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Para el alumnado y en voz baja

Tema 7:Energía cinética y energía potencial

ejemplos sencillos

Contenidos paraFísica y Química

José Manuel Pereira Cordido. Departamento de Física y Química. IES San Clemente. Santiago

Documento parcial

Para TEMA 7

Energia cinetica y potencial.

Contenidos paraFísica y Química

José Manuel Pereira Cordido. Departamento de Física y Química. IES San Clemente. Santiago

José Manuel Pereira Cordido

Doctor en Ciencias

Catedrático de Bachillerato del I.E.S. San Clemente.

Santiago de Compostela

Edición 2013 © Gráficos y dibujos: José M. Pereira Cordido © Fotografías: José M. Pereira Cordido © Vídeo: José M. Pereira Cordido

© Realización, edición y diseño: José M. Pereira Cordido

Registro General de la Propiedad Intelectual. Santiago: 03/2013/695

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No se permite un uso comercial de la obra original ni la generación de obras derivadas

TEMA 7.- ¿Qué destino tiene el trabajo?: Energía.

Las fuerzas, ya sean constantes o no lo sean, actuando sobre un

cuerpo pueden deformarlo, modificar la posición de éste o producirle

una aceleración. También puede ocurir que todas las posibilidades se

superpongan, pero si se diera tal situación tendríamos que estudiar

separadamente cada efecto.

Para conocer el destino del trabajo vamos a considerar

separadamente las diferentes posibilidades.

Es evidente por lo dicho, que después de haber realizado

trabajo sobre un cuerpo, éste adquiere unas capacidades que antes no

tenía en virtud de que ahora se mueve con mayor velocidad o se

encuentra en otra posición más elevada.

El trabajo no ha desaparecido, se ha acumulado en el cuerpo de

destino disfrazado , transformado, oculto de alguna forma, que se ha

dado en llamar "energía".

El destino del trabajo es transformarse en energía.

El trabajo puede incrementar la energía cinética. Caso general de una fuerza variable

Consideremos un bloque que se encuentra sobre una superficie

horizontal sin rozamiento.

En la figura A, representamos las

fuerzas aplicadas sobre el bloque en la

dirección Y:

Existe una fuerza vertical y hacia

abajo, ejercida por la Tierra sobre dicho

bloque (su reacción no se representa,

no interesa ya que estaría aplicada en la

Tierra) .

Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos

JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 1

´B

xBW F x= ⋅∂∫

´B

BW F x= ⋅∂∫

Hay otra fuerza, también aplicada en el bloque, vertical y hacia

arriba, que es la ejercida por la superficie sobre el bloque (la acción

origen de esta fuerza no interesa y por tanto no se representa).

Solamente representamos las fuerzas sobre el bloque ya que es,

precisamente el bloque, el objeto de nuestra atención: el sistema

Las dos fuerzas representadas

(que, advertimos, no son una pareja

de acción-reacción) actúan sobre el

bloque; además en el caso presente

son iguales y por ello decimos que el

bloque está en equilibrio sobre la

superficie.

Si a lo largo del eje X,

aplicamos ahora una fuerza F (figura

B) y ya no representamos las fuerza

anteriores de resultante nula.

En tal situación, el bloque se

desplaza hacia la derecha como se

indica en las figuras inferiores.

Como la fuerza F es paralela a la superficie, en lugar de

escribir:

podemos escribir:

ya que F y Fx coinciden. Vemos que la fuerza aplicada está en la

dirección del eje X, y por tanto su valor es idéntico a Fx .



vat∂

=∂

F m a= ⋅

´ ´B B

B B

vW F x mv xx∂

= ⋅∂ = ∂∂∫ ∫

vat

xx

∂=∂

∂∂

x x vv vax xt t

vx

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

= = =∂

∂ ∂∂

´ ´ ´ ´B x v v

B x v v

vW F x mv x mv v m v vx∂

= ⋅∂ = ∂ = ∂ = ∂∂∫ ∫ ∫ ∫

Por otra parte, sabemos que :

Pero a la aceleración podemos escribirla como

LEAMOS, SOLO LEAMOS LAS SIGUIENTES LÍNEASporque lo

trascendente es lo que finalmente deducimos: :

Hagamos ahora un “ejercicio” matemático para conseguir lo que

se llama un “cambio de variable”. Escribamos el valor de la aceleración

en la forma:

O lo que es lo mismo:

Con estas sustituciones, muy sencillas pero artificiosas,

hemos conseguido escribir la aceleración bajo otra forma, forma que

ahora nos será útil. En efecto.

