Z

Z cisZ a bi a Re Z

Forma algébrica Forma trigonométrica

b Im Z Arg Z

O ponto é o de P afixo Z

cos , s eP n

é o de OP afixo vetorial Z

P a,b

1

abril 2015

Números Complexos

Conjugado cisZ

Z cis

Simétrico cisZ

Z a bi

Z a bi

aZ bi

Forma algébrica Forma trigonométrica

2

abril 2015

Conjugado

1 -c sZ Z i Simétrico

2 a biZ Z

3

abril 2015

Consideremos os dois números complexos

Operações com Complexos

1 2 3 5 4 2Z Z i i

3 4 2 5 4 2i i i

2

12 6 20 10i i i

12 6 20 10i i

2 26i

3 5 Z i 1

2Z Ze 1

MULTIPLICAÇÃO

2 4 2Z i

2atendendo a que -1i

Consideremos dois números complexos quaisquer

Operações com Complexos

1 2 a bi c dZ Z i 2

ac adi bci bdi

ac bd ad bc i

Z a bi 1

MULTIPLICAÇÃO

2Z c di

Operações com Complexos

Propriedades da MULTIPLIÇÃO

1 2 1 2 2 1z ,z , z z z z Comutativa:

1 2 3 1 2 3 1 2 3z ,z ,z , z z z z z z Associativa:

1 1z , z z z Elemento neu tro:

1 2 1 2 2 10 1z \ , z z z z z Elementos opost : os:

Operações com Complexos

Propriedades da MULTIPLIÇÃO

1 2 1 2 1 2Z ,Z Z Z Z Z Se , então

2Z Z Z Z Se , então

Demonstrações (página 188 do manual escolar – Vol. II)

Multiplicação de um número complexo por i e - i

Operações com Complexos

1 2iZ Consideremos

1 1 2i Z iZ i

2 1 2i Z i iZ

2 i

2 i

Multiplicação de um número complexo por i e - i

Operações com Complexos

No Plano de Argand…

Multiplicação de um número complexo por i e - i

Operações com Complexos

corresponde à rotação do vetor que é a sua imagem

vetorial segundo um ângulo de 90º no sentido negativo

Z a bi i Z b ai Se então

corresponde à rotação do vetor que é a sua imagem

vetorial segundo um ângulo de 90º no sentido positivo

Z a bi Z b ii a Se então

(página 188 - manual escolar)

Considere os números complexos:

1 3 2 3. 63. iz z z

1 2 31 3 2 1 2z i z i z i Apresentando o resultado na forma ,calcula:a bi

1 3 1 2 23 1 2 22 3 6

1 7

i i i ii i i

i ii

(página 188 - manual escolar)

Considere os números complexos:

2 1 3 4. 63. z z z

1 2 31 3 2 1 2z i z i z i Apresentando o resultado na forma ,calcula:a bi

2

2 1 3 1 2

2 5

2 5

10 55 10

i i i

i i

i i

i ii

Consideremos os números complexos

Operações com Complexos

1

2

3 54 2

ZZ

ii

3 5 4 24 2 4 2

i ii i

2 2

12 6 20 104 2

i ii

8 416 4

i

DIVISÃO

8 420 20

i

2 15 5

i

3 5Z i 1 2 4 2Z i

Consideremos dois números complexos quaisquer

Operações com Complexos

1

2

a bZZ

ic di

a bi c dic di c di

2 2 ac bd bc ad i

c d

DIVISÃO

2 2 2 2

ac bd bc ad ic d c d

Z a bi 1 2 2 0Z c di, Z com

1 2

2 2

Z ZZ Z

(página 189 - manual escolar)

2

1 6 2. 5.z

1 2 3 1 3 2 1 Representa na fo

Considere os números complexos:65.

rm :

 

az i z i z i

a bi

2 2

2 22 2 2 2

2 1 18 4 8

i ii i

i i

1 3

3 2

6 4 5. . z zz z

1 3 1 2 21 2 3 3

i i i ii i

Potenciação

Operações com Complexos

21 i 21 2i i 2i

32 i 22 2i i

26 3 8 4i i i

24 4 2i i i

3 4 2i i 2 11i

55 5i

... pelo Binómio de Newton...

