ecuación de la parábola
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Ecuación de la parábola. Ejercicios
1Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
1
2
3
2Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).
2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).
4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
3Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:
1
2
3
4Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).
5 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).
6 Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y2 = 16 x.
Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos
1
Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
1
2
3
Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos
2
Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).
2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).
4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos
3
Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:
1
2
3
Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos
4
Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).
Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos
5
Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).
Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos
6
Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y2 = 16 x.
Ejemplo 1
1.Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.
.... SOLUCIÓN
En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6.
Al sustituir estos valores en la ecuación (1) de la sección 5.1., se obtiene:
Al desarrollar los binomios en la última igualdad y simplificar, se obtiene finalmente:
Ejemplo 2
2.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el
punto común a las rectas: y ... ..
SOLUCIÓN
Al resolver simultáneamente el sistema: se obtiene .
Asi que el centro de la circunferencia es el punto C(3, 1).
Ahora, como la circunferencia pasa por el punto 0(0, 0), se tiene
que
es el valor del radio.
Usando nuevamente la ecuación (1) de la sección 5.1. con y , se obtiene:
.. Ejemplo 3
3.Determine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de
extremos y .
...... SOLUCIÓN
Si D denota el diámetro de la circunferencia, entonces, el radio r
es .
Es decir, (fórmula de la distancia).
Esto es,
Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del punto medio del
segmento . (Ver fig.).
Asi que: y
Luego, la ecuación de la circunferencia pedida
es: .
Ejemplo 4
4.La ecuación: representa una circunferencia. Determine su centro C(h, k) y su radio r.
....
.. SOLUCIÓN
La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:
Comparando esta última ecuación con la ecuación (1) de la sección 5.1., se deduce
que: y .
Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8.
Ejemplo 5
5.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.
....
....
SOLUCIÓN
Como A, B yC no están alineados, hay una circunferencia ð que pasa por A, B y C.
Su ecuación es la forma
x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 Hallemos d, e y f.
Como A(0, 6) C ,
02 + 62 + 2d.0 + 2e.6 + f = 0 Asi que: 36 + 12e + f = 0 (1)
Como B(4, -2) C , 16 + 4 + 2d.4 + 2e.(-2) + f = 0
Es decir, 20 + 8d – 4e + f = 0 (2)
Como C(9, 3) C , 81 + 9 + 2d.9 + 2e.3 + f = 0
Asi que: 90 + 18d + 6e + f = 0 (3)
El sistema de ecuaciones (1), (2), (3) puede escribirse así:
12e + f = -36
8d – 4e + f = -20
18d + 6e + f = -90
o también:
cuya solución es: d = -4, e = -3, f = 0
Luego la ecuación de ð es : x2 + y2 – 8x – 6y = 0 que podemos escribir: (x2 – 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 25
ó (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25
Así que la circunferencia C circunscrita al triángulo ABC tiene centro en (4, 3) y radio 5...
Ejercicio 6
6.Determine los puntos comunes a la circunferencia y a la
recta .
..
Ejercicio 7
7.Determine los puntos comunes a la circunferencia y a la
recta ... ..
SOLUCIÓN
Como en el caso anterior, los puntos comunes son las soluciones al sistema de ecuaciones:
(1)
(2)
De (2) se tiene: (3).
Sustituyendo (3) en (1) se puede escribir:
La última ecuación, tiene como única solución x = 2 que corresponde a la abscisa del único punto de intersección.
Sustituyendo el valor de x = 2 en (3) se obtiene: . De esta forma es el único punto común a la recta y a la circunferencia.
En este caso, la recta es tangente a la circunferencia en el punto .
La figura adjunta ilustra la situación.
.
..