Sustituyendo, en definitiva, haciendo ese cambio de variables,

la ecuación que expresa el trabajo puede escribirse:

como dicha integral es inmediata, podemos obtener como

resultado final:



´v

vm v v∂∫

( )22 1

´ 212

v

vm vm vv v∂ −=∫

( )2 22 1

12

W m v v= −

Pero la integral:

es inmediata

En resumen, el trabajo que realiza la fuerza puede escribirse:

o Es de destacar que después de los cambios de variables, la expresión final del trabajo no incluye ni a F ni a la cuantía del desplazamiento desde B hasta B’.

o Tampoco, y esto es también trascendente, hemos impuesto ninguna restricción a la fuerza F. La fuerza puede ser constante o variable.

o La cuantía del trabajo realizado se calcula, con sólo saber la masa del cuerpo y sus velocidades al comienzo y al final de la acción de la fuerza.

Es muy frecuente recurrir a calcular así el trabajo, cuando poco

o nada sabemos de la fuerza que actúa. El trabajo lo conocemos en

razón de la energía cinética que generó.

No obstante hay una única restricción: ninguna de las

fuerzas que actúan se encarga de disipar parte del trabajo. No

existen fuerzas disipativas .

Por todo lo anterior, debemos de tener siempre muy presente

que ( si no existen fuerzas de rozamiento), el cálculo de un trabajo

puede obviarse y conocerse su cuantía a base de hacer el cálculo

del incremento de la energía. Este tipo de energía se llama

cinética.

Todo el razonamiento anterior puede hacerse para el caso de una fuerza constante y paralela a la superficie, omitiendo el empleo del cálculo integral y empleando una simbología elemental. Lo hacemos a continuación:



2 20

2v va s −

Δ =

2 20

2v vW m −

=

2 20

1 12 2

W mv mv= −

El trabajo puede incrementar la energía cinética. Caso especial cuando la fuerza es constante.

En efecto.

Supongamos que sobre un cuerpo en reposo actúa un fuerza

constante paralela a la superficie (sin rozamiento) sobre la que se

apoya.

Sabemos que si se aplica una fuerza constante a un cuerpo, este

se mueve con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Podemos escribir para tal situación que:

W = F · s

W = F ∆s = m a ∆s.·

pero V2 = v20 + 2a ∆ s ·

En donde el valor de F se sustituyó por m .a ; y el valor de la

aceleración (dado que es un movimiento uniformemente acelerado) por

su valor (recuérdese que V2 final = 2 a s )

de donde

sustituyendo

Finalmente, la ecuación se puede expresar como:

Es decir, que el trabajo que se realiza sobre un cuerpo al

ejercer sobre él una fuerza constante, se invierte en variar su

energía cinética.



´B

xBW F x= ⋅∂∫

´B

BW F x= ⋅∂∫

El trabajo incrementa la energía potencial

Supongamos que un bloque se encuentra apoyado sobre una

superficie horizontal.

En la figura A se han representado las fuerzas que actúan sobre

él, son las mismas que en el ejemplo anterior, y por tanto, no procede

llevar a cabo una explicación completa de dischas fuerzas. Si, dejar

claro que solo se han representado las fuerzas aplicadas en el

cuerpo .

Si deseamos elevar verticalmente el cuerpo, con velocidad

constante, debemos de ejercer una fuerza F vertical y hacia arriba de

cuantía idéntica a su peso (figura B).

