echave, delia teresa - lógica, proposición y norma
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DELIA TERESA ECtlA v 1:.,
MARtA EUGENIA URQUIJO RICAHDO A. GUIBOURG
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. Lógica, . . """ p.ropOSlClon
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DI-: ALfHEJ>O y HICAHOO DEi'ALMA
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FILOS()FIA y [)EHECI-IO
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PRÓLOGO
La lógica ocupa una posici6n muy peculiar dentro del IXinorama de las ciendas. Mientras que las demás ciencias se formaron paulati~arnente a través de una larga e incesante evolución y son, por 10 tanto, fruto -QCl esfuerzo colectivo de muchos hombres. la ló~ica nació como obra de un solo hombre. Al igual que don Fulgencio, nunca tuvo infancia; como Palas Atenea de la cab.cza de Zeus, nació tan desarrollada y perfecta (tal fue nI menos la creencia generalizada) de la cabeza de Aristóteles, que durante veintidós siglos casi no experimentó crecimiento alguno. a pesar de haber sido inten·
. samcIIte cultivada en la Antigiiedad, en la Edad Medi:l y también -aunque con menor intcnsidad- ~n la Edad ~lo·
derna. Hubo cicrtament~ desarrollos interesantes (especialmente por parte de los lógicos antiguos y mediocvales), pero el núcleo de la teoría aristotélica permaneció incólhrr.,! hasta muy avanzado el siglo XJX. En est~ sentido es mur :característica la conocida opini6;1 de Kant de que la 16gica es una. ciencia perfecta, acabada, en la que no cabe esperar avance
alguno. Hoy estas palabras suenan como una cruel ironía; pocos
años después de h~berse escrito, la lógica experimentó un avance tan rApido y profundo que aún hoy hay gente que se niega a recouoc'er que se trata de la misma disciplina..
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En efecto. en la segunda mitad d(·1 siglo XJX y en lo que va ("! este siglo, el desarrollo uc la lógica f uc tremendo; es CdlllO si las energías acumuladas durante más de dos Inil
ailps estallaran de pronto en ulIa cdosióu mra V~'z vista en li historia de la d~ncia.
Este TApidn desarrollo de la lógica tuvo su Jado ncg~tivo: 110 hubo tiempo para su difusión entre Jos no esp,,-cialistas y, en cons(~c\lencia. la' lógica 110 ha sido c..1('bilbmellte asimilada por la cul! ura geIlcral de nue~;t fa épo~a. Existen bihliotecas enteras de libros y artículos alt1r~eJltc especializados. ('scritos en un lengu:ijc que parece c.lda vez más esotérico, que (ksarrolbn técnicas cadu vez m~s sutiles y refinadas. Pero este alto desarrollo técrtico no fue ncompañado en grado suficiente por las obras de divulgación, de lrrodo que la lógica se ha convertido en algo totalmente inacccsihle para Jos no especialistas y el p{d}!ico culto en general tiene de <lJla uúa idea muy vaga.
Entendámonos bien; el alto desarrollo técnico de una ciencia do es por cierto un defecto: tampoco son accesibles al público general los lihros de matemática superior o de física cllúntiC::l. Pero todo el mundo sabe algo de matenlática y
~ahc algo de física, mientras --salvo raras exccpciones- no ::abe na'da de lógica moderna. Los libros de lógica. no formall l);lrte d(~ nlH'stro acervo cultural y, fuera de los iniciados, lladic se siente obligado a {,Jllerarst.~ de qué se trat<l.
Este hecho es, sin duda, profundamente lamentahle, l'orcpw el objeto de la lógica no es algo alejado de la vida l'utidiana, como las galaxias, los dinosaurios o el sánscrito.
La lógica estudia algo que hacemos diariamente:. razonar. y la dbtinción entre un razonamiento correcto y otro in~ , correcto interesa por igual al matl'lIlát ico, al político, nI a bogado y al eco,llornista.
CaLe aquí una advertencia.: aunque la lógica moderna haya naciuo en el seno de b mutcrnntica. como respuesta a
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f'R6LOGO
la neccsidad Je elaborar reglas capaces de justificar los razonamientos de los matemáticos (tarea que estaba ITlás allá del n lcance de la l6gica aristotélica), no se confunde con la matemÁtica, ni con ninguna otra ciencia, si bien tiene aplicación en todas "cllas.
Nos encontramos aquí con la segunda caractcrÍstibl peculiar de la lógica que la distingue de otra.s ciencias: su voeaci6n universal. La l6gica no es una ciencia más al lado de otras, como la química, la geología o la lingüística. Corno la matemática, que es usada por igual por los ingenie .. ros, los comerciantes" y los colectiveros, pero en grado aún n1ayor que la matemática, la 16gica es una ci~nda auxiliar de enonne valor para todas las demás ciencias y tarnbién para muchas actividades no científicas. Más aún, la lógica tuvo y sigue tenient4> en la filosofía una influencia que' no puede parangonarse" con In de ninguna otra ciencia.
En los últimos nños se ha despertado el interés de los lógicos hacia los conceptos relacionados con la conducta humana, entre los cuales los conceptos nornlativos (tales como obligación, pro!úbici6n, permisión, etc.) desempeñan un papel preponderante. La l6gica de normas o 16gica deóntica (lUC estudia las inferencia"s basadas en las relaciones lógicas entre esos conceptos es, por lo tanto. una disciplina n1uy joven. Aunque haya importantes antecedentes, desde Aristóteles hasta Leibniz y Bentham, su estudio sistemático comienza en 1951, a partir de la publicación del famoso ensayo de C. H. vonWright, Deolltic Logíc. Desde esa fecha hasta nuestros días han aparecido nurnerosos artículos y libros, y cabe decir que la lógica deóntica es una de las "rarnas más intensamente cultivadas por los lógicos de hoy.
Lo que hemos dicho acerca dt la lógica rnoderna en general vule aÚJl en mayor n1edida para la lógica de nonnas. A pesar de la gran importancia de esa disciplina para todas
" las ciencias sociales y muy en especial para la ciencia del derecho, el aprovechamiento de los adelantos logrades se ha
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hecho .nuy dificil por la falta de textos accesibles para los juristas, los sociólogos o los cultores de la ciencia política. Los pocos libros introductorios existentes en castellano (por
ejemplo, de lógic, jUrÍdica) presuponen ya conocimientos de lógica general que por 10 común no se dan; los otros. son demasiado especializados y, por ende, inabordables para tos legos.
E·' libro que prologamos se propone llenar esta laguna; el propósito de sus uuloréS e:; mucho m~s ambicioso de lo que podría parecer a primera vista: (;s nada menos que proporcionar al lector no especializado una guta dara y accesible, capaz de conducirlo dentro de) intrincado campo de la 16gica moderna en general y de la ·lógica dc6ntica en particular, hacia el conocimiento de algunos de sus problemas, sus métodos y sus técnicas.
Un rasgo muy importante del prescnte lC)ro es. su autosuficiencia: no se presupone ningún conocimiento previo de lógica en el lector. En segundo lugar, es un libro extraordinariamente daro; aunque trata temns altamente abstractos y, por ende, difíci1es, es perfectan1.cnte comprensible para cualquier lector. Siguiendo el aforismo de Wittgenstein, todo lo que el libro dice lo dice dar!lmcnte y en ningún Inomento pretende remover las aguas para parecer pro.fllndo.
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En tcrccr lugar -y se trata de una característica nada desde-ñable, sobre todo desde el punto de vista pedagógico- el libro está escrito con un scntido del humor que rara vez se encuentra en este tipo de literutum. Pero el lector no debe cngailursc: el libro es de fácil y amena lectlJra, pero no de fá.cil asimilación; detrás de la aparente senciJJez hay complicados problcmas; detrás de los chistes hay observaciones muy profundas.
El capitulo 1, 1 ntroducclón, contiene una serie de consideraciones sobre 1a lógica y su utilidad práctica. Los capítulos JI a V tratan la pRr~e má.s elemental y a la vez básica de la lógica moderna: la llamada lógica proposicional.
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En el capítulo VI se esbozan los principales conceptos de la lógica modal, de la que se desprendi6 la 16gírn dc6ntica. Esta última es desarrollada en los capítulos VII y VIII. Pur último. en el capítulo IX se analizan algunos problemas tradicionales oc la filosofía. jurídica y se muestra de qu6 rn~ncra el aporte de la lógica puede contribuir a cbJi~ Cicar () replantear estos pro~lemas.
El libro puede leerse Je dos maneras: por un l~do es una excelente y autosuficiente introducción a la i6gica dcóntica; por el otro, sirve para fúnliliarízar al Icc_'Jr con la parte más elclnental y básica de la lógica lTIoderna. Es de esperar que este libro resulte de especial interés para los juristas y para los estudiantes de derecho, pero tanlbién será de utilidad para los estudiosos de otras ciencias sociales, en la medida en que todas ellas tienen que ver con las normas.
Respecto' de los autores del libro, poco pooen10s decir. En primer lugar, porque nos comprenden las genernles de la ley: nos une una larga amistad. forjada a través de muchos años de cmpeilo común de enseñar y aprender. En segundo lugnr, pon]ue su mejor elogio se halla en cltcxto mismo. Nada hay mús difícil que la presentación fácil de un tema difícil. El h~ber1o logrado con un asunto tan abstr~d() y aparentemente árido como la 16gica es toda una h:tzaña.
CJJtLOS E. ALCHOURnÓN - EUCENIO BULYCIN
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lNDIC:E GENERAL
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INTHODUCCIÓN
1. ¿Lógica? Sí, lógica ......................... 19 2. Lógica y bl(><}uco mcnlnl, o el valor de la sonrisa. 23 3. D'e qué se trata, () a. qué vanlOS a jugar ......... . 26 4. Bueno, pero ¿por qué a n1í? .................. 29
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DE l.A PROPOSICIÓN A LA ¡'"'ÓRMULA
1. Concepto de proposici6n ..................... 35 i. Variables. conectivas y signos auxiliares.' Sinlbo-
logía y notaci6n .........................•... 38
3. Concepto de fórrnula proposicional ............ 43 4. Fórmulas ~t6micas' y fórmulas moleculares ..... 45
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III
LAS CONECTrv AS
l. Casos IXJsibles ......... ,.... . ............. . 2. N egaci6n .... , ....... ",., .. , ...... , ........ . rl. C'"' . '6 v ,O/i J\1 nCI 11 .•• , ..•..•....•..•.....•.•••••••••
4. Disyunciól1 ... , .. , .......................... . 5. Condicional ..................... , ........... . 8. Bicondicional
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T A UTOLOGl A, CONTRAI!ICCIÓN y CONTINGENCIA: LA IMPLICACIÓN FORMAL
l. Tautología ................ , ................. . 67 70 71 73 78
2. Contradicción ............... , .......... , ...... . 3. 4. 5.
C · . ..onl1 ngenclu ........... , ............ , ....... . Implicación forrnal .......................... . y" • 1 . 1.\C} u 1 Vá cnCIU •.••.....•••••.•..... 7 •••••••••••
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LEYES LóGICAS Y REGLAS DE INFERENCIA
l. "Dura lcx, sed lex'" ......................... . 81 2. U na cosa es una cosa. y otra cosa es otra cosa· . . . 83
u) El principio de identidad ................. &1 b) El principio de no contradicción ........... 84 c) El principio del tercero excluido ........... 85
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3. La justificación de los principios elementales ... 87 4. Pequeño digesto proposicional ............... 00 5. 1 ntcrdcfinibilioad de las conectivas ............ 94 ü. Los signos a uxiliares frente a las leyes de asocia-
ti \' id .. , d ......."".. _ . . .. " .. " . . . , . . " . . . .. . . . . .. . " . . 97 7. neglas de in! crcncia ........................ 98 8. La regla de sustítuci6n ."..................... 100 9. La regla del "modus ponens" ........•....... -. 103
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. OPERADORES MODALES. ~10DALlDADES ALf:TICAS
1. ~Iodalidades ................................. 107 2. La lógica rnadal alética ...................... 111 3. El cuadro de oposición de las modalidades aléticas 114
VII
?\10DALIDADES DEóNTICAS"
l. ()l){:radoTcs ................................ . 2. Interdefinibilioad . " .. " ............ " . " ...... " " .. "
VIII
LEYES DEÓNTICAS
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l. Importemos tautologías ...................... 125 2. El cuadro de oposición de6ntico ............... 127
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3. El princinio de subcontraricdad ............... 128 4. ContraricJau ................................ 130 5. Subalternaci6n............................... 131 o. Contradicción .............. .,.............. 132 7. El 0lx:raddr ·'r· ............................ 134 8. Calificación normativa de las conJuctas complejas 136 9. Princi pío de distribución de la permisión ....... 13ti
10. Teorema oe distribuciÓn de la ohligaci6n ....... 139 11. Teorema de la obligaci6n alten1utiva ......... 140 12. Teorema do la permIsión conjunta ............ 142 J 3. Teorema de la permisión n1ínima .......•..... 143
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CONDICIONES EXTHASISTEl\1ÁTICAS DE LA LóGICA DEONTICA
l. Conccl)to .................................. . 2. Las leyes de H tlOJe ................ ~ ....... . 3. El principiu de proh\bición ................. .
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. lBU()GHAFIA ......•...••..••...•.••••.•..•...••••
lNDlct: ALFAlJLl'¡OO .••..•• ' ...••..•.••••••....•..••.
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INTnODUCCIÓN
t. ¿Lógica? Sí, lógica
Quejarnos porque la cuenta oel restaurante es alta no nos dará ningún resultado: no lograremos convencer al 1110Z0 y pasaren10s por rnezquinos. Pero si encontranlOS algún error en la suma provocan~)TIOS una consulta y obtendrelTIOS, junto con la enl1lienda, las corresponJientes excusas: tal es el poder 4c ]a aritrnética, que ni los comerciantes se atreven contra ella. Y la aritInética no es una invención uiab6lica, ni el anna secreta de la adnlinistraci6n ilnpositiva: es, sirnplernente, un sistema teórico que reconstruye, en abstracto, las relaciones que todos accptanJos entre las cantidades concretas. Dos más dos es igual a cuatro en cualquier tiernpo y lu-' gar, se trate de dólares, camellos o vueltas en cale
sita; y el conjunto de las relaciones de este tipo, reunidas en una teoría matemática universalment~
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LOGJCA, "nO)'{)SiCl, '.'
admi tiJa, nos pennite verificar fornudrncnte la CX:1ctitud de cualquier cálc\llo.
Lo Illisn10 ocurre con la lúgica. Si alguien nos endilga un lar1;o discurso sobre un ten'la que ignor~\1nos, nos ser~l diHcil forrnarnos tina idea sobre la verdad () la ,falsedad de cada lln:l de sus afinT13CÍo·
ncs; pero si entre ellas hay dos que resulten contradictorias entre sí, no nel~esilaren10s averiguar lnús para saber que en esa chúchara hay algo que HO
funciona bien. Al razonar de c!-ile Ino(lo habremos utilizado un sis~ema te()rico -la lógica- que recopila. generaliza, ahstrae y rccoilstruye en fórmulas las relaciones aceptables entre las proposiciones, aun con total prescindencia de su contenido: es dctir, de n1odo c:omplet:Hnente fonnal.
En otras palabras, la ,lógica es un sistema, que -entre otras cosas- permite v.erificar la c.orrecciÓn ,de l~s' razonalnientos~ (~Qllé' es esto de la corrección' de' los razon~lJnientos? Lo entcnderenlos lnejor a través de algunos cjelYlplos.
Ej(;]H¡>lo .1: Toda ¡núsica se cornponc de sonidos. El tango es In ÚSiC¡l. Por lo tanto, el tango se COJl)pone tIc sOlliuos.
E¡CH1}Jlo 2: Conlo el cic]o es azul y las nubes S011
blancas, Ine siento alegre y optirrlÍsta.
Ejcnlplo 3: C:onlo todas las <':t1caraehas tienen alas y yo soy una cucaracha, yo tengo alas.
A prirnera vista ]05 dos prin1eros ejcnlplos parecen muy 44razonables", en tanto el tercero parece
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ridículo. Pero si nos quedarnos con esta iInpresión no irelnos muy lejos en nuestra capacidad de raciocinio y seremos L~cilnH~nte engañados por una retórica falaz. ExanlÍncrnos los ejernplos uno por uno, con más cuidado.
El ejclnplo 1 propone dos prenlÍsas y una conclusión. Y cualquiera que lo lea advertirú que la conclusión es una consecuencia necesaria d'3 las prernisas. En efecto, podernos no saber gran· cosa de rntlsica, y podernos ignorar por completo la existencia del tango; pero si nos inforrnan que la IHllsica se COD1pone de sonidos y que el tango es una fonna de mllsica, en esos datos se encuentra contenido~ implícitamente, el resultado que aquel razonandento hace explícito: que el tango se cornpone de sonidos.
El ejelnplo 2 también contiene dos preInisas y una conclusión, pero ésta no se desprende neceSQria.1nente de aquéllas. Puede ocurrir, por cierto, que una persona de talante conten1plativo se sienta ilnpulsnc1a a un irresistible oplirnisn1o por la filera cornprobación del color del ciclo y de las nubes; pero talnbién sucede que a veces uno tiene un dolor de n1uelas, y entonces el cielo y las nubes carecen de toda eficacia conlO talisrnanes Je l.Hl~n hUlnor. y aquí aparece -entonces- un ilnporthnte dato sobre la 16gica: una deducción válida no es la que cventwlrnente lleva a un resultado verdadero, sino la que necesarial1lente lleva a un resultado verda .. dero sie¡npre que las pren1isas también lo sean.
22 1.')C(r.A. PR()pn~ICl<J.,
Esto podr¡) conlprenderse rhejor a partir del cjelnplo 3 que, contra lo que podría suponerse a ¡::rinlcra vista, es a bso!tl/(l1ne ni e tiríltdo. No, por cierto, porque C]uienes esto escrihen hayan sllfrido alguna Inetanlorfosis katki;-tna y Sf: dediquen a revolotear por las cOCÍnas, sino porqlle fa conclusión ~e desprende necesari:-unentc Jc las p' enlisas. En efecto, si fuera verdad que todas las cucarachas tienen alas, y si fuera exacto que )'e) pertenc7Co a tan poco apreciada especie, entonces tanllJién sería cierto que tengo aJas. Nótese (Inc no exisle otra posibilidad lógica: si )'0 no tengo a}¡ls no puedo ser una cucaracha (porque hemos supuesto que todas las cucarachas las tienen); y si no tengo alas y a pesar dc-eso sigo siendo l.Ina cllcaracha, entonces 1W pueele ser verdad ]a hipótesis general sohre el vue10 Ctl
carachil. J)e nlooo que el ejcnlplo 3 es una deJucción correcta, á pesar de que tanto sus prenlisas corno su conclusión son obviarnente falsas.
