apuntes de ecuaciones diferenciales unidad 3

8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3

http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 1/43

Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes

Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas62

UNIDAD 3

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE n-ESIMO

ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

INTRODUCCIÓN

3.1

Solución de la Ecuaciones Diferenciales Homogéneas conCoeficientes Constantes

3.2

Solución de la Ecuaciones Diferenciales No Homogéneascon Coeficientes Constantes

3.2.1 Método de los Coeficientes Indeterminados3.2.2 Método de Variación de Parámetros

3.3 Aplicaciones

3.3.1 Circuito Eléctrico RLC Serie

3.3.2 Sistemas Masa-Resorte

3.4 Sección de Problemas

3.4.1 Auto Evaluación

3.4.2 Solución de la Auto Evaluación





Objetivos particulares de la unidad.- El alumno resolverá Ecuaciones Diferenciales de n-

ésimo Orden por diversos métodos.

INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo se estudiarán los métodos de solución para las Ecuaciones

Diferenciales de n-ésimo orden, primordialmente enfocados a las de segundo orden. Seinicia por la solución de ecuaciones diferenciales (Homogéneas y No Homogéneas) de

Coeficientes Constantes. Posteriormente, para las ecuaciones diferenciales no homogéneas,se emplean los métodos de solución por variación de Parámetros y por Coeficientes

Indeterminados; finalmente se aplican estos métodos de solución a problemas de circuitoseléctricos de tipo RLC (resistencia-inductancia-capacitancia) conectados en serie a una

fuente de alimentación de corriente alterna o corriente directa. También, al igual que en las

unidades anteriores, se incluyen problemas resueltos en forma detallada y una autoevaluación que consiste en una serie de problemas con su respectiva solución.

3.1

Solución de la Ecuaciones Diferenciales Homogéneas conCoeficientes Constantes

Una ecuación diferencial de la forma

)(... 012

2

21

1

1 x f ya

dx

dya

dx

yd a

dx

yd a

dx

yd a

n

n

nn

n

n

Donde los coeficientes 0121 ,,,...,, aaaaa nn son todos constantes y por lo menos uno de

ellos diferente de cero, se clasifica como una ecuación diferencial de coeficientes

constantes; además, si 0)( x f se trata de una ecuación diferencial homogénea, en caso

contrario se clasifica como no homogénea. Si 0)(2 x f yn se tiene una ecuación

diferencial de segundo orden con coeficientes constantes homogénea. Para este caso:

0012

2

2 yadx

dya

dx

yd a

Al multiplicarla por 1/a2 se obtiene la ecuación diferencial equivalente

02

2

ydx

dy

dx

yd (1)

Donde2

1

a

a y

2

0

a

a





Ejemplo. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales de acuerdo a

a) sus coeficientes (constantes o variables)

b) homogéneas o no homogéneasc) su orden (primer orden, segundo orden, tercer orden, etc.)

1. 1034 y y y 2. 0 y y 3. 023 y x y

4. 22 844 x y y x y x

5. xy y y iv 3105

Para el problema 1 se tiene que todos los coeficientes (los términos que multiplican a la

variable dependiente y sus derivadas) son constantes, por lo que se clasifica como ecuacióndiferencial de coeficientes constantes; debido a que se encuentra igualada a una expresión

diferente de cero, se trata de una ED no homogénea. Finalmente, se tiene una ED desegundo orden.

Para el problema 2 los coeficientes, al igual que el ejemplo anterior son todos ellos

constantes; Como 0)( x f , la ED es homogénea. De acuerdo a la mayor derivada que

involucra la ED, ésta es de tercer orden.

Para el problema 3 el coeficiente que afecta a la primera derivada no es constante, por lo

tanto es una ED de coeficientes variables; Aparentemente se tiene una ED homogénea, sin

embrago debe notarse que el termino 2 no está multiplicando a la variable dependiente o aalguna de sus derivadas, por lo tanto deberá escribirse al lado derecho de la igualdad y setrata de una ED no Homogénea; ED de segundo orden.

Para el problema 4 por lo menos uno de los coeficientes no es constante, en este caso sondos, el que multiplica a la segunda derivada y el que corresponde a la primera derivada por

lo que se trata de una ED de coeficientes variables; Nótese que el término 8 x2 no afecta a lavariable dependiente ni a ninguna de sus derivadas por lo que es correcto que se represente

al lado derecho de la igualdad y con esto, la ED es no homogénea; La ED es de segundoorden.

Para el problema 5 todos los coeficientes son constantes excepto el que multiplica a y (el

término al lado derecho de la igualdad que en realidad se debe representar del lado

contrario) se tiene una ED de coeficientes variables; La ED es no homogénea debido a queal lado izquierdo de la igualdad hay un término que no está multiplicando a la variable

dependiente o a alguna de sus derivadas y por lo tanto debe escribirse al lado derecho con

lo que la función )( x f es diferente de cero; la ED es de cuarto orden.





La solución de la ecuación diferencial (1) es una función y que cumpla con la igualdad que

se indica. Si se supone que la solución tiene la forma rxce y (c es cualquier constante, se

considerará como caso particular c = 1) entonces, para determinar el valor de la constante rse procede a sustituir en la ecuación diferencial, con lo que se obtiene:

0)()()(2

2 rxrxrx

edxed

dxed

Desarrollando las derivadas

02 rxrxrx ereer

Factorizando el término r 2

0)( 2 r r erx

Por lo que:

02 r r (2)

Otra forma de encontrar la ecuación característica es mediante la siguiente sustitución:

nn r y

r y

r y

y

2

1

Es una ecuación de segundo grado, se le conoce como ecuación característica, ecuaciónauxiliar o también como polinomio característica de la ED; para su solución se puede

aplicar factorización o la fórmula general, para lo cual cba ,,1 . De acuerdo a

esto se tiene que:

2

42

2,1

r

Al realizar las operaciones aritméticas al interior de la raíz se tienen tres posibles casos:

Caso I: Las raíces son reales y diferentes ( 042 )

Caso II: Las raíces son reales e iguales ( 042 )

Caso III: Las raíces son complejas y conjugadas ( 042 )





Caso I: 042 por lo que las raíces2

42

1

r y

2

42

2

r

son reales y diferentes. Al existir dos valores para r se tienen las soluciones:

xr e y 1

1 y xr e y 2

2

O de manera más general, para cualquier constante c

xr ec y 1

11 y xr

ec y 2

22

De acuerdo al Principio de Superposición:

xr xr

h ecec y 21

21

Caso II: 04

2

por lo que las raíces 21

r y 22

r son reales e iguales. Al seriguales las raíces, se tiene una solamente una solución y se puede, a partir de esta,determinar una segunda solución para la ED, con lo cual se determina que las soluciones

son:

rxe y 1 y rx xe y 2


rxec y 11 y rx xec y 22


21 y y yh

Y la solución de la ED homogénea:

rxrx

h xecec y 21

O también

x x

h xecec y 22

21





Caso III: 042 por lo que las raíces2

42

1

r y

2

42

2

r

son complejas y conjugadas. Las raíces al ser complejas poseen parte real y parte

imaginaria y se pueden representar como:

biar 1

biar 2

Donde:

