integrales de superficie
DESCRIPTION
Constituye una gua descriptiva que permitira un mejor alcancepara jar el adecuado uso de cada caso referente a la integral desupercie y de esta manera obviar ciertas dicultades que presente elestudio de la misma.TRANSCRIPT
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
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CALCULO VECTORIAL
NRC: 1089
AGUIRRE PABLO
Monografıa:
INTEGRALES DE SUPERFICIE
ENERO DEL 2014
Revisado por:Ing. Luis Andrade
1. RESUMEN
El presente trabajo acerca de la integral de superficie, esta disenadopara facilitar el entendimiento y comprension del comportamiento deeste tipo de integral, cuya funcion es evaluada sobre una superficie;determinando lineamientos generales y especıficos para desenvolver enforma eficaz y oportuna un adecuado desarrollo de las aplicaciones delas mismas.
Ademas constituye una guıa descriptiva que permitira un mejor al-cance para fijar el adecuado uso de cada caso referente a la integral desuperficie y de esta manera obviar ciertas dificultades que presente elestudio de la misma. En un primer apartado incurriremos en ciertosaspectos de la geometrıa de superficies; para posteriormente definirel area de una superficie, sea esta expresada en su forma explıcita,implıcita o en forma parametrica, ası llegaremos a detallar el estudiode la integral de superficie tomando en cuenta las definiciones, propie-dades y aplicaciones de la misma acompanado finalmente de los tresteoremas fundamentales del calculo integral vectorial.
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Indice
1. RESUMEN 1
2. INTRODUCCION 3
3. SUPERFICIES PARAMETRIZADAS 43.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Producto vectorial fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3. Plano tangente a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4. Metodos basicos de parametrizacion de superficie . . . . . . . . . . . 5
4. AREA DE UNA SUPERFICIE 74.1. Representacion Parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2. Representacion Explıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3. Representacion Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS ESCALARES 95.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3.1. Centro de masas de una lamina curvada . . . . . . . . . . . . 135.3.2. Momentos de incercia de una lamina curvada . . . . . . . . . 13
6. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES 156.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3. Circulacion de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.4. Flujo de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7. TEOREMA DE STOKES O DEL ROTOR 207.1. Teorema de Stokes Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2. Caso particular: Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8. TEOREMA DE GAUSS O DE LA DIVERGENCIA 228.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9. CONCLUSION 24
10.REFERENCIAS 25
2
2. INTRODUCCION
La presentacion de la monografıa se reduce a la exposicion del temade estudio que ofrece al lector una idea clara y precisa acerca de laintegral de superficie. Considerando a la misma como un equivalentede la integral de lınea, es preciso tomar en cuenta que la region deintegracion de este tipo de integrales es una superficie en vez de unacurva; en otras palabras, se habla de integral de superficie cuando nosreferimos a una integral definida, la cual es calculada sobre un con-junto curvado en el espacio.
Para comprender el funcionamiento de la integral de superficie esnecesario previamente abordar el estudio de los cuerpos matematicospertenecientes al espacio euclidiano R3, a estos objetos se los conocecon el nombre de superficies; es decir, superficie es el lugar de un punto(x, y, z) que recorre un espacio con dos grados de libertad.
Este y otro tipo de definiciones nos seran de gran ayuda, para lapractica comprension del tema de estudio; se pretende al mismo tiem-po realizar breves introducciones en dos generalidades del segundoteorema fundamental del calculo a integrales de superficie: el teoremade Stokes y el teorema de Gauss; los cuales proporcionan la interpreta-cion fısica de los conceptos de rotacional y divergencia. Ademas caberecalcar que los mismos, conjuntamente con el teorema de Green, es-tablecen los tres teoremas fundamentales del calculo integral vectorial.
3
3. SUPERFICIES PARAMETRIZADAS
3.1. Definicion
Sea T un abierto conexo de R2 . Una superficie parametrizada es una aplicacion.
r : T −→ R3
(u, v) −→ r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
que cumple las sigueitnes condiciones:
(1)Las funciones componentes x(u, v), y(u, v), z(u, v son continuas y tienen pri-meras derivadas parciales continuas en T
(2)El producto vectorial ∂r∂u∧ ∂r
∂v6= 0 ∀(u, v) ∈ T
Habitualmente se designa por superficie S a la imagen por la aplicacion r delabierto conexo T; u, v reciben el nombre de parametros de la superficie.
