ejercicios resuelto 2015-i

11 de agosto de 2017

Miguel Bustamante S. 1

Problemas resueltos de Electromagnetismo

https://sites.google.com/s/0BxZT_g19N-h_TXlGczFCMGF2OVE/p/0BxZT_g19N-h_X0N3cndqV1BfWU0/edit


Problemas de Electricidad Indice de Problemas y Soluciones

Problemas de Fuerza Eléctrica..........................................................................................3Respuesta...................................................................................................................................3

Problemas de Campo Eléctrico..........................................................................................4Problemas de Ley de Gauss..............................................................................................5Problemas de potencial eléctrico.......................................................................................6Problemas de condensadores...........................................................................................7Fuerza eléctrica_ Solución.................................................................................................8Soluciones Campo Eléctrico..............................................................................................9Soluciones de ejercicios de Gauss..................................................................................12Soluciones de problemas de potencial............................................................................15Soluciones a problema de condensadores......................................................................20

Campos Electromagnéticos estáticos.......................................................................................22Problemas de Corriente eléctrica.........................................................................................22Problemas de resistencia eléctrica: Ley de Ohm.................................................................22Problemas de leyes de Kuirchoff..........................................................................................23Problemas de Biot-Savat......................................................................................................24Problemas de Fuerza magnéticas........................................................................................24Problemas de ley de Ampere................................................................................................26Problemas de Ley de Faraday.............................................................................................27Problemas de circuito RCL...................................................................................................28

Soluciones de problemas de Corrientes..........................................................................30Soluciones de problemas de ley de ohm.........................................................................30Soluciones de problemas de las Leyes de Kirchoff.........................................................31Soluciones de problemas de Biot-Savat..........................................................................33Soluciones de los problemas de Fuerza Magnética........................................................36Soluciones de problemas Ley de Ampere.......................................................................39Soluciones problemas de Faraday..................................................................................43Solución de Circuitos RCL...............................................................................................44



A

A A

A D

4 C

-5 C


Problemas de Fuerza EléctricaF1.-Se tiene cuatro cargas de valor q=4 C en las esquina de un cuadrado de la do A= 1

A. Calcule la Fuerza que actúa sobre una carga Q= -5 C situada en el eje que atraviesa elcentro y es perpendicular al plano del cuadrado y esta a una distancia d..

Respuesta

F2.-Se tiene una distribución de carga (r)= kra

sobre un disco de radio a, de modo

que la carga total sobre el disco es de -5q. Calcule la Fuerza que actúa sobre una carga de valor q que está a una distancia d. del centro del disco.

Respuesta


Carga q

Disco de radioa, con densidad de carga



Problemas de Campo EléctricoE1.-Se tiene una distribución circular de radio a, que tiene una densidad de carga

que depende del ángulo descrito por la siguiente expresión:

=0cos

Calcule una expresión para el campo eléctrico en el eje de simetría del anillo.

Respuesta

E2.-Se tiene dos cargas : +q y -q, separadas por una distancia 2d. Encuentre unaexpresión para el campo eléctrico en un punto P, de modo que las distancia de P comparadacon la distancia entre las cargas es mucho mayor.

Respuesta.

E3.- Se tiene una disco de radio con la siguiente distribución de carga:

r , = 0

cosr

Calcular el campo eléctrico en el eje de simetría.

Respuesta




Problemas de Ley de GaussG1.-Tenemos una distribución esférica de carga, con densidad volumétrica de radio a.

Escriba una expresión del campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Respuesta:

G2.-Se tiene un cilindro de largo infinito y de radio a, que tiene una distribución de cargaradial dado por la siguiente expresión:

r=0

ar

Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Respuesta




Problemas de potencial eléctricoP1.- Se tienen dos cargas eléctricas de magnitud igual, pero de signos opuestos

separados por una distancia de 2d. Encuentre una expresión para el campo eléctrico en unpunto muy alejado (P>>2d)

Respuesta

P2.-Se tiene un disco con una distribución de carga dada por la siguiente expresión:

r =q 1−ra Calcule el potencial y el campo eléctrico en el eje de simetría del disco.

Respuesta

P3.-Se tiene un casquete cilíndrico de material dialéctico de largo L=0.2 m y radio a=0.05m. Este cuerpo esta cargado , con una carga total igual a 1000e (e, carga del electrón).

1. Calcule El campo eléctrico en el eje de simetría. Grafique la intensidad del campo.2. Calcule el campo de potencial en el mismo eje y grafique el potencial en el eje.3. Si se coloca un electrón en el interior, pero con la libertad de moverse en el eje de

simetría, encuentre la expresión de la fuerza que actúa sobre el electrón. Grafiquela magnitud de la fuerza en el eje de simetría

4. Si el electrón está en el punto medio y se perturba teniendo como libertad demovimiento el eje de simetría, calcule la frecuencia de oscilación del electrón.

