m4 2 1 m indeterminadas polinomio...5) polinomio: cuando el polinomio tiene cinco términos o más...

- 1 -

Polinomios

Expresiones algebraicas: Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de

números, de letras o de números y letras, ligados entre sí con la suma, resta, multiplicación, división,

potenciación y radicación. Ejemplos:

425 x 15

23 26 mmm 310

3y m

4

162 35 ba

37 2xx m

m 84

Indeterminadas: También llamadas variables, son las letras utilizadas en las expresiones

algebraicas.

Polinomio: Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas

son enteras y se denominan polinomios. De los ejemplos anteriores los 2 últimos no son polinomios.

Son polinomios: 425 x 15

23 26 mmm 310

3y m

4

162 35 ba

No son polinomios: 37 2xx Por que la variable está afectada por una raíz.

m

m 84 Por que la variable está como divisor.

Clasificación de los polinomios:

1) Monomio: Se llama monomio al polinomio que tiene un solo término.

Un monomio consta de dos partes: numérica y literal.

Numérica: Es el número que va delante de las letras – también se le llama coeficiente - (si no lleva

ninguna cifra, recuerda que lleva el 1).

Parte Literal: Es la compuesta por letras con sus exponentes, si los tienen.

Ejemplos de monomios:

I) -3m5 II) x

3

2 III) a3b2c IV) 7

Coeficiente: -3 Coeficiente:

3

2 Coeficiente: 1 Coeficiente: 7

Parte literal: m5 Parte literal: x Parte literal: a3b2c Parte literal: x0

1) Actividad: Identificar los coeficientes y la parte literal de los siguientes monomios.

a) –2m4 b) –x2y c) h8

7 d) – 3

Coeficiente: Coeficiente: Coeficiente: Coeficiente:

Parte literal: Parte literal: Parte literal: Parte literal:

Grado de un monomio: Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal:

El monomio 2 53x y z es de grado: 2 + 5 + 1 = 8º grado.

Otros ejemplos de grado de un monomio:

I) -3m5 II) x3

2 III) a3b2c IV) 7 V) 0

Grado: 5 Grado: 1 Grado: 6 Grado: 0 Grado: No tiene grado

2) Actividad: Identificar el grado de los siguientes monomios.

a) –2m4 b) –x2y c) h8

7 d) -3

Grado: Grado: Grado: Grado:

- 2 -

Monomios semejantes: Son aquellos monomios que poseen las mismas variables con los mismos grados.

Ejemplo: 5 53x y con 5 52x y

2) Binomio: Se llama binomio al polinomio que tiene dos términos.

Ejemplos: 23 xy 72 35 mm ba

3) Trinomio: Se llama trinomio al polinomio que tiene tres términos.

Ejemplos: 63 75 hhh 452 xx 22 2 baba

4) Cuatrinomio: Se llama cuatrinomio al polinomio que tiene cuatro términos.

Ejemplos: 2 3 42 1 4x x x 123 ttt 3223 33 babbaa

5) Polinomio: Cuando el polinomio tiene cinco términos o más se le asigna el nombre general.

(“poli” significa muchos).

Grado de polinomio: El mayor exponente con el que aparece la variable en los términos, con

coeficientes distintos de cero, determina el grado del polinomio. Ejemplos:

I) 6a4 – 5a7 – 9a5 + 18a3

Grado: 7

II) 4 + x

Grado: 1

III) 4w5 – w3 + 6w + 3w2 – 9w4 + 7

Grado: 5

IV) y2 – 7y + 12

Grado: 2

V) z3 – 125

Grado: 3

VI) x4 + 7x + 0x5 – 1

Grado: 4 por que x5 tiene coeficiente nulo.

3) Actividad: Clasificar los polinomios según la cantidad de términos e identificar el grado.

a) 72 35 mm G: ........

................................................

b) 63 75 hhh G: .......

................................................

c) 2 3 42 1 4x x x G: ........

.......................................................

d) xx 853 2 G: ........

................................................

e) x + 0x6 + 5x3 G: ........

................................................

f) 253 1 tttt G: ........

.......................................................

Orden en un polinomio: Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente

respecto de los exponentes de las variables.

Un polinomio está ordenado en forma creciente si sus términos están acomodados de menor a mayor

grado.

Un polinomio está ordenado en forma decreciente si sus términos están ubicados de mayor a menor

grado.