2

a

2

42 b

Las soluciones son:

xr e y 1

1 y xr

e y 2

2


xr ec y 1

11 y xr

ec y 2

22


xr xr

h ecec y 21

21

De esta última solución al sustituir r 1 y r 2 se tiene:

xbia xbia

h ecec y )(

2

)(

1

Eliminando los paréntesis

bxiaxbxiaxh ecec y

21

Aplicando propiedades de la función exponencial

bxiaxbxiax

h eeceec y 21





Por la fórmula de Euler

isenbxbxe bxi cos

Sustituyendo en la solución homogénea

)(cos)(cos 21 isenbxbxecisenbxbxec y axaxh

Desarrollando

isenbxecbxecisenbxecbxec y axaxaxax

h 2211 coscos

Agrupando parte real y parte imaginaria

senbxeccibxecc y axax

h )(cos)( 2121

Si211

ccC y Si )(212

cciC , se llega a la solución equivalente

senbxeC bxeC y axax

h 21 cos

Finalmente, factorizando la función exponencial

senbxC bxC e y ax

h 21 cos

Es la solución de la ED para el caso III, no olvidar que

2

a

2

42 b

Ejemplo. En los problemas 1 – 5 determine la solución de cada una de las ecuacionesdiferenciales que se indican.

1. 1034 y y y ; sujeta a las condiciones 1)0(,2)0( y y

2. 09 y y ; sujeta a la condición inicial 2)( y , 1)0( y

3. 023 y y

4. 044 y y y ; sujeta a la condición inicial 1)0( y , 4)0( y

5. 02 y y





1. 034 y y y ; sujeta a las

condiciones 1)0(,2)0( y y

Se obtiene la ecuación característica

sustituyendo

2

1

r y

r y

y

0342 r r

0)1)(3( r r

Los valores que cumplen con la

afirmación anterior (se puede factorizarde manera inmediata o en su caso aplicar

la formula general) son

31 r

12 r

De acuerdo a las raíces obtenidas la

solución corresponde al caso 1: Raícesreales y distintas. Por lo tanto la soluciónhomogénea o complementaria se expresa

de la forma

xr xr

h ecec y 21

21

x x

h ecec y 2

3

1

Para comprobar la solución simplementese sustituye ésta en la ED y se debe de

cumplir la igualdad.

De acuerdo a la primer condición inicialse tiene que y = 2 cuando x = 0;

sustituyendo en la solución

)0(

2

)0(3

12 ecec

212 cc

221 cc (1)

La segunda condición indica que 1 y

cuando x = 0. Para aplicar estas

condiciones se requiere la derivada de lasolución; así, ésta derivada es

x x

h ecec y 2

3

13

Sustituyendo las condiciones

)0(

2

)0(3

131 ecec

2131 cc

13 21 cc (2)

Por lo tanto se tiene un sistema de 2

ecuaciones con dos incógnitas

221 cc (1)

13 21 cc (2)

La solución se puede obtener por diversosmétodos como determinantes, suma y

resta, sustitución, entre otros, los valores para c1 y c2 son

23

1c

27

2 c

Por lo tanto la solución de la ED sujeta a

las condiciones indicadas es

x x

h ee y2

7

2

3 3





2. 09 y y ; sujeta a la condición

inicial 2)( y , 1)0( y

Ecuación característica

092 r

Resolviendo se obtiene

iir 3031 y iir 3032


solución corresponde al caso 3: Raícescomplejas y conjugadas. Por lo tanto la

solución homogénea tiene la forma

senbxC bxC e y axh 21 cos

x senC xC e y x

h 33cos 21

)0(

x senC xC yh 33cos 21

Aplicando la p condición 2 y , 0 x

)0(3)0(3cos2 21 senC C

12 C

Para determinar al valor de la otra

constante se sustituye la segunda

condición 1 y , 0 x ; para esto se

obtiene la derivada de la solución

xC x senC y 3cos333 21

)0(3cos3)0(331 21 C senC

3131 22 C C

Sustituyendo la solución es

x sen x yh 33

13cos2

3. 023 y y


sustituyendo

2

1

r y

r y y

Por lo tanto

0232 r r

Ya que no es posible factorizar de forma

directa se resuelve aplicando la formula

general y se llega a

2

1731

r

2

1732

r

Con lo cual las raíces que se obtienen

corresponden al caso I: Raíces reales ydiferentes. La solución para este caso se

expresa de la forma:

xr xr

h ecec y 21

21

Sustituyendo los valores de las raíces

x x

h ecec y

2

173

2

2

173

1

O también

x x

h ecec y 562.3

2

562.0

1

No se determinan los valores para lasconstantes, ya que este problema carece

de condiciones iniciales.





4. 044 y y y ; sujeta a la condición

inicial 1)0( y , 4)0( y

Ecuación característica

0442 r r

221 r r

Se tiene el caso II: Raíces reales e iguales.

La solución es de la forma

rxrx

h xecec y 21

x x

h xecec y 2

2

2

1

Para determinar el valor de las constantes,

se aplica la primera condición 1 y ,

0 x )0(2

2

)0(2

1 )0(1 ecec

11 c

Para determinar el valor de la otra

constante, se aplica la segunda condición

4 y , 2 x . Para esto se deriva lasolución

)2(2 22

2

2

1

x x x

h e xecec y

Sustituyendo las condiciones iniciales

])0(2[24 )0(2)0(2

2

)0(2

1

eecec

]10[24 21 cc

624 212 ccc

Sustituyendo se llega a la solución

x x

h xee y 22 6

5. 02 y y


sustituyendo

2

1

r y

r y y

Por lo tanto

022 r r

Ya que no es posible factorizar de forma

directa se resuelve aplicando la formula

general y se llega a

ii

r 2

7

2

1

2

711

ii

r 2

7

2

1

2

712

Con lo cual las raíces que se obtienen

corresponden al caso I: Raíces reales ydiferentes. La solución para este caso se

expresa de la forma:

senbxC bxC e y ax

h 21 cos

x senC xC e y x

h2

7

2

7cos 21

2

1

No se determinan los valores para las

constantes, ya que este problema carecede condiciones iniciales.





3.2

Solución de la Ecuaciones Diferenciales No Homogéneascon Coeficientes Constantes

De acuerdo a la sección anterior, una ecuación diferencial de la forma

)(... 012

2

21

1

1 x f yadx

dya

dx

yd a

dx

yd a

dx

yd a

n

n

nn

n

n

Donde los coeficientes 0121 ,,,...,, aaaaa nn son todos constantes y por lo menos uno de

ellos diferente de cero, se clasifica como una ecuación diferencial de coeficientes

constantes; además, si 0)( x f se trata de una ecuación diferencial no homogénea. Si

0)(2 x f yn se tiene una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes

constantes no homogénea. Para este caso:

)(012

2

2 x f yadx

dya

dx

yd a

Al multiplicarla por 1/a2 se obtiene la ecuación diferencial equivalente

)(2

2

x f ydx

dy

dx

yd (1)

Donde

2

1

a

a y

2

0

a

a

La solución general de (1) es la suma de dos soluciones: solución homogénea )( h y y

solución particular )( p y , es decir

ph g y y y

La solución homogénea se obtiene haciendo 0)( x f (ver sección anterior). Para la

solución particular existen dos métodos de solución:

1)

Coeficientes Indeterminados y,2) Variación de Parámetros

El primero de ellos es muy limitado. Sólo se puede aplicar para ciertas funciones, mientrasque el segundo es más general aunque más laborioso que el primero. El primero de ellos se

resuelve aplicando un poco de álgebra, mientras que en el segundo se involucrandeterminantes, derivadas, integrales y un poco más de procedimiento algebraico.





