ecuacion de 2do grado

Facultad de Ciencias

e

Ingeniería

E.A.P. de Ingeniería: Sistemas y Electrónica

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MATEMÁTICA BASICA 2016 I

Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email - [email protected]

1 | P á g i n a

TEMA: Ecuación Cuadrática SEMANA:

TURNO: NOCHE AULA: 504 B FECHA:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones de segundo grado deben

tener una x elevada al cuadrado.

Es de la forma 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 𝐬𝐢 𝐚 ≠ 𝟎

Coeficientes: a, b y c

Fórmula para resolver:

Discriminante

01. Resolver: 2𝑥2 + 4𝑥 − 6 = 0

Como el discriminante es mayor que cero

tiene dos soluciones distintas

Escribimos el valor de los coeficientes y

a, b y c y aplicamos la fórmula.

𝑎 = 2, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = −6

02. Resolver: 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

El discriminante es igual a cero por lo

tanto tiene una solución doble.

𝑎 = 1, 𝑏 = 2 𝑦 𝑐 = 1

Recuerda:

03. Resolver: 2𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

Como el discriminante es menor que

cero, no tiene solución real.

𝑎 = 2, 𝑏 = 2 𝑦 𝑐 = 1

Ecuaciones de segundo grado

incompletas

Casos

1. 𝑠𝑖 𝑐 = 0

Se resuelven sacando factor común.

𝑥2 − 4𝑥 = 0

2. 𝑠𝑖 𝑏 = 0

Pasamos c al otro lado y raíz cuadrada.

𝑥2 − 16 = 0


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Ecuaciones de segundo grado incompletas:

De la forma ax2 + c = 0, con a 0, tiene por soluciones:

a

c;

a

c21 xx

De la forma ax2 + bx = 0, con a 0, tiene por soluciones:

a

b;0 21 xx

Ecuaciones de segundo grado completas:

Tienen la forma ax2 + bx + c = 0, y sus soluciones son:

a·2

c·a·4bb 2 x

3. 𝑠𝑖 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = 0

La solución

Propiedades de las soluciones de una

ecuación de segundo grado

Suma de soluciones:

Producto de las soluciones:

Ecuación de segundo grado completa:

Ejemplo

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x2 – 75 = 0 b) 4x2 + 100 = 0 c) 4x2 – 24x = 0 d) 2x2 + x – 6 = 0 e) 3x2 – 12x + 9 = 0

f) 4x2 – 40x + 100 = 0 g) 2x2 + 12x + 16 = 0

Ejercicios

Determina las raíces de las siguientes ecuaciones

cuadráticas:

0110

)32(2

5

)1(7)

30

)2(3

6

32

5

)2(5)

2

52

3

12

4

)21(3)

25

34

4

142

2

)3(5)

4

241

2

)2(3

5

12)

4

)7(2

2

3

7

)2(2

6

)1(3)

xxf

xxxe

xxxd

xxxx

xc

xxxb

xxxxa

xxxx

k

xxxk

xx

xj

xxxxi

xxx

xh

xx

xxg

3

32

2

)4(

6

)3(5)

3

)1(4

15

)23(2

3

1

4

43)

2

25

5

1

5

)42(4)

)12(3

2)3(

2

1)54(

9

5)

10

)1(3

5

)23(22

4

32)

6

21

3

)13(2

4

25)

xxx

m

xxl

9

)4(2

2

2

3

4)

35

23

2

53

3

2)

2.- Calcular un número sabiendo que el doble y el

triple de dicho número suman 60.

3.- Si a un número le restas 12 se reduce a su

tercera parte. Calcularlo.


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4.- Calcular un número cuya tercera parte, sumada

con su quinta parte nos de 64.

5.- La suma de tres números consecutivos es 48.

Calcularlos.

6.- Calcular un número cuya mitad es 20 unidades

menor que su triple.

7.- Si al dinero que tengo ahora le añadiera su

cuarta parte además 5 euros, tendría 60 euros.

Calcular el dinero que tengo.

8.- La suma del doble de la edad de Luis más 4 años

es igual a 32. Calcular la edad de Luis.,

9.- Una madre tiene 40 años y su hijo 10. Calcular

cuántos años deben transcurrir para que la edad

de la madre sea el triple de la del hijo.

10.- Andrea tiene 16 años, su hermano Paco 14, y

su padre 40 años. Calcular cuántos años han de

pasar para que la edad del padre sea la suma de

las edades de los hijos.

11.- Un hijo tiene 24 años menos que su padre y

éste tiene cinco veces la edad del hijo. Calcular la

edad que tiene cada uno.

12.- Un hijo tiene 25 años menos que su padre.

Dentro de diez años, la edad del padre será el

doble que la del hijo. Calcular la edad de cada uno.

14.- Ana tiene el triple de la edad de María. Dentro de

5 años Ana solo tendrá el doble de la edad de María.

Calcular las edades de cada una.

15.- Sebastián tiene hoy 13 años menos que Manuel.

Dentro de 4 años, Sebastián tendrá el triple de la edad

de Manuel. Calcular las edades de Sebastián y Manuel.

16.- Calcular las dimensiones de un rectángulo

sabiendo que su base es cuatro veces su altura y que su

perímetro es 120 metros.

