrica se deriva de la aproximacion eikonal y se puede deducir a

partir de las ecuaciones de Maxwell [10]. Si asumimos el campo electrico como

una onda plana electromagnetica E = aeiΨ, donde a es la amplitud y la fase Ψ

es una funcion del vector de posicion q y el tiempo Ψ = k · q − ωt + α, k es el

vector de onda, ω la frecuencia angular, y α representa un cambio de fase. Se

conoce que en medios isotropicos la relacion de dispersion es:

ω =c|k|n(q), (2.11)

siendo n(q) el ındice de refraccion del medio.

Para regiones donde la trayectoria del rayo es muchas longitudes de onda dis-

tante de cualquier fuente puntual [11], la trayectoria del rayo se puede calcular

resolviendo un sistema de seis ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden para k y q [11],

dk

dt=∂ω

∂q;

dq

dt=∂ω

∂k. (2.12)

En medios transparentes dielectricos la conductividad es nula σ = 0. El ındice

de refraccion n es homogeneo para un material estable en las mismas condicio-

nes de temperatura, y bajo las mismas condiciones de luz, i.e. tiene la misma

longitud de onda en todas partes del material. En estos casos n se puede medir


de manera relativamente sencilla mediante el angulo de refraccion [12] [10] o

con metodos interferometricos [12]. En este trabajo, la diferencia observada en

el ındice de refraccion n se da por el calentamiento de la muestra bajo un laser

de longitud de onda λ, que es de orden pequeno, por lo que la existencia de una

lente termica divergente se determina mediante la disminucion en la intensidad

del haz de prueba.

El calor inducido por el laser de Bombeo en la muestra genera un cambio en el

ındice de refraccion, reportado en los trabajos de Gordon y Sheldon [4, 7]:

n(r, t) = n0 +dn

dθθ(r, t), (2.13)

donde: n0 es el ındice de refraccion a temperatura ambiente, (dn/dθ) es el co-

eficiente termo optico, y θ(r, t) es la distribucion creciente de temperatura.

Adicional a nuestros objetivos, se pudo validar la expresion utilizada para el

ındice de refraccion del agua obtenida de manera experimental en el trabajo de

Bashkatov y Genina [13]:

na(λ,T ) = A(T ) +B(T )

λ2+

C(T )

λ4+

D(T )

λ6(2.14)

con:

A(T ) = 1.3208 − 1.2325 · 10−5 − 1.8674 · 10−6T 2+ 5.0233 · 10−9 (2.15)

B(T ) = 5208.2413 − 0.5179T − 2.284 · 10−2T 2+ 6.9608 · 10−5T 3 (2.16)

C(T ) = −2.5551 · 108 − 18341.336T − 917.2319T 2+ 2.7729T 3 (2.17)

D(T ) = 9.3495 + 1.7855 · 10−3T + 3.6733 · 10−5T 2 − 1.2932 · 10−7T 3 (2.18)


2.2.5. Difusividad Termica a partir de la Lente Termica

De la ecuacion 2.13 y reemplazando θ(r, t) por θ(r, ω) de la ecuacion 2.10, se

tiene que el cambio localizado del ındice de refraccion es:

∆n = n − n0 =dn

dθθ(r, ω) (2.19)

Ademas, el cambio en el ındice de refraccion de la muestra induce a un cambio

de fase en el haz de prueba:

φ(r, ω) =2πL

λ1

dn

dTθ(r, ω), (2.20)

donde: L es la longitud del camino optico de la muestra, y λ1: es la longitud de

onda del haz de prueba

Reemplazando la definicion de θ se obtiene el cambio de fase fototermico

φ(r, ω) =φ1

2π

∫ ∞

0

e−k2ω2

08

(

k2+ jω

D

) J0(kr)kdk, (2.21)

donde φ1 = [2πA0ηL/λ1κ] dn/dT, es la amplitud del cambio de fase fototermico

Tomando en este punto el trabajo de Shen et al. [14] para la amplitud compleja,

podemos escribir

U1(z1 + z2, t) = C

∫ ∞

0

(1 − jΦ)e−(1+ jV)gdg, (2.22)

donde: z1 es la posicion de la muestra relativa a la cintura del haz de prueba, z2:

es la distancia entre la muestra y el plano de deteccion, C: es una constante,

g = r2/ω21, V ≈ z1/zc y zc es el rango de Rayleigh del haz de Prueba.