3.2.1 Método de los Coeficientes Indeterminados

Este método consiste en proponer una solución particular y p de acuerdo a la forma quetenga la función f(x) de la ecuación diferencial. Es importante indicar que aplica sólo aplica

para funciones polinomiales de grado n, exponenciales, seno y coseno, así comocombinaciones de las anteriores a través de las operaciones suma, diferencia, producto y

cociente siempre y cuando el divisor sea una función exponencial. En la siguiente tabla semuestran algunas posibles expresiones para f(x) y la solución particular que se debe

proponer para y p.

)( x f p y

2 A

14 x Bx A

92 x 2Cx Bx A

xe 43 x Ae 4

xe4 x Ae4

x sen25 x B x Asen 2cos2

x2cos3 x B x Asen 2cos2

x xe52 xe Bx A 5)(

xe x 52 )1( xecx Bx A 52 )(

senx x )4( x DxC senx Bx A cos)()(

senxe x )cos( x B Asenxe x

senxe x )cos xC Bsenx Ae x

xe x sen x 32 325 xGe x F x DsenCx Bx A 32 2cos2

x sen x 23cos5

x D xCsen x B x Asen 2cos23cos3

xe5 x Be A





En la primera fila se observa que la función es una constante, por lo que la solución

particular que se propone es un polinomio de grado cero; hay que recordar que un polinomio de grado n se puede representar de la forma:

n

n

n

n

n

n x A x A x A x A x A A

1

1

2

2

2

210 ...

Por lo tanto un polinomio de grado cero es una constante que se puede representar porcualquier letra. En los renglones 2 y 3 son casos similares; son polinomios de primero y

segundo grado respectivamente.

Para la función del siguiente renglón se tiene una constante por una función exponencial, ovisto de otro modo un polinomio de grado 0 por la exponencial; por lo tanto la solución

particular que se propone tiene la forma de un polinomio de grado cero (una constante) porla función exponencial.

En las filas 8 y 9 tenemos que f(x) es el producto de dos funciones; para el renglón 8 una

función cuadrática y una exponencial, por lo tanto la solución que se propone tiene la formade un polinomio de segundo grado por una función exponencial. Para el renglón 9 debe de

ser obvio porque la solución particular se representa como el producto de un polinomio de primer grado y una función exponencial.

Cabe mencionar que si la función tiene está representada por la función seno o coseno, la

solución particular tiene la forma de una suma de una constante por la función seno y unaconstante diferente por la función coseno. Todos los demás ejemplos que se muestran son

combinaciones de los anteriores.

Una vez que se propone la solución particular, se procede a sustituirla en la ecuación

diferencial no homogénea para calcular los coeficientes de la solución propuesta.Finalmente, la solución de la ecuación diferencial no homogénea es la suma de lassoluciones homogénea y particular.

En los problemas 6 – 10 determine la solución de la ecuación diferencial de coeficientesconstantes no homogénea que se indica, por el método de CoeficientesIndeterminados.

6. xe y y y 726

7. 2565 x y y y ; con 1)0(,2)0( y y

8. x y y 4cos4

9. 104 y y ; con 4)0(,1)0( y y

10. xe y y y 6367





6. xe y y y 726

Para determinar la solución homogénea,se iguala a cero la ecuación diferencial

06 y y y


sustituyendo

2

1

r y

r y

y

Por lo tanto

062 r r

0)2)(3( r r

2,3 21 r r

La solución que se obtiene corresponde al

caso I: Raíces reales y diferentes

x x

h ecec y

2

2

3

1

(1)

Para determinar la solución particular ésta

se debe de proponer de acuerdo a la

forma que tenga )( x f ; ya que )( x f tiene

la forma de un polinomio de grado cero(una constante) por una función

exponencial, se propone la solución particular

x

p Ae y 7 (2)

Por lo tanto la solución general de la ED

no homogénea es la suma de (1) y (2)

ph g y y y

x x x

g Aeecec y 72

2

3

1 (3)

Para determinar el coeficiente A la

solución particular se sustituye en la EDno homogénea

xe y y y 726 (4)

Si

x

p Ae y 7 , entonces

x

p Ae y 77

x

p Ae y 749

Sustituyendo en (4)

x x x x e Ae Ae Ae 7777 26749

Sumando término semejantes

x x e Ae 77 236

Para que la igualdad se cumpla serequiere que el coeficiente de la función

exponencial del lado izquierdo seaidéntico al coeficiente del lado derecho de

la ecuación; con esto, se llega a laecuación

236 A

Por lo tanto

18

1 A

Sustituyendo este valor en (3)

x x x

g eecec y 72

2

3

118

1





7. 2565 x y y y ; con ,2)0( y

1)0( y

Primero, se identifica 25)( x x f ; si se

hace 0)( x f se tiene una ED

homogénea

065 y y y

Resolviendo (ver sección anterior) se

obtiene la solución homogénea:

x x

h ecec y 2

6

1 (1)

Para determinar la solución particular ésta

se debe de proponer de acuerdo a laforma que tenga )( x f ; ya que )( x f tiene

la forma de un polinomio de segundogrado, se propone la solución particular

2Cx Bx A y p (2)



ph g y y y

2

2

6

1 Cx Bx Aecec y x x

g (3)

Para determinar los coeficientes A, B y C

la solución particular se sustituye en laED no homogénea

2565 x y y y (4)

Si

2Cx Bx A y p , entonces

Cx B y p 2

C y p 2

Sustituyendo en (4)

22 5)(6)2(52 xCx Bx ACx BC

Eliminando paréntesis y factorizando los

términos que multiplican a x

2

, x y x

0

sellega a

22 5)652()610(6 x A BC x BC Cx

Para que la igualdad se cumpla serequiere que los coeficientes de x2, x y x0

del lado izquierdo sean idénticos a los dellado derecho de la ecuación; con esto, se

llega al siguiente sistema de ecuaciones

16 C

0610 BC

5652 A BC

Resolviendo se tiene

6

1,

18

5,

108

59

C B A

Sustituyendo los valores en (3)

