interpolación polinomica trabajo

8/19/2019 Interpolación Polinomica Trabajo

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1. Interpolación Polinomica

La interpolación polinomica consiste en obligar a que la funcióninterpoladora sea un polinomio. Este tipo de interpolación posee la ventaja de quelos polinomios son funciones muy fáciles de tratar y además son sencillas dederivar e integrar. No obstante, la interpolación polinomica no es adecuada paraaproximar funciones que son acotadas ya que los polinomios no tienen estapropiedad.

Con frecuencia se tiene que estimar valores intermedios entre valoresconocidos. La interpolación polinomica es el mtodo más sencillo para reali!ar estos cálculos.

"ecurdese que la formula general de un polinomio de n#ensimo orden es$

f ( x )=a0+a1 x+a2 x+...+an xn=∑

i=0

n

a i xi

%ara n&' puntos, existe uno y solo un polinomio d n#ensimo orden omenor que pasa a travs de todos los puntos. %or ejemplo, sabemos que por dospuntos pasa una l(nea recta )polinomio de grado '*, al igual sucede que por trespuntos pasa una parábola )polinomio de grado +*. El polinomio de interpolaciónconsiste en determinar el nico polinomio de n#ensimo orden que se ajusta a losn&' puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular losvalores intermedios.

-in embargo existe uno y solo un polinomio de n ensimo orden que seajusta a los n&' existen una gran variedad de formulas matemáticas mediante las

cuales se puede expresar esta polinomio, algunos de ellos conocidos son lospolinomios de Ne/ton y los de Lagrange.


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2. Polinomios de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton

El %olinomio de 0nterpolación con 1iferencias 1ivididas de Ne/ton , entreotros es la forma más popular además de las más til. Las formulas de resolverlose basan en un desarrollo polinómico alrededor de un punto.

-e pueden ir agregando trminos al polinomio si se desea aumentar elgrado del mismo, sin tener que modificar los coeficientes de orden inferior. Cabese2alar que en este tipo de interpolación, el polinomio construido no tiene por qutener el mismo orden que el nmero de puntos en la tabla. El resultado de lainterpolación truncada deja solamente un error residual )o de truncamiento* entreel valor de la interpolación y el valor que 3ubiera obtenido con el polinomio degrado máximo que pase por todos los puntos.

4ntes de presentar la ecuación general, se estudiaran las interpretacionesde primero y segundo orden debido a su fácil deducción visual.

a. Interpolación Lineal: es la forma más simple de interpolación,consiste en conectar dos puntos con una l(nea recta.

La forma más sencilla de obtener un valor cerca del punto p es suponer que se tomara en este rango el propio valor de y p )lo que corresponde aun polinomio de grado 5, o sea una función constante*$

y= y p )'*

-i dic3a asignación no resulta ser suficientemente precisa, se puede decidir

representar la variación de yi vs. xi, por una aplicación lineal )polinomio de grado'* que se podrá utili!ar entre los puntos )xp, yp* y )xp&', yp&'*.

y=a0+a

1 x )+*

Los valores de a0 y de a1 se obtienen mediante$

a0=

y p+1 x p− y p x p+1 x p− x p+1 )6*

a1=

y p− y p+1 x p− x p+1 )7*

"eempla!ando las soluciones obtenidas en la ecuación original de la recta, seobtiene$

y= y p+1 x p− y p x p+1

x p− x p+1+

y p− y p+1 x p− x p+1

x )8*


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4l reordenar la expresión, queda una de las dos expresiones )dependiendo decómo se reagrupan los trminos*$

y= y p+( x− x p ) y p+1− y p x p+1− x p

(6 ) y= y p+1+( x− x p+1 ) y p− y p+1 x p− x p+1

(7)

-on formulas de interpolación lineal. Estas dos ecuaciones son por supuestoequivalentes ya que por dos puntos pasa una y solo una recta. La primera formatiene como ventaja que puede ser obtenida como una modificación de la ecuación)'* a la cual se le a2adió un trmino que se anula cuando x9xp.

1e igual forma se puede constatar que el valor de yp, se le suma un trmino quetoma en cuenta la diferencia entre el punto de interpolación y el punto de partida,multiplicado por un trmino de diferencias de y dividida por una diferencia de x. Laliteratura suele dar el nombre de diferencia dividida a esta relación tal como$

x

x

[¿¿ p , x p+1]

[¿ ¿ p+1 , x p]= y p+1− y p x p+1− x p

= y p− y p+1 x p− x p+1

=f ¿

f ¿

):*

-e puede tambin recalcar que esta diferencia dividida es igual a la expresión$

x

x

(¿¿ p− x p+1)+ y p+1

( x p+1− x p)

[¿¿ p+1 , x p]= y p¿

f ¿

);*

Esta notación indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden.

Ejemplo 1: Estime el sen )


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@ue representa un error$ Et9+;.+:;6A. Con el intervalo menor desde x₀9 )*3asta x₁9 )''A.

b. Interpolación !adr"tica: ?na estrategia que mejora laaproximación es la de introducir cierta curvatura en la l(nea queconecta a los puntos. -i se dispone de tres puntos, lo anterior

mencionado se puede llevar a cabo con un polinomio de segundoorden )llamado tambin polinomio cuadrático o parábola * se puedeutili!ar una ecuación cuadrática que cumpla con el conjunto deecuaciones siguientes$

y p=a0+a1 x p+a2 x2

p )'5*

y p+1=a0+a1 x p+1+a2 x2

p+1

y p+2=a0+a1 x p+2+a2 x2

p+2

Existe una sola ecuación cuadrática solución de este conjunto de tres ecuaciones$

y= y p+( x− x p ) y p− y p+1 x p− x p+1

+

y p+2− y p+1 x p+2− x p+1

− y p+1− y p x p+1− x p

x p+2− x p( x− x p+1 ) ( x− x p ) )''*

En esta expresión aparece un nuevo trmino de diferencias divididas de segundo

orden tal como$

f [ x p , x p+1, x p+2 ]=

y p− y p+1 x p− x p+1

− y p+1− y p+2 x p+1− x p+2

x p− x p+2=

f [ x p , x p+1 ]−f [ x p+1, x p+2] x p− x p+2

)'+*


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x p+2, x

[¿¿ p+1 , x p]=

y p+2− y p+1 x p+2− x p+1

− y p+1− y p x p+1− x p

x p+2− x p=

f [ x p+2, x p+1 ]−f [ x p+1, x p ] x p+2− x p

(13)

f ¿

x p+2, x

[¿¿ p+1 , x p]f [ x p , x p+1 , x p+2 ]=f [ x p , x p+2 , x p+1 ]=...=f [ x p+2, x p , x p+1 ]=f ¿