Ejemplo: Sea el polinomio P(x)= 7x3 + x – 2x6 – 4 – 5x5

Lo ordenado en forma creciente: P(x)= – 4 + x + 7x3 – 5x5 – 2x6

Ordenado en forma decreciente: P(x)= – 2x6 – 5x5 + 7x3 + x – 4

Es más frecuente el orden de los polinomios en forma decreciente.

4) Actividad: Ordenar en forma decreciente los siguientes polinomios.

a) P(x) = 3 4 2 53 6 5 1x x x x P(x) =

b) Q(x) = 2 3 42 1 4x x x Q(x) =

c) S(x) = 25 2x x S(x) =

d) U(x) = 6 35 4 3x x x U(x) =

- 3 -

Polinomio completo: Un polinomio esta completo, en relación a una letra, si tiene todas las potencias decrecientes del grado.

Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.

Ejemplo I: Sea el polinomio P(x)= 7x3 + x – 2x6 – 4 – 5x5

Completamos el polinomio: P(x)= – 2x6 – 5x5 + 0x4 + 7x3 + 0x2 + x – 4

Ejemplo II: Sea el polinomio Q(a)= a5– a4 – 3a2 + 2

Completamos el polinomio: Q(a)= a5 – a4 + 0a3 – 3a2 + 0a + 2

5) Actividad: Ordenar en forma decreciente y completar los siguientes polinomios.

a) P(x)= 3 4 2 53 6 5 1x x x x P(x)=

b) Q(x)= 2 3 42 1 4x x x Q(x)=

c) S(x) = 25 2x x S(x) =

d) U(x)= 6 35 4 3x x x U(x)=

Coeficientes de un polinomio:

Coeficiente principal: Es el coeficiente del término de mayor grado. Al polinomio cuyo coeficiente

principal es 1 se lo denomina polinomio mónico o polinomio normalizado.

Coeficiente cúbico: Es el coeficiente del término de grado 3.

Coeficiente cuadrático: Es el coeficiente del término de grado 2.

Coeficiente lineal: Es el coeficiente del término de grado 1.

Término independiente: Es el coeficiente del término de grado 0.

Ejemplo I:

732 23 xxxA x

a) Coeficiente principal: 2

b) Coeficiente cúbico: 2

c) Coeficiente cuadrático: 1

d) Coeficiente lineal: -3

e) Término independiente: 7

f) Grado del polinomio: 3

g) ¿Es normalizado?: No

Ejemplo II:

1224 mmB m

a) Coeficiente principal: 1


c) Coeficiente cuadrático: -1

d) Coeficiente lineal: 0



g) ¿Es normalizado?: Si

Ejemplo III:

63 24 yyyC y

a) Coeficiente principal: -2


c) Coeficiente cuadrático: 0

d) Coeficiente lineal: 4



g) ¿Es normalizado?: No

6) Actividad: Completar los datos requeridos de los siguientes polinomios.

P(x)= 3 4 2 53 6 5 1x x x x

a) Coeficiente principal: ..........

b) Coeficiente cúbico: ..........

c) Coeficiente cuadrático: ..........

d) Coeficiente lineal: ..........

e) Término independiente: .........

f) Grado del polinomio: ..........

g) ¿Es normalizado?: ..........

Q(x)= 2 3 42 1 4x x x








U(x)= 6 35 4 3x x x








- 4 -

7) Completar la tabla:

Polinomio Grado Coeficiente

principal

Coeficiente

cúbico

Coeficiente

cuadrático

Coeficiente

lineal

Término

independiente

a) -2x3 + 4x2 + 5

b) 1 2 0 0 2 25

c) x2 – 9

d) 3x + 2x5 + 1

e) 4 7 0 -1 0 8

f) 3x2 – x3 + 2 –5x7

g) 2x3 – 3x

Especialización o valor numérico de un polinomio:

Es el valor que se obtiene al sustituir las variables o partes literales por un número, realizando los

cálculos correspondientes. Ejemplos:

