practica de difusividad termica
TRANSCRIPT
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIacuteALAB BIOINGENIERIacuteA
PRAacuteCTICA Ndeg4
DIFUSIVIDAD TEacuteRMICA
ALUMNOS
BERNAL OTERO INGRID
ALEJANDRA
DIAZ MERAZ SALVADOR
MIZRAIM
HERNANDEZ MARTINEZ KEVIN
HERNAacuteNDEZ GONZAacuteLEZ LUIS
CARLOS
LOacutePEZ ORTIZ ALMA GUADALUPE
MORENO RODRIacuteGUEZ ANTONIO
CUAUHTEacuteMOC
PROFESORAS
CARTAS ROMERO ADA LUZ
HOIacuteL RAMOS DIANA CAROLINA
GRUPO 4LM1
FECHA DE ENTREGA
23-SEPTIEMBRE-2013
DIFUSIVIDAD TEacuteRMICA
OBJETIVOS
Objetivo general
Determinar experimentalmente la difusividad teacutermica de un liacutequido
Objetivos particulares
Discutir la importancia de los mecanismos de transferencia de calor
Comprender que la transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
INTRODUCCIOacuteN
ldquoSiempre que existe un gradiente de temperatura en un sistema o cuando se ponen en contacto dos sistemas a diferentes temperaturas se transfiere energiacutea El procesos mediante el cual tiene lugar el transporte de energiacutea se conoce como transferencia de calorrdquo (Kreith 2012) Lo que se transporta denominado calor no se puede observar o medir de manera directa Sin embargo sus efectos se pueden identificar y cuantificar mediante mediciones y anaacutelisis
Todos los procesos de transferencia de calor obedecen a la primera ley de la termodinaacutemica asiacute como a la segunda El problema clave desde el punto de vista ingenieril es cuanto tiempo tomaraacute transferir una cantidad de energiacutea es decir la tasa de transferencia de calor para una diferencia de temperaturas especificadas por diferentes mecanismos y sus procesos mediante los cuales ocurren se estudian en el anaacutelisis de transferencia de calor
Los mecanismos a traveacutes de los cuales se transfiere calor son conduccioacuten conveccioacuten y radiacioacuten La conduccioacuten es exclusiva de sustancias soacutelidas y fluidos estacionarios donde la transferencia de calor se da por interaccioacuten directa de las partiacuteculas constituyentes La conveccioacuten tiene lugar en fluidos en movimiento debido a la variacioacuten de su densidad en diferentes regiones o debido a movimientos forzados Por uacuteltimo la transmisioacuten de calor por radiacioacuten se debe al trasporte de energiacutea por ondas electromagneacuteticas sin requerir la presencia de un medio material a diferencia de los mecanismos de conduccioacuten y conveccioacuten que si requieren un medio material para poder llevarse a cabo
Para la conduccioacuten de calor la ecuacioacuten modelos se conoce como Ley de Fourier y es anaacuteloga a la Ley de Fick y Ley de Newton para la transferencia de materia y trasporte de cantidad de movimiento respectivamente
ldquoEl flujo de calor por unidad de aacuterea qxrdquo (Wm2) es la velocidad con la que se transfiere el calor en la direccioacuten x por aacuterea unitaria perpendicular a la direccioacuten de transferencia y es proporcional a la gradiente de temperatura dTdx es esta direccioacuten La constante de
proporcionalidad K es una propiedad de trasporte conocida como conductividad teacutermica (WmK) caracteriacutestica de un material El signo menos es una consecuencia del hecho de que el calor se transfiere en la direccioacuten de la temperatura decrecienterdquo (Incropera 1999)
La difusividad teacutermica indica la velocidad a la que la temperatura cambia dentro de una sustancia Es una medida de la tasa en la que el cuerpo con una temperatura no uniforme alcanza un estado de equilibrio teacutermico
La difusividad teacutermica es la magnitud que aparece en la ecuacioacuten de conduccioacuten del calor y depende proporcionalmente de la conductividad teacutermica y es inversamente proporcional al calor especiacutefico y a la densidad del material
Para obtener en un material la difusividad deseada se juega con la capacidad caloriacutefica y con la conductividad teacutermica La mayor difusividad teacutermica se obtiene en materiales con k muy elevado pero con calores especiacuteficos pequentildeos y densidades pequentildeas Los materiales con alta difusividad ajustan raacutepidamente su temperatura a la de sus alrededores
La conductividad teacutermicas y difusividad teacutermicas son los paraacutemetros maacutes importantes para la descripcioacuten de las propiedades de transporte de calor de un material o componente
Los mecanismos de transferencia de calor se pueden efectuar en sistemas en reacutegimen de estado estacionario y no estacionario Cuando se habla de estado estacionario significan que las propiedades de los materiales como la densidad capacidad caloriacutefica conductividad entre otras no cambian con el tiempo por el contrario en un estado no estacionario dichas propiedades si variacutean respecto del tiempo
Durante eacuteste ensayo por medio del dispositivo tal como el que se muestra en la figura 1 se llevaraacute a cabo un intercambio de calor hasta que se llegue a un equilibrio teacutermico entre una sustancia de calentamiento y una sustancia friacutea de eacutesta uacuteltima se determinaraacute la difusividad teacutermica dependiente de la temperatura mediante un anaacutelisis de las ecuaciones y los mecanismos de transferencia de calor involucrados en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario es decir variacioacuten de las propiedades termodinaacutemicas de las sustancias en funcioacuten del tiempo y por supuesto de la temperatura
Fig 1 Arreglo experimental para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica
DESARROLLO EXPERIMENTAL
RESULTADOS
Tabla 1 Registro de datos del dispositivo y de la muestra problema
Diaacutemetro interno del cilindro 0038 cmAltura del cilindro 0481 mAltura de la chaqueta 0355 cmTemperatura inicial de la muestra problema (To)
202 degC
Temperatura inicial del fluido en calentamiento
177 degC
Volumen ocupado por la muestra en el cilindro interno
59010-4 m
Densidad relativa de la muestra problema
1256 gml a 29degC
Tabla 2 Registro del caudal volumeacutetrico que estaacute circulando
Experimento
Volumen (ml)
Tiempo(s)
Caudal Volumentiempo(mls)
1 250 5 07 4930966472 250 508 4921259843 250 508 4921259844 250 515 4854368935 250 516
484496124Caudal maacutesico
promediogs
Caudal maacutesico promedio
KgsPromedio 489456327 614757146 006147571
Tabla 3 Datos obtenidos de la variacioacuten de temperatura del dispositivo
Tiempot (S) temperatura del
agua degCtemperatura glicerina
degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
2020 197
25 63161875000011400
7
40205 197 -
166666667 -4002833333 -36126E-05
60213 197 -
045454545 -0262230278 -15778E-0660 222 197 -025 -0088432813 -53207E-07
80238 197 -
013888889 -0022399659 -10108E-07100 242 197 -0125 -0015261914 -55096E-08
120255 197 -
009433962 -0000276245 -83104E-10
140265 197 -
007936508 0006677399 172181E-08
160273 197 -
007042254 0010721524 241904E-08
18028 197 -
006410256 0013532181 271395E-08
200287 197 -
005882353 0015850417 2861E-08
220299 199 -
003092784 002767327 454093E-08
240308 199 -
002830189 002875065 432458E-08260 317 20 -00173913 0033164625 460478E-08280 322 202 0 004 515714E-08300 329 203 000787402 004301737 517642E-08320 337 205 002222222 0048398021 54599E-08340 343 206 002836879 0050658329 537872E-08360 352 209 004666667 0057237155 573961E-08380 359 212 006369427 0063170201 600117E-08400 367 217 009090909 0072312322 652619E-08420 374 223 012209302 0082341905 707748E-08440 382 227 013888889 0087577128 718531E-08460 389 23 014973262 0090903942 713398E-08480 398 232 015306122 0091917515 691296E-08500 407 235 016097561 0094314076 680948E-08520 414 238 016981132 0096968833 673187E-08540 42 242 018348624 0101039038 675465E-08560 426 247 020089286 010616311 684373E-08580 429 251 021585903 0110529116 687948E-08600 435 257 02360515 0116380444 700222E-08
620 439 265 026582278 0124973765 72767E-08640 443 271 028630705 0130899624 738356E-08660 446 28 031967213 0140650435 769315E-08680 448 288 03495935 0149578747 794087E-08
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempot (S)
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
700449 297
038461538 016036254827013E-
08
720451 305
041365462 0169665035850682E-
08740 452 314 0448 0181197506 88395E-08
760454 323
048015873 0192619539914943E-
08
780455 331
050988142 0203801963943237E-
08
800457 339
05372549 0214702432968845E-
08
820457 346
056470588 0226277423996173E-