)'7*

B tambin$

f [ x p , x p+1 , x p+2 ]= y p

( x p− x p+1 )( x p− x p+2)+

y p+1

( x p+1− x p )( x p+1− x p+2)+

y p+2

( x p+2− x p )( x p+2− x p+1) )

'8*

4s( la ecuación )''* se transforma con esta nueva escritura$

y=f [ x p ]+ f [ x p , x p+1 ] ( x− x p )+ f [ x p, x p+1 , x p+2 ] ( x− x p ) ( x− x p+1) )'>*

Ejemplo 2: 4juste un polinomio de segundo grado a los tres puntos del

ejemplo '

x p=0 y p=0 x p+1= π

3 y p+1=

√ 32

x p+2=π

2 y p+2=1

sese el polinomio para evaluar sen )


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y1=

y p− y p+1 x p− x p+1

y1=

√ 32−0

π

3−0

=0,0144337567297406

%ara 6er termino$

y2=

y p+2− y p+1 x p+2− x p+1

− y p+1− y p x p+1− x p

x p+2− x p y2=

1−√ 32

π

2−

π

6

−0,0144337567297406

π

2−0

=−0.00011075485

43ora si sustituyendo los valores obtenidos en los anteriores procesos en la

ecuación )''* tenemos el polinomio

y=0+0,0144337567297406 ( x− x p )−0.00011075485 ( x− x p+1) ( x− x p )

y=0+0,0144337567297406 ( x )−0.00011075485 ( x )( x−π 3 )

Que se evalúa en x = π

4 para

y=0,873797632095822

@ue representa un error relativo de et 9 +,>;58>77+;>77++A.

Este proceso nos permite tener el valor requerido en menos repeticiones conrespecto a la interpolación lineal.

c. #orma $eneral de los polinomios de interpolación de Newton:

los análisis se pueden generali!ar en el ajuste de un polinomio de n#ensimo orden de los n&' puntos.

El polinomio de n#simo grado es$

f n ( x )=b0+b1 ( x− x0 )+b2 ( x− x0 ) ( x− x1)+…+bn ( x− x0 ) … ( x− xn−1 ) )'D*


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los puntos asociados con datos se utili!an para evaluar los coeficientes b5, b',...,bn. %ara un polinomio de n#simo grado se requieren n & ' puntos$ x 5, f ) x 5*F, x ',f ) x '*F,..., xn, f ) xn*F. ?samos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes$

b0=f ( x0 )(18)

b1=f [ x1 , x0 ] (19)

b2=f [ x2, x1, x0 ] (20)

bn=f [ xn , xn−1 , … , x0 ] (21 )

1onde las evaluaciones de la función colocadas entre parntesis son diferencias

divididas finitas. %or ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma generalse representa como

f [ x i , x j ]=f ( xi )−f ( x j )

x i− x j(22 )

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dosprimeras diferencias divididas, se expresa en forma general como

f [ x i , x j , xk ]=f [ x i , x j ]−f [ x j , xk ]

x i− xk 23

Generali!ando la definición de diferencias divididas para órdenes superiores, setiene$

f [ x p , x p+1 , … . , xq−1 , xq ]=f [ x p, … . , xq−1 ]−f [ x p+1 , … . , xq]

x p− xq )+7*

Estas diferencias sirven para evaluar los coeficientes en las ecuaciones )':* a)+'*, los cuales se sustituirán en la ecuación )'D* para obtener el polinomio de

interpolaciónf n ( x )=f ( x0 )+ ( x− x0 ) f [ x1 , x0 ]+( x− x0 ) ( x− x1 ) f [ x2 , x1 , x0 ]+…+( x− x0 ) ( x− x1 ) … ( x− xn−1 ) f [ xn , xn−1, …

La ecuación general para orden n nos quedar(a$


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f [ x p , x p+1 , … . , xq−1 , xq ]=∑i= p

q y i

∏i= p j ≠i

q

( x j− x i) )+>*

Como se 3a visto en las ecuaciones )>* y )D*, la ecuación de la recta puede ser escrita en dos formas distintas. En realidad, cualquiera sea el orden del polinomio,existen numerosas formas de escribir las mismas expresiones, dependiendo de lasecuencia de los puntos sobre la cual se apoya la construcción del polinomio.

Ejemplo %: -iguiendo con el ejemplo ', a3ora agregando un cuarto punto.

Construir un polinomio de interpolación de Ne/ton con diferencias divididasde tercer orden.

x p=0 f ( x0 )=0 x p+1= π

6 f ( x1 )=

1

2 x p+2=

π

3 f ( x2 )=

√ 32

x p+3=π

2f ( x3 )=1

-olución$

?tili!ando la ecuación )'D*, con n 9 6, el polinomio de tercer grado es

f n ( x )=b0+b1 ( x− x0 )+b2 ( x− x0 ) ( x− x1)+b3 ( x− x0 )( x− x1 )( x− x2)

Las primeras diferencias divididas del problema son ecuación )++*F

f [ x1, x0 ]=

1

2−0

π

6−0

=0.01666667

f [ x2 , x1 ]=√ 32−

1

2

π

3−

π

6

=0.01220085

f [ x3 , x2 ]=1−√ 3

2π

2−

π

3

=0.00446582

Las segundas diferencias divididas son ecuación )+6*F


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f [ x2 , x1 , x0 ]=0.01220085−0.01666667

π

3−0

=−7.443 X 10−5

f

[ x

3

, x2

, x1 ]=

0.00446582−0.01220085

π 2−π

6

=−0.00012892

La tercera diferencia dividida es ecuación )+7* con n 9 6F

f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]=−0.00012892−(−7.443 X 10−5)

π

2−0

=−6.05490 X 10−7

Los resultados de fx', x5F, fx+, x', x5F y fx6, x+, x', x5F representan los

coeficientes b', b+ y b6 de la ecuación )7*, respectivamente. Hunto con b5 9 f)x5*9 5.5, la ecuación )7* es

f 3 ( x )=0+0.01666667 ( x )−7.443 X 10−5 ( x )( x−π 6 )−6.05490 X 10−7 ( x )( x− π 6 )( x− π 3 )

La cual sirve para evaluar f6 )π

4 * 95.D58::;+;, que representa un error relativo$

et 9 5.'DA.