I) Valor del polinomio cuando x=2

P(x) = 3x2 – 2 x + 5

P(2) = 3. (2)2 – 2.2 + 5

P(2) = 12 – 4 + 5

P(2) = 13

II) Valor del polinomio cuando m= –1

P(m) = m3 + 3m2 – 2 m – 6

P(-1) = (-1)3 + 3. (-1)2 – 2.(-1) – 6

P(-1) = -1 + 3 + 2 – 6

P(-1) = –2

8) Actividad: Dado P(x) = -4x3 + x2 + 2x –3, calcular:

a) P(x) = -4x3 + x2 + 2x –3

P(1) = ................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

d) P(x) = -4x3 + x2 + 2x –3

P(0) = ................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

b) P(x) = -4x3 + x2 + 2x –3

P(-2) = ...............................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

e) P(x) = -4x3 + x2 + 2x –3

P(1/2) = .............................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

c) P(x) = -4x3 + x2 + 2x –3

P(3) = ................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

- 5 -

OPERACIONES CON POLINOMIOS

ADICIÓN DE POLINOMIOS Se colocan los polinomios entre paréntesis, se sacan los mismos aplicando la regla de los signos (Si el

paréntesis está precedido por el signo “+” al sacarlo quedan los mismos signos, si está precedido por

el signo “–” al sacarlo cambian los signos), luego se suman los coeficientes de los términos

semejantes.

Ejemplos. Sean los polinomios:

P(x) = 2x3 + x2 – 2; Q(x) = 3x – x3 + 4x2; R(x) = 2x3 – 2 – 4x y S(x) = 2 + 4x

Ejemplo I:

P(x) + Q(x) = (2x3 + x2 – 2) + (3x – x3 + 4x2)

P(x) + Q(x) = 2x3 + x2 – 2 + 3x – x3 + 4x2

P(x) + Q(x) = 2x3 – x3 + x2 + 4x2 + 3x – 2

P(x) + Q(x) = x3 + 5x2 + 3x – 2

Ejemplo II:

P(x) – Q(x) = (2x3 + x2 – 2) – (3x – x3 + 4x2)

P(x) – Q(x) = 2x3 + x2 – 2 – 3x + x3 – 4x2

P(x) – Q(x) = 2x3 + x3 + x2 – 4x2 – 3x – 2

P(x) – Q(x) = 3x3 – 3x2 – 3x – 2

Ejemplo III:

S(x) + R(x) – P(x) = (2 + 4x) + (2x3 – 2 – 4x) – (2x3 + x2 – 2)

S(x) + R(x) – P(x) = 2 + 4x + 2x3 – 2 – 4x – 2x3 – x2 + 2

S(x) + R(x) – P(x) = 2x3 – 2x3 – x2 + 4x – 4x + 2 – 2 + 2

S(x) + R(x) – P(x) = – x2 + 2

Ejemplo IV:

[R(x) – P(x)] – [Q(x) – S(x)] = [(2x3 – 2 – 4x) – (2x3 + x2 – 2)] – [(3x – x3 + 4x2) – (2 + 4x)]

[R(x) – P(x)] – [Q(x) – S(x)] = [2x3 – 2 – 4x – 2x3 – x2 + 2] – [3x – x3 + 4x2 – 2 – 4x ]

[R(x) – P(x)] – [Q(x) – S(x)] = 2x3 – 2 – 4x – 2x3 – x2 + 2 – 3x + x3 – 4x2 + 2 + 4x

[R(x) – P(x)] – [Q(x) – S(x)] = 2x3 – 2x3 + x3 – x2 – 4x2 – 4x – 3x + 4x – 2 + 2 + 2

[R(x) – P(x)] – [Q(x) – S(x)] = x3 – 5x2 – 3x + 2

Ejemplo V:

P(x) – R(x) + Q(x) = .................................................................................................................................

P(x) – R(x) + Q(x) = .................................................................................................................................

P(x) – R(x) + Q(x) = .................................................................................................................................

P(x) – R(x) + Q(x) = .................................................................................................................................

P(x) – R(x) + Q(x) = .................................................................................................................................

- 6 -

9) Dados los siguientes polinomios, indicar los datos solicitados:

1) 43 5 xxP x

a) Grado del Polinomio: .....................................

b) Término Independiente: .................................

c) Coeficiente Lineal: .........................................

d) Coeficiente Cuadrático: ..................................

e) Coeficiente Cúbico: ........................................

f) Coeficiente Principal: ......................................

g) Ordenar en forma creciente:

..............................................................................

h) Ordenar y completar en forma decreciente:

.............................................................................

