evalúe las siguientes integrales - soluciones de ingenio...expresemos el integrando en ( ) como una...

$: Evalúe las siguientes integrales - Soluciones de Ingenio...Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales: 1 ... se resuelve por sustitución trigonométrica,$
Evalúe las siguientes integrales:

22

22

2 2 22

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 9

Solución- :

1 ( )9

1 1 ( ),3 39

1 ,3 33 3 3 3

1 3 3 3 3 3

J

3

uan Beltrán

,

1 6

1

9 9

2

dxx

dxx

x xx

A B C Dx xx x x x

A x B x x C x D x x

A x x B x x

1.

2 2

2 3 2 2 3

2

3 2

3 6 9 9 3 ,

1 6 9 3 9 27 6 9

3 9 27 ,

1 3 3 6 9 6 9

9 27 9 27 ( )

Como ( ) es una

3

2 iden

C x x D x x

Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx C Dx

Dx Dx D

B D x A B C D x A B C D x

A B C D

tidad, los coeficientes del miembro izquierdo deben

ser iguales a los correspondientes del miembro derecho; de tal manera que:

0

3 3 0

6 9 6 9 0

9 27

B D

A B C D

A B C D

A

( )

9 27 1

La solución del sistema de 4 4 ( ), es:

1 1 1 1 , , , ( )36 108 36 108

Sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene la forma de fracciones parci

4

3

5

5 2 ales del integrando en ( )1 ;

B C D

A B C D

2 2

2 2

22

de tal manera que:

1 1 1 1 108 3 108 336 3 36 3

1 1 1 1 1 1 1 1 ,36 108 3 36 108 33 3

1 1 1 1 1 1 1 ln 3 ln 3 ,36 3 108 36 3 1089

dxx xx x

dx dx dx dxx xx x

dx x x Cx xx

22

2 22

1 1 1 1 1 3 ln ;36 3 3 108 39

1 1 3ln108 3 18( 9)

.9

x x

xdx Cx x xx

dx Cx xx

4

4

4

4

1

Solución- :

( )1

Dividimos el integrando en ( ), para hallar la parte entera y la fracciónpropia, luego expresamos dicha fracci

Jua

ón como una suma de

n Beltrán

frac

1

1cion

x dxx

x dxx

2.

4

4 4

4 2 2 2

22

2 2 2

3 2

esparciales:

1 1 ( )1 1

1 1 1 ,1 1 1 1 1 1

1

2

3 ( ),1 1 11 1 1

1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( )( 1),

1

xx x

x x x x x x

A B Cx Dx x xx x x

A x x B x x Cx D x

Ax Ax Ax A B

3 2 3 2

3 2

,

1 ( ) ( ),

Como ( ) es una identidad, los coeficientes de ambos miembros son respectivamente iguales; de tal man

4

4era que:

0

x Bx Bx B Cx Dx Cx D

A B C x A B D x A B C x A B D

A B C

0

( ) 0

1

La solución del sistema ( ) es:

1 1 1 , , 0, 4 4 2

Sustituyendo los valores anteriores

5

5

3 2en ( ), luego en ( ), la integral 1(

A B D

A B C

A B D

A B C D

41

4

4

4 2

4

4 2

41

4

)queda:

1 1 1 1 ,1 4 1 4 1 2 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1ln t

,4 1 4 1 21 1

1 1 1 ln 1 ln 1 tan ;4 4

an4 1

21

21

x dx dxx x x x

x dx dx dx dx dxx

x xdx x x

xx xx dx x x

x

x Cx

x

x

.C

4 2

22 2

4 2

22 2

4 2

2 2 22 2 2

1 1 4

Solución- :

1 ( )1 4

Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales:

1

Juan Belt

11 4

1

1

r n

4

á

t t dtt t

t t dtt t

t t At B Ct D Ettt t t

3.