Una vez mas utilizamos la transformada de Hankel e integramos en k. Traba-

jamos en el rango de Rayleigh por lo que el cambio de fase Φ << 1 y que los

haces se modelaron segun ecuacion 2.3, donde ademas se puede considerar

que z1 = 0 dado que se enfoca el haz de prueba en el origen del sistema de

referencia. Consecuentemente V ≈ 0, y U1 se reduce a


U1(ω) = 2πC1

{

1 + jφ1

4πexp

[

jω(ω2

0+ ω2

1)

8D

]

E1

[

jω(ω2

0+ ω2

1)

8D

]}

. (2.23)

Es importante notar que la expresion anterior depende unicamente de ω0 y de

ω1, que son las cinturas de los haces de bombeo y prueba respectivamente. De

ahı se puede concluir que para obtener las difusividades termicas se requieren

los dos parametros ademas de la intensidad de la senal, que viene dada por

I(ω) = |U1(ω)|2 [5]. De acuerdo al teorema de Parseval, |U1(t)|2 = |U1(ω)|2.

Capıtulo 3

Simulacion Fısica en COMSOL Multiphysics®

Las simulaciones son una alternativa efectiva y de menor costo con respecto a

los planteamientos experimentales, razon por la que se han desarrollado varias

plataformas y paquetes computacionales para modelar fenomenos fısicos para

la verificacion y desarrollo teorico en todas las ramas de la ciencia [15]. En par-

ticular, COMSOL Multiphysics® permite simular sistemas fısicos para recrear

distintos fenomenos naturales y estudiarlos, por lo que se ha convertido en uno

de los referentes en ingenierıa y ciencias [16].

3.1. ¿Que es COMSOL Multiphysics®?

El Grupo COMSOL provee soluciones informaticas para modelacion multifısica,

la empresa se ha vuelto lıder en la industria bajo una trayectoria probada. La

companıa fue fundada en 1986 en Estocolmo, Suecia y ahora tiene oficinas en:

Brasil, China, Dinamarca, Finlandia, Francia, Alemania, India, Italia, Holanda,

Noruega, Rusia, Suiza, Reino Unido y los Estados Unidos (EEUU). La com-

panıa esta establecida en Burlington, Massachusetts - EEUU [16].

COMSOL Multiphysics® es una plataforma de simulacion muy poderosa, que

tiene la ventaja de ser interactiva y contiene muchos modelos fısicos que se

pueden integrar. Congrega a una comunidad que es muy activa, lo que permite

contar con bastante material actualizado y respuesta efectiva a dudas sobre

su uso. El programa tiene un aplicativo con un constructor de modelos flexi-

ble y dinamico que permite tener control sobre las estructuras creadas. Tiene

una amplia librerıa de materiales, los cuales pueden ser usados o redefinidos

para su aplicacion en cualquier tipo de simulacion. Internamente, el programa

acopla las caracterısticas de los materiales y los utiliza como parametros de

las ecuaciones [16]. Permite ver los resultados de manera directa y analizar

14

CAPITULO 3. SIMULACION FISICA EN COMSOL MULTIPHYSICS® 15

dinamicamente los fenomenos en su interfaz grafica versatil [16].

Las restricciones naturales a la hora de hacer simulaciones son las obvias co-

mo: la capacidad de procesamiento de la computadora usada, su procesador y

la capacidad que tiene de realizar acciones en paralelo, su memoria RAM entre

otras. A continuacion, se describen los elementos de la simulacion y su orden

cronologico como los presenta COMSOL Multiphysics® y bajo el esquema me-

todologico que trabaja el cual permite dividir la simulacion en las siguientes

fases:

1. Definir los parametros

2. Establecer geometrıa de los componentes

3. Seleccionar los materiales para los componentes

4. Escoger los modulos fısicos a ser utilizada

5. Fijar la multifısica (acoplamiento entre fenomenos fısicos)

6. Precisar el tipo de mallado para la simulacion

7. Plantear el tipo de estudio a realizarse en la simulacion

8. Analizar los resultados obtenidos de la simulacion

Las prestaciones de modelizacion y simulacion de COMSOL, junto con las li-

brerıas disponibles, lo convierten en una herramienta aplicable en un amplio

abanico de areas, entre las que destacamos:

Acustica, electromagnetismo, sistemas microelectromecanicos (MEMS),

ingenierıa de microondas, componentes de radiofrecuencia, dispositivos

semiconductores, propagacion de ondas.

Reacciones quımicas, difusion, dinamica de fluıdos, fluıdos en medios

porosos, transferencia del calor, fenomenos de transporte.