2) 325 xxG x




d) Coeficiente Cuadrático: .................................


f) Coeficiente Principal: .....................................


.............................................................................


.............................................................................

3) xM x 3




d) Coeficiente Cuadrático: ..................................


f) Coeficiente Principal: ......................................


.............................................................................


.............................................................................

4) 23 672 xxxA x




d) Coeficiente Cuadrático: .................................


f) Coeficiente Principal: .....................................


.............................................................................


.............................................................................

10) Dados: (Hacer los cálculos en la carpeta.)

a) 732 23 aaaPa Calcular:

.;;;; )0()2(

2

1)3()2( PPPPP

Rta: 2P

........... 3P

...........

2

1P

........... 2P ........... 0P

...........

b)

125 24 xxxQ x Calcular: .;;;;

2

1)2(3)1()1(

QQQQQ

Rta: 1Q

........... 1Q ...........

3Q ........... 2Q

...........

2

1Q

...........

11) Dados los polinomios:

P(x) = 2x + 3

Q(x) = x2 – 3x + 1

R(x) = x – 2

S(x) = 7x3 + 2x2 + x – 3

T(x) = -x4 + 2x + 2

U(x) = 4x2 + 9 – 2x

Hacer los cálculos en la

carpeta.

-Hallar: a) P(x) + Q(x) = .........................................................................

b) P(x) + S(x) = ........................................................................................

c) Q(x) + U(x) = .......................................................................................

d) Q(x) – U (x) + P(x) = ...........................................................................

e) P(x) – S(x) + Q(x) = ............................................................................

f) T(x) – Q(x) + U(x) = ............................................................................

g) S(x) + Q(x) + T(x) + U(x) = ...............................................................

h) P(x) + Q(x) + R(x) = ...........................................................................

- 7 -

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

Cuando se multiplican monomios los coeficientes se multiplican, y en la parte literal se aplica la

propiedad: “producto de potencias de igual base se suman los exponentes”.

Por lo tanto: los coeficientes se multiplican y los exponentes se suman.

Ejemplos:

I) 8a2 . 3a4 = VI) 2p4 . 5p3 =

II) 5m6 . (-2m3) = VII) -3h . 4h7 =

III) yy 4.2

7 5 VIII) 33 4.8

1tt

IV)

32

15

4.6 ww IX) 45

3

1.

5

2bb

V) 3

10

9.

6

5xx X)

qq

2

9.

3

7 2

MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO:

Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y resta. Luego se

realiza la multiplicación de monomios. Ejemplos:

I) 3x3 . (8x3 – 6x) = ............................................. V) (4h3 + 2) . 5h2 = .............................................

II) (4p2 – 3 + p) . (-2p4) =

..............................................................................

VI) –2m4 . (9m6 – 6m + 3) =

.............................................................................

III) (a5 – a4 + a3 – a2 + a + 1) . a =

..............................................................................

VII) x . (x3 + 2x5 – 9x + 4) =

.............................................................................

IV)

2

16.

2

3 232 yyy

..............................................................................

VIII)

334

2

3.

9

4

6

5

3

8bbbb

.............................................................................

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:

Ejemplos a realizar en clase:

I) xD . xE =

II) xA . xB =

III) xB . xC . xD =

IV) xE – xD . xC =

Siendo: 842 23 xxxA x

22 xxB x

32 xC x

54 xD x

23 63 xxxE x

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

- 8 -

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

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.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

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.................................................................................................................................................................

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.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

- 9 -

12) Dados los siguientes

polinomios, calcular las

operaciones solicitadas:

A(x) = x2 – 3x + 4

B(x) = 2x + 1

C(x) = 3x + 4

D(x) = –x3 + 2x2 + 2

Hacer los cálculos en la

carpeta.

a) A(x) . B(x) = ........................................................................................

b) A(x) . C(x) = .......................................................................................

c) C(x) . B(x) = .......................................................................................

d) B(x) . C(x) + A(x) = ...........................................................................

e) B(x) – A(x) . C(x) = ...........................................................................

f) A(x) – B(x) . C(x) = ...........................................................................

g) D(x) . C(x) = ......................................................................................

h) A(x) . D(x) = ......................................................................................

POTENCIA EN POLINOMIOS

POTENCIA DE MONOMIOS:

Los coeficientes se multiplican por sí mismos tantas veces como indica el exponente, y en la parte

literal se aplica la propiedad: “potencia de potencia se multiplican los exponentes”.