RespuestaP4.-Se tiene un distribución de carga volumétrica esférica (r) que solo depende de ladistancia r, que es la distancia del origen a un punto P. Se sabe que el potencial estádescrito por la fórmula:

V r =V 0exp −rasin r/ a

Sabiendo esto encuentre:• La expresión vectorial del campo eléctrico.• Grafique el potencial y el Campo E, en el plano X Y, con a=1, y V0=1• Deduzca la densidad de carga (r).• Grafique la densidad de carga en función de r., con a=1 y V0=1

Respuesta




Problemas de condensadoresC1.-Se tienen dos condensadores de 100 microfarad y 25 microfarad respectivamente. El

primero se cargó a una diferencia de potencial de 100 Volt, mientras el segundo a unadiferencia de potencial de 75 Volt. Si se conectan de modo que las polaridad positivascoincidan, ¿ Cuál es la diferencia de potencial final?

Respuesta.

C2.-Calcule la capacidad que tiene una esfera de metal, de radio a.

Respuesta.

C3.- Un condensador de placas paralelas, de ancho w, longitud L y separación d tiene entre las placas una lámina de dieléctrico sólido de constante K. El condensador se carga a un voltaje V0 usando una batería, como se observa en la figura. Suponiendo que se retira el dieléctrico a la posición indicada en la figura, ¿cuánta carga hay en el condensador? ¿La carga total en esta situación es la misma que la inicial, cuando el dieléctrico ocupaba todo el volumen?

Si K=80, L=10 cm, w=10 cm y d=0.5cm realice un gráfico de la energía del condensadoren función de la distancia x.

Respuesta


Voltaje V0

L

D K

X


A

A A

A D

Eje X

Eje Y

1

2

3

4


Fuerza eléctrica_ Solución

Solución_1F.-La expresión de la fuerza eléctrica es conocida. En este caso, cada carga qejerce una fuerza sobre la carga Q en el eje de simetría. La fuerza neta sobre esta carga es la suma de las fuerzas individuales de las otras cargas. La expresión matemática de lo afirmado es:

Asociando un sistema dereferencia, podemos escribir losri, que son los vectores relativosde cada carga q indicando laposición de Q. El vector r1, quees el vector diferencia entre laposición de la carga 1 y la cargaQ. La posición de la carga 1es :R=a/22i, y la posición de lacarga Q es Dk. Así, el vector r1es r1=- a/22i+Dk.

En forma similar se procedecon los otro vectores obteniéndose los siguientes vectores: r2=-a/22j+Dk; r3=a/22i+Dk y r4= a/22i+Dk. Recordemos que el vector unitario es el vector r i divido por el modulo de |ri|.

Aplicando la fórmula de la fuerza FQ se obtiene el siguiente resultado:

F⃗Q=kqQ 4 D k̂

3√( a √22

)2

+D2

Solución_2F.- Para resolver el problema debemos primero recordar la expresión de la fuerza en una distribución continua de carga, actuando sobre una carga de prueba q.

Fq=∫Kqdq '

∣r−r '∣3 r−r'

En este caso el dq= (r')r'2sin(')drd


FQ=∑i=0

4

kqiQ

r2i

ri



Sobre la base de este sistema de referencia se tiene que r', es el vector que indica la posición del elemento de carga dq'; r es el vector que indica la posición de la carga q.

Según esto, el vector r'=rcos()j+rsin()k y r=Di

La expresión de fuerza que se obtiene es:

FQD =∫0

a

dr '∫0

2

dr 2Q r ' 3r ' 2

D2D i−r ' sin k−r ' cos j

Nótese que la expresión anterior es válida para cualquier función (r), en particular conla función del problema el resultado que se obtiene es:

FQD =kaK Q D∫

0

ar 3

3r ' 2D2

=kaK Da2

D2

a3

a2D2

i

Volver

Soluciones Campo EléctricoSolución_E1

Sabemos que la expresión general del campo eléctrico en un punto del espacio descrito por el vector r, está dado por la siguiente expresión:

(E.1.1)

En este problema dq es igual a dq=()a d; r, es el vector posición del punto donde queremos calcular el campo eléctrico. En un esquema del problema veremos este punto.


E r =k∫dq

∣r− r '∣3/2r− r ´

Eje Z

Eje X

Eje Y

Carga q

Disco de radioa, con densidad de carga

dq



Según el esquema, r=xi , r'()=acos()j+asin()k. Al remplazar en la ecuación E.1.1, se obtiene:

Ex =k∫0

2a d

a2x2

3/2 x i−acos ja sin k E.1.2

Al evaluar la expresión E.1.2, se obtiene el siguiente resultado:

Ex =0a

x2a23

j

Solución E2.

El campo eléctrico de una carga q es conocido. Cuando tenemos dos carga, el campo eléctrico en el punto P es la suma vectorial de los dos campo eléctrico (principio de superposición). En este caso tenemos dos cargas de distintos signos.

El campo eléctrico en el punto P es la suma de los campo eléctricos de ambas cargas.


2d

R1

R2R

P=(x,y)

Y

Z

X

dq

r

r'



E(R)=E1(R1)+E2(R2) La expresión del campo eléctrico de la carga 1 (R1) es:

E R1 =kq

∣ R1∣3R1

En forma análoga se define para E2. Pero, ir, se puede escribir en función del vector R y elángulo de elevación con respecto a la horizontal. El vector R1 que expresado como:

R1=R cos iR sin j−d j y el vector R2=Rcos iRsin jd j

La expresión E.2.1, va a depender de R y el ángulo . Escribamos el módulo de R1, enfunción de R y .