08
840458 353
058984375 0237495698102067E-
07
860459 36
061478599 0249259988104631E-
07
880459 366
06381323 0260884818107022E-
07
90046 371
065503876 0269695615108178E-
07
92046 376
06744186 028022218109957E-
07
94046 381
069379845 0291225666111843E-
07960 461 385 070656371 0298744703 11234E-07
980462 39
072307692 0308802742113753E-
07
1000462 394
073846154 0318520741114986E-
07
1020462 397
075 0326035938115391E-
07
1040462 401
076538462 0336367291116758E-
07
1060462 405
078076923 0347064264118198E-
07
1080462 407
078846154 0352553298117844E-
07
1100462 41
08 03609664118463E-
07
1120462 412
080769231 0366696842118194E-
07
1140462 415
081923077 0375478506118902E-
07
1160462 417
082692308 0381458955118713E-
07
1180462 419
083461538 0387541813118562E-
07
1200462 421
084230769 0393728457118447E-
07
1220462 423
085 0400020263118367E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensionalθ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
1240 462 425 085769231 0406418604 11832E-071260 462 428 086923077 0416218883 11925E-07
1280462 429
087307692 04195404118324E-
07
1300462 431
088076923 0426266606118371E-
07
1320462 432
088461538 0429671637117509E-
07
1340462 434
089230769 0436566417117612E-
07
1360461 435
08996139 0443220762117649E-
07
1380461 436
09034749 0446779258116875E-
071400 461 437 090733591 0450367003 11613E-071420 461 438 091119691 0453984172 115414E-
07
1440461 439
091505792 0457630939114726E-
07
1460461 44
091891892 0461307476114063E-
07
1480461 441
092277992 0465013959113426E-
07
1500461 441
092277992 0465013959111913E-
07
1520461 442
092664093 0468750561111328E-
07
1540461 444
093436293 0476314819111656E-
071560 461 445 093822394 0480142822 11111E-07
1580461 446
094208494 048400164110585E-
07
1600461 447
094594595 0487891448110081E-
07
1620461 447
094594595 0487891448108721E-
07
1640461 448
094980695 0491812418108259E-
07
1660461 449
095366795 0495764725107814E-
071680 461 449 095366795 0495764725 10653E-07
1700461 45
095752896 0499748543106123E-
07
172046 451
096511628 0507669681106552E-
07
174046 451
096511628 0507669681105327E-
071760 46 451 096511628 0507669681 10413E-071780 46 451 096511628 0507669681 10296E-07
180046 452
096899225 0511763824102637E-
07
182046 453
097286822 0515890419102328E-
07
184046 453
097286822 0515890419101215E-
07
1860459 454
098054475 0524159795101732E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
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-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
DIFUSIVIDAD TEacuteRMICA
OBJETIVOS
Objetivo general
Determinar experimentalmente la difusividad teacutermica de un liacutequido
Objetivos particulares
Discutir la importancia de los mecanismos de transferencia de calor
Comprender que la transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
INTRODUCCIOacuteN
ldquoSiempre que existe un gradiente de temperatura en un sistema o cuando se ponen en contacto dos sistemas a diferentes temperaturas se transfiere energiacutea El procesos mediante el cual tiene lugar el transporte de energiacutea se conoce como transferencia de calorrdquo (Kreith 2012) Lo que se transporta denominado calor no se puede observar o medir de manera directa Sin embargo sus efectos se pueden identificar y cuantificar mediante mediciones y anaacutelisis
Todos los procesos de transferencia de calor obedecen a la primera ley de la termodinaacutemica asiacute como a la segunda El problema clave desde el punto de vista ingenieril es cuanto tiempo tomaraacute transferir una cantidad de energiacutea es decir la tasa de transferencia de calor para una diferencia de temperaturas especificadas por diferentes mecanismos y sus procesos mediante los cuales ocurren se estudian en el anaacutelisis de transferencia de calor
Los mecanismos a traveacutes de los cuales se transfiere calor son conduccioacuten conveccioacuten y radiacioacuten La conduccioacuten es exclusiva de sustancias soacutelidas y fluidos estacionarios donde la transferencia de calor se da por interaccioacuten directa de las partiacuteculas constituyentes La conveccioacuten tiene lugar en fluidos en movimiento debido a la variacioacuten de su densidad en diferentes regiones o debido a movimientos forzados Por uacuteltimo la transmisioacuten de calor por radiacioacuten se debe al trasporte de energiacutea por ondas electromagneacuteticas sin requerir la presencia de un medio material a diferencia de los mecanismos de conduccioacuten y conveccioacuten que si requieren un medio material para poder llevarse a cabo
Para la conduccioacuten de calor la ecuacioacuten modelos se conoce como Ley de Fourier y es anaacuteloga a la Ley de Fick y Ley de Newton para la transferencia de materia y trasporte de cantidad de movimiento respectivamente
ldquoEl flujo de calor por unidad de aacuterea qxrdquo (Wm2) es la velocidad con la que se transfiere el calor en la direccioacuten x por aacuterea unitaria perpendicular a la direccioacuten de transferencia y es proporcional a la gradiente de temperatura dTdx es esta direccioacuten La constante de
proporcionalidad K es una propiedad de trasporte conocida como conductividad teacutermica (WmK) caracteriacutestica de un material El signo menos es una consecuencia del hecho de que el calor se transfiere en la direccioacuten de la temperatura decrecienterdquo (Incropera 1999)
La difusividad teacutermica indica la velocidad a la que la temperatura cambia dentro de una sustancia Es una medida de la tasa en la que el cuerpo con una temperatura no uniforme alcanza un estado de equilibrio teacutermico
La difusividad teacutermica es la magnitud que aparece en la ecuacioacuten de conduccioacuten del calor y depende proporcionalmente de la conductividad teacutermica y es inversamente proporcional al calor especiacutefico y a la densidad del material
Para obtener en un material la difusividad deseada se juega con la capacidad caloriacutefica y con la conductividad teacutermica La mayor difusividad teacutermica se obtiene en materiales con k muy elevado pero con calores especiacuteficos pequentildeos y densidades pequentildeas Los materiales con alta difusividad ajustan raacutepidamente su temperatura a la de sus alrededores
La conductividad teacutermicas y difusividad teacutermicas son los paraacutemetros maacutes importantes para la descripcioacuten de las propiedades de transporte de calor de un material o componente
Los mecanismos de transferencia de calor se pueden efectuar en sistemas en reacutegimen de estado estacionario y no estacionario Cuando se habla de estado estacionario significan que las propiedades de los materiales como la densidad capacidad caloriacutefica conductividad entre otras no cambian con el tiempo por el contrario en un estado no estacionario dichas propiedades si variacutean respecto del tiempo
Durante eacuteste ensayo por medio del dispositivo tal como el que se muestra en la figura 1 se llevaraacute a cabo un intercambio de calor hasta que se llegue a un equilibrio teacutermico entre una sustancia de calentamiento y una sustancia friacutea de eacutesta uacuteltima se determinaraacute la difusividad teacutermica dependiente de la temperatura mediante un anaacutelisis de las ecuaciones y los mecanismos de transferencia de calor involucrados en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario es decir variacioacuten de las propiedades termodinaacutemicas de las sustancias en funcioacuten del tiempo y por supuesto de la temperatura
Fig 1 Arreglo experimental para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica
DESARROLLO EXPERIMENTAL
RESULTADOS
Tabla 1 Registro de datos del dispositivo y de la muestra problema
Diaacutemetro interno del cilindro 0038 cmAltura del cilindro 0481 mAltura de la chaqueta 0355 cmTemperatura inicial de la muestra problema (To)
202 degC
Temperatura inicial del fluido en calentamiento
177 degC
Volumen ocupado por la muestra en el cilindro interno
59010-4 m
Densidad relativa de la muestra problema
1256 gml a 29degC
Tabla 2 Registro del caudal volumeacutetrico que estaacute circulando
Experimento
Volumen (ml)
Tiempo(s)
Caudal Volumentiempo(mls)
1 250 5 07 4930966472 250 508 4921259843 250 508 4921259844 250 515 4854368935 250 516
484496124Caudal maacutesico
promediogs
Caudal maacutesico promedio
KgsPromedio 489456327 614757146 006147571
Tabla 3 Datos obtenidos de la variacioacuten de temperatura del dispositivo