Mecanica de estructuras.

Fısica, geofısica, optica, fotonica, mecanica cuantica.


Sistemas de control.

Modelacion de componentes.

Matematica aplicada.

El presente trabajo se realizo utilizando la version 5.1a que tiene los modulos

mostrados en la figura 3.1.

Figura 3.1: Modulos de COMSOL Multiphysics ®

3.2. Metodologıa de la Simulacion

El experimento que se va a reproducir es un arreglo tipo pump-probe como el

montado por Rodrıguez [2, 5], cuyo esquema se muestra en la Figura 3.2.


Figura 3.2: Arreglo del experimento de la lente termica tipo pump-probe, con S

como muestra, BS como divisor de senal (en Ingles, beamsplitter), M espejo y

P polarizador1

3.2.1. Procedimiento de la simulacion

El orden de los procesos para implementar la simulacion se muestra en el flu-

jo de la Figura 3.3, en ovalos se representa el principio y fin, en rectangulos

diagonales las actividades o procedimientos y los rombos muestran acciones

condicionales o decisiones del proceso de simulacion.

1Adaptado de [2, 5]


Figura 3.3: Flujo de la simulacion, en ovalos se representa el inicio y fin, en

rectangulos las actividades y con rombos las condiciones o decisiones del pro-

ceso


3.3. Implementacion del modelo en COMSOL Multiphysics®

3.3.1. Parametros de la Simulacion

Lo primero que se debe hacer a la hora de establecer un modelo en COMSOL

es fijar los parametros dentro de la opcion de definiciones globales, los parame-

tros son expresiones o valores que sirven a lo largo de toda la simulacion. Se

puede observar la opcion y su interfaz en la Figura 3.4.

Figura 3.4: Parametros globales en COMSOL Multiphysics ®

Para nuestro trabajo se utilizaron como parametros de entrada los datos del

trabajo de Rodrıguez et al. [5, 2] para poder hacer un contraste entre la experi-

mentacion y la simulacion bajo condiciones similares. Se tiene un haz con po-

tencia 50mW y una longitud de onda 405nm para calentar una muestra lıquida,

por otro lado se utiliza un haz de prueba de menor potencia, 10mW y longitud

de onda 650nm para verificar la existencia de la lente termica. Se resume en la

siguiente tabla los parametros y dimensiones utilizados:

Tabla de Parametros

Variables Valor Descripcion

T0 293.15[K] Temperatura Ambiente

lam1 405[nm] Longitud de onda del haz para calentamiento

lam2 650[nm] Longitud de onda del haz de prueba

Lx 1[mm] Espesor del vidrio de la muestra

Ly 2[cm] Ancho de la muestra

Lz 5[cm] Alto de la muestra

Tabla 3.1: Tabla de Parametros

3.3.2. Geometrıa de los Componentes

En este punto debemos disenar la geometrıa del modelo. Es decir crear en el

programa los componentes del experimento, que para nuestra aplicacion son: la

muestra, su contenedor y el espacio donde se coloca el arreglo de laseres. En


las Figuras 3.5, 3.6 y 3.7 se muestran la interfaz de la geometrıa, su aplicacion

y una captura de la geometrıa disenada para nuestro trabajo respectivamente.

Figura 3.5: Definir Geometrıa en COMSOL Multiphysics ®

Figura 3.6: Interfaz de geometrıa de COMSOL Multiphysics ®

Figura 3.7: Captura de la geometrıa disenada en COMSOL Multiphysics ®


La Figura 3.8 muestra la captura del contenedor de vidrio (las paredes delgadas

exteriores) y la muestra lıquida (el bloque central).

Figura 3.8: Captura de pantalla del contenedor de vidrio (paredes delgadas

exteriores) y la muestra lıquida (bloque central)

3.3.3. Materiales de los Componentes

Cuando se disena el arreglo experimental que se va a simular es necesario es-

coger los materiales de los que esta compuesto. Se seleccionan de las librerıas

existentes o se pueden crear nuevos materiales o modificar parametros fısicos

puntuales. Para nuestro trabajo se utilizaron varios materiales que fueron es-

cogidos para contrastar los resultados experimentales del trabajo de Rodrıguez

[2, 5] con nuestra simulacion. Los materiales utilizados fueron: el vidrio utiliza-

do para el contenedor S iO2, agua como medio de calibracion, etanol, metanol y

tolueno (ver Figura 3.9) . Es importante conocer ciertos parametros termo-opti-

cos para desarrollar la simulacion. Los parametros utilizados fueron obtenidos

del libro “Handbook of Optical Materials” [17], cuyos valores se presentan en la

siguiente tabla:


