1INTEGRALES.

Introduccion.

El problema de encontrar el area de una region acotada es muy antiguo. Hace mas de 2000anos los griegos fueron los primeros en encontrar formulas para el area de rectangulos, triangulosy crculos. Mas aun fueron capaces de encontrar el area de figuras geometricas cuyos lados fuesensegmentos de rectas, esto lo realizaron mediante la descomposicion de la figura en rectangulos,triangulos y crculos. En el siglo XVII se inicio el desarrollo sistematico del calculo con los dosgrandes pioneros de la ciencia, Newton y Leibnitz. El trabajo de estos dos hombres estimulo in-mediatamente las ramas superiores del analisis, incluyendo el calculo de variaciones y la teorade ecuaciones diferenciales, y condujo a innumerables aplicaciones en las ciencias naturales.Muy curioso resulta que, no obstante que Newton, Leibnitz y sus sucesores inmediatos hicierontales variados usos de la poderosa herramienta puesta en sus manos, ninguno consiguio clarificarcompletamente los conceptos basicos involucrados en sus trabajos. Sus argumentos emplearoncantidades infinitamente pequenas en formas que son logicamente insostenibles y no convincen-tes en la busqueda del area de una region con fronteras curvas. La clarificacion acontecio a finesdel siglo XIX con la cuidadosa formulacion del concepto de lmite y con el analisis del continuode numeros.

Objetivo. El alumno aprendera a determinar el area de una region acotada por dos curvas pormedio del uso de franjas verticales u horizontales.

Areas. Se tiene una persepcion intuitiva de que una region contenida dentro de una curvacerrada posee un area la cual mide el numero de unidades cuadradas dentro de la curva. Paraesto dividimos la region en rectangulos pequenos de manera que la suma de sus areas se aproximeal area de la region. Denotamos mediante F al area de una region R y consideramos otras dosregiones R (inscrita) y R (circunscrita) que se puedan descomponer en rectangulos, donde R

contiene a R y R esta contenida en R (ver figura 1).

Figura 1.

2Se sabe que F debe encontrarse entre las areas de R y R. El valor de F esta completamentedeterminado si se encuentran sucesiones de regiones circunscritas Rn y regiones incritas R

n que

puedan descomponerse en rectangulos y tales que las areas de Rn y Rn tengan el mismo lmite

cuando n tiende a infinito. Este es, remontandonos a la antiguedad, el metodo de exhauccion, elcual es usado en geometra elemental para describir el area de un crculo. La formulacion precisade esta idea intuitiva conduce a la nocion de integracion.

La integral como un area. La nocion analtica de integral surge cuando se asocian areascon funciones, para ello consideramos el area de una region acotada por la izquierda y por laderecha mediante lneas verticales x = a y x = b, debajo por el eje x y arriba por la grafica deuna funcion positiva continua f(x). Llamamos esta area F ba la integral de la funcion f entre loslmites a y b.

Figura 2.

En la investigacion del valor numerico de F ba se hace uso de aproximaciones mediante sumasde areas de rectangulos. Para este proposito se divide el intervalo [a, b] en n partes (pequenas, nonecesariamente del mismo tamano), las cuales se denominan celdas. En cada punto de divisionse traza la lnea perpendicular al eje x, hacia arriba hasta la curva. La region con area F ba esas dividida en n franjas, cada una acotada por una porcion de la grafica de la funcion f(x) ypor tres segmentos de recta.

Area entre dos curvas. Para encontrar el area de la region limitada arriba y abajo por lascurvas f(x), g(x), lateralmente por las lineas x = a y x = b. El ancho del elemento verticalindicado es x y la altura es el valor de la curva superior menos el valor de la curva inferior,loque se escribe como f(x) g(x). El area del elemento es entonces

(f(x) g(x))x.

Al sumar las areas de todos los elementos entre x = a y x = b por medio de la integraldefinida, obtenemos el area de la region:

lmx0

(f(x) g(x))x =

ba

(f(x) g(x))dx.

3y

(x, y )

inf(x, y )

xa b

y=f(x)

y=g(x)x

sup

Figura 3.

Ejemplo 1. Hallar el area comprendida entre la parabola y2 = 4x y la recta y = 2x 4.Dividimos el area por la recta x = 1 (ver figura 4). El rectangulo generico, a la izquierda deesta recta, tiene de base x, la altura de acuerdo a la simetra de la parabola es 2y = 4

x y el

valor de su area es 4xx. El rectangulo generico, a la derecha de esta recta, tiene de base x

y altura 2x (2x 4) y el valor de su area es (2x 2x + 4)x. El area pedida es 10

4xdx +

41

(2x 2x + 4)dx = 8

3+

19

3= 9 unidades de superficie.

Figura 4.

Algunas veces el area puede ser mas facil de determinar sumando areas de elementos horizon-tales en lugar de elementos verticales. Encontramos el area del ejemplo 1 utilizando elementoshorizontales: La base del rectangulo generico es y (ver figura 5) es 2 + y/2 y2/4 y el valorde su area es (2 + y/2 y2/4)y. El area pedida es 4

2(2 + y/2 y2/4)dy = 9 unidades de superficie.

4Figura 4.

Conclusion. Encontrar el area comprendida entre dos curvas consiste en aplicar la integraldefinida a la diferencia de las funciones. Una de las aplicaciones se encuentra en economa, yaque los excedentes entre productores y consumidores se representan por areas.

Bibliografa.

[A] Apostol T. Calculus volumen I. Editorial Reverte,segunda edicion 1998, Mexico, D.F.

[C] Courant R., John F. Introduccion al calculo y analisis matematico volumen I. Limusa NoriegaEditores, segunda edicion 1999, Mexico, D.F.

[L] Larson R., Hostetler R., Edwards B. Calculo diferencial e integral. Mc Graw Hill, septimaedicion 2002, Mexico, D.F.

[S] Sandoval L., Monfragon, M., Lugo O. Calculo diferencial e integral. Editorial Santillana,primera edicion 2008, Mexico, D.F.