matemÁticas iii unidad 5 la parÁbola y su ......5.8 ecuación ordinaria de la parábola con v(h,k)...

Matemáticas III Unidad 5. La Parábola y su Ecuación Cartesiana.

184

MATEMÁTICAS III

UNIDAD 5

Cuando lanzamos un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal, éste

describe una trayectoria parabólica. En su obra Dialogo sobre los Sistemas del Mundo (1633),

Galileo Galilei expone que el movimiento de un proyectil puede considerarse el resultado de

componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme;

otro, vertical y uniformemente acelerado.

LA PARÁBOLA

Y SU ECUACIÓN

CARTESIANA


185

UNIDAD 5

LA PARÁBOLA Y SU ECUACION CARTESIANA

5.1 Propósitos de la Unidad y los diferentes Conocimientos,

Conceptuales, Procedimentales y Actitudinales 186

5.2 Diagrama Estructural 187

5.3 Nota Histórica 188

5.4 La parábola como lugar geométrico. 189

5.5 Trazo de una Parábola, el método del sastre. 190

5.6 Definición de Parábola y sus Elementos. 190

5.7 Ecuación Ordinaria de la Parábola con V(0,0) 192

5.8 Ecuación Ordinaria de la Parábola con V(h,k) 194

5.9 Ejercicios propuestos con solución. 198

5.10 Respuestas a los ejercicios propuestos. 201

5.11 Ejercicios diversos de Parábola. 202

5.12 Propuesta de Evaluación 205

5.13 Glosario 207

5.14 Bibliografía 207


186

UNIDAD 5.

LA PARÁBOLA Y SU ECUACION CARTESIANA

5.1 PROPÓSITOS: Reafirmar el método analítico al obtener la ecuación de la parábola.

Consolidar el reconocimiento de formas, estructuras y procedimientos al resolver

diversos problemas que involucren a la parábola y otros lugares geométricos ya vistos.

Conocimiento Conceptual.

• Comprender el Concepto de la Cónica: Parábola como lugar Geométrico, así como los elementos que la definen.

• Conocer la Ecuación ordinaria con vértice en el origen de la Parábola.

• Conocer la Ecuación Ordinaria con vértice fuera del origen de la Parábola.

• Conocer la Ecuación General de la Parábola.

• Identificar cuando una ecuación cuadrática, representa una Parábola.

• Conocer la importancia práctica e histórica del estudio de la Parábola. Circunferencia.

Conocimiento Procedimental.

• Trazar una Parábola, utilizando elementos geométricos.

• Pasar de la Ecuación General de la Parábola, a la Ecuación Ordinaria de la misma, para identificar sus elementos principales y graficar.

• Identificar los problemas que se pueden resolver mediante ecuaciones de la Parábola.

• Resolver problemas de corte euclideano utilizando la Parábola.

Conocimiento Actitudinal.

• Tener confianza en sus propias capacidades, fomentando la autoestima.

• Curiosidad del alumno por el planteamiento y resolución de problemas que se resuelven utilizando Parábolas.

• Gusto por la sistematización y secuenciación de la resolución de un problema geométrico que involucre la Parábola.

• Disciplina y cumplimiento del trabajo en clase y de las tareas en casa.


187

5.2 DIAGRAMA ESTRUCTURAL

MATEMÁTICAS III.

UNIDAD 5. LA PARÁBOLA Y SU ECUACION CARTESIANA

Cónicas

La Parábola como lugar Geométrico

La Ecuación Cartesiana de la

Parábola.

Problemas diversos de corte Euclideano, que se resuelven con la Parábola.


188

5.3 NOTA HISTÓRICA. El hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las

denominaba así y experimentaba con tiros parabólicos. Recuerda las destrezas de

David frente a Goliat. Pero hasta que Galileo explicó las leyes que rigen los

movimientos no se ponen las bases de su conocimiento. Este conocimiento fue el que

permitió poner una nave, lanzada desde la Tierra, (planeta en movimiento), en órbita

con Marte, que no ha parado de moverse y el que permite predecir donde estará

mañana un objeto sabiendo donde está hoy.