%. Es&!ema 'rafico de la Nat!rale(a )ec!rsiva de !na DiferenciaDividida #inita

*. +ipos de Interpolación de Newton

-e utili!an cuatro formas básicas de escribir los polinomios, denominadasexpresión de Ne/ton diagonal 3acia delante, expresión de Ne/ton diagonal 3acia


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atrás, expresión de Ne/ton !ig#!ag 3acia delante y expresión de Ne/ton !ig#!ag3acia atrás. Ciertos autores utili!an el nombre de Ne/ton#Gregory para losllamados aqu( Ne/ton diagonal y mtodo de Gauss al mtodo de Ne/ton !ig#!ag.

Ibsrvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Ne/ton, seencuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas. El polinomiode interpolación de Ne/ton se define de la siguiente manera$

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )110102010 −−−−++−−+−+= nn x x x x x xb x x x xb x xbb x f )+D*

Epresión de Newton dia$onal -acia delante: El desarrollo completo delpolinomio de Ne/ton diagonal 3acia delante, se obtiene mediante lasiguiente ecuación partiendo del punto p de la tabla.

pn ( x )= y p+∑i=1

n

(∏i=1

p+i−1

( x− xi )) f [ x p , x p+1, … . , x p+i ] )+:*Cabe se2alar que todos los coeficientes de diferencias divididas queaparecen en la fórmula pertenecen a la diagonal superior de la tabla '.

• Epresión de Newton dia$onal -acia atr"s: El desarrollo completo delpolinomio de Ne/ton diagonal 3acia atrás, es muy parecido al caso anterior,siendo esta ve! la diagonal inferior la que se describe en la tabla )partiendodel punto q de la tabla*.

pn ( x )= y p+∑i=1

n

( ∏ j= p

p+i−1

( x− x j )) f [ x p, xq−1 , … . , xq−i ] )+;*El polinomio de Ne/ton diagonal 3acia atrás utili!a, a partir de un puntodado, la diagonal regresiva de la tabla de diferencias )divididas*.

• Epresión de Newton (i$(a$ -acia delante: -e prefiere a menudoutili!ar otra forma para construir un polinomio de interpolación que empiececerca de un valor J de la tabla. En este caso, para evitar 3acer cálculosprevios para saber cuál es el punto original de la tabla que se debe utili!ar para un grado dado, se construye un polinomio que empie!a en el punto J yluego se apoya en las diferencias divididas, primero 3acia delante y luego3acia atrás y as( sucesivamente. 0ntroduciendo el trmino de división entera) K *$

pn ( x )= yk +∑i=1

n

(∏ j=1

k +1

( x− xk +t i/2 ))f [ xk −1/2, … . xk , … . , xk +(i+1)/ 2 ] )65*


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1onde t vale ' si j es par, #' si j es impar. Este polinomio se construye apartir del punto yJ, y luego se utili!a las diferencias )divididas* primero 3aciadelante y luego alterando 3acia atrás y 3acia delante.

• Epresión de Newton (i$(a$ -acia atr"s: El desarrollo completo delpolinomio de Ne/ton !ig#!ag 3acia atrás que se inicia en el punto Jcorresponde a la expresión$

pn ( x )= yk +∑i=1

n

(∏ j=1

k +1

( x− xk +t i /2 )) f [ xk −(i+1 )/2 ,… . xk ,…. , xk +i/2 ] )6'*Este polinomio se construye a partir del punto yJ, y luego se utili!a lasdiferencias )divididas* primero 3acia atrás y luego alterando 3acia delante y3acia atrás.

Ejemplo *: Ibtener el polinomio de interpolación usando la fórmula deinterpolación de Ne/ton en diferencias divididas con los datos de la tablaque aparece a continuación, e interpolar en el punto x9 7.

xk 6 1 #D ' > #8

yk #6D -7 #'+D #' #'+D #;'

De: f)x*9 #'6 x2

6 x

-abemos que si tenemos los n&' puntos )xi,yi*, i95... n, y queremos calcular elpolinomio que interpola endic3os puntos utili!ando la fórmula de interpolación deNe/ton en diferencias divididas, 3emos de usar$

pn ( x )= y p+∑i=1

n

(∏i=1

p+i−1

( x− xi )) f [ x p , x p+1, … . , x p+i ]En las que aparecen las diferencias divididas fx5,...,xiF, obtenidas a partir de los

valores proporcionados por la tabla inicial. Calculamos entonces la tabla dediferencias divididas$


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1onde se 3a expresado por brevedad la diferencia dividida fxJ,xJ&',...,xJ&pFcomo fxJMM xJ&pF.La diagonal de la tabla dediferencias divididas, en color rojo, esentonces$ 6D,'8,6,5,5,5F, que se corresponde exactamente con el conjuntodevaloresque aparece en la fórmula y por tanto, los polinomios de Ne/ton son lossiguientes

p0 )x* 9 #6D )interpolaen el primer punto*

p1 )x* 9 #'8 )x#6* & p0 )x* 9 '8 x&: )interpola en los + primeros puntos*

¿ p2¿ x* 9 6 ) x6 * ) x' * &

p1 )x* 9 '6 x+6 x )interpola entodoslos

puntos*

I tambin$

p)x* 96D '8)x6*6) x6 * ) x' * 9'6 x2

6 x

-i se quiere interpolar en un punto concreto, lo mejor es tomar el polinomio deinterpolación en su forma de Ne/ton y reordenarlo al estilo "uffini#orner expresando el polinomio como$

p/0 %34/%0 /154/10 /%00

lo que supone reali!ar a lo sumo 7 sumas=restas y + multiplicaciones parainterpolar en un punto x. %ara interpolar entonces en x9 7, basta sustituir la x dela expresión reordenada anterior por su valor 7 para obtener p)7* 96D.-i setuviera el polinomio en su forma normal, como combinación lineal de O',x,x+,...,xnP,deber(amos usar el algoritmo clásico de "uffini#orner, ya que supondr(a + sumasy + multiplicaciones, como se ve a continuación. En este caso, para obtener el

valor en x 9 7 del polinomio de interpolación p)x* 9 '6 x+6 x colocamos loscoeficientes de mayor a menor exponente y operamos de la forma usual