1

∣ R1∣3=

1

R2d2−2Rdcos3

Como d<<R, podemos realizar una expansión de la raíz, obteniéndose la siguienteexpresión:

• El término (d/R)2, es despreciable con respecto a d/R. (Recordar ((d/R)<<1)

1

∣ R1∣3=1−

3dR

cos 34

522dR

cos2

...

De igual forma se procede con R2. Remplazando las expansiones de R1 y R2, en E.2.2 yesta en E.2.1, se obtiene la expresión del campo eléctrico siguiente en el punto P.

E R =kq R−3dR

cos d j 21542

d4

cos 2

donde el vector R, es R=R cos iR sin j

volver

Solución E_3

Primero debemos situarnosen el problema:

La posición en dondequeremos calcular el campoeléctrico esta dado por el vector r2=xi. La posición del dq está dado por r1=rcos()j+rsin()k.


E.2.1

E.2.2

X

Y

Z dq



El dq=(r,)rdrd.

Con los valores de r1,r2 y dq se obtiene la siguiente expresión:

Ex =k∫0

a

∫0

2rdrd r , x i−rcos jrsin k

r2x2

3/2

Esta integral es iguial a:

Ex =k0 1

x2a2−

1∣x∣

j

Si dibujamos el valor absoluto de E(x), con tal que k es igual a 1, se tiene el siguientegráfico:

volver

Soluciones de ejercicios de Gauss.Solución_G1

Para solucionar este problema debemos usar de la ley de Gauss. Este se puedeexpresar en forma integral como:


E.3.1

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

-4 -2 0 2 4x

Intensidad del campo eléctrico

E(x)



∫ E⋅d a=Q 0

En una simetría esférica el campo está en la dirección del radio, ya que la distribución decarga es radial.

Para resolver este problema, debemos reconocer dos sectores del espacio que son deinterés para la resolución del problema.

Región I: r<a.

La superficie está dentro de la esfera. El flujo del campo eléctrico por la superficie es

E4r2.La cantidad de carga encerrada en la superficie de radio r (r<a), es Q(r)=4/3r3.

Igualando las expresiones, según la ley de Gauss se obtiene que el módulo del campoeléctrico es:

E(r)=r/(30)

Región II: r>a

En este espacio, la superficie imaginaria esta fuera de la distribución de carga, por tantola carga encerrada es Q(r)=4/3a3. Y por tanto usando la ley de Gauss se obtiene que elcampo eléctrico es:

E(r)=a3/(0r2)

Solución_G2

Nuevamente en este problema tenemos que reconocer dos regiones de interes.

Región I r<a y región r>a


Superficie esférica S



Región I r>a

Nuevamente aplicamos la ley de Gauss. Sin embargo la superficie va tener la simetríacilíndrica

Así, se obtiene que: ∫ E⋅d r=E2 r l donde r es el radio de la superficie externa y l es

su largo. La carga encerrada por la superficie es: ∫r dv=0a2 L . De estos resultadoobtenemos que el campo eléctrico en el exterior del cilindro es:

∣E∣=0al

0 r

Región II, r<a

El flujo del campo eléctrico tiene la misma expresión matemática, sin embargo la cantidadde carga encerrada por la superficie cambia ya que la superficie


Cilindro de radio a.

Superficie cilíndrica

Cilindro de radio a.

Superficie cilíndrica



La carga encerrada es: ∫r dv=0 r2 L El campo eléctrico tiene la forma analítica.

∣E∣=0

l0

Volver

Soluciones de problemas de potencialP1. Debemos tener presente que para solucionar este problema debemos recordar la

expresión de el potencial de una carga eléctrica.

V r =kqr

donde r es la distancia de la carga al punto que se quiere estudiar, q la carga y k laconstante.

Vemos por el diagrama que eléctrica potencial en eléctrica punto P, es la suma de dospotenciales. Así, la expresión del potencial eléctrico en el punto P es:

V r =kq1

r1

kq2

r2

Como ya sabemos, r1 y r2 se pueden escribir en función del las coordenadas polares

R1=R cos iR sin j−d j y R2=Rcos iRsin jd j . Como suponemos quela distancia de P a las cargas es muy grande podemos usar la misma expansión de r1 y r2usado anteriormente y remplazarla en la expresión P1.1. Y obtener la expresión delpotencial a una distancia grande en comparación al tamaño de la distancia entre las cargas.

La expresión es:

V R =2kqd

R2 cos

Esta expresión es el campo de potencial a un punto alejado del dipolo. Al aplicar el


2d

R1

R2R

P=(x,y)

P.1.1



gradiente a esta expresión se obtiene el campo eléctrico en el punto. Es un ejerciciorecomendable de realizar.

Solución P.2

Debemos recordar que la definición del campo de potencial de un carga puntual estádada por al expresión:

V r =kqr

en el caso de una distribución continua el q pasa a ser dq, y el r es la distancia relativaentre el punto donde se quiere calcular el campo y la posición del dq.