2

24 2 2 2 2 2

4 2 4 2 2 4 2

4 2 5 4 3 2 3 2

5

( ),4

1 4 1 1 4 ,

1 8 16 1 5 4 ,

1 8 8 16 16

2

Ft

t t At B t Ct D t Et F t t

t t At B t t Ct D t Et F t t

t t At Bt At Bt At B Ct Dt Ct D

Et Ft

4 3 2

4 2 5 4 3 2

5 5 4 4 ,

1 8 5 8 5

16 4 16 4 ( ),3

Como ( ) es una identidad, los coeficientes de ambos miembros son respectivame t

3n e

Et Ft Et F

t t A E t B F t A C E t B D F t

A C E t B D F

iguales; de tal manera que:

0

1

8 5 0 ( )

8 5 1

16 4 0

16 4 1

La solución del sistema ( ) es:

0,

4

4

A E

B F

A C E

B D F

A C E

B D F

A B

4 2

2 22 22 2 2

4 2

2 22 2

1 13 8, 0, , 0, 9 3 9

Sustituyendo los valores anteriores en ( ), la integral ( )queda:

1 1 13 8 ,9 1 9 41 4 3 4

1 1 1 13 1 9

2 1

311 4

C D E f

t t dt dtt tt t t

t t dt dttt t t

2 22

4 21 1

12 22 2 2

4 21 1

12 22 2 2

2

2

8 1 ,9 44

1 1 13 1 8 1 tan tan ,9 3 9 21 4 4

1 1 13 1 4 tan tan ( )9 3 91 4 4

5

t

t

dt dtt

t t dt t dt Ct t t

t t dt t dt Ct t t

2 22 2

2

2

La integral en ( ) se resuelve por sustitución trigonométrica, veamos:

1 ( )4 4

Sea

2 tan , 2sec ( )

Sustitiuyendo ( ) en ( ), s

5

6

7

7 e obtiene:

1

6

dtdtt t

t dt d

t

2 2 2

2 2 2 22 2 2

22 2 22 2

2sec 2sec 1 sec ,84 4 tan 4 16 tan 1 sec

1 1 1 1 cos ( )8 8sec4 4

La integral en ( ) se resuelve por el método de integración por partes:

8

8

d d ddt

ddt dt dt t

2

2 2 2

2 2

cos cos cos

Sea

cos , sen

cos , sen

De tal manera que:

cos sen cos sen sen cos (1 cos ) ,

cos sen cos cos ,

d d

u du d

dv d v

d d d

d d d

2

2

22

22

2 cos sen cos ;

1 1cos sen cos ( )2 2

sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene:

1 1 1 1 sen cos ,8 2 2

9

9

4

1 1 1 sen cos ( )16 164

De

8

10

7 ( ), se tiene

d c

d C

dt Ct

dt Ct

1

que:

2 tan tan tan ( / 2) ( )2

2 tan tan : con este dato se construye el triángulo2

rectángulo que aparece en la

11

:Fig.1

tt t

tt

2 2

12 2 22

22

2

Del triángulo rectángulo de , se deduce que:

2 sen , cos ( )4 4

sustituyendo ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:

1 1 2 1 tan ,16 164 44

1

12

1

1 12

F g

1

.

4

1

0

i

t

t

t t

tdt Ct tt

dtt

12

4 21 1 1

2 22 2

4 21

2 22 2

2 2

1 1 tan ( / 2) ( )8 164

Por último, sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene:

1 1 13 1 1 4tan tan tan ;9 3 8 16 941 4

1 1 13 13 tan9 24 41 4

13

13 5

t t

t t Ct

t t tdt t Ctt t

t t tdt ttt t

4 2

1 12 2

1

2

1

2

2 2

21 1 13 25tan tan

9 24 14441 4

4tan tan ;48 9

.

t t

tt t tdt t Ctt t

C

6

Solución- :

6 6

Juan

1 ;6 6 6

6 ln 6 .

Beltr n

6

á

x dxx

x d

x d

x dx dx dxx x x

x x x Cx

4.

9 5 2

Solución- :

9 ( )5 2

Expresemos el integrando como una sum de fracciones parciales:

9 ( ),5 25 2

9 5 2

Juan Beltrán

55

1

2

2

52

x dxx x

x dxx x

x A Bx xx x

x Ax x x xxx x

5.

,2

9 ( 2) ( 5) 9 2 5 ,

9 2 5 ( )

como ( ) es una identidad, los coeficientes del miembro izquierdo son igualesa los correspondientes del miembro der

3e

3

Bx

x A x B x x Ax A Bx B

x A B x A B

cho; de tal modo que:

1 ( ) ( )

2 5 9 (

i4

ii)

A B

A B

Para resolver el sistema ( ), multiplicamos la ecuación ( ) por 2 y, laecuación resultante, la sumamos con la ( ):

2 2 2 2 5 9

7 7 1 (

4 iii

5),

1 1

A BA B

B B

A

( ) en ( ) ;

2 ( )

Sustituyendo ( ) y ( ) en ( ) la integral ( ) queda:

9 2 1 1 1

9 2 ln 5 ln 25 2

4 ii

2 ;5 2 5 25 2

6

5 6 2 1

.

