apuntes de ecuaciones diferenciales unidad 5

7/25/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 5

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Unidad 5: Sistemas de ED lineales con coeficientes constantes

Elabor: Profesor Vctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemticas

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UNIDAD 5

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESCON COEFICIENTES CONSTANTES

INTRODUCCIN

5.1 Mtodo de Operadores

5.1.1 Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogneo

5.1.2 Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogneo

5.1.2.1 Mtodo de Coeficientes Indeterminados

5.2 Mtodo de la Matriz Exponencial




5.2.2.2 Mtodo de Variacin de Parmetros

5.3 Seccin de Problemas5.3.1 Auto Evaluacin

5.3.2 Solucin de la Auto Evaluacin


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INTRODUCCIN

En el presente captulo se estudiarn los mtodos de solucin para Sistemas de EcuacionesDiferenciales Lineales de coeficientes constantes, empleando el Mtodo de Operadores y el

Mtodo de la Matriz Exponencial. Tambin, al igual que en las unidades anteriores, seincluyen problemas resueltos en forma detallada y una auto evaluacin que consiste en una

serie de problemas con su respectiva solucin para que el alumno pruebe sus conocimientosadquiridos en clase.

5.1 Mtodo de Operadores

El mtodo de operadores se basa en el principio fundamental de eliminacin algebraica

sistemtica de las variables. En esta seccin se ver que lo anlogo de multiplicar una

ecuacin algebraica por una constante, es operar sobre una ecuacin diferencial con algunacombinacin de derivadas. Para llevarlo a cabo se realizarn algunas sustituciones en lasvariables dependientes y en sus derivadas. Las sustituciones son las siguientes:

x Se sustituye por el trmino Dx

x Se sustituye por el trmino xD2

x Se sustituye por el trmino xD3


Suponga que se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales, el cual

consta de dos ecuaciones y dos incgnitas; x y y son las variables dependientes, mientras

que tes la variable independiente.

02 yxx

04 yxy

Se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogneo. Para resolverlo

empleando el mtodo de operadores se escribe de la forma:

02 yxDx 04 yxDy

A partir de esta representacin se procede a manipularla para eliminar una variable ydeterminar la solucin de la otra.


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1. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales anterior empleandopara ello el Mtodo de Operadores.

Factorizando y reacomodando los trminos de tal forma que las variables x y y en ambas

ecuaciones queden en la misma columna

0)2( yxD (1)

0)4( yDx (2)

Si a la segunda ecuacin le aplicamos 2D y a la primera la multiplicamos por -1 paraposteriormente sumarlas, se eliminaydel sistema. Resultando

0)2( yxD

0)4)(2()2( yDDxD

0)4)(2( yyDD

Desarrollando

0)76( 2 yDD

Puesto que las races de la ecuacin auxiliar son 4142.4231 r y

5858.1232 r se tiene la solucin paray

tt

h ececty 5858.1

2

4142.4

1)( (3)

Ahora, para eliminar yse multiplica la segunda ecuacin por -1 y a la primera se le aplica

4D

0)4()2)(4( yDxDD 0)4( yDx

0)2)(4( xxDD

Desarrollando

0)76( 2 xDD

Puesto que las races de la ecuacin auxiliar son 4142.4231 r y

5858.1232 r se tiene la solucin parax

tt

h ecectx 5858.1

4

4142.4

3)( (4)


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148

Ahora bien, (3) y (4) no satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales para cualesquiera

valores de c1, c2, c3 y c4. Sustituyendo las soluciones que se obtuvieron en la primeraecuacin del sistema de ecuaciones diferenciales

02 yxx

02 5858.124142.415858.144142.435858.144142.43

tttttt ecececececec

0225858.14142.4 5858.124142.4

1

5858.1

4

4142.4

3

5858.1

4

4142.4

3 tttttt ecececececec

Sumando trminos semejantes

04142.04142.2 5858.144142.4

3

5858.1

2

4142.4

1 tttt ecececec

Factorizando las funciones exponenciales

0)4142.0()4142.2( 5858.1424142.4

31 tt eccecc

Para que la igualdad se cumpla se requiere

04142.2 31 cc y 04142.0 42 cc

Por lo tanto

134142.2

1cc

, 24

4142.0

1cc ,

Se concluye que una solucin del sistema debe ser

tt

h ececty 5858.1

2

4142.4

1)(

tt

h ecectx 5858.1

2

4142.4

14142.0

1

4142.2

1

)(

La comprobacin consiste en sustituir stas dos ltimas ecuaciones en el sistema original

debindose cumplir las dos igualdades.