Por lo tanto: los coeficientes se elevan a la potencia dada y los exponentes se multiplican.

Ejemplos:

I) 423a VI)

257t

II) 375x VII)

3

2

5x

III) 632m VIII)

4

3

5

1y

IV)

3

5

4

3b IX)

5

2

3

2z

V)

2

4

1h X)

6210m

POTENCIA DE BINOMIOS:

Nota: Cuando hay dos o más variables en un mismo término las letras se acomodan en orden alfabético.

Cuadrado del binomio:

(a + b)2 = (a + b) . (a + b)

(a + b)2 = a . (a + b) + b . (a + b)

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 “ba” se acomodan en orden alfabético = “ab”

Cuadrado

del binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Trinomio cuadrado

perfecto

Cubo del binomio:

(a + b)3 = (a + b)2. (a + b)

(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2) . (a + b) Por ser cuadrado del binomio.

(a + b)3 = a2. (a + b) + 2ab. (a + b) + b2. (a + b)

(a + b)3 = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 “b2a” alfabéticamente = “ab2”

Cubo del

binomio (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Cuatrinomio cubo

perfecto

- 10 -


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

I) (x + 6)2 = ...............................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

...................................................................

...................................................................

VI) (x + 5)3 = ....................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

II) (-4x + 3)2 = ...........................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

...................................................................

...................................................................

VII) (2x – 3)3 = .................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

III) 2

14x ...........................................

....................................................................

....................................................................

...................................................................

...................................................................

...................................................................

VIII) 34 2m .............................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

IV) 2

73m .........................................

....................................................................

....................................................................

...................................................................

...................................................................

...................................................................

IX) 3

4 h ...................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

V) 23 32 xx ........................................

....................................................................

....................................................................

...................................................................

...................................................................

...................................................................

X) 325xx ................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

- 11 -

13) Ejercicio: (hacer los cálculos en la carpeta)

a) 2

14x

b) 3

4x

c) 22 3z

d) 3

23x

e) 2

5a

f) 32 15x

g) 25 2y

h) 35 xx

i) 24 8x

j) 342 2xx

Respuestas:

a) ...............................................................

b) ...............................................................

c) ...............................................................

d) ...............................................................

e) ...............................................................

f) ...................................................................................

g) ...................................................................................

h) ...................................................................................

i) ...................................................................................

j) .................................................................................

POTENCIA EN POLINOMIOS:

Cuando tenemos un polinomio elevado a una potencia, debemos multiplicar por si mismo el

polinomio tantas veces como indica su potencia. Ejemplo:

(x3 + 3x2 – 5x)3 = (x3 + 3x2 – 5x) . (x3 + 3x2 – 5x) . (x3 + 3x2 – 5x)

(x3 + 3x2 – 5x)3 = [(x3 + 3x2 – 5x) . (x3 + 3x2 – 5x)] . (x3 + 3x2 – 5x)

(x3 + 3x2 – 5x)3 = [(x3. (x3 +3x2 –5x) + 3x2. (x3 +3x2 –5x) – 5x . (x3 +3x2 –5x)] . (x3 + 3x2 – 5x)

(x3 + 3x2 – 5x)3 = [x6 + 3x5 – 5x4 + 3x5 + 9x4 – 15x3 – 5x4 – 15x3 + 25x2] . (x3 + 3x2 – 5x)

(x3 + 3x2 – 5x)3 = [x6 + 6x5 – x4 – 30x3 + 25x2] . (x3 + 3x2 – 5x)

(x3 + 3x2 – 5x)3 = x6 . (x3 + 3x2 – 5x) + 6x5 . (x3 + 3x2 – 5x) – x4 . (x3 + 3x2 – 5x)

– 30x3 . (x3 + 3x2 – 5x) + 25x2 . (x3 + 3x2 – 5x)

(x3 + 3x2 – 5x)3 = x9 + 3x8 – 5x7 + 6x8 + 18x7 – 30x6 – x7 – 3x6 + 5x5

– 30x6 – 90x5 + 150x4 + 25x5 + 75x4 – 125x3

(x3 + 3x2 – 5x)3 = x9 + 3x8 + 6x8 – 5x7 + 18x7– x7 – 30x6 – 3x6 – 30x6 + 5x5– 90x5 + 25x5