Tabla de Valores de Indices de Refraccion y

Coeficientes Termo-Opticos

Material o Lıquido n dn/dT [K−1]

Vidrio (S iO2) 1.46962 10.5 × 10−6

Agua 1.342742 −110 × 106

Tolueno 1.526120 –5.97 × 104

Etanol 1.37011 –4.05 × 104

Metanol 1.33801 –3.90 × 104

Tabla 3.2: Tabla de valores de ındices de refraccion y coeficientes termo-opticos

Figura 3.9: Materiales utilizados en la simulacion

3.3.4. Seleccion de los Modulos Fısicos

Luego de escoger los materiales para los componentes, se debe seleccionar la

interaccion fısica que van a tener los mismos, se selecciona uno o varios de los

modelos fısicos que describan los fenomenos, como se muestra en las Figura

3.10.


Figura 3.10: Fenomenos fısicos disponibles en COMSOL Multiphysics ®

En la Figura 3.11 se muestra una captura de los modulos fısicos seleccionados

para nuestro trabajo.

Figura 3.11: Captura de los modulos fısicos incorporadas en nuestra simulacion

Modulo de Transferencia de Calor en COMSOL

El Modulo de Transferencia de Calor es usado por disenadores de productos,

desarrolladores, y cientıficos, quienes implementan modelos fısicos con una

geometrıa especıfica para estudiar la influencia del calentamiento y enfriamien-

to en dispositivos y procesos [6]. El alto nivel de detalle proporcionado para las

simulaciones permite la optimizacion del diseno y condiciones operacionales

en dispositivos y procesos influenciados por transferencia de calor [18].


Ademas, el modulo de transferencia de calor permite desarrollar simulaciones

relacionadas a la conservacion del calor, o de balances de energıa, donde estan

disponibles una amplia variedad de fenomenos tales como: perdidas mecani-

cas, calor latente, calor de Joule o calor de reaccion. Las interfaces del modu-

lo de calor, conocidas como interfaces fısicas, estan configuradas para reci-

bir parametros de entrada y son flexibles al permitir manipular las ecuaciones

base para modificar los mecanismos de transferencia, definir fuentes de calor

especıfico, o acoplarlas a otros modulos fısicos [18].

Las propiedades fısicas, tales como conductividad termica, capacidad calorıfi-

ca, densidad, y emisividad se pueden obtener de la librerıa de materiales para

solidos y fluidos. Adicionalmente, el modulo contiene relaciones para el calculo

de los coeficientes para diferentes tipos de transferencia de calor convectivo

[18].

La Figura 3.12 muestra las interfaces del Modulo de Transferencia de Calor.

Figura 3.12: Interfaces del modulo de transferencia de calor en COMSOL Mul-

tiphysics ®

La interfaz de transferencia de calor en solidos describe, por defecto, la transfe-

rencia de calor por conduccion. Tambien puede explicar el flujo de calor debido

a la traslacion en solidos (por ejemplo, la rotacion de un disco o la traslacion

lineal de una barra), ası como para la deformacion de un solido, incluyendo

cambios de volumen o superficie.

La interfaz de transferencia de calor en fluidos describe la conduccion y con-

veccion de gases y lıquidos como los mecanismos de transferencia de calor por

defecto. El acoplamiento para el campo de flujo en la conveccion termica puede


ser agregado manualmente en la interfaz fısica o seleccionado de una lista de

transferencia de calor para una interfaz de flujo de fluido existente; es posible

usarla para simulaciones de conveccion forzada cuando el campo de flujo haya

sido calculado y el problema de transferencia de calor se agrega despues [18].

Transferencia de Calor en Solidos

Para el presente proyecto se utiliza la interfaz de fısica de transferencia de calor

en solidos que mediante la ecuacion del calor (2.5) permite modelar el calenta-

miento de la muestra a traves de rayos de luz, una vez escogido dicho modulo

fısico se colocan por defecto las opciones de transferencia de calor en solidos

donde se seleccionan los parametros de entrada del modelo, como muestra la

Figura 3.13.