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2. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales empleando el Mtodode Operadores.

yxy

yxx

4

Factorizando y reacomodando los trminos de tal forma que las variables x y y en ambasecuaciones queden en la misma columna

0)1( yxD (1)

0)1(4 yDx (2)

Si a la segunda ecuacin le aplicamos 1D y a la primera la multiplicamos por 4 paraposteriormente sumarlas, se eliminaydel sistema. Resultando

04)1(4 yxD

0)1)(1()1(4 yDDxD

04)1)(1( yyDD

Desarrollando

0)32( 2 yDD

Puesto que las races de la ecuacin auxiliar son 31 r y 12 r se tiene la solucin paray

tt

h ececty 23

1)( (3)

Ahora, para eliminarya la primera ecuacin se le aplica 1D

0)1()1)(1( yDxDD

0)1(4 yDx

04)1)(1( xxDD

Desarrollando

0)32( 2 xDD

Puesto que las races de la ecuacin auxiliar son 31 r y 12 r se tiene la solucin parax

tt

h ecectx 43

3)( (4)


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150


valores de c1, c2, c3 y c4. Sustituyendo las soluciones que se obtuvieron en la primeraecuacin del sistema de ecuaciones diferenciales

0 yxx

0231433433

tttttt ecececececec

03 23

14

3

34

3

3 tttttt ecececececec


022 23

14

3

3 tttt ecececec


0)2()2( 243

13 tt eccecc


02 13 cc y 02 24 cc

Por lo tanto

1321 cc , 24 21 cc ,


tt

h ececty 23

1)(

tt

h ecectx

2

3

1

2

1

2

1)(

La comprobacin consiste en sustituir stas dos ltimas ecuaciones en el sistema originaldebindose cumplir las dos igualdades.


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151


Suponga que se tiene un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales representado enforma matricial como

)(tAXX

Como la matriz 0)( t se tiene una ecuacin diferencial no homognea cuya solucin

general es la suma de la solucin homognea ms la solucin particular

phg XXX

La solucin homognea se determina como se estudi en la seccin anterior. Al igual queen la unidad tres, la solucin particular se puede encontrar empleando, en algunos casos, el

mtodo de coeficientes indeterminados o con el mtodo de variacin de parmetros.Adicionalmente, tambin se puede resolver con el uso de determinantes.


El mtodo de coeficientes indeterminados (ver unidad 3) se utiliza para ciertas formas que

tenga la funcin (en este caso matriz) )(t . La solucin particular que se propone debe

tener la forma de )(t .

3. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogneo que se

indica, empleando para ello el mtodo de coeficientes indeterminados.

yxy

tyxx

22

23

Primero, se escribe el sistema con la notacin del operador diferencial

tyxD 2)3( (1)

0)2(2 yDx (2)

Eliminando la variable x, multiplicando la primera ecuacin por 2 y aplicndole a lasegunda (D-3) para despus sumar las ecuaciones resultantes

tyxD 24)3(2 0)2)(3()3(2 yDDxD

Resulta

tyyDD 24)2)(3(


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152

tyDD 2)2( 2

Puesto que las races de la ecuacin auxiliar 0)1)(2( DD son 21 r y 12 r setiene la solucin homognea paray

tt

h ececty 23

1)(

Para obtener la solucin particular empleando el mtodo de Coeficientes Indeterminados,

de acuerdo a )(t se propone como solucin

BtAyp , por lo que

Byp

0py

Sustituyendo py y sus derivadas se tiene

tBtAB 2)(20

De esta ltima expresin se calculan los valores de las constantes, obteniendo 21A

1B . Por lo tanto typ 21 y la solucin paray

tececty ttg

21

2

3

1)( (3)

Para eliminar la variable y, se multiplica la segunda ecuacin por -2 y a la primera se leaplica 2D para despus sumar las ecuaciones resultantes

tDyDxDD )2()2(2)3)(2( 0)2(24 yDx

Resulta

tDxxDD )2(4)2)(3(

txDD 21)2( 2


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153

Puesto que las races de la ecuacin auxiliar 0)1)(2( DD son 21 r y 12 r setiene la solucin homognea parax

tt

h ecectx 43

3)(



BtAyp , por lo que

Byp

0py


tBtAB 21)(20

De esta ltima expresin se calculan los valores de las constantes, obteniendo 0A 1B . Por lo tanto typ y la solucin parax

tecectx ttg

4

3

3)( (4)