Claro csttl que aquí pucde surgir una reflexión escéptica: si ]a 16gica D prueba un razonamiento scgú n el cual todas las clIcarachas tienen alas y yo soy una cucaracha alada, tarnbjén podría aprobar que los chanchos escriben poclnas, y que la inflación no existe, y que la luna es una bola de queso
Gruycre. Entonces ¿para que sirve la lógica, si no pcnnite distinguir lo verdadero de )0 falso? Esto
vale tanto COlno preguntar para qué sirve la televi
sión, si los programas son tan In310s. Si el espec·
t:lculo no nos gusta, harenlos bien en apagar el re-
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ceptor) pues no obtendremos de él mayor utllidad. Pero el día que haya un prograrna bueno ¿cómo haTernos para verlo sin un aparato que funcione adecuadanlentc?
Del mismo lnouo) exigir a ]a lógica que nos ensei1C lo verdadero y 10, falso es injusto: 1(: que no han 1r)grado hacer touavía la ciencia y la filosofía no puede conseguirse del nlero razonamiento, que es s610 una herramienta intelectual, y no la fuente de la verdad. Si partimos de premisas falsas, ninguna seguridad tenorernos de llegar a conclusiones veruad,eras (si 10' hacenl0s) será por casualidad). Pero) si tenemos la fortuna de hallar prenlisas verdaueras para a]inlentar el razonanliento, éste nos proporcionará lluevas y relucientes afirnJuciones, tan verdaderas C0010 a(l uéllas de las que partiInos.
Es que la lógica, pese a su utilidad, no es omniFotente. Reconlernos el cjenlplo del principio: el de }a cuenta del restaurante. La aritnH~tica no puede evitar que nos cobren por algún plato _lnás de 10 que vale (de otro modo existiría gran demanda de textos sobre rnatclnáticas); pero ya es algo que nos pernlita controlar la suma para ver si también ahí alguien pretende quedarse. con nuestro di .. nero.
, 2. L6gica y bloqueo Jnental, o el valor de la sonrisa
"Claro, lógico", soIen10s decir (no siempre con propiedad) cuando oírnos una afirnlnción que nos
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parece sencilla y plausihle. Pero cUando el adjeti
vo se vnclve sustantivo y nos hablan de la Lógica, la hnagirwlnos con una L tnayúscuia, alta corno un rnuro en el que nuestra capaciJad de cornprender se cstrellar{l itrcIllediaLlcn1cnte.
Por supuesto, esta predicción casi siclnpre se confirrna. (~on ella ocurre lo Inísrno que con los rtHnores de la Bolsa: si hacetnos corror la voz ele que c.lelcnninada acción va a subir, la gente lo cree, la clcrn:1nda a urnenta y el precio efectivanlcnte
sube. ])e idéntico Inodo, nuestra concepción de la
lógica corno un instruInento de tortura (imagen se
nlcjante a la quc solemos tener (le las rnaten1áticas)
tiende a crear \In bloqueo ¡TIental que a rnenudo no o'()S pcnnite siquiera averigl.1ar si hay algo ~e cierto delr!\s tic aquella idea.
Lo prirnero que debe advertirse es (¡üe la lógica
no es \In pasatielnpo para chiflacl()s ociosos. l'ienc aplicación práctica, y está lÍluebtl lnás cerca de
nuestra experiencia cotidiana de lo que suele. supo
nerse. 'T'odos saben10s algo de lógica y la usarnos
constanternente; pero, C01DO el burgués gentilhom. bre de !vlolicrc, que hablaba en prosa sin saberlü,
estarnos tan habituaJos a ella que no sabelnos verla. Si juegan Boca J uniors y River Plate y nos infomlan que uno de ellos ganó, autoDláticaIl1ente tenen10S la certeza de que el otro perdió. Si extravfanlOS algo
junto al Obelisco, no se nos ocurre ir a buscarlo a
la sOlnbra de la Torre de los Ingleses. Y, puestos
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--INTRODUa:JÓN
a comprar una ficha para hablar por teléfono) esperarnos que el cajero nos la dé o nos la niegue, pero nos sentirnos budados si nos contesta: "todavía Ine quedan algunas, pero se 111C terrninaron". ToJ.as estas 3Ctituocs sun aplicaciones de leyes lógicas anti~llas y I1111y conocid~s) pero qu'? tienen sonoros nOlnbrcs en latín y se disfrazan cdr)' cierto clnpaque acadénlico c.HJa vez q \le un texto de lógica nos 1as propina.
La receta p~Ha encarar satisfactoriamente el estudio de la lógica incluye, pues, dos remedios, que deben acln1Ínistrarse en fonna conjunta. El primero consiste en advertir L1 irflport:\ncia de la lógica cOlno exposición de \In sistclna cxplícito que nos pcnnite orc1enar, controlar y -en caso necesariorcf onnular la enonne c:lnlid~Hl de razonan1icJltos '1 ue de todos 71lod ns desarrolb.lnos cada día. y el segundo, no Jcj:lrnos inl1111idar y tonlar la lógica con caln1a, con buena voluntad y --si es posiblecon una pizca de sentido del hUlnor. Si conscgui~ lnos pertrecharnos de este nlodo estare01US en condiciones de adquirir, sin grave desgarrarniento afectivo un instrurnent() tIe valor inestirnablc. Pero
~ ., para lograr este resultado es indispensable aceptar el desafío intelectual que la lógica nos propone y ia1nlÍs, por ni'ngún 111otivo, lnurmurar para nosotros "esto no lo voy a entender nunca".
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LüCICA I PfWI'üSIClul'l ¡ •• ~ •••. _.-
[jo De qué se trata, o n qué vanws ti jugar
Funnuladas las advertencias prelin1inares, co-l I 1. 1 J ' . rrespo))( ena lnostrar a lora as caractensttcas con-
cretas del csttHlio que nos proponernos crnprcnd er. Pero no es fé1Cil hacer esto con la lógica, que es un sistCl na d e relaciones ahst ractas; y en Ulncrar los proh1elnas qne están o ]lan estado incluidos bajo este tí.tulo llev;lría a \Ina exposid()n hLt6rica bastante larga: en veinticinco siglos d~ desarrollo, la lógica occidental ha recorrido un canlino '.argo y muy. variado. Pa ra nuestros fines Lastará decir que la 16gica bu~ca" fonnu}ar . y sistematizar las: relaciones Gd111isibles entre lasproposicione~, y se preocupa por establecer métodos paradecid.irsí una' propoSl dúll se desprende o no deotrás a ttavés.·,cle unraz~nnmiento vÁlido.
Aristóleles trató de cumplir c~ta tarca a través del fllisn10 Jenguaje Cju<: u~(\Jnos todos los días (l1anlado leng\laje Tl(Jtllral) , al que incorporó vocablos espcciahnentc clefinidos y aun:Jcicrtos sítnbolos abs
t.ractos (let¡rascolno A o 13, por ejenlplo: para representar la estructura de una proposición con sujeto y predicado). Aristóteles en1prendió así, probablemente, el prinler estudio sisteInático de la ló .. gica formal; y puso en ello tanto genio que aun hoy SllS obras sobre el tema se leen con adrnlrac{ón. El mislno canlino siguieron los que vinieron después, y se prolongó a través de la Edad ~1edia y de] Hena-
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INTnODUCC¡ÓN
cin11ento. Pero en ocasiones el intento chocaba con ciertas dificultndes) a pesar del gran desarrollo alcanzado por la lógica aristotélica y medieval; el lengu8je natural contiene una grande y en buena rneuída inevitable do~is de ilnprecisión (vaguedad, anlhigüedad y otras intoxicaciones sCInánticas), de lTlodo que, por lnuy riguroso que fuera el propósito de establecer relnciones unívocas" sielnpre existía el riesgo ele interpretaciones diversas y de aparición de seudoproblcmas ha jo la fOrn1é1 de disputas verbales, Aparte de esto el lenguaje natural está corhpucsto por palahras que se supone tienen significados concretos; y esta presencia constante de }js contenidos sen\:\nticns tiende a oscurecer la diferencia cntl~c distintos tipos de delnostración: "todas las rnaures tienen sexo fernenino", por ejenlplo, es verdadera por razolles scrn{llllicas, ya que la fenlineidad es característica defi nitaría de "lTIadre"; pero ''si llueve y hace frío, llueve" puede dClnostrarse sin recurso alJ.:,>LlllO al significado de las palabras "llueve" ni "hace frío", ya \lue su verdad resulta directa
lncnte de la est ructura lt')gica de la proposición. Esta dernoslración, así co~no otros desarrollos Dl0-
dcrnos de la lógica, corresponde a una etapa en que quedó superado en gran Jl1edida el uso del lengua-
je natural. Esta etapa comenzó con Leibniz (1646-1716),
pero se desarrolló a lo largo del siglo XIX en los
trabal'os de De Moro·an (1806-1876), Boole (1815-t')
18(14) Frege (1848-1D25) . y Peano (1858-193~).
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1.0G1C..... 1'~(jI'OSIUu... Jo •• _ ••
entre otros, hasta quedar finYICrnentc establecida él
principios del siglo xx, cuando Hl1ssdl y \Vhitehcad puhlicaron su :jbra Principia AtathcH1olic12 (1910-1913). Esto~ a u lores aplica ron a la )()~!ica un forIniJablc instnullcnto proveniente de las rnalern¡lticas, c1lnpo donde ya había dcrncstrado su utilidad. Este instnlnH~nto es el lenguaje forn1al, en e) que sÍlnholos con\'cnci{)naJes~ distintos de Jas palahra'-i que conocernos y definido? con rigllro~a precisi{)!l, ~egt'lfl la fllnci(')n (llle cUll:pJan, rllt~den c:ornbinarse entre sí a través de reglas dclibcradanlente construidas.
I'~sh~ nuevo desarrollo recihió distintos nO~llhres, que óretcndían diferenciarlo de la Jr'¡gica tr;t{Jicio/laJ: "J(')íTÍca rnatclnútica", "lútTÍca !\Írnbólica
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gunos lo nanlan <'l6gica fornla)", a pesar del. car¡lcter reIcvantclnente formal de1 an~l1isis nristolélico. Pero, a nlcJida (lue pa~a el tiernpo y la .gente se h;lbitt'la al nlLlllcjo de Ins s!nlbolos (a 10 que contrihuye I1H1Cho el ~lprcndjzaje de la teoría de conjuntos en bs escuelas), la inlporLHlcia d(~ e~las denorninadones disrniJlllyey toclo ernpie/.a a irarnar~c, l)Jlra }' silnplenlcntc, lógica. Esta cvoluciún es conceptuallocnte ilnportllltc, pnrcl'le ayuda tl se¡-:¡alar que la lllleva lógica no se opone a la antigua, sino que la COlllpJerncllta, la cnrnarca, en parle la corrige )' en huena Jncdida la supera, sin que por ello Arist c')! el e s de h a ha j a r el e s tI pe d L' S (a 1.
Existen hoy n1 uchos lentas --t rad iciona] lncllt e englohados en 1a lóglc:\-- (jfle resultan alcanzados
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poco o nada por el uso actual del lenguaje simbólico: el análisis de las funciones del lenguaje, por cjclnplo, o ]a teoría del significado y de la definición) o el estudio de. las falacias no fonnales, o los conceptos relacioHados con el razonarniento inductivo. Pero nosotros accptarelnos directa e inrnedía~ tan-lente el desafio de que habJúbamos untes y -sin menospreciar la utilidad de aquellos ternas, ·~obre los que existen excelcn tes tcxtos- nos lanzarernos al asalto de lüs fórnlulas.
Para esto estudiar"cn10s primero las relaciones entre proposiciones (lógica proposicional), para lle
gar luego a las lógicas Il1odales: alélica y de6ntica.
4. Bueno, pero ¿por qué n ¡ni?
El programa que acabamos de enunciar cntusiasnlaría, segurarnente, a una persona con inclinaciones n1aternáticas; pero el caso es que este libro Ha está dirigido a ingenieros ni a estudiosos oc las ciencias exactas. Y entonces el lect /)1' .-prcf( sional o estudiante de derecho, de sociología, de tlencias
políticas' 0, en fin, de disciplinas tTadicionalmente
humanísticas- puede sentirse corno aquel niño a quien regalaban una lnoneda por cada cucharada que le daban de un desagradable rernedio ... y eu ..
yos padres ron1pían la alcancía, cada vez que estaba Hena, para conlprar otro frasco del n1isrno remedio.
Las ciencias humanísticas se considerari tradicional-
30
Inente conl0 un refugio conlra las lnatemáticas, a cubierlo Jc la insiJiosa infiltraciún de las fórnlulas; y quien las ha elegido para sí con esa esperanza puede sentirse dcf~audado. Por sur uesto, podría ohscrvarse q\IC rnás vale advcf'~~r el fraude que ignorarlo; pero, corno quiera q\l~:' esta reflexión no suena 111Uy cslirnulante, convcndr.l hacer algunas ac1araciones solHe el punto.
Ll\ lógica es una de InD Ji~ciplinashulnanísticas nl~S tradiclonales; pero 'le ·ha sucedido lo mismo que a la lnayoría de las .ciencias que, cuanto más se perfeccionan, .más se acercan a las 111atemática,. Gran p~Hte del progreso científico ha consistido en advertir quc dos o ln~\S conceptos difercntes no cran sino Jistintos estadios de una IrlÍslna realiJao continua, y en IncJir la diferencia entre ellos sobre cierta esc~:da cOlnúll. Así es COI1)O, por cjenlplo, l~s relacioncs entre el espacio y el tiernpo y entre la materia y la energía han .provocado una verdadera revolución en la física, (;UH ranlificaciones sobre otras disciplin:-ts (incluida la filosofía). Pues bien, las <.:Ícllcbs sociales adolecen desde su origen de la insuficiencia de sus ¡nétodos para aislar los fenón1enos) coo1pararlos y rnedirlos. En la rnedida en que
esto se consigue poco a poco, el lenguaje forrnal se introduce para abstr2.er cierta relación o cierto aspecto de un fenón1eno cornplcjo con independencia de su contexto contingente; y una vez hecho esto 3parecen las fónnulas para establecer los vínculos IJallados entre aquellas ahstntcciones. De ¡nodo
111 1-Ir IJ
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lNTl\ODUCCIÓN
que esta suerte de rnalernatiza.ción de las ciencias sociales parece una tendencia inevitable, en la que la 16gica se presenta corno un sinlple- caso particular.
¿ y por qué precisa!nente la 16gica? Ante todo porque cualquier sector de la ciencia que Clnplee el lenguaje y el razonamiento debe someterse a la prueba de la validez de su propio rnétodo; pero una ciencia que no sólo ernplee el lenguaje COlno hcrranlienta sino que además tenga por objeto de estudio arguInentos gue se suponen 16gicarnente encaden3dos -como las ciencias políticas y jurídicas no puede privarse de analizar la estructura de su propio objeto.
Esta circunstancia es particulannente sensible en el <.:3S0 de los sistenlas nonnativos. En efecto, entre los significados que pueden simbolizarse con el lenguaje hay algunos que nos afectan profundarnente en nuestros inter<:ses: son las normas, que nos obligan a cumplir ciertas conductas y nos prohíben otras; que lirnitan el universo de nuestra libertad y --en el caso del derecho- hasta nos amenazan' con el embargo, el desalojo, la prisi6n o la muerte. y existen personas cuya profesión es razonar sobre las nonnas, inventar y refutar argurnentos sobre ellas, describirlas, esgrimirlas y manejarlás. Los abogados -de ellos se trata- no están todos de acuerdo sobre la justicia y la injusticia de c~~a nornla (como no lo están los cOlnerciantes sobre 'la ren
tabilidad de determinado precio ni los científicos
sobre la verdad de ciertas afirmaciones de hecho);
32 U'X;IC..A I l'p.OrostC
pero la nlayorÍa de ellos está dispucsta a aornitir que existen entre las nonrws cierta) relaciones fornlales. y que si una conducta x está prohihiJa, por ejemplo. sería difícil aceptar silnu]b'lncan1cJlte que la rniSHUl
conducla x_ es obligatoria; y esto ocurre aun cuando no sepalnos cn qué consiste dicha conducta, ni si prohil)jrla es un acto de buen gubierno u una muestra de ilisufrible tiranía.
Existe, pues, desde hace aproxirnadan1ente n1C
dio siglo, ~na lógica· famud de las n01TlUlS. también llamada lógica deontíca o Junmativo
Este esquema o s'¡stcrrJd teórico, a lo largo de sucesivas versiones, pernlite ejercer un éontrol fornla} sobre el discurso norrnntivo, equivalente al que tenemos sobre los c;Ílculos rneclia:nte la aritmética ° sobre el discurso en genera}· a través de la lógica proposiciona1. Conlo en Jos otros casos, este instrurncnto conceptual no no~ otorga un oOIninio absoluto sobre los fenóIncnos'J que' se refiere (para ello habría que tener poder sobre las prernisas como el legislador lo tiene sobre las leyes que dicta); pero al rnenos nos enseña a exlraer conclusiones válidas a partir oe las prcInisas (lue se nos in1ponen; y no es poca cosa encontrar así una hase C0111Ún de razonamiento en una materia COlno la normativa, tan polémica que la gente lnata )' lnucre por ella.
Si una lógica deóntica nlcrecc, rueos, un lugar prcelninente en la metodología d e la ciencia jurídica, conviene lan1hién sei1alar que. esa importancia está perdiendo rápidamente su ropaje especulativo
j.' .. A''-''_ ..... __ .. _
para hacerse cada vez más práctica y cotidiana. En materia tecnológica el derecho es el pariente pobre de las demás ciencias, y el jurista rnaneja aún sistCIna~ y procedírnientos conceptuales que no han variado casi en nli1enios. Pero, corno ya se ha visto, asistirnos aquí tamhién a un avance incontoJ~ble de las matelnáticas, de lo que puede ser -nledido, pesado, contado, calculado y... colnputado. Las non-nas son infornUlciún (en el sentido que a esta palabra atribuye la informática); y las computadoras han aprendido ya a manejarlas, clasificarlas, recopil::lflas y reproducirlas para facilitar el trabajo de abogados, jueces y legisladores. Incluso se estudia en nuestros días la posibilidad de instituir procesos de decisión atllonuitica, en los que la solución de un caso surja c1ire~t~llnente de la norma, a través de un rnero cálculo lógico. El aprovechanlicnlo de estas realidades y perspectivas exige al jurist3 Illoderno una precisión de conceptos y una exactitud de razonamientos a las que el abogado tradicional no está hahituado J cuya fuente es la 16gica forroa} y cuyo íostrurnenlo es la abstracción co.nteniela en las fórmulas.
3. 1.6¡ira.
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11
DE LA PHOPOSICI6N A LA F()RMULA
1. Concepto de proposicibn
En el uso corrient.e de] lenguaje es cornón que tomernos con10 sinónirnas expresiones tales COlno
"enunciado" y "proposicitSnu
• Decirnos, por ejclnplo) "este p~lrrafo contiene siete proposiciones" o .. no creo en los enun,ci:¡dos de la astrología" y, a unque de una Inanera vaga, sabernos qué quererr)os decir con ello. La propia grarnática espai101a suele usar con el nlisrno signific:¡do los vocablos "proposición", ce enunciado", "oración" y "aserción". Pero para ]a lógica algunas de estas denominaciones adquieren un scnti(lo n1~1s preciso, y se refieren a con
ceptos distintos.