En tal situación el cuerpo continúa también en equilibrio. Ahora

moviéndose con velocidad

constante y antes quieto

El trabajo realizado por la

fuerza F se calcularía como

siempre:

pero como la fuerza F

vertical, coincide con el

desplazamiento también vertical,

resultará :

Si admitimos que la fuerza

que laTierra ejerce sobre el cuerpo

es constante, afirmación válida si B

y B’ no están muy separados entre

sí, podemos considerar que F es

constante. Por tanto, el cálculo del

trabajo para la situación planteada

se concretaría como:



2 1

´ ´

2 1) ( )(h h

h hF h F h F h mg h hhW = ⋅∂ = ∂ = = −−∫ ∫

( ) ( )2 1 0 0 0 pW P h h mh h h mgh mgh Ep Ep E= ⋅ − = ⋅ − = − = − = −Δ

Se trata pues, del sencillo caso de calcular el trabajo de una

fuerza constante

Cálculo de la energía potencial gravitatoria. Un ejemplo

El cálculo de la energía potencial gravitatoria que tiene un

cuerpo siempre se hace respecto de otro que ejerce una fuerza de

atracción sobre él.

El caso más habitual que es lo de cuerpos que encuentran

próximos a la Tierra y están sometidos a la fuerza de la gravedad, que

a distancias pequeñas de la superficie terrestre podemos considerar

constante y de valor conocido (su peso). El valor de la energía

potencial, con respecto a la superficie de la Tierra es

E p =·m g h

Imaginemos un cuerpo de masa m, situado la una altura h0 que

cae hasta una altura h. La fuerza a la que está sometido es su peso P

=m·g y el trabajo realizado, ya que tienen la misma dirección, será

igual al producto de la fuerza por el desplazamiento, :

Vemos que el trabajo realizado es igual a la variación de energía

potencial que sufrió el cuerpo. El signo menos se debe la que la

energía potencial del cuerpo disminuyó.

Hemos considerado a la superficie de la Tierra como origen de

alturas, pero podemos considerar cualquier otro punto como origen ya

que lo trascendente es la variación de energía potencial. Conviene

situar el origen de alturas en el punto más bajo ya que así la energía

potencial que tiene el cuerpo al final es nula.



1 1 0,1 9,8 9 8,82pE mgh J= = ⋅ ⋅ = 2 2 0,1 9,8 3 2,94pE mgh J= = ⋅ ⋅ =

1 1 0,1 9,8 0 0pE mgh J= = ⋅ ⋅ = 2 2 0,1 9,8 ( 6) 5,58pE mgh J= = ⋅ ⋅ − = −

2 1 2,94 8,82 5,58p p pE E E JΔ = − = − = −

2 1 5,58 0 5,58p p pE E E JΔ = − = − − = −

Ejemplo

Una pelota de 100 gramos de masa está suspendida entre las

cuerdas de un tendedero en la terraza de un tercero piso a 9 metros de

altura. En un instante determinado, se suelta, cae y vuelve trabarse

entre las cuerdas del primero piso a 3 metros de altura.

Hallar:

a) El valor de la energía potencial en las dos posiciones se

tomamos el suelo como origen.

b) Lo mismo, tomando cómo origen la posición inicial de la

pelota.

c) La variación de energía potencial que hubo en los dos

apartados anteriores.

Solución:

a)

b

b)

c)

En el primer caso:

En el segundo caso:

Podemos observar que la variación de energía es la misma en

los dos casos, como era de esperar, ya que no depende del origen que

tomemos dado que este se puede elegir arbitrariamente. También

observamos que el resultado es negativo debido la que la pelota pierde

energía potencial al caer.



´h

hmg sen x= ⋅ α ∂∫

´ ´cos

h h

xh hW F x F F x= ⋅∂ = β∂∫ ∫

o (Parte del contenido que sigue requiere que el alumno repase lo que ya estudió en cursos anterioriores sobre las leyes de Newton).

¿Pero si la fuerza no coincide con la dirección del desplazamiento?

Si queremos elevar un cuerpo con velocidad constante pero

empleamos una fuerza que no es vertical como la dirección de su

peso. Por tanto, sólo una porción de dicha fuerza( la que llamamos

componente útil) realiza trabajo.

En efecto, supongamos

que tal como indica la figura, una

fuerza F que forma un ángulo β con la dirección del

desplazamiento, intenta elevar a

un cuerpo sobre la superficie x

que forma un ángulo α con la

horizontal.

Para que el cuerpo

ascienda con velocidad

constante, tendrá que

encontrarse en equilibrio.