valores de c1,c2,c3yc4. Sustituyendo las soluciones que se obtuvieron en cualquiera de lasecuaciones (por ejemplo en la segunda) del sistema original

yxy 22

tecectecectecec tttttt 21

2

3

14

3

321

2

3

1 22

tecectecececec tttttt

212222213 23

14

3

32

3

1


0225 43

32

3

1 tttt ecececec


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154


0)2()25( 423

31 tt eccecc


025 31 cc

02 42 cc

Por lo tanto

132

5cc , 24

2

1cc ,


tececty ttg

21

2

3

1)(

tecectx ttg

2

3

12

1

2

5)(

La comprobacin consiste en sustituir stas dos ltimas ecuaciones en el sistema original

debindose cumplir las dos igualdades.

4. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogneo que seindica, empleando para ello el mtodo de coeficientes indeterminados.

teyxx 2

yxy 4

Primero, se escribe el sistema con la notacin del operador diferencial

teyxD 15)2( (1)

0)4( yDx (2)

Para eliminar la variablexse resta la primera ecuacin con la que resulta de aplicar 2D ala segunda ecuacin


11/46



155

teyxD 15)2(

0)4)(2()2( yDDxD Resulta

teyyDD 15)4)(2(

teyyDD 15)86( 2

teyDD )76( 2

Puesto que las races de la ecuacin auxiliar 0)1)(7( DD son 71 r y 12 r setiene la solucin homognea para y

tt

h ececty 27

1)(



t

p Aey , por lo que

t

p Aey

t

p Aey


tttt eAeAeAe 76

De esta ltima expresin se obtiene que

tt eAe 2

21

A

Por lo tanto tp ey 21 y la solucin paray

ttt

g eececty 21

2

7

1)(

(3)


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156

Para eliminar la variable y se le aplica 4D a la primera ecuacin y la segunda semultiplica por 15

teDyDxDD )4()4(15)2)(4( (1)

0)4(1515 yDx (2)

Resulta

teDxxDD )4(15)2)(4(

texDD 3)76( 2

Puesto que las races de la ecuacin auxiliar 0)1)(7( DD son 71 r y 12 r setiene la solucin homognea para x

tt

h ecectx 47

3)(



t

p Aey , por lo que

t

p Aey

t

p Aey


tttt eAeAeAe 376

De esta ltima expresin se obtiene que

23A

Por lo tanto tp ey 23 y la solucin para x

ttt

g eecectx 23

4

7

3)(

(4)


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157


valores de c1,c2,c3yc4. Sustituyendo las soluciones que se obtuvieron en cualquiera de lasecuaciones (por ejemplo en la segunda) del sistema original

yxy 4

)(4)(c)(21

2

7

123

4

7

321

2

7

1

ttttttttt eececeeceeecec

ttttttttt eececeeceeecec 244c7 27

123

4

7

321

2

7

1


0c53 47

32

7

1 tttt eceecec


0)5()c3( 247

31 tt eccec


13 3c c , 24 5cc


ttt

g eececty 21

2

7

1)(

ttt

g eecectx 23

2

7

1 53)(

La comprobacin consiste en sustituir stas dos ltimas ecuaciones en el sistema originaldebindose cumplir las dos igualdades.


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158

5.2 Mtodo de la Matriz Exponencial


Suponga que se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales, el cualconsta de dos ecuaciones y dos incgnitas; x y y son las variables dependientes, mientras

que tes la variable independiente.

teyxx 2

sentyxy 4

El sistema se puede representar en forma equivalente como

sentyx

eyx

y

x t

4

2

O tambin

sent

e

yx

yx

y

x t

4

2

De acuerdo al lgebra matricial se tiene

sent

e

y

x

y

x t

41

12

Lo cual se puede representar de manera general para un sistema de n ecuacionesdiferenciales lineales como

)(tAXX

Si la matriz 0)( t se tiene una ecuacin diferencial homognea, en caso contrario se

clasifica como no homognea. En caso de corresponder a una de tipo no homognea, lasolucin es (como se vio en las unidades anteriores) la suma de la solucin homognea ms

la solucin particular

phg XXX

Si el sistema es homogneo, la solucin general, simplemente es la solucin homognea

hg XX


15/46



159

Considerando que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales homogneo, se tiene

AXX (1)

La cual posee soluciones de la forma

rteX

Para determinar los valores de las races y el vector escalar, se procede a sustituir stasolucin en (1) para lo cual se requiere la derivada de la solucin

rterX

Sustituyendo en (1)

rtrt eAer

Que equivale a

Ar (2)