Al hablar nos expresarnos nlediante enunciados; esto es, oraciones conlO "este es un libro de lógica", "tengo sueño" o Hlo que estoy leyendo es trelnendalnente aburrjuo". Estos conjuntos de palabras son
LÓGIC.A. PROPO~k
oraciones porque curoplen con el requisito de ser signific:1 Uvas, de expresar cabaIlnente Ulla idea. No ocurre 10 lnismo, en canlhio, con expresiones corno .. vcnle el es campo", o ., cÍ ga rrillo ceni cero el el en
está", A pesc\r de estar. cornpllcstas por palabras conocidas, su desorden interno (respecto de las reglas oe la conslrucL'Í()ll cast.ellana) las priva de .significado y con ello les irnpiJe constit.uirse en cnundados u oraciones.
Supongamos ahora tres enunciados: "hace frío", "il fait [raid", 'lit is cold". Salta a la vista que elJos ton diferentes: est~ln cOlnpucstos por palabras distintas, y hasta corresponJen a diversos idiornas. Pero LlInbién :tdverlÍlnos que los tres tienen algo el", cOJnún: quieren decir lo 1nisrno. Y para esto no hace fa lta siquiera recurrir a otros lenguajes; "el presi{lente de Bolivia fue derrocado por el ejército"
y "el ejército derrocó al presidente de Bolivia" son
talnbién enunciados distintos que quieren decir 10 Inisrno: es decir, tienen idéntico significado. Cuando varios enunciados tienen el rnisn10 signifícado, decirnos de ellos que expresan la lnisnl3 proposición 1.
Una· proposici6n e!, pues, el· BignHitlldo de un
1 También puede ocurrir a la inverso: cnunciaJos id"nticos el
¡)Cesall proposiciones JiÍt:rcntes. En efecto, según el sujeto que las pronuncie y la, cirCllnstulIcias de tiempo y lugar en que lo h;lga, las pnbbras ··:Ahora ulgo pnra allá" pUNen sigllificar (lue José Femándcz ¡C di~pone o viajar de MenJoza .1 Córdoha el 15 de fcbreroJe 1979 o qúe Margarita FilTilleJli proyecta trasbdarsé desde la esquilla de eonit'ntcs y Uruguny ha.(,ta Moutevidt:o 52.8, piso 51,1, oficina 508, el 23 de octubre úe 1931 entre hu }0.10 y las lG.25.
•
I.J~ .J..-'a. .... __ _ .... _
~~'}J.H~~~i~de ~~k~rahvQ lJdesoriplivLt t~e - es- -el enufloiaJofiliiffi01 qU8e~tá. (X)mpuestQ por pe labras de algún idioma detenninado,..ordenadas -según ciorw -reglas gramaticale~:es el conterddo del euunciadoque es cOUl.ún.a lai ,ruverias -maneras de decir lo mÍiinHi, Y exigin-los que el entmcültlo sea descriptivo para desechar expresanlente los otros usos del lenguaje: fr4ses corno H¡cáspitar o Hpáserne la Dlostaza, por favor" no expresan proposiciones, en el sentido que aquí darnos a este concepto J.
Esto ocurre pon1uc la lógi~a (al nlenos, la parte de ]3 lógica que estarnos estudiando) se maneja a través de los llalnados valores de verdad, que -en un sistclna bivalcnte con10 el que ana1izamos- son dos: verdadero 'J f(llso (algunos prefieren decirlo de Inouo rnás abstracto y utilizan los sÍrnbolos 1 y O). Cuando un enunciado hace referencia a ciertos estados de cosas, de tal suerte que sea posible determinar si es vercladero o falso, decin10s que es un enunciado descriptivo o declarativo, cuya ¡ verdad depende de la existencia real del estado de cosas descripto. El enunciado "está lloviendo", por ejernplo, es verdadero si en efecto sucede el hecho expresado y falso si, por el contrario, el sol brilla en un cielo sin nubes. No irnporta en este mOlnento ave-
~ El lengua je Pllede U5:lfSe en sentido -dc.scr1ptívo r'la tierra el rcdondZ1"). uprerivo (" ji.ltiz..::d"), pre.scriptivo o directivo ("váyase y no vuelva nuncn más") y operalico o perjorT1llllivo ("buenos día¡, señor jde··). Sobre este tema pueden consultarle Carri6. Cenaro R., Notas wbrc derecho 1I1euglúJje, Es. As., 1965, p. 15 Y ss.; Y Copi, Irving, IntrO'ducdón a la 16g ic<J , Es. As., 1961, p. 34 Y siguiente •.
38 U/X;ICA, I'HOP()~
riguar si es verdadero o falso (en todo caso, siempre podernos tnirar por la ventana q extender el brazo fllera dc ella). Lo relevante es que, si el enunciado l)tl(~de ser verdadero o falso, entonces es descriptivo y constituye ll1ateria p'i-ílna para la gran lHac¡ ninalÍa lógica. 'ral cosa no ocurrc, en princi-
. 1 . 1 11' 1 I ti , pl0, con e enUnCla( o llrese a no ! este expresa
lIna orden fllIe puede ser válida o no, justa o injusta, dispara tada o aceptable, pero I nunca verdadera ni falsa. Para este tipo de enunciados se ha creado una lógica algo diferente, que nlás adelante exalninarCll10S.
2,' Vari:\blcs, concctivns y signos :uLx¡liarcs. Simbología y notación
(~()n10 ya sabernos, la lógic.u (lógica súnbólica o 1natcl111í lica) u tili.za un lenguaje f otinal üOlnpue~to por sínlbúlQS. cUDveJ1oionales f;~tC5 sínlholos par IHiten .lnanejar, .. las . proposiciones. según..lasrelacionss que tellgan .entre sí, y. sin pre~lnr atención n·su COM
tenidf). En esto la }bgica se parece al álgehra, que hace lo rnisnlO con el cúlcu)o llun1érico. Sl.1pongaIn()~) por ejclnplo, la siguiente fc)rrnula algebraica:
a + b == b -1- a
No nos interesa saber qué núrnero puede asit,rnarse a caja una Je las letras JninúscuJas utilizadas, sienlpre que caJa una de ellas tenga en todos los casos ---dentro' del nlisrno c61culo- un valor idéntico,
..
I
I
• I
• i ti
• I
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• ••
-~
~
~
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~
~
e ,. ÍiI'
Así, si suponerrlos que el es 4 y que b es 5, la fórrnula debería interpretarse de este Dl0do:
4 -t- 5 == 5 -t 4
donde ~ada letra ha sido recn1plazada por el tnisrno núrnero en todas sus a p~riciones.
Pero, corno pOdCD10S asignar a "a" y a "bu ctlallltder valor que querarnos, la fórnlula algebraica rnencionada en prirner térnlino resulta especialrnente útil para' rnostrar una relación general, a saber: que si sumanl0S dos núnlcros cualesquiera, el resultaJo será idéntico sin que irnporte el orden de los stunandos.
En la lógiea proposicional las letras rninúsculas no representan nl~llneros) sino proposiciones. Se llarnan por esto variables prol~oSiciona{es, ya que podelnos asii:,'1wrles cOrno contenIdo cualquier proposición concreta que deseernos (suponiendo que queramos asignarles alguno) lo que en general no sucede). Este es el. nOlnbre másextendiclo, pero algunos autores las l1aroan trrtnbién "letras esquernátieas" o "Iel ras scntenciales"~. Por costuln bre se usan prcfcrentenlenlc las letras ¡J, q, r, s, t, 1V) z; y cualquiera de ellas puede representar una proposici{)n. A su vez, cada variahle puede represen lar cualquier proposición) y aun distintas proposiciones en diferentes contextos: en una dern()str~~,jón, por cjclnplo, poJen10s suponer que "p" sirnbc{\2.a "hace
3 Orayt.'II, Haúl, Verdud, lógica y significado, t'n reViSl:I "CrítIC~l". Mhico, 1U7fi. \'01. VIII. p. 14.
<lO
un lindo día", y en ot.ro desarrollo podenios asignarle el contenido "nli gato tiene bigotes largos", Pero igual quc en el úlgebra, es indispensahle tornar una etclnclllal prccaucibn: dentro de Hit 1r!isnUJ COlltex
to, el significado que se nsigne a caJa variable debe :;cr sicrnprc idéntico.
Ahora bien; en el lcngur-je natural solenl0s vincular entre sí dos o 11lás enunciados para forrnar un enunciado 111ÚS cOlllplejo, de tal IYlodo que el valor de verdad del enunciado resultante depende de cierta cOlnhinación de los valores de verdad de SU!"
cOlnponcntcs. Así, uno lluc\:,c" será verdadero si "n tlevet es Ldso) )' viceversa. .. Llueve y' hace frío" s('))n s(~rú vcnLld si es verdad qn{: nueve lJ taH2viéu
es vcnbd qlle hace frío, y serú falso aunque llueva, ~i 11ace c:l1or, y aunque hiele, si ¡'o llueve. Esta funcic')n villculatoda es cUlnplida eH castellano
1 t 1 c' " e," "."" " por pa a )ras ta es COlno y, I (), SI) aunque, "pero", Hsin elnbl1rgo", "si y sólo st, Hsien1pre que" y olr~lS; pero no sielnpre es Líeil, dentro de la clá ... sica :lInbigüedacl del lenguaje natural, establecer unívocalnente el tipo de relación que se busca ex .. presar. Si alguien nos dice, por ejeo1plo) "esta noche iré al cine o a con1cr" no saheo10s con sCl!uridad
'J
si pretend.e elegir una de dichas actividaJes o si t."l7nlJiÓn. Jeja abierta la posibilidad de hacer aJnLa~ cosas.
Para evitar prob'cn~as de este tipo y faciJitar el c[}}cI1)o, el lenguaje fonnal representa aquellos vínculos rnedia n le signos especia les, que reciben eJ
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I
DE LA rl\OPO~ICIÓN A LA f'ÓnMULA 41
nOlnbre de conectioas cx.tensiorwles (conectivas, a secas, para los íntirnos), sigJWS lógicos, constantes lógicas u operadores. Pero no existe un acuerdo generalizado acerca de cómo representar estos ~jgnos. EstQ da lugar a la existencia de distintas llotaclones, o sistemas gráficos de escritura de la lógica sÍInbólica. La notación Inás extendida es la Balnada inglesa o de Russell, en una de cuyas versiones -que llSarelTIOS de aquí en aJclante- las conectivas principales se represenla.I1 n1ediante los símbolos si-
. t .... 4 ,) ., ., 't " c,~" ., ), "=.-::" 4 gulen.es. -, ., V) 7 ) ~ y - . Por el modo t:11 que las conectivas afectan. a las
va ria hIes a que se r(~fiercn, se las divide en Hlonádi-
Aunque se.' a n'c;d,) de i!UstT:lciún, conveúdl'\ tenH prcsl-ote (lUC
b mellciollada no cs b úllicil notación "inglesa" cxi~lt:'nte. Algunos t 1 ···,·· .• •.•.•• •• •••••• -"'\ .,
;1\1 ores recrllp aZJn - pur .- o por "'-; . pOI' /\; .-J rHJ! .. tI .," .." -t o := por H.
Hay ¡uJemás tina T1ot;¡cilin (:olllplelanwntc distint~, cl\yas vcnt~l ji.i5 consi~tcn t:n (lUC no r<.:CllfC(· .\ !iÍlllbolos difcrent(,~ Oc los nlfabéticos y <¡IIC no rcquit:re uso algllno d(~ p<lrénlesis. ap~lfte de ciertas bcilidadcs de dlculo que no vale b pena l:nllll)(~rar o.l)uí. Se trata de la Jl(¡(adón plJtaca, introducid., por Lubsic\Vicz, CUy;lS cqulvaJendas cou la notación inglesa son las sigu¡elltes:' .
"Np" eC]uivult: a "-p" "":pq" e(l\1ivalc.\ "p.c( "Apq" equivale a "p v q" .'J pn" . 1" .,
'j ('I}lllva e:l p ~ fJ "Cpq" c~qlli\';llc a "p ::J (}" "Epq" ('quivale íl "p ==. q"
No Ilsarcmús It, IlO t.\(; it')ll 1)1)1:1CJ PCJr(lUC a! lado de sus virtudes ple
s("nla :dgunas dificultades, solJft~ todo p~ra el principi3ntc: su ledura es menos intuitiva, y CUilOJO las fúrmllbs s'e hacen complicadas cs lIlás
fácil comprender de IIIl \"i:;law Sil é~1 fIIdura general con )a notacioll de HlIsseli, donde las c{medi\'as di:,dicas se ubican prccis.Hlwnte entre las ,':uia bies conect at!;.\).
42 LC)(;!CA, I'nOPOSICIG.. .. . . .... . .. ... ~
CII.S' .. y .dUídicas. O hi7UlTÍas. El signo ce_u es moná<líeo, porque sólo afecta '.~ una proposición: la representada por la fónnula de la derecha. Así, la verdad de la fórnlula 44_p" dependerú del valor de verdad de "p" lnodificado por el operador u_". Las dernás conectivas mencionadas se llanlun diádicas porque afectuIl a dos proposicioIlGS conjuntalnente: las situadas a derl~cha e izquierda del signo de . q \le se trate. Por ejenlp1o, el valor de "p .c(' depende del valor de ver\lao de "p" y del valor de verdad de "q", cOlnbin~ldos en la forrna indica-1 (' " (a por
Por el lnonlcnto, cor.viene quc resistalnos 'u la tcnt"aciún de bll~;car a cada uno de estos signos un er¡u4valenle en lenguaje nalllral. Talcs equivalencias -atin(lue cxisten- no son perfectas ni unívoC~lS) debido él la inlprecisióll del lenguaje natural. Por esto, corno luego verell10S, tratarenlOS de definir cada signo por su función de verdad y sólo a part i r de [d tí hllscarenlos las traducciones al castellallo. Si hiciér:lInos a 1 revés, correríamos el riesgo de introducir en el 1enguaje fomlaI, por la vía de las definiciones) los mismQs .inconvenientes scJn:lllticos que buscamos elirninar.
. I
Aparte de las variables y de las conectivas, la lógica cuenta también con síl1dJqlos lluxiliares~ que hacen las veces de signos de puntuación y sirven para separar, en caso llecesario, unas fórmulas de otras. Se trata de los paréntesis H( )", los corchetes H[ 1", las llaves U{ }" y las barras "11".
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I
DE LA PROpOSICIÓN A LA FÓRMULA
3. Concepto de fómmla proposicional
lIasta ahora hcn10s hablado bastante sobre las fórmulas, de modo C]lle resulta oportuno fijar un contenido preciso para esta palabreja. Una fór mula proposicional es· \lnaexpresi6n ~imb6lica que está comp.uestaexclúsivamente .por variables pr~poslciona!~ conectivas o signos' .lógicos' y símbolos áuxiuares Esta definición puede tOlnarnos algo desprevenidos, por 10 que convendrá hacer algunas aclaraciones sobre ella.
Una fórrnllla está sielnpre cornpuesta, en fOfIna exclusiva, por los signos apuntados,' que constituyen -por así dccirlo-- ~<;u elenco estable. Ningún actor ajeno a la c()rnpal~ía puede introducirse en la función ("llueve. hace frío"; "llueve y p"; u p . hace frío") pues el resultado no sería una fórmula (sería algo así COfilO lnezclar, en una sola frase, palabras de varios idionlus diferen tes: "Ich all1 going au cin-érna dOlnunÍ por la noche").
Que variables, conectivas y signos auxiliares forInen el elenco estable del teatro lógico no implica que todos ellos deban estar siempre en escena: bastará con que haya, por 10 mcnos, una variable. Así, "p" es una fórrnula; "-p" y '.p . qn también lo son, igual (lue otras más cornplicadas COlno:
44 (p . q) ::> [r v (q == s)]" .
~ Cfr. Ora)'cn. oh. dtada.
44
PCJf· úl ti 1110, no basta q t le los 'actores estén en escena par.1 constituir una función te41traJ: adelnás es necesario que desernpcñcn su papel según cierto libreto y <.le acuerdo con cie.r l as reglas que definen esa activülatl. ])el rnÍsnlO 1110<10, los cOlnponentes Je una fórrnllla no pueden estar rnczclados al azar: hán de respetar las llartladas re.glas de [ormación¡ o nonnas sintácticas convencionales que rige.n'·la estruchlra sirnbólica de las f órrnulas. Estas
, reglas pueden enunciarse así:
1) tI na variable propo.-;icional es una fórnlu}a.
2) tJna fórrnula precediua por un operador mon~1clico es tlna fónnula~
• e
1...,. f. "cc J' •• 'JI :'J.: -p, -q, -·r.
3) 1)05 fÓflnulas tllcerraoas dentro de un par oe signos auxiliares y entre las cuales hay un operador diádico (y sólo un operador diádico), constituyen una fórrnula.
Ej.: ". (p . q)", te ( __ p ~ q)", "-[ (p . q) ::> (r v s) ]".
Las reglas de forrrlaciÓ"n, que en su conjunto pueden consiJerarse tarnbién COlno una definición de 4tfórn1ula", perrniten excluir de nuestro lenguaje sirnbólico todas las expresiones que no se ajusten a ella.s. Así, "~", "q-':, "pq", "rs", "(q v . q)", "( r .), s" no son fórrnulas bien formadas; y puede constituir un interesante ejercicio averiguar cuál es el defecto que aqueja a cada una de tales expresiones.
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LA
'Conviene aquí hacer una aclaración sobre los signos auxiliares. Su función consiste en elirninar anlbigüedades: sin ellos, la expresión H_p . q", por cjclnpio, podría interpretarse de dos maneras:
a) (-p . q) donde el operador monádica. afecta sólo a la fónnula "p", o bien
b) -( p . q), donde el operador rnonádico afectaalafónnúla"(p. q)".
No toda fónnula, sin ernbargo. plantea semejantes alnbigücdades; y de allí resulta que puede e~taLlecerse una convención práctica: cuando una expresión sin) bólíca no es susceptible de interpretaciones esquernálicas diversas, es posible eliminar los signos au.:xiliares innecesarios; por ejeln plo, en lugar de .. (p . q)" puede escribirse el p . q"; pero si la n1isrna fórmula ha oe relacionarse a su vez con otra -por ejernplo; en H(p . q) v r"- el uso de paréntesis no puede ornitirse.
4. Fónnulas nt6rnicas y fómlu]as O"lOlccuhlfcs
Así'como el lenguaje natural vincula dos o más " enunciados para fonnar lln enunciado cOluplejo, el
lenguaje simbólico cOJnbina las variables --por medio de las conectivas- para constituir fórmulas conlpuestas. Por asociación de ideas con el rnodo en que los átomos de elen1entos sirnples constituyen las lnoléculas de los cOll1puestos qUÍlnicos, la lógica ha adoptado aquí una nornenclatura con reminiscencias
I..óCICA. l'IV)l'(}SlCIÚt
de la física nuclear. Una fórrnula a16nl.ica es aque·11~. constituida exclusivamente por una variable prop()!)iciol1al .. no nlodificada por operador al!,runo: 'CpH, por cjcrnplo. Las fórmulas en las que aparece un operador H1onádit:o (H'-(l") o que resuhan de una cOlnhi nadcll1 ele f()nnulas unidas pór conectivas diádicas (<Ir v st~, cez === w") se l1alnan l1wleculares.
