Procesos Industriales Área Manufactura

Temas: Eventos aleatorios, Espacio Muestra, Técnicas de conteo, Variables en técnicas de conteo, poisson y T Student

EVENTOS ALEATORIOS

Un evento se entiende como el acontecimiento de un hecho en proceso o por venir. Se dice que es aleatorio, si no es posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también se le denomina un suceso o un fenómeno.Generalmente, se simula el evento por un conjunto de variables relacionadas entre si. Por lo tanto, un evento está representado con una o más variables vinculadas entre ellas. Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles con exactitud se dice que el evento es aleatorio. Generalmente las variables representan atributos y propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que pueden ser medidos. De esta manera se dice que las variables tienen una magnitud.

EJEMPLOS Se lanza una moneda de un peso mexicano. Se observa si el

resultado es águila o sol. Se lanza un par de dados y se observa la suma de los números de la cara superior. De una baraja americana normal, se reparte una mano de poker de cinco cartas y se cuenta el número de Ases entregados. Se coloca un foco a la corriente y se mide el tiempo que éste tarda en fundirse. En una urna con bolas de igual forma pero donde hay 20 de color negro y 30 de color blanco. Se extraen tres bolas y se cuenta el número de bolas blancas extraídas. Se manufacturan artículos en una línea de producción hasta que se tienen 50 artículos no defectuosos, se anota el número total de artículos producidos. Una persona se dirige de su casa al trabajo. Anotar el tiempo que le tomó. Un propietario de un sitio de taxis coordina un grupo de 4 unidades y 5 choferes. Durante cualquier día, es posible que alguna unidad esté fuera de servicio por mantenimiento o reparación y también es posible que alguno de los choferes no se presente a trabajar. Se registran ambos números.

ESPACIO MUESTRA

 se refiere a todo lo que nos rodea y a diferentes conceptos en distintas disciplinas. 

Muestral, por su parte, es lo perteneciente o relativo a una muestra  (la porción extraída de un conjunto por algún método que permite considerarla como representativa de él). Una muestra también es una demostración, prueba o señal de algo

Un espacio muestral o espacio de muestreo es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A cada uno de sus elementos se los denomina como punto muestral o, simplemente, muestra.

• Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

• En algunos casos, los experimentos pueden tener dos o más espacios muéstrales posibles. El experimento de tomar un naipe de una baraja española, por ejemplo, tiene un espacio de muestreo compuesto por los números y otro espacio muestral formado por los palos. La descripción más completa, pues, debería incluir ambos valores (número y palo) en un eje cartesiano.

• Los espacios muéstrales pueden ser discretos (cuando el número de sucesos elementales es finito o numerable) o continuos (en los casos en que el número de sucesos elementales es infinito incontable).

TÉCNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

TÉCNICAS DE CONTEO

Es un fenómeno fundado en la experiencia, el cual al repetirlo y observarlo   en las mismas condiciones en que se desarrolla sus resultados no son siempre los mismos, sino que los datos o mediciones son solo aproximaciones al verdadero valor de la probabilidad del evento.

EJEMPLO 1:

Un juego de dados consiste en adivinar el número de puntos que caerán al lanzar un dado. Dos jugadores hacen su apuesta por un número de puntos antes de lanzarlo. El que adivina gana la apuesta. Si nadie adivina, lo apostado se gana para el próximo juego. Los jugadores se turnan para elegir primero un número por el cual apostar.

  a) ¿Cuántos resultados posibles hay?  b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que seleccione un número de puntos que caerán adivine?  c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los jugadores adivine el número de puntos que caerán?

Al reflexionar, se concluye que los resultados posibles son 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), pero ninguna jugador sabe antes de lanzar el dado cuantos puntos caerán.

La regularidad estadística indica que al practicar repetidamente el experimento asociado a determinado fenómeno aleatorio se obtiene una frecuencia relativa, la cual se aproximara al verdadero valor de la probabilidad del evento si el número de observaciones n es grande.

Algunos eventos posibles al desarrollarse el experimento de lanzar el dado son:

  a) Caen 4 puntos, A = 4  b) Caen mas de 4 puntos, B = 5,6  c) Caen un numero par de puntos, C = 2, 4, 6.

EJEMPLO 2:

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

VARIABLES EN TÉCNICAS DE CONTEO

Las variaciones son técnicas de conteo que respetan el orden, es decir AB BA.

En realidad cuando hemos resuelto el problema de ¿ cuántas palabras de tres letras se pueden escribir con las letras A B C D hemos resuelto un problema de variaciones, porque respetamos el orden: ABC CAB CBA etc.

Además las variaciones pueden ser con repetición o sin repetición.

Conocemos como variaciones sin repetición… Variaciones sin repetición: Con las letras A, B, C, D se pueden escribir 24 palabras

de 3 letras diferentes, esto mismo matemáticamente se dice: hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3.

Y se escribe 4v3 =24 Y se calcula así: 4v3= 4 * 3 * 2 =24

EJEMPLO DE POISSON Ejemplo 1.- Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿ Cuales son las probabilidades reciba,

a)Cuatro cheque sin fondo en un día dado,

b)B)reciba 10 cheques sin fondo en cualquiera de dos días consecutivos

Variable discreta= cantidad de personas

Intervalo continuo= una hora

Formula

P(x): Probabilidad de que ocurran x éxitos : Número medio de sucesos esperados por

unidad de tiempo. e: es la base de logaritmo natural cuyo valor

es 2.718 X: es la variable que nos denota el número

de éxitos que se desea que ocurran

A) x= Variable que nos define el número de cheques sin fondo que llega al banco en un día cualquiera;

El primer paso es extraer los datos Tenemos que o el promedio es igual a 6 cheques

sin fondo por día e= 2.718 x= 4 por que se pide la probabilidad de que lleguen

cuatro cheques al día

REEMPLAZAR VALORES EN LAS FORMULAS = 6 e= 2.718 X= 4 P(x=4, = 6) =(6)^4(2.718)^-6 4!

=(1296)(0,00248) 24

=o,13192 Es la probabilidad que representa de que lleguen cuatro

cheques sin fondo al día

B) X= es la variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan en dos

días consecutivos =6x2= 12 Cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días

consecutivos

Lambda por t comprende al promedio del cheque a los dos días

DATOS = 12 Cheques sin fondo por día

e= 2.718 X=10 P(x=10, =12 )= (129^10(2.718)^-12 10! =(6,191736*10^10)(0,000006151) 3628800 =0,104953 es la es la probalidad de que lleguen 10 cheques sin fondo en dos

días consecutivos

EJEMPLO:

fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

AQUÍ SE ENCUENTRAN LAS MUESTRAS QUE SE TOMARON PARA RESOLLVER EL PROBLEMA.

520 521 511 513 510 µ=500 h

513 522 500 521 495 n=25

496 488 500 502 512 Nc=90%

510 510 475 505 521 X=505.36

506 503 487 493 500 S=12.07

SOLUCIÓN

Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con los datos con los que contamos.

Tendremos que sustituir los datos

t= x -μ SI n α = 1- Nc =

10%v = n-1 = 24 t = 2.22

PROCEDIMIENTO:SE DEMOSTRARA LA FORMA EN QUE SE SUSTITUIRAN LOS

DATOS.

VALOR DE LOS DATOS.. APLICACION DE LA FORMULA

µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22

n=25 12.07 25

Nc=90% v = 25 -1 = 24 X=505.36 α = 1- 90%

= 10% S=12.07

ENSEGUIDA SE MUESTRA LA DISTRIBUCIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN EL

GRAFICO SIG.