Galileo estudió la caída de los cuerpos y basándose en su estudio experimental pudo

contradecir la creencia de los aristotélicos que afirmaban "que un cuerpo de 10 veces

más pesado que otro tardaba en caer 10 veces menos". Utilizó su pulso para medir el

tiempo de caída y también relojes de agua, que le proporcionaban poca precisión.

Calculó con diferentes experimentos que, despreciando la resistencia del aire, todos los

cuerpos caen en el vacío con aceleración g=9.8 m/s 2.

La parábola que describe un objeto lanzado al aire se puede estudiar como la

combinación de un movimiento uniforme rectilíneo horizontal a la altura de la salida y

otro vertical uniformemente acelerado.

Galileo calculó la expresión del alcance en función de la velocidad inicial y del ángulo

de lanzamiento, le produjo una especial satisfacción puesto que logró explicar lo que le

habían contado los artilleros respecto a que el alcance máximo se produce con un

ángulo de 45 º.


189

5.4 LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede

apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una

pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver

que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento,

podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función

que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la

pelota.

La parábola es una de las curvas cónicas más utilizadas en la tecnología actual.

Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar las señales de

televisión emitidas por un satélite. Con ella podemos ver emisoras de televisión de

todas partes del mundo. Del mismo modo, la parábola también se emplea para

fabricar los faros de los coches o algunas obras de arquitectura, como se aprecia

en la siguiente figura:

La ciudad norteamericana de San Luis, a orillas del Mississippi, da la bienvenida a

sus visitantes con un enorme arco en forma de parábola. Es el Gateway Arch, que

mide 192 metros de altura. Este impresionante monumento simboliza el papel de

San Luis como "puerta de entrada" al Oeste americano.


190

5.5 TRAZO DE UNA PARÁBOLA Hay muchas formas de trazar una parábola. El método del sastre es uno de los

más sencillos. Lo usan esos profesionales cuando quieren coser una tela en forma

de curva.

Se dibuja un ángulo cualquiera. Se marcan divisiones iguales en cada uno de los

dos lados, numeradas empezando en ambos casos por el vértice. Se unen los

puntos cuyos valores suma una constante, por ejemplo 11, (se puede hacer con

cualquier otro número). La envolvente de las rectas obtenidas es una parábola.

5.6 DEFINICION DE PARÁBOLA Y SUS ELEMENTOS

Se llama Parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de

un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

Dado P un punto cualquiera de la parábola, siendo F el foco y d, la recta directriz,

se cumple:

d (P, F)= d (P, d)

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de

parámetro de la parábola (suele denotarse por a ).

Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es

perpendicular a la directriz.

Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

Los anteriores elementos se ilustran en la siguiente figura.


191

La parábola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto P, de la

parábola con su foco, el ángulo que forman el radio focal con la tangente en ese

punto, es igual al ángulo que forma la tangente en ese punto con la recta paralela

al eje de la parábola.


192

Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la

emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja paralelo al eje y viceversa (una

emisión, de luz o sonido, paralela al eje de la parábola se concentra en el foco.

Los faros de los coches y las antenas parabólicas hacen uso de esta propiedad.

5.7 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE ( 0,0) Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma

distancia de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Aplicando

esta definición de la igualdad: d (P, F)= d (P, d)

Se obtienen las siguientes ecuaciones:

Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical con vértice en el origen y parámetro

0a ≻ 2 4x ay=

Elementos de la parábola.

1.- Vértice V(0,0)

2.- Foco F(0, a ) es decir, la distancia del vértice al foco es la distancia a .