Toda fónnula Tnoleeular es una función de verdad de las f6nnulas atórnicas que la cOlnponen: es decir, su verdad () su falsedad dependen de la verdad o (le la falsedad ele' hi.s proposiciones representadas por las variables sirnplcs. Pero, conlO he~nos visto antes, el 1}l()t!O en que deben cOlnbinarse la verdad o la fal:>cdaJ de los cornpollcntes para dcterrninar el va)or~ <.le verdad ele 1a fónnula Tuolccúlar depende de l~s cOJ)ectivas qué aparezcan en la rnislna fónnula. Por esto los ()per~dores resultan ser la c13vc p~Ha dcsent.raiiar la estructura interna de una fór-1l"l1l1a. A su estuuio, pues, dcdicarclnos el próxirrlo c:-'1) í ("tI}().
• I
I
I ,
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LAS CONECTIVAS
1. Casos posibles
U na proposioión describe un estado de c.'Osas, y su verdad depende de que dicho estado de cosas exista en realidad. Frente a cada descripción simpIe (por ejernploJ "el río está crecido") caben, pues, dos posibilidades: que ella sea verdadera (es decir, que el río haya en verdad utllnentado su caudal) o sea falsa (que dicho caudal sea igualo menor que el habitual, ]0 que iInplica que no ha crecido). En sÍrnbolos suele usarse la siguiente tabla:
p
V F
La fórmula atórnica que se encuentra encima de la línea horizontal representa la proposición a que nos referiInos, y las iniciales "V" y UF') simbolizan los
48 . ' LOClCA, PROPOSICIóN y NORMA
dos casos posibles que existen para "p": que p sea' vcrdnc1.ero y que p sea falso. Algunos autores más inclinados a usar palabras grandilocuentes les .lla-1nan 7nundos posibles, y dicen que .lara u p" hay dos 111UIH]OS (desde el punto de vista especulativo, puramente l6gico): el mundo en que p es verdadero y el Inundo en que p es falso.
El panorama de los casos posibles se complica cuando la proposici6n se compone de dos o más descripciones de estados de cosas (Hel río está crecido, pero contaminado") o, en lenguaje simbólico, cuando se trata ele una fórmula mole~ular compuesta por dos o más f6nnuJas atómicas C·p . q".). Cuando la proposición que nos interesa es una combinación de dos proposiciones que la componen, los casos posibles son cuatro: que ambas proposiciones conlponentes sean verdaderas, que la primera sea falsa y la segunda verdadera, que la primera sea verdadera y la segunda falsa y, por último, que las dos sean falsas:
v V F V V F F F
¿Por qué esta diferencia en el número de casos posibles? Porque a cada variable proposicional co
. rresponden dos casos (V Y F); y, ce mo una combi-
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• 'JI .. I
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-
I
nación de variables debe prever cada uno de los casos de l~ segunda (y aun todo esto para cada uno de los casos de la tercera, si la hubiese), existe entre el número de variables y' el de casos una re1aci6n inatemática: a una variable corresponden do; casos; . a dos variables, cuatro; a tres variables, ocho; a cuatro variables, dieciséis, etcétera. El número de casos posibles, pues, es 2", donde '''n'' es el número de variables proposicionales presentes en una f6rmula y la base 2 representa la dualidad de los valores de verdad en la 16gica binaria: V y F'.
El orden en' que aparezcan los casos en la tabla que los contiene no es en sí mismo importante, con tal que la tabla contenga todos los casos y ninguno de ellos resulte repetido. Pero para asegurar .el cum- . plimiento de estas condiciones se acostumbra a seguir un orden -conveniente aunque no estrictamente necesari~ en la construcci6n de la tabla de que se trate. Supongamos que se nos presenta una fór.mula que contiepe tres variables proposicionales -"(p. q) :J r", por' ejemplo-- y deseamos hacer una lista de los casos posibles para -las distintas combinaciones de verdad y falsedad de sus componentes. Primero estableceremos· cuántos casos contendrá nuestra tabla: como en el ejemplo'n = 3, el número
o La lógicá más cOflocida y usada es ID. binaria o bivalente~ que maneja los valores de verdad y falsedad (V y F). Hay. ,in embargo, otras 16gicas cJiferentes -con utilidad para fines específicos- que tienen mayor n{lmero de valores y permiten, por ejemplo, computar Krados de seguridad o de preferencia.
50 LÓGICA, PROPOSICH
dr. casos será 2n == 23 == 8. Luego cscribirelT\os, dehajo de la prÍlnera variable que aparezca, una sucesión de ocho valores de verdad en que "V" y "F)' se alternen de a uno por vez. Bajo la segunda variahle anotarclnos ocho valores de verdad, pero alterl1~ndo "v" y 4cF" de dos en dos, y por últirno, a la tcrccr:l variable asignaren lOS valores de verdad alternados de cuatro en cuatro. Así obtendremos la siguiente tabla de casos:
p q r - -- -V V V F V V V F V F F V V V F F V F V F F F F F
Na( uraltncnte, si en la fúnnllla huhiera una C\lart a ,variable J a ésta correspondería una al ternación de ocho en ocho (pues los CaSd$ serían dieciséis); y a una quinta (con treinta y dos casos posibles) a tribuiríarnos valores de verdad alternados de dieciséis en dieciséis, y así en adelante.
Al construir una tabla de casos es necesario tener en cuenta que CC n" es el nÚlnero de variables proposicionales (Iue apar~cen, y no el rll~lInero de sus apariciones u ocurrencias. Las variables repetidas sólo
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se cuentan una vez: así, a la fónllula tep . -p" 5610 corresponden dos casos posibles, ya que n == l.
2. Negación
El único operador monádico de la lógica proposicional (U_") tiene por función invertir el valor de verdad de la fónnula a que se aplique. Dada, pues, una f6nnula H p",poden10s cOfilparar su tabla de casos con el resultado que provee esta conectiva 1 para cada caso. Construiremos así lo q ne se l1anla la tabla de verdad del operador que e."o¡ninanlOS, llamado negación:
p -p
V F F V
Corno puede observarse, una fónuula verdadera l)egada es falsa, y una fónnu}a falsa negada es verda-
'7 Algunos autores llaman cont!(;tivllS 8 los opemdorcs diádicos, que COl1Cctan fórmulas cntre sí, pelO vncilan en dar ese nombre n la negación llut!, como operador monádico, sólo afecta n una f6rmula. Sin embargo, puede considerar~e que tauto la negación cuanto lo, opcraúores Jiádicos vincubn la fórmula en que nparccen con dert:\ combinación de los vaJores de vt!Jdad de su o su, Com1-1oncntes, por lo I¡ue cumplen -en oho scntido- el p'1pel de conexiones. En virtud de esta consideración seguimos aquí la nomr.ndatum de Benson Ma. les, Lógica matemática eleml.'l1tal, MaJrid. 1971, p. OO¡ ElIiott Men· dclson, Iutroduction lo Mathematical Logic, Princcton. 1008, {l. 14; Y Rudolf Carnap, ¡"trocluclion lo Svmbolic Logia atld Uf ApplicatiOfu. N uevu York, 1958, p. 7.
52
1 . , " " 1 le "'1 1 <. era. 1...n exprcsJon -p se ee no p o no es e caso (jl J(~ p"; )' eorrcspond e nonna lrllcn te --en el lengu:tjc nall1ral- al cnullt:ÍlHlo de 1I1la proposici()u q tiC inclu ye la Pj' la hra uJ1()", Pero, corno ya hcnlos advertido, esta correspondencia no es perfecta. En el idioIfla corrÍelite existen expresiones negativas (lllC no contienen esa palabra: 41difíciln·lente podría estar yo de acuerdo con lo expuesto"; Hes inexacto
, " .1 • ,.
que, .. ; es lnentnu que ...
:l. Conjunción
U na f ónnllIa Ino)ecu1a r q lJe vinéula a sus C0111-
poní;ntes Jnediante ]a CUiljllllció71 (Up . qU) sólo es verd:Hlcra si sus dos ténninos son verdaderos, y es falsa en cua)cluicr otro caso. ¡\sí:
P le¡ 'p I
q - - ----V V
I V I
F V ! F V F I F F F I F l
La fónnula resultnnle se lee· H p Y q", Y su tabla de verdnJ corresponde, aproxiJnada,ncnte, al uso de la lnayoría de las palabras O expresiones idiomátic~ls
que en el lenguaje natural se clasifican como conjunciones. De este Jnodo, "p . q" podría interpretarse con10 H)}ueve y hace frío!', o "quis0. lJaJnartc) pero lni teléfono estaba dcscornpucsto", ó ··su pro-
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LAS CO¡\E(,llVA:l
yecto lne parece aceptable, aunque convendría introducirle algunos retoques". O aun: "ya sé que Cardel rnurÍó; sin ernhargo, cada día canta rnejor". En cada uno de estos cjenlplos se afirrnan dos estados de cosas conju,Htan1cnte, por 10 que la cOlnbinación de arnbas aserciones resultará verdadera si y sólo si los dos estados de cosas afirmados son reales; es decir, en el prirnero de los cuatro casos posibles de la labJa de venlao correspondiente.
4. Disyunción
¿(¿ué nfirrno al decir "llueve o hace frío'? Doy por sentado ql1C si IIl1cve no hace frío y que si hace frío no llueve? ¿.() acepto que pueden ocurrir ~unhas cosas? ACl'lí el lenguaje natural nos tiende ·la hahitual trarnpa lle su ~Hnhjgiicdad, }' a la lógica corresponde desentrai)ar su sentido.
Suponga1l10s que en el 01enú fijo de 111\ restaurante leernos, al final de h\ lista de platos: #'postre o fruta", EntenderCITlOS que la elección de uno excluye l~ de la otra: pódernos elegir postre o podelnos elegir fruta, pero no ,1Inbas cosas.
Irnaginclllos ~lhora que una librería hace una oferta "sólo p~Ha escribanos o abogados", COlnprcnderelno~) fúc:ihnente que quienes teng;'1H uno de
I 1 J ,1 1 r h' I esos lltu os goz:1ran ue a Olerta; pero t¡un len con-sidcrarenlos incluidos entre sus beneficiarios a los prof esionaJes q tle ,rellJlan la~ dos condiciones, y nos 1 JarecefÍa absurdo que se negara el derecho de ad-
I
LOr.¡CA I'J\OPUS
quirir los lihros en oferla ~I quien hay;) obtenido alnhos títulos.
La i1tnhigiiedad consiste) pues, en que la conj'lnciún dis,Yl1ntiva 0.0 " del lellguaje natural puede cntcndt!rSl~ conlO "lIna cosa n la otra, pero IH) arl1-
has", () bien COB10 Huna cosa) l~ otra o arnbas sirnul-1:;'IJlCarrlt~nt(~··. Para disolver esta (unhigúcdad US3-
n lOS a \'eces la fonna "y/ o'" (cxpresiéJn que 10$ puristas del idi(JIna no rccorniendan) para la alternativa no excluyente. Si una cuenta hancaria está abiert:l a DOlnbre de Juan y/o Pcdro~ entendernos que ] uan y Peuro pueden hac,~r 11S0 de la cuepta en forlila conjunta o scp~rada, independiente o sin1uhánca, según cada lino prefiera.
Existen, 'pues, dos tipos de disyunción. U na es la excluyente, cuya tabla de verdad es:
La otra es la esta tabla de
,p q p'~ q -- -
V V F F V V V F V F F F
di~yunción simple o
verdad:
p q p v q
v V V }1""' V V V F V F F F
incluyente, con
J;
r JJ , r 11 la '1 , I J
I
LAS o)NECnYJ\~
. Arnbas disyunciones tienen algo en cornún, corno surge de las tablas de verdad enunciadas: para ser verdaderas exigen que por lo rnenos uno de sus conl
ponentes 10 sea. En otr3s palabras, son falsas cuando sus dos conlponentes son falsos. La única diferencia reside en la solución que cada conectiva prevé para el prirl1ero de los casos posibles: aquel en que los dos cornponentes son verdaderos. t.Jna de .las disyunciones ]0 aclnlite (lo incluye) corno caso de verdad de la f6nnula cornpuesta, en tanto la otra lo rechaza (10 excluye) al tonlurlo COlno friso. Si volvenlos) pues) a los ejernplos del principio,' descubrirclnos que la disyunción del rnenú fijo era excluyente, en tanto la de la oferta de la librería era incluyente.
En el lengua je natural se usa una u otra disyunción (cosa que puede advertirse por el contexto en que ella aparece) seglJn convenga a 10 que huya. de expresarse; pero en- la lógica sÍrnbólica es habitual
el uso de la disyunción incluyente, en tanto la" otra sólo aparece por excepción. Esta preferencia se
debe a ciertas particularidades del cálculo lógico, que permite la fácil traducción de la disyunción simple en términos de otras con~ctivas) n1ientras la excluyente requiere circunloquios Jnás complejos 8.
Nos guiaremos, pues, por este criterio y dircn10s -en general- que una disyunción es verdadera cuando por lo luenos uno de los ténninos .disyuntos
8 Ver, en el capitulo V, las leyes de De Morgan.
56 .
J.c >CICA, J'lF )I'OS1(;I\..... • ., _ ..
es verdadero (es decir> l1anléne¡nOS dL<;!funci6n a secas a 1 a d i:,yu ncillll i nclll yen te ) . C:uando se trate de la cxcl uycnte, la ca li fica renlOS COI no tal y lisa reIlIOS el ~;Í1nholo correspond i(~l1tc (" :.,t.'. ").
5. Condicional
rrantG la conjllllciún corno las disyunciones ~on relaciones COTl7Hutalivas, porque "p . q" tiene el )))iSlI10 valor de verdad (fue uf( p", "p v q" que .." "41 ",,t., ' J (. ]) f ' q v p y p 7: q q u e q ~ p e ro en t1 na o r-lnula cOlldiciofwl -( tl p ::.> q") esto no ocurre: irnporta distinguir el orden en que aparecen los cOlnponentes. Par~ esto (y sólo respecto de esta conecl iva), la fl>nnll1a (lue aparece a la iZf}uierda del condicional se Barna antecedente y ]a que aparece a la derecha recihe el nonllHe de consecuente. Sentado esto, puede definirse éL condicional :'0 corno la relacion que, resulta falsa cuando el antecedente es verda(lero y el consecuente falso, y es verdadera· en t6dos los dernás oasos. l)e acuerdo con esta definición,
Estas afirma<.:Íol\l·S debcn clitl'\)(lt'rse ('1\ d contexto estrictalI:elltc (Ol'lllal. Eu el lt'II~lIajc Ilat IIral ('\ orden de los t{:rnlillos no
('.~ siemprc indiferente: "Vino .1 visil:IfIIH! y muriú" 110 l'S In lIli!\1I10
tlllC "'lIlIri,') y villo f.l visilarme"· l!or ejelilplo. Iu l\lllchos .lIllort'S l.) Il:UIIJU !;llllh¡t:1I j/1lpli('(lcj(írc o illljJliC(l(;iÓII
1/;(/111';(//, para distillgllirlo de la impliea<:iI')J1 Illrflllll, o IrígiclI. (JIU'!
'I!Aamillarcmos más ndclallte (ver Cill'íllllo IV). Pam cvitar <.'ont'u~.i()llCS hemos prdaido no utilizar aqllí \l!dlO Ilombrc y n~sl'r\'arl() p:\la la ililplicaciún lúgi<:a, como 10 hact~ (h IÍ lit! (\'t~r Qllinc, \\'illard V:1I1 OIllIIlU, Lus métodos de la lúgictl, IhreeJolI:l, J 9(>9, p. ·t8 y 7:2).
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11
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LAS CO~ocnVAS
pues, la tabla de verdad del condicional es la siguiente:
p qLp ::> q
~\i i
I i \ V \' ~f
F V \ V \' F '1 'F -, F L \' 11 1 • :\
El uso lógico de esta conectiva se parece lllucho al enlpleo de la palabra ''si'' en el lenguaje natural: "p :) CI" puede interpretarse, por ejernplo, COlllO f(si los lnetales se calientan, se dilatan", o ''si gano a la nl1eta podré pagar la cuenta del carnicero". Pero,
corno en casos anteriores, este signo lógico no puede asociarse 1is~ y lIana1l1cntc con Ulla pal::lbra deter
rninada. U na fórn~llla condicional puede interpretarse talnbién CODH.) c'firnlaré el contrato siempre
que 111i socio esté de acuerdo", () "el que I11ata va preso") o aun "ya no p()clI(~!n()s subsistir, Eduviges, a lncnos que h~ie el precio del caviar~_
Pero cuando eJnpczatnos a jugar Gon los 'ejemplos aplicándoles la tabla de verdad del cOTldicional,
una dificultad llarna ele ÍlHncdiato nuestra alencibn.
Suponganlos que hen'los interpretado "p :::> q»» como "si es de noche, hace frío". Coo1prendenlos fácilfilente los casos priInero y tercero de la tabla: si es de noche y hace frío, lo afinnado es cierto; si) en
calnbioJ estamos en una de esas noches de verano en que el termónlctro no baja de treinta grados.
S8 LÓGICA, I'nnrOsh.....
nuestro condicional rneteorológico resulta cláranlente injustificado. Pero en los casos segundo y cuarto :dgo parece Inarchar rnal: si el antecedente es falso (es deci r, si no es de lIoci le), ¿ cónlO puede afirrnarse <J ue sea \'chlad qne si es de nod le hace frío? ¿y CÓlno puede dar 1() lnisn1o, parar el ('~IS0, que haga frío () calor (es decir, la '¡crdad o falsedad del con· seCllentc), y que en cualq Uier¡l de esos supuestos el cone! icional resulte verdadero?
Esta perplejidad es cornpletnm~nte nonnal. Casi todos los estudiantes de lógica sienten algo parecido a la rebeldía cuando se topan con ella, hasta tal punto qne se le ha dado tl,n nombre que h\ identifica: es l1an1ada la TJ(lradoja del condicional. Cuando hen10s dado nornhre a ]0 que nos preocupa -y sobre lodo un nonlbre tan sonoro- solemos c;cntirnos algo rn~ls aliviados: nunca es ]0 n1isn1o sentirse difusamente l1Ull que saber positivamente que uno padece, por ejen)plo, una gripe causada por virus del tipo B.
Para seguir, puüs, con el sÍlnil rnédico, la paradoja del condicional adnlltc dos lratulnientos: el quirúrgico y el clínico.
El lratarniento quirúrgico es r¡'pido y doloroso: con~ist(~ en no explicar nada y recordar que las conectivas se definen estipulativarHcnte por sus tahlas de verdad, de lnodo que no hay lugar para debate alguno: la tabla del condicional es ésa y basta.
El otro medio de vencer la paradoja --que no es fllcjor que el prin-lero pero sí ln~s fácilnlcnte acep-
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Li.$ CúNl::CTtVAS
table- lleva a mostrar que toda la perplejidad proviene de una cornprensión incolnpleta de lo que el cond icional si gní fíca.