2

2

6

16

1

18

5

108

59 x xecec y x x

g

Para conocer los valores de las constantesc1 y c2 se sustituye y = 2, x = 0 en la

expresión anterior

2)0(

2

)0(6

1 )0(6

1)0(

18

5

108

592 ecec

Se tiene

108

592 21 cc





Es decir,

108

27521 cc

Para obtener una segunda ecuación, y asíun sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas, se procede a aplicar la otracondición inicial, para esto se deriva la

solución y g y se sustituye 1 y , x = 0

xecec y x x

g 6

2

18

56 2

6

1

)0(6

2

18

561 )0(

2

)0(6

1 ecec

18

561 21 cc

18

136 21 cc

La solución para las constantes es

756

1971 c

7

162 c

Por lo que la solución queda expresadacomo

26

6

1

18

5

108

59

7

16

756

197 x xee y x x

g

8. x y y 4cos4

Para determinar la solución homogénea,

se iguala a cero la ecuación diferencial

04 y y

Se obtiene la ecuación característicasustituyendo

2

1

r y

r y

y

Por lo tanto

042 r

Factorizando

0)2)(2( r r

Por lo tanto los valores de las raíces son

2,2 21 r r

La solución que se obtiene corresponde alcaso I: Raíces reales y diferentes

x x

h ecec y 2

2

2

1

(1)

Para determinar la solución particular éstase debe de proponer de acuerdo a la

forma que tenga )( x f ; ya que )( x f es

una función cosenoidal de argumento 4 x,

se propone la solución particular

x B x Asen y p 4cos4 (2)

Por lo tanto la solución general de la EDno homogénea es la suma de (1) y (2)

ph g y y y





A x senC xC y g 22cos 21 (3)

Para calcular el valor del coeficiente A sesustituye la solución particular en la

ecuación diferencial no homogénea

Si

A y p , entonces

0 p y

0 p y

Sustituyendo en

104 y y

1040 A

Despejando el valor del coeficiente

2

5

4

10 A

Sustituyendo en (3)

2

522cos 21 x senC xC y g (4)

Ahora se aplica la primera condicióninicial para calcular los valores de las

constantes involucradas en la solucióngeneral. La primera condición indica que

1 y y 0 x , de acuerdo a lo anterior

se obtiene

2

522cos 21 x senC xC y g

2

5)0(2)0(2cos1 21 senC C

2

51 1 C

2

71 C

Ahora se deriva la solución general y se

sustituyen los valores de la segunda

condición 4 y , 0 x

xC x senC y g 2cos222 21

)0(2cos2)0(224 21 C senC

224 C

22 C

Sustituyendo los valores de las constantes

en (4)

2

5222cos

2

7 x sen x y g





10. xe y y y 6367

Para determinar la solución homogénea,se iguala a cero la ecuación diferencial,

obteniendo así una ED homogénea

067 y y y


0672 r r

1,6 21 r r

De acuerdo a la solución que se obtienelas raíces corresponden al caso I: Raícesreales y diferentes

x x

h ecec y 2

6

1 (1)

La solución particular que se propone es

x

p Ae y 6 (2)



ph g y y y

x x x

g Aeecec y 6

2

6

1

(3)

Procediendo de manera similar a losejemplos anteriores para determinar el

valor del coeficiente A

Si

x

p Ae y 6 , entonces

x

p Ae y 66

x

p Ae y 636

Sustituyendo en la ED no homogénea se

llega a una inconsistencia

xe 630

La situación que se presenta es que lasolución que se propuso para p y ya

existe como solución de la ED

homogénea; para evitar laindeterminación la solución que se

proponga se multiplica por la variableindependiente, en este caso x, quedando

x

p Axe y 6 , por lo tanto la solución

general será

x x x

g Axeecec y

6

2

6

1

(4)

Si x

p Axe y 6 , entonces

x x

p Ae Axe y 666

x x

p Ae Axe y 66

1236

Sustituyendo en la ED no homogénea

xe y y y 6367

)6(71236 6666 x x x x Ae Axe Ae Axe x x e Axe 66 3)(6

Multiplicando para eliminar paréntesis y

sumando términos semejantes

5

335 66 Ae Ae x x

Sustituyendo en (4)

x x x

g xeecec y 6

2

6

15

3





3.2.2 Método de Variación de Parámetros

Este método, al igual que el de coeficientes indeterminados, se emplea para hallar lasolución particular cuando se tiene una ecuación diferencial homogénea. A partir de la ED

de 2º orden lineal no homogénea y de coeficientes constantes, es decir

)( x f y y y (1)

Se propone la solución particular

2211 yv yv y p

Donde 1 y y 2 y son soluciones de la ecuación diferencial homogénea

0 y y y (2)

Si

2211 yv yv y p , entonces,

22221111 yv yv yv yv y p

Haciendo

02211 yv yv (A)

Se tiene una primera ecuación, por lo tanto

2211 yv yv y p

22221111 yv yv yv yv y p

Sustituyendo p y , p y y p y en (1)

)()()()(22112222111122221111

x f yv yv yv yv yv yv yv yv yv yv

Multiplicando para eliminar los paréntesis

)(22112222111122221111 x f yv yv yv yv yv yv yv yv yv yv





Factorizando 1v y2v , se obtiene

)(][][ 221122221111 x f yv yv y y yv y y yv

Debido a que 1 y y 2 y son soluciones de la ecuación diferencial homogénea se tiene que

0111 y y y

Y

0222 y y y

Por lo tanto

)(2211 x f yv yv (B)

Se llega a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

02211 yv yv (A)

)(2211 x f yv yv (B)

Resolviendo por determinantes

21

21

2

2

1

)(0

y y

y y

y x f y

v

dx

y y

y y

y x f y

v

21

21

2

2

1

)(0

21

21

1

1

2

)(

0

y y

y y

x f y

y

v

dx

y y

y y

x f y

y

v

21

21

1

1

2

)(

0

Y la solución particular

2211 yv yv y p

El determinante del divisor se le llama wronskiano del sistema y se representa como

),( 21 y yw





En los problemas 11-15 resuelva la ecuación diferencial de coeficientes constantes nohomogénea empleando el método de Variación de Parámetros.

11. 12107 x y y y

Primero se determina la solución de la EDhomogénea, haciendo 0)( x f

0107 y y y

La ecuación característica es

01072 r r

Esto implica que

5,2 21 r r

Las raíces son reales y diferentes, por lo

tanto la solución homogénea es

x x

h ecec y 5

2

2

1

(1)

Donde

x x e ye y 5

2

2

1 ,

Ahora, se procede a resolver la solución

particular; primeramente el Wronskianodel sistema está dado por

21

21

21 ),( y y

y y y yw

x x

x x

ee

ee y yw

52

52

21

52

),(

x x ee y yw 77

21 25),(

xe y yw 7

21 3),(

Como el Wronskiano es diferente de cero,implica que el sistema es linealmente

independiente

Resolviendo para v1

x

x

x

e

e x

e

xv7

5

5

13

5)12(

0

)('

x

x

e

e x xv

7

5

13

)12()('

xe x xv 2

1 )12(3

1)('

dxe x xv x2

1 )12(3

1)(

x xe xv 2

13

1)(

Resolviendo para v2

x

x

x

e

xe

e

xv7

2

2

23

)12(2

0

)('

x

x

e

e x xv

7

2

23

)12()('

xe x xv 5

2 )12(

3

1)('

dxe x xv x5

2 )12(3

1)(

5

32

15)(

5

2 xe

xv x





Sustituyendo los valores en y p resulta:

2211 yv yv y p

x x

x x

p e x

e

e xe y

55

22

5

3

215)(3

1

5

32

15

1

3

1 x x y p

Desarrollando

75

3

15

2

3

1 x x y p

Simplificando

75

3

5

1 x y p (2)