3.- Lado recto (longitud del segmento AB)= 4a El lado recto es un segmento que

pasa por el foco y determina la “abertura” de la parábola, por lo que las coordenadas

de los puntos extremos son ( 2 , )A a a− , y (2 , )B a a

4.- Ecuación de la recta directriz y a= −

5.- Gráfica de la ecuación 2 8x y= , con vértice en el origen y parámetro 2a =


193

Si en la ecuación 2 4x ay= , el parámetro 0a≺ , entonces la gráfica será una

parábola vertical que abre hacia abajo y los distintos elementos que se

mencionaron simplemente se reflejan sobre el eje X.

Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal con vértice en el origen y parámetro

0a ≻ 2 4y ax=

Elementos de la parábola.

1.- Vértice V(0,0)

2.- Foco F( a ,0) es decir, la distancia del vértice al foco es la distancia a

3.- Lado recto (longitud del segmento AB)= 4a El lado recto es un segmento que

pasa por el foco y determina la “abertura” de la parábola, por lo que las coordenadas

de los puntos son ( , 2 )A a a , y ( , 2 )B a a−

4.- Ecuación de la recta directriz x a= −

5.- Gráfica de la ecuación 2 4y x= , donde el parámetro 1a =

Si en la ecuación 2 4y ax= el parámetro 0a≺ , entonces la gráfica será una

parábola horizontal que abre a la izquierda y los distintos elementos que se

mencionaron simplemente se reflejan sobre el eje Y.


194

5.8 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE (h,k )

Para obtener la Ecuación Ordinaria de la Parábola con Vértice (h,k), se realiza un

procedimiento de cambio de coordenadas, es decir, en la Ecuación Ordinaria

básica de la Parábola con Vértice en el origen, reemplazamos x y y por x-h y y-

k respectivamente, lo que significa cambiar el Vértice de la Parábola (0,0) por

(h,k). De esta manera se obtiene las siguientes Ecuaciones:

Ecuación ordinaria de la parábola vertical con V(h,k) 2( ) 4 ( )x h a y k− = −

Si 0a ≻ la parábola abre hacia arriba.

Si 0a≺ la parábola abre hacia abajo.

Ecuación ordinaria de la parábola horizontal con V(h,k) 2( ) 4 ( )y k a x h− = −

Si 0a ≻ la parábola abre hacia la derecha.

Si 0a≺ la parábola abre hacia la izquierda.

EJEMPLO 1

1. Determinar las coordenadas del foco, la longitud del lado recto la ecuación de la

recta directriz y graficar la parábola con la Ecuación General 24 32 0x y− = .

Solución:

Primero dividimos toda la ecuación entre cuatro y la rescribimos como 2 8x y= .

Comparándola con la ecuación ordinaria se observa que 4 8a = , por lo que el

parámetro 2a = , es decir, tenemos una parábola con vértice en el origen que debe

abrir hacia arriba, en consecuencia las coordenadas del foco serán (0, 2)F ,

claramente el lado recto es igual a ocho y la ecuación de la recta directriz es

2y = − .

En seguida mostramos la gráfica:


195

EJEMPLO 2.

Determinar la ecuación ordinaria, las coordenadas del foco, la longitud del lado

recto y trazar la gráfica de la parábola, si se sabe que su vértice es V(0,0) y la

ecuación de la recta directriz es 3x = .

Solución:

La ecuación de la directriz tiene la forma x a= − luego se deduce que a= 3− y

dado que el vértice es el origen tenemos una parábola horizontal que abre a la

izquierda y en consecuencia las coordenadas del foco son ( 3,0)F − y la ecuación

ordinaria es igual a 2 (4)( 3)y x= − , es decir, 2 12y x= − , el lado recto es igual a 12.

La gráfica es:


196

EJEMPLO 3.

Dada la ecuación ordinaria de la parábola 2( 2) 8( 3)x y− = + , determinar las

coordenadas del vértice, foco, longitud del lado recto, ecuación de la directriz y

ecuación general de la misma.