Tiempot (S) temperatura del
agua degCtemperatura glicerina
degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
2020 197
25 63161875000011400
7
40205 197 -
166666667 -4002833333 -36126E-05
60213 197 -
045454545 -0262230278 -15778E-0660 222 197 -025 -0088432813 -53207E-07
80238 197 -
013888889 -0022399659 -10108E-07100 242 197 -0125 -0015261914 -55096E-08
120255 197 -
009433962 -0000276245 -83104E-10
140265 197 -
007936508 0006677399 172181E-08
160273 197 -
007042254 0010721524 241904E-08
18028 197 -
006410256 0013532181 271395E-08
200287 197 -
005882353 0015850417 2861E-08
220299 199 -
003092784 002767327 454093E-08
240308 199 -
002830189 002875065 432458E-08260 317 20 -00173913 0033164625 460478E-08280 322 202 0 004 515714E-08300 329 203 000787402 004301737 517642E-08320 337 205 002222222 0048398021 54599E-08340 343 206 002836879 0050658329 537872E-08360 352 209 004666667 0057237155 573961E-08380 359 212 006369427 0063170201 600117E-08400 367 217 009090909 0072312322 652619E-08420 374 223 012209302 0082341905 707748E-08440 382 227 013888889 0087577128 718531E-08460 389 23 014973262 0090903942 713398E-08480 398 232 015306122 0091917515 691296E-08500 407 235 016097561 0094314076 680948E-08520 414 238 016981132 0096968833 673187E-08540 42 242 018348624 0101039038 675465E-08560 426 247 020089286 010616311 684373E-08580 429 251 021585903 0110529116 687948E-08600 435 257 02360515 0116380444 700222E-08
620 439 265 026582278 0124973765 72767E-08640 443 271 028630705 0130899624 738356E-08660 446 28 031967213 0140650435 769315E-08680 448 288 03495935 0149578747 794087E-08
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempot (S)
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
700449 297
038461538 016036254827013E-
08
720451 305
041365462 0169665035850682E-
08740 452 314 0448 0181197506 88395E-08
760454 323
048015873 0192619539914943E-
08
780455 331
050988142 0203801963943237E-
08
800457 339
05372549 0214702432968845E-
08
820457 346
056470588 0226277423996173E-
08
840458 353
058984375 0237495698102067E-
07
860459 36
061478599 0249259988104631E-
07
880459 366
06381323 0260884818107022E-
07
90046 371
065503876 0269695615108178E-
07
92046 376
06744186 028022218109957E-
07
94046 381
069379845 0291225666111843E-
07960 461 385 070656371 0298744703 11234E-07
980462 39
072307692 0308802742113753E-
07
1000462 394
073846154 0318520741114986E-
07
1020462 397
075 0326035938115391E-
07
1040462 401
076538462 0336367291116758E-
07
1060462 405
078076923 0347064264118198E-
07
1080462 407
078846154 0352553298117844E-
07
1100462 41
08 03609664118463E-
07
1120462 412
080769231 0366696842118194E-
07
1140462 415
081923077 0375478506118902E-
07
1160462 417
082692308 0381458955118713E-
07
1180462 419
083461538 0387541813118562E-
07
1200462 421
084230769 0393728457118447E-
07
1220462 423
085 0400020263118367E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensionalθ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
1240 462 425 085769231 0406418604 11832E-071260 462 428 086923077 0416218883 11925E-07
1280462 429
087307692 04195404118324E-
07
1300462 431
088076923 0426266606118371E-
07
1320462 432
088461538 0429671637117509E-
07
1340462 434
089230769 0436566417117612E-
07
1360461 435
08996139 0443220762117649E-
07
1380461 436
09034749 0446779258116875E-
071400 461 437 090733591 0450367003 11613E-071420 461 438 091119691 0453984172 115414E-
07
1440461 439
091505792 0457630939114726E-
07
1460461 44
091891892 0461307476114063E-
07
1480461 441
092277992 0465013959113426E-
07
1500461 441
092277992 0465013959111913E-
07
1520461 442
092664093 0468750561111328E-
07
1540461 444
093436293 0476314819111656E-
071560 461 445 093822394 0480142822 11111E-07
1580461 446
094208494 048400164110585E-
07
1600461 447
094594595 0487891448110081E-
07
1620461 447
094594595 0487891448108721E-
07
1640461 448
094980695 0491812418108259E-
07
1660461 449
095366795 0495764725107814E-
071680 461 449 095366795 0495764725 10653E-07
1700461 45
095752896 0499748543106123E-
07
172046 451
096511628 0507669681106552E-
07
174046 451
096511628 0507669681105327E-
071760 46 451 096511628 0507669681 10413E-071780 46 451 096511628 0507669681 10296E-07
180046 452
096899225 0511763824102637E-
07
182046 453
097286822 0515890419102328E-
07
184046 453
097286822 0515890419101215E-
07
1860459 454
098054475 0524159795101732E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
proporcionalidad K es una propiedad de trasporte conocida como conductividad teacutermica (WmK) caracteriacutestica de un material El signo menos es una consecuencia del hecho de que el calor se transfiere en la direccioacuten de la temperatura decrecienterdquo (Incropera 1999)
La difusividad teacutermica indica la velocidad a la que la temperatura cambia dentro de una sustancia Es una medida de la tasa en la que el cuerpo con una temperatura no uniforme alcanza un estado de equilibrio teacutermico
La difusividad teacutermica es la magnitud que aparece en la ecuacioacuten de conduccioacuten del calor y depende proporcionalmente de la conductividad teacutermica y es inversamente proporcional al calor especiacutefico y a la densidad del material
Para obtener en un material la difusividad deseada se juega con la capacidad caloriacutefica y con la conductividad teacutermica La mayor difusividad teacutermica se obtiene en materiales con k muy elevado pero con calores especiacuteficos pequentildeos y densidades pequentildeas Los materiales con alta difusividad ajustan raacutepidamente su temperatura a la de sus alrededores
La conductividad teacutermicas y difusividad teacutermicas son los paraacutemetros maacutes importantes para la descripcioacuten de las propiedades de transporte de calor de un material o componente
Los mecanismos de transferencia de calor se pueden efectuar en sistemas en reacutegimen de estado estacionario y no estacionario Cuando se habla de estado estacionario significan que las propiedades de los materiales como la densidad capacidad caloriacutefica conductividad entre otras no cambian con el tiempo por el contrario en un estado no estacionario dichas propiedades si variacutean respecto del tiempo
Durante eacuteste ensayo por medio del dispositivo tal como el que se muestra en la figura 1 se llevaraacute a cabo un intercambio de calor hasta que se llegue a un equilibrio teacutermico entre una sustancia de calentamiento y una sustancia friacutea de eacutesta uacuteltima se determinaraacute la difusividad teacutermica dependiente de la temperatura mediante un anaacutelisis de las ecuaciones y los mecanismos de transferencia de calor involucrados en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario es decir variacioacuten de las propiedades termodinaacutemicas de las sustancias en funcioacuten del tiempo y por supuesto de la temperatura
Fig 1 Arreglo experimental para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica
DESARROLLO EXPERIMENTAL
RESULTADOS
Tabla 1 Registro de datos del dispositivo y de la muestra problema
Diaacutemetro interno del cilindro 0038 cmAltura del cilindro 0481 mAltura de la chaqueta 0355 cmTemperatura inicial de la muestra problema (To)
202 degC
Temperatura inicial del fluido en calentamiento
177 degC
Volumen ocupado por la muestra en el cilindro interno
59010-4 m
Densidad relativa de la muestra problema
1256 gml a 29degC
Tabla 2 Registro del caudal volumeacutetrico que estaacute circulando
Experimento
Volumen (ml)
Tiempo(s)
Caudal Volumentiempo(mls)
1 250 5 07 4930966472 250 508 4921259843 250 508 4921259844 250 515 4854368935 250 516
484496124Caudal maacutesico
promediogs
Caudal maacutesico promedio
KgsPromedio 489456327 614757146 006147571
Tabla 3 Datos obtenidos de la variacioacuten de temperatura del dispositivo
Tiempot (S) temperatura del
agua degCtemperatura glicerina
degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
2020 197
25 63161875000011400
7
40205 197 -
166666667 -4002833333 -36126E-05
60213 197 -
045454545 -0262230278 -15778E-0660 222 197 -025 -0088432813 -53207E-07
80238 197 -
013888889 -0022399659 -10108E-07100 242 197 -0125 -0015261914 -55096E-08
120255 197 -
009433962 -0000276245 -83104E-10
140265 197 -
007936508 0006677399 172181E-08
160273 197 -
007042254 0010721524 241904E-08
18028 197 -
006410256 0013532181 271395E-08
200287 197 -
005882353 0015850417 2861E-08
220299 199 -