#7 #6 #6 #'#6 ; #6D

o bien


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p/*0 /% . /*0%0 . /*0 1 %3

Ibteniendo el mismo resultado que antes, p)7* 9 6D, con el mismo nmero demultiplicaciones y la mitad de sumas=restas.

5. Errores en los Polinomios Interpolantes de Newton.

Nótese que la estructura de la ecuación )'>* es similar a la de la expansiónde la serie de Qaylor en el sentido de que los trminos agregados secuencialmenteconsideran el comportamiento de orden superior de la función representada. Estostrminos son diferencias divididas finitas y, por lo tanto, representanaproximaciones a las derivadas de orden superior. En consecuencia como sucedecon la serie de Qaylor, si la función representativa es un polinomio de n#ensimoorden, el polinomio interpolante de n#ensimo orden basado en n&' llevara aresultados exactos.

Qambin como en el caso de la serie de Qaylor, se puede obtener unaformulación del error de truncamiento. "ecurdese que la ecuación del error detruncamiento en la serie de Qaylor se expresa en forma general como$

xi+1− x i¿¿

Rn= f

(n+1 ) (ξ )(n+1 ) !

¿ )6+*

En donde R es un punto cualquiera dentro del intervalo [ x i , x i+1 ] . ?narepresentación análoga del error de un polinomio interpolante de n#ensimo ordenesta dada por$

Rn= f

(n+1 ) (ξ )(n+1 ) !

( x− x0 ) ( x− x1 ) … . ( x− xn ) )66*

En donde R es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene lasincógnitas y los datos. %ara uso de esta formula la función en cuestión debe ser conocida y diferenciable. B usualmente, este no es el caso afortunadamente,existe una fórmula alternativa que no requiere conocimiento previo de la función.

En ve! de ello, se usa una diferencia dividida finita que aproxima la )n&'*#enesimaderivada$

Rn=f [ x , xn, xn−1, … .. , x0 ] ( x− x0 ) ( x− x1 ) … …( x− xn) S.)67*


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En donde f [ x , xn , xn−1 , … .., x0 ] es la )n&'*#ensima diferencia dividida. Ba que la

ecuación anterior, contiene incógnita f ( x ) , esta no se puede resolver y obtener

el error. -in embargo, si se dispone de un dato adicional f ( xn+1 ) , la ecuación

anterior da una expresión del error como$ Rn=f [ x , xn, xn−1, … .. , x0 ] ( x− x0 ) ( x− x1 ) … …( x− xn) )68*

Ejemplo 5: Con la ecuación )'>* estime el error en la interpolaciónpolinomial de segundo grado del ejemplo +. ?se el dato adicional f)x6* 9f)

π

6 * 9 5.:>>5+87 para obtener sus resultados.

Solución:

"ecuerde que en el ejemplo 7 el polinomio de interpolación de segundo grado

proporcionó una estimación, f+)π

4 * 9 0,873797632095822 , que representa un

error de 5.D5D'5>D: T 0,873797632095822 9#5.'>>>;5:8. -i no se 3ubiera

conocido el valor verdadero, como usualmente sucede, la ecuación )'>*, junto conel valor adicional en x6, pudo 3aberse utili!ado para estimar el error,

R2=f

[ x

3, x

2, x

1, x

0

] ( x )

( x−

π

3

)( x−

π

2

) R

2=−6.05490 X 10−7 ( x )( x− π 3 )( x− π 2 )

1onde el valor de la diferencia dividida finita de tercer orden es como se calculóantes en el ejemplo >. Esta expresión se evala en x 9 + para obtener

R2=−6.05490 X 10−7( π 4 )( π 4− π 3 )( π 4−π 2 )=−0.01838929

@ue es aproximado al valor de magnitud que el error verdadero.

6. Polinomios de Interpolación de La$ran$e


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En análisis numrico, el polinomio de Lagrange, llamado as( en 3onor aHosep3#Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpolaun conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 'D;8, pero lodescubrió Ed/ard Uaring en 'DD; y fue redescubierto más tarde por Leon3ardEuler en 'D:6. 1ado que existe un nico polinomio interpolador para un

determinado conjunto de puntos, resulta algo enga2oso llamar a este polinomio elpolinomio interpolador de Lagrange. ?n nombre más apropiado es interpolaciónpolinómica en la forma de Lagrange.

El polinomio de interpolación de Lagrange corresponde a otra forma deescribir el mismo polinomio de interpolación de grado n que pasa exactamente por el conjunto de n&' puntos )xi,yi*. La idea principal es la de crear un polinomio degrado n que se caracteri!a por valer ' cuando se evala en xi y valer 5 cuando seevala en cualquier otro punto de la tabla$

Li ( x= xi )=1 Li ( x= xk ≠ 1 )=0

i y J son puntos de la tabla. Gracias a esta definición, la expresión del polinomiode interpolación puede ser escrita como )aqu( tambin n9q#p*$

pn ( x )=∑i= p

q

Li ( x ) y i

Ba que cada uno de los Li)x* es un polinomio de grado n que se anula paracualquier valor de J distinto de i )o sea que todos los xJ, son ra(ces de estepolinomio* su expresión general es de la forma$

Li ( x )=ai∏k = pk ≠i

q

( x− xk )