Finalmente, recordar que la solución de laecuación diferencial no homogénea es la

suma de (1) y (2)

ph g y y y

Es decir

75

3

5

15

2

2

1 xecec y x x

g

12. x sen y y 39

Primero se determina la solución de la ED

homogénea, haciendo 0)( x f

09 y y


092 r

Esto implica que

ir ir 3,3 21

Las raíces son complejas y conjugadas,

por lo tanto la solución homogénea es

xC x senC yh 3cos3 21 (1)

Donde

x y x sen y 3cos,3 21


particular; primeramente el Wronskiano

del sistema está dado por

21

21

21 ),( y y

y y y yw

x sen x

x x sen y yw

333cos3

3cos3),( 21

x x sen y yw 3cos333),( 22

21

3),( 21 y yw

Como el Wronskiano es diferente de cero,

implica que el sistema es linealmenteindependiente





Resolviendo para v1

3

333

3cos0

)('1

x sen x sen

x

xv

3

3cos3)('1

x x sen xv

x x sen xv 3cos33

1)('1

dx x x sen xv 3cos33

1)(1

x sen xv 3181)( 2

1

Resolviendo para v2

3

33cos3

03

)('2

x sen x

x sen

xv

3

3)('

2

2

x sen xv

x sen xv 33

1)(' 2

2

dx x sen xv 33

1)( 2

2

Empleando identidades trigonométricas

dx x xv

6cos21

21

31)(2

x sen x xv 612

1

2

1

3

1)(2

Sustituyendo los resultados en y p

2211 yv yv y p

x x sen x x xsen sen y p 3cos636

1

6

133

18

1 2

x x sen x x x sen y p 3cos636

13cos

6

13

18

1 3

Descomponiendo

x x sen x sen 3cos326

x x x sen x x x sen y p 3cos)3cos32(36

13cos

6

13

18

1 3

x x sen x x x sen y p 3cos3

18

13cos

6

13

18

1 23

Aplicando la identidad

x sen x 313cos 22

Simplificando

)31(3

18

13cos

6

13

18

1 23 x sen x sen x x x sen y p

x sen x sen x x x sen y p 318

13

18

13cos

6

13

18

1 33

x sen x x y p 318

13cos

6

1 (2)


suma de (1) y (2)

ph g y y y

Es decir

x x x sen xC x senC y g 3cos6

13

18

13cos3 21





13. xe

y y y

1

123



023 y y y


0232 r r

Esto implica que

1,2 21 r r

Las raíces son reales y diferentes, por lotanto la solución homogénea es

x x

h ecec y 2

2

1 (1)

Donde

x x e ye y 2

2

1 ,



21

21

21 ),( y y

y y y yw

x x

x x

ee

ee y yw

2

2

212

),(

x x

ee y yw 33

21 2),(

xe y yw 3

21 ),(


independiente

Resolviendo para v1

x

x

x

x

e

ee

e

xv31

1

1

0

)('

x

x

x

e

e

e

xv31

1)('

)1()('

31 x x

x

ee

e xv

dxe

e xv

x

x

1)(

2

1

Realizando la división

dx

e

edxe xv

x

x x

1)(1

1ln)(1 x x ee xv

Resolviendo para v2

x

x

x

x

e

ee

e

xv3

2

2

2

1

12

0

)('

x

x

x

ee

e

xv 3

2

2 1)('

)1()('

3

2

2 x x

x

ee

e xv





x

x

e

e xv

1

)('2

dxe

e

xv x

x

1)(2

xe xv 1ln)(2


2211 yv yv y p (2)

x x x x x

p eeeee y )1(ln)1ln( 2


suma de (1) y (2)

ph g y y y

Donde

x x

h ecec y 2

2

1

x x x x x

p eeeee y )1(ln)1ln( 2

14. xe y y y x 2csc82 4



082 y y y


0822 r r

Esto implica que

2,4 21 r r


x x

h ecec y 2

2

4

1

(1)

Donde

x x e ye y 2

2

4

1 ,

Ahora, se procede a resolver la solución particular; primeramente el Wronskiano

del sistema está dado por

21

21

21 ),( y y

y y y yw

x x

x x

ee

ee y yw

24

24

2124

),(

x x ee y yw 22

21 42),(

xe y yw 2

21 6),(


independiente





Resolviendo para v1

x

x x

x

e

e xe

e

xv2

24

2

16

22csc

0

)('

x

x

e

xe xv

2

2

16

2csc)('

x xv 2csc6

1)('1

dx x xv 2csc6

1)(1

x x xv 2cot2cscln12

1)(1

Resolviendo para v2

x

x x

x

e

xee

e

xv2

44

4

26

2csc4

0

)('

x

x

e

xe xv 2

8

26

2csc)('

xcsxe xv x 26

1)(' 6

2

xdxe xv x 2csc6

1)( 6

2


2211 yv yv y p (2)

x x x

g e xdxee x x y 264 2csc6

12cot2cscln

12

1


suma de (1) y (2)

15. x x ee y y y 43128

Para determinar la solución de la ED

homogénea, se hace 0)( x f

0128 y y y


2

1

r y

r y

y

Por lo tanto

01282 r r

Factorizando

0)6)(2( r r

Esto implica que

6,2 21 r r


x x

h ecec y 6

2

2

1 (1)

Donde

x x e ye y 6

2

2

1 ,



21

21

21 ),( y y

y y y yw





x x

x x

ee

ee y yw

62

62

2162

),(

x x ee y yw 88

21 26),(

xe y yw 8

21 4),(

Como el Wronskiano es diferente de cero,

implica que el sistema es linealmenteindependiente

Resolviendo para v1

x

x x x

x

e

eee

e

xv 8

64

6

14

63

0

)('

x

x x

e

ee xv

8

710

14

3)('

x x ee xv 4

1

4

3)(' 2

1

dxedxe xv x x

4

1

4

3)( 2

1

x x ee xv 4

1

8

3)( 2

1

Resolviendo para v2

x

x x x

x

e

eee

e

xv8

42

2

24

32

0

)('

x

x x

e

ee xv

8

36

24

3)('

x x ee xv 52

24

1

4

3)('

dxedxe xv x x 52

24

1

4

3)(

x x ee xv 52

220

1

8

3)(


2211 yv yv y p

x x x x x x

p eeeeee y 65222

20

1

8

3

4

1

8

3

Simplificando

x x x x

p eeee y20

1

8

3

4

1

8

3 44

x x

p ee y20

4

8

6 4 (2)


suma de (1) y (2)

ph g y y y

Donde

x x

h ecec y 6

2

2

1

x x

p ee y5

1

4

3 4





3.3

Aplicaciones

En esta sección se modelaran mediante ecuaciones diferenciales de coeficientes constantesno homogéneas de segundo grado, dos fenómenos físicos: el comportamiento de la

corriente y carga eléctrica en un circuito eléctrico RLC conectado en serie a una fuente dealimentación de voltaje y el movimiento de un cuerpo en un sistema masa-resorte. Para el

primer fenómeno se requiere conocer la ley de voltajes de Kircchoff y el comportamientodel voltaje en cada elemento pasivo. Para el segundo es necesario el conocimiento e

interpretación de la ley de Hooke y de la segunda ley de Newton.