En este problema el dq es igual a dq=(r')r'dr'dVeamos un esquema de problerma:

Así, la expresión del potencial en el eje de simetría r=xi, es:

V r =k∫dq

∣r−r '∣=k∫

0

a

∫0

2 r rdrd

r2r ' 2

Remplazando la expresión de la densidad y calculando el potencial según la expresiónanterior obtenemos que el potencial en el eje de simetría es:

V x =2 qk a2x2

−∣x∣−1aa2

a2x2

−a2

2log a a2

x2

a2

2log ∣x∣

Para obtener el campo eléctrico, se aplica el gradiente, es decir:

E=−gradV x (Ejercicio para el alumno inquieto)

volver


dq

R'

X

Y

Z



Solución_P3

Para resolver el ejercicio uno, debemos primero fijar el sistema de referencia, de modoque eje de simetría coincida con el eje k.

Este problema debe separarse en dos problemas:1. el potencial de un disco de densidad de carga ,2. y el potencial de un cilindro de largo L y radio a, con carga superficial .

El potencial de un disco es conocido, y está dado por al expresión:

Ecu 1

En la ecuación Ecu I, es la expresión genérica para un disco en el origen delsistema. Debemos desplazar en L/2, para obtener la configuración que deseamos, y sumarlos potenciales de los discos en L/2 y -L/2. El potencial de los discos es:

Este es el potencial de los discos situados em L/2 y -L/2.

En el caso del manto del cilindro, debemos resolver directamente la expresión depotencial

V z =k∫dq

r2−r1, donde dq=adz´d, r2=zk y r1=a cos()i+a sin()j+z´k. Los

limites en z´ van desde -L/2 +L/2 y el ángulo . Va de 0 a 2.

El potencial que se obtiene es:

V cil z =k2 a ln zL/2 zL/22a2

z−L/2 z−L/22a2

el potencial total es la suma de los dos potenciales.

V(z)=Vdisc(z)+Vcil(z).

El gráfico de potencial es:


V disc z=k 2[ z−L/22a2−∣z−L/2∣ zL/22

a2−∣zL/2∣]

V z =k2 z2a2−∣z∣



Aplicando el gradiente al potencial obtenemos el campo eléctrico. Este es:

E z =k2z−L/2

z−L/22a2−sing z−L/2

zL/2

zL/22a2sing zL/2

La fuerza que actúa sobre el electrón es eE(z). Por tanto, si queremos calcular lafrecuencia de oscilación del electrón debemos obtener una expresión de la fuerza cercadel origen.

Para conocer la frecuencia de oscilación, debemos resolver la siguiente ecuacióndiferencial

−e E z =m z̈

Al expandir en torno a cero la magnitud del campo, se tiene que:


-3

-2.8

-2.6

-2.4

-2.2

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Potencial V(x)

-v(x)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Potencial V(x)

Campo Elèctrico

1

z+ L/ 2+√( z+L/2)2+a2

(z+L /2

1+√( z+ L/2)2+a2)−

1

z−L/2+√(z−L/ 2)2+a2

(z−L/ 2

1+√( z−L /2)2+a2) k̂



E z =E0dEdz z=0

z La frecuencia de oscilación es f=1

2 1m

dEdz z=0

. Usted debe

evaluar la derivada del campo en torno a cero y obtiene la frecuencia.

Solución_ P4

El potencial tiene la forma para z=0, como se observa en el gráfico.

Tenemos que el campo eléctrico es es el gradiente del potencial eléctrico. E=− ∇V .En este caso, el campo eléctrico toma la forma :

E=−V 0e−r/a

asin r/ acos r /a r

Si aplicamos nuevamente el gradiente al campo, obtenemos la distribución de carga. Alderivar nuevamente la distribución da:

r=V 0 e−r /a cos r/ a


Potencial

-4-2

02

4 -4-2

02

4

-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.50.60.7



Soluciones a problema de condensadores.C1.-Sabemos cual es la diferencia de potencial que están cargados ambos

condensadores.

Calculemos la carga de cada condensador:

• 100 microfarad tiene una carga de Q=CV=100 microfarad*100 Volt= 0.01 C

• 25 microfarad tiene una carga de Q=CV=25 microfarad*75 Volt= 1875x10-3 C.

Al conectarse las cargas se distribuyen de acuerdo al potencial final. Sin embargo lacarga total es la misma y se conserva; esta es: 0.011875 C. Cuando están conectados elsistema se comporta como una conexión en paralelo. La capacidad de un sistema enparalelo es igual a la suma de los condensadores; en este caso 125 microfarad.Conocemos la carga, conocemos el condensador por tanto podemos calcular la diferenciade potencial final V=Q/C=95 Volt.

Solución c2.-

La esfera metálica cargada tiene un campo radial. Desde el exterior, el campo depotencial se comporta como una carga Q puntual en su centro. En el caso de una esferametálica, esta carga esta unifórmente distribuida en su superficie.


