IVIV. . Variables Aleatorias Continuas y Variables Aleatorias Continuas y yysus Distribuciones de sus Distribuciones de ProbabilidadProbabilidad

1

Variable Aleatoria ContinuaVariable Aleatoria ContinuaVariable Aleatoria ContinuaVariable Aleatoria ContinuaDefinicin Se dice que una variable aleatoria X es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo (finito o infinito) de nmeros reales.Por ejemplo, una v.a. continua puede ser el tiempo de retraso con el que un alumno o un profesor llega al aula de clases tambin el peso o la estatura de los estudiantes de l FEla FE.

2

La funcin de densidad de una variable La funcin de densidad de una variable aleatoria continuaaleatoria continuaaleatoria continuaaleatoria continuaLa funcin f(x) es una funcin de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida sobre el conjunto de los nmeros reales, s:1.- f(x) 0 x R

2.-

= 1)( dxxf

3.- ( ) ( ) ( )b

P a X b P a X b P a X b = < = x + > x) = P(X > t)

L d b l l l l d

tX

2. La distribucin exponencial es la generalizacin al caso continuo de la distribucin Geomtrica.

3. La distribucin exponencial aparece, en ocasiones, caracterizada ili d l di utilizando como parmetro la media,

( ) 1==xE

4. La distribucin exponencial se caracteriza por tener una razn de fallo constante; la probabilidad de fallar en cualquier intervalo no depende de la vida anterior. Es, por lo tanto, adecuada para d ibi l i i d f ll l L d f ll i d d describir la aparicin de fallos al azar. La razn de fallo viene dada por:

h(t) = .

30

IV 3IV 3 Distribucin de Probabilidad Distribucin de Probabilidad NormalNormalIV.3IV.3. . Distribucin de Probabilidad Distribucin de Probabilidad NormalNormal` El 12 de noviembre de 1733, Abraham DeMoivre

desarroll la ecuacin matemtica de la curva normal. De igual manera proporcion una base sobre la cual se f d d l d l d i fundamenta una gran parte de la teora de la estadstica inductiva. A l d b l l ll b ` A la distribucin normal se le llama tambin Distribucin Gaussiana en honor a Karl Friedrich GaussGauss.

31

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalDefinicinUna variable aleatoria continua X tiene una distribucin normal con parmetros y 2 , siendo un nmero real cualquiera y > 0 siendo su funcin de densidad de cualquiera y > 0, siendo su funcin de densidad de probabilidad de la forma siguiente:

( )2x

Con:( ) ( )22

21

=

x

exfCon:

< x < < < < < > 0

32

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalPara ser una funcin de densidad de probabilidad debe de satisfacer las siguientes condiciones.1. Que f(x) 0 para toda x que pertenece a los nmeros

reales. Que por ser una funcin exponencial lo cumple.

2. ( ) 1= dxxf

33

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalPropiedades.1. Es unimodal.2. La moda, mediana y moda poseen el mismo valor.3. El dominio de f(x) son todos los nmeros reales y su imagen

est contenida en los reales positivos.4. Es simtrica respecto de la recta x .

Esto se debe a que:f( + x) = f( x)

5. Tiene una asntota horizontal en y = 0En efecto y = 0 es una asntota horizontal, ya que:

( ) 0lim =xf34

( )x

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad Normal6. Alcanza un mximo absoluto en el punto:

21,

Demostracin

2DemostracinSea:

( )21 x( ) 2221

= exf

35

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalDerivando con respecto a .