43ora bien, por el 3ec3o de que este polinomio se vuelve igual a la unidad en elpunto xi, la siguiente ecuación se cumple$

i=¿ 1

∏k = pk ≠i

q

( x i− xk )

a¿

Esto significa que la expresión general del polinomio de Lagrange es$


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Li=

∏k = pk ≠i

q

( x− xk )

∏k = p

k ≠ i

q

( x i− xk )

Cuya forma más práctica en computación es )reduce los errores en los cálculosintermedios*

Li ( x )=∏k = pk ≠i

q ( x− xk )( xi− xk )

"eempla!ando esta ltima expresión en la definición del polinomio de Lagrange,se obtiene la fórmula$

pn ( x )=∑i= p

q

(∏k = pk ≠i

q ( x− xk )( xi− xk ) ) yi

Esta expresión indica que el valor de interpolación obtenido con el polinomio deLagrange corresponde a un promedio ponderado de todos los valores quepertenecen a la tabla de datos originales )coeficiente igual a ' para este punto eiguales a 5 para todos los otros*. En el caso de los puntos intermedios, seponderan cada uno de los valores de la tabla por un nmero proporcional a cuándistante está ese punto de cualquiera de los otros puntos de la tabla de datos.

Ejemplo 6: Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos$


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-olución:

Qenemos que$

)()()()()( 3321100 xl y xl y xl y xl y x f +++=

)(3)(2)()(2)( 3210 xl xl xl xl x f −++−=

Donde:

48

)7)(5)(3(

)6)(4)(2(

)7)(5)(3()(0

−

−−−=

−−−

−−−=

x x x x x x xl

16

)7)(5)(1(

)4)(2)(2(

)7)(5)(1()(1

−−−=−−

−−−= x x x x x x

xl

16

)7)(3)(1(

)2)(2)(4(

)7)(3)(1()(2

−

−−−=

−

−−−=

x x x x x x xl

48

)5)(3)(1(

)2)(4)(6(

)5)(3)(1()(3

−−−=

−−−=

x x x x x x xl

-ustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue$

−−−

−

−−−

−

−−−

+

−−−

= 16

)5)(3)(1(

8

)7)(3)(1(

16

)7)(5)(1(

24

)7)(5)(3(

)(

x x x x x x x x x x x x

x f

Calculando para x97, tenemos que f)x*9#'.+5:

3. Desventaja de s! !so

-i se aumenta en nmero de puntos a interpolar )o nodos* con la intenciónde mejorar la aproximación a una función, tambin lo 3ace el grado del polinomiointerpolador as( obtenido, por norma general. 1e este modo, aumenta la dificultaden el cálculo, 3acindolo poco operativo manualmente a partir del grado 7, dadoque no existen mtodos directos de resolución de ecuaciones de grado 7, salvoque se puedan tratar como ecuaciones bicuadradas, situación extremadamenterara.

La tecnolog(a actual permite manejar polinomios de grados superiores singrandes problemas, a costa de un elevado consumo de tiempo de computación.%ero, a medida que crece el grado, mayores son las oscilaciones entre puntos


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consecutivos o nodos. -e podr(a decir que a partir del grado > las oscilaciones sontal que el mtodo deja de ser válido, aunque no para todos los casos.

-in embargo, pocos estudios requieren la interpolación de tan sólo >puntos. -e suelen contar por decenas e incluso centenas. En estos casos, elgrado de este polinomio ser(a tan alto que ser(a inoperable. %or lo tanto, en estoscasos, se recurre a otra tcnica de interpolación, como por ejemplo a la0nterpolación polinómica de ermite o a los splines cbicos

Itra gran desventaja, respecto a otros mtodos de interpolación, es lanecesidad de recalcular todo el polinomio si se var(a el nmero de nodos.

7. 8proimación

4 diferencia del criterio utili!ado para la interpolación, la aproximación nobusca pasar exactamente por todos los puntos simultáneos. %ero a su ve! no

quiere alejarse demasiado de ninguno. Es conveniente medir de alguna forma elgrado de alejamiento o de error que se comete en la evaluación de cada punto. -edefine con este fin el residuo en cada punto como la diferencia entre la imagenexperimental del punto i y su valor aproximado a travs de la función propuesta.

ri= y i−f ( x i )

El error cometido en la evaluación de todos los puntos puede ser estimadofácilmente mediante el cálculo de la norma del vector residuo$

∥r ∥e=

√∑i= pq

ri2

=

√∑i= pq

( y i−f ( x i ))2

La expresión de f)xi* es genrica, sin embargo, es comn buscar unafunción de aproximación obtenida como una combinación lineal de funcioneselementales

f ( x i )=C 0 f 0 ( x i )+C 1 f 1 ( x1 )+…+C n f n ( x i )=∑ j=o

n

C j f j ( xi )

Cabe se2alar que cuando se conoce la ley f(sica que rige el sistema al cual

corresponden los puntos experimentales, es recomendable utili!ar la ecuaciónespec(fica en ve! de la fórmula expuesta previamente.

9. )e$resión por el mtodo de m;nimo c!adrados

Cuando se asocia un error sustancial a los datos, la interpolación polinomiales inapropiada y puede llevar a resultados no satisfactorios cuando se usa para


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predecir valores intermedios. Los datos experimentales a menudo son de ese tipo.?na estrategia más apropiada en estos casos es la de obtener una funciónaproximada que ajuste VadecuadamenteW el comportamiento o la tendenciageneral de los datos, sin coincidir necesariamente con cada punto en particular.?na l(nea recta puede usarse en la caracteri!ación de la tendencia de los datos

sin pasar cobre ningn punto en particular. ?na manera de determinar la l(nea, esinspeccionar de manera visual los datos graficados y luego tra!ar la VmejorW l(nea atravs de los puntos. 4unque este enfoque recurre al sentido comn y es válidopara cálculos a Vsimple vistaW es deficiente ya que es arbitrario. Es decir, a menosque los puntos definan una l(nea recta perfecta )en cuyo caso la interpolación seriaapropiada*, cada analista tra!ara rectas diferentes.