3.2. Producto vectorial fundamental
En la parametrizacion de una superficie el vector ∂r/∂v, ∂r/∂u recibe el nombrede producto vectorial fundamental. Este vector es perpendicular a la direccion delplano tangente: es un vector normal a la sueprficie en cad punto, no necesariamenteunitario.
3.3. Plano tangente a una superficie
La expresion d ela ecucion del plano tangente a la superficie S en el punto deparametros (u0, v0) es:∣∣∣∣∣∣
x− x(u0, v0) ∂x/∂u(u0, v0) ∂x/∂v(u0, v0)y − y(u0, v0) ∂y/∂u(u0, v0) ∂y/∂v(u0, v0)z − z(u0, v0) ∂z/∂u(u0, v0) ∂z/∂v(u0, v0)
∣∣∣∣∣∣ = 0
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3.4. Metodos basicos de parametrizacion de superficie
(1) Parametrizacion a traves de la grafica de una funcion.Supongamos que una sueprficie venga dada como la grafica de una funcion de
dos variables
f : R2 → R
(x, y)→ f(x, y)
Si se cumplen para la funcion f las condiciones de regularidad exigidas en elapartado (1) de la definicion de superficie parametrizada, entocnes tomando x, ycomo parametros:
(x, y)→ r(x, y) = (x, y, f(x, y)) (x, y)εDom(f)
se verifica∂r
∂x∧ ∂r∂y
= (−∂r∂x,−∂r
∂y, 1) 6= (0, 0, 0)
por lo que se cumple la condicion (2) de la definicion, tratandose, por tanto de unaaprametrizacion efectiva.
(2)Parametrizacion de superficies particulares.
Esfera de centro (0,0,0) y radio R.
Expresion implıcita: x2 + y2 + z2 = R2
Expresion parametrica:
x = R sinu cos vy = R sinu sin vz = R cosu
0 < u < π0 6 v 6 2π
Parametrizaciones dadas por graficas de funciones:Casquete superior:
T → r3
5
(x, y)→ (x, y,+√R2 − x2 − y2)
Casquete inferior:T → r3
(x, y)→ (x, y,−√R2 − x2 − y2)
siendoT = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 6 R2}
Cilindro circular recto con eje de simetrıa OZ.Expresion implıcita: x2 + y2 = R2
Expresion parametrica:
x = R cosuy = R sinuz = z
0 6 u 6 2πz ∈ R
Cono circular recto centrado en (0,0,0), con eje de simetrıa OZ.Expresion implıcita: x2 + y2 = R2z2
Expresion parametrica:
x = Rz cosuy = Rz sinuz = z
0 6 u 6 2πz ∈ R− {0}
Para z=0, vertice del cono, no existe plano tangente.
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4. AREA DE UNA SUPERFICIE
4.1. Representacion Parametrica
S = r(T ) r Sea una superficie parametrica representada por la funcion definidaen una region T del plano PUV. Ya justificamos porque el modulo del productovectorial fundamental ∂r
∂u× ∂r
∂vpuede ser interpretado como un factor de proporcio-
nalidad de areas: un rectangulo en T de area infinitesimal ∆u∆v es aplicado r enun paralelogramo curvilıneo en S de area aproximadamente igual a
‖ ∂r∂u× ∂r
∂v‖ ∆u∆v
Esta observacion sugiere la siguiente
Definicion
Si S = r(T ), se define el area de S mediante
| S |=∫∫
T
‖ ∂r∂u× ∂r
∂v‖ dudv
Notese que
| S |=∫∫
T
{(∂(Y, Z)
∂(u, v))2 + (
∂(Z,X)
∂(u, v))2 + (
∂(X, Y )
∂(u, v))2}1/2dudv
expresion analoga a la integral que da la longitud de un arco de curva.
4.2. Representacion Explıcita
Si z = f(x, y) es la ecuacion explıcita de uan superficie S y tomamos x;y comoparametros, entonces:
‖ ∂r∂u× ∂r
∂v‖=‖ −fx
−→i − fy
−→j +−→k ‖=
√1 + f 2
x + f 2y
y la integral para el area de S adopta la forma
| S |=∫∫
T
√1 + f 2
x + f 2ydxdy
donde T es ahora la proyeccion de S sobre el plano OXY.