003092784 002767327 454093E-08
240308 199 -
002830189 002875065 432458E-08260 317 20 -00173913 0033164625 460478E-08280 322 202 0 004 515714E-08300 329 203 000787402 004301737 517642E-08320 337 205 002222222 0048398021 54599E-08340 343 206 002836879 0050658329 537872E-08360 352 209 004666667 0057237155 573961E-08380 359 212 006369427 0063170201 600117E-08400 367 217 009090909 0072312322 652619E-08420 374 223 012209302 0082341905 707748E-08440 382 227 013888889 0087577128 718531E-08460 389 23 014973262 0090903942 713398E-08480 398 232 015306122 0091917515 691296E-08500 407 235 016097561 0094314076 680948E-08520 414 238 016981132 0096968833 673187E-08540 42 242 018348624 0101039038 675465E-08560 426 247 020089286 010616311 684373E-08580 429 251 021585903 0110529116 687948E-08600 435 257 02360515 0116380444 700222E-08
620 439 265 026582278 0124973765 72767E-08640 443 271 028630705 0130899624 738356E-08660 446 28 031967213 0140650435 769315E-08680 448 288 03495935 0149578747 794087E-08
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempot (S)
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
700449 297
038461538 016036254827013E-
08
720451 305
041365462 0169665035850682E-
08740 452 314 0448 0181197506 88395E-08
760454 323
048015873 0192619539914943E-
08
780455 331
050988142 0203801963943237E-
08
800457 339
05372549 0214702432968845E-
08
820457 346
056470588 0226277423996173E-
08
840458 353
058984375 0237495698102067E-
07
860459 36
061478599 0249259988104631E-
07
880459 366
06381323 0260884818107022E-
07
90046 371
065503876 0269695615108178E-
07
92046 376
06744186 028022218109957E-
07
94046 381
069379845 0291225666111843E-
07960 461 385 070656371 0298744703 11234E-07
980462 39
072307692 0308802742113753E-
07
1000462 394
073846154 0318520741114986E-
07
1020462 397
075 0326035938115391E-
07
1040462 401
076538462 0336367291116758E-
07
1060462 405
078076923 0347064264118198E-
07
1080462 407
078846154 0352553298117844E-
07
1100462 41
08 03609664118463E-
07
1120462 412
080769231 0366696842118194E-
07
1140462 415
081923077 0375478506118902E-
07
1160462 417
082692308 0381458955118713E-
07
1180462 419
083461538 0387541813118562E-
07
1200462 421
084230769 0393728457118447E-
07
1220462 423
085 0400020263118367E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensionalθ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
1240 462 425 085769231 0406418604 11832E-071260 462 428 086923077 0416218883 11925E-07
1280462 429
087307692 04195404118324E-
07
1300462 431
088076923 0426266606118371E-
07
1320462 432
088461538 0429671637117509E-
07
1340462 434
089230769 0436566417117612E-
07
1360461 435
08996139 0443220762117649E-
07
1380461 436
09034749 0446779258116875E-
071400 461 437 090733591 0450367003 11613E-071420 461 438 091119691 0453984172 115414E-
07
1440461 439
091505792 0457630939114726E-
07
1460461 44
091891892 0461307476114063E-
07
1480461 441
092277992 0465013959113426E-
07
1500461 441
092277992 0465013959111913E-
07
1520461 442
092664093 0468750561111328E-
07
1540461 444
093436293 0476314819111656E-
071560 461 445 093822394 0480142822 11111E-07
1580461 446
094208494 048400164110585E-
07
1600461 447
094594595 0487891448110081E-
07
1620461 447
094594595 0487891448108721E-
07
1640461 448
094980695 0491812418108259E-
07
1660461 449
095366795 0495764725107814E-
071680 461 449 095366795 0495764725 10653E-07
1700461 45
095752896 0499748543106123E-
07
172046 451
096511628 0507669681106552E-
07
174046 451
096511628 0507669681105327E-
071760 46 451 096511628 0507669681 10413E-071780 46 451 096511628 0507669681 10296E-07
180046 452
096899225 0511763824102637E-
07
182046 453
097286822 0515890419102328E-
07
184046 453
097286822 0515890419101215E-
07
1860459 454
098054475 0524159795101732E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
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-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
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-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
Fig 1 Arreglo experimental para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica
DESARROLLO EXPERIMENTAL
RESULTADOS
Tabla 1 Registro de datos del dispositivo y de la muestra problema
Diaacutemetro interno del cilindro 0038 cmAltura del cilindro 0481 mAltura de la chaqueta 0355 cmTemperatura inicial de la muestra problema (To)
202 degC
Temperatura inicial del fluido en calentamiento
177 degC
Volumen ocupado por la muestra en el cilindro interno
59010-4 m
Densidad relativa de la muestra problema
1256 gml a 29degC
Tabla 2 Registro del caudal volumeacutetrico que estaacute circulando
Experimento
Volumen (ml)
Tiempo(s)
Caudal Volumentiempo(mls)
1 250 5 07 4930966472 250 508 4921259843 250 508 4921259844 250 515 4854368935 250 516
484496124Caudal maacutesico
promediogs
Caudal maacutesico promedio
KgsPromedio 489456327 614757146 006147571
Tabla 3 Datos obtenidos de la variacioacuten de temperatura del dispositivo
Tiempot (S) temperatura del
agua degCtemperatura glicerina
degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
2020 197
25 63161875000011400
7
40205 197 -
166666667 -4002833333 -36126E-05
60213 197 -
045454545 -0262230278 -15778E-0660 222 197 -025 -0088432813 -53207E-07
80238 197 -
013888889 -0022399659 -10108E-07100 242 197 -0125 -0015261914 -55096E-08
120255 197 -
009433962 -0000276245 -83104E-10
140265 197 -
007936508 0006677399 172181E-08
160273 197 -
007042254 0010721524 241904E-08
18028 197 -
006410256 0013532181 271395E-08
200287 197 -
005882353 0015850417 2861E-08
220299 199 -
003092784 002767327 454093E-08
240308 199 -
002830189 002875065 432458E-08260 317 20 -00173913 0033164625 460478E-08280 322 202 0 004 515714E-08300 329 203 000787402 004301737 517642E-08320 337 205 002222222 0048398021 54599E-08340 343 206 002836879 0050658329 537872E-08360 352 209 004666667 0057237155 573961E-08380 359 212 006369427 0063170201 600117E-08400 367 217 009090909 0072312322 652619E-08420 374 223 012209302 0082341905 707748E-08440 382 227 013888889 0087577128 718531E-08460 389 23 014973262 0090903942 713398E-08480 398 232 015306122 0091917515 691296E-08500 407 235 016097561 0094314076 680948E-08520 414 238 016981132 0096968833 673187E-08540 42 242 018348624 0101039038 675465E-08560 426 247 020089286 010616311 684373E-08580 429 251 021585903 0110529116 687948E-08600 435 257 02360515 0116380444 700222E-08
620 439 265 026582278 0124973765 72767E-08640 443 271 028630705 0130899624 738356E-08660 446 28 031967213 0140650435 769315E-08680 448 288 03495935 0149578747 794087E-08
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempot (S)
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
700449 297
038461538 016036254827013E-
08
720451 305
041365462 0169665035850682E-
08740 452 314 0448 0181197506 88395E-08
760454 323
048015873 0192619539914943E-
08
780455 331
050988142 0203801963943237E-
08
800457 339
05372549 0214702432968845E-
08
820457 346
056470588 0226277423996173E-
08
840458 353
058984375 0237495698102067E-
07
860459 36
061478599 0249259988104631E-
07
880459 366
06381323 0260884818107022E-
07
90046 371
065503876 0269695615108178E-
07
92046 376
06744186 028022218109957E-
07
94046 381
069379845 0291225666111843E-
07960 461 385 070656371 0298744703 11234E-07
980462 39
072307692 0308802742113753E-
07
1000462 394
073846154 0318520741114986E-
07
1020462 397
075 0326035938115391E-
07
1040462 401
076538462 0336367291116758E-
07
1060462 405
078076923 0347064264118198E-
07
1080462 407
078846154 0352553298117844E-
07
1100462 41
08 03609664118463E-
07
1120462 412
080769231 0366696842118194E-
07
1140462 415
081923077 0375478506118902E-
07
1160462 417
082692308 0381458955118713E-
07
1180462 419
083461538 0387541813118562E-
07
1200462 421
084230769 0393728457118447E-
07
1220462 423
085 0400020263118367E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensionalθ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
1240 462 425 085769231 0406418604 11832E-071260 462 428 086923077 0416218883 11925E-07
1280462 429
087307692 04195404118324E-
07
1300462 431
088076923 0426266606118371E-
07
1320462 432
088461538 0429671637117509E-
07
1340462 434
089230769 0436566417117612E-
07
1360461 435
08996139 0443220762117649E-
07
1380461 436
09034749 0446779258116875E-
071400 461 437 090733591 0450367003 11613E-071420 461 438 091119691 0453984172 115414E-
07
1440461 439
091505792 0457630939114726E-