++++++++++



La capacidad se define como C=Q/V. V, en este caso es la diferencia de potencia entredos puntos; entre dos placas. Una placa es la superficie esférica y la otra está en infinito. Así

el potencial en la placa esférica de radio a es: V a =kQa

Así la capacidad es:

C=a/k=40aSolución _C3Recordemos la capacidad de un condensador de placas paralelasC=A/d. En el caso de la presencia de un dieléctrico que llena todo el espacio entre las

placas, la capacidad es Ck=kC, donde K es el cuociente dieléctrico. En el caso delproblema, podemos pensar que tenemos dos condensadores en paralelos.

La capacidad del condensador con dieléctrico es: Ck(x)= K xL/d, y la otra capacidades: C(x)= (x-L)L/d

La capacidad total es la suma de ambas capacidades, CT(x)=L0/d((1-K)x+L).La Cantidad de carga sin dieléctrico es igual a VC. En presencia de dieléctrico es igual

a VkC=KVC; es decir la carga con dialéctico a un mismo voltaje es K veces mayor quesin dieléctrico.

La energía de un condensador es igual a U=1/*2V2C. Como están a un mismo potencialse remplaza C(x) en la ecuación y se obtiene una expresión de la energía en función de x.

Volver




Campos Electromagnéticos estáticosProblemas de Corriente eléctrica

CE1.-Se tienen 100 electrones que van en la dirección de i a una velocidad de C/2. Porotro lado se tienen 50 iones de Li+ en la dirección j positivo con una velocidad C/3. Calculela densidad de corriente.

Respuesta

CE2.-Se tiene un alambre de un radio a que transporta una corriente eléctrica cuyadistribución radial está dada por la siguiente expresión:

I (r )= I 0 sin(r a)

Sobre la base de la expresión anterior, encuentre la densidad de corriente J(r).

Respuesta

Problemas de resistencia eléctrica: Ley de Ohm. RE1.-Se tiene la siguiente configuración semi-infinita de resistencia de igual valor R.

Calcule la resistencia equivalente de este arreglo.

Respuesta

RE2.-Se tiene un cuerpo cilindrico de radio R y largo L. Este cuerpo està compuesto pordos tipo de materiales que tienen resistividad distinta. Si el material interior es radio 3/4R yel resto tiene otra resistividad. Calcule la resistencia equivalente de este circduito.

Respuesta


Infinito



Problemas de leyes de KuirchoffKE1 Determine la corriente en cada una de las rama de la figura

Solución_KE1

KE2 El circuito ha sido conectado como se muestra en la figura hace mucho tiempo.

a) ¿Cuál es el volyaje a traves del condensador ?b) Si la batería se desconecta, ¿cuánto tiempo le tomaría al capacitor descargarse

hasta 1/10 de su voltaje inicial?

Respuesta

KE-3 Una resistencia de 4 megaohm y un condensador de 3 F se conectan en seriecon una fuente de poder de 12 volt.

a) ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito?b) Exprese la corriente y la carga en el condensador como función del tiempo.

Respuesta


4 Volt

12 Volt

1 ohm

3 ohm

5 ohm

1 ohm8 ohm

8 ohm

2 ohm4 ohm

1 ohm

1 F

10 volt



Problemas de Biot-SavatBE1 Se tienen dos anillos separados por una distancia D. Ambos anillos transportan una

corriente i y están contenidos en planos paralelos. Encuentre una expresión del campomagnético en el eje de simetría y concéntrico de los anillos

Respuesta

BE2 Deduzaca la expresión del campo magnético de una bobina seminfinita de radio R yuna densidad de vueltas por largo de n. Cada linea transporta una corriente i.

Respuesta

BE-3 Se tiene alambre que transporta corriente y tiene forma de un arco desemicircunferencia correspondiente a a y ub radio de R. Calcule la expresión del campo Ben el punto O, que corresponde al centro de la circunferencia que està contenido el arco.

Respuesta

Problemas de Fuerza magnéticasFM-1 Se tiene un electro que tiene una velocidad de 0.8c (c, velocidad de la luz) y que

entra en zona donde existe un camo magnético. El campo es perpendicular a la trayectoriael electrón y entra por la página, ¿que curva va a describir este electrón? Si el campo salierade la página¿Cambia la trayectoria?

Respuesta




FM-2 Se tiene un campo magnético cuya dirección es penpendicular a la página. Unalambre de longitud L y masa M transporta una corriente i. ¿Qué valor y dirección de lacorriente debe tener i para mantener en equilibrio este alambre?

Respuesta

FM-3 Un alambre de longitud infinito estirado, transporta una corriente I. A una distanciaD del alambre hay una bobina cuadrada de ancho a y largo b, que tiene asociado unacorriente R y una bateria V. Calcule la fuerza neta actuando sobre esta espira.

Respuesta


Dirección del campo B, entrando por la pàgina.

Almbre de masa M, y largo L

Alambre, corriente I

R

Resistencia R

V, fuente de voltaje



Problemas de ley de AmpereLA-1 Se tiene un cilindro de radio R, de longitud infinita que transporta una densidad de

corriente descrita por la fórmula J(r)=J0 R/r, para r<R. Encuentre una expresión del campo Ben todos los puntos del espacio.

Respuesta

LA-2 Se tiene que el campo magnético está descrito por la siguiente expresión:

B r =B0 e−ra Deduzca la expresión de la densidad corriente J y la corriente I.