2

( ) ( ) ( ) ( )

=

22 1

22

21 2

2

xexf

x

( ) ( ) ( )

=

22 2

21 2

2

xexf

x

Igualando a cero: 2

( ) ( ) 021 2 22

xx

De donde resulta:

( ) 02 2

2 =

e

De donde resulta:x = 0x =

36

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalObteniendo la segunda derivada:

( ) ( ) ( )

+

= 1222

xfxxxfxf

( ) ( ) ( ) ( )

+

=

1

24

2

xfxxfxf

( ) ( ) ( )

=

1

24

2

xxfxf

( ) ( ) ( )

=

11 2

2

2

xxfxf ( ) ( )

22 ff

37

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalDe donde resulta:

1

Entonces:( ) 21= xff() < 0

Y como:x =

Por lo tanto:

( ) 21=f

Lo que prueba que el mximo se encuentra en:

1,

38

2,

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad Normal7. Es creciente en el intervalo ( , ) y decreciente en

(, ):Si x < , es f(x) > 0, entonces la funcin es crecienteSi x > , es f(x) < 0, entonces la funcin es decreciente

39

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad Normal8. Posee dos puntos de inflexin en:

x = x = +

Considerando la segunda derivada la obtenida en el punto seis e igualando a Considerando la segunda derivada, la obtenida en el punto seis, e igualando a cero: ( ) ( ) 011 2

2

2 =

xxf

Despejando:

( ) 122

=x

De donde resulta: (x )2 = 2x = y x =

x = y x = Por lo tanto:

x = + y x = 40

x y x

IV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV 3 Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad NormalIV.3. Distribucin de Probabilidad Normal9. Los parmetros y 2 son la media y la varianza

respectivamente.

41

IV 3 1 Distribucin IV 3 1 Distribucin Normal Normal TipificadaTipificadaIV.3.1. Distribucin IV.3.1. Distribucin Normal Normal TipificadaTipificadaTeorema.Si X tiene una distribucin normal con la media y la desviacin estndar, entonces:

ZX

Donde:X es la variable de inters.

Z =

: es la media.: es la desviacin estndarZ l d d i i d d X l di d Z: es el nmero de desviaciones estndar de X respecto a la media de esta distribucin.

La distribucin normal estndar tiene media cero y varianza 1, y se denota como N(0,1).

42

IV 3 1 Distribucin IV 3 1 Distribucin Normal TipificadaNormal TipificadaIV.3.1. Distribucin IV.3.1. Distribucin Normal TipificadaNormal TipificadaPropiedades.1. Su dominio son todos los nmeros reales y su imagen

son los nmeros reales positivos.2. Es simtrica respecto al eje de ordenadas.3. Tiene una asntota horizontal en y = 0.y4. Alcanza un mximo absoluto en el punto (0, ).5 Es creciente en el intervalo ( 0) y decreciente en el

12

5. Es creciente en el intervalo ( , 0) y decreciente en el intervalo (0, ).

6 Posee dos puntos de inflexin en x = 1 y x = 1 6. Posee dos puntos de inflexin en x = 1 y x = 1, respectivamente.

43

IV 3 1 Distribucin Normal TipificadaIV 3 1 Distribucin Normal TipificadaIV.3.1. Distribucin Normal TipificadaIV.3.1. Distribucin Normal Tipificadareas de la normal:1. Aproximadamente el 68% de todos los valores se

encuentran dentro de una desviacin estndar.2. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores se

encuentran dentro de dos desviaciones estndar.3. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores se

encuentran dentro de tres desviaciones estndar.

44

IV 3 1IV 3 1 Distribucin Normal TipificadaDistribucin Normal TipificadaIV.3.1IV.3.1. . Distribucin Normal TipificadaDistribucin Normal Tipificada

P b bilid d i d di t ib i l

45

Probabilidades asociadas con una distribucin normal

Ejemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplo 1El tiempo que tarda un automovilista en reaccionar a las luces de freno traseras de otro vehculo al desacelerar, es crtico para ayudar a evitar una colisin. Suponga que esta variable se puede modelar como una distribucin normal con media de 1,25 segundos y desviacin estndar de 0,46 segundos. Cul es la probabilidad de que el tiempo de reaccin se encuentre 1 y 1,75 segundos?