En cf ceto, es preciso d istingllir cuidadoS3lnente ]a fórmula lno]ecular condicional ("p :::> q", interpretaJa corno ··si es de llochG, hace frío") de sus forrnulas atórnicas cOlllponcntes (44p" Y Clq", interpretadas corno "es de noche" y 44hace frío", respectivulncnte). El condicional no afinna que es de noche) y ta1npoco
afinna g ue hace [río: sólo enuncia cierta relación entre las dos proposiciones simples, de tal modo que· si es de noche, entonces hace frío. rola única manera de demostrar que tal afÍlmación es falsa consistirá, pues, en verificar que es de noche, pero no hace frío. La oración condicional no dice nada sobre la temperahlra diurna; y así, si no es de noche) poco importa que haga frío o calor, ya que no habren10s afirn1udo una cosa ni la otra, y nadie podría decir que hemos n1entido.
En términos nlás rigurosos puede decirse que 1'1 fórmula condiéiónaJ no afirn1a su antecedente ni su consecuente: sólo afinna que no es el caSo de qUE;
el antecedente sea verdndero y el consecuente falsa que si el antecedente -es verdadero también la .es 81 cOTlseauente;, y que, por lo tanto~ si es falso el COl1H~" cuente también loes el antecedente.
Este galilnatías es tan conocido -hasta pura los que creen no entenderlo- que a menudo se i~acen bromas basadas en él. Decimos, por ejelnplo: C4si
--.. ---C"·",_.~---,--_--,-_____________________ --,--_""",,,,
U)CICA, rn'hPG
la lógica es sencilla, yo soy japonés", y con esto con~iJcranlos haber nfim'lado qlle la lógica es COHlplicada. Esto es, en efecto, 10 fIue hichnos; pero exalninen10S el razonarniento paso por paso.
Supon ga r110s CJ \le "la l()gica e~ senC';lla" se si rnholiza con "p" y "yo soy japonés" con "q". Al afirnlar "si la lógica es sencilla, yo soy japonés", he postulado COlno verdad era la f órm ula
p ::> q
Pero al Jnismo tierrlpo es obvio que yo no soy japonés (si esto no fuera claro para todos, la broma no funcionaría: es de suponer que los japoneses usan la expresión "yo soy sanlíagueilo").· Es decir Cjue el consecuente es falso.
Ahora bien, cOlno nuestra hipótesis cOllsistÍa en fIne la fónnula p ::> q es verdad, dchelnos buscar en la tal> la del condicionalul1 case) en que J icho supuesto resulte cornpatihle con la fal~edad del consecuente.' Si 10 hacernos> hallarenl0s que el lÍnico caso en que tal cosa ocurre es el CU:lrto: en él el consecuente es rabo y la fúnnula cOlldicional verdadera, ¡Jero el
antecedente es falso. Hcsulta de allí que, si es vcrdad que si la lógica es sencilla, )'0 soy japonés lj es falso que yo sea japonés, entunces tiene que ser falso q \le la ]{)gica sea sencilla.
Después de este anúlisis es prubahle que la brOl1ltt
resulte lllcnos graciosa; pero, () hien habrernos C0111-
prendido la paradoja del conoicionaI, o bien estare-
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LAS CONECnVAS. 61
HlOS dispuestos a pedir la ciudadanía japonesa con la esperanza de facilitarnos la tarea.
Aclarada, pues, su tab~a de verdad, podemos advertir c¡ue el conuicional expresa cierta situación que en los hechos puede darse respecto de dos est~Hlos de cosas: uno cuya descripción simbolizaren10s con)o "p" y otro cuya descripción sirnbolizarernos COl1"}()
"qH. Nonnalmente decirnos (pIe el antecedente es c07ulición del consecuente; pero lógicos y fil'-)$'Jfos -fIue hilan Hlás fino- distinguen dos tipos de condición: la necesaria y la suficiente.
El hecho p es condición suficiente de q cuando conocer la verdad de H p" permite afirnulf la verdad de "qu. Dado un cnuncinuo condicional que supong<:l1nos verdadero (por ejemplo, Hsi el perro Inueve )a cola, está contento"), la verdad de] antecedente es condición suficiente de la verdad del consecuente: si VC1110S que la cola se agita, poJrclllos afinnar que su canino propietario está contento (y lo afinnarclnos COI) la 1nisnla conjianzo con que hayalnos aceptado la pren1isa condicional sobre el significado de dicho rnovÍJni euto ). .
En carnbio, el hecho q es condición necesaria de p si conocer la falsedad de uqu nos pennite asegurar la ialscdad de H p". En el misnlO ejelnplo, el consecuente resulla condición necesaria del antecedente: si s3ben1os que el perro no está contento pod~.ernos nfinnar que no nlueve la cola aunque el bicho esté a
. nuestras espaldas. En efecto, si la n10viera estaría contento} y estamos persuadidos de que no 10 está.
62 , I
LOCICA, l'H!WOSIClON y NOHMA
Con sujeción, pues, a la verdad del condjcÍonal (verdad que depende de su coincidencia con cierta situación empírica), el all teccdente es condición suficiente del 'consecuente (basta que el perro rnueva 1a cola para que sepalnos que está cí'ntento), y el consecuente es condición necesaria del antecedente (es indispensable que el perro esté contento para que In ueva la cola).
G. niconJicional
J-Iclnos dicho antes que en el condicional importa distinguir el orden en que aparecen los cOlnponelltes de la fórnlula) ya que esa conslanle 1()gica no es conmutativa, y por eso distingtlÍlnos el antecedente del consecuente. Supongalnos ahora ü n condicional conrnutativo, en el qUé cada ténnino sea a la vez antecedente y consecuente del otro:
"[(p ~ q) . (q :J p)]"
Esta conlbinación de dos conuicionales cruzados corresponde a una nueva conectiva, llaIl1acla bicondicional", que resulta verdadera si y sólo si sus ·dos
JI El bicondicional recibe a mentido el nombre de equivalencia materiul, o simplemente equ;r.;111euL'itJ. Por las mismas Td20nes expuestas en el c¡:¡so del conJicion¡¡I, heHlOS preferido reservar este nombre p~ra la e<Jllivnlcllcia formal o lógica. que más ndehlJlle introduciremos (ver capítulo IV).
LAS (X)NECrIY AS
términos tienen el miSD10 valor de verdad (es decir, si son ambos verdad~ros o ambos falsos):
p q pE=: q - -
V VI V F V F V F, F F F V
Al leer una fómHlla bicondicional suele utilizarse la expresión ccsi y sólo si", que algunos l6gicos abrevian como ·'sü". De este Jnodo, "'p :=:i q" puede interpretarse COlno Hme gusta el asado si y sólo si está bien cocido", de donde resulta que si está bien cocido rne agrada y de otro JnoJo no; c, inversarncnte, que 1ii lne gusta está cocido y si no me gusta no 10 está. COH10 puede observarse, esta conectiva es e.r. treola
damente rigurosa: en el caso elel ejernplo no adnlite el supuesto de c¡ue el asado me desagrade pese a hallarse bien cocido (por ser duro, O estar quemado, o por alguna otra razón). Es decir que cada término es a la vez condición suficiente y necesaria del otro. El lenguaje diario, en cambio, suele dejar cabos sueltos (COD10 el condicional simple): cuando afirmo que sólo Ine gusta el asado bien cocielo, no pretendo en general sostener que en cualquier circunst.ancia ll;n asado que curnpla ese requisito me pone tan ansioso conlO el perro de Pavlov.
El bicondicional, pues, no suele usarse para forn1alizar la nlayorÍa de !as expresiones del lenguaje natural (aunque tal cosa puede ocurrir). En cam-
I ,
I oc ¡ c." , PfV)l'USh. .. l\)I·( , . ................ .
!>io, su enipleo es bastante cOlnún en la forrnulación de definiciones y de leyes 16g1cas.
El sÍnlbolo ulilizaJo para n~pr~?entar esta concc~iva lllcrecc Ull cOlneuL.uio (Hlidon:d. Hecordare¡nos que el sírnlJolo de la dis)'UIH:ión excluyente (ti =JI.':.") es el lnislno Jet bicondicional, peTo cruzado --COIno tachado- por una 1í\lea diagonal. Esta scrnejanza no parece caprichosa, a p ")co que se COlnparen las tablas de vcrdáJ de las dos conectivas:
p \
q p :):'i' . - .el p -- q - _.
V V F \' F V V F V F V F F F T;- V
Corno puede observarse, el biconJicional equivale a la negación de la disyunción excluyente ()' viceversa), ya que en caJa caso en que una conectiva es verdadera la otra resulta fn1sa. De aquí se (leuuce que pOtldalDos representar la disyunción excluyente (le esta Inanera:
-(p == q)
E, \nvers~tlncnte) sería posihlt~ sirlll)(}lizar el hiconJicional así:
-(p 7- q) Por esto se ha. elegido para el bicondicional el
símbolo que los Inatclni:lticos utilizan para .la scnl-e-
, .-. l t .. ~ ;
í L
r ¡ ¡
f
;aHza (dos variables uniúas por un bicoflc.1ícional son sClncjantes en sus valores de verdad). y se usa el ndSlno sÍlnbolo tachado (es decir, negaclo) para la conectiva inversa.
IV
TA UTOLOC!A, CONTHADICCIÚN y CONTINGENCIA: LA I~IPLICACION FOmtAL
l. Tautología
Al analizar las 'tablas de verdad de las conectivas hClnos observado que la verdad de una fónnula rnolecular depende del valor' de verdad que se asigne a cada una de ]as 'fórmulasatónri'cas que la
, integran: así, por ejernplo, la conjunción A es verdadera cuando sus dos ténninos son verdaderos, y falsa en los denlás casos; el" condicional es falso cu~ndo el antecedente es verdadero y el consecuente f~lso, y es verdadero en los otros tres supuestos; y el hicon-' dicional es verdadero si sus dos ténninos tienen el Inisn10 valor de verdad (V o F), y falso cuando ellos tienen valor distinto ..
EXUlnÍnelnos ahora ]a tabla de verdad de la siguiente fónnula: "p v -p".
pI/ l? \: --p, -- -v. v V F F F V V
{~OIll0 Ja fórnHda' propuesta s/)}o contiene una variable ("p.'), los casos son 2 l =: 2. En el prin1cro }J es verdadero y, consiguientcu1cnte, -p es falso; en el segundo ocurre a la inversa. Pero, como la disyunción resulta verdaJera cuando cualquiera de los términos disyuntos lo es, nuestra fórrnu1a se r.eve-·· la como vercladerapara tDdos los casos posibles.
Esta cornprobaci6n tiene un curioso. efecto: el de independizar la verd.ld de la fórn1ula de cualgujcr averiguación sobre la verdad ele p. En efecto, a~ignaremos a "p" uná interpretación cualquiera: "ftunar hace daño", por cjenlplo. Así, fe_ p" deberá traducirse por ufuffiar no hace daño" (o, ]0 que es 10 rnisn1o, "no es el caso de' que fumar haga dailo", o "no es verdad que funlar haga daño", o cualquier otra exprcsi6n semejante). La fónnula molecular quedari interpretada como Hfumar hace dai10 O (fuInar) no hace daño'·, y resultará verdadera en toda circunstancia.
Pero ¿fumar hace realn1cn.te daüo? Esta pregunta tiene irnportancia n1édica, social y econ6nlica"', pero no perturba ]a placidez de la lógica. Porque, cualquiera sea la opÍlúón que sustenten sobre ta respuesta correcta) fumadores en1pedernidos y lnédieos solícitos, directores de eJllpreSas tabacaleras y activistas de la Liga de la Tcrnplanza han de
ro' l
'JhUlVJ....'-A~ .... ~, ..... v .. ' '._' ____ " .
~q estar de acuerdo en que fuxnar hace daño o no lo bace. Es más, ni sig uicra es necesario interpretar la fórnlula para conocer su verdad. Corno la verdad de p Y·_p no depende de la de p sino de la estructura lógica de la cxpresi6n lnolecular, tanto da que atribuyaInos a u p" la representación de una u otra proposición, o aun que considerenl0s la variable en su n1ás puro y original estado simbólico: si no nos es preciso conocer la verdad de p tampoco nos hace falta asignarle un significado.
Estas fórnlulas cuya labIa de verdad arroja valor positivo ,para toJos los casos posibles se lIa.T)an tautologías. Tienen la ventaja de ser siempre :verdaderas con independencia de su contenido, pero -por esto Inisn10- tienen tanlbién una desventaja: no proporcionan ninguna infonnación sobre el mundo que nos rodea. La verdad absoluta suele ser trivial; y, salvo cuando se trata de fórnlulas muy conlplicadas, resulta tan sabida que no despierta gran interés. Ilnaginenl0s un hon.brc que pasara la vida enun· ciando únicalncnte las más soJelnnes tautologías: Hrnaiiana habrá tonnenta, o no la habnf', ··si tÍn anirnal tiene cinco patas, tiene seguramente cinco pa-
\... tas"; ~·la existencia es un río que nos lleva hacia el infinito ... o Lien es alguna otra cosan. Tal perso· ' na no correría jalnás el riesgo de afirnlar algo fa1so, pero su charla resultaría tan' insulsa que nadie querría oírla: ninguna ,de sus afirn13ciones contendría datos empíricos.
y sin embargo, no por ser vacías de contenido
70 LÓC1CA, PROPOSI
las tautologías son inútiles: en ITlilChos casos su ver· dad formal no es evidente, y se requiere un detenido exanlen para ad vertir]a. Adernás, si descubrinlos (lllC un enunciado encierra una tautología dejarelnos de irllTICuifto de discutir sobre ella, perderernos interés en la averiguación (le sus presupuestos empíricos (ya que no los ti~ne) y -lo que es más in1portantc-- podrernos utilizarla cúlno puente para razonamientos más cOlnplejos. Por esto la lógica trata. lnuy espcciahnente sobre las .tautologías, y por esto enlplean10s hoy rnn.(luinas -las computadoras- que ~ son forrnidablcs constructoras de relaciones tautológicas: dados un prognllna y los datos con que se la aliInenta, la lnúquina produce una respuesta que resulte for1Halnlcnte verdadera bajo (:ondic~·ón de la verdad de aquellas prelnisas.
2. COIlI radiccí6n
Las tautologías tienen su contrapartida negativa. SupongalTIOS la siguient fórrnula: "p . -p".
P I P ..-P --~-lr--
v V F F F F F V
Al construir la tabla de verdad de esta conjunción advertilnos que para todos ·sus casos posibles (que son dos) su valor de verdad es F.· Esto indica que cualquier proposición con selnejante estructura
í I [
T i\ UTULLJ"uLi'\., ................ _ ~_. ___ _
lógica C'la luna es redonda, pero no es redonda"; o '~no es que yo sea racista, pero síernpre he sostenido que hay razas insoportables") es falsa en cua](luicr
circunstancia, independientelllente de la verdad o la falsedad de p y aun' del significado que momentáneanlen te atribuyan10s a la variable.
Una f6rmula rnolecular cuyo valor de verdad es F para todos y cada uno de sus casos posibles se llama contradicción, y, por cierto, tiene tan poco con
. tenido empírico como las tautologías: es una falsedad fornwl.
I-Ia de notarse que -por aplicación de la tabla de verdad de ]a negación- toda tautología negada se convierte en contradicci6n, y toda contradicción negada se tranSlnuta en tautología. Así COIT10 en el
cuento de Stevenson el perverso ?vlr. I-Iyde era el otro yo del bondadosó Dr. Jekyll, ]a tautología y la contradicción pueden transformarse una en otra me
diante una sinlple operación, pero, con10 luego vere
~nos, una representa el rDodelo de razonaluiento a seguir y la otra una impureza cuya presencia echa por tierra el valor de cualquier dernostraci6n.
3. Contingencia
Si sustituirnos la con1paración anterior por un
sírnil ferroviario, podeInos afirn1ar que la tautología
y la contradicción son las dos estaciones terminales de una línea con nluchos puntos intermedios~ entre
72 LÓGICA, pn()POSho.~'-" • .' o~ '0' • __
el cxtren10 p.ositivo (verdad fonnal) y el negativo (falsedad fonnal) hay infinidad de fónnulas que resultan verdaderas para algunas cOlnbinaciones de verdad de sus cornponentes, y falsas para otras: son las fórnHllas dJntingentes.
Para uecirlo con 111ayor rigor, una fórnlula es contingente si y sólo si resulta verdadera por lo Inenos en uno de sus casos posibles y falsa por lo ITlcnos en otro. Cunlplidas estas condici'Ones, poco inlporta que sean 111ÚS los casos de verdad que los de falsedad, o viceversa: loda fórrnu)a que no sea tautológica ni contradictoria es. contingente.
La proposición que se obtiene por interpretación de las variahles de una fónn111a contingente (por ei~¡nplo, usi se pr~híbe él ~so de la barba y se implanta la censura )cinenlatográfica, se contribuirá a constituir una socicBad pacífica y virtuosa") no es forrnahnente falsa ni foni1aln1cnte verdadera; y, por· esto lnislno) lejos ele ser vacía de contenido, encierra I¡na infornlación sobre la. realidad (esto es, describe un estado de cosas). Si la descripción se ajusta a lo que en realidad acontece, la inforo'ación contenida en la proposición scrú verdadera; si difiere de la realidad, scrú una información falsa. Dc aquí se desprende que para averiguar la verdad o la falsedad de una proposición conlingente (es decir, de una proposición cuya eslructura lógica puede sÍlnbolizarse lnediante una fónnu]a contingente) no basta con analizar su tabla de verdad: es preciso exulninar el nnlndo elnpirico y buscar en él prue ...
T A UTOLOGÍA 1 CONTIUDlCClÓN y CONTINGENCIA 73
bas que verifiquen la proposici6n o que lnuestren su falsedad. Desde luego, no existen garantías de que hallemos tales pruebas: las ciencias empíricas, cuya !area consiste precisamente en investigacion~s (le este tipo, contienen infinidad de preguntas para las que aún no ~e ha e.ncontr~do respuesta concluyente.
Incidentahnente, '10 expuesto nos proporciona un nuevo dato para ubicar a la 16gica denh"o ·del panorruna del conocirniento hunlano: ella busca, entre otras cosas, descubrir y probar formaln1ente las tautologías, en tanto las ciencias naturales, por ejelnplo. procuran cleterrninar la verdad de ciertas proposiciones contingentes.
1. Implicación fonnal
Recorden10S ahora, por un Inon1ento, la tabla de verdad del condicional:
p q Ip => q I I
V V ;V V V', F V I F V v~ y F¡·Y·F F. F F¡!F'V: F
...