07
1460461 44
091891892 0461307476114063E-
07
1480461 441
092277992 0465013959113426E-
07
1500461 441
092277992 0465013959111913E-
07
1520461 442
092664093 0468750561111328E-
07
1540461 444
093436293 0476314819111656E-
071560 461 445 093822394 0480142822 11111E-07
1580461 446
094208494 048400164110585E-
07
1600461 447
094594595 0487891448110081E-
07
1620461 447
094594595 0487891448108721E-
07
1640461 448
094980695 0491812418108259E-
07
1660461 449
095366795 0495764725107814E-
071680 461 449 095366795 0495764725 10653E-07
1700461 45
095752896 0499748543106123E-
07
172046 451
096511628 0507669681106552E-
07
174046 451
096511628 0507669681105327E-
071760 46 451 096511628 0507669681 10413E-071780 46 451 096511628 0507669681 10296E-07
180046 452
096899225 0511763824102637E-
07
182046 453
097286822 0515890419102328E-
07
184046 453
097286822 0515890419101215E-
07
1860459 454
098054475 0524159795101732E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
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-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
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- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
RESULTADOS
Tabla 1 Registro de datos del dispositivo y de la muestra problema
Diaacutemetro interno del cilindro 0038 cmAltura del cilindro 0481 mAltura de la chaqueta 0355 cmTemperatura inicial de la muestra problema (To)
202 degC
Temperatura inicial del fluido en calentamiento
177 degC
Volumen ocupado por la muestra en el cilindro interno
59010-4 m
Densidad relativa de la muestra problema
1256 gml a 29degC
Tabla 2 Registro del caudal volumeacutetrico que estaacute circulando
Experimento
Volumen (ml)
Tiempo(s)
Caudal Volumentiempo(mls)
1 250 5 07 4930966472 250 508 4921259843 250 508 4921259844 250 515 4854368935 250 516
484496124Caudal maacutesico
promediogs
Caudal maacutesico promedio
KgsPromedio 489456327 614757146 006147571
Tabla 3 Datos obtenidos de la variacioacuten de temperatura del dispositivo
Tiempot (S) temperatura del
agua degCtemperatura glicerina
degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
2020 197
25 63161875000011400
7
40205 197 -
166666667 -4002833333 -36126E-05
60213 197 -
045454545 -0262230278 -15778E-0660 222 197 -025 -0088432813 -53207E-07
80238 197 -
013888889 -0022399659 -10108E-07100 242 197 -0125 -0015261914 -55096E-08
120255 197 -
009433962 -0000276245 -83104E-10
140265 197 -
007936508 0006677399 172181E-08
160273 197 -
007042254 0010721524 241904E-08
18028 197 -
006410256 0013532181 271395E-08
200287 197 -
005882353 0015850417 2861E-08
220299 199 -
003092784 002767327 454093E-08
240308 199 -
002830189 002875065 432458E-08260 317 20 -00173913 0033164625 460478E-08280 322 202 0 004 515714E-08300 329 203 000787402 004301737 517642E-08320 337 205 002222222 0048398021 54599E-08340 343 206 002836879 0050658329 537872E-08360 352 209 004666667 0057237155 573961E-08380 359 212 006369427 0063170201 600117E-08400 367 217 009090909 0072312322 652619E-08420 374 223 012209302 0082341905 707748E-08440 382 227 013888889 0087577128 718531E-08460 389 23 014973262 0090903942 713398E-08480 398 232 015306122 0091917515 691296E-08500 407 235 016097561 0094314076 680948E-08520 414 238 016981132 0096968833 673187E-08540 42 242 018348624 0101039038 675465E-08560 426 247 020089286 010616311 684373E-08580 429 251 021585903 0110529116 687948E-08600 435 257 02360515 0116380444 700222E-08
620 439 265 026582278 0124973765 72767E-08640 443 271 028630705 0130899624 738356E-08660 446 28 031967213 0140650435 769315E-08680 448 288 03495935 0149578747 794087E-08
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempot (S)
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
700449 297
038461538 016036254827013E-
08
720451 305
041365462 0169665035850682E-
08740 452 314 0448 0181197506 88395E-08
760454 323
048015873 0192619539914943E-
08
780455 331
050988142 0203801963943237E-
08
800457 339
05372549 0214702432968845E-
08
820457 346
056470588 0226277423996173E-
08
840458 353
058984375 0237495698102067E-
07
860459 36
061478599 0249259988104631E-
07
880459 366
06381323 0260884818107022E-
07
90046 371
065503876 0269695615108178E-
07
92046 376
06744186 028022218109957E-
07
94046 381
069379845 0291225666111843E-
07960 461 385 070656371 0298744703 11234E-07
980462 39
072307692 0308802742113753E-
07
1000462 394
073846154 0318520741114986E-
07
1020462 397
075 0326035938115391E-
07
1040462 401
076538462 0336367291116758E-
07
1060462 405
078076923 0347064264118198E-
07
1080462 407
078846154 0352553298117844E-
07
1100462 41
08 03609664118463E-
07
1120462 412
080769231 0366696842118194E-
07
1140462 415
081923077 0375478506118902E-
07
1160462 417
082692308 0381458955118713E-
07
1180462 419
083461538 0387541813118562E-
07
1200462 421
084230769 0393728457118447E-
07
1220462 423
085 0400020263118367E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensionalθ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
1240 462 425 085769231 0406418604 11832E-071260 462 428 086923077 0416218883 11925E-07
1280462 429
087307692 04195404118324E-
07
1300462 431
088076923 0426266606118371E-
07
1320462 432
088461538 0429671637117509E-
07
1340462 434
089230769 0436566417117612E-
07
1360461 435
08996139 0443220762117649E-
07
1380461 436
09034749 0446779258116875E-
071400 461 437 090733591 0450367003 11613E-071420 461 438 091119691 0453984172 115414E-
07
1440461 439
091505792 0457630939114726E-
07
1460461 44
091891892 0461307476114063E-
07
1480461 441
092277992 0465013959113426E-
07
1500461 441
092277992 0465013959111913E-
07
1520461 442
092664093 0468750561111328E-
07
1540461 444
093436293 0476314819111656E-
071560 461 445 093822394 0480142822 11111E-07
1580461 446
094208494 048400164110585E-
07
1600461 447
094594595 0487891448110081E-
07
1620461 447
094594595 0487891448108721E-
07
1640461 448
094980695 0491812418108259E-
07
1660461 449
095366795 0495764725107814E-
071680 461 449 095366795 0495764725 10653E-07
1700461 45
095752896 0499748543106123E-
07
172046 451
096511628 0507669681106552E-
07
174046 451
096511628 0507669681105327E-
071760 46 451 096511628 0507669681 10413E-071780 46 451 096511628 0507669681 10296E-07
180046 452
096899225 0511763824102637E-
07
182046 453
097286822 0515890419102328E-
07
184046 453
097286822 0515890419101215E-
07
1860459 454
098054475 0524159795101732E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
Tabla 3 Datos obtenidos de la variacioacuten de temperatura del dispositivo
Tiempot (S) temperatura del
agua degCtemperatura glicerina
degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
2020 197
25 63161875000011400
7
40205 197 -
166666667 -4002833333 -36126E-05
60213 197 -
045454545 -0262230278 -15778E-0660 222 197 -025 -0088432813 -53207E-07
80238 197 -
013888889 -0022399659 -10108E-07100 242 197 -0125 -0015261914 -55096E-08
120255 197 -
009433962 -0000276245 -83104E-10
140265 197 -
007936508 0006677399 172181E-08
160273 197 -
007042254 0010721524 241904E-08
18028 197 -
006410256 0013532181 271395E-08
200287 197 -
005882353 0015850417 2861E-08
220299 199 -
003092784 002767327 454093E-08
240308 199 -
002830189 002875065 432458E-08260 317 20 -00173913 0033164625 460478E-08280 322 202 0 004 515714E-08300 329 203 000787402 004301737 517642E-08320 337 205 002222222 0048398021 54599E-08340 343 206 002836879 0050658329 537872E-08360 352 209 004666667 0057237155 573961E-08380 359 212 006369427 0063170201 600117E-08400 367 217 009090909 0072312322 652619E-08420 374 223 012209302 0082341905 707748E-08440 382 227 013888889 0087577128 718531E-08460 389 23 014973262 0090903942 713398E-08480 398 232 015306122 0091917515 691296E-08500 407 235 016097561 0094314076 680948E-08520 414 238 016981132 0096968833 673187E-08540 42 242 018348624 0101039038 675465E-08560 426 247 020089286 010616311 684373E-08580 429 251 021585903 0110529116 687948E-08600 435 257 02360515 0116380444 700222E-08
620 439 265 026582278 0124973765 72767E-08640 443 271 028630705 0130899624 738356E-08660 446 28 031967213 0140650435 769315E-08680 448 288 03495935 0149578747 794087E-08
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempot (S)
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
700449 297
038461538 016036254827013E-
08
720451 305
041365462 0169665035850682E-
08740 452 314 0448 0181197506 88395E-08
760454 323
048015873 0192619539914943E-
08
780455 331
