CAMINOS ALEATORIOS Y ESTRUCTURAS DE

MACROMOLÉCULAS

MAURY MANUEL BAUTISTA SILVA

OBJETIVOS GENERALES• Mostrar la idea de caminos aleatorios y su utilidad en la caracterización

biológica de macromoléculas.

• Estudiaremos estructuras desde el punto de vista estadístico

• Dogma central verdadero de la biología central (secuencia y consecuencia):

"La secuencia determina la estructura; la estructura determina la función"

• Culminar en una densidad de probabilidad y utilizarla para calcular propiedades de las estructuras.

CAMINO ALEATORIO• Es una formalización matemática de la trayectoria que

resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios.

• Es cualquier proceso aleatorio donde la posición de una partícula en cierto instante depende sólo de su posición en algún instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecuente dirección y la longitud de paso.

ESTRUCTURAS"LA SECUENCIA DETERMINA LA ESTRUCTURA; LA

ESTRUCTURA DETERMINA LA FUNCIÓN"

• Es necesario estudiarlas para comprender la dinámica funcional.

• Generalmente, es mejor hacer una descripción estadística de las estructuras.

• Estructura: Caja monótona regular de átomos en celdas unitarias.

• Una estructura es el conjunto (r1, r2, r3, ..., rN) donde ri = (xi, yi, zi) es el vector de posición del i-ésimo átomo en la molécula de N átomos.

MACROMOLÉCULAS COMO CAMINOS ALEATORIOS

• Caracterizaremos la geometría de una macromolécula con la función r(s).

• Polímeros: macromoléculas compuestas por una o varias unidades químicas (monómeros) que se repiten a lo largo de toda una cadena.

• Discretizaremos un polímero en una serie de segmentos de longitud a, y trataremos cada uno como una barra rígida.

Figura. Modelo de camino aleatorio para polímeros con segmentos de

longitud a .

Correspondencia entre estructura real y la idealización en términos del modelo de caminos aleatorios.

• Haremos un análisis de los caminos aleatorios en una dimensión, luego generalizaremos estas ideas.

• Imaginaremos un arreglo de camino aleatorio confinado a una dimensión con longitud a de cada barra y con N segmentos.

• Se construye como una secuencia de pasos izquierdos y derechos.

• Las probabilidades de cada paso son pi = pd = 1/2.

• Total: 2^N macromoléculas diferentes, cada una con probabilidad 1/(2^N).

- Pasos derechos.- Pasos izquierdos.- Combinación de pasos derechos e izquierdos.

• Calcularemos la distancia media del camino aleatorio en función del número de segmentos.

• Partiremos de la varianza, dada por la ecuación (1), donde xi es el desplazamiento en el camino aleatorio debido a un paso derecho (a) o izquierdo (-a).

• Por la independencia de xi y xj, el segundo término de (1) es cero.

• Sustituyendo (2) en (1) obtenemos que la distancia media es dada por (3).

Ecuaciones para la obtención de la distancia media del camino

aleatorio.

• Analizaremos ahora la probabilidad de dar nr pasos derechos.

• El número caminos posibles W que pueden dar nr pasos derechos es dado por la combinatoria de pasos derechos nr con los pasos totales N:

Ejemplo de pasos derechos posibles para cuando hay 3 barras, es decir,

N=3.

NOTA: Tenemos como objetivo llegar a una distribución de probabilidad.

• La probabilidad de que cada camino aleatorio ocurra es dada por:

• En términos de la distancia media R:

Gráfica de la densidad de probabilidad p(R; N)

DENSIDAD DE PROBABILIDAD

• Para una dimensión:

• Para tres dimensiones:

• Obtenidas de varias manipulaciones algebraicas, estas densidades de probabilidad describen la estructura de polímeros largos .

APLICACIONES

• Usando el modelo de caminos aleatorios encontramos la relación entre la longitud del camino aleatorio y el número de segmentos de Kuhn:

<R> = aL

L = Na

con a = 2(ji)

• Cálculos ver documento anexo.