Solución:

De la forma ordinaria se deduce que las coordenadas del vértice son V(2,-3), así

también se deduce que 4 8a = , por lo que el parámetro 2a = , por ser positivo la

parábola es vertical y abre hacia arriba. Se sabe que el foco se localiza a una

distancia adel vértice, por lo que las coordenadas del foco son (2, 1)F − . La

longitud del lado recto es igual a 8. Para determinar la ecuación de la recta

directriz se sabe que ésta se localiza a una distancia a del vértice y dado que será

una recta horizontal se obtiene la ecuación 5y = − .

Para obtener la Ecuación General basta desarrollar e igualar a cero la ecuación

ordinaria, es decir, 2 4 4 8 24x x y− + = + finalmente se obtiene la Ecuación General

2 4 8 20 0x x y− − − =

La gráfica es la siguiente:


197

EJEMPLO 4. Dada la ecuación general de la parábola 2 6 12 27 0y y x+ + − = ,

determinar la ecuación ordinaria, las coordenadas del vértice, foco, ecuación de la

recta directriz, longitud del lado recto y graficar.

Solución:

Primero ordenamos la ecuación general de la siguiente manera: 2 6 12 27y y x+ = − +

Completando el trinomio cuadrado perfecto, se tiene, 2 6 9 12 27 9y y x+ + = − + +

Factorizando obtenemos la ecuación ordinaria

2( 3) 12( 3)y x+ = − −

Observando esta ecuación se tiene una parábola horizontal con vértice V(3,-3),

parámetro 3a = − , por lo que la parábola debe abrir a la izquierda, con lado recto

igual a 12, y dado que el foco se encuentra a tres unidades del vértice F(0,-3). La

ecuación de la recta directriz, por encontrarse a tres unidades del vértice en

sentido opuesto tiene ecuación 6x = .

La gráfica es la siguiente:


198

EJEMPLO 5.

Trazar la grafica de: 2( 1) 4( 2)y x− = −

Solución:

En este caso tenemos una parábola horizontal, con parámetro 1a = , V(2,1), F(3,1)

y la Ecuación de la recta directriz es x =-1

5.9 EJERCICIOS PROPUESTOS CON SOLUCIÓN

En los problemas del 1 al 13 se consideran parábolas con vértice en el origen, es

decir, V (0,0). En los problemas del 1 al 7 determinar la ecuación de la parábola

que satisface la condición dada y trazar la gráfica.

1. Foco (4,0)

2. Foco (-3,0)

3. Directriz x – 6 = 0

4. La longitud del lado recto es 12 y abre hacia abajo.

5. Abre hacia la izquierda y pasa por el punto P (-1,1)

6. Abre hacia la derecha y la longitud del lado recto es 12.

7. Los extremos del lado recto son los puntos A (-3,6) y B (-3,-6)

8. Determinar las coordenadas del foco, el lado recto y trazar la gráfica de la

parábola con la ecuación 23 24 0x y− = .


199


parábola con la ecuación 24 48 0y x+ = .


parábola con la ecuación 2 10 0x y+ = .

11. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con parámetro 3.5a = − que

tiene la siguiente gráfica:

12. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con parámetro 5a = que


13. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con parámetro 1a = − que



200

En los problemas del 14 al 17, calcular la ecuación ordinaria de la parábola que

satisface las condiciones dadas.

14. V (2,0) , F (2,2)

15. V (-3,1) , F (1,1)

16. Los extremos del lado recto son A (3,1) y B (3,5) y abre hacia la derecha.

17. V (-1,-2), el lado recto = 12 y abre hacia abajo.

En los problemas 18 y 19, dada la ecuación general de la parábola, hallar las

coordenadas del vértice y del foco.