050988142 0203801963943237E-
08
800457 339
05372549 0214702432968845E-
08
820457 346
056470588 0226277423996173E-
08
840458 353
058984375 0237495698102067E-
07
860459 36
061478599 0249259988104631E-
07
880459 366
06381323 0260884818107022E-
07
90046 371
065503876 0269695615108178E-
07
92046 376
06744186 028022218109957E-
07
94046 381
069379845 0291225666111843E-
07960 461 385 070656371 0298744703 11234E-07
980462 39
072307692 0308802742113753E-
07
1000462 394
073846154 0318520741114986E-
07
1020462 397
075 0326035938115391E-
07
1040462 401
076538462 0336367291116758E-
07
1060462 405
078076923 0347064264118198E-
07
1080462 407
078846154 0352553298117844E-
07
1100462 41
08 03609664118463E-
07
1120462 412
080769231 0366696842118194E-
07
1140462 415
081923077 0375478506118902E-
07
1160462 417
082692308 0381458955118713E-
07
1180462 419
083461538 0387541813118562E-
07
1200462 421
084230769 0393728457118447E-
07
1220462 423
085 0400020263118367E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensionalθ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
1240 462 425 085769231 0406418604 11832E-071260 462 428 086923077 0416218883 11925E-07
1280462 429
087307692 04195404118324E-
07
1300462 431
088076923 0426266606118371E-
07
1320462 432
088461538 0429671637117509E-
07
1340462 434
089230769 0436566417117612E-
07
1360461 435
08996139 0443220762117649E-
07
1380461 436
09034749 0446779258116875E-
071400 461 437 090733591 0450367003 11613E-071420 461 438 091119691 0453984172 115414E-
07
1440461 439
091505792 0457630939114726E-
07
1460461 44
091891892 0461307476114063E-
07
1480461 441
092277992 0465013959113426E-
07
1500461 441
092277992 0465013959111913E-
07
1520461 442
092664093 0468750561111328E-
07
1540461 444
093436293 0476314819111656E-
071560 461 445 093822394 0480142822 11111E-07
1580461 446
094208494 048400164110585E-
07
1600461 447
094594595 0487891448110081E-
07
1620461 447
094594595 0487891448108721E-
07
1640461 448
094980695 0491812418108259E-
07
1660461 449
095366795 0495764725107814E-
071680 461 449 095366795 0495764725 10653E-07
1700461 45
095752896 0499748543106123E-
07
172046 451
096511628 0507669681106552E-
07
174046 451
096511628 0507669681105327E-
071760 46 451 096511628 0507669681 10413E-071780 46 451 096511628 0507669681 10296E-07
180046 452
096899225 0511763824102637E-
07
182046 453
097286822 0515890419102328E-
07
184046 453
097286822 0515890419101215E-
07
1860459 454
098054475 0524159795101732E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
620 439 265 026582278 0124973765 72767E-08640 443 271 028630705 0130899624 738356E-08660 446 28 031967213 0140650435 769315E-08680 448 288 03495935 0149578747 794087E-08
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempot (S)
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensional
θ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
700449 297
038461538 016036254827013E-
08
720451 305
041365462 0169665035850682E-
08740 452 314 0448 0181197506 88395E-08
760454 323
048015873 0192619539914943E-
08
780455 331
050988142 0203801963943237E-
08
800457 339
05372549 0214702432968845E-
08
820457 346
056470588 0226277423996173E-
08
840458 353
058984375 0237495698102067E-
07
860459 36
061478599 0249259988104631E-
07
880459 366
06381323 0260884818107022E-
07
90046 371
065503876 0269695615108178E-
07
92046 376
06744186 028022218109957E-
07
94046 381
069379845 0291225666111843E-
07960 461 385 070656371 0298744703 11234E-07
980462 39
072307692 0308802742113753E-
07
1000462 394
073846154 0318520741114986E-
07
1020462 397
075 0326035938115391E-
07
1040462 401
076538462 0336367291116758E-
07
1060462 405
078076923 0347064264118198E-
07
1080462 407
078846154 0352553298117844E-
07
1100462 41
08 03609664118463E-
07
1120462 412
080769231 0366696842118194E-
07
1140462 415
081923077 0375478506118902E-
07
1160462 417
082692308 0381458955118713E-
07
1180462 419
083461538 0387541813118562E-
07
1200462 421
084230769 0393728457118447E-
07
1220462 423
085 0400020263118367E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensionalθ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
1240 462 425 085769231 0406418604 11832E-071260 462 428 086923077 0416218883 11925E-07
1280462 429
087307692 04195404118324E-
07
1300462 431
088076923 0426266606118371E-
07
1320462 432
088461538 0429671637117509E-
07
1340462 434
089230769 0436566417117612E-
07
1360461 435
08996139 0443220762117649E-
07
1380461 436
09034749 0446779258116875E-
071400 461 437 090733591 0450367003 11613E-071420 461 438 091119691 0453984172 115414E-
07
1440461 439
091505792 0457630939114726E-
07
1460461 44
091891892 0461307476114063E-
07
1480461 441
092277992 0465013959113426E-
07
1500461 441
092277992 0465013959111913E-
07
1520461 442
092664093 0468750561111328E-
07
1540461 444
093436293 0476314819111656E-
071560 461 445 093822394 0480142822 11111E-07
1580461 446
094208494 048400164110585E-
07
1600461 447
094594595 0487891448110081E-
07
1620461 447
094594595 0487891448108721E-
07
1640461 448
094980695 0491812418108259E-
07
1660461 449
095366795 0495764725107814E-
071680 461 449 095366795 0495764725 10653E-07
1700461 45
095752896 0499748543106123E-
07
172046 451
096511628 0507669681106552E-
07
174046 451
096511628 0507669681105327E-
071760 46 451 096511628 0507669681 10413E-071780 46 451 096511628 0507669681 10296E-07
180046 452
096899225 0511763824102637E-
07
182046 453
097286822 0515890419102328E-
07
184046 453
097286822 0515890419101215E-
07
1860459 454
098054475 0524159795101732E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
1100462 41
08 03609664118463E-
07
1120462 412
080769231 0366696842118194E-
07
1140462 415
081923077 0375478506118902E-
07
1160462 417
082692308 0381458955118713E-
07
1180462 419
083461538 0387541813118562E-
07
1200462 421
084230769 0393728457118447E-
07
1220462 423
085 0400020263118367E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperaturaadimensionalθ
Tiempo adimensional
τ
Difusividadα m2s
1240 462 425 085769231 0406418604 11832E-071260 462 428 086923077 0416218883 11925E-07
1280462 429
087307692 04195404118324E-
07
1300462 431
088076923 0426266606118371E-
07
1320462 432
088461538 0429671637117509E-
07
1340462 434
089230769 0436566417117612E-
07
1360461 435
08996139 0443220762117649E-
07
1380461 436
09034749 0446779258116875E-
071400 461 437 090733591 0450367003 11613E-071420 461 438 091119691 0453984172 115414E-
07
1440461 439
091505792 0457630939114726E-
07
1460461 44
091891892 0461307476114063E-
07
1480461 441
092277992 0465013959113426E-
07
1500461 441
092277992 0465013959111913E-
07
1520461 442
092664093 0468750561111328E-
07
1540461 444
093436293 0476314819111656E-
071560 461 445 093822394 0480142822 11111E-07
1580461 446
094208494 048400164110585E-
07
1600461 447
094594595 0487891448110081E-
07
1620461 447
094594595 0487891448108721E-
07
1640461 448
094980695 0491812418108259E-
07
1660461 449
095366795 0495764725107814E-
071680 461 449 095366795 0495764725 10653E-07
1700461 45
095752896 0499748543106123E-
07
172046 451
096511628 0507669681106552E-
07
174046 451
096511628 0507669681105327E-
071760 46 451 096511628 0507669681 10413E-071780 46 451 096511628 0507669681 10296E-07
180046 452
096899225 0511763824102637E-
07
182046 453
097286822 0515890419102328E-
07
184046 453
097286822 0515890419101215E-
07
1860459 454
098054475 0524159795101732E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
07
1440461 439
091505792 0457630939114726E-
07
1460461 44
091891892 0461307476114063E-
07
1480461 441
092277992 0465013959113426E-
07
1500461 441
092277992 0465013959111913E-
07
1520461 442
092664093 0468750561111328E-
07
1540461 444
093436293 0476314819111656E-
071560 461 445 093822394 0480142822 11111E-07
1580461 446
094208494 048400164110585E-
07
1600461 447
094594595 0487891448110081E-
07
1620461 447
094594595 0487891448108721E-
07
1640461 448
094980695 0491812418108259E-
07
1660461 449
095366795 0495764725107814E-
071680 461 449 095366795 0495764725 10653E-07
1700461 45
095752896 0499748543106123E-
07
172046 451
096511628 0507669681106552E-
07
174046 451
096511628 0507669681105327E-
071760 46 451 096511628 0507669681 10413E-071780 46 451 096511628 0507669681 10296E-07
180046 452
096899225 0511763824102637E-
07
182046 453
097286822 0515890419102328E-
07
184046 453
097286822 0515890419101215E-
07
1860459 454
098054475 0524159795101732E-
07
Tabla 3 Continuacioacuten