3.3.1 Circuito Eléctrico RLC Serie

Suponga que se tiene un circuito eléctrico RLC conectado en serie a una fuente de

alimentación. Según la ley de voltajes de Kircchoff, la suma de las caídas de voltaje en un

circuito eléctrico conectado en serie es igual al voltaje que se aplica a dicho circuito, esdecir

F C R L V V V V (1)

Donde:

LV Es el voltaje o caída de tensión eléctrica en el elemento inductor

RV Es el voltaje o caída de tensión eléctrica en el elemento resistivo

C V Es el voltaje o caída de tensión eléctrica en el elemento capacitivo

F V Es el voltaje o tensión eléctrica suministrada por la fuente de alimentación

Además

dt

di LV L

RiV R

idt C

V C

1

dt

dqi





L, es la inductancia del elemento que se define como la capacidad de almacenar energía en

forma de campo magnético; se mide en Henrios (H)

R , es la resistencia eléctrica, que se define como la oposición de un elemento al paso de lacorriente eléctrica, se mide en ohms ( )

C, es la capacitancia, que se define como la capacidad de un elemento para almacenar

energía en forma de campo eléctrico, se mide en farads (F)

i , es la intensidad de corriente eléctrica, que se define como la variación de carga eléctrica

por unidad de tiempo, en amperes

q Es la carga eléctrica, en Coulombs (C)

La ecuación (1) de acuerdo a lo anterior, se puede expresar en función de la intensidad decorriente eléctrica como:

F V idt C

Ridt

di L

1

O en término de la carga eléctrica:

F V qC dt

dq R

dt

qd L

12

(2)

Esta última expresión es una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea. Loscoeficientes, L, R y C, son constantes. El método de solución se estudió en la sección 3.2

del presente capítulo. Se obtiene una solución homogénea haciendo el valor de la fuente dealimentación igual con cero; posteriormente se determina la solución particular aplicando el

método de coeficientes determinados, o en su defecto, el método de variación de parámetros. La solución del problema será, en primera instancia, determinar la carga

eléctrica en función del tiempo, para, posteriormente, encontrar la intensidad de corrienteeléctrica que circula a través del circuito. Recuerde que la intensidad de corriente eléctrica

matemáticamente se represente como la derivada de la carga respecto del tiempo; por lotanto, una vez que se obtiene la ecuación de carga eléctrica, basta con derivar este resultado

para encontrar la corriente. Las condiciones iniciales son la corriente y la carga en t = 0;estas se obtienen cuando se hace conmutar un interruptor de una posición inicial a una

segunda posición.





Problema 16. Determine la carga y la intensidad de corriente eléctrica que circula a través

de un circuito eléctrico conectado en serie a una fuente de alimentación de voltaje de 10volts. Los valores para los elementos pasivos son R = 10 Ω, L = 20 mH y C = 50 μF. La

corriente en t = 0 es de 1 Amper y la carga en el mismo instante de tiempo es de 2 μC.

Primero, se plantea la ley de voltajes deKircchoff

F C R L V V V V

Donde:

dt

di LV L

RiV R

idt C

V C

1

Por lo tanto se llega a

F V idt C

Ridt

di L

1

Si,

dt

dqi , entonces se tiene la ED de 2º

orden

F V qC dt

dq R

dt

qd L

12

Sustituyendo valores

101050

11002.0

6

2

q xdt

dq

dt

qd

O también

10101500 62

q xdt

dq

dt

qd

Para determinar la solución homogénea,se iguala a cero la ecuación diferencial,

obteniendo así una ED homogénea

0101500 6 q xqq


sustituyendo

2

1

r q

r q

q

Por lo tanto

0101500 62 xr r

ir 152502501

ir 152502502

De acuerdo a la solución que se obtiene

las raíces corresponden al caso III: Raícescomplejas y conjugadas

t senC t C eq t

h 1525015250cos 21

250

La solución particular que se propone es

Aq p (2)



ph g qqq (3)

At senC t C eq t

g 1525015250cos 21

250





Para determinar el valor de la constante

A, en este ejemplo, es posible emplear elmétodo de coeficientes indeterminados, el

cual es más sencillo de aplicar que elmétodo de variación de parámetros.

10101500 6 q xqq (4)

Si

A y p , entonces

0 p y

0 p y

Sustituyendo en (4)

10101)0(5000 6 A x

Despejando

0001.0101

106

x A

Sustituyendo en (3)

00001.01525015250cos 21

250 t senC t C eq t

g

Para determinar los valores de lasconstantes C 1 y C 2 (de la solución

general) se procede a sustituir lascondiciones iniciales. De acuerdo al

enunciado del problema se tiene que lacarga para un tiempo t = 0, es

C xq 6102 . Sustituyendo en la última

expresión

00001.000cos102 21

06 senC C e x

00001.0102 1

6 C x

000008.01 C

Para obtener la otra constante se aplica la

segunda condición inicial, la cual indicaque en t = 0, la intensidad de corriente es

de 1 Amper. Es decir 1)0( i , recordando

que la corriente es la derivada de la carga

por lo que 1)0( q y se necesita laderivada de la carga para poder aplicar la

condición establecida; derivando g q

t C t senC eq t

g 15250cos152501525015250 21

250

t senC t C e t 1525015250cos250 21

250

Sustituyendo t = 0 y 1q

0cos152500152501 21

0

C senC e

t senC C e 00cos250 21

0

Simplificando

12 250152501 C C

Por lo tanto

001031.02 C

Finalmente la solución que representa la

carga en el circuito en función del tiempo

t eq t 15250cos000008.0250

00001.015250001031.0 t sen

La función que representa la intensidad de

corriente eléctrica en función del tiempoes la derivada de la expresión anterior.





3.3.2 Sistemas Masa-Resorte

Suponga que se tiene un resorte conectado al techo de una estructura. El resorte posee unalongitud natural y se encuentra en reposo, es decir, no hay movimiento del mismo. Si en el

extremo inferior del resorte se agrega un peso w, el resorte sufrirá una elongación debido al peso que se le agregó; este estiramiento (o deformación) es directamente proporcional al

peso que se agrega, es decir

S F

O también

kS F

A la ecuación anterior se le conoce como ley de Hooke. F es el peso o fuerza que se agrega

al resorte y S es la elongación o deformación que sufre el resorte. Entre mayor peso se leagregue al resorte, éste sufrirá una elongación mayor. k es la constante de restitución del

resorte; es una característica implícita para cada resorte. Depende del material del resorte,grosor entre otros aspectos. En otras palabras, si se tienen diferentes tipos de resortes y a

cada uno de ellos se les agrega un objeto del mismo peso, no todos sufrirán la mismaelongación. Al agregarle el peso, las fuerzas actuantes en el sistema, son el peso y la fuerza

que se opone al peso; si el sistema continua en reposo se tiene

0 F w

0 kS mg (1)

Ahora suponga que el objeto se jala hacia abajo a una distancia y de la posición deequilibrio y enseguida se suelta, ocasionando con esto que el sistema rompa su equilibrio y

el resorte empiece a contraerse y a alongarse producto de lo anterior. Por lo tanto al estar enmovimiento se tendría

ma yS k w )(

Desarrollando

makykS w

De acuerdo a la ecuación (1) la última expresión se reduce a

maky

0 kyma





Escribiendo la aceleración como la segunda derivada de la posición respecto del tiempo

02

2

kydt

yd m

Dividiendo toda la expresión entre la masa

02

2

ym

k

dt

yd

Sim

k 2 , se tiene

02

2

2

ydt

yd

La ecuación anterior describe la posición del cuerpo, que se conectó al resorte, en funcióndel tiempo; se tiene una ecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes

constantes. Resolviendo

022 r

Implica que

ir ir 21 ,

Donde

m

k y se le conoce como frecuencia angular. Si se conoce la frecuencia angular es

posible determinar el período. Recuerde que el período de una función es el tiempo que

transcurre para que se complete un ciclo.