46

Ejemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normal` Solucin:

47

Ejemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalA continuacin se muestra el clculo de esta probabilidad en f f forma grfica, mostrando la equivalencia en el rea entre la distribucin normal y la estndar

48

Ejemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplo 2En un quiosco de peridicos se supone que el nmero de ventas diarias se distribuye normalmente con media 30 y varianza 2. Determinar:

a) Probabilidad de que en un da se vendan entre 13 y 31 dperidicos

b) Determinar el mximo nmero de peridicos que se venden en el 90% de las ocasionesen el 90% de las ocasiones

49

Ejemplos de distribucin Ejemplos de distribucin normalnormalEjemplos de distribucin Ejemplos de distribucin normalnormal`

50

Ejemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplo 3. Los pesos de 2 000 soldados presentan una distribucin normal de media 65 kg y desviacin tpica g y p8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese:p

a) Ms de 61 kg.b) Entre 63 y 69 kg.) y gc) Menos de 70 kg.d) Ms de 75 kg) g

51

Ejemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normal`

52

Ejemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjercicioEn un estudio estadstico sobre la altura de los espaoles y de los En un estudio estadstico sobre la altura de los espaoles y de los ingleses. Se han obtenido los siguientes datos:

Nacionalidad Espaoles InglesesNacionalidad Espaoles Ingleses

Media 170.2 175.4

Desviacin tpica 6.4 5.9

a) Quin es ms alto en su pas, un espaol que mide 177 cm o un ingls que mide 181 cm?

b) C l es la r babilidad de e n es a l mida ms de 180 cm? b) Cul es la probabilidad de que un espaol mida ms de 180 cm? c) Cul es la probabilidad de que un ingles mida entre 160 y 170

cm?d) Cul es la probabilidad de que un espaol sea ms alto que un

ingls?

53

Ejemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normalEjemplos de distribucin normal

54

ApndiceApndiceApndiceApndiceDistribucin de Probabilidad Normal

Demostracin

( ) 1=

dxxf

Sea: ( ) ( )22

2

21

=

x

exf

Como:

2

( ) ( ) == dxedxxfI

x2

2

2

21

Estableciendo la siguiente igualdad:

2

= xt

55

ApndiceApndiceApndiceApndiceDerivando: dxdt 1=

Entonces:

dxdt =

( )

x 112

Por lo que:

dxe 1

21 22

2Por lo que:

dte

t2

2

21

Considerando I2:t 22

= dsedteIst222

22

21

21

56

ApndiceApndiceApndiceApndicePor lo que ahora tenemos una integral doble de la siguiente forma: ( )

dtdseIts

+= 22

22

1

De donde resulta:

dtdseI 2

( )dtdseI

ts

+= 22

22

21 2

57

ApndiceApndiceApndiceApndiceRealizando un cambio a coordenadas polares.Sea:

s = r cos Y

t = r sen

Por lo que el rea ds y dt se transforma en rdrd , y los i l nuevos intervalos son:

- < s < y - < t <

0 < r < y 0 < < 258

ApndiceApndiceApndiceApndiceEntonces ( ) rsenr +2 cos22221 ( )

( ) drdreI

=0 0

22

21

( )

drdreI

senr

+=

2

0 0

2cos

2

222

21

0 0

( )

drdreI

r

=

221

2

2

1

drdreI

r

=2

0 02

1

2

drdreIr =

0 0

22

21

59

ApndiceApndiceApndiceApndiceResolviendo: r 2

rdre 0

2

Por cambio de variableSea:

rw =2

2

Sea:

rdrdwrdw

==

2

La integral resultante es:

rdrdw

( ) ( )rdreI r 10

22

2

= 60

0

ApndiceApndiceApndiceApndicePor lo que: ( ) li ww dd( ) lim

002

= r

w

b

w dwedwe

0lim

0lim 2

= bw

bee

Sustituyendo:

[ ] 1101lim1limlimlim 22 222

==

=

bbb

o

b

b

bee

2 e

61

ApndiceApndiceApndiceApndiceEntonces: 22 202

02

10

=== dPor lo tanto: [ ] 12

212 == I

I = 1

2

I = 1 Lo cual queda demostrado.

62