En el caso particular en que S este en un plano paralelo al plano OXY entonces lafuncion f es constante, de modo que fx = fy = 0, y la ecuacion anterior se convierteen
| S |=∫∫
T
dxdy
que es la formula usual para el calculo del area de regiones planas.
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4.3. Representacion Implıcita
Supongamos ahora que S viene dada implıcitamente por la ecuacion F (x, y, z) =0. Si S puede proyectarse biunıvocamente sobre OXY, la ecuacion F (x, y, z) = 0 defi-ne z como funcion de x, y, z = f(x, y, z) , y las derivadas parciales fx, fyse relacionancon als de F por derivacion implıcita mediante las formulas
∂F
∂x+∂F
∂zfx = 0,
∂F
∂y+∂F
∂zfy = 0
de donde
fx = −∂F∂x∂F∂z
, fy = −∂F∂y
∂F∂z
en los puntos donde ∂F∂z6= 0. Sustituyendo ambas expresiones en la formula del area
en explıcitas obtenemos:
| S |=∫∫
T
√F 2x + F 2
y + F 2z
| Fz |dxdy
Ejemplo
Calcular el area de un hemisferio.
Solucion
Consideremos un hemsiferio norte de radio a¿0 y el centro el origen de coordenas.
(i)Representacion Parametrica:−→r (u, v) = (a cosu sin v, a sinu sin v, a cos v)(0 ≤u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ π/2)
El modulo del producto vectorial fundamental es
‖ ∂r∂u× ∂r
∂v‖= a2 sin v (0 ≤ v ≤ π/2)
Si T = [0, 2π]× [0, π/2], entonces
| S |= a2∫∫
T
sin vdudv = a2∫ 2π
0
du
∫ π/2
0
sin vdv = 2πa2
(ii)Representacion Explıcita: z =√a2 − x2 − y2.
Poniendo f(x, y) =√a2 − x2 − y2 encontramos que
fx = − x√a2 − x2 − y2
, fy = − x√a2 − x2 − y2
El hemisferio norte se proyecta biyectivamente en el disco T = {(x, y) ∈ R2 :x2 + y2 ≤ a2} del plano OXY.
| S |=∫∫
T
√1 + f 2
x + f 2ydxdy = a
∫∫t
dxdy√a2 − x2 − y2
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donde el denominador del integrando se anula sobre ∂T . Se trata, por tanto , deuna integral impropia de integrando positivo. Dicha integral existe (convergenteo divergente) y se puede calcular considerando cualquier sucesion basica. Elegimosdiscos concentricos T(R), centrados en el origen, de radios R crecientes a a. si S(R)representa la porcion correspondiente del hemisferio superior, entonces
| S(R) |= a
∫∫S(R)
dxdy√a2 − x2 − y2
Efectuando un cambio de variable a polares,
| S(R) |= a
∫ 2π
0
dθ
∫ R
0
ρdρ√a2 − ρ2
= 2πa(a−√a2 −R2)
Finalmente,| S(R) |= limR→a | S(R) |= 2πa2
(iii)Representacion Implıcita: x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ 0Se tiene: F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − a2
Fx = 2x, Fy = 2y, Fz2z
Tenemos:
| S |=∫∫
T
√(2x)2 + (2y)2 + (2z)2
| 2z |dxdy = a
∫∫T
dxdy√a2 − x2 − y2
donde T = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2}. Se trata, por tanto, de la misma integralimpropia que comparece en (ii), ya resuelta.
5. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS
ESCALARES
El concepto de integral de sueprficie de campos escalares es una generalizacionnatural del concepto de integral doble en el plano, ası que por su definicion es paralelaa la de aquella.
Sea s una superficie de R3 parametrizada en al froma:
R2 ⊃ T → R3
(u, v)→ r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
Sea el campo escalarF : R3 → R
(x, y, z)→ F (x, y, z)
y supongamos que F esta definido y es continuo en todo punto de la sueprficie S.los apsos que conduciran a la definicion de la integral de superficie del campo
escalar F consistirıan en subdividir la sueprficie S en n regiones, valorando en unpunto arbitrario de cada una de ellas el campo escalar multiplicado por el area decada region; hecho esto se calcularıa la suma de estos productos y tomando cadavez un numero mayor de aprticiones, por paso al lımite, obtendrıamos la sigueitne:
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5.1. Definicion
La integral de sueprficie del capo escalar F sobre la sueprficie S es:∫ ∫S
FdS =
∫ ∫T
F (r(u, v)) ‖ ∂r∂u∧ ∂r∂v‖ dudv
5.2. Propiedades
(1)La integral de sueprficie de un campoe scalar es independiente de la para-metrizacion escogida para la sueprficie S.