+ 150x4 + 75x4 – 125x3

(x3 + 3x2 – 5x)3 = x9 + 9x8 + 12x7 – 63x6 – 60x5 + 225x4 – 125x3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

REPASO PARA LA EVALUACIÓN

1) Indicar del siguiente polinomio:

P(X) = x – 2x5 + 4x3 + 7x4– 6

a) Coeficiente principal:..............

b) Coeficiente cúbico: ................

c) Coeficiente cuadrático: ...........

d) Coeficiente lineal: ...................

e) Término independiente:...........

f) Grado del polinomio: ...............

g) ¿Es normalizado?: ...................

Calcular:

2) P(X) + Q(X) + R(X)

3) P(X) – R(X)

4) R(X) . M(X)

5) P(X) . Q(X)

Siendo:

R(X) = 7x – 3x3

Q(X) = x – 2

P(X) = x4 + 5 – 3x3 + 4x

M(X) = – 3x2

6) P(X) + Q(X) . R(X)

7) R(X)2

8) Q(X)3

9) M(X)5

10) Dado P(x) = 7x3 + x – 2x6 – 3 – 5x5

se pide:

a) Ordenar el polinomio en forma creciente.

b) Ordenar y completar el polinomio en forma

decreciente.

- 12 -

DIVISIÓN EN POLINOMIOS

DIVISIÓN DE MONOMIOS:

Cuando se dividen monomios los coeficientes se dividen, y en la parte literal se aplica la propiedad:

“división de potencias de igual base se restan los exponentes”.

Por lo tanto: los coeficientes se dividen y los exponentes se restan.

Ejemplos:

I) 4a2 : (-2a) = VI) 12p4 : 4p3 =

II) 15m6 : (-3m3) = VII) -30h5 : 4h2 =

III) yy 4:2

7 5 VIII) 77 4:8 tt

IV)

38

15

4:6 ww IX) 45

3

1:

5

2bb

V) 33

10

9:

6

5xx X)

26

2

9:

3

7qq

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO:

Se aplica la propiedad distributiva de la división (a derecha) con respecto a la suma y resta. Luego se

realiza la división de monomios. Ejemplos:

I) (35m6 + 40m3 + 10m2) : (5m2) =

...............................................................................

VI) (6h4 – 15h7 + 12h8 – 3h5) : (3h4) =

...........................................................................

II) (12a4 – 4a2 – 8a3 + 16a) : (-4a) =

...............................................................................

VII) (20t7 – 35t4 + 15t – 5t2) : (-5t) =

...........................................................................

III) (8x3 – 6x4) : (2x3) =

...............................................................................

VIII) (x3 + 2x5 – 9x2 + 4x7) : x2 =

...........................................................................

IV) (a5 – a4 + a3 – a2 + a ) : a =

...............................................................................

IX) (9x6 – 6x7 + 3x5) : (-3x5) =

...........................................................................

V)

4547

3

4:

2

16

5

8yyyy

...............................................................................

X)

3345

3

2:

9

8

6

7

3

4bbbb

...........................................................................

14) Resolver.

a) 4a2 : (-2a) = ...................................................... b) 8a2 : 2a = .........................................................

c) (24a2 – 4a3 + 12a) : (-4a) = .................................................................................................................

d) (x3 + 2x5 – 9x2 + 4x7) : x2 = ................................................................................................................

e) (–h5 + h4 – h3 + h2 – h ) : h = ..............................................................................................................

f) (30m3 + 80m2 + 10m4) : (10m2) = ......................................................................................................

g) (9x6 – 6x4 + 3x5) : (-3x4) = .................................................................................................................

h) (–10x3 + 2x) : (2x) = ..........................................................................................................................

- 13 -

DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR EL MÉTODO DE RUFFINI:

Este método sólo se puede aplicar en divisiones de polinomios en los que el divisor sea de grado uno.

La regla de Ruffini permite hallar el cociente y el resto de la división de un polinomio.

Por ejemplo, dados: 106532)( 234 xxxxxP y 2)( xxQ , realizaremos )(:)( xQxP

Primero ordenamos (en forma decreciente) y completamos el polinomio dividendo. En este ejercicio

ya está completo y ordenado.