A

x dx dx dx

x dx x x Cx

dxx x x xx x

x

3

22

3 3

22 2

1 1

Solución- :

1 1 ( )1 1 1

1 ( ),1 11 1

1 1 1 ,1 1

1 ( 1) ( 1) 1 ,

Juan Beltrán

1 ( )

1

(

2

dxx

dx dxx x x

A Bx xx x

A Bx xx x

A x B x Ax A Bx B

A B x A B

6.

) ( );

0 ( ) ( )1

1 2 1 ( )2


1 1 0 ( )2 2

Susitiuyendo ( ) y ( ) en ( ), la in

3

iii

4

4 i

5

4 5 2 tegral definida ( ) queda:

1

A BA B

A A

B B

3 3 3

22 2 2

33

222

1 1 1 1 1 1 21 2 1 2 1 1 1

Aplicamos el Teorema fundamental del cálculo para obtener:

1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 1 ln ln ln ln ln2 1 2 3 1 2 1 2 41

dx dx dxx x x x x

xdxxx

3 3

2222

,3

1 1 1 1 ln ln .2 2 3

1 1 3ln2 211

dxx

dxx

2

2

2

Juan Beltrán

Solución- :

;

.ln

ax dxx bx

ax ax adx dx dxx b

ax dx a x b Cx bx

x x x b x b

7.

3 24

3 23

3 24

3 23

3 2 3 2

3 2

2 4 2

Solución- :

2 4 ( )2

Como el numerador y denominador en ( ) son del mismo grado,efectuamos la división:

2 4 2

Juan

2

1

Beltr n

1

á

x x dxx x

x x dxx x

x x x xx x

8.

3 2

3 2 3 2 2

22

2 22

22

1 4

2 4 4 4 1 1 ( )2 2 2

4 ( ),22

4 2 4 2 ,2

2

4 2 42

3

x xx x x x x x

Ax B Cxxx x

Ax B Cx x Ax B x Cxxx

Ax B Cx x Axx

2 2

2 2 2

2 2 ,

4 2 2 4 2 2 ;

0

2 0 ( )

2 4

la solución del sistema ( ) es:

1, 2, 1

sustituyendo estos

4

valo

4

x Ax Bx B Cx

Ax Bx Ax B Cx A C x A B x B

A C

A B

B

A B C

3 24 4 4

3 2 2 23 3 3

3 24 4

3 2 23 3

res en ( ), la integral ( ) queda:

2 4 2 1 2 1 1 1 ,2 22

2 4 1 2 1 122

aplicando el teorema fundam t

3 1

en

x x x xdx dx dxx xx x x x

x x dx dxx xx x x

al del cálculo, se tiene que:

43 24

3 233

3 24

3 23

3 24

3 23

2 4 2 ln ln( 2)2

2 2 4 ln 4 ln(4 2) 3 ln 3 ln(3 2) ,4 3

2 4 1 2 4 2 ln 2 ln 2 3 ln 3 ln1 ,2 32

2 4 4 ln 22

x x dx x x xxx x

x x dxx x

x x dxx x

3 24

3 23

3 24

3 23

1 23 ln 3 0 ,2 3

2 4 1 2 4 ln 2 3 ln 3 ,2 32

2 4 2 7l .n3 62

x x dxx

x x dx

x

x x

22

1

22

1

2

4 7 12

( 2)( 3)

Solución- :

4 7 12 ( )

( 2)( 3)

Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales

1

1 :

4 7 12

Juan

( 2)( 3

Bel r n

)

t á

y ydy

y y y

y ydy

y y y

y y A By y y y y

8.

