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6.4 Error en la interpolación

Para entender este concepto usaremos un polinomio de interpolación para aproximar a una función conocida. Así puede determinarse en forma exacta el error en la interpolación. Ejemplo. Suponga que se desea aproximar la función f(x)=ex, 0≤x≤2, con un polinomio de segundo grado. Para obtener este polinomio tomamos tres puntos de la función f: (0, e0), (1, e1), (2, e2) y usamos la fórmula de Lagrange para obtener el polinomio de interpolación, con cinco decimales:

p2(x) = 1.4762x2 + 0.24204x+1

a) Encuentre el error en la aproximación cuando x = 0.5 Si se aproxima f(x) con p2(x) se introduce un error cuyo valor es f(x) – p2(x)

f(0.5) – p2(0.5) = e0.5 – 1.4762(0.5)2 – 0.24204(0.5) –1 = 0.1587

b) Encuentre el máximo error en la aproximación Si se desea conocer cual es el máximo error en la aproximación, se debe resolver la ecuación

2d (f(x) p (x)) = 0

dx− ⇒ ex – 2.9524x – 0.2420 = 0

Con un método numérico se encuentra que el máximo ocurre cuando x = 1.6064.

Entonces el máximo valor del error es: f(1.6064) – p2(1.6064) = –0.2133 En general, dados los puntos (xi, fi), i=0, 1, ..., n, siendo f desconocida Sea pn(x) el polinomio de interpolación, es decir el polinomio tal que pn(xi) = fi , i=0, 1, ..., n Suponer que se desea evaluar f en un punto t usando pn como una aproximación: f(t) ≅ pn(t), t ≠ xi, i=0, 1, ..., n Definición. Error en la interpolación En(t) = f(t) - pn(t)

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Representación gráfica del error en la interpolación

Siendo f desconocida, no es posible conocer el error pues el valor exacto f(t) es desconocido. Únicamente se tiene el valor aproximado pn(t). Pero es importante establecer al menos alguna expresión para estimar o acotar el valor del error En(t). En los puntos dados En(xi) = 0, i=0,1, ..., n 6.4.1 Una fórmula para estimar el error en la interpolación

En las aplicaciones comunes, únicamente se conocen puntos de la función f, siendo igualmente importante estimar la magnitud del error al usar el polinomio de interpolación. A continuación se desarrolla un procedimiento para estimar el error

Sean g(x) = n

ii=0

(x x )−∏ = (x-x0)(x-x1) ... (x-xn), g es un polinomio de grado n+1

h(x) = f(x) – pn(x) – g(x)En(t)/g(t). h es una función con las siguientes propiedades 1) h es diferenciable si suponemos que f es diferenciable 2) h(t) = 0 3) h(xi) = 0, i = 0, 1, ..., n Por lo tanto, h es una función diferenciable y la ecuación h(x) = 0 tiene n+2 ceros en el intervalo [x0, xn] Aplicando sucesivamente el Teorema de Rolle: h(n+1)(x) = 0 tiene al menos 1 cero en el intervalo [x0, xn] Sea z∈[x0, xn] el valor de x tal que h(n+1)(z) = 0 Derivando formalmente la función h: h(n+1)(x) = f(n+1)(x) – 0 – (n+1)! En(t)/g(t) Al evaluar esta función con x=z: h(n+1)(z) = f(n+1)(z) – 0 – (n+1)! En(t)/g(t) = 0 Se obtiene finalmente: En(t) = g(t) f(n+1)(z)/(n+1)!, t≠xi, z∈[x0, xn] Definición. Fórmula para estimar el error en el polinomio de interpolación En(x) = g(x) f(n+1)(z)/(n+1)!, x≠xi, z∈[x0, xn ]

Siendo g(x) = n

ii=0

(x x )−∏ = (x-x0)(x-x1) ... (x-xn)

Para utilizar esta fórmula es necesario poder estimar el valor de f(n+1)(z). En el siguiente capítulo se introduce una técnica para estimar f(n+1)(z) usando los puntos de f.

f(t)

pn(t) . . .