(2)Si el campo escalar que se integra es F (x, y, z) = 1 queda:∫ ∫S
FdS =
∫ ∫T
F (r(u, v)) ‖ ∂r∂u∧ ∂r∂v‖ dudv = A(S)
motivo por el cual dS recibe el nombre de diferencial de superficie, o mejordiferencial de area.
(3)∫ ∫
S(F +G)dS =
∫ ∫SFdS +
∫ ∫SGdS
(4)∫ ∫
SkFdS = k
∫ ∫SFdS k ∈ R
(5) Si S = S1 ∪ S2dondeS1 ∩ S2 es a lo sumo una curva,∫ ∫S
FdS =
∫ ∫S1
FdS +
∫ ∫S2
FdS
Ejemplo
Calcular las integrales de superficies de lso campos escalares F sobre las superfi-cies S que se indican:(a) F (x, y, z) = z S : z = 1− x2 − y2, z ≥ 0
Solucion
10
Parametrizacion de S: z = f(x, y) = 1− x2 − y2
∂f
∂x= −2x
∂f
∂y= −2y ‖ ∂f
∂x× ∂f
∂y‖=√
4x2 + 4y2 + 1∫∫S
FdS =
∫∫S
zdS =
∫∫T
(1− x2 − y2)√
4x2 + 4y2 + 1dxdy
En coordenadas polares
x = r cos θy = r sin θ
}J(r, θ) = r
el recinto T: x2 + y2 ≤ 1 se describe como:
0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ r ≤ 1∫∫
S
FdS =
∫ 2π
0
∫ 1
0
(1− r2)√
4r2 + 1rdrdθ
=
∫ 2π
0
dθ
∫ 1
0
(r − r3)√
4r2 + 1dr = 2π
∫ 1
0
(r√
4r2 + 1− r3√
4r2 + 1)dr
Calculamos por separado cada integral:∫ 1
0
r√
4r2 + 1dr =1
8[(4r2 + 1)(3/2)
(3/2)]10 =
1
12(5√
5− 1)
∫ 1
0
r3√
4r2 + 1dr =1
125√
5− 1
48[(4r2 + 1)(5/2)
(5/2)]10 =
5√
5
12− 1
120(25√
5− 1)
Finalmente:∫∫S
FdS = 2π[1
12(5√
5− 1)− 1
125√
5 +1
120(25√
5− 1)] = (5√
5− 11
5)π
12
Ejemplo
(b) F (x, y, z) = x2yz S: casquete mas pequeno en que el plano y + z = 1 dividea la esfera x2 + y2 + z2 = 1
Solucion
Parametrizacion de S:z = f(x, y) = +√
1− x2 − y2
∂f
∂x=
−x√1− x2 − y2
∂f
∂y=
−y√1− x2 − y2
‖ ∂f∂x× ∂f
∂y‖= 1√
1− x2 − y2∫∫S
FdS =
∫∫S
x2yzdS =
∫∫T
x2y√
1− x2 − y2 1√1− x2 − y2
dxdy∫∫S
FdS =
∫∫T
x2ydxdy
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Determinacion del dominio de parametros T. La frontera de T sera la proyeccionsobre el plano xy de la curva interseccion de la esfera y el plano.