18. 2 12 6 45 0y x y+ − + =

19. 2 12 16 60 0x x y− + − =

20. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con parámetro 1a = − que



201

5.10 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. 2 16y x=

2. 2 12y x= −

3. 2 36y x= −

4. 2 12x y= −

5. 2y x= −

6. 2 12y x=

7. 2 12y x= −

8. 1

,03

F

, lado recto = 8, la gráfica es la siguiente:

9. ( )3,0F − , lado recto = 12, la gráfica es:


202

10. ( )0, 2.5F − , lado recto = 10, la gráfica es:

11. 2 14x y= −

12. 2 20y x=

13. 2 4x y= −

14. 2( 2) 8x y− =

15. 2( 1) 16( 3)y x− = +

16. 2( 3) 4( 2)y x− = −

17. 2( 1) 12( 2)x y+ = − +

18. V (-3,3) F (-6,3)

19. V (6,6) F (6,2)

20. 2( 1) 4( 1)x y− = − −

5.11 EJERCICIOS DIVERSOS DE PARÁBOLA

Hallar todos los elementos de las parábolas que se indican y graficar:

1. Hallar todos los elementos de las parábolas que se indican y graficar:

a) y2=8x b) 3x2-20y=0 c) y2-24x=0 d) x2+6y=0 e)V=(0,0) F= (0,2)

f) V=(0,0) directriz x+2

3=0 g) V=(0,0) F=(0,-5) h) V=(0,0) directriz y=-2

i) F=(-3,-2) V=(-3,-5) j) V=(3, 5

3) directriz y=-2 k) V=(-4,-1) F=(-4,-3)


203

l) 4x2+16x-3y+28=0 m) y2-24x+10y+49=0 n) x2-y+7=0

ñ) 2x2+20x+4y+58=0 o) y2-8x-8y+64=0 p) 12x2-72x+y+78=0

q) Los extremos del lado recto son (3,1) y (3,5) y abre a la derecha.

r) V=(-1,-2) lr=12 y abre hacia abajo.

s) V=(3,-2) y los extremos del lado recto son (-2, 1

2) y (8,

1

2)

t) Extremos del lado recto (-2,-7) y (6,-7) y abre hacia arriba.

u) Es horizontal y pasa por R=(6,12) S=(2

3,8) T=(

1

6,5)

Indicación:

Sustituir cada punto en la ecuación general 2 0y Cx Dy E+ + + =

Se formará un sistema de tres ecuaciones, con las tres incógnitas

?, ?, ?C D E= = =

Enseguida resolver el sistema de ecuaciones, con los métodos estudiados en la

unidad 1 del presente curso, y una vez que se tenga la ecuación general,

transformar ésta a la ecuación ordinaria completando el TCP, como en el ejemplo

4, después obtener la ecuación ordinaria, deducir el vértice, el parámetro, el resto

de los elementos y graficar.

v) Es vertical y pasa por R=(0, 7

4

−) S=(

5

2,2) T=(-

1

2,2)

w) Es vertical y pasa por R=(-1,4) S=(3,-38) T=(-4,4)

x) Es horizontal y pasa por R=(3

4,9) S=(-

5

4,1) T=(0,11)

2. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la

circunferencia x2+y2-2x+2y=0 y la directriz es x=2.

3. Encuentra la ecuación de la parábola vertical que abre hacia abajo cuyo vértice

es el centro de la circunferencia x2+y2-14y+40=0.

4. Encuentra los puntos donde se cruzan la parábola y2-x=0 y la circunferencia

x2+y2-2x=0.


204

5. Encuentra la intersección de la recta y la parábola:

a) 6x-y-2=0, x2+4x-y-5=0

b) x-6y-15=0, y2-x+9y-25=0

c) 4x-7y+38=0, y2-2x-4=0

d) x+2y+14=0, y2+x+16y+63=0

6. Aplicaciones

a) Un telescopio reflector tiene un espejo parabólico que mide 20 pies de un lado a

otro en la parte de arriba y 4 pies de profundidad.

¿Dónde debe colocarse la lente (posición del foco)?

b) Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan

en puente colgante cuando el claro es de 150m y la depresión de 20m.