La manera de quitar esta subjetividad es considerar un criterio quecuantifique la suficiencia del ajuste. ?na forma de 3acerlo es obtener una curvaque minimice la diferencia entre los datos y la curva y el mtodo para llevar a caboeste objetivo es al que se le llama regresión con m(nimos cuadrados.

El mtodo de los m(nimos cuadrados es un mtodo general que se basa enel uso de la norma euclidiana para calcular la norma del residuo. -e busca elm(nimo error cuadrático entre los puntos experimentales y sus valoresaproximados. Las funciones que se suelen utili!ar son expresiones de uso sencilloal análisis. Los casos más comunes son la regresión lineal )o sea, la aproximaciónpor una recta* y las aproximaciones polinómicas.

)e$resión lineal: La regresión lineal, a pesar de su sencille!, sigue siendomuy utili!ada en los cálculos ingenieriles. Esto se debe a varios factores,entre los cuales se destacan la rapide! con la cual puede ser obtenida y loimportante que es el conocer la tendencia de un fenómeno, la cual seaprecia directamente al ojear los coeficientes de la recta obtenida. Laecuación buscada es de la forma$

y=C 0+C

1 X

La norma euclidiana del residuo es por ende$

∥r ∥e=√∑i= p

q

( y i−(C 0+C 1 x i ))2

-u m(nimo será alcan!ado cuando las dos ecuaciones siguientes son ciertassimultáneamente$

∂∥r ∥e

∂ C 0=0

∂ ∥r∥e

∂C 1=0

4l desarrollar los cálculos de las derivadas parciales, se obtiene$


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{ 2∑i= pq

( y i−( C 0+C 1 x i ) )=0

2∑i= p

q

x i ( y i−(C 0+C 1 x i) )=0

"eagrupando los trminos en forma adecuada, se llega a una forma matricial muysencilla

(∑i= pq

1 ∑i= p

q

x i

∑i= p

q

x i ∑i= p

q

x i x i)(C 0C 1)=( ∑i= pq

yi

∑i= p

q

x i y i)Ibviando los l(mites de la sumatoria para aliviar la nomenclatura, se obtiene laexpresión final$

(q− p+1 ∑ x i∑ x i ∑ x i2)(C 0C 1)=( ∑

y i

∑ x i y i)La solución de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es inmediata$

C 1=

(q− p+1 )∑ x i y i−∑ x i∑ y i( q− p+1 )∑ x i2−∑ x i∑ x i

C 0= ∑ x

i

∑ xi y i−∑ y

i

∑ xi

2

( q− p+1 )∑ x i2−∑ x i∑ y i=∑ y

i−C i∑ xi

q− p+1

Cabe se2alar que existen dos usos especiales de la regresión lineal aformulaciones que no son lineales. -e trata de la expresión exponencial y de la

regresión de potencias. La primera corresponde a la expresión y 9 C 0 exp )c'x*

mientras que la segunda es y 9 coxc'. 4l recordar la propiedad de la funciónlogar(tmica Ln)ab*9Ln)a* & Ln)b* se obtienen las ecuaciones$

ln ( y )=ln (C 0 )+C 1 X ln ( y )=ln ( C 0 )+C 1 ln ( X )

Estas son expresiones de dos rectas de coeficientes Ln)co* y c'. -e recuerda quese debe solamente 3acer un cambio de variable de una sola variable en el primer caso y de las dos variables en el segundo caso. Este procedimiento es totalmenteequivalente al 3aber dibujado una recta en un papel semi#logar(tmico )primer caso*o en un papel log#log )segundo caso*.


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)e$resión polinómica: En numerosos casos de la ingenier(a, se requierenexpresiones matemáticas más elaboradas que una sencilla recta paraaproximar un conjunto de datos. La primera alternativa que se suele recurrir es la aproximación polinómica. El procedimiento de cálculo es más largoque en el caso de la regresión lineal, pero los resultados son más precisos.La expresión de aproximación buscada es de forma$

pn ( xi )=∑ j=0

n

C j x i j

?tili!ando la forma matricial para la expresión del residuo, se tiene$

∥r ∥e= y− Pc

-iendo % la matri! )q#p&'*x)n&'* de las potencias polinómicas a cada unode los q#p&' puntos del conjunto de datos

%or un conjunto de q#p&' puntos pasa un solo polinomio de grado q#p. Estoimplica que el grado n del polinomio de aproximación no puede ser superior a q#p)nq#p*. -i n es igual a q#p, la matri! % es cuadrada y se puede obtener una normadel residuo exactamente nula. -i nXq#p, entonces el sistema es sobre#determinadoy existe una infinidad de soluciones. -in embargo existe una sola que minimice lanorma del vector residuo. -e puede demostrar que la solución que minimi!a el

residuo es de la forma$

0= P T y− PT PC

"a!ón por la cual el vector solución puede ser obtenido por la fórmula$

[ PT P]c=[ PT y ]

En donde el producto de la matri! transpuesta P(n+1) x(q− p+1)T

por la matri!

P(q− p+1) x (n+1)

arroja una matri! cuadrada de tama2o )n&'*x)n&'*, y el vector columna se obtiene por multiplicación de la matri! P(n+1) x(q− p+1)

T

por el vector

columna y)q#p&'*x'. El resultado de estos productos genera el sistema matricialsiguiente$


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)e$resión m!ltif!nción m!ltivariable: El concepto de la aproximaciónpor el mtodo de los m(nimos cuadrados puede ser generali!ado a unafunción más compleja del tipo$

f ( x i )=C 0 f 0 ( x i )+C 1 f 1 ( x1 )+…+C n f n ( x i )=∑ j=o

n

C j f j ( xi )

En esta expresión x representa un vector de variables x. La norma del residuo secalcula mediante la expresión matricial$

∥r ∥e= y− F C

-iendo Y la matri! )q#p&'*x)n&'* que contiene todas las evaluaciones de las n&'funciones fj reali!adas en los q#p&' puntos xi

La solución de este problema sobredimensionado se obtiene por la ecuación$

[ F T F ] c=[ F T y ]

Esta expresión puede ser desarrollada y el resultado matricial )utili!ando unanomenclatura simplificada* es$

1onde en realidad$


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∑ f j f k =∑ f j ( x i ) f k ( x i )∑ y i f j=∑ y i f j ( x i )

1


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Cuando derivamos una función en forma anal(tica, generamos una segundafunción que se usa para calcular la derivada para diferentes valores de la variableindependiente.