Respuesta

LA-3 Se tiene un cilindro largo, de longitud L y radio R construido con un material demodo que la resistividad de este depende de la distancia al centro de simetría del cilindro aun punto al interior de este. Si se conecta a una batería de potencial V. Encuentre unaexpresión del campo magnético B en todos los puntos del espacio.

Respuesta




Problemas de Ley de FaradayLF-1 Se tiene una bobina toroidal de alto h, radio interior a y exterior b. Calcule la

autoindcutancia L.

Respuesta (Ver apuntes)

LF-2 Se tiene dos rieles paralelos y una barra de masa M y largo L que desliza sobre losrieles sin roce. Los rieles, en un extremos se cnectan por medio de una resistencia R. Uncampo magnètico entra en forma perpendicular al plano de los rieles. Si inicialmente se daun impulso v, encuentre una expresión de la velocidad en función del tiempo. (No haypresencia de gravedad).

Respuesta




Problemas de circuito RCLRCL-1 -El siguiente circuito se diseño para medir la velocidad de una bala.

Respuesta

RCL-2 ¿ Es posible encontrar una frecuencia a la cual la impedancia en losterminales del circuito sea real?

Respuesta


El condensadro del circuito está cargado por la fuente. La fuente de voltajetiene un valor de V. Las resistencia tienen un valor de R=10 ohm y elcondensador, una capacidad de C=40 f. Entre los puntos A y B existe unadistancia de 2 m. Se sabe que el condensador en el momento que corto elcable en el punto B, con un voltaje de V/6. ¿A qué velocidad iva la bala?(Calcule la expresión)

A B

R

R

C ,capacidad

V

C

R

L



RCL-3 La combinación en serie de una resistencia R y una inductancia L se pone enparalelo con la combinación en serie de una resistencia R y una capacidad C.

Demuestre que si R2=L/C, la impedancia es independiente de la frecuencia.

Respuesta


R

R

C

L



Soluciones de problemas de Corrientessolución_CE1.-Veamos la definición del vector J: J=∑ n i v iqi donde ni, es el número de

cargas qi que tienen una velocidad vi. Apliquemos la definición:

J=100 c/2 i −e50 c/3 j e

Solución_CE2.-Por la definición de la intensidad de corriente, tenemos que:

Conocemos I(r), y la integral, es una integral doble, es decir:

I (r )= I 0 sin(r a)=∫

0

r

∫0

2

J (r )rdr d

Derivando la expresión con respecto a r, se obtiene que:

J r =I 0 cos ra

1

2ar

volver.

Soluciones de problemas de ley de ohmSolución_RE1.- Supongamos que el arreglo tiene una resistencia igual a r.

Nótese que la unidad que se repite en este arreglo es:

Lo interesante de esto, es que tenemos un arreglo semi infinito. Si restamos uno, oagregamos una unidad tenemos el mismo arreglo con un valor de r.

Entonces podemos imaginar el siguiente arreglo

La resistencia r está en paralelo a R, y la combinación de ambas esta en serie con R.

Según lo escrito antes, r va a ser igual a la siguiente ecuación


I r=∫ J⋅d a

CE2.1

rr=



r=RRrRr

despejando r, obtenemos una ecuación de segundo orden para r:

r2−Rr−R2

=0

y las soluciones son r=R±5R2

2=R1± 5 /2 . La solución con significado físico es

con el signo positivo; no existe resistencias negativas.

Volver

Soluciones de problemas de las Leyes de Kirchoff

Solución_KE1

Primero, debemos identificar las mallas de interes

Si a cada malla asociamos una corriente, I1 e I2 respectivamente, podemos escribir laecuación de la caida de cada malla (ley de Kychoff). Nos da el siguiente sistema deecuaciones lineales (sentido positiva punteros del reloj):

Malla 1: -4 = 8I1+5(I1-I2)+1 (I1-I2)

Malla 2: 4-12=5(I2-I1)+1(I2-I1) + 3I2+1I2

Con este sistema de ecuaciones, resolvemos el sistema dando los valores de I1=-11/13 eI2=-17/13

Volver


4 Volt

12 Volt

1 ohm

3 ohm

5 ohm

1 ohm8 ohm

Malla 1 Malla 2



Solución de KE2

Para simplificar, vamos a tomar 3 mallas, donde a cada una de ellas asocamos unacorriente. Además, la dirección positiva será en la dirección de los punteros del reloj.

Según estas mallas, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones.

Malla 1: 10=1(I1-I2)+4(I1-I3)

Malla 2: 0=1(I2-I1)+8I2+Vc.