Donde

nn r

r

rr

11

A es la matriz de coeficientes del sistema. Empleando lgebra matricial

nr

r

r

r

2

1

00

00

00

n

rr

2

1

100

010

001

Observe que se tiene la matriz identidad por lo que se tiene que

rIr


16/46



160

Regresando a (2)

ArI

0 rIA

0 rIA

Desarrollando

0

0

11

1111

nnnn

nn

aa

aa

Resolviendo el sistema, por determinantes, para1

0

00

0

21

11211

2

112

1

nnnn

n

nnn

n

aaa

aaa

aa

aa

Para obtener una solucin no trivial se necesita que el divisor sea igual a cero, es decir

0det rIA

5. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales

yxy

yxx

4

Se empieza por escribirlo de la forma

XX

14

11

De acuerdo a lo visto anteriormente se tiene

0 rIA


17/46



161

Desarrollando

0

0

14

11

2

1

r

r

0

0

)1(4

)1(

21

21

r

r

Por lo que se obtiene el sistema

21)1( r =0 (1)

21 )1(4 r =0 (2)

Para que la solucin no sea trivial se requiere que 0det rIA es decir

014

11det

r

r

Resolviendo se obtiene la ecuacin caracterstica del sistema de ecuaciones

0411 rr

0322 rr

013 rr

Por lo tanto, los eigenvalores (tambin llamados valores caractersticos o valores propios)son

31 r

12 r

Estos valores se sustituyen en el sistema de ecuaciones (1) y (2). Considerando

primeramente 31 r en la ecuacin (1) se tiene

212 =0

212 =0Por lo tanto

212


18/46



162

Considerando que 11 , se obtiene 22 y por lo tanto

2

11 adems, si

rteX se

determina que teX 31

2

1

Para el segundo valor caracterstico 12 r al igual que el anterior, sustituyendo en lasecuaciones (1) y (2)

212 =0

21 24 =0

Por lo tanto

12 2


2

12 adems, si

rteX

se determina que teX

2

12

La solucin general es la suma de 1X y 2X

2

2

1

1)( XXtXh

tt

h eetX

2

1

2

1)( 2

3

1

Si se consideran las condiciones iniciales

1

4)0(X

Se obtendra

0

2

0

12

1

2

1

1

4ee

Desarrollando

421

122 21


19/46



163

Resolviendo se tiene

49

1 y 47

2

Y la solucin sustituyendo los valores de 49

1

y 47

2

tt

h eetX

2

1

4

7

2

1

4

9)( 3

Que equivale a

tt eetx 4

7

4

9)( 3

tt eety 27

29)( 3

Adems, la solucin se puede manipular como se muestra a continuacin

tt

h eetX

2

1

2

1)( 2

3

1

t

tt

h e

eetX

21

2

3

1

22)(

2

1

3

3

22)(

tt

tt

ee

eetX

)()( ttX

21)( XXtX

Observe que los eigenvalores son diferentes y reales, por lo que se tiene el caso 1


20/46



164

6. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales sujeto a lascondiciones iniciales que se indican

1)0(,3

2)0(,5

yyxy

xyxx


XX

13

15


0 rIA

Desarrollando

0

0

13

15

2

1

r

r

0

0

)1(3

)5(

21

21

r

r


21)5( r =0 (1)

21 )1(3 r =0 (2)


013

15det

r

r


0315 rr

0862 rr

024 rr


21/46



165

Por lo tanto, los eigenvalores (tambin llamados valores caractersticos o valores propios)

son

41 r

22 r



21 =0

21 33 =0

Por lo tanto

21

Considerando que 11 , se obtiene 12 y por lo tanto 11

1 adems, sirteX se


1

1

Para el segundo valor caracterstico 22 r al igual que el anterior, sustituyendo en las

ecuaciones (1) y (2)

213 =0

213

=0

Por lo tanto

12 3


3

12 adems, si

rteX se


3

1

La solucin general es la suma de1X y

2X

2

2

1

1)( XXtXh

tt

h eetX 2

2

4

13

1

1

1)(


22/46



166

Considerando las condiciones iniciales

1

2)0(X

Se obtendra

0

2

0

13

1

1

1

1

2ee

Desarrollando

221

13 21

Resolviendo se tiene

27

1 y

23

2

Y la solucin sustituyendo los valores de2

71 y 2

32

tt

h eetX 24

3

1

2

3

1

1

2

7)(

Que equivale a

tt eetx 24

2

3

2

7)(

tt eety 24

2

9

2

7)(


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167

Suponga que se parte nuevamente de la forma matricial

AXX (1)