La función que será diferenciada estará usualmente en una de las

siguientes tres formas$• ?na función simple contina tal como un polinomio, una exponencialo una función trigonomtrica.

• ?na función continua complicada que es dif(cil o imposible dediferenciar de una manera directa.

• ?na función tabulada donde los valores de x y f)x* están dados en unnmero de puntos discretos, como es frecuente en el caso de datosexperimentales o de campo.

%ara aproximar la derivada numricamente usaremos cocientes dediferencias.

1onde y y f)x* son representaciones alternativas de la variable dependiente y x esla variable independiente. -i se permite que [x se aproxime a cero, la diferenciase torna como una derivada.

\%ara derivar las formulas usaremos el Qeorema de Qaylor

12.+ipos de diferenciación n!mrica

Existen 6 diferentes tipos de aproximación numrica$

o 8proimación a la primera derivada con diferencias -acia atr"s

La serie de Qaylor se puede expandir 3acia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por$


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Qruncando la ecuación despus de la primera derivada y ordenando los trminosse obtiene$

1onde los errores es 5 )3* y el diferencial indica la primer diferencia dividida 3aciaatrás.

o 8proimación a la primera derivada con diferencias -acia adelante


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1onde al diferencial se le conoce como la primera diferencia 3acia adelante y a 3se le llama tama2o del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se 3acela aproximación. -e le llama diferencia Z 3acia adelante Z ya que usa los datos )i* e)i&'* para estimar la derivada. 4l termino completo )o sea, la diferencial entre 3* seconoce como primera diferencia dividida finita.

o 8proimación a la primera derivada con diferencias centrales

?na tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación de laexpansión en serie de Qaylor 3acia adelante$

%ara obtener$

@ue se puede resolver para$


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Esta ltima ecuación es una representación de las diferencias centrales de

la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de encontraste con las diferencias divididas 3acia adelante y 3acia atrás, las cualesfueron de orden 3.

%or lo tanto, el análisis de la serie de Qaylor 3a llevado a la informaciónpráctica de que la diferencia central es la representación más exacta de laderivada. %or ejemplo, si se parte el tama2o del paso a la mitad usandodiferencias 3acia atrás o 3acia adelante, el error se reducirá aproximadamente a lamitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.


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Ejemplo 3:

-ea la función ln x , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto

x=5 , en base a la siguiente tabla, con =0.1 , aplicando la formula de la

segunda diferencia finita 3acia adelante, 3acia atrás, central.

x 7.D 7.: 7.; 8.5 8.' 8.+ 8.6

f ( x) '.87D8> '.8>:>+ '.8:;++ '.>5;77 '.>+;+7 '.>7:>> '.>>DD

=ol!ción:

%ara f ( x )=ln x . El valor verdadero de f (5 )=0 .2 y f (5 )=−0 .04

Primera derivada


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f ( x0 )=−f ( x0+2)+4 f ( x0+1 )−3 f ( x0 )

2 =

−f (5.2 )+4 f (5.1 )−3 f (5 )2(0.1)

f ( x0 )=−1.64866+4 (1.62924 )−3 (1.60944 )

0.2 =

−1.64866+6.51696−4.828320.2

f ! ( x0 )=0.03998

0.2=0.1999

"r=|# $−# a# $ |=|0.2−0.19990.2 |=1%10−4 , "=|1%10−4 %100|=0.01=e$!nda derivada

f ! ! ( x0 )=−f ( x0+3 )+4 f ( x0+2 )−5 f ( x0+1 )+2 f ( x0 )

2

f ! ! ( x0 )=−f (5.3 )+4 f (5.2)−5 f (5.1 )+2 f (5 )

(0.1)2

f ! ! ( x0 )=−1.6677+4 (1.64866 )−5 (1.62924 )+2 (1.60944 )

0.01

f ! ! ( x0 )=

−1.6677+6.59464−8.1462+3.218880.01

=−3.8%10−4

0.01=−0.038

"r=|# $−# a# $ |=|−0.04−(−0.038)

−0.04 |=0.05, "=|0.05%100|=5

o Diferencias finitas -acia atr"s

Primera derivada

f ( x0 )=f ( x0)−f ( x0−1 )

=

f (5 )−f (4.9)0.1

=1.60944−1.58922

0.1 =0.2022


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"r=|# $−# a# $ |=|0.2−0.20220.2 |=0.011, "=| " r %100|=(0.011 )%100=1.1=e$!nda derivada

f ( x0 )=f ( x0 )−2 f ( x0−1 )+f ( x0−2 )

2

=f (5 )−2 f (4.9 )+ f (4.8 )

(0.1)2

f ! ! ( x0 )=1.60944−2 (1.58922 )+1.56862

0.01=−3.8%10−4

0.01=−0.038

"r=|# $−# a# $ |=|−0.04−(−0.038)

−0.04 |=0.05, "=| "r %100|=(0.05 ) %100=5

o Diferencias finitas central

Primera derivada

f ! ( x0 )=f ( x0+1 )−f ( x0−1)

2 =

f (5.1 )−f (4.9 )2 (0.1)

=1.62924−1.58922

0.2=0.04002

0.2=0.2001

"r=|# $−# a# $ |=|0.2−0.20010.2 |=5%10−4 , "=| "r %100|=0.05=e$!nda derivada

f ( x0 )=f ( x0+1 )−2 f ( x0 )+ f ( x0−1)

2

= f (5.1 )−2 f (5 )+f (4.9 )

(0.1)2

f ( x0 )=

1.62924−2 (1.60944 )+1.589220.01

=1.62924−3.21888+1.58922

0.01 =−0.042

"r=|# $−# a

# $ |=|−0.04−(−0.042)

−0.04 |=0.05, "=| "r % 100|=(0.05 ) %100 =5

1%.Inte$ración N!mrica


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En análisis numrico la integración numrica constituye una amplia gamade algoritmos para calcular el valor numrico de una integral definida y, por extensión, el trmino se usa a veces para describir algoritmos numricos pararesolver ecuaciones diferenciales. El trmino cuadratura numrica )a menudoabreviado a cuadratura* es más o menos sinónimo de integración numrica,

especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para elcaso de dos o más dimensiones )integral multiple* tambin se utili!a.