Malla 3: 0=4(I3-I1)+2I3-Vc

Si se junta la malla 2 y malla 3 se obtiene la ecuación, de acuerdo al sentido elegido

Malla 2 + Malla 3: 0=8I2+2I3+4(I3-I1)+1(I2-I1)

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tienen los siguientes resultados:

I1=3/2, I2=3/2, I3=-1 y Vc=-12 (solución a)

Cuando se desconecta del circuito, el condensador está en paralelo con una resistenciaequivalente, por donde se descarga el condensador. El valor de la resistencia equivalentees R=10/3 ohm. Luego la descarga del condensador viene dado por la expresión

El tiempo en llegar a un decimo del voltaje es

Volver


8 ohm

2 ohm4 ohm

1 ohm

1 F

10 volt

Malla 1

Malla 2

Malla 3

V t =12e−t

10 /3∗1 F

t=RC ln10=0,000007675 s



Solución de KE3

El circuito que se estudia es:

Suponiendo que inicialmente elcondensador estaba descargado, laecuación diferencuial que rige este circuitoestá dado por :

, con . La solución de esta ecuación es

donde i0 = V/R, ya que inicialmente el condensador (t=0 s) se comporta cortocircuitado.

La constante de tiempo es RC=12 s.

Volver.

Soluciones de problemas de Biot-Savat


R

C

V=iRQC

Q=∫ i dt i t =i0e−tRC



Solución BE1

Primero debemos calcular el capo que produce un anillo, en un punto cualquiera del eje de simetría

Aplicando la expresión de Biot-Savat, ; en este caso, el

vector y . Si x=Rcos() e y=Rsin(), con Recuerde

que .. Remplazando en la ecuación de Biot -Savat, se obtiene

que: B=0

42 piI R2

R2Z−Z ' 2

3k .

Si las corrientes están en la misma dirección, separados por una distancia D, los campos se suman, con la primera espira en Z'=0 y Z'=D. La suma de los campos da

B=0

42 piI R2

R2Z 2

3k

0

42 piI R2

R2Z−D

2

3k

Volver

Solución BE2

Veamos una esquema del problema


Figura 1: Esquema del anillo

Z

r'I

r

Ecu 2: Biot-Savat

B=

4∫ I dl x

r−r '

∥r−r '∥32

r=z k r '= x ' i y ' jz ' k d l=Rd

=−sin icos j



En este caso, el vector r=Z k , y el vector r '=RcosiRsin jZ ' k .

e Id l=i n dz ' Rd , donde =−sin icos j . Utilizando Biot- Savatt, nos da

B=0

4∫0

2

∫0

∞

i ndz ' Rd Z k−R cos i−Rsin j−z ' k

R2Z−Z ' 2

3 =i n0

2 1z

R2Z 2 k

Un bosquejo de la intesnidad de campo se observa en el gráfico siguiente:

Volver


Infinito

x

y

Figura 3: Bosquejo del campo B

Figura 2: Forma del solenoide

O

r'

r

Radio del cilindro: R



Solución BE-3

El bosquejo del problema es

En este caso r=0, r '=R cos iRsin j y I d l=Rd −sin icos j . en la ecuación de Biot-Savat,

B=0

4∫0

I R d −sin icos j x −Rcos i −Rsin j

R3 =−0

4 RI k

Volver

Soluciones de los problemas de Fuerza MagnéticaSolución FM-1

El electrón entre en una zona en donde el campo es vertical a la hoja.

La fuerza actuando sobre el electrón viene dado por la expresión

F=qev×B=ma , que según la segunda ley es igual a la masa por la aceleración.


RR

x

y

e

Campo B, entrando



Desarrollemos la igualdad anterior,

Ecu 3: fuerza de lorentz

al desarrollar este ecuación nos da el siguiente sistema acoplado

mdvx

dt=−qeB vy y m

dvy

dt=qe B vx . Al resolver para vx(t) nos da

d2 v x

dt²

qe2 B2

m2 vx=0 , y como resultado v x t =v0 cos w t ya impuestas las condiciones

iniciales y w=qe Bm

(*). De la solución, se tiene que v yt =−mqe B

v0 wsin w t . La

integración de las velocidades nos da las posiciones:

x t =v0

wsinwt , y t=

v0

wcos wt −1

Esta relación corresponde a una circunferencia de radio R=v0

w.

Una forma de verificar este resultado, es ver los módulos de las fuerzas

m∥a∥=m w2 R=∣qe∣∣v0∣∣B∣ , y de la relación de w (*), se obtiene que R=v0

w

Al cambiar la dirección el campo B, el electrón se deflecta en la dirección contraria.

Volver

Solución FM-2

La fuerza actuando sobre la barra que puede deslizar es F=∫0

L

I dx i×−B0k =I B0 L j .

Para el equilibrio, debe sumar con el peso de la barra cero, es decir

I B0 L j . mg j=0 I=mgB0 L


ma=qe∣i j k

vx vy 00 0 −B∣



Volver

Solución FM-3

La corriente en el circuito es Ic=V/R.

El alambre produce un campo B que está dado por la expresión B=0

2Irk .

La fuerza sobre el circuito viene dado por la expresión F=∮ Ic dl x B .

En todas las trayectorias del circuito, el elemento vectorial diferencial dl es perpendicular a B.