Proponiendo una solucin de la forma TyX y sustituyndola en (1) se obtiene

ATyyT

Despejando y

ATyTy 1

Donde DATT 1 Aes la matriz de coeficientes

T es la matriz formada por los vectores de los eigenvalores 21 T

T-1

es la matriz inversa de T

D es la matriz de valores propios, es una matriz diagonal =

nr

r

r

00

00

00

2

1

De acuerdo a lo anterior

Dyy

De esta ltima expresin se determina la solucin parayque es la matriz exponencial

ny

y

y

tQ

00

00

00

)( 2

1

Para obtener la solucin del sistema de ecuaciones se tiene

TyX


24/46



168

7. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales

yxy

yxx

4

Este problema corresponde al ejemplo 1 que ya se resolvi. A partir de ste problema setiene la siguiente informacin

XX

14

11

2

13 11

r

2

11 22 r

Con los valores caractersticos del sistema de ecuaciones se construye la matrizD

10

03D

Ahora recordando que Dyy y desarrollando se llega a

2

1

2

1

10

03

y

y

y

y

11 3yy Es una ED de variables separables cuya solucin estey 3

22 yy Es una ED de variables separables cuya solucin estey

t

t

e

etQ

0

0)(

3

tt

tt

t

t

ee

ee

e

eTyt

220

0

22

11)(

3

33

2

1

3

3

22)(

tt

tt

ee

eeTytX

tt

h eetX

2

1

2

1)( 2

3

1


25/46



169

8. Obtenga la matriz de soluciones, una matriz fundamental de soluciones as como lasolucin general del sistema

yxy

yxx

24


XX

24

11


0 rIA

Desarrollando

0

0

13

15

2

1

r

r

0

0

)1(3

)5(

21

21

r

r


21)5( r =0 (1)

21 )1(3 r =0 (2)


024

11det

r

r


0421 rr

062 rr

032 rr


26/46



170


son

21 r

32 r



21 =0

21 44 =0

Por lo tanto

21

Considerando que 11 , se obtiene 12 y por lo tanto 11

1 adems, sirteX se


1

1

Para el segundo valor caracterstico 32 r al igual que el anterior, sustituyendo en las

ecuaciones (1) y (2)

214 =0

214

=0

Por lo tanto

12 4


4

12 adems, si

rteX

se determina que teX 32

4

1

41

11T

51

51

51

54

1T


27/46



171

41

11

24

11

51

51

51

54

1ATTD

2

1

0

0

30

02

r

rD

Proponiendo una solucin de la forma TyX yTX sustituyendo en AXX

ATyyT

ATyTy 1

Donde

ATTD

1

Dyy

2

1

30

02

y

yy

Desarrollando



La matriz de soluciones )(tQ es:

t

t

e

etQ

3

2

0

0)(

Y la matriz fundamental de soluciones es

tt

tt

t

t

ee

ee

e

etTQt

32

32

3

2

40

0

41

11)()(

La solucin general

2

1

32

32

4)()(

tt

tt

ee

eettX


28/46



172

9. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales que se indica

yxy

yxx

35


XX

35

11


0 rIA

Desarrollando

0

0

35

11

2

1

r

r

0

0

)3(5

)1(

21

21

r

r


21)1( r =0 (1)

21 )3(5 r =0 (2)


035

11det

r

r


0531

rr

0222 rr


son

ir 12,1 Se observa que los eigenvalores son complejos y conjugados


29/46



173


primeramente ir 11 en la ecuacin (1) se tiene

212 i =0 21 25 i =0

Por lo tanto

12 2 i

Considerando que 11 , se obtiene i22 y por lo tanto

i2

11 adems, si

rteX se determina que tiei

X

11

2

1

Para el segundo valor caracterstico ir 12 al igual que el anterior, sustituyendo en lasecuaciones (1) y (2)

212 i =0 21 25 i =0

Por lo tanto

12 2 i

Considerando que 11 , se obtiene i22 y por lo tanto

i2

12 adems, si

rteX se determina que tiei

X

12

2

1

La solucin general es la suma de 1X y 2X

2

2

1

1)( XXtXh

titih eieitX

1

2

1

12

1

2

1

)(

La cual se puede escribir de la forma

tesente

sentec

sentete

tec

ty

txtt

t

tt

t

cos2cos2

cos

)(

)(21


30/46



174

10. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales que se indica

yxy

yxx

3


XX

31

11


0 rIA

Desarrollando

0

0

31

11

2

1

r

r

0

0

)3(

)1(

21

21

r

r


21)1( r =0 (1)