2T , además

T f 1

La solución corresponde al caso III: Raíces complejas y conjugadas, y la solución a la que

se llega

t senC t C t y 21 cos)(





Note que al graficar la solución, esta corresponde a un movimiento perpetuo. A este tipo de

movimiento se le conoce como Armónico Simple. Las condiciones iniciales para calcularlos valores de las constantes se determinan de acuerdo a la distancia por debajo de la

posición de equilibrio y a la velocidad del cuerpo cuando inicia el análisis.

Realizando un análisis de manera similar al anterior, considerando que ahora además del peso del cuerpo y la fuerza de restitución del resorte actúa una fuerza que rea liza la acción

de amortiguar el movimiento se tendría la ecuación diferencial

02

2

kydy

dyc

dt

yd m

Donde el segundo término es c veces la velocidad instantánea representando la fuerza

amortiguadora o retardadora que ocasionará que el movimiento se detenga, regresando alreposo. Dividiendo entre la masa

02

2

ym

k

dy

dy

m

c

dt

yd

O también

02 2

2

2

ydy

dy

dt

yd

A este tipo de movimiento se le conoce como Libre Amortiguado y de acuerdo al valor delas raíces de la ecuación característica se clasifica como amortiguado, críticamente

amortiguado y subamortiguado.

Un tercer tipo de movimiento que se abordará es el Movimiento Forzado. Para este caso se

tiene un sistema masa resorte conectado a una fuerza externa que actuará sobre el mismo entodo momento. La ED que lo describe

)(2 2

2

2

t F ydy

dy

dt

yd

Donde

m

t f t F

)()(

)(t f Es la fuerza externa que actúa sobre el sistema





Problema 17. Se tiene un resorte al que se le agrega un peso de 30 N. Debido a éste peso el

resorte sufre una deformación de 20 cm. Una vez en equilibrio, el resorte se estira 10 cm. por debajo de su posición de equilibrio y su suelta ocasionando que el cuerpo se ponga en

movimiento. Determine la ecuación que describe el movimiento del cuerpo en cualquierinstante así como su frecuencia y su período.

Primero se plantea la ED de acuerdo alenunciado del problema

02

2

ym

k

dt

yd

Sim

k 2 , se tiene

02

2

2

ydt

yd

La constante de restitución del resorte (k )se obtiene con la ley de Hooke

kS F

F es la fuerza o peso que se aplica al

resorte y S es la elongación odeformación que sufre el resorte debido a

ese peso, entonces

)20.0(30 k

Despejando

150k

Y la masa

g wm

81.9

30m

06.3m

La ED diferencial a resolver es

006.3

1502

2

ydt

yd

002.492

2

ydt

yd

Se trata de una ED homogénea, por lo quese resuelve obteniendo la ecuacióncaracterística y de acuerdo a las raíces se

plantea su solución


2

1

r y

r y

y

002.492 r

Resolviendo la ecuación característica

ir ir 001.7,001.7 21


solución corresponde al caso III: Raícescomplejas y conjugadas. Por lo tanto la

solución homogénea o complementaria se

expresa de la forma

t senC t C yh 001.7001.7cos 21





De acuerdo al enunciado cuando se inicia

el análisis (t = 0) el cuerpo se encuentra a0.10 m de la posición de equilibrio. Esta

es la primera condición 10.0)0( y ;

sustituyéndola en la solución homogénea

)0(001.7)0(001.7cos10.0 21 senC C

00cos10.0 21 senC C

Por lo tanto

10.01 C

Ahora, para calcular el valor de la

segunda constante se emplea la segundacondición inicial del problema.

Continuando con el enunciado del problema, se indica que el cuerpo se

suelta después de haberlo estirado unadistancia por debajo de la posición de

equilibrio. Al momento de soltar elcuerpo la velocidad es cero; en otras

palabras cuando se inicia el análisis

)0( t la velocidad es también cero. Ya

que la velocidad es la derivada de la posición se determina que

0)0( y

Aplicando la condición anterior, en la

derivada de la solución homogénea

t C t senC yh 001.7cos001.7001.7001.7 21

Sustituyendo 0 y y además 0t

)0(001.7cos001.7)0(001.7001.70 21 C senC

Reduciendo

0cos001.70001.70 21 C senC

21 001.7)0(001.70 C C

Por lo que

2001.70 C

02 C

Con los valores de las constantes seobtiene la solución en cualquier instante

bajo las condiciones indicadas en el problema

t yh 001.7cos10.0

Con esta solución se puede determinar la posición del cuerpo en cualquier instante.

La comprobación de las condiciones del problema consiste simplemente en

asignar el valor de cero a la variableindependiente (tiempo) y entonces la

posición será de 0.10 m





Problema 18. Un resorte se deforma 3 cm debido a un peso de 8 N. Si el resorte se pone enmovimiento con una velocidad de 5 m/s dirigida hacia arriba desde su posición de

equilibrio y considerando que el medio en el que se desenvuelve actúa como una fuerzaamortiguadora igual a 2 veces la velocidad instantánea, determine la ecuación que describe

su movimiento en cualquier instante de tiempo.

Primero se plantea la ED de acuerdo al

enunciado del problema

022

2

ym

k

dt

dy

dt

yd

Sim

k 2 , y c 2 , se tiene

02 2

2

2

ydt

dy

dt

yd

Se debe recordar que el segundo término

de la ecuación diferencial anteriorrepresenta la fuerza o medio que actúa en

contra del movimiento (fuerza retardadorao martiguadota) y esta es c veces la

velocidad instantánea.