2

2

2 2 2 2

2 2

( ),2 3

4 7 12 ( 2)( 3) ,2 3

4 7 12 ( 2)( 3) ( 3) ( 2),

4 7 12 6 3 2 ,

4 7 12 3 2 6 ;

2Cy

A B Cy y y y yy y y

y y A y y By y Cy y

y y Ay Ay A By By Cy Cy

y y A B C y A B C y A

4

3 2 7 ( )

6 12


9 1 2, , 5 5

sustituyendo estos valores en ( ), la integral definida

3

3

2 ( ), q1 ueda:

A B C

A B C

A

A B C

22 2

1 1

222

11

22

1

4 7 12 2 9 1 ,( 2)( 3) 5 2 5 3

4 7 12 9 1 2 ln ln 2 ln 3 ,( 2)( 3) 5 5

4 7 12 9 1 9 12ln 2 ln(2 2) ln 2 3 2ln1 ln(1 2) ln 1 3( 2)( 3) 5 5 5 5

y ydy dy

y y y y y y

y ydy y y y

y y y

y ydy

y y y

2

22

1

2

1

22

1

4 7 12 9 1 9 1 2 ln 2 ln 4 ln1 2ln1 ln 3 ln 2 ,( 2)( 3) 5 5 5 5

4 7 12 18 9 1 2 ln 2 ln 2 0 0 ln 3 ln 2 ;( 2)( 3) 5 5 5

4 7 12 27 9ln 2 ln 3( 2)( 3)

.5 5

y ydy

y y y

y y

y ydy

y

dy

y

y y y

y

2

2

2 2

1 ( 5) ( 1)

Solución- :

1 ( )( 5) ( 1)

Expresemos el integrando de ( ) como una suma de fracciones parciales:

1 ( ),( 5) 1( 5) ( 1) ( 5)

Juan Beltr

1

1

án

2

dxx x

dxx x

A B Cx xx x x

9.

22

2

2 2

2

1 ( 5) ( 1) ,( 5) 1( 5)

1 ( 1) ( 5)( 1) ( 5) ,

1 4 5 10 25 ,

1 4 10 5 25 ( )

en la identidad ( ), los coefici

3

3 entes resp

A B Cx xx xx

A x B x x C x

Ax A Bx Bx B Cx Cx C

B C x A B C x A B C

ectivos de los términos de ambosmiembros deben ser iguales; de tal manera que:

0

4 10 0 ( )

5 25 1


1 1 , 6 36

4

4

B C

A B C

A B C

A B

2 2

2 2

2

1, 36

sustituyendo estos valores en ( ), la integral ( ) queda:

1 1 1 1 ,36( 5)( 5) ( 1) 6( 5) 36 1

1 1 1 1 1 1 1 ,6 36 ( 5) 36 1( 5) ( 1) ( 5)

1

2 1

( 5)

C

dx dxxx x x x

dx dx dx dxx xx x x

x

2

1 1 1 1ln 5 ln 1 ;6 ( 5) 36 36( 1)

.1 1 1 1ln6( 5) 36 5( 5) ( 1)

dx x x C

xdx Cxx

x

xx

x

3

2

3

2

3 2

3

4 4

Solución- :

4 ( )4

Dividimos el integrando, pués el grado del polinomio del numerador esmayor que el del denominador:

4 4 4

Juan Belt

1

rán

x dxx

x dxx

x xx x

10.

3

2 2

3

12 2 2 2

22

4 4

esto es:

4 4 4 ( )4 4

sustituimos ( )

en ( ):

4 4 4 4 4 ( )4 4 4 4

1 (

2

2

1

24)

4

3

xx

x xxx x

x x xdx x dx xdx dx dx Cx x x x

xdx x C

x

�

�

2

2

23 32

2232

12 2 2 2

( )4

sea

4, 2 2 4 ( ),

4 2 2 ln ln ( ) en ( ) ,

5

6

6 5

44 ln 4 ( )

4

4 1 14 4 tan2

24

7

x

dxx

u x du xdx du xdx

xdx du u C u Cux

xdx x Cx

dx dxx x

�

14 4

3 22 2 12

2

2

2 tan ( )

Sustituyendo ( ), ( ) y ( ) en ( ), y reuniendo las constantes en , se tiene:

4 1 ln 4 2 tan24

8

4 7 8 3

.

x

xx dx

C C

x x Cx

C

2

3 2

2 2

3 2 2

2

22

5 3 2 2

Solución- :

5 3 2 5 3 2 ( )2 2

Expresemos el integrando como una suma de fracciones parciales:

5 3

Juan

2

Beltrá

1

(2)2

n

2

x x dxx x

x x x xdx dxx x x x

x x Ax B Cxxx x

11.