7. Dibuja la región que se encuentra fuera de la parábola y2-2x-6y+5=0 y dentro

de la parábola 3y2+4x-30y+67=0

8. Determinar la ecuación ordinaria, vértice, foco, gráfica y lado recto de la

parábola con ecuación general 2 10 20 25 0x x y+ + + = .

9. Dada la siguiente gráfica, si se sabe que el parámetro 3a = , determinar la

ecuación general de la parábola.


205

5.12 PROPUESTA DE EVALUACIÓN

EXAMEN DE LA UNIDAD 5

LA PARÁBOLA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA

1. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y foco en

(0,5), Graficar.

2. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen con

extremos del lado recto ( 4,8)A − y, ( 4, 8)B − − , Graficar.

3. Graficar la parábola con ecuación ordinaria 2 12x y= − , indicando las

coordenadas del vértice y foco.

4. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola con foco en (-5,0) y directriz 5 0x− =

y graficar.

5. Dada la siguiente gráfica, si se sabe que el parámetro 2a = − , determinar la

ecuación ordinaria de la parábola.

6. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en (2,3) y foco en

(7,3) Graficar.

7. Graficar la parábola con ecuación 2( 3) 8( 2)y x− = + , indicando las coordenadas

del vértice, del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la recta directriz.


206

8. Determinar la ecuación ordinaria, vértice, foco, gráfica y lado recto de la

parábola con ecuación general 2 10 20 25 0x x y+ + + = .

9. Dada la siguiente gráfica, si se sabe que el parámetro 3a = , determinar la

ecuación ordinaria de la parábola.

10. Hallar la ecuación general de la parábola horizontal que pasa por los puntos

R(1,1), S(1,-3) y T(-2,0)

Indicación: sustituya cada uno de los puntos en la ecuación general: 2 0y Bx Cy D+ + + =

Al sustituir cada punto se genera una ecuación que contiene las incógnitas B, C, D,

por lo que se forma un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, mismo que

se puede resolver por los métodos estudiados en la unidad 1 del presente curso,

de esta manera se obtiene la ecuación general pedida.


207

5.13 GLOSARIO

Parábola. Se llama Parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

Dado P un punto cualquiera de la parábola, siendo F el foco y d, la recta directriz,

se cumple: d (P, F)= d (P, d)

Parámetro de la Parábola. Es la distancia entre el foco y la directriz de una

parábola, también es la distancia entre el Vértice y el Foco de la parábola.

Eje de la Parábola. Dada una parábola, se llama eje de la misma a la recta que

contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

Vértice de la Parábola. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta

a su eje.

Foco de la Parábola. Es un punto sobre el eje de la Parábola, que biseca

perpendicularmente el lado recto de la misma.

Lado recto de la Parábola. Es un segmento de longitud 4( )parámetro , que es

bisecado por el foco. Determina la “abertura” de la parábola.

Ecuación de la Parábola. Ec. Ordinaria de la parábola vertical: )(4)( 2 kyphx −=−

Ec. General de la Parábola vertical: 2 0x Cx Dy E+ + + =

Ec. Ordinaria de la parábola horizontal: )(4)( 2 hxpky −=−

Ec. General de la Parábola horizontal: 2 0y Cx Dy E+ + + =

5.14 BIBLIOGRAFÍA

1. Oteyza, Lam. Geometría Analítica y Trigonometría. Ed. Pearson . México, 2001.

2. Ruiz Basto. Geometría Analítica. Publicaciones Cultural. México, 2002.

3. Fuenlabrada, Samuel. Geometría Analítica Ed. Mc. Graw Hill. México, 2000.

4. Cuevas,Mejia .Geometría Analítica Dinámica Ed. Oxford. México 2005.

5. Hernández, Landa,et.al. Lecciones de Matemáticas 3, CCH-NAUCALPAN,

2004.

matemÁticas iii unidad 5 la parÁbola y su ......5.8 ecuación ordinaria de la parábola con v(h,k)...

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