Figura 3.13: Parametros de entrada de la interfaz de transferencia de calor en

solidos de COMSOL Multiphysics ®

La opcion de aislamiento termico, mostrada en la Figura 3.14, posibilita esco-

ger la seccion de la geometrıa que se aısla termicamente al exterior. Ademas,


es necesario utilizar la opcion de flujo de calor (ver Figura 3.14), que permite

modelar la transferencia de calor de los haces de luz que pasan a traves de las

paredes de vidrio del contenedor hacia la muestra lıquida; por ultimo se aplica

la opcion de transferencia de calor en fluidos (ver figura 3.14), que habilita las

opciones para modelar el haz a traves de la muestra y su calentamiento. La

ecuacion del calor 2.5 describe el fenomeno fısico.

Figura 3.14: Fısica de transferencia de calor en solidos y sus interfaces en

COMSOL Multiphysics ®

Modulo de Optica de Rayos

El modulo de transferencia de optica de rayos permite modelar la propagacion

de ondas electromagneticas en sistemas en los que la longitud de onda es mu-

cho mas pequena que el modelo geometrico. Las ondas electromagneticas son

tratadas como rayos que pueden propagarse a traves de un medio. Dado que

no es necesario resolver la longitud de onda con una malla de elementos fini-

tos, las trayectorias de los haces pueden ser calculadas sobre distancias muy

largas a un bajo costo computacional. Los rayos modelados pueden someterse

a reflexion y refraccion entre diferentes medios [11].

El modulo de optica de rayos de COMSOL Multiphysics® tiene varias opciones

de modelos fısicos pero el mas apropiado para la modelacion del lente termico

es el de optica geometrica, basado en las ecuaciones diferenciales ordinarias

2.12. Aquı se colocan por defecto las opciones de propiedades del medio donde

se especifican los ındices de reflexion y de refraccion. La opcion “pared” permi-

te escoger las superficies que van a delimitar el modelo y como van a actuar los

rayos en contacto con las mismas. La opcion “discontinuidad” del material fa-

culta establecer parametros basados en la ley de Snell. La opcion propiedades

del rayo habilita la definicion de la potencia y longitud de onda que se desactiva

cuando hay rayos heterogeneos definidos.

Ademas, es necesario utilizar las opciones de liberacion de rejilla para definir las


propiedades de los rayos incidentes en la muestra (mas adelante en el apartado

4.1 se detalla cual es el haz de prueba y cual el de calentamiento) donde se

pueden fijar la intensidad y longitud de onda de los rayos, ademas del tipo de

distribucion de los haces y la direccion de incidencia.

La Figura 3.15 muestra la captura de pantalla donde se ve el modulo fısico de

“optica geometrica” y sus opciones.

Figura 3.15: Captura de pantalla donde se ve el modulo fısico de “optica

geometrica” y sus opciones

3.3.5. Seleccion de la Multifısica

Luego de seleccionar las interacciones fısicas, es necesario fijar la conexion

entre los fenomenos a traves del componente multifısica que permite acoplarlos

para describir el modelo lo mas cercano a la realidad. Cabe recalcar que cada

combinacion de fenomenos tiene sus propias multifısicas lo que vuelve bastante

variado el catalogo de las mismas. Las Figuras 3.16 y 3.17 muestran la interfaz

de acoplamiento entre los modulos fısicos de “transferencia de calor en solidos”

y el de “optica de rayos”. Elegimos el modulo de multifısica “fuente de calor por

rayos” porque utilizamos una fuente laser que va a calentar las paredes de

vidrio del contenedor y la muestra lıquida.

Figura 3.16: Multifısica de “fuente de calor por rayos”


Figura 3.17: Interfaz especıfica del modulo de “fuente de calor por rayos”

Condiciones de Frontera

Las condiciones iniciales de cada modelo (de transferencia de calor y de optica

geometrica) son requeridas en las opciones que vienen por defecto, y las con-

diciones de borde de los modelos estan asociadas a la seleccion de dominios

que cada modelo exige, es decir que debe existir un objeto o geometrıa para

la cual es valida la fısica aplicada. Los dominios (Condiciones de Frontera) se

muestran en las figuras 3.18 y 3.19.