2 22

2 2

2 2 2

2 2

,

5 3 2 2 ,2

5 3 2 2 ,

5 3 2 2 2 ,

5 3 2 2 2 ( )

En la identidad ( ), se cumple:

5

2

2

2

Ax B Cx x x xxx

x x Ax B x Cx

x x Ax Ax Bx B Cx

x x A C x A B x B

A C

2

3 2 2 2

3 ( )

2 2


2, 1, 3

sustituyendo estos valores en (2), (1) queda:

5 3 2 2 1 3 2 1 3 2

3

22

3A B

B

A B C

x x xdx dx dx dx dxx x xx x x x

2

3 2

5 3 2 12

;

ln 3l 2 2

.nx x dx x x Cxx x

2

2

22

2

10 1 9

Solución- :

10 ( )1 9


10 ( ),1 91 9

Juan

10 1 9

Beltrá

1

1

n

2

dxx x

dxx x

A Bx Cx xx x

A Bx Cx xx

12.

22

2 2

2

10 9 1 ,9

10 9 ,

10 9 ( )

como ( ) es una identidad, los coeficientes de ambos m

3

iembros sonrespectivamente congruentes; de tal manera

3

A x Bx C xx

Ax A Bx Cx Bx C

A B x B C x A C

2

que:

0

0 ( )

9 10


1, 1, 1


10

4

4

2 1

1 9

A B

B C

A C

A B C

dxx x

2

2 22

122

2

2

3

1 1 ,1 9

10 1 1 ,1 9 91 9

10 1 ln 1 tan c ( )3 91 9

( )9

1sea 9, 2

( ),

5

6

7

2

x

x dxx x

xdx dx dx dxx x xx x

xdx x dxxx x

xdxx

u x du xdx xdx du

�

1

21 1

22 3

1 1 1 ln ln 9 ( ) en ( ) ( )2 2 2

sustituyendo ( ) en ( ) y conjugando las constantes como C, se obtiene:

10 1 1l n 1 tan ln 9 C3 2

7 6

1 9

8

8

.

5

xdx x xx x

du u c x cu

3 2

2 2

3 2

2 2

3 2

2 22 2

2 1 1 2

Solución- :

2 1 ( )1 2


2 1

Juan Beltrá

(1 21 2

1

n

x x x dxx x

x x x dxx x

x x x Ax B Cx Dx xx x

13.

3 2 2 22 2

3 2 2 2

3 2 3 2 3 2

3 2 3 2

),

2 1 1 2 ,1 2

2 1 2 1 ,

2 1 2 2 ,

2 1 2 2 ( )

como ( ) e

2

s un

3

3

Ax B Cx Dx x x x xx x

x x x Ax B x Cx D x

x x x Ax Bx Ax B Cx Dx Cx D

x x x A C x B D x A C x B D

a identidad, los coeficientes en ambos miembros sonrespectivamente iguales; de tal manera que:

1

1 ( )

2 2

2 1

la solu

4

ción del sistema ( ) es4

A C

B D

A C

B D

3 2

2 2 2 22 2

2

2

:

1, 0, 0, 1


2 1 1 1 ( )1 2 1 21 2

( ) 1

se

2

a

1

5

4

A B C D

x x x x xdx dx dx dxx x x xx x

xdxx

u x

�

21 12

122 2

2

11, 2 ( )2

sustituimos ( ) en ( ):

1 1 1 ln ln 1 ( )2 2 21

1 1 1 tan ( )2 2 22

Sustituyendo ( ) y ( ) en

6

6 5

7

8

7 8 ( ),

se obtiene:

4

du xdx xdx du

xdx du u c x cux

xdx dx cx x

�

3 2

2 12 2

2 1 1 1ln 1 tan21 2

.

2 2

x x x xdx x Cx x

2

2 2 2 2

2 2 2

2

4 2 5

Solución- :

1 34 1 3 ,2 5 2 5 2 5 2 1 4

4 1 3 ( )2 5 2 5 1 4

1 ( )

2 5

sea

Juan Beltrán

1

2

x dxx x

xx xdx dx dxx x x x x x x x

x xdx dx dxx x x x x

x dx

x x

u

14.