21 )3( r =0 (2)


031

11det

r

r


0131

rr

0442 rr

022 rr

02 2 r


31/46



175


son

21 r

22 r

Se observa que los eigenvalores son reales e iguales



21 =0

21 =0

Por lo tanto

12


1

11 adems, si

rteX

se determina que teX 21

1

1

Para2X se propone la solucin tteX 22 , sustituyendo en AXX

ttt teAete 222 2

tAt 2

Igualando ambos trminos

A2

0

No es una solucin de inters, la solucin que se propone es tetX 22 con lo que sellega a

2A (3)

IA 2 (4)


32/46



176

La ecuacin (3) se satisface con

1 2A

02 1 IA por lo que (4) queda

1

1

231

121

2

1

Desarrollando

121 112

121 112

Con11

112

Por lo que

11

1

Regresando a la solucin que se propuso

tetX 22

Con 1

Sustituyendo

tt eteX 2

1

122

11

1

Adems

2

2

1

1)( XXtXh

Por lo tanto

ttth eteetX

2

1

12

2

2

111

1

1

1)(


33/46



177

La cual se puede escribir de la forma

tttt

h eeteetX 22

1

12

2

2

11

0

1

1

1

1)(

ttt

h eteetX 2

1

12

2

2

11

0

1

1

1

1)(

ttt

h eteetX 2

1

2

2

2

11

0

1

1

1

1

1

1)(

tttth eteeetX

22

2

2

12

2

11

0

1

1

1

1

1

1)(

ttth eteetX

22

2

2

1211

0

1

1

1

1)()(

Haciendo 1121 c

ttth eteectX

22

2

2

11

0

1

1

1

1)(


34/46



178


De la seccin anterior se tenia el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales, el

cual consta de dos ecuaciones y dos incgnitas; x y y son las variables dependientes,

mientras que tes la variable independiente.

teyxx 2

sentyxy 4

El sistema se represent en forma equivalente como

sentyx

eyx

y

x t

4

2

O tambin

sent

e

yx

yx

y

x t

4

2

De acuerdo al lgebra matricial se tiene

sent

e

y

x

y

x t

41

12

Lo cual se puede representar de manera general para un sistema de n ecuacionesdiferenciales lineales como

)(tAXX

Como la matriz 0)( t se tiene una ecuacin diferencial no homognea cuya solucin

general es la suma de la solucin homognea ms la solucin particular

phg XXX

Al igual que en la unidad tres, la solucin particular se puede encontrar empleando, enalgunos casos, el mtodo de coeficientes indeterminados o con el mtodo de variacin deparmetros


35/46



179


El mtodo de coeficientes indeterminados (ver unidad 3) se utiliza para ciertas formas que

tenga la funcin (en este caso matriz) )(t . La solucin particular que se propone debe

tener la forma de )(t .


teyxy

tyxx

322

23


te

tXX322

23 (1)

La solucin del sistema es la suma phg XXX ; para obtener la solucin de hX se

procede como en la seccin anterior con lo que se llega a

tt

h eetX

2

11)( 2

2

211

Para la solucin empleando el mtodo de coeficientes indeterminados, descomponiendo el

sistema de ecuaciones diferenciales utilizando lgebra matricial,

tetAXX

3

0

0

1

Se propone una solucin de la forma

t

p cebtax

Adems, si

)()( tAXtX pp

Sustituyendo en (1)

)()()( tcebtaAcebta tt


36/46



180

Por lo que se tiene el arreglo matricial

tt

t

t

t

e

t

ectba

ectba

ecb

ecb

322

23

222

111

22

11

Desarrollando

tectbaectbaecb ttt )(2)(3 22211111 (A)

tttt eectbaectbaecb 3)(2)(2 22211122 (B)

Igualando trminos para la ecuacin (A) Igualando trminos para la ecuacin (B)

211 23 aab 212 22 aab

1230 21 bb 21 220 bb

212 23 ccc 322 212 ccc

Resolviendo los sistemas de ecuaciones se obtiene

01 a , 212 a , 11 b , 12 b , 31c y 32 c

Recordando quet

p cebtax y sustituyendo,

t

t

t

t

pet

et

ectba

ectbatX

33

30)(

21

222

111

Rescribiendo la matriz anterior

t

p ettX

3

3

1

10)(

21

Finalmente,

phg XXX

ttt

g eteetX

3

3

1

10

2

11)(

21

2

2

21

1


37/46



181


sentyxy

tyxx

22

23 2


sent

tXX

2

22

23 (1)



tt

h eetX

2

11)( 2

2

211

Para la solucin empleando el mtodo de coeficientes indeterminados, descomponiendo elsistema de ecuaciones diferenciales utilizando lgebra matricial,

senttAXX

1

0

0

12

Se propone una solucin de la forma

tedsentctbtaxp cos2

Adems, si

)()( tAXtX pp

Sustituyendo en (1)