Figura 3.18: Seleccion de los dominios en la interfaz de transferencia de calor

(condiciones de frontera) en COMSOL Multiphysics ®


Figura 3.19: Seleccion de los dominios en la interfaz de optica geometrica (con-

diciones de frontera) en COMSOL Multiphysics ®

Conexiones Entre Modelos

En la seccion 2.2.5 se mostro la conexion entre la transferencia de calor y la

optica geometrica de los rayos que pasan por la muestra, basadas en las ecua-

ciones 2.5 y 2.12. El calculo de la fuente de calor es un parametro que pasa

de la optica geometrica a la transferencia de calor mediante la expresion que

considera a un rayo j que transfiere una cantidad de potencia q j a traves de un

dominio. Durante un pequeno intervalo de tiempo ∆t, el rayo se propaga una

distancia corta ∆s de un punto inicial z j a una posicion z j + ∆z j por lo que pier-

de algo de potencia. La potencia depositada en el dominio por el rayo crece

en la misma magnitud en la que decrece la potencia del rayo pero con signo

contrario. Definamos

qsrc(r, t + ∆t) ≈ qsrc(r, t) −N

∑

j=1

∂q j

∂t∆tδ(r − z j), (3.1)

donde δ es la delta de Dirac. En el lımite cuando esta derivada se torna arbitra-

riamente pequena, se puede escribir la ecuacion anterior como:

dqsrc

dt= −

N∑

j=1

∂q j

∂tδ(r − z j) (3.2)

En la expresion anterior se trata a cada rayo como una fuente infinitesimalmente

pequena. Esto puede ocasionar errores porque la fuente de calor se vuelve


infinitamente grande en las cercanıas de cada fuente puntual. Para que sea

practico a nivel de la simulacion se discretiza la variable a lo largo de la malla

para que la fuente de calor este presente con rayos en cada punto. Para un

elemento j con volumen V j el promedio de la fuente de calor qsrc jcambia segun

la expresion:

dqsrc

dt= −

1

V j

N∑

j=1

∂q j

∂t

∫

δ(r − z j)dV (3.3)

La integral en el lado derecho es una integral de volumen sobre j. La derivada

de la fuente de calor con respecto al tiempo es el promedio sobre cada elemen-

to de la malla, la cual se puede escribir como:

dqsrc j

dt= −

1

V j

N j∑

j=1

∂q j

∂t, (3.4)

donde la suma se toma sobre todas las partıculas del elemento de malla j [11].

La multifısica que integra a la interaccion entre la transferencia de calor y la

optica geometrica es la “fuente de calor por rayos”, que utiliza como base la

ecuacion 3.2 y para fines de liberacion de rayos desde dominios utiliza la ex-

presion 3.4.

3.3.6. Seleccion de la Malla

Como COMSOL Multiphysics ® utiliza modelos basados en PDE, la seleccion

de un mallado correcto es sumamente importante. COMSOL permite persona-

lizar el tipo de mallado seleccionado y la precision de los elementos que se

pueden escoger segun las capacidades tecnicas de la computadora utilizada,

se puede observar su implementacion en las Figuras 3.20, 3.21 y 3.22.


Figura 3.20: Tipos de mallado en COMSOL Multiphysics ®

Figura 3.21: Interfaz del mallado en COMSOL Multiphysics ®

Figura 3.22: Captura del mallado de nuestro modelo


El tamano de la malla determina el numero de puntos de evaluacion, que el

programa genera automaticamente, por tanto el tiempo de procesamiento esta

directamente relacionado a la malla seleccionada. Es recomendable escoger

una malla controlada por la fısica porque acopla el tamano de cada tetraedro

segun la interaccion fısica. Es por eso que en la Figura 3.22 se puede apreciar

que el mallado de la muestra es mas fino que el del entorno, de otro modo no

se obtendrıan suficientes valores para el analisis de resultados. En el presente

trabajo se utilizo un mallado normal controlado por la fısica de tipo tetraedrico

con 13101 elementos.

3.3.7. Seleccion del Estudio

A partir de aquı se puede resolver de manera estacionaria o temporal el modelo,

la Figura 3.23 muestra los estudios disponibles para nuestro modelo.

Figura 3.23: Estudios disponibles para nuestro modelo

Cuando se realiza el experimento de la lente se utiliza un chopper (un dispositi-

vo que hace que el haz de calentamiento sea intermitente) para que sus efectos

sean observables en pequenos espacios de tiempo; la ventaja de la simulacion

es que podemos realizar el experimento en la corta ventana de tiempo que toma

la formacion de la lente termica que va desde 56ηs a 333ηs, fuera de ese tiempo

la simulacion alcanza valores inconsistentes y la solucion numerica diverge.

El estudio y solucion numerica de las ecuaciones acopladas se lo realiza me-

diante el modulo llamado “trazado de rayos bidireccionalmente acoplados”, tam-

bien se probo con el modulo “Temporal” obteniendo los mismos resultados. En

la Figura 3.24 se muestran los estudios seleccionados para nuestro trabajo,


mientras que en la Figura 3.25 se ve la captura de la interfaz del estudio “traza-

do de rayos bidireccionalmente acoplado”.