C'orno puede observarse) la fónTlula "p ::> q" es contingente: corresponde a proposiciones que dicen algo sobre el mundo y cuya verdad depende d:; que el valor de verdad del antecedente y del c-onse-
7·i LÓGICA, l'ROPO:
cuente se cOlnbincn en la realidad según una u otras de las rnancras Cnl..lIllCradas en la t.abla. A Inenudo HsanlOS el condicional para expresar una rcbci6n ca usa} ('\i torno vitarnina e estaré a salvo de rc~f ríos" L o las cond iciones para lCHna r una decisión ("si a pruebo él exa nlen il é a Llljftn a pie"), () para seflalar que un llecho es indicio de otro ("si la~ luces est:\n apagadas, no hay nadie en casa"); pero ninguno uc estos vínculos ernpíricos es indispensable para la verdad del condicional. E3ta conectiva es poco exigente, y se contenta con una correspondencia de hecho, aunque sea circunstancial o casual. "Si torno café, 110verá mañana" será verdadt~ra si runbas cosas ocurren, aunque entre ellas no exista relación alguna. Es nlás: l¡lInbién s~rá verdadera si llueve lnal1ana, aunque yo no tome café ho)'; y otro tanto si no tOIno café, cualesquiera sean 1:15 condiciones rneteor.ológicas del día siguiente. De todos rnodos, lo ~ que irnporta destacar es que cualquiera de estos cora.1icionales (u otro seniejantc que pueda in1agina'rsc) será falso o verdadero según exista o no un estado de cosas capaz de verificar el antecedente y hacer falso, al InisillO
tiernpo, el consecuente. Supongarr\os, en cambio, esta otra fórmula:
p ~ (p v q)
Una interpretación adecuada sería, por ejclnplo, "si soy abogado, soy abogado o violinista". Nótese que para ser abogado o violinista basta con ser abogado
·1 l
y basta también con ser violinista (sin excluir, por cierto, la eventualidad de un letrado aficionado al vio] Ín): todo abogado es abogado ó violinista (o zapatero, o astronauta); de lnodo 'que el condicional de nuestro ejernplo es tal que la afinl1aci.ón del antecedente fWS obliga a afirnlar el consecuente 12
Para probarlo, construyarnos una tabla de .,.'!~rdad en la que Clp" corresponda a '''soy abogado') ~ "q" a H soy violinista":
p q jp ~ (p v (1) - -V V V V VVV F Vi F V FVV V¡F V V VV F F F F V FFF
Nos encontranlos, pues, ante un condicional tautológico. En uno de los ejen1plos anteriores podía darse el caso de que las luces estuvieran apagadas y hubiese alguien en casa (lo que detenninarÍa la falsedad de] condicional rnaterial); pero si soy ahogado no puedo dej(lr de ser abogado o violinista, de Jl10do que la verdad de este condicional depende eJe su estructura f ornlal, y no de su correspondencia con la realidad eHlpírica. '
¿Por qué hay condicionales tautológicos? Lo que ocurre, en verdad, es que el enunciado que apa ..
J2 Una disyunción ('S vcrdatJera cuando .tI menos uno de sus componentes lo cs. Por lo tnnto, hajo el liupucslO de verdad de p estamos obligudos n llhiuuir \'crdaJ n la disyunción 'lue tiene a "p'. como uno de sus Jisyuntos ..
76
rece en el10s corno consecuen te ya está' contenido en el antecedent.e: de allí que, en el supuesto de verdad del t'1'lunciado rnás restringido~ no podarnos negar la proposición cuya verdad exi ge Incnos requisitos. 'Tal es, llespués de todo, el principio rector de cualquier razonaIniento deductivo: si la' vcn1ad de las prc1l1isas nos garantiz.a la verdad de la conclusión, es porque ésta ya estaba contenida -de un Inodo u otro- en aquéllas.
Tan irnportante resulta esta relación para la lÓgica que ha merecido un nÓlnbre propio: cuando un enunciado está incluido en otro, de tal 11lanera que la verdad de este último garantiza la verdad del anterior, Jccinlos que Inedia entre alnbos una rclaci6n de irnplicnción (tanlb{(!n l1alnada inlplicación lormnl, estdcta o lógica). ASÍ, todo enunciado cuya verdad asegura forrnnlnleTlte la verdad de otros enunciados inlplíca a cada uno de éstos. T'odo condicional forrnado de 1l1anera que el antecedente Ílnplique a) consecuente será. tautoltlgico; y, a la inversa, todo condiciounl tautológico indica una relaci6n de irrlpiicación entre su an~ecedente y su consecuente.
IIa de quedar en claro qu~ no toclJ condicional encierra una irrlplicnciún: para ello se requiere que el condicional sea tautológiCo. . '...Jos condicionales contingentes, COn1Q ya se 11ft visto, describen una situación de hecho, por lo q l1e su verdad estA sujeta n la realidad de esta rnisrna situación. Pero no es lógicamente posible un estado de cosas en que el
, , TA UTOLOC1.A, CONTRADJCCI0N y CONTINGf.¿"'lCL\
condicional tautológico o inlplicación resulte falso: la imp]¡cación -vacía de contenido enlpírico como todas las tautologías- no se refiere a los hechos ni afirrna cierta relación entre éstos: simplemente da cuenta de una relación abstracta, puramente lógica, entre proposiciones. Un hecho puede ser causa de otro, pero no puede implicarlo: la implicaci6n faonal es un vínculo entre proposiciones, y predicarla de los hechos tendría tan poco sentido como afirmar que el número 17 es yerno del 9, o que el edificio Cavanagh es un sublnúJtiplo de ,la Casa Rosada.
Como la Ílnplicación es un caso especial dentro del género de 105 condicionales, entre sus elementos puede observarse tarnbién la relaci6n de condición necesaria y de condición suficiente. En la fórInula H p :::> (p' v q) u, p es condición suficiente de
p v q, ya que garantiza su verdad. Y p v q es condición necesaria de p: si p v q no fuera verdadera resultarían falsas tanto p como q (por la tabla de verdad de 'la disyunción); y entonces el antecedente p no podría ser verdadero. Pero, por tratarse de un condicional tautológico, la, necesidad o ]a suficiencia con que antecedente y consecuente son condiciones uno del otro no son l1wteriales (es' decir, relaciones de hecho, dependientes de la verdad o falsedad de cada uno), sino fonnales, de naturaleza estrictamente l6gica. Así, en la hnplicación es lógicanwnte necesario que el consecuente sea verdadero si el antecedente 10 es, y es 16gIca1nente im-
78 lix:¡CA, I'HOPOSk ..
lJo,yihle que el antecedente sea verdadero si el con·
seCllcnte no lo es.
5. EquivulclH.:ih
Cuando por l'(l;:ones lógicas Jos proposicIones tienen sielnpre el rnisrno valor de verdad, podemos forn1ar con ellas un bicondiciolWl tautológico. Esto ocurre" por cjernplo, con el enunciado ccsoy abogado si y sólo si soy ahogado", cuya estructura corresponde a la f6rmula 41p =: p" y cuya tabla de verdad es la siguiente:
p I p ::.:-,; p -,----v VVV FI F V F
Así con10 todo condiciona 1 tautológico expresa una ilnplicaci6n, todo bicoudiciollal tautológic..'O expresa una equivalencia. })05 enunciados son equivalentes cuando Inedia entre ellos una relación tal que la verdad de uno garantiza forn1ahncnte la del otro y viceversa, y que la falsedad de uno asegura forn1~ Imente la falsedad del otro y viceversa.
I)el rnismo n10do que la Ílnplicación, la eq uivalencia es \1na relación entre proposiciones y no un vínculo entre hechos. Un biconuiciona-l contingente ( "hace frío si y sólo si rlle visto de azur') puede resultar verdadero porque eventualrnente sus dos térrninos tengan en un rnornento dado el rnis-
n10 valor de verdad; pero es 16gicanlcnte inlposible la exist.encia de un estauo de cosas en que la equivalencia resulte falsa, por lo que ésta --conlO cual(luier tautología- se encuentra desvinculada del rnundo eJnpírico.
Conviene hacer notar que) tal como acontece entre el condicional y el bicondicional, la equivalencia es una relación lnás restringida que la de implicación; cuando dos enunciados son equivalentes púclelnos afirrnar que cada uno de ellos ín1plica al otro (ya que la verdad de uno garantiza la verdad del rest~nte); pero, si sólo sabernos que un enunciado irnplica a otro, no podernos sin n1ás asegurar que alnhos son equivalentes. Co¡no una avenida de tloble Inano, la equivalencia contiene UOS inlplicaciones de sentido inverso .
. ,:,
v
LEYES LóGICAS y HEGLAS DE INFERENCIA
l. "Dura lex) sed lex··
I-Icnlos dicho antes que una de las tareas principales de la lógica ctJnsiste en buscar y probar las tnuto]ogÍas. Pero ¿no habíamos quedado en que la función de ]a lógica es establecer y contrblar la validez de los rnzonarnientos'? Pues bjen: alguna relación ha de existir entonces entre razonanliento
válido y tautología, y esta relación puede observarse a través del concepto de ley.
U na ley lógica es ~lna fórnHlla proposicional tal
que, si en ella se sustituyen las variables por cons
tantes del tipo a que ellas se refieren (en nuestro C3S0, por proposiciones), el resultado será sielnpre una proposición lógicamente verdadera.
¿Por qué una leyes una fónnuJu, y no una pro
posición? Existen proposiciones lógicamente verdaderas ("el cielo es azulo no lo es
n; '·'no es posible
82 U>Cl\.A, pnoPOS¡c.
que alguien sepa leer y escribir y sea a la vez analf abeto"); pero cada una de ellas, aisladamente considerada, es apenas un ejenlplo de una estructura lc')gica que detennina su verdad. Y, COIno ya sahenlos, el uso de variables (es decir, de símbolos abstractos a los que puede atribuirse un significado cualquiera de cierta categoría) permite aislar aquella estructura y distinguirla de otras, con total independencia del enunciado real en que ella se manifieste. Cada ley lógica enuncia una tautología, de tal modo que su verdad formal se Inantiene en t0dos los ejemplos que con su rnisnla estructura se obtengan por interpretación de variables.
Ahora bien, todllS las tautologías son leyes lógica.s; y de allí proviene su irnportancia. Cada' vez <lue descubramos que una fónnula es tautológica, podremos estar seguros de que hemos hallado una ley; y, al grito de cc¡Eurekal." -u otro que nuestra inclinación nos sugiera- podrelnos inscribirla en .. tre las inmutables verdades de la 16gica. Desde luego, no es aconsejable asulnir esta tarea con afán de coleccionista: el número de las tautologías es infinito, y sólo algunas de ellas son apreciadas, según la utilidad que brinden 11
13 A modo de salvedad y con miras a la mejor comprensi6n' eJe temas futuros, conviene adé\rar que todas las tautologías proposiciona les son leyes 16gicas pero que no to.:.las las leIJe3 lógica3 son tautologÚl3 Vropo.tidonaI83. En efecto, la lógica' proposicional es sólo un
,.capitulo dentro de un campo mucho más nmplio; y dentro de otros sistemas (lógica de predicados, lógica modal. lógica de6ntica. por .ejemplo) existen leyes adicionales que no SOn tautolog[as proposicio-
f ¡ t.
......... '\.,I.~.- __ _ .. '. _ ... _.
2. Una cosa es una cosa, y otra cosa es otra cosa
Gomo todas las leyes de la lÓgica proposicional son tautologías (esto es, estructuras capaces de albergar -por interpretación qe variables- proposiciones formalmente verdaderas), no existen teó· ricalnente leyes que sean más importantes que otras: cada una de eH as puede deducirse de otras
leyes (colno luego verernos)) y ninguna tiene el privilegio intrínseco de servir de base a las demás. Algunas, sin ernbargo, por su sencillez y la f recuencia de su uso, han sido consideradas tradicional .. rYlente corno princi¡Jíos elementales de la lbgica. Tal es el caso de los principios (o leyes) de identidad, de no contradicción y del tercero excluido.
a) El principio de identidad
El principio de identidad no es otro que el que in1plícitamente solclnos enunciar cuando -entre bromas y veras- afinnamos que fe una cosa es una cosa, y otra cos~ es otra cosa" En efecto, la ¡dentidad puede fonnularse así: toda proposición se inl
plica a sí misnla.
p ::> p
lIales. A C!it:l previsión (.·oH('sponot! t.1Jllhiéu el modo gcoerJco en que se ha odinldo el cOllccplo 0(' It'r: en t\ Mgica proposicional las varhdJles representan precisamente pr.oposidoncs; pero cn otros 1.:01-pitulos de la lógica exblcu \'ariables de Jifereule natnfuJc:z.n.
84 LÓGICA, PROPOS1Ch
Es decir: 'Hsi hace sol, hace sor; o Hsi las bnljas \' .elun, vuelan". Esta írnplicación, sin embargo, t:, ¡le una :pec:uliarídad: como su antecedente y su cOllsecuent,e son idénticos, y por lo tanto. intercambiables, la relación entre 3rnbos fUIlciona tanto en un sentido como en el otTo~ Hesulta de ello, pues, ti. 1 · una cqu1va encUl:
plEp
a saber: toda proposici6n es equivalente a sí 1nis1rUl. Es más cornún, clnpero, enunciar el principio de identidad como una inlplicación.
b) El principio de no contradicción
El principio de no contradiccilSn establece que ningunIl ]1roposici6n puede ser verda'lera y falsa al 1Hisn~o tiernpo:
-.( p . -p)
1:n ocasiones anteriores hCInos utilizado ejemplos de contradicci0nes para mostrar intuitivalnenle ca-' S0S típicos de enunciados lógicanlentc inadlnisibIes: "Todavía Ine quedan algunas fichas para el teléfono, pero se file tenninaron"; e'la lun~ es redonda, pero no es redonda". Tales enunciados tienen la estructura sintáctica representada por la fórrnu]a :
p . -p'
Pues bien, al negar dicha fórmula, el principio de no contradicción indica precisarnente que cualquier
enunciado con esa estructura lógica es formalmente falso (una contradicción); y el propio principio, que niega la contradicción, resulta forrnahnente verdadero (u~a la utología) ..
e) El principio del tercero e~cluido
El principio del te:fcero excluido puede enUll
ciarse así: toda proposición ,es verdadera o falsa. O, lo que es lo 11lisrno, o bien es verdad-el'a una proposición, o bien es verdadera su negl1ci6n:
p v-p
Esta ley -que corresponde al carácter bivalente de la 1ógica que estudiarnos- fija dos (y s6lo dos) posibilidades para cualquier proposici6n) a la vez que excluye, como inexistente, cuaJqui~r tercera posibilidad que no sea su verdad o su fa,isedad: la pared puede ser Llanca o no ser blanca, "pero alguno de estos dos enunciados (lila Ilared es blanca'" y "la pared no es blancaf~) tiene que ser verdadero.
Aquí es posible prcf.,runtarse.: si una proposici6n debe ser, necesarian1ente, verdadera o falsa (tercero excluido), péro no puede ser a la vez verdadera y falsa (no contradicción) ~por qué sinlbolizar el principio del tercero excluido con una disyuncibn incluyente? ¿No sería Inás propio utilizar la disyunción excluyente?· En efecto, la fónnula;
p =F --p
RO LÓGICA, PROrnSlC¡
pcrrnitiría n1a~ar dos pájaros de un tiro, al resunlir en sí los principios de no contradicción y del tercero excluido. Pero la lógica nohu5cu ahorrar perdigOHCS, sino analizar los razonárnientos del Inodo lnús profun(lo p()sible. Y para qsto debe desnlenuzar las fórnlulas válidas y aislar las tautologías nlás clcnlcnta les, sin perjuicio de observar luego el rnodo en que puedan cOlnbinarse. La no contradicción y el tercero, excluido son tautologías diferentes, y su fonnuluci6n por separado pennite individualizarlas ¡nejor.
Pero aún suele suscitarse una rcf]exióI1 más: ¿el principio del tercero excluido no resulta demasiado r¡guroso en relación con la realidad? Puede ser de día "puede ser de noche, pero también existe un nlornento del crepúsculo en que no es exactalnente de día ni de noche. Y algo senlejante puede decirse del color gris entre el blanco y el negro, y de la tihieza entre el frío y el calor) y de todos los térnli nos Inedios en cuanto resultan distintos de los extrenlOS.
Para aclarar este punto es nrcciso jistinguir la contradicción de la contrariedad. Dos proposicio~ nes son contradictorias entre sí cuando unn equivale a la negación de la otra, de tal nlodo que no pueden ser las dos verdaderas ni las dos falsas: "llueven y Uno llueve"; "huce frío" y Uno hace frío", En calnbio, dos proposiciones son contrarias cuando son incolnpatibles (es decir) no pueden 'ser am .. has verdaderas) pero dejan entre ellas un espacio
. para otras posibilidades. ASÍ, contraria de 4'la pared es blanca" sería. 4'la pared es negra"; pero contradictoria es C']a pared no es blanca
n• Contraria
de HLeónidas era valiente" es "Leónidas era cobarde"; pe,ro contrqdictoria es "Leónidas no era valiente", o ~]o que es lo Inismcr- c'No es verdad que Leónidas fuera~ valiente·'. Dos proposiciones contrarias pueden ser ambas falsas, pero entre dos proposiciones contradictorias (es decir, entre una proposición y su negación lisa y llana) alguna tiene que ser verdadera. La pared es blanca o bien no . 10 es (por ser negra, gris, verde o de cualq Lier otro' color); y Le6nidasera valiente o bien no lo era (por ser cobarde o porque su valor no alcanzase el
(
grado que la historia le atribuye) ..
3. La justificación de los principios elementales .
. Cada uno de los tres principios tradicionales tiene una . justificación extrasistemática e intuitiva, y su uso puede advertirse en todos los razonan1ientos, incluso en 1«,1 construcción de las tablas de verqad.
El principio de identidad es una nece.6idad de todo lenguaje: para hablar de un objeto o para describir un estado de cosas es preciso suponer que ese objeto o ese estado de . cosas es idéntico a sí nlismo" &1 n1enos en el momento al que nos referimos. La pirueta de una bailarina es un acto fugaz; pero una
88
vez curnplida es posible recordarla y hablar de ella corno de una realidad fija :?or cOlnparación con la cual heITlOS de detern1inar la verdad o la falsedad de la descripción que de ella se haga. Si adoptá~e)nos una lógica en la que (por ejernplo) el COfl
,~( l'lto de un estado de cosas fuera tan transitorio COIno el propio estado de cosas a q tIe .se refiere, no l){)(lríarnos hablar del soniJo de t~na c~l1npana, lli ,1(~1 sabor de un sorbo de vino, ni de ]a película que vinl0s ayer: palabras, nombres y descripciones tendrían vida tan corta que su uso resultaría inútil en la' nlayoría de los casos. Pues bien, una nluestra del uso de esta ley aparece en la lasignación de valores de verdad a las variables de una fónnulu. Si a una variable detern1inada C'q", por ejelnplo) helHosasignado el valor V para uno de los casos posi .. bIes de la tabla de verdad, dentro del tnismo caso ntribuirernos el valor V a cualquier nueva aparición de la variable HqU en la miSlna fórnlula.