En ingenier(a se presenta con frecuencia la necesidad de integrar unafunción que ser(a, en general, de una de las tres formas siguientes$

• ?na función simple y continua tal como un polinomio, una funciónexponencial o una función trigonomtrica.

• ?na función complicada y continua que es dif(cil o imposible de integrar directamente.

• ?na función tabulada en donde los valores de x y f)x* se dan en un conjunto

de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales

El problema básico considerado por la integración numrica es calcular unasolución aproximada a la integral definida$

Este problema tambin puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue$

Encontrar y)b* es equivalente a calcular la integral. Los mtodosdesarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el mtodo de "unga#]utta pueden ser aplicados al problema reformulado. En este art(culo se discutenmtodos desarrollados espec(ficamente para el problema formulado como unaintegral definida.

1*.+ipos de inte$ración n!mrica

-e dispone de formas cerradas y abiertas de integración. Las formascerradas son aquellas donde los datos al inicio y final de los l(mites de integraciónson conocidos. Las formas abiertas tienen l(mites de integración que se extiendenmás allá del rango de los datos. Los cuales son$

>todo del trapecio. La regla del trapecio es la primera de las formulascerradas de integración de Ne/ton Cotes. Corresponde al caso donde elpolinomio de la ecuación es de primer grado$


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?na l(nea recta se puede representar como$

El área bajo esta l(nea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre loslimites y b$ɑ

El resultado de la integración es$

@ue se denomina regla del trapecio.

Geomtricamente, la regla trape!oidal es equivalente a aproximar el áreadel trape!oide bajo la l(nea recta que conecta f)a* y f)b*. %odemos trabajar el áreaasumiendo que el trape!oide está sobre un lado, por lo que la integral se

representa como$

La regla del trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo ensubintervalos, todos de la misma longitud


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-ea la partición que se forma al 3acer dic3a subdivisión. ?sando

propiedades de la integral tenemos que$

4plicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos$

43ora bien, ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemosque$

-ustituyendo el valor de h y usando la notación sigma, tenemos finalmente$

Esta es la regla del trapecio para n subintervalos. Ibviamente, esperamos queentre más subintervalos usemos, mejor sea la aproximación a la integral.

>todo de =impson: Itra forma de obtener una estimación más exacta de

una integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos. %or ejemplo, si 3ay un punto extra a la mitad del camino entref)a* y f)b*, los tres puntos se pueden conectar con una parábola. -i 3ay dospuntos igualmente espaciados entre f)a* y f)b*, los cuatro puntos se puedenconectar con un polinomio de tercer orden. Las fórmulas que resultan altomar las integrales bajo esos polinomios son conocidas como regla de-impson.


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o La re$la se =impson ?$ resulta cuando un polinomio de interpolación desegundo grado se sustituye en la ecuación$

-i se designan y b como x y xɑ ₒ ₂ , y ^₂ )x* se representan por un polinomio deLagrange de segundo grado, la integral se transforma en$

1espus de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene lasiguiente fórmula$

1onde, en este caso, 39)b # *=+. Esta ecuación se conoce como regla deɑ-impson '=6, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Ne/ton#Cotes. Laespecificación V'=6W se origina del 3ec3o de que 3 está dividida en 6 en laecuación.

4grupando nuevamente para llevarla a un formato más conocido se tiene

1onde a9x5, b9x+ y x'9punto a la mitad del camino entre a y b.

4l igual que con la regla del trapecio, podemos extender la regla de -impson de

'=6, si subdividimos el intervalo en subintervalos de la misma longitud

.

-ea la partición que se forma al 3acer la subdivisión, y

denotemos por el punto medio en cada subintervalo.

4plicamos primero propiedades básicas de la integral definida$


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43ora, aplicamos la regla de -impson de '=6, en cada una de las integrales dearriba$

-ustitu(mos y usamos la notación sigma$

)e$la de =impson %@7: En una manera similar a la derivación de la reglatrape!oidal y de -impson '=6, un polinomio de Lagrange de tercer orden sepuede ajustar a cuatro puntos e integrarse$

%ara obtener$

1onde 3 9 )b#a*=6. Esta ecuación se llama regla de -impson 6=: debido a que3 se multiplica por 6=:. Esta es tambin una fórmula de integración cerrada y lapodemos expresar en el formato que se viene utili!ando para quedar como$

1onde a9x5, b9x6 y x' , x+ 9 puntos a la mitad del camino entre a y b.

4l igual que en los dos casos anteriores, la regla de -impson de 6=:, se puede

extender si subdividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud

.


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-ea la partición determinada de esta forma. Cada subintervalo

lo dividimos en tres partes iguales, y sean y los puntosdeterminados as($

4plicando la regla de en cada uno de los intervalos tenemos$

Esta ltima, es la regla de -impson de 6=: para n subintervalos todos de la mismalongitud.

15 Inte$racion en Intervalos Desi$!ales

Cuando la longitud de los subintervalos no es igual, se usa unacombinación de la regla Qrape!oidal y las reglas de -impson, procurando seguir elsiguiente orden jerárquico$


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'* =impson : Esta se aplica, si contamos con 7 puntos igualmenteespaciados.

+* =impson : Esta se aplica si falla )'* y contamos con 6 puntos igualmenteespaciados.

6* )e$la +rape(oidal: -olo se aplica si no se cumple y

Ejemplo 7: Evaluar , usando la siguiente tabla $

Solución.

_emos que en el intervalo podemos aplicar la regla del trapecio, en el

intervalo la regla de -impson de 6=: y en el intervalo la regla de

-impson de '=6. 4s(, tenemos las siguientes integrales$

Yinalmente, la integral buscada es la suma de las tres integrales anteriores$


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39/39

interpolación polinomica trabajo

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