x2 + y2 + z2 = 1y + z = 1
}x2 + y2 + (1− y)2 = 1 x2 + 2y2 − 2y = 0
completando cuadrados:
x2
(√
2/2)2+
(y − 1/2)2
(1/2)2= 1
elipse de centro (0, 1/2) y semiejes√
2/2 y 1/2Efectuando un cambio a coordenadas elıpticas descentradas:
x =√22r cos θ
y = 12
+ 12r sin θ
}J(r, θ) =
√22
12r =
√24r
el recinto T se describe como:
0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ r ≤ 1
Por lo tanto: ∫∫S
FdS =
∫ 2π
0
∫ 1
0
(
√2
2r cos θ)2(
1
2+
1
2r sin θ)
√2
4rdrdθ
=
√2
16
∫ 2π
0
∫ 1
0
r3 cos2 θ(1 + r sin θ)drdθ
=
√2
16[cos2 θ
1
4r4 + cos2 θ sin θ
1
5r5]10dθ
√2
16[1
8θ +
1
16sin 2θ − 1
15cos3 θ]2π0 =
√2
64π
12
5.3. Aplicaciones
Supongamos que µ = µ(x, y, z) es al funcion de densidad de una lamina curvadaS de grosor despreciable.
Entonces:
MasadeS = M(S) =
∫ ∫S
µ(x, y, z)dS
5.3.1. Centro de masas de una lamina curvada
Si denotamos por(x, y, z) las coordenadas del centro de masas:
x = 1M(S)
∫ ∫Sxµ(x, y, z)dS y = 1
M(S)
∫ ∫Syµ(x, y, z)dS
z =1
M(S)
∫ ∫S
zµ(x, y, z)dS
5.3.2. Momentos de incercia de una lamina curvada
Sea r una recta y denotemos por d(x,y,z) la distancia de la recta r al punto (x,y,z)de la lamina curvada S. El momento de inercia de S respecto a la recta r resuta ser:
Ir =
∫ ∫S
d2(x, y, z)µ(x, y, z)dS
Ejemplo
Calcular las coordenadas del centro de masas de un casquete esferico homogeneode la esfera x2 + y2 + z2 = R2
Solucion
13
Supondremos que el casquete esferico viene determinado sobre la esfera x2+y2+z2 =R2 desde su parte superior hasta la interseccion con el plano z = a, 0 ≤ a ≤ RParametrizacion del casquete S: z = f(x, y) = +
√R2 − x2 − y2
∂f
∂x=
−x√R2 − x2 − y2
frac∂f∂y =−y√
R2 − x2 − y2
‖ ∂r∂x∧ ∂r∂y‖= R√
R2 − x2 − y2
El dominio de parametros T tien por frontera la proyeccion de la curva intersecciondel plano y de la esfera:
x2 + y2 + z2 = R2
z = a
}x2 + y2 = R2 − a2
Al ser el casquete esferico homogeneo su densidad µ(x, y, z) es constante.
Masa(S) =
∫∫S
µ(x, y, z)dS =
∫∫S
kdS = k
∫∫T
R√R2 − x2 − y2
dxdy
tomando coordenadas polares, T se describe como:
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ r ≤√R2 − a2
Masa(S) = kR
∫ 2π
0
∫ √R2−a2
0
1√R2 − r2
rdrdθ = 2πkR
∫ √R2−a2
0
1√R2 − r2
dr
= −2πkR[√R2 − r2]
√R2−a2
0 = 2πkR(R− a)
Buscamos ahora las coordenadas (x, y, z) del centro de masas.Por simetrıa x = y = 0
z =1
Masa(S)
∫∫S
zµ(x, y, z)dS =1
Masa(S)k
∫∫S
zdS
Nos limitaremos a calcular esta ultima integral con la misma parametrizacion de S:∫∫S
zdS =
∫∫T
√R2 − x2 − y2 R√
R2 − x2 − y2dxdy = R
∫∫T
1dxdy
= RArea(T ) = Rπ(R2 − a2)ya que T es un cırculo de radio
√R2 − a2
Sustituyendo la expresion de z:
z =1
Masa(S)k
∫∫S
zdS =1
2πkR(R− a)Rπ(R2 − a2) =
R + a
2
siendo, por lo tanto, el centro de masas el punto: (x, y, z) = (0, 0, R+a2
)
14
6. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS
VECTORIALES
Sea S una superficie de R3 parametrizada en la forma:
R2 ⊃ T → R3
(u, v)→ r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
Sea F un campo vectorial que este definido y sea continuo en un abierto U de R3
que contenga a la sueprficie S,F : U → R3
(x, y, z)→ F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z))
Sea n vector normal unitario a la sueprficie S es decir:
n =∂r∂u∧ ∂r
∂v
‖ ∂r∂u∧ ∂r
∂v‖
6.1. Definicion