Luego calculamos el valor de la indeterminada que hace cero el polinomio divisor. 2

02

x

x

A continuación acomodamos de la siguiente forman los

coeficientes del polinomio dividendo y el cero del polinomio

divisor.

2 – 3 5 – 6 10

2 ↓

2

Se escribe el primer coeficiente debajo de la línea horizontal.

Luego, este coeficiente se multiplica por 2 (cero del

polinomio divisor) y el resultado se suma al segundo

coeficiente.

2 – 3 5 – 6 10

2 ↓ 4 2

2 1

Con el valor obtenido se reitera el proceso hasta llegar al final

El último valor obtenido es el resto de la división; los otros

números son los coeficientes del polinomio cociente, con un

grado menos que el polinomio dividendo.

2 – 3 5 – 6 10

2 ↓ 4 2 14 16

2 1 7 8 26

Respuesta. Cociente: 872 23 xxx y resto: 26


II) (4x4 – x3 + x – 6) : (x + 1) III) (z3 – 125) : (z – 5)

Dividendo completo y ordenado:

.......................................................

Raíz del divisor

........................


.......................................................

Raíz del divisor

........................

Rta:

Cociente: ............................................. Resto: ...........

Rta:

Cociente: ............................................. Resto: ...........

IV) (4w5 – w3 + 6w + 3w2 – 9w4 + 7) : (w – 2) V) (3x5 – x4 – 2x3 + 4x + 5) : (x – 1)


.......................................................

Raíz del divisor

........................


.......................................................

Raíz del divisor

........................

Rta:

Cociente: ............................................. Resto: ...........

Rta:

Cociente: ............................................. Resto: ...........

- 14 -

TEOREMA DEL RESTO:

De la misma forma que el método de Ruffini, este método sólo se puede aplicar en divisiones de

polinomios en los que el divisor sea de grado uno.

Se debe sustituir la indeterminada del polinomio dividendo por el número que anula el polinomio

divisor (el mismo que utilizamos en la regla de Ruffini). El resto coincide con el resultado del

cálculo del valor numérico del polinomio dividendo.

Por ejemplo, calcularemos el resto de )(:)( xQxP , recordemos que:

106532)( 234 xxxxxP y 2)( xxQ . (Sabemos que nos tiene que dar 26)

No es necesario ordenar, ni completar los polinomios.

Sustituimos “x” en P(x) por el valor 2.

106532)( 234 xxxxxP

102.62.52.32.2)2( 234 P

10124.58.316.2)2( P

1012202432)2( P

26)2( P => Resto de la división )(:)( xQxP .


II) (4x4 – x3 + x – 6) : (x + 1) III) (z3 – 125) : (z – 5)

Dividendo:

.......................................................

Raíz del divisor

........................

Dividendo:

.......................................................

Raíz del divisor

........................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

Rta, resto de la división: ............................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................


IV) (4w5 – w3 + 6w + 3w2 – 9w4 + 7) : (w – 2) V) (3x5 – x4 – 2x3 + 4x + 5) : (x – 1)

Dividendo:

.......................................................

Raíz del divisor

........................

Dividendo:

.......................................................

Raíz del divisor

........................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................


.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................


15) Actividad: Dadas las siguientes divisiones de polinomios, se pide resolver por:

1) División por Ruffini. 2) Teorema del resto.

a) (y4 – 8y + 2) : (y – 2)

b) (y2 – 7y + 12) : (y – 4)

c) (3x4 + 6x3 + 9) : (x + 2)

d) (3m2 – 2 – m3 + 2m) : (m – 3)

e) (2x3 – 4x2 + 7x – 5) : (x + 1)

f) (7x – 3x2 + x4) : (x + 2)

g) (y4 + 6y3 – 5y2 + 14y) : (7 + y)

h) (7x3 + x – 2x6 – 3 – 5x5 ) : (1 + x)

i) (3x4 – 5x3 – 3x + 2x2 + 3) : (x – 1)

j) (4x3 + 2x + x4 + 8) : (4 + x)

- 15 -

Respuesta: Cociente Resto

a) (y4 – 8y + 2) : (y – 2)

b) (y2 – 7y + 12) : (y – 4)

c) (3x4 + 6x3 + 9) : (x + 2)

d) (3m2 – 2 – m3 + 2m) : (m – 3)

e) (2x3 – 4x2 + 7x – 5) : (x + 1)

f) (7x – 3x2 + x4) : (x + 2)

g) (y4 + 6y3 – 5y2 + 14y) : (7 + y)

h) (7x3 + x – 2x6

– 3 – 5x5) : (x + 1)

i) (3x4 – 5x3

– 3x + 2x2 + 3) : (x – 1)

j) (4x3 + 2x + x4 + 8) : (4 + x)

OPERACIONES COMBINADAS EN POLINOMIOS Sigue las mismas propiedades que las operaciones combinadas con números enteros o racionales.