17.- En un almacén hay dos veces más microondas que

televisores y cinco veces más lavadoras que

microondas. Si en total hay 169 electrodomésticos,

hallar cuántos hay de cada clase.

18.- En una granja hay pollos, ovejas y cerdos. El

número de pollos es doble que el de ovejas y el de

cerdos es el triple de la suma de los pollos y ovejas más

80. Calcular el número de animales de cada clase si el

número total es 1148.

19.- Una abuela reparte 10 euros entre sus tres nietos,

de manera que el mediano recibe 1 euro más que el

pequeño, y el mayor 2 euros más que el mediano.

Calcular cuánto recibe cada nieto.

20.- En un bosque del Parque Nacional de Doñana hay

tres veces más pinos que alcornoques, y el doble de

éstos que enebros. También hay 90 sabinas. En total, el

bosque tiene 639 árboles y arbusto. Calcular cuántos

hay de cada especie.

21.- Tres socios han de repartirse 1500000 euros.

Calcular lo que le corresponde a cada uno si al primero

ha de tener dos veces más que el segundo, y éste tres

veces más que el tercero.

22.- Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés

ha pagado 26 euros. El videojuego es cinco veces más

caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado.

¿Cuál es el precio de cada artículo?

23.- Tres niños juntan su dinero y comprueban que

tienen 4 euros entre los tres. Calcular cuánto tenía cada

uno sabiendo que el primero aporta 0,25 euros más

que el segundo y éste el doble que el tercero.

24.- un barril lleno de agua se saca primer la mitad del

contenido y después un quinto del resto. Si en el barril

quedan 300 litro, ¿cuál es la capacidad del barril?

25.-Ana pasó dos quintos de los días que estuvo de

vacaciones en la montaña. Los cinco sextos de los que

le quedaban los pasó en el mar y los últimos 6 días

restantes, en casa preparando la vuelta al colegio.

Calcular cuántos días ha estado de vacaciones Ana.


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26- Un depósito está lleno de vino. Se extrae la mitad

del contenido y luego la tercera parte del resto,

quedando 1100 litros. Hallar la capacidad total del

depósito.

27- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo

grado incompletas:

a) x2-1=0 b) x2-4=0 c) x2-9=0

d) x2+4=0 e) 2x2-50=0 f) 3x2-12=0

g) 5x2-45=0 h) x2+1=0 i) 3x2-75=0

j) –x2+16=0 k) –x2+25=0 l) 5x2-80=0

m) 4x2-1=0 n) 25x2-4=0 ñ) 9x2-16=0

o) 36x2-16=0

28.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo

grado incompletas:

a) x2+x=0 b) x2-5x=0 c) x2+8x=0

d) x2-3x=0 e) 2x2-3x=0 f) 5x2-10x=0

g) 3x2+7x=0 h) 2x2+8x=0 i) –3x2-6x=0

j) –4x2+5x=0 k) –x2+3x=0 l) –5x2-10x=0


grado incompletas:

a) 3x2=0 b)5x2=0 c)-2x2=0 d)6x2=0


grado incompletas:

a) 3x2-5x=0 b) 3x2-27=0 c) x2=0

d) 2x2-4x=0 e) 2x2-8=0 f) 5x2+5x=0

g) 5x2-5=0 h) x2-x=0 i) x2-1=0

j) –x2-4x=0 k) x2 +1=0 l) –3x2+3=0

m) –x2-4=0 n) –3x2-12x=0 ñ) –5x2=0

o) x2+9=0


grado, aplicando la fórmula

a

acbbxpor

dadasvienensolucionessuscbxaxSi

2

4

,0

2

2

a) x2-2x-3=0 b) x2-2x-8=0 c) x2+9x+14=0

d) x2-6x+9=0 e) x2+4x+5=0 f) x2+8x+16=0

g) x2+x+3=0 h) 2x2-3x-5=0 i) x2+x-6=0

j) x2-x-12=0 k) x2-x-20=0 l) x2+5x-14=0

m) 2x2-3x-2=0 n) 3x2+2x-1=0 ñ) 5x2-7x-6=0

o) 2x2+x-15=0 p) x2-2x=0 q) 3x2-3=0

r) 5x2-20=0 s) x2+4x=0 t) 2x(x-3)+1=x-2

u) (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) − 𝑥 + 5 = 2𝑥 − 1

𝑣) 𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 2𝑥 + 12

𝑤) 2 − 𝑥(𝑥 + 3) + 2𝑥 = 2(𝑥 + 1)

Actividad de Cierre:

Las ecuaciones de segundo grado no solamente son

utilizadas en las matemáticas, también pueden ser

utilizadas en física para resolver problemas de

cinemática.

Por ejemplo: un proyectil parte con una velocidad

inicial (vi) de 20 m/s, luego de cierto tiempo (t), ha

recorrido una distancia (d) de 150 m con una

aceleración (a) de 2 m/s2.

En grupos de 2 ó 3 compañeros, y con la ayuda de la

calculadora científica instalada en sus equipos

portátiles, realicen las siguientes actividades:

1) Calculen cuál será el tiempo (t) empleado por el

proyectil, para recorrer esa distancia (d). Para ello,

utilicen la siguiente fórmula:


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2) Calculen cuál sería el tiempo (t) empleado por el

proyectil, si la distancia (d) recorrida fuera:

a) d = 100 metros

b) d = 10 metros

Enlace web

http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm



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