�

2

12

212

12 2

12 5, (2 2) 2( 1) ( 1) ( )2


1 1 1 ln ,2 22 5

1 1 ln 2

5 ( )

3

3

22 51 3 3 tan

22

4

1

2

x x du x dx x dx x dx du

x dx du u cux x

x dxx x c

x xxdx

x

�

2

2 11 22

22 2

12

1 ( )2

sustituyendo ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:

4 1 3 1

4 1 3 1ln 2 5

ln 2 5 tan ;2 2 22 5

tan2 2 22

5

4 5

1

.5

c

x xdx x x

x xd

c cx x

Cx x C cx x

cx

3

3 2

22

1 1

Solución- :

1 1 ( )1 1 1


1 ( ),1 11 1

1

1

2

Juan Be

n

1

ltrá

dxx

dx dxx x x x

A Bx Cx x xx x x

x

15.

22

2

2 2

2

1 1 ,1 1

1 1 1 ,

1 ,

1 ( )

como ( ) es una identidad, los coeficientes en ambos miembros son respectivame t

3

n3

e

A Bx Cx xx x x

A x x Bx C x

Ax Ax A Bx Cx Bx C

A B x A B C x A C

iguales; de tal modo que:

0

0 ( )

1


1 1 2 , , (

4

4

5)3 3 3

sustituyendo ( ) en ( ), la integral ( ) queda:

5 2 1

A B

A B C

A C

A B C

3 22

1 1 2 1 1 2 ,3( 1) 3( 1) 31 13 1

x xdx dx dx dxx xx x xx x

3 2

3 2

3 2 2

3

1 32 21 1 1 ,

3( 1) 31 1

1 32 21 1 1 1 ,

3 ( 1) 31 1

1 1 1 1 1 2 1 3 1 ,3 ( 1) 3 2 21 1 1

1 1 1 3 ( 1)1

xdx dx dx

xx x x

xdx dx dx

xx x x

xdx dx dx dxxx x x x x

dx dxxx

22

1 2 1 13 ,6 1 1 3

4 4

x dx dxx x

x x

3 2 22

2 13

3

1 1 1 1 2 1 1 3 ,3 ( 1) 61 1 1 3

2 2

11 1 1 2 2 ln 1 ln 1 3 tan ,

3 61 3 32

1 1 ln 131

xdx dx dx dxxx x x

x

xdx x x x C

x

dx xx

2 1

2 13

1 1 1 1 2 1ln 1 ln 1 ta

2 11 2 2ln 1 3 tan ;6 3 3

2

n3 61 3

.3

x

x

x x C

dx x x x Cx

31

4 20

31

4 20

4 2

3 3 3

2 4 3

Solución- :

2 ( )

4 3Sea

4 3 ( ),

1 4 8 4 2 2 ( )4

(0) 3 y (1

1

2

3

Juan Beltrá

) 8 ( )

Susti i

4

u

n

t

x x dxx x

x x dx

x x

u x x

du x x dx x x dx x x dx du

u u

16.

3

1

4 2

31 8

4 20 3

38

4

0

1

2 30

yendo ( ), ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:

2 1 ,44 3

2 1 1 ln ln 8 ln 3 TFC ;4 4

20.2

4 3

2 3

454

4 1

.3

x x dx duux x

x x

x x d

d

x

xu

x

x x

x

22

22

2 2 22 2

22

4

Solución- :

( )4


1 ( ),44 4

Juan Bel

1

1

2

trán

1 4

dx

x x

dx

x x

A Bx C Dx Ex xx x x

A Bxx xx

17.

2 22

22 2

4 2 2 4 3 2

4 3 2

,44

1 4 4 ,

1 8 16 4 4 ,

1 8 4 16 ( )

como ( ) es una identidad, los coeficiente

3

s de s3 lo

C Dx Exx

A x Bx C x Dx E x x

Ax Ax A Bx Cx Dx Ex Dx Ex

A D x Ex A B D x C E x A

términos en ambosmiembros son respectivamente iguales; de tal modo que:

0

0

8 4 0 ( )