Figura 3.24: Estudios utilizados en nuestro trabajo

Figura 3.25: Captura de la interfaz del estudio “trazado de rayos bidireccional-

mente acoplado”

3.3.8. Resultados

Una vez ejecutado el estudio se procede a analizar los resultados que se pue-

den presentar como: graficos, tablas, reportes, datos sueltos, entre otros. Como

lo muestran las Figuras 3.26, 3.27.


Figura 3.26: Tipos de resultados en COMSOL Multiphysics ®

Figura 3.27: Interfaz de resultados graficos de COMSOL Multiphysics ®

La simulacion se desarrollo utilizando una computadora personal con proce-

sador Intel Core I7 de 64 bits, 4 nucleos, con 4 GB en RAM en un sistema

operativo de 64 bits con COMSOL version 5.1a. Como se hizo mencion en la


seccion 2.2.2 el perfil del laser tipo Gaussiano provocarıa contornos isotermicos

mostrando la aparicion de la lente termica como se puede ver en la figura 3.28

Figura 3.28: Contornos isotermicos que evidencian la formacion de la lente

termica y sus curvas de nivel

Bajo el esquema se ejecuto el modelo simulado para las siguientes muestras

lıquidas: agua como medio de calibracion, etanol, metanol y tolueno. Como

resultado de la simulacion se obtuvieron los siguientes valores:

Tabla de difusividades

obtenidas de la simulacion

Material o Lıquido Obtenido

Agua 1.420

Tolueno 0.904

Etanol 0.865

Metanol 1.016

Tabla 3.3: Tabla de difusividades obtenidas de la simulacion

Capıtulo 4

Resultados y Discusion

Una vez reproducido el experimento mostrado en el apartado 3.2, el objetivo de

la simulacion es medir las difusividades a lo largo de toda la muestra ası como

el cambio de temperatura.

4.1. Simulacion de los Haces de Prueba y Bombeo

Para reproducir el arreglo experimental se procedio a montar el haz laser segun

lo descrito en la librerıa de modelos para laseres [8]. Se utilizo la expresion

descrita en la ecuacion 2.4 para modelar el haz de calentamiento cuya curva

de intensidad se puede ver en la Figura 4.1, la escala se mide en W/m3 y esta

representada en la gama de los azules los valores mas bajos y en rojo los mas

grandes. Se utilizaron los parametros experimentales descritos en los trabajos

de Rodrıguez [2, 5].

36

CAPITULO 4. RESULTADOS Y DISCUSION 37

Figura 4.1: Forma de la intensidad del laser obtenida de la expresion 2.4, con

unidades de W/m3, la escala va del azul al rojo de menos a mas intensidad

Para afinar los resultados se realizaron pruebas sobre una muestra de agua. Se

obtuvieron resultados coherentes con respecto al calentamiento de este mate-

rial, como se puede ver en la Figura 4.2.

Figura 4.2: Calentamiento de una muestra de agua bajo la expresion 2.4

Basados en la literatura, la modelizacion de la lente termica se la puede hacer


con el modulo de “optica de rayos”, lo que simplifica el manejo de los modulos

en la simulacion y permite acoplar las interacciones de manera mas sencilla.

4.2. Resultados del Modelo

La difusividad obtenida para el vidrio del contenedor fue 0, 891 × 10−7[m2s−1].

Dicho valor es muy cercano al reportado en el “Handbook of Optical Materials”

[17] que es de 0.85 × 10−7[m2s−1].

Si se analiza el cambio de temperatura, provocado por el haz de bombeo, en

la muestra se puede ver como evoluciona a lo largo del tiempo viendo cambios

significativos en los primeros 10ηs, posteriormente se eleva la temperatura muy

lentamente de manera imperceptible hasta los 330ηs como se ve en la Figura

4.3, la escala se mide en grados Kelvin (K) donde los valores mas bajos van

del azul hasta los mas altos en gama de rojos.