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
Tiempo t s
Temperatura del agua
degC
Temperatura glicerina
degC
Temperatura
adimensionalθ
Tiempoadimensional
τ
Difusividadα m2s
1880 459 454 098054475 0524159795 10065E-071900 459 455 09844358 0528400658 100396E-071920 459 455 09844358 0528400658 993503E-081940 459 455 09844358 0528400658 983261E-081960 459 455 09844358 0528400658 973228E-081980 459 455 09844358 0528400658 963397E-082000 459 455 09844358 0528400658 953763E-082020 459 456 098832685 0532674932 951959E-082040 458 456 09921875 0536949009 950189E-082060 458 457 099609375 0541307399 948602E-082080 458 458 1 05457 947104E-082100 458 458 1 05457 938084E-082120 458 458 1 05457 929234E-082140 458 458 1 05457 92055E-08
Promedio
97944110-
08
Promedio El promedio de la difusividad se hizo tomando en cuenta solo el aacuterea sombreada para valores de temperatura adimensional de 0 a 1 regioacuten con la que se trabaja en la figura 2 del apeacutendice
Tabla 31 Difusividad teoacuterica a diferentes temperaturas
T (degC)
Densidad (Kgm^3)
calos especifico JKgdegC
Conductividad teacutermica WmdegC
difusividad teacutermica m2s
20 1264 2386 0286 948306E-0830 1258 2445 0286 929836E-0840 1252 2512 0286 909373E-0850 1245 2583 0287 892459E-08
Promedio 919994E-08
Tabla 4 Comparacioacuten de difusividades
Difusividad teacutermica promedio 97944110-08 m2sDifusividad teoacuterica 91999410-08 m2s error 45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
ANAacuteLISIS DE RESULTADOS
La conduccioacuten de calor soacutelo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor La rapidez de transferencia de calor estaacute dada por la ley de la conduccioacuten de calor de Fourier
La conduccioacuten es el fenoacutemeno consistente en la propagacioacuten de calor entre dos cuerpos o partes de un mismo cuerpo a diferente temperatura debido a la agitacioacuten teacutermica o movimiento molecular aleatorio no existiendo un desplazamiento real de estas como en el caso de transmisioacuten de calor entre el agua y el material del cilindro interior y la glicerina Mientras que la conveccioacuten es la transmisioacuten de calor por movimiento macroscoacutepico del fluido Este fenoacutemeno soacutelo podraacute producirse en fluidos en los que por movimiento puedan las partiacuteculas desplazarse transportando el calor sin interrumpir la continuidad fiacutesica del cuerpo Tal movimiento puede ser natural (diferencia de densidades) como es el caso de la glicerina en movimiento convectivo dentro del cilindro interior en el intercambiador de calor o por circulacioacuten forzada (con la ayuda de ventiladores bombas etc)
La difusividad teacutermica estaacute dada por la relacioacuten matemaacutetica (ecuacioacuten 1 y 2) de la densidad y capacidad caloriacutefica de una sustancia en funcioacuten de la temperatura
El significado fiacutesico de la difusividad teacutermica corresponde al producto de una cierta velocidad de propagacioacuten de la onda teacutermica por una cierta dimensioacuten de penetracioacuten de la misma Es una medida de la facilidad o dificultad de propagacioacuten de una onda teacutermica en un cuerpo (Manuel Zamora 1998)
El valor de la difusividad teacutermica de un material controla la tasa de tiempo de los cambios de temperatura a medida que el calor pasa a traveacutes de un material (Kenneth J Anusavice 2004)
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde α Difusividad teacutermicaK Conductividad teacutermica Wm degCρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
Entonces las unidades de la difusividad teacutermica son
α [iquest ]
WmdegCKg
m3 lowastJ
KgdegC
[iquest ]
WmdegCJ
m3deg C
[iquest ]Wm3 deg CJ mdegC
[iquest]Wm2
J
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
Pero watts estaacute definido por Js entonces
α [iquest ]
Jsm2
J
α [iquest] m2
s
La difusividad teacutermica experimental de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 2 de la cual se realiza un anaacutelisis dimensional
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Dondeτ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fouriert Tiempo en el que transcurre el calentamiento sR Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
Cuando el producto de la capacidad caloriacutefica y la densidad de la sustancia es alto la difusividad teacutermica seraacute baja aun cuando la conductividad teacutermica sea relativamente alta
Tal como se indica en el apeacutendice el tiempo adimensional (Fo) se obtuvo a partir de la graacutefica de la figura 2 del apeacutendice El meacutetodo graacutefico es efectivo solo si se tiene un programa para sacar exactamente cada tiempo adimensional porque de lo contrario nuestra obtencioacuten de los nuacutemeros adimensionales seriacutea muy inexacta debido a los errores sistemaacuteticos Los meacutetodos graacuteficos no son muy exactos porque solo son aproximaciones algo maacutes exacto seriacutean los meacutetodos numeacutericos tal como se indica en el apeacutendice donde se explica coacutemo se elaboroacute una regresioacuten polinomial de grado tres al ajustar tiempo y temperatura adimensionales a una funcioacuten que permite interpolar valores de tiempo adimensional a partir de valores de temperatura adimensional conocidos
La validez del meacutetodo para la obtencioacuten de tao radica en las condiciones dadas en el sistema en tanto el proceso de transferencia de calor ha recieacuten comenzado y no ha alcanzado el otro extremo del sistema el nuacutemero de Fourier seraacute mucho menor que 1
Material Homogeacuteneo Material Isoacutetropo Las propiedades del material no cambian fuertemente con la temperatura en
el rango de temperaturas del problema No se realiza trabajo de contraccioacuten o dilatacioacuten debido a procesos teacutermicos
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
No hay fuentes internas de calor
ldquoMaterial Isoacutetropo Cuerpos que no presentan direcciones privilegiadas a la conduccioacuten de calorrdquo (Esplugas 2005)
1048698Al aumentar la razoacuten (ecuacioacuten 2) con el tiempo significa que el estado estacionario se acerca1048698Si Folt1 el proceso de conduccioacuten acaba de comenzar y no se ha alcanzado estado estacionario
Luego de iniciar el proceso o al hacer un cambio en eacuteste habraacute un periacuteodo de tiempo antes de alcanzar el estado estacionario Para una posicioacuten x cuando el nuacutemero de Fourier local ha alcanzado 01 un cambio pequentildeo pero medible (5) de temperatura ha ocurrido
Tanto la conductividad caloriacutefica la conductividad teacutermica como la difusividad teacutermica son coeficientes de transporte que caracterizan a los materiales e indican si son buenos o malos conductores de calor Son paraacutemetros importantes para predecir la transferencia de energiacutea teacutermica a traveacutes de un sistema o un material
Con la obtencioacuten de datos obtenidos mediante el procedimiento para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de la muestra problema se calculoacute la difusividad para cada cambio de temperatura y posteriormente un promedio la comparacioacuten se da en la tabla 4 donde tambieacuten se indica una pequentildea desviacioacuten de la difusividad experimental respecto a la difusividad teacutermica teoacuterica del 45344 Este error puede deberse a que quizaacutes la glicerina no tiene el grado de pureza requerido a que la medicioacuten de temperatura del agua se haciacutea en el bantildeo y no directamente en el interior de la chaqueta Tambieacuten cabe la posibilidad de que los termoacutemetros no estuvieran bien calibrados
El material del cual estaacute hecho el intercambiador de calor es el cobre el cual es el mejor conductor de calor por lo cual las resistencia a la transferencia de calor podriacutean considerarse despreciables sin embargo el dispositivo usado durante el ensayo tiene ya tiempo de uso prolongado lo que conlleva a una acumulacioacuten de sales y precipitados adheridos a las paredes del cilindro esto afecta directamente el flujo libre de la transferencia de calor aumentando la resistencia (factor de ensuciamiento) Otros factores a considerar en el anaacutelisis del error es el tipo de material de las mangueras pues todo material tiene propiedades termodinaacutemicas especiacuteficas seguramente el material de la manguera interactuoacute con el agua en flujo intercambiando calor afectando la temperatura real que llegaba al interior de la chaqueta difiriendo de la lectura de temperatura en el bantildeo Por propia naturaleza del sistema cuando el agua cede calor a la glicerina de temperatura menor sale menos caliente en el flujo de salida por consiguiente a mayor densidad y viscosidad que en el flujo de entrada lo que de alguna manera se genera un diferencial de velocidades de flujo de agua siendo maacutes lenta en la salida que en la entrada