)()cos()cos( 22 ttedsentctbtaAtedsentctbta

Por lo que se tiene el arreglo matricial

sent

t

tesentdtctba

tesentdtctba

sentctdtcb

sentetdtcb 2

22

2

222

11

2

111

2222

1111

cos

cos

22

23

cos2

cos2


38/46



182

Desarrollando

2

22

2

22211

2

1111111 )cos(2)cos(3cos2 ttesentdtctbatesentdtctbasentetdtcb A

senttesentdtctbatesentdtctbasentetdtcb )cos(2)cos(2cos2 222

22211

2

1112222B

Igualando trminos para la ecuacin (A) Igualando trminos para la ecuacin (B)

211 23 aab 212 22 aab

211 232 bbc 212 222 bbc

1230 21 cc 21 220 cc

211 23 eed 21 22 eed

211 23 dde 122 212 dde

Resolviendo los sistemas de ecuaciones se obtiene

11 a , 232 a , 01b , 12 b , 11 c , 12 c , 531d , 542 d , 511 e , 532 e

Recordando que tedsentctbtaxp cos2 y sustituyendo,

tsenttt

tsentttXp

cos

cos1)(

53

542

23

51

532

Rescribiendo la matriz anterior

tsenttttXp cos1

1

1

01)(

53

51

54

53

2

23

Finalmente,

phg XXX

tsenttteetX ttg cos1

1

1

01

2

11)(

53

51

54

53

2

232

2

21

1


39/46



183

5.2.2.2 Mtodo de Variacin de Parmetros

El mtodo de Variacin de Parmetros para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales(de primer orden) no homogneo

)()( tAXtX pp (1)

Consiste en proponer una solucin particular de la forma

)()()( tttXp

Sustituyendo en (1)

)()()()()( tttAtt

)(tA (2)

Si A anlogamente AXX , despejando 0 A y sustituyendo en (2)(primero se factoriza)

)()( tA

Se llega a (con 0 A )

)(t

Despejando

)(1 t

Por lo tanto

dtt)(1

Para obtener la solucin particular se sustituye en

)()()( tttXp


40/46



184

13. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogneo que seindica, empleando para ello el mtodo de Variacin de Parmetros.

te

tXX

14

11 (1)



tt

h eetX

2

1

2

1)( 2

3

1

Escribiendo hX de la forma )()( ttXp

2

13

3

2

3

1

2

3

1

2222)(

tt

tt

tt

tt

hee

eeee

eetX

Recordando que dtt)(1 se requiere calcular 1

tt

tt

ee

ee

41

42

3

413

42

1

Por lo tanto

dte

t

ee

eettt

tt

41

42

3

413

42

Multiplicando

dtete

etett

tt

2

41

42

2

413

42

dtete

dtete

tt

tt

)(

)(

2

41

42

2

413

42


41/46



185

dtete tt )( 2

413

42

1

dtete tt )( 241

42

2

Integrando

ttt eete 2813

1813

61

1

ttt eete 281

42

42

2

Se tiene la solucin para la matriz

ttt

ttt

eete

eete

2

8

1

4

2

4

2

2

8

13

18

13

6

1

Finalmente,

)()( ttXp

ttt

ttt

tt

tt

peete

eete

ee

eetX

2

81

42

42

2

813

1813

61

3

3

22)(

tt

tt

p etet

etettX

82

82

182

62

81

42

42

81

181

61

1)(

t

ettX

t

p

34

98

41

31

95

)(

t

p ettX

0)( 4

1

34

31

98

95

Y la solucin general

ttt

g eteetX

02

1

2

1)( 4

1

34

31

98

95

2

3

1


42/46



186

14. De la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogneo que seindica, empleando para ello el mtodo de Variacin de Parmetros.