Calculemos la fuerza por tramos:

Tramos AB: ∫0

a

Ic0 I

2Ddx j= Ic

0 I

2Da j

Tramo BC: ∫D

Db

Ic 0 I

2 ydy i=Ic0

I2

ln bD

b i

Tramo CD: ∫a

0

Ic0 I

2Dbdx j=−Ic

0 I

2Dba j

Tramo DA: ∫Db

D

Ic0 I

2 ydy i=−Ic0

I2

ln bD

b i

Sumando las fuerza en todo los tramos, no da que la fuerza neta es:

F=−Ic0 I

2DbaIc

0 I

2 Da j


R

Resistencia R

V, fuente de voltaje

A B

CD



Volver

Soluciones de problemas Ley de AmpereSoluciónLA1

Aplicando la ley de Ampere ∮ B⋅d l=0∫J r ⋅da . Para r<R, se tiene la siguiente

igualdad por la ley de ampere ∮ B⋅d l=∣B∣2 r=0∫J r⋅da=0 J 0R2 r , por tanto el

campo es ∣B∣=0 J0 R . Para r>R, ∮ B⋅d l=∣B∣2 r=0∫J r⋅da=0 J 0R22 , con el

campo B ∣Br ∣=0 J 0R

2

r

Volver

Solución LA2

Popr la ley de Ampere ∮ B⋅d l=0∫ J r ⋅da=0 I

El campo es Br =B0 e−ra ,tiene una simetría en torno el eje central (r=0), entonces la

integral del lado izquierdo da B0 e−ra 2 r=0 I r , de la cual podemos despejar la corriente

I(r): I r =B0 e−ra r0

.

Derivando la expresión de la corriente I(r) y por la simetría axial, se obtiene

d I r dr

=−B0r−aa0

e−ra =J r r 2 por lo cual J r =

−B0r−a

a02 re−ra

Volver

Solucion LA3

Se sabe que I=V/R. Si el objeto cilíndrico está conectado por las caras del cilíndrido, cada sección longitudinal entre las caras está en paralelo.

Supongamos que tomamos una porción circular de radio r, de grosor dr.




Esta porsión del material está en paralelo, con cualquier otra porsión del cilindrido. Con estaconsideración podemos escribir la siguiente ecuación:

Ecu 4:

, donde da es el elemento de area da=2rdr, L es el largo del clindro y

(r)=r, donde es una constante de proporcionalidad. Como cda sección está en paralelo el producto I(r)R(r)=V, constante. La expresión de R(r), se calcula por 4. Esto da

Rr = Lr

. Luego, I r =V rL

.

Ahora, aplicando la ley de Ampere, se tiene que para r<R. 2 r∣B∣=0VrL

, lo que

implica que ∣B∣=0V

2 Lpara r<R. Para r>R, ∣B∣=0

V R2 Lr

Volver


r Porción de radio r, y grosos dr

ddr

1R=

1

daL



Soluciones problemas de FaradaySolución LF-1

Ver solución en el apunte: Capítulo de Faraday.

Volver

Solución LF-2

Realicemos un esquema del montaje:

El flujo magnético en este problema, viene dado por al expresión =∣B∣xL . Al derivar el

flujo, obtenemos la diferencia de potencial Ecu 5:

. Recordar que la derivada

de la posición es la velocidad. Este potencial inducido produce una corriente I (I=/R), que depende del tiempo y que en presencia del campo aparece una fuerza actuando sobre el riel. En este caso, por la ley de Lenz, la corriente va a favor de los punteros del reloj análogo

la fuerza apunta en la dirección -i. La fuerza magnética se puede escribir como

F=−I LB i . La ecuación dinámica de la masa M es: −I LB i=md2 xdt 2 . Pero la corriente

depende la velocidad (5). La ecuación dinámica, en función de la velocidad se puede reescribir como:

dvdt

BL2

RMv=0

La solución de esta ecuación es


Figura 4: Esquema de los rieles

R Masa ML

Campo Magnético B, entrandox

=∣B∣Lv



Volver

Solución de Circuitos RCLSolucion RCL-1

Como ha pasado mucho tiempo, el condensadoer ya está cargado. Como lasresistencia son iguales, el condensador está cargado aun potencial de V/2. Cuando la balacorta el cable en el punto A, el condensador se descarga, y lo hace por la resistencia R,inicialmente el paralelo al condensador. La ecuación de la descarga del condensador es

V t =V2

e−tRC . Cuando la bala corta B, el voltaje en el condensador es V/6. Igualando a la

ecuación de descarga y despejando el tiempo t se obtiene que t=RC ln 2 . Luego la

velocidad es v=D

RC ln2

Volver

Solucion RCL-2

Tenemos una resistencia R en serie con una bobina L, y estos dispositivos en paralelo conun condensador C. La impedancia de R y L es Z1=R+wLi, y el condensador Z2=-i/(wC).

Como están en paralelo se cumple que 1/Z1+1/Z2=1

RwLiwCi . La impedancia

equivalenete es −wCR2i−Rw3CL2i−wLi

wCR 2−w2CL12La parte imaginaria debe ser cero. Estom

implica que w3CL²−wLwCR2=0 . La soluciones son: w=0 o w= L−CR²

CL.

Volver

SoluciónRCL-3

La impedancia Z1=R+wLi, y Z2=R-i/(WC)

Reemplazando el valor de R=L/C , y calcaulando la impedancia equivalente del circuito

da Z=CL

real, independiente de w.

Volver



ejercicios resuelto 2015-i

Engineering