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ECONOMETRÍA I Operaciones con vectores y matrices

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ECONOMETRÍA I

OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES

Ana Morata Gasca


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DEFINICIÓN DE VECTOR

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio.

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR

Origen o Punto de aplicación: Punto sobre el que actúa el vector.

Módulo: Longitud o tamaño del vector.

Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,

indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE UN VECTOR

Donde: , y

Ejemplo 1:

EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN VECTOR


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OPERACIONES CON VECTORES

Suma y Diferencia:

Sean dos vectores a y b:

Ordenando por componentes:

En notación matricial:

Ejemplo 2: Calcula la suma y diferencia de los siguientes vectores:


4

Producto por un escalar

Ejemplo3:

Combinación lineal de vectores

Ejemplo 4:

Producto de vectores

Ejemplo 5:


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DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es un conjunto de elementos ordenado en una estructura de filas y

columnas.

Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

CARACTERÍSTICAS DE UNA MATRIZ

Elementos: Los elementos de una matriz pueden ser objetos matemáticos de

diferentes tipos. Se trabajará con números reales. Los elementos de una matriz se

identifican por la fila (i) y la columna (j) que ocupan y se designan por aij. Así, el

elemento a32 estará situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.

Dimensión: El número de filas (m) y columnas (n) que tiene una matriz se denomina dimensión de la matriz. La dimensión es m x n.

Si m=n se dice que A es una matriz cuadrada.

Si m ≠n se dice que A es rectangular.


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OPERACIONES CON MATRICES

Suma de matrices y producto por un escalar

Dadas dos matrices y , del mismo tamaño m x n y formadas por un

cuerpo cualquiera, se llama suma A + B a la matriz , de dimensión

m x n; es decir:

+

Se llama producto σA (σ escalar) a la matriz , de tamaño m x n; es decir:

Ejemplo6: Calcular A+B siendo:

y

Ejemplo 7: Calcular siendo:


7

Propiedades

Para cualesquiera que sean las matrices A, B y C, del mismo tamaño m x n, y para

cualesquiera escalares σ y ρ, se verifica:

1) a)

2) b)

3) c)

4) d)

Notas:

es la matriz nula, de tamaño m x n, y es aquella cuyos elementos son todos

iguales al escalar nulo.

es la matriz opuesta de , y es aquella de tamaño m x

n, cuyos elementos son escalares opuestos de los respectivos elementos de .


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Producto de matrices

Dadas dos matrices de tamaño m x p y de tamaño p x n (B tiene el

mismo número de filas p, que de columnas tiene A), se llama producto AB o , de

A por B, a la matriz , de dimensión m x n; cuyo elemento del lugar (ij) es:

Para dos matrices A y B matriz de dimensión 2 x 2 el producto AB es:

Ejemplo 8: Calcular AB siendo:

y

=

Casos particulares

Si A es una matriz fila (1 x p) y B es cualquiera (p x n), entonces:

=

Donde (i=1,2, …,n)

Ejemplo 8: Calcular cA siendo:


9

Si A es cualquier matriz (m x p) y B es matriz columna (p x 1) entonces:

Donde (i=1,2, …,m)

Ejemplo 9: Calcular Ac siendo:

Si A es una matriz fila (1 x p) y B es matriz columna (p x 1) entonces:

Donde

Ejemplo 10: Calcular ab siendo:

=14+10+24=48


10

Propiedades

1) Asociativa

2) Distributiva

2b) Distributiva

3) e donde

es la matriz identidad.

4) (en general) No es conmutativo.

5) Puede ser sin que o cuando esto ocurra se dirá que A y B son

divisores de cero.


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Traspuesta de una matriz

Dada una matriz de tamaño m x n, se llama traspuesta de A a la matriz , de

tamaño n x m, que tiene por elemento de lugar (ij) al elemento de lugar (ji) de A, para

i=1, 2, …, n y j= 1, 2, …, m. La correspondencia se llama trasposición de

matrices.

Ejemplo 11: Calcular la matriz traspuesta de la matriz A, siendo

Propiedades

1) (la trasposición es involutiva)

2) (A y B del mismo tamaño)

3) (σ cualquier escalar)

4) (A de tamaño m x p; B de tamaño p x m)

Si A es una matriz cuadrada:

entonces A es simétrica.

entonces A es antisimétrica.


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Matrices invertibles

Una matriz cuadrada de tamaño n x n, se dice que es invertible si existe otra matriz,

de igual tamaño, que se llama matriz inversa de A y se denotará por , tal que:

Calculo de la inversa de una matriz a partir de la matriz de adjuntos:

Sea una matriz cuadrada

de dimensión 2 x 2:

Para una matriz A de orden superior:

Donde:

es el determinante de A.

es la matriz de adjuntos de la matriz traspuesta de A.

LOS SIGUIENTES EJEMPLOS SE RESOLVERÁN EN PIZARRA

Ejemplo 12: Sea una matriz cuadrada

calcular la matriz inversa.

Resultado:


13

Ejemplo 13: Sea una matriz cuadrada

calcular la matriz inversa.

Resultado:

Propiedades

1) La inversa de una matriz, si existe, es única.

2)

3) entonces es una matriz invertible.

4) donde k es un número entero positivo entonces es una matriz

invertible.

5)

6)


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EJERCICIOS

1. Dadas las matrices

,

y

, se pide calcular

cuando sea posible:

a) A+B

b) AC

c) CB y

d)

e) ABC

f)

g) , ,

2. Dadas las matrices

y

se pide calcular cuando

sea posible:

a) AB y BA Comentar el resultado.

b) y Comentar el resultado.

c) y Comentar el resultado.

3. Dadas las siguientes matrices, calcular su matriz inversa:

a)

b)

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