La constante de restitución del resorte (k )se obtiene con la ley de Hooke

kS F

F es la fuerza o peso que se aplica al

resorte y S es la elongación odeformación que sufre el resorte debido a

ese peso, entonces

)03.0(8 k

Despejando

03.0

8k

67.266k

Y la masa

g

wm

81.9

8m

81.0m

La ED diferencial a resolver es

081.0

67.2662

2

2

ydt

dy

dt

yd

022.32922

2

y

dt

dy

dt

yd

Se trata de una ED homogénea, por lo quese resuelve obteniendo la ecuación

característica y de acuerdo a las raíces se plantea su solución


022.32922 r r

Resolviendo la ecuación característica seobtienen los valores

ir 12.1811 y ir 12.1812


solución corresponde al caso III: Raícescomplejas y conjugadas. Por lo tanto la





solución homogénea o complementaria se

expresa de la forma

]12.1812.18cos[ 21 t senC t C e y t

h

De acuerdo al enunciado cuando se inicia

el análisis (t = 0) el cuerpo se encuentraen la posición de equilibrio, por lo que

0)0( y ; sustituyéndola en la solución

homogénea

)]0(12.18)0(12.18cos[0 21

0 senC C e

Por lo tanto, se tiene

01 C

Ahora, para calcular el valor de lasegunda constante se emplea la segunda

condición inicial del problema.Continuando con el enunciado del

problema, se indica que el cuerpo se poneen movimiento a partir de la posición de

equilibrio con una velocidad de 5 sm /

dirigida hacia arriba; en otras palabras

cuando se inicia el análisis )0( t la

velocidad (la derivada de la posición) está

dirigida hacia arriba (en sentido contrarioa la gravedad) y se determina que

5)0( y

Antes de proceder a la derivada de la

función homogénea, conviene sustituir elvalor que ya se calculó para la primera

constante, por lo que se llega a

]12.1812.18cos[ 21 t senC t C e y t

h

Si 01 C

]12.1812.18cos)0[( 2 t senC t e y t h

Se simplifica a

]12.18[ 2 t senC e y t

h

Derivando

t senC et C e y t t

h 12.1812.18cos12.18 22

Sustituyendo

)0(12.18)0(12.18cos12.185 2

)0(

2

)0( senC eC e

)0cos(12.185 2C

Despejando

28.02 C

Con los valores de las constantes seobtiene la solución en cualquier instante bajo las condiciones indicadas en el

problema

t sene y t

h 12.1828.0

3.4

Sección de Problemas

A continuación se proponen una serie de problemas con el propósito de complementar los problemas que se resolvieron de manera detallada en la presente unidad y con esto el





alumno aplique los conocimientos adquiridos y le sirvan de guía en su estudio. La solución

de los mismos se encuentra en la última sección de la presente unidad.

3.4.1

Auto Evaluación

En los problemas 1-15 determine lasolución de la ED homogénea que seindica. Donde sea necesario determineel valor de las constantes.

1. 034 y y y

2. 03 y y y

3. 025 y y

4. 016 y y

5. 04 y y

6. 096 y y y

7. 04

1 y y y

8. 042 y y y

9. 02 y y y

10. 056 y y y ; sujeta a

3)0( y , 1)0( y

11. 032 y y y

12. 02510 y y y

13. 0262 y y y

14. 02

173 y y y

15. 03612 y y y ; sujeta a

4)0( y , 1)0( y

En los problemas 16-20 determine lasolución de la ED no homogéneaempleando para ello el método decoeficientes indeterminados. Donde seindique, aplique las condicionesiniciales.

16. 623 y y y

17. x x y y y 24

1 2

18. xe x y y 32483

19. xsenx y y 2

20. xe y y y x 2cos52

En los problemas 21-25 determine lasolución de la ED no homogéneaempleando para ello el método devariación de parámetros. Donde seindique, aplique las condicionesiniciales.

21. x sene y y y 23

22. xe y y y x 3tan3063

23. ;4 2 x

xe y y con 1)0( y , 0)0( y

24. x y y cosh





25. xe y y y x ln2

26. Un cuerpo de masa 1.5 kg. estira 3 cm. un resorte. Si se tiene una fuerza retardadoraequivalente al doble de la velocidad instantánea y el cuerpo se suelta 4 cm. por debajo de la

posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de sm /6 ¿cuál es la ecuaciónque define el movimiento en cualquier instante de tiempo?

27. Un cuerpo con masa kg 5.0 estira un resorte cm50 , un poco después se suelta en el

instante 0t de un punto que está a cm8 por debajo de la posición de equilibrio con una

velocidad dirigida de sm /2 . Determine la función que describe el movimiento del cuerpo

en cualquier instante.

28. Una banda elástica está hecha de un material tal que con un peso de 4 N colgado de

ella, se alarga cm6 . Si una fuerza de t 16cos5.0 N está actuando sobre la banda de tal formaque el cuerpo adherido a ella es sacado de su equilibrio por un movimiento hacia arriba que

tiene una velocidad de sm /3 , ¿cuál es la posición del objeto en para cualquier instante de

tiempo?

29. Una masa de gr 100 se adhiere a un resorte de acero con una longitud original de cm50 .

El resorte se extiende cm5 por efecto de esta masa. Si se hace mover la masa hacia abajo

con una velocidad de scm /10 determina la expresión que representa el movimiento

provocado en cualquier instante de tiempo.

30. Un circuito RLC tiene una resistencia de 10 ohms, una capacitancia de 10 -2 farads y unainductancia de 0.5 henrios. El voltaje que se suministra al circuito eléctrico es de 12 volts.

Suponiendo que no hay corriente inicial o carga en el capacitor, encuentre la carga enfunción del tiempo.

31. Un costal de kg 10 de masa es atado a un resorte que por su efecto lo estira cm70 de su

longitud normal. El costal se pone en movimiento al estirar el resorte y soltarlo, con una

velocidad inicial de sm /1 en dirección hacia arriba. Encuentre la expresión que representa

el movimiento resultante considerando que existe una fuerza retardadora igual a 90 veces lavelocidad instantánea.





3.4.2 Respuestas Auto Evaluación

1. x x

h ecec y 2

3

1

2.

x senC xC e y x

h2

11

2

11cos 21

2

1

3. x senC xC yh 55cos 21

4. x x

h ecec y 4

2

4

1

5. x

h ecc y 4

21

6. x x

h xecec y 3

2

3

1

7. x x

h xecec y 2

1

22

1

1

8. x x

h ecec y 51

2

51

1

9. x x

h ecec y 21

2

21

1

10. x x

h ee y 54

11. x senC xC e y x

h 22cos 21

12. x x

h xee y 55 152

13. x x

h ecec y 2

2

1

14.

x senC xC e y x

h2

5

2

5cos 21

2

3

15. x x

h xee y 66 254

16. 32

21 x x

p ecec y

17.2

7422

2

2

1 x x xecec y x x

p

18. ph g y y y


x

p e x x y 32

3

444

19. ph g y y y

senxC xC yh 21 cos

senx x x y p2

1cos

2

1 2

20. ph g y y y


x sen xe y x

p 24

1

21. x x x x

g seneeecec y 2

2

2

1

22. ph g y y y

)33cos( 21 x senC xC e y x

h

x x xe y x

p 3tan3secln3cos27

1




23. 2222

4

1

8

1

4

3

4

1 x x x

g e x xee y

24. xsenhxecec y x x

g 2

121

25. ph g y y y

x x

h xecec y 21

x x

p e x xe x y 22

4

3ln

2

1

26.]06.183307.006.18cos04.0[66.0 t sent e y t

27. t sent y 42.445.042.4cos08.0

28.t t sent y 16cos013.09.1223.09.12cos013.0

29. t sen y 1471.0

30.

25

310

250

310cos

25

3)( 10

t sent et q t

31.

t t

ee y

72

5

1

5

1

apuntes de ecuaciones diferenciales unidad 3

Documents