Hay que respetar el orden de las operaciones. Primero separamos en términos, resolvemos cada

término, y por último se realizan las sumas y/o restas.

Recordemos que la propiedad distributiva se aplica en:

> La multiplicación con respecto a la suma o resta.

> La división (a derecha) con respecto a la suma o resta.

> La potencia con respecto a la multiplicación o división.

> La raíz con respecto a la multiplicación o división.

Y no existe la propiedad

distributiva de la

potencia con respecto a

la suma o resta.


I) 6.243. 5323 aaaa

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

II) 5.22.3423 ttttt

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

III) 43723 242:10834 mmmmmm Recordar que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

IV) 31011323 2:682 xxxxx Recordar que: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

- 16 -

16) Resolver las siguientes operaciones combinadas en polinomios. (Cálculos en la carpeta)

a) (3x2 – x).(-2x3) + (2x – 1)2 – 5x – (1 – 3x2) = ......................................................................................

b) (a + 3)2 – (a + 1) .9 – 2.a = ..............................................................................................................

c) x3 . (x2 – 3) – x3 + 2 . (x5 + 6) = ......................................................................................................

d) (2m + 1)2 – 3m.(m3 – 5m) + 4m2 = ....................................................................................................

e) (w + 1)3 – (3w – 2) . w + (2w)3 = ....................................................................................................

f) (3t + t3)2 – 2.(t3 – 5) + 7t2 = ............................................................................................................

g) 32.232

xxx ....................................................................................................................

h) 12.32142

xxx ................................................................................................................

i) 3.1322 33xxxx .................................................................................................................

j) 2424 32.32 xxxxxx ..........................................................................................................

k) 22 53xx ....................................................................................................................................

l) (12x4 – 3x5) : (-3x3) + (1 – 3x2)2 – 3x2 . (-2x) = ..................................................................................

m) (2x – 1)3 – 5x + (x – 2x2).(-3x) – (1 – 3x2) – 8x5 = ...........................................................................

n) (4x + x3)2 – 2x2.(x3 – 7x) + 3x7: x5 = ...............................................................................................

17) Resolver la división utilizando el método de Ruffini:

a) 2:12 32 xxxx Cociente: ................................................................ Resto: ...............

b) 1:4523 23 xxxx Cociente: ................................................................ Resto: ...............

c) 1:15 xx Cociente: ................................................................ Resto: ...............

d) 1:13 xx Cociente: ................................................................. Resto: ...............

18) Calcular el resto de la división utilizando el Teorema del Resto, luego comparar los resultados

con los del ejercicio 17.

a) 2:12 32 xxxx

b) 1:4523 23 xxxx

c) 1:15 xx

d) 1:13 xx

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REPASO PARA EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA II

1) Dados Q(x) = x – 2

R(X) = 7x – 3x3

P(x) = x4 + 5 – 3x3 + 4x

Calcular:

a) P(X) + Q(X) – R(X) c) P(X) – Q(X) . R(X)

b) P(X) . R(X) d) R(X) 3

2) Resolver: a) (12x5 – 18x4 + 2x7) : (2x4)

b) (x4 + 5x – 3x2 + 4x3 – 1).(- 4x3)

c) (-2x3)5

3) Dada la siguiente división de polinomios:

( x4 + 2 + 5x – 8x2) : (x + 3)

Se pide:

a) Realizar la división por Ruffini.

b) Calcular el resto de la división utilizando el

Teorema del Resto, luego comparar el resultado.

4) Resolver:

a) (4x + x3)2 – 2.(x3 – 7) + 3x2

b) (x4 – 5x2).(-3x) + (1 – 2x2)3 – 6x4

m4 2 1 m indeterminadas polinomio...5) polinomio: cuando el polinomio tiene cinco términos o más...

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