Definios la integral de superficie del campo vectorial F sobre la sueprficie S comola integral de sueprficie del campo escalar F · n sobre la superficie S.∫ ∫
S
F · ndS =
∫ ∫T
F (r(u, v)) · (∂r∂u∧ ∂r∂v
)dudv
Notacion Usual
Al ser:
∂r
∂u∧ ∂r∂v
=
∣∣∣∣∣∣i j k∂x∂u
∂y∂u
∂z∂u
∂x∂v
∂y∂v
∂z∂v
∣∣∣∣∣∣ = (∂(y, z)
∂(u, v),−∂(x, z)
∂(u, v),∂(x, y)
∂(u, v))
quedara:∫ ∫S
F ·ndS =
∫ ∫T
[F1(r(u, v))∂(y, z)
∂(u, v)+F2(r(u, v))
∂(z, x)
∂(u, v)+F3(r(u, v))
∂(x, y)
∂(u, v)]dudv
o bien: ∫ ∫S
F · ndS =
∫ ∫S
F1dy ∧ dz + F2dz ∧ dx+ F3dx ∧ dy
6.2. Propiedades
(1) ∫ ∫S
(F +G) · ndS =
∫ ∫S
F · ndS +
∫ ∫S
G · ndS
15
(2) ∫ ∫S
(kF ) · ndS = k
∫ ∫S
F · ndS k ∈ R
(3) Si S = S1 ∪ S2 donde S1 ∩ S2 es a lo sumo una curva,∫ ∫S
F · ndS =
∫ ∫S1
F · ndS +
∫ ∫S2
F · ndS
(4) El valor de la integral de sueprficie de un campo vectorial es, salvo el signoindependiente d ela parametrizacion escogida.
Eleccion del vector normal
(1) Superficies cerradas. Tomaremos n como el vector normal exterior.
(2) Superficies abiertas. Tomaremos, si es posible, el vector normal ascen-dente. - tercera componente positiva-
Interpretacion
si F e un campo vectorial, F ·n es un campo escalar que represetna la componentenormal a la superficie S del campo F.
Fn = F · n ‖ n ‖= 1
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Si el campo vectorial F (x, y, z) representa un campo de fuerzas en el espacio (campoelectrico, magnetico,...) entonces ∫ ∫
S
F · ndS
representa el flujo que atraviesa S por unidad de tiempo.
6.3. Circulacion de un campo vectorial
Sea un campo vectorial E(x, y, z) y un camino que vaya de un punto A hacia unpunto B del campo.se puede dividir este camino en una infinidad de elementos muy pequenos que poseencaracter vectorial, dr. Al prducto escalar E · dr se llama circulacion elemental.se llama circulacion del campo vectorial E a lo alrgo del camino que une los puntosA y B (camino C), a la integral curvilınea:
rA→B =
∫ B
A
−→Ed−→
La circulacion a lo alrgo de una lınea cerrada es
r = rA→B + rB→A =
∮ −→E · d−→r
Decimos que un campo vectorial es conservativo cuando su circulacion a lo alrgo decualquier curva cerrada es nula: ∮ −→
E · d−→r = 0
Si tenemos un sistema de coordenadas cartesianas XYZ, y una curva C, para cal-cular la circulacion de un campo vectorial E(x, y, z) entre dos puntos A y B de lacurva, tenemos que obtener, en primer lugar, el producto escalar E · dr, siendo dr elelemento diferencial de curva que viene dado por:
d−→r = dx−→i + dy
−→j + dz
−→k
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y como el campo vectorial se escribe, en coordenadas cartesianas:
−→E = Ex
−→i + Ey
−→j + Ez
−→k
queda para la circulacion:
rA→B =
∫ B
A
−→E · d−→r =
∫ B
A
(Exdx+ Eydy + Ezdz)
6.4. Flujo de un campo vectorial
consieremos un campo vectorial E(x, y, z), y una superficie infinitesimal repre-sentada por el vector dS, el flujo elemental del campo a traves de la superficie dSviene dado por la expresion
dΦ =−→E · dS = /
−→E//d
−→S / cos θ = EdS cos θ
El flujo a traves de una superficie S viene dado por al integral de superficie:
Φ =
∫S
−→E · d
−→S
Podemos tener flujo nulo cuando en toda la sueprficie, los vectores E y dS donperpendiculares, o tambien en una sueprficie cerrada, cuando el numero de lıneas decampo entran es igual al numero de lıneas de campo que salen.