Figura 4.3: Calentamiento de la muestra producida por el laser a lo largo del

tiempo: a la izquierda al segundo 0, al medio a los 10ηs y a la derecha a los

330ηs, , con unidades de grados K, la escala va del azul al rojo de menos a

mas temperatura

En la Tabla 4.1 se presenta la difusividad obtenida, para los diferentes lıquidos,

y se los compara con los trabajos presentados por Rodrıguez [5, 2] y con los

datos del “Handbook of Optical Materials” [17]. Cabe aclarar que la difusividad

D se mide en 1 × 10−7[m2s−1]:


Tabla de Difusividades

Material o Lıquido Paper [5] Reportado [17] Obtenido

Vidrio (S iO2) - 0.85 0.891

Agua 1.480 1.43 1.420

Tolueno 0.873 0.92 0.904

Etanol 0.861 0.89 0.865

Metanol 0.980 1.04 1.016

Tabla 4.1: Tabla de difusividades obtenidas por nuestra simulacion del efecto de

lente termica

Pudimos comprobar el modelo de variacion del ındice de refraccion reportado

por Bashkatov [13], se corrio el modelo obteniendo un valor de 1, 431×10−07m2/s

con un error relativo menor al 1 % respecto al valor mostrado en Blumm y Lin-

demann [19].

De la cercanıa entre los datos de las difusividades termicas se puede decir que

se cumplio con la hipotesis de nuestro trabajo para lıquidos debilmente absor-

bentes. Bajo el alcance de este trabajo no se puede explicar la dependencia

del tipo de compuesto con respecto a los valores de las difusividades e ındices

de refraccion lo que queda abierto para futuras investigaciones. No se pudo

tomar en cuenta la difraccion del laser producido por el desenfoque del haz en

el fenomeno de la lente termica porque las condiciones del modulo de optica

geometrica de COMSOL ® no lo permiten. Tampoco se analizo la estructura

molecular y su vinculacion con los parametros termo-opticos ya que requiere

de estudios mucho mas extensos. No se incorporaron los fenomenos convec-

tivos ya que es necesario mucho tiempo de ejecucion ası como de mejores

condiciones del equipo computacional.

Capıtulo 5

Conclusiones y Recomendaciones

El presente trabajo ha tratado de analizar el efecto de la lente termica y de

obtener difusividades termicas para los distintos lıquidos utilizados, por lo que

concluimos que:

Se ha logrado montar un modelo en COMSOL Multiphysics ® para la

simulacion del efecto de lente termica en lıquidos debilmente absorben-

tes. A partir de esta modelacion se han obtenido valores adecuados de

la difusividad termica de agua, etanol, metanol y tolueno. Estos valores

son comparables a aquellos experimentales y teoricos reportados en la

literatura.

Se ha demostrado que un modelo de simulacion para la transferencia de

calor en regimen no convectivo para un volumen de lıquido bajo condi-

ciones de iluminacion con un laser CW de perfil Gaussiano en un medio

debilmente absorbente permite tener una aproximacion adecuada en pri-

mer orden para el fenomeno de la lente termica. Sin embargo, se pueden

obtener mejoras importantes al extender el modelo para incluir los efectos

fısicos que no se tomaron en cuenta.

El valor del esquema de “multi-fısica” que permite programar COMSOL es

central en la obtencion de nuestro objetivo, ya que mediante conexiones

adecuadas reune diferentes modelos fısicos concatenados o simultaneos

aplicables a geometrıas y combinaciones de materiales reales muy gene-

rales y variados. En este caso, el uso de un modelo de transferencia de

calor combinado con un modelo de optica geometrica de rayos permiten

representar de forma adecuada el fenomeno de la lente termica. En este

40

CAPITULO 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 41

modelo se logro obtener un perfil de la distribucion de temperatura gene-

rado por el calentamiento producido utilizando un laser gaussiano. Como

resultado de la modificacion termica del medio, se genera un volumen que

actua como una lente termica cuya magnitud depende de las propieda-

des del material y de los haces incidentes. Estos modelos admiten una

combinacion sencilla al permitir la definicion de un ındice de refraccion

modificado por la variacion de temperatura en el material.

Como parte de las experiencias aprendidas y de los retos no cubiertos por el

presente trabajo, se recogen recomendaciones que pueden servir como punto

de partida para investigaciones o trabajos futuros, que son:

Se puede incorporar la conveccion a la modelacion para tener un modelo

mas real que tome en cuenta los efectos de la gravedad.

Es posible modelar el laser usando la fısica de ondas para ver el desen-

foque de la lente termica que produce patrones de difraccion.

Parece adecuado implementar un mallado mas fino para tener mas datos

y afinar los resultados, para lo cual es necesario mas tiempo o un equipo

computacional con mejores caracterısticas.

Se deberıa vincular el tipo de estructura molecular con los parametros

termo-opticos.

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