Es decir:

Σ Fi = 0

Por tanto deberá de cumplirse la condición:

F cos β− P sen α= 0

en definitiva:

F cos β= P sen α

Si calculamos ahora el trabajo realizado:



´ ´

2 1( )h h

h hW mg h mg h mg h h= ∂ = ∂ = −∫ ∫

sustituyendo ∂x sen α = ∂ h

obtendremos finalmente:

Hemos constatado así lo anteriormente afirmado al hablar del

trabajo neto: el trabajo realizado sólo depende de la posición inicial

y final.

Al igual que antes, advertimos que tal afirmación está

supeditada al hecho de que no existe rozamiento. En el sistema

objeto de estudio no existen fuerzas que disipen trabajo (fuerzas

disipativas).



El trabajo incrementa la energía cinética y potencial

Como consecuencia de los dos apartados anteriores en donde

hemos constatado el destino del trabajo en dos situaciones muy

concretas :

a) El trabajo sólo incrementaba la energía cinética

b) El trabajo sólo incrementaba la energía potencial

Podremos plantearnos una situación general en donde, no

existiendo fuerzas disipativas, una fuerza realiza trabajo sobre un

cuerpo de masa m, y puede modificar la altura del del cuerpo además

de variar su velocidad.

Es la situación general que representa la figura. La fuerza F que

actúa sobre el cuerpo de masa m, puede realizar trabajo de diferentes

formas:

a) Puede trasladar

horizontalmente el cuerpo e

incrementar solamente su energía

cinética siempre y cuando:

F sen α< mg ;

ya que de no cumplir tal

condición, además de trasladarlo lo

levanta.

Si se cumple la condición

anterior, el trabajo realizado por F cos α incrementa la energía cinética en la

cuantía que ya sabemos calcular.

b) Si la la fuerza F fuese vertical

(no tendría componente x) y si su valor

fuese idéntico al producto de mg, el

cuerpo se eleva con velocidad constante

y se incrementa solamente su energía

potencial.

c) Por último, si F sen α> mg el



cuerpo se separa de la superficie e incrementa su energía cinética y

potencial.

A efectos prácticos,

y siempre que nos

encontremos con una

fuerza actuando sobre un

cuerpo colocado sobre una

superficie, debemos de

analizar previamente las

posibilidades expuestas,

antes de acometer con

prisa y sin meditarlo,

cualquier cálculo del

trabajo.

Lo recomendable es

descomponer la fuerza

aplicada tal como

señalamos en la figura y,

comparar sus

componentes con las que

origina el peso. En el

supuesto de que sean estas

dos, las únicas fuerzas

aplicadas en el cuerpo, la

comparación de las componentes en el eje X y en el eje Y, permitirá la

resolución del problema

Valores absolutos de la energía potencial y cinética.

En la exposición anterior hemos supuesto para el caso de la

energía potencial unos cambios de energía en los que el nivel de

referencia era arbitrariamente elegido.

Habitualmente se elige el punto más bajo como referencia para



que los valores de ∆ Ep resulten positivos, no obstante, si el nivel de

referencia se invierte resultarían negativos. Caso de elegir uno u otro

nivel de referencia, el resultado final es que el valor de ∆ Ep no será

diferente.

Como nivel de referencia debemos elegir el que a los efectos

prácticos resulte más cómodo. Así, si el nivel 0 de energía potencial, es

la posición inicial del cuerpo se simplifican con frecuencia los cálculos.

En otros casos es muy frecuente elegir cono nivel cero el de la

superficie de la Tierra.

En definitiva, carece de importancia el elegir uno u otro nivel de

referencia ya que los valores resultan siempre relativos.

En el fondo subyace el problema de que al levantar un cuerpo,

lo que realmente hacemos es separar la Tierra del cuerpo (o al revés) .

Luego, atribuimos el incremento de energía potencial solamente al

cuerpo, cuando en realidad el incremento de energía potencial se

reparte entre los dos cuerpos que separamos Tierra y objeto que se

levanta.

En relación con la energía cinética ocurre otro tanto.

Habitualmente suponemos que un objeto que permanece

inmóvil con relación a la Tierra no tiene velocidad.