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Teorıa de fluidos
Supongamos que tenemos un fuido estacionario, es decri, aquel que posee en cadapunto una velocidad independiente del tiempo v()x, y, z); sea µ(x, y, z) la densidaddel fluido en cada punto; definimos:
F (x, y, z) = µ(x, y, z)v(x, y, z)
F (x, y, z)recibe el nombre de densidad de flujo de la corriente de fluido y representala masa de fluido que circula por (x, y, z) en la direccion de v por unidad de area yunidad de tiempo. La integral ∫ ∫
S
F · ndS
representa el flujo del campo F que atraviesa la superficie S y, por tanto, la masatotal de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo.
Ejemplo
El flujo de un fluido tiene el campo F (x, y, z) = (x,−2x − y, z) como vectordensidad de flujo. Sea S el hemisferio superior (z ≥ 0) de la esfera x2 + y2 + z2 = 1.Calcular la masa de fluido que atraviesa s por unidad de tiempo en la direccion dela normal ascendente.
Solucion
Parametrizacion de S:
x = sinu cos vx = sinu sin v
z = cosu
0 ≤ u ≤ π/20 ≤ v ≤ 2π
∂r∂u
= (cosu cos v, cosu sin v,− sinu)
∂r∂v
= (− sinu sin v, sinu cos v, 0)
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∂r∂u∧ ∂r
∂v= (sin2 u cos v, sin2 u sin v, sinu cosu)
Este es el vector normal escendente, pues tiene la tercera componente positiva.La masa de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo es el flujo del fluido, esdecir: ∫∫
S
F · ndS
en este caso:
⇒∫ π/2
0
∫ 2π
0
(sinu cos v,−2 sinu cos v−sinu cos v, cosu)·(sin2 u cos v, sin2 u sin v, sinu cosu)dvdu
=
∫ π/2
0
∫ 2π
0
[sin3 u(cos2 v − 2 sin v cos v − sin2 v) + sinu cos2 u]dvdu
=
∫ π/2
0
sin3 udu
∫ 2π
0
(cos 2v − sin 2v)dv + 2π[−1
3cos3 u]
π/20
= 0 + 2π1
3=
2π
3
7. TEOREMA DE STOKES O DEL ROTOR
El torema de Stokes expresa una relacion entre la integral de lınea de un campovectorial y la itnegral de sueprficie.
7.1. Teorema de Stokes Definicion
Sea el campo vectorialF : R3 → R3
(x, y, z)→ F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z))
cuyas componentes sean funciones continuas con primeras derivadas parciales con-tinuas en un abierto que contenga a la superficie S.Sea S una superficie parametrizada de R3 cuya frontera sea una curva C cerrada,simple y regular a trozos.Supongamos que C esta orientada de forma que al recorrer la frontera del lado dela normal a S deja la superficie a la izquierda.Entonces: ∫
C
F · dr =
∫∫S
rotF · ndS
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7.2. Caso particular: Teorema de Green
Supongamos que S es una region del plano xy. Parametrizacion de S:
x = xy = yz = 0
(x, y) ∈ S
∂r
∂x∧ ∂r∂y
= (0, 0, 1)
Sea F un campo R2 cumpliendo las condiciones del teorema de Stokes:
F (x, y, 0) = (P (x, y), Q(x, y), 0)
entonces: ∫C
Pdx+Qdy =
∫∫S
(∂Q
∂x− ∂P
∂y)dxdy
expresion que recoge el teorema de Green como caso particular del teorema de Stokes.
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Ejemplo
Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral∫∫S
rot(F ) · dS
donde F (x, y, z) = (yz, xz, yx) y S es la eprte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 que seencuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 1 y arriba del plano xy.