0

16 1


4

4

A D

E

A B D

C E

A

2 2 22 2

2 2 22 2

1 1 1 , , 0, , 016 4 16


1 ,16 16 44 4 4

1 1 1 1 ,16 4 16 44 4

1

2

A B C D E

dx x x dxx xx x x

dx x xdx dx dxx xx x x

22 22

2 2 22 2

22 22

1 1 1 2 1 2 ,16 8 32 44 4

1 1 1 1 ln ln 4 ;16 8 324

1 1 1 ln ln 416 3

4

28 44

.

dx xdx xdxdxx xx x x

dx x x Cxx x

dx x x Cxx x

2

22

2

22

2

2 2 22 2

3 7 4 6

Solución- :

3 7 ( )4 6


3 7

Juan

4 64 6

1

1

Beltrá

6

n

4

x x dxx x

x x dxx x

x x Ax B Cx Dx xx x x x

18.

22 22 22

2 2

2 3 2 2

3 2

( ),

3 7 4 6 ,4 64 6

3 7 4 6 ,

3 7 4 6 4 6 ,

1 4 6 4 6 ( )

com

2

3

o ( ) es una3

Ax B Cx Dx x x xx xx x

x x Ax B Cx D x x

x x Ax B Cx Cx Cx Dx Dx D

Cx C D x A C D x B D

identidad, los coeficientes de los términos en ambosmiembros son respectivamente iguales; de tal modo que:

0

4 1 ( )

6 4 3

6 7

la soluci

4

ón d

C

C D

A C D

B D

2

2 2 22 2

2

22 2

el sistema ( ) es:

1, 1, 0, 1


3 7 1 1 ,4 64 6 4 6

2 33 7 4 6

4

2 1

A B C D

x x xdx dxx xx x x x

xx x dxx x x

2 2

2

2 2 2 22 2 2

22

2

1 ,4 64 6

3 7 2 3 1 ( )4 64 6 4 6 4 6

2 ( )

4 6

sea

1 4 6, (2 4) ( 2)

( )2

sustituyendo

5

( ) en (

6

7

7 6

dxx xx

x x xdx dx dx dxx xx x x x x x

x dx

x x

u x x du x dx x dx du

�

), se obtiene:

1 12 2 22

2 2 22 2 2

2

2 1 1 1 ( )2 2 2 4 64 6

3 3 3 ( )4 6 4 4 2 ( 2) 2

sea

2tan 2 , 2 sec ( )

sustituyendo ( ) en ( ), se

8

9

o

b

10

10 ie9 t ne:

x dudx c cuu x xx x

dxdx dxx x x x x

x d dx

�

2 2

2 2 222 2

2 2

2 2 2 22 2 2

2222

3 2 sec sec 3 3 2 ,4 6 2tan 22tan 2

3 sec sec 3 2 3 2 3 2 ,4 sec4 6 4 tan 1 4 sec

3 3 2 3 2 1 cos sen cos ,4 4 24 6

d ddxx x

d d ddxx x

dx d cx x

222

1

3 3 2 sen cos ( )84 6

2de ( ) se desprende que tan ( )2

11

10 12

dx cx x

x

2 2

22

a partir de de ( ) se construye la .

De dicho esquema se deduce que;

2 2 sen y cos ( )4 6 4 6

Sustituyendo ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:

3 3 2

Fig10

13

12 13

1

1

4 6

. 1

8

x

x x x x

xdxx x

122 2

122 22

2 2 2tan ,24 6 4 6

2 23 3 2 2 tan ( )8 4 6 24 6

14

x cx x x x

x xdx cx xx x

2 2

2 2

1 14 42

1 1 ( )4 6 ( 2) 2

sea

2, ( ),

1 1 ( ) en ( ) ,4 6 21 1 1 2 tan tan ( )4 6 2 2 2 2

Por último, susti

tuy

15

16

16 15

17

e d

n

dx dxx x x

u x du dx

dx dux x u

u xdx c cx x

�

2

22

1 1

2

2

22

1 122

o ( ), ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:

3 7

4 6

2 21 3 2 2 1 2tan tan8 4 6

3

2 4 6 2 2 2

21

8 14

3 3 2 2 1 2tan tan ;4 84 62 4 6 2 2 2

7

4

17 5

x x dxx x

x x x

x x

Cx xx x

x x x Cx xx

x x

x

1

2 2

3 8 7 2 2tan84( 4 6 2

.)6

x xdxx x

evalúe las siguientes integrales - soluciones de ingenio...expresemos el integrando en ( ) como una...

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