clases de integrales

7/24/2019 Clases de Integrales

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Semana 1:

La integral



La Integral.• Se entiende por métodos de integración cualquiera de las

diferentes técnicas elementales usadas para calcular unaantiderivada o integral indenida de una función.

• !ada una función f " x #$ los métodos de integración son técnicascu%o uso "usualmente com&inado# permite encontrar una función

F " x # tal que

• lo cual$ por el teorema fundamental del c'lculo equivale a (allaruna función F ")# tal que f " x # es su derivada: 1

$.



Integración directa• En ocasiones es posi&le aplicar la relación dada por el teorema

fundamental del c'lculo de forma directa. Esto es$ si se conoce deantemano una función cu%a derivada sea igual a f " x # "%a sea pordisponer de una ta&la de integrales o por (a&erse calculadopreviamente#$ entonces tal función es el resultado de laantiderivada.

• E+emplo: – Calcular la integral . – En una ta&la de derivadas se puede compro&ar que la derivada de tan" x # es

sec," x #. -or tanto:

• E+emplo: – Calcular la integral . – na fórmula est'ndar so&re derivadas esta&lece que . – !e este modo$ la solución del pro&lema es .



Integración por sustitución• El método de integración por sustitución o por cam&io de varia&le se &asa

en reali/ar un reempla/o de varia&les adecuado que permita convertir el

integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. Enmuc(os casos$ donde las integrales no son triviales$ se puede llevar a unaintegral de ta&la para encontrar f'cilmente su primitiva. Este métodoreali/a lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.



Integración pordescomposición

• Este método se &asa en la aplicación de dospropiedades elementales de las integrales: – -rimera propiedad de las integrales

• La integral de una suma "respectivamente diferencia# defunciones$ es igual a la suma "respectivamente diferencia#de las integrales de las funciones:

• Esto es:

• !emostración:



Integración pordescomposición

•

Segunda propiedad de las integrales – La integral del producto de unaconstante por una función$ es igual alproducto de la constante por la integral

de la función. – Es decir$ – !emostración:



E+ercicios 0 Integración por descomposición



La integral denida•

La integral denida es un concepto utili/ado para determinar el valor de las'reas limitadas por curvas % rectas. !ado el intervalo a$ &2 en el que$ paracada uno de sus puntos )$ se dene una función f ")# que es ma%or o igualque 3 en a$ &2$ se llama integral denida de la función entre los puntos a %& al 'rea de la porción del plano que est' limitada por la función$ el e+e(ori/ontal 45 % las rectas verticales de ecuaciones ) 6 a % ) 6 &.

• La integral denida de la función entre los e)tremos del intervalo a$ &2 se

denota como:



-ropiedades de la integraldenida• La integral denida cumple las siguientes propiedades:

• 7oda integral e)tendida a un intervalo de un solo punto$ a$ a2$ es igual acero.

• 8uando la función f ")# es ma%or que cero$ su integral es positiva9 si lafunción es menor que cero$ su integral es negativa.

• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integralestomadas por separado.

• La integral del producto de una constante por una función es igual a laconstante por la integral de la función "es decir$ se puede sacar; laconstante de la integral#.

• <l permutar los límites de una integral$ ésta cam&ia de signo.• !ados tres puntos tales que a = & = c$ entonces se cumple que

"integración a tro/os#:

• -ara todo punto ) del intervalo a$&2 al que se aplican dos funciones f ")# %g ")# tales que f ")# > g ")#$ se verica que:



Semana ,:La integral



E+ercicios 0 Integral denida



7eorema fundamental de c'lculointegral

• La relación entre derivada e integral denida queda esta&lecidadenitivamente por medio del denominado teorema fundamentaldel c'lculo integral$ que esta&lece que$ dada una función f ")#$ sufunción integral asociada ? ")# cumple necesariamente que:

• < partir del teorema fundamental del c'lculo integral es posi&ledenir un método para calcular la integral denida de una funciónf ")# en un intervalo a$ &2$ denominado regla de AarroB:

• Se &usca primero una función ? ")# que verique que ?C ")# 6 f ")#.•

Se calcula el valor de esta función en los e)tremos del intervalo: ?"a# % ? "&#.• El valor de la integral denida entre estos dos puntos vendr'

entonces dado por:



-rimer teorema



Segundo teorema



Semana D % :

<plicación de la integraldenida



La integral denida• La integral denida es una (erramienta Ftil en las ciencias físicas

% sociales$ %a que muc(as cantidades de interés en dic(asciencias pueden denirse mediante el tipo de suma que sepresentan en la integral denida.



La integral denida



8'lculo de 'reas



E+emplo 1



E+emplo ,



rea comprendida entre dos curvas



E+emplo D



Sólidos de revolución



E+emplo



Ai&liografía• LudBing Sala/ar$ Hugo Aa(ena$ ?rancisco ega: 8'lculo integral$

-u&licaciones 8ultural$ ,33J.

• (ttp:KKBBB.(iru.comKesKmatematiaKmatematia3J33.(tml

• (ttp:KKmatematica.Biia.comKBiiK7eoremafundamentaldelcN8DN<1lculointegral

• (ttp:KKBBB.cidse.itcr.ac.crKcursosOlineaK8<L8L4!I?EPEQ8I<LKcursoO

elsieKaplicacionesintegralK(tmlKaplicacionesOintegral.pdf

http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04700.html

http://matematica.wikia.com/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral




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