La no contradicción está estrechalnente vinculada con la identidad: si el lengua je ha de servir para translnitir infonnaciones, no sólo se requiere . 'que -cada proposición tenga siempre el nlislT10 valor de verdad: tall1bién es preciso que ese valor sea uno solo. Para esto las tablas de verdad asignan a cada fórmula un valor (y sólo uno) para cada ca .. so posible. Supongarnos por un lTIOIllento que, frente a una f6rnlula cualquiera, respetarnos el principio de identidad ll1c<.liante la asignacibn a cada vari~hle del niÍsn10 valor para ,todas sus apariciones
en ~ada caso posible, pero que este valor es a la vez V y F. Este rechazo del principio de no contradicción nos llevada a consecuencias ciertalncnte molestas: nuestro cálculo lógico resbalaría sobre la ambivalencia de las variables y arribaría a todas las conclusiones, deseadas o no. Por ejenlplo, cada vez que afinnamos que este tren va a C6rdoba aseguraríarnos, al miSD10 tiernpo, que se dirige a Mendoza, a Salta y a Río Gallegos, e incluso que se queda tranquilanlente en Buenos Aires, lnientras atraviesa el océáno para llegar a ,Tokio.
l-"a ley del tercero excluido, en cambio, no es una necesidad del lenguaje: es, en todo caso, una rnanifestación del carácter bivalente de la lógica rnás cOlnún H. En efecto, estarnos habituados a dis-
, tinguir entre proposiciones verdaderas y proposiciones falsas. Mientras nos atengalnos a esta distinCiÓI~, el principio del tercero excluido formará parte de nuestros razonamientos válidos. Si, por el contrario, supusiéranlos tres valores de verdad, una proposición podría tener cualquiera de estos tres valores y aparccerb., un principio que podría lIalnarse "del cuarto excluido". De este modo, cualquier elección de n valores de verdad para fundar una lógica dará lugar á una ley según la cual toda proposición debe' tener necesariamente uno de aquellos valores, con exclusión de olro u otros (n -1- 1, por ejclnplo) que pudieran in1qginarse. Dentro de
Ji Ver capitulo IlI.
90 LÓCICA, PRO. fA
nuestra. lógica hivalente, la construcción de una tabla de verdad aplica el principio del tercero excluíJo cuando en ella 'se alternan sólo los valores V y F.
4. Pequeño digesto proposicional
Entre las infiIlitas leyes de la lÓf.,rica proposicional, helnos exulninado con rnayor detenÍlniento las tres que la tradición aristotélica ha consagrado con10 elen1entales por la facilidad de su justificación intuitiva. Pero rnuchas otras leyes tienen uso frecuente en las demostraciones lógicas; por lo que conviene tener presenl e una lista de las más comunes:
Identidad: P ::.J P (tan~bién p == p)
No contradicción: - (p . --p)
'[erecro excluido: p v-p
1 clelnpotencia de la conjunción: (p . p) ::::;: p
ldempotencia de la disyunción: (p v p) == p
I)oble negación: - -p:::= r
f L
r 1 L.
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L
LEYES I.ÓCICAS y RECLhS DE lNl"DtE.NClA
Simplificación: (p . q) :J P
Adición:
P :J (p Y q)
Ley de De ?vlorgan 15:
(pI. q) == .:...( -p v -q)
Ley de De Margan lG:
(p V q) ;;: -(-p -q)
Definición del bicondicional: (p :::: q) == [( p ::> q) (q:::> p )]
Definición del condicional:
(p ::J '1) == (-p v q)
(p ::> q)' Ea - (p . -q)
Negación del condicional: - (p ::> .. q) -- (p . -q)
Transposición;
(p ::J q) ~ (-f} :J -p)
Transitividad del condicional: [(p ::> q) . (q ::> r)] ::> (p ::> r)
Asociatividad de la conjunción: fp . (q . r)] == [(p. q). r)
u Las equivalencia!! que pern1it~n trnnsfomlnr una conjunción eH disyullción y vice\ersn (por ello lIamada:s lelles de tTon .. vfornwcMn) fueron enunciadas por el ulalemAtico y lógico Ingl~s Augu~hu De Morgan (1806-1871).
92 LÓGICA, rROPO!..
Asociatividad de la disyunción: f. p v (q V r)] == ( (p v (1) v r}
Asociatividad del hiconclicional: f. P T (CJ ::-.5 r) 1 ":-: í (p =::.: q) -- r 1
ConlYlutatividad de la conjunción: (p . q) ~ (q . p)
Conmutativjdad de la disyunción. (p v q) .::::: (q V p)
Conmutatividad del bicondicional: (p E3 q) :::::: (CJ == p)
. Distlibutividad de la conjunción resp~cto de la disyunción:
[p .(q v r)] ES [(p. q) y (p . r)]
Distributividad de la disyunción respecto de la con-• • I
Junclon: [p v (q . r)] =:: [(p V q).(p.y r)]
A utodistributividad del condicional: [p ::l (q :J r)] == [(p ::> q) ~ (p :J r)]
Alodus ponens JI:
(p ::::> q) . p] ::::> q
10 El modus poncnf (cuyo nomhre completo en latín es modus ponendo ponens) es una ley do larga tratlidóll, estrechamente lig:\tla u la estructura de los silogisffios (;olldicionales. Etimol6gicamente, es el modo que afirma (pone) afirmando (poniendo): dado el condicional (p ::) q) I la aHnnad6n del ¡mteccdcntc P pt!rmitc af{rmar el consecuente q.
r ¡ L
LEYES LÓGICAS Y REGLAS DE INf1::R.ENClA
f.,f odus tollens 11:
[( P :J q) . -q] ::> -p
Silogismo disyuntivo: . [(p v q) . -p] ::> q
Adición de tautología: p IX:: [p. (q v -q)]
Adici6n de contradicción: p e: r p v (q . -q)]
In1plicación de los conjuntos: [p => (q . r)] :J (p :J q)
[p :::> (q . r)] :J (p :::>r)
! ---
Frente a este despliegue de fórmulas convendrá que no nos dejemos dOlninar por el desaliento. Si, en lugar de contemplar su conjunto con ojos lánguidos y triste meneo de cabeza, exalninamos las leyes una por una y -en caso necesario-- las ejclnplificamos en lenguaje natural a través de la interpretación de variables, advertiremos que todas ellas son de fácil comprensión. Y, una vez aprehendidas intuitivamente, las recordaremos sin mayor dificul.: tad para utilizarlas cuando nos convenga.
17 El modw tollen, (o modw tollendo tollen.s) el una tautología similar al moduJ poneru, pero 11 la inversa. T ollere, en latín, significa sacar. quitar y -en este caso- llegar. Se trata, pUe5 del modo negativo. del modo que nie~a negando: dado el condicional (p ::J q), la nc¡aci6,n de! consecuente q' lleva a negar tambiin el antecedente p.
LÓGICA, Pf\OPOSI
5. Inlcrdcfinihitidad de las conectivas
Entre las leyes ya enurneradas se distinguen algunas (defilliciones del condicional y del hiconoícional, leyes de I)e tv1organ) que perrrlÍten trans[onnar una fónliula basada ep una conectiva en otra fÓrnl\¡}a equivalente construida en derredor de otra conectiva.. Esto sugiere que las conectivas son definibles entre sÍ) con ayuda de la negación; y, en efecto, pqr lYlcdio de aquellas leyes y de sus cODlbinacioncs es posible trazar el cuadr? de interdefinibilidad que aparece. en la página 96.
El análisis del cuadro de interdcfinibilidad permite fonnular algunas observaciones_ Ante todo, naturahnente, se advierte que la negación es un instrurnento necesario para definir las restantes canee· Uvas, pero no es el1a n1isll1a definible en ténnint}s de otras: por ser la nlás sencilla de las constantes 1, . 1 ' 'd- '} oglcas -rccon eInos su caracter nloIla' leO-- so o puede ser definida mediante la tabla de verdad correspondiente.
IIan quedado anulados los lugares. situados en la diagonal que arranca desde la esquina superior izquierda del cuadro, ya que en ellos sólo cabría la repetición lisa y llana de la fórmula a definir; pero existen además otras ausencias, todas ellas si· tuadas en las colulnnas de la disyunción exc1uyente y del bicondicional. Y esto ocurre de un modo
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L
l.LYES LÓGICAS Y nEGl..AS DE l~F1:.J'\t:::NC¡A
peculiar: cada una de estas dos conectivas puede definirse en ténninos de la otra, pero ninguna de
ellas pennite definir la conjunci6n, la disyunción incluyente ni el condicional; en tanto estas últimas definen cualquier 9tru. ¿A qué se debe esta. situación? Sucede que las conectivas proposicionales tienen distintos gr~dos de conlplejicL.1d. La Hlás
sirnple es, COlTIO hernos señalado, la negación. En el grado siguiente se sitúan la conjunción. la disyunci6n incluyente y el condicional, que pueden definirse entre sí con ayuda de la negación y, del miSH10 lTIodo, pern1iten definir la disyunción excluyente y el hicondicional. Estas Jos últirnas conectivas, ee canlbio, contienen relaciones complejas. Hecordemos que, en tanto la disyunción incluyente .'p v q"' indica que es verdad p o es verdad q, la excluyente "p =¡t:: qU siInboliza lo Inislno, pero con el agregado de que no son verdaderas p y lJ a la vez. Del rnismo 1l10do, el bicondicional comprende dos condicionales cruzados entre sí, de nlO
do que tarnbién incluye mayor inforn1ación que 1as , conectivas por medio de las cuales se lo defínc. Las conectivas nlás cornplicadas, pues, pueden ex-
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plicarse entr~ sí y talnbién a partir de las Inás 5en-
cil1as, pero nO a la .inversa.
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6. Los signos auxiliares frente a las leyes de 8sociatividad
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RecorJelnos que al establecer las reglas de fOf
Inación u se dijo que dos fónnulas unidas por una conectiva diádica debían estar encerradas en un par de signos auxiliares. Pero, como dice el refrán, ·"hecha la ley, hecha la .trampa'·: la profusión de paréntesis, corchetes y llaves tiende' a hacerse .farragosa, por ]0 que inmediatamente establecimos una convención a fin de sua vízar los efectos de aquella exigencia: cuando una expresión sinlbólica no diese lugar a alnbigüedades, onlitirÍamos los paréntesis.
Aquí se nos presenta una nueva perspectiva para ampliar la libertad que nos ~omamos respectd de los signos auxiliares. La conjunción es asociativa:
[p . (q . r)] :::= ( p . q). . r] De aquí resulta que, frente a tres o más fórolu]as unidas entre sí por conjunciones, el uso de paréntesis no establece difGrencias: cualquiera que sea la fornla en que los dispongamos, el valor de verdad de la fómlula fnolecular no 'sufrirá modificación alguna. Es lícito, pues, escribir:
p.q.r
Otro tanto puede decirse de la disyunción y del bicondicional, de nlodo que también escribiremos
lit Ver C'apituJo 1I~
LÓ(::CA, PllOPOSlc
te ,... "Nf 1 t P v q v r y p == q :.:;::: r . a tu ra In {~n .C, no puede hacerse lo ndslno con el condicional, que no e~tú sujeto a la ley de asociatividad.
7. Hcglas de infl!rcllt'Ía
Si ql1CrCH\OS trasladarnos a di:stancias cortas, sin gasto ue cOlnbllstible ni contalllinaei()n del ~llnbicnte pero 111:'15 rápido que a pie, pOdenHJS cOlnprar una bicicleta; pero tenerla en·' nuestro poder no garantiza todavía el cumplÍlllicnto de nucstros objetivos, a menos que seanlOS capaces de ~nantel~crnos en equilihrio sohre el sillín. Para lograr esto existcn técnicas, ciertas reglas acerca de CÓlTIO hacer girar el Jl1anuhrio o inclinar el cuerpo en cada circunstancia, que aprendernos tras inevitables polTazos y que, por úhilno, se convierten en un au
,tornatislllo, en algo que hacenlos sin pensar. Sólo ~l, partir de este nlOHlento podenlos utilizar nuestra flamante adquisición para ir adonde queramos.
Algo :-;elnejante ocurre con las leyes lógicas.. Ellas sirven para controlar la vnl~uez <.le los razonanlienlos; pero en sí nlisJn~lS son fórnlu}as tautológicas, IHOdeJos de razollarnicnto vúlido a partir de las cuales han de inJerirse o deducirse otras fónnulas. Esta inferencia es el rnouo de (,0111pnrar una fónnula (:on ot ras (por cjen)plo, la forrnalización de un
razonarniento que hCIll0S escuchado o leído con una ley (ltlC a prilnera vista. p~lrecc corresponderle); es
t o
decir, un procedimiento intelectual en el que las leyes han de usarse de cierta manera. Este 1TUlnual
para el uso de las leyes está cODlpuesto por las lIarnadas reglas de iHferencia. I .. as r~glas de inferencia son distintas de las leyes, del nlÍSHlO rnod,p que el arte de conducir una bicicleta es diferente de la bicicleta misrna. Podríalnos decir de ellas que son rnetaleyes (es decir, leyes sobre leyes) ; y, en la lnedida en que las leyes fOIman parte de cierto lenguaje fonnalizado objeto de nuestro estudio (el lenguaje objeto, el utilizado para construir f6rnlulas), las reglas de inferencia han de expresarse en otro nivel de lenguaje, desde afuera del lenguaje en que e.stán expresadas ¡las tautologías; es decir, en un lnetalenguaje, que bien puede ser -para el casoel idioma natural en que nos expresamos habitualmente 1".
Pues bien, ¿y cuántas reglas de inferencia existen? Infinitas: hay una general, común al D1anejo de todas las leyes) y además una instrucción especial para cada ley. Sin embargo, cOJno verernos,
10 En renlü.lad. la diferencia entre lenguaje objeto y metalenguaje ya ha sido ulili:wJa. nUllqut! CII forma algo subrepticia. Se ha definido la implicación como un condicional tautológico; pero cuando decimos •. 'p ::J p' es una tautología" .\Íirmnmos de "p :> p" algo que dicha fórmula es (o muestra, comO diri.íl \Viugenstcin). pt:ro que ella no dice: acerca de sí misma. Tal nflrmación corresponde entonces al nivel me-talingüístico. .
Es mas, los propias taLlas de verdnd forman parte del metalenguaje; no son fórmulas, sino eS(Juem.1s que permiten averiguar el carácter de las fórmulas.
100 L6cICJ., PI\OPOSl
nuestro manual de instrucciones puede reducirse en la práctica a dos reglas de inferencia.
8. La regla dc~ sustitución
Suponganlos que, nI observar la ley de adición, alguien nos dijera: "Si, comprendo que p ::::> (p v q); pero esto s610 enuncia una propiedad de "pu. ~.y las otras variables? ¿Y las infinitas fórmulas de la lógica ?u. Indudablelnente, quien interpretara las leyes de un rnodo tan lim"itado no sería capaz de aplicarlas a los casos concretos: para esto último es preciso generalizar la estructura válida contenida en cada ley.
Por esto, el empleo de las leyes 16gicas -de todas ellas- requiere tener presente la regla de sustitución implícita en el uso :de variables: puesto que una variable puede tener¡ cualquier contenido, y puesto que cualquier proposición puede ser simbolizada filediante cualquier variable, una variable presente en una ley puede ser sustituida por otra, D aun por una fórmula rnolecular, sin que la estructura original de la ley deje de ser tautológica. Claro está que en toda sustitución debe curnplirse inexorablernente el requisito básico del lenguaje sirnb6lico: la variable debe sustituirse del lnisrnú filado en cada una de sus apariciones.
Tornemos corno ejemplo la ley de adición:
(1 ) p ::> (p v q)
La variable "p" podría sustituirse por "r":
(2) r :J (r v q)
(3) r => (r v s)
La fónnula 3, así obtenida, es también una tautología y otro modo de enunciar la ley de adición. Pero no s610 se trata de sustituir va!iables por variables. Examinemos esta fórmula:
( 4) (q es: ~r) :J [( q == -r) v ( p . s)] '----y---.J '-.---:.....,.. J '----.--
P P q
Las llaves horizontales lnuestran el modo en que cada vadable de (1) ha sido sustituida por una fór M
InuIa nlolecular arbitrariulnente elegida (claro es-.tá, la miSlna para las dos apariciones de "p" en (1)) y 01uestran que la estructura tautológica de (1) ha
. sido conservada, por lo que (4) resulta también una tautología. Lo. Jllistno ocurrirá con cualquier otra s~~stitución n1ás cOlnpleja que se nos venga en gana, sicrnpre (lue respeternos la estr\lctu~ básica de la fórmula original. En otras palabras, lo que en una ley se dice sobre una variable puede hacerse extensivo á cualquier fórnlula que sustituya á di- . CM variable para todas sus apariciones dentro de la lnis11Ul estructura; es decir, siempre que no se tú
(luen las conectivas de la fórmula original.
lO ¡
102 LOGICA, l'RU1'O~1
Existe una forma privilegiada de sustitución, llalnada intercG1nbio ~o. El privilegio del intercarnbio consiste en que no es necesario sustituir la vari~b]e en todas sus apariciones: puede hacerse el reenlplazo en una de ellas, sin tocar las denlás. Pero para gozar de esta prerrogativa es necesario cunlpBr un requisito riguroso: una fónnula sólo puede ser intercambiada con otra fórmula equivalente a ella (recorJelnos que esta palabra indica eq uivalencia forrnal, bicoildicional tautoI6gico).
Así, si se nos presenta la fónnu]a
(1 ) - -p v -p
paJrcInos simplificarla de este lnodo:
(2) p v -p
ya que sabenlos, en virtud de la ley de la doble negación, que
- -p == p
Del nlislno luodo, de la f6nuula
( 1 ) (p. q) :::> [( p . qJ v. r] . l·
",
puede inferirse
( 2 ) - ( - P v -'q) :::> [( p. q) v r] " ,
20 Se sigue aquí la terminología de Quine (ver Quine, \ViII.ud Van Orman, Los métodos de la lógica. Barcelona, 1005. p. 90 )' si:.:uientcs) .
donde hemos intercalnbiado "( p . q )'., en sü prirnera aparición, por su equiyalente según la ley de De !vi ofgan.
Para resurnir, pues, este telna, pueden fj jarse las siguientes reglas:
19 ) Una variable (una variable, no cualquier fórmula) puede ser sustituida por cualquier fórmula, siempre que la rnisma sustitución se opere en todas las aparicion'es de la lnísma variable.
29 ) Cualquier fórmula (no ya necesariamente' '.' una variable) puede ser intercambiada, en cualquiera de sus 'apariciones, por otra fórmula equivalente a eIJa.
Estas formas genéricas de inferencia no valen sólo para 1as tautologías: la sustitución permite también inferir una contradicción de otra contradicción, y el intercanlbio sirve, (u[Clluís, para deducir una fórrnula contingente de otra fórmula contingente.
9. La regla del "modus poneos"
lIemos dicho que cada . ley podría tener una
instrucción particular para su uso; pero, como quiera que las' leyes están deductivamenle relacionadas entre sí, en la práctica basta con saber utilizar el
11lodus ponens nara que, nlediante diversas combinaciones, todas las denlás reglas de inferencia queden a nuestro alcance.
104 L6GICA, pnop~
¿ y (lué dice la regla del 11UJdus ponens? Que de un condicional (p :J q) y de la afirrnación oe su antecedente (p) se infiere el consecuente . ( q). Este ra:Lonanlicnto se expresa Hinchas veces eneohlInnado y con una raya antes del resultado,· COlno
S1 flJcra una sunla:
P :J q P q
Pero -diren1os- horizontal o vertical, este te· 111:1 ya resulta repetido. ¿Acaso no hernos estudiado el 1HOdus f10nens conlO ley? Allí se decía:
[(p => q) . p]=> q
de lo. que se desprende que si afinno "p ::> q" y tarnbién afinno "p", necesarian1en le he de aclrnitir
. la verdad de q. Ojalá fuera tan siroplc. Lewis C::arroll (1832·
1898), el aulor lle ¡\licio en el país de las 1}l{lravillas,
q lle era UI1 clni nCll te lna l crn út ieo y lógico, d(~d icó \In divertid ísítno trabajo:!1 a dcrnostrar que la ley elel 1J u)(1 11 s' ponen') no 1I0S perrllitc inferir el consecuente él ¡nenos que, previarnente, hayulnos aceptado itl1nhién la regla de inferencia correspondiente expresada en lnetalenguaje. En el cuento de (:a· 1'r01l, la astuta tortuga hace ver al ernpeñoso Aquiles
!!l C~rrolJ. Lt!wis (Charles L. Dodgson). Lo '1ue ltl ttlttU}{ll le di;o (1 Aquiles, en "El juego de 1" h)~ica y olros escritos", t-.t..ulrid, 1972. p, 153 Y siguientes.