Se pretendermos calcular

abordaremos em breve uma forma mais rápida resolução...

Potenciação

Operações com Complexos

0 1i

6

4

7

5

1

1

i

i

i

i

i

i

1i i2 1i 3i i

10

8

11

9

1

1

i

i

i

i i

i

Potências de i

Operações com Complexos

4 1ni

Potências de i

34ni i

24 1ni

14ni i

no plano de Argand…

67 i 6 7 4

2 7 1 6 3

Na calculadora:

67 : 4 = 16,…

67 – 4 x 16 = 3

2013 i2013 4

013 503 1

Na calculadora:

2013 : 4 = 503,…

2013 – 4 x 503 = 1

50 14 3 =i

3164 =i

3 =i i

1 =i i

Operações com Complexos

1. Resolve em C as equações:

2 1+1 3.1 z. 1i i i

2 3.2. 2 21 z i z i i

3  Determine de modo que 

seja um número re

2 6

.

l

2.

a

i x ix

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:

3. Calcula e representa na forma algébrica:

11 5 7471 .2. 3 i i i 4 2 3 4 1 4 18 2 3 i i i

3 1 2 3 i i i

3i i

1 3i

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:

Z a bi

i Z i Z

b a i

b ai

Z cis

i Z

i Z

2cis

2cis

MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO POR i e - iForma algébrica Forma trigonométrica

22

abril 2015

Z a bi

1Z 2 2

Z a bia bZ Z

Z cis

1 cis

1Z

Forma algébrica

Forma trigonométrica

INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO

23

abril 2015

1 2Z Z

11 1 cZ is

22 2 cZ is 1 11 aZ b i

2 22 aZ b i

1 2Z Z 1 2

1 2

a ab b

1 2

1 2 2

k ,k

Forma algébrica Forma trigonométrica

IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS

24

abril 2015

1 2 1 2 1 22 2 11 a a b b a a bZ b iZ

1 1Z a b i 1

MULTIPLICAÇÃO

1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2

2 2 2

1

22

+ a a b b a b a bi

a bZ

a bZ

DIVISÃO

ADIÇÃO

SUBTRAÇÃO

OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA

2 2 2Z a b i

11 1 22 2a aZ Z b b i

11 1 22 2a aZ Z b b i

25

abril 2015

SINTETIZANDO…

OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

1 21 22 1 +cisZ Z MULTIPLICAÇÃO

11 1 cZ is 22 2 cZ is

DIVISÃO 112

21

2

cisZZ

POTENCIAÇÃO

11 1 n nncisZ

26

10 .05. 2013

4 1ni

POTÊNCIAS de i

34ni i

24 1ni

14ni i

no plano de Argand…

27

10 .05. 2013abril 2015

OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

0 1 2 1+2 nk

kZ cis k , , ,...,nn

FÓRMULA DE DE MOIVRE DA RADICIAÇÃO

A equação tem soluções distint

a

s.n

kn n

w n

w is

z

cz

Seja um número complexo, não nulo, e seja n um número natural.

Então, o número complexo w tem n raízes de índice n, que são dadas por

c sw i

OU FÓRMULA DE MOIVRE GENERALIZADA28

abril 2015

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:

Considera, no plano complexo, o pentágono [ABCDE] inscrito numa circunferência de raio 1 e centro na origem do referencial, representado na figura. 1. Determina z.

2. Representa na forma trigonométrica o número complexo:

2.1. cuja imagem é A; 2.2. cuja imagem é D;

2.3. em que a imagem do conjugado é C.

abril 2015

29