t

eXX

t32

14

11 (1)



tt

h eetX

2

1

2

1)( 2

3

1

Escribiendo hX de la forma )()( ttXp

2

1

3

3

2

3

1

2

3

1

2222)(

tt

tt

tt

tt

hee

eeee

eetX

Recordando que dtt)(1 se requiere calcular 1

tt

tt

ee

ee

41

42

3

413

42

1

Por lo tanto

dtt

e

ee

ee t

tt

tt

3

41

42

3

413

42 2

Multiplicando

dttee

tett

t

414

3

411

dttee

dtte

tt

t

)(

)1(

414

3

41


43/46



187

dtte t)1( 341

1 y dttee tt )(414

2

Integrando

tt etet 33613

121

1

ttt etee41

414

41

2

Se tiene la solucin para la matriz

ttt

tt

etee

etet

41

414

41

3

3613

121

Finalmente,

)()( ttXp

ttt

tt

tt

tt

petee

eet

ee

eetX

41

414

41

3

3613

121

3

3

22)(

tt

tt

petet

etettX

3

213

31

95

3

413

31

92

2)(

tt

p etettX 3

21

413

31

31

95

92

21)(

Y la solucin general

tttt

g eteteetX 3

21

41

3

31

31

95

92

2

3

12

1

2

1

2

1)(

5.3 Seccin de Problemas

A continuacin se proponen una serie de problemas con el propsito de complementar losproblemas que se resolvieron de manera detallada en la presente unidad y con esto el

alumno aplique los conocimientos adquiridos y le sirvan de gua en su estudio. La solucinde los mismos se encuentra en la ltima seccin de la presente unidad.


44/46



188

5.3.1 Auto Evaluacin

En los problemas 1-10 determine lasolucin del sistema de ecuacionesdiferenciales lineales empleando el

mtodo de operadores.1. yxx 74

yxy 2

2. 14 yx 2yx

3. 211 yDxD 123 yDx

4. xdt

dy

dt

xd5

2

2

yxdt

dy

dt

dx4

5. tDyxD 2

233 yDxD

6. 11212 2 yDxDD

11 DyxD

7. tedt

dy

dt

dx

02

2

yxdt

dx

dt

xd

8. sentyDDxD 22 2 0Dyx

9. tezDx 01 DzDyxD

teDzyx 2

10. 22 tDyDx

1121 yDxD

En los problemas 10-20 determine lasolucin del sistema de ecuacionesdiferenciales lineales empleando elmtodo de la matriz exponencial.

11. 5)0(,23 xyxx 1)0(,22 yyxy

12. 1)0(, xyxx

4)0(,24 yyxy

13. yxx zyxy 2 zyxz 2

14. yxx 43 yxy

15. yxx 4 yxy 74

16. yxx 23 yxy 4

17. yx xy 2

18.

2

3

14

11

t

sentxX

19.

texX

5

2

14

11

20.

te

txX

2

24

11


45/46



189

5.3.2 Solucin de la Auto Evaluacin

1. tt ecectx 325

17)(

tt ececty 325

1)(

2. 2222cos2)( 21 tsenctctx

4

122cos)( 21 tsenctcty

3.5

35

3

255cos

3

52)( 4343

tsen

cct

cctx

5

755cos)( 43 tsenctcty

4. tsenccc

tccc

ectx t 22

242cos

2

42

4

9)( 43253251

tsenctcecty t 22cos)( 325

1

5. ttececctx tt 233

212

1)(

ttececcty tt 233

212

13)(

6. 1cos)( 322

1

1 sentctcectxt

2cos)( 323221

1 sentcctccectyt

7. tt teectcctx 321)(

tt teectccty 321 1)(

8. senttsentctcectx t5

1cos

2

1cos)( 321

tsentsentctcecty t cos51

52cos)( 654

9. tt esentcctccecctx 86952

74 2cos222)(

sentctcecty t 652

4 cos)(

sentctcectz t 982

7 cos)(


46/46


10.El sistema no posee solucin

11. tt eeX

2

1

3

62

12. tt eeX

58

58

3

512

53

13. ttt eeeX

7

2

1

1

1

1

1

0

12

21

14. ttt eteeX

4

1

2

11

2

12

2

11

0111

15. ttt eteeX 3

411

3

2

3

1

0

1

1

1

1

1

1

16. ktttt

tt

itetsenetsenete

tseneteX

21

21

2cos222cos

22cos

17. kittsen

tsentX

21

21

2cos222

22cos

18. 2

31

31

910

94

2726

2714

56

109

512

103

2

3

1 cos22

1

2

1ttttseneeX tt

19. ttt eeeX 5

31

121

316

34

2

3

12

1

2

1

20.ttt

eteeX

31

61

34

32

92

94

2

2

3

1 1

1

4

1

apuntes de ecuaciones diferenciales unidad 5

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