Atribuimos a dicho objeto una energía cinética 0 cuando

sabemos que, realmente, el cuerpo se mueve con una enorme

velocidad. Recordemos su cuantía...en razón de que la Tierra se

traslada en el espacio muy rápidamente en su rotación alrededor del

Sol, y además gira sobre su eje a enorme velocidad . Nótese que

incluso asimilamos la aparente quietud de los objetos sobre la Tierra a

una situación muy diferente, ya que el objeto, lejos de estar quieto,

realiza un movimiento que además es acelerado.

Pero a los efectos prácticos de cálculos de incrementos de

energía cinética los argumentos anteriores no surten efectos, y lo

habitual es atribuir una velocidad 0 a los objetos situados sobre la

Tierra.

Puede incluso ocurrir que resulte práctico en un caso concreto

considerar fijo a un móvil de velocidad conocida, y determinar el

incremento de energía cinética utilizando la velocidad relativa del

segundo con respecto al primero.



Ejemplos prácticos de conservación de la energía mecánica.

Hemos visto en los apartados precedentes que cuando se reliza

trabajo sobre un cuerpo (podemos llamale sistema) dicho trabajo

incremente la energía cinética, la potencial o, si fuera el caso, ambas

formas de energía.

Es evidente que, si no realizamos trabajo sobre el sistema,

su contenido energético no variará lo que nos permite afirmar que,

en un sistema aislado ( de fuerzas exteriores o si actúan varias su

resultante es nula), la energía total permanece constante.

Dicho en otros términos, la suma de ambas formas de energía

potencial y cinética es constante. Evidentemente, en tales

condiciones si una forma de energía tiene posibilidad de transformarse

en la otra lo hará, y así parte ( o toda ) una forma de energía se

transforma en la otra de tal suerte que si aumenta la energía cinética

disminuye la energía potencial y viceversa.

Como en todos los casos que hemos considerado, esta

afirmación solo se cumple si no existen fuerzas disipativas, es decir no

existe rozamiento ya, si existiese,parte de la energía mecánica se

transformaría en calor.

Todo ñp anterior puede resumirse bajo la expresión de que:

∆Ep = ∆Ec O bien

Ep +Ec = constante

que podemos escribir así:

E p0 + E c0 = E p + E c.

y agrupando términos:

E p0 + E c0= E p + E c. Lo que nos dice que la suma de las energías potencial y cinética

iniciales es igual a la suma de las energías potencial y cinética finales.



2 20 0

1 12 2

mgh mv mgh mv+ = +

2 20 0

1 12 2

mgh mv mgh mv+ = +

Se sustituimos cada término por su valor, obtenemos:

Ejemplo 1

Un objeto de 3 Kg de masa se desliza sin rozamiento sobre una

superficie horizontal la una velocidad de 2 ms-1y comienza a subir una

cuesta según se muestra en la figura:

a) ¿Hasta que altura llegará?

b) ¿Qué velocidad tendrá cuándo alcance una altura de 10

centímetros?

3 kg……. v0= 2ms-1

Solución:

a) Aplicando el principio de conservación de la energía

mecánica:

Dado que la altura inicial es cero, la energía potencial inicial es

nula y que al llegar a la altura máxima la velocidad será igual a cero

por lo que la energía cinética final también será nula,



20

12

mv mgh=

2 20

1 12 2

mv mgh mv= +

20 4 0,20

2 19,6vh m

g= = + =

2 20 2v v gh= + −

2 10 2 4 2 9,8 0,1 1,43v v gh ms−= − = − ⋅ ⋅ =

En nuestro caso,obtenemos :

Despejando:

b) Volviendo a aplicar el principio de conservación, en las

condiciones actuales, tendremos

Por lo tanto:

De modo análogo se solventaría la resolución de problemas que,

sin aplicar el principio de conservación de la energía resultarían largos

o imposiblesde resolver.

Ejemplo 2

Si lanzamos verticalmente hacia arriba un cuerpo de masa m

con una velocidad inicial v0, ¿qué altura máxima alcanzará? ¿la qué

altura coincidirán los valores de sus energías cinética y potencial?

Ejemplo 2

Un futbolista tira a puerta con un balón de 200 g de masa que

sale de la punta de su bota a una velocidad de 15 m/s. El tiro sale alto

y el balón va a parar a los graderíos a una altura de 8 metros.

Suponiendo que no existe rozamiento, ¿con que velocidad chocará ?



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