Solucion
Para hallar la curva C se resuelven las ecuaciones x2 + y2 + z2 = 4 y x2 + y2 = 1.Restando, se obtiene z2 = 3 y por tanto z =
√3 (porque z > 0). Ası, C es la
circunferencia dada por las ecuaciones x2 + y2 = 1,z =√
3. La ecuacion vectorial deC es
r(t) = (cos(t), sin(t),√
3) 0 ≤ t ≤ 2π
por lo cualr′(t) = (− sin(t), cos(t), 0)
Del msimo modo, se tiene
F (r(t)) = (√
3 sin(t),√
3 cos(t), cos(t) sin(t))
entocnes ∫∫S
rot(F ) · dS =
∫∫C
rot(F ) · dr =
∫ 2π
0
F (r(t)) · r′(t)dt
=
∫ 2π
0
(−√
3 sin2(t) +√
3 cos2(t))dt = 0
8. TEOREMA DE GAUSS O DE LA DIVER-
GENCIA
Anterioremente se describio el teorema de Green en una version vectorial como∫C
F · n ds =
∫∫D
divF (x, y)dA
donde C es la curva frontera, positivamente orientada, de la region plana D. siestuviera buscando extender este teorema a campos vectoriales sobre R3, se podrıasuponer que ∫∫
C
F · n ds =
∫∫∫E
divF (x, y, z)dV
Donde S es la superficie frontera de la region solida E. Resulta que la relacion dadapor esta ultima ecuacion se cumple bajo hipotesis apropiadas, y se llama teoremade la divergencia. note su similitud con el teorema de Green y el teorema de Stokesen cuanto a que relaciona la integral de la derivada de una funcion, (div(F) en estecaso), sobre una region con al integral de la funcion original F sobre la frontera dela region.
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8.1. Definicion
Sea E una region solida simple y sea S la superficie frontera de E, dada conorientacion positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funciones com-ponentes tienen derivadas parciales continuas sobre una rgion abierta que contienea E.Entonces: ∫∫
S
F · dS =
∫∫∫E
div(F )dV
Ejemplo
Un fluido tiene como vector densidad de flujo, el campo dado por la expresionF (x, y, z) = (3x2 + z2 + y2, 2y2 − z3x3, 6z + x5y3). Calcule el flujo a traves de lasuperficie S, en direccion de su vector normal exterior, si S es la frontera del solido
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 4, x2 + y2 + (z − 1)2 > 1, z > 0}
Solucion
Aplicando el teorema de la divergencia se tiene que:∫∫S
F · dr =
∫∫∫V
div(F )dV =
∫∫∫V
(6x+ 4y + 6)dV
Utilizando las coordenadas esfercias:∫ 2
0
∫ π/2
0
∫ 2
2 cos(φ)
(6ρ sin(φ) cos(φ) + 4ρ sin(φ) sin(φ) + 6)ρ2 sin(φ)dρdφdθ
=
∫ 2
0
∫ π/2
0
∫ 2
2 cos(φ)
(6ρ3 sin2(φ) cos(φ) + 4ρ3 sin2(φ) sin(φ) + 6ρ2 sin(φ))dρdφdθ
=
∫ 2
0
∫ π/2
0
∫ 2
2 cos(φ)
(6ρ2 sin(φ))dρdφdθ =
∫ 2
0
∫ π/2
0
2ρ3 |22 cos(φ) sin(φ))dφdθ
=
∫ 2
0
∫ π/2
0
(16− 16 cos3(φ)) sin(φ)dφdθ =
∫ 2
0
(−16 cos(φ) + 4 cos4(φ)) |π/20 dθ
= 12
∫ 2
0
dθ = 24π
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9. CONCLUSION
Se puede afirmar que La integral de superficie es una prolongaciondel concepto de integral doble, de igual modo en que la integral delınea es una prolongacion del concepto de integral de Riemann clasica.Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya funcion es evaluadasobre una superficie. La funcion a integrar puede ser un campo es-calar o un campo vectorial. El valor de la integral de superficie es lasuma ponderada de los valores del campo en todos los puntos de lasuperficie. Esto se puede conseguir a base de dividir la superficie enelementos de superficie, los cuales proporcionan la particion para lossumatorios de Riemann.El lector logra establecer los fundamentos necesarios para la interpre-tacion y aplicacion de la integral de sueprficie.
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10. REFERENCIAS
http : //campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/3963/modresource/content/0/tema3/11−isuperf.pdf
ocw.upc.edu/download.php?file = 15012553/34734− 3401.pdf
http : //joseluisquintero.com/Calculo,20V ectorial/Material/TEMA,202,200254.pdf
http : //rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/11355/3/Camposescyvect.pdf
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