Sin embargo ya que el coeficiente de correlacioacuten obtenido en la regresioacuten polinomial (ver graacutefico 2 en el apeacutendice) es 1 eacutel meacutetodo usado para la determinacioacuten de difusividad teacutermica se siguioacute al pie de la letra y el valor de difusividad experimental no difiere en gran medida del teoacuterico podemos atribuir a un error sistemaacutetico es decir errores propios de los instrumentos de medicioacuten
Es importante determinar el porciento error ya que asiacute nos damos cuenta que tan eficiente es el meacutetodo para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica de cualquier sustancia que en este caso fue la glicerina
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
Conclusiones
Se determinoacute experimentalmente la difusividad teacutermica de la glicerina en un sistema de reacutegimen de estado no estacionario con un error del 45344 con lo que podemos concluir que el meacutetodo para determinar difusividad teacutermica es confiable Dentro del intercambiador de calor ocurren dos mecanismos de transferencia de calor el primero es de conveccioacuten por el calentamiento de los fluidos y el otro es por conduccioacuten
La transferencia de calor se puede llevar a cabo en varias direcciones y en reacutegimen no estacionario
El error depende tanto de la naturaleza del sistema de ensayo el manejo de los resultados asiacute como de los instrumentos de medicioacuten empleados
La difusividad teacutermica la conductividad teacutermica y la densidad se modifican a diferentes temperaturas
La difusividad teacutermica es un paraacutemetro de suma importancia en la industria farmaceacuteutica porque de eacuteste depende la seleccioacuten del tipo de material a emplear en tuberiacuteas y en la fabricacioacuten de intercambiadores de calor velocidad de flujo el transporte de calor de un fluido y la interaccioacuten con otro fluido asiacute como tambieacuten los tipos de biorreactores a utilizar en procesos fermentativos o reacciones que absorben o liberan calor asiacute como resulta interesante conocer las propiedades aquiacute estudiadas en materiales soacutelidos para almacenar energiacutea En la industria alimentaria la difusividad teacutermica tambieacuten juega un papel importante en la seleccioacuten de los paraacutemetros antes mencionados en el disentildeo de procesos de pasteurizacioacuten
Bibliografiacutea
-Bird R Stewart W y Lightfoot Fenoacutemenos de transporte 1ordf ed Editorial Reverteacute Meacutexico 2006 pp 11-6
-Cengel Y y Boles M Termodinaacutemica 6ordf ed Editorial McGraw-Hill Meacutexico 2006 pp 69
-Kenneth J Anusavice Ralph W Phillips Phillips ciencia de los materiales dentales 1ordf ed Editoriales Elsevier Espantildea 2004 pp 53
- Zamora Carranza Manuel Termo I un estudio de los sistemas termodinaacutemicos 1ordf ed Universidad de Sevilla 1998 Pp 117
-Petrucci R Harwood W y Herring F Quiacutemica general 8ordf ed Pearson Espantildea 2003 pp 54
-Smith J Van Ness H y Abbott M Introduccioacuten a la termodinaacutemica en ingenieriacutea quiacutemica 5ordf ed McGraw-Hill Meacutexico 1997 pp 134-136
-Welty JR Fundamentos de transferencia de momento calor y masa Limusa Meacutexico 1972 pp 15-19
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
- Incropera Frank P Fundamentos de transferencia de calor 4deg edicioacuten Editorial Pearson Educacioacuten Meacutexico 1999 pp3-24
- Esplugas Vidal Santiago Fundamentos de transmisioacuten de calor 1deg edicioacuten Edicions Universitat Barcelona Espantildea 2005 pp 7-14
- Kreith Frank Manglik Raj M Principios de transferencia de calor 7deg edicioacuten Cengage Learning Editores Meacutexico 2012 pp 2-27
-Ingeniero Macavilvca Edwin Transferencia de calor Estado libre
Apeacutendice
Memoria de caacutelculo
Calculo de la temperatura adimensional
Ejemplo
θ=331deg Cminus202deg C455 degCminus202 degC
=050988142
Caacutelculo del tiempo adimensional
Para calcular el tiempo adimensional se empleoacute la figura 2 donde se interpolaron los valores obtenidos de temperatura adimensional en un valor de rR2=0 ya que el termoacutemetro se encontraba en el centro del cilindro y se obtuvieron los valores de τ (tiempo adimensional)
Se realizoacute una regresioacuten polinomial de grado tres tomando como puntos (θ τ) aquellos que son maacutes evidentes en la figura 2 e indicados en la tabla 5 y graficados en la figura 3
Doacutende
T(t)= temperatura de fluido problema a diferentes tiempos degCT0 = Temperatura inicial del fluido problema degC
T1 = Temperatura del fluido de calentamiento degC
Para el tiempo t= 780 s
T(t)= 203 degCT0 = 202 degC
T1 = 329 degC
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
Temperatura adimensional
θ
Tiempoadimensional
τ0 004
018 0105 02
085 04
Figura 2
Tabla 5 Puntos (θ τ) maacutes evidentes de la figura 2
Figura 3 Regresioacuten polinomial de grado 3 de los Perfiles de temperatura para la conduccioacuten de calor en reacutegimen no
estacionario en un cilindro para tgt0 y rR=0
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
0 01 02 03 04 05 06 07 08 090
005
01
015
02
025
03
035
04
045
f(x) = 0503679083573727 xsup3 minus 0384168443496801 xsup2 + 0386164450854969 x + 004Rsup2 = 1
Axis Title
Axis Title
Tal como se observa en la figura 3 el coeficiente de regresioacuten R2 vale 1 valor que nos indica una muy buena regresioacuten de los puntos considerados para tal fin Tambieacuten en la figura 3 se indica la ecuacioacuten de la funcioacuten cubica que relaciona el tiempo a la temperatura adimensional a partir de la cual se hacen las interpolaciones pertinentes seguacuten valga la temperatura adimensional
Por ejemplo
Para θ=050988142
Simplemente se sustituye el valor de θ=050988142 en todas las variables x de la ecuacioacuten para obtener el valor de y variable correspondiente al tiempo adimensional
y=05037lowastx3minus03842lowastx2+03862lowastx+004
Entonces
y=05037(050988142)3minus03842lowast(050988142 )2+03862(050988142)+004
y=0203801
Que equivale a decir τ=0203801
Sin embargo recordemos que el meacutetodo de miacutenimos cuadrados para interpolar es muy confiable como en eacuteste caso tal como ya se ha dicho sin embargo es tambieacuten un meacutetodo numeacuterico de aproximacioacuten
Caacutelculo de la difusividad teacutermica experimental
Para obtener la difusividad teacutermica experimental a partir de los valores de tiempo adimensional y el radio del cilindro se empleoacute la ecuacioacuten 2
τ=αlowasttR2
hellipec 2
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
Donde
τ Tiempo adimensional o nuacutemero de Fourier
t Tiempo en el que transcurre el calentamiento s
R Radio del cilindro desde el centro a la superficie del cilindro m
Se despeja la difusividad α
α=(τlowastR2 )
t
Ejemplo
Con
t=780 sR=0019mτ=0203801963
α=0203801963lowast00192
780 s=943237lowast10minus08m2s
Caacutelculo de la difusividad teacutermica teoacuterica
La difusividad teacutermica teoacuterica de las sustancias se calcula a partir de la ecuacioacuten 1
α= KρlowastCp
hellipec 1
Donde
α Difusividad teacutermica
K Conductividad teacutermica Wm degC
ρ Densidad de la sustancia kgm3
Cp Capacidad caloriacutefica de la sustancia JKg degC
T degC Densidad
Cp K DifusividadLa difusividad teoacuterica se calculoacute en un rango de temperaturas de 20 a 50 degC rango de temperaturas semejante al trabajado en la experimentacioacuten
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344
Kgm3 JKg degC Wm degC m2s
20 1264 2386 0286 948306E-08
30 1258 2445 0286 929836E-08
40 1252 2512 0286 909373E-08
50 1245 2583 0287 892459E-08
promedio 919994E-08
Tabla 6 Calculo de la difusividad a diferentes temperaturas
Caacutelculo del error
error=|difusividad teoacutericaminusdifusividad experimental|
difusividad teoacutericalowast100
error=|919994lowast10minus08minus979441lowast10minus08|
919994lowast10minus08 lowast100=45344