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I I . ! L.
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que una cosa es aceptar una implicación (corno la ley del 1nDdus ponens) en la que 110 se afirnla el antecedente .. (p :,:) q) . p" ni el consecuente "q", }' otra distinta es adolítir primero el condicional (p :::> q) J después su antecedente (p), y a partir
'de tales' prcluisas inferir el consecuente (q).
En efecto. la tortuga adnlite el condicional y su antecedente, pero niega el consecuente. Aquiles invoca la ley del 1nodus ponens
l y la tortuga acepta
talYlbién la ley, aunque mantiene su posición. En cada paso sucesivo, ante las protestas de Aquiles, la tortuga adlnite todas las prenlisas que su contrincante le propone ... sieJnpre que se expresen hipotéticaIuente; esto es, corno partes del antecedente de una iropBcación. Esto le deja siempre la posibilidad de rechaz~r el, consecuente, con lo que el argun1cnto se convierte en una intenninable burla para Aquiles: en cada nl0rnento, la aceptación concreta del consecuente depende <.le alguna prenlisa hipotética q~le la tortuga aún no ha adrnitido, y que una vez est~lblecida ser{t trunbién insuficiente. '
El truco de la tortuga es SClTlejante ··-~n otro plano- al de un abogado que reconociera la vigencia de todas 1as nornlas jurídicas del país~ pero se negara a cUlnplirlus. Vano sería uictar una, nueva ley que dijera que las' nonnas vigentes deben ser cUlnplidas: aceptaría también esto y lnantendría su negativa. Para obtener resultado prúetico
. sería lnenester ohligarlo por la fuerza a realizar la conduct~ exigida; esto es, a poner en (/cción Jo que
lUO LÓGICA, Pnopo,'
tan f{(cilrneI1te aceptaba dcsJe el punt.o de vista intelect ua1. Pues bien; la 1lSgiea no contiene norrnas coactivas, sino csqueJnas válidos de ,razOnalllÍcnto. Pero para ponf:r en acción tales esquenlas es preciso ac(~rdar que (Jk\s han de servirnos COlno
pautas para nuestros argUlTlcntos sobre la propia lógica; y este acuerdo !lO puede establecerse sino desde fucrá de las nlÍsnlas leyes flue forrnan nuestro ohjeto de conocimiento: es decir, desde una suerte Je 1ncta-lágicll, así COlno el precepto según el cual las normas jurídicas de.ben ser cumplidas es una l1lCla-rl0r112fl, y así cornO I los comentarios contenidos en las solapas de una novela corresponden a un nivel de lenguaje diferente del de la propia nGveJa a (pIe se refieren. T'al es, pues, la sutil. dislinciC)Jl entre una regla de inferencia y una ley -las del 1nodus ponens- que parecen tener idéntico contenido pero se nluevcn en d.iferentes niveles.
VI
OPEHADOHES MODAI ... ES. ~JODALIDADES ~Lf:TICAS
1. 1\fodalidadcs
En la 16gica proposicional usalnos letras nlinúsculas (p, q, T, etc.), a las que llanlamos variables, para representar proposiciones. Estas proposiciones son descripciones de estados de cosas, y pueden ser verdaderas (cuando desc.iben un estado real) o falsas (cuando afinnan un estado de cosas inexistente). Así, "pu puede representar expresiones conlO Htodos los hornbres son mortales", "la luna es una bola de queso Gruyere
J
' ú '''rni tío abuelo fue ahorcado esta nlañana". A su vez, a partir de las variables es posible silnbolizar proposiciones cOIllplejas (cuyo valor depende de lo~ valores de .
. verdad de sus cOlnponentes) por rrledio de conectivas u operadores lÓbricos, De .. estos operadores, uno es 1Tlonádico (la negación, que sólo se refiere a la fó'nnu]a situada inmediatamente a su dere-
108 L6cIC.~:, l'ROPOSICIÓN Y ~OnMA
cha) y los delnás son diádicos o binarios (vjnculan . dos f6rmulas, una de las cuales -se encuentra a lá iz~ quierda y otra a la derecha del operador).
Una proposición, como sabemos, puede ser verdádera o falsa (y, por. cierto, una y s610 una de)as dos cosas). Pero a menudo usamos expresiones cuyo significado no se agota .en la .afirmaciórt de hecho' -verdadera o falsa- . 'iue contienen.. Tomemos los siguientes ejemplos: . .
1) ccM i tío abuelo fue ahorcado esta mañana, laínentablemente".
2) ((Mi tío abuelo fue ahorcado esta mañana, afortunadamente".
Tanto en 1 como en 2, la verdad o la falsedad de la descripción de estado dependen de una misma, situación (a saber, que mi parie!lte haya sufrido o no esta ¡nañana la poco estimulante· anécdota que se le atribuye). Pero entr.e ambos ejemplos existe una diferencia relevante, que va· más allá de aquella descripción.. Esta diferencia está aquí .representada por dos adverbios, que expresan -en este casocierto juicio de valor act!rca de aquel hecho.
lIaciendo, pues, abs9"acci6n del estado de cosas cent~al, los mismos ejelnplos podrían simbolizarse parcialmente de esta manera:
3) c~La verdad de p es digna de ser lanlentada"
4) ceLa verdad de p es digna de ser festejada"
Cón10 po~emos obselvar, en estas estructuras ló-gicas la proposición p (que contiene dentro de sí
OPUADORES J..íODALES. MODALIDADES 'ALmCAS 109
un sujeto~ mi., tío abuelo, y un predicado, su penosa aventura matInal) constituye a su vez, toda ella,' el ' sujeto de una proposición más grande, donde el predicado es lo que se d;ice de p. Esto es lo que los lógicos llaman un predicado de segundo ni~el: el primer nivel es el de la descripción de un estado de cosas, y el segUndo aparece cuando decimos algo sobre aquella descripción.
Cuando uno de estos predicados de segundo nivel (o un grupo de ellos, debidamente interrelacionados) nos parece 'suficientemente interesante, habitual y fructífero, podemos i!1ventar símbolos para r~presentarlo e investigar cuáles son las reglas que gobiernan su ,uso.
ASÍ, podríamos decidir que el carácter de p en el, ejemplo 3 será representado con una L y que el ' carácter de p en el ejemplo 4 puede simbolizarse. con' una B. Y escribir, muy sueltos de cuerpo:
5) Lp 6) Bp A partir de aUí descubriríamos, probableTll'ente,
que "B" y "L" son incompatibles entre sí) de lnodo que no sería posi.ble, afi~ar conjuntamente Bp y Lp. Y así estableceríamos las bases de una nueva lógica, a la que buscaríamos un nombre adecuado: cClógica de la aprobación", Cfl6gica de las emociones~', o algo por el estilo. .
Semejante sistema sería, una lógica modal, porque expresaría las relaciones entre modalidades de
110 I
U)(";lCA, I'ROPOS1Cl
cierto tipo que pueden afectar a una proposici6n: las q Be hClnos silnbolizado con 441./' y ,. R". Y estos sÍrnholos serían operadores (tamhién Harnados nwda/izacZorcs) cSl?ecíficos de nucstra lc')gica, que vendrían a agregarSe a todos los sílllholos ya conocidos de la lógica proposicional. En el ejenlplo uL" y "Ir"" actúan COlno operadores rnonáJicos; POf<lue, igual que la negación, s610 pueden afectar a la fórlnula que les sigue (p, o lJ, o cualquier otracombinaCi()ll de variables proposicionales reunidas en una fónnu]u por obra de las conectivas).
Pero conviene aclarar aquí que estos operadores, a diferencia" de las conectivas de la l6gica proposicional, no son extensionalcs 22: es decir, el valor de verdád ue la f6rn1ula modal no es una función del valor de verdad de sus c.)mponentes. Puedo considerar lalllentable la lnuerte de mi tío abuelo aun cuanJo él goce de buena salud (como cuando elnilo un juicio sobre un hecho hipotético o ir~aginario); y así, uLp" puede ser verdad aun cuando no . .. ". . lo sea p, y VIceversa.
Estas modalidades '\1<::: la aproLadón", que nca-" banl0S de construir, constituyen J)ruhable,ocnte un
cjelnpln trivial, sólo destinado a exponer con ll1ayor clarid~Hl en qué consiste una U'gh';l "Iliodal, cómo unce y para qué sirve. Pero ,las lógi(:as lnodales que se han desarrollado son Qtras. La más anti-
:!:! Ikcon.lénlOS que las constantes dé 1.\ Mgica proposicional se Ibman cOlleclit;t1s1 ext~llsiorwle$ (ver c;lpitulo n).
OPERADORES MODALES. MODALIDADES ALF...TJc..'\:; 111
gua es la que rnaneja las modalidades "necesario", "posible" e "irnposible
n
• Otra,]a que nos ocupará específica,mente, utiliza modalidades corno ('obligatorio") Hpermitidou o "prohibido·'.
2. La lógica modal alética
Ya Aristóteles había advertido que los enuncia ... dos de una ciencia 'no siernpre son shnplemente verdaderos, sino que 'lnuchas veces~ se Ionnulan conlO necesariamente verdaderos o como de verdad H\e
raluente posible. Tanto la posibilidad como la necesidad Inqdifi
can el sentido de la sÍlnple verdad, y son por esto llanladas modalidades aléticas o moualidades de la verdad 23. Ambas están a la vez íntimamente relacionadas entre sí, por lo que una de ellas puede ser definida a partir de la otra.
Para mostrarlo, tonlarenlOS eOOlO término sin de ... finir (térnlino prinlilivo, o base para las demás de· finiciones) el concepto de posibilidad. A partir de esta rnodalidad y con la ayuda de la negación, dennireIT10S las demás nl0dalidades. Conviene aclarar aquí que, en las fónnu]as que construyamos, las n~gacion~s podrán ser internl)'s (cuando niegan la proposición) o externas (cuando niegan el opera .. dor modal).
23 Dd griego áA ~ahaJ verdad.
112
Si una proposición no es posihle, sellan1a imposible. Por ejcrnplo: decir que no es posible que los olrnos den peras equivale a sostener que es imposihle que de ellos se ohtenga [al fruto. '
Si tlO es posible <j ue una proposici()n no sea ver'dadera, dirernos que taJ proposición es necesaria. Así, si no es posible que no salga el sol H1añana, será necesario fIue salga el sol Il'arlana.
Introducirernos ahora Jos sÍtnbolos "~r' para "posible" y uN" para 44necesa,rió":!~. A continuación pueoe rnoslrarse que los operadores NI y N son in-terdefinibles: '
(t) -M-p == Np b) -:-Mp ~ N-p e) M-p == -Np ti) !v1p =: -N-p
La interdefinibilidad expresada en las fórn1ulas precedentes puede comprenderse lncjor mediante el uso de un ejemplo para cada una de ellas:
a) (4No I es posible que yo 'no sea yo" equivale ~ ... " es necesano que yo sea yo . b) "No es posible que Rodríguez dibuje un
círculo cuadrado", o, 10 que es lo lnismo, ··es impo-
24 Como sticcde con la Jógicn ploposidonal, también la ¡()tik'u modal aléticu tiene distintas notaciones.. AflU¡ seguimos a von \Vrighl y utiliz:lfemos la letra N mny\'ascula para simbolizar el moc.l&lliz:&dor "necesario". nsí COIllO la mayúscula M para el mooaliz.'\llor "pusiLlc". Pero existen otras variantes. Lukasiewicz, por ejemplo" reempbz:.. la "N" por la "L". Otros uliliL'l1l un l:uadrauu va", simbolizar 1.'1 neo
cesidad y un rOI'llbo para la posibilio;ld.
, í
\ L ~
sible que Rodríguez dibuje un círculo cuadrado", equivale a ""es necesario que Rodríguez no dibuje un círculo cuadrado".
e) "Es posible que no me aUUlcnten el sueldou
es 10 Inismo que Ilno es necesario que me aumenten el sueldo·'.
d) "'Es posible que yo estudie lógica" puede traducirse por ·"nb es necesario que yo no estudie lógica". .
Algunas leyes modales clásicas ·expresan las relaciones que existen entre la simple verdad y las rnodalidades aléticas. Si una proposici6n es neceS3 ría (esto es, necesarianlcnte verdadera), claro está que es verdadera, pues la necesidad es más fuerte que la simple verdad:
1) . Np ::> P
Asimismo, si una proposición es verdadera, queda claro que ella es posible, pues la posibilidad es más débil que la verdad:
2) p ::> Mp
Pero, como herrlos de recordar, una de las leyes de la lógica proposicional es la denominada "transitividad del condicional", que dice que si una proposición inlplica materialnlente una segunda y ésta a una tercera, entonces la primera implica a la tercera:
[(p ::> q) . (q ::> r)] ::> (p ::> r)
I
LOGICA. I'H()J>OSli
Por aplicación de esta ley y a partir de las leyes 1 )' 2 obtendreUlos, pues, que aeplCllo que es necesa~ rio es posible:
a) Np :) Mp •
T'ratc.lnos de verlo nlCllíantc un ejelnplo. Si es nccesarialnente verdadero (lue 2 -j- 2 ;::: 4, entonces es \'cn.1flllcro q ne 2 + 2 :::;: 4. Si H2 '1- 2 == 4" es verdadero, lcndrú que ser posib1c. Y, por t"ransiti,,¡dad, concluirc1l10s qHe si "2 .+ 2 -= 4" es necesario, "2 -1- 2 == 4" es posible.
~.L El cuadro de oposición ()c lus JJwc1 .. lidadcs nléticas
~A partir de la verdad o de. },a falsedad de una proposición 1110dal se pu~de deJ\lcir la verdad o la falsedad de otras proposiciones relacionadas con la prÍlncra. Estas relaciones entre las proposiciones tonelales suelen representarse l:nec1iante el l1an1ado ctlad:'o de opusición:
CONTRA1\lEDAD Np ... 04--------..,..~ N-p
• / VI
0~~ . G'cf/ ~ 1¡ <)f/ ~
~, t" V/...... :;::l '-o z
la :> .l-- (') -o z 11
Mp" -M"':'p SUBCONTRAI\lEDAD
r ¡ I
¡'
't...J' .. ..-_. __ ... _~_
, En este esquerna, la línea horizontal superior representa la relación de contraliedad; la inferior, la subcontrariedad; las diagonales, la contradicci6n, y las verticales, la subalte'nlación.
Dos proposiciones son contrarias entre sí ("N P Y 4fN_p") cuando es posible que alnbas sear:-:. falsas pero no es posible que las dos sean ven~a~eras. Así, si es necesario que yo estudie, no puede ~er necesario que no estudie, y viceversa. Pero puede resultar falso que sea necesario estudiar y tarnbién que sea necesario no estudiar ..
Dos proposiciones son contradictorias CfNp" y .cM_p"; "N-p" y 4IMp") cuando si una de ellas es verdadera la otra es falsa, y viceversa. De este lnodo, si es verdad que es necesario que yo estudie, es falso que sea posible que no estudie. Y si es falsa la necesidad de estudiar, entonces es verdad que es posible no estudiar.
Dos proposiciones son llamadas subcontrarias ('4tv1 pU y U?vl_p") cuando es posible que sean arn-bas verdaderas, pero no que ambas sean falsas. Puede ser verdad que sea posible estudiar y a la vez posible no estudiar; pero no ha de ocurrir que las dos posibilidades sean falsas: si no es ¡posible estudiar tendrá que ser posible no estudiar, y viceversa. Al gunade las dos posibilidades -por lo 111enos- tiene que ser verdadera.
En la relación de subaIternación, las proposiciones colocadas en los vértic~s superiores se denomi-
116
nan sllbalternantes, y subalternas las ubicadas en los inferiores.
Dos proposiciones se hallan en relaci6n de subalternación cuando: a) de la verdad de la subalternante se infiere la verdad de la subalterna; b) la fal~edad de la. subaltenla perrnite deducir la falsedad de la subaltcITlnnte; e) la falsedad de la suhalternante deja indefinida la verdad o falsedad de la sul)altema; . y ti) la verdad oe la subalten"ta deja indefinida la verdad o falsedad de la subalternantc. EjCIUplifiquctllOS cada ca~jo:
a) Si "es necesario fine dos más dos, sean cuatro" es verdadero, es posible que dos rrlás dos arrojen aquel resultauo.
b) Si la posibilidad de ql1e un n1uerto esté vivo no existe (de rnodo que s.u afirnlaci6n es falsa), con 111ayor razón será falsa la necesidad de que ello ~contczca.
e) Si la necesidad de estudiar es falsa, saberlo no indico. nada sobre ]a posibilidad de estudiar: tal "ez pueda hacerlo si (luiero y tal vez no pueda aun<¡ue lo desee.
a) Si Hes posible que nueva" es verdadero) na
da puede inferirse sobre ~i es necesario qne llueva; lo únicO que saben10S es que no es necesario. que
ilO llueva.
Se observnr{\ que en el diagran1a las relaciones de confrariedad, contradicción y subcontrariedad estún representadas n1ediante flechas de dos pun-
tas, lnientras que las flechas representativas de la sllbalternación s610 indican hacia abajo. Esto sirve para recordar que las tres prirneras relaciones son sinwtricas: "Np" es contraria de "N-p" y "N-p" es contraria de HNp"; HNp" es contradict~ria de
. H1-.1_p" Y viceversa, etcétera. La subaltemación, en canlbio, no es simétrica: no es lo mismo ser subal .. tenlante que subalterna, ya que lo que puede deducirse en un sentido de 'la flecha no puede inferirse ta¡nbién en el opuesto.
VII
~10D:\LIDADES DEÓNTICAS
l. Operadores
¡ I • i
r \\ q
Quienes se encuentran de alguna rnanera vinculados al lenguaje del 'derecho, de la moral o, en general, al lengu'nje .de las Ilorrnas) lnanejan cie~tas nociones COJl10 las de obligaci6n. permisi?n y prohibición. Estas nociones tienen, curiosamente, \Jn cornportamiento fom1al análogo al de 105 conceptos
aléticos. ' Así corno podclnos afirmar que:
J) uno es posible"' equivale a Hes imposibleu
, y 2) -(no es posible que no" equivale a .~ ~s nece-
sario", puede afirrnarse tarnbién que .
1') Clno está permitido-' equivale a "·está prohi
bido", y-2') ··no está pernlitido que no" equivale a "es
obligatorio" •
12Ó I
LOCICA, ['HOPO:
Si utilizarnos el operador 411" para s~nlbolizar la pennisión podernos, ptF~S, establecer la siguiente analogía:
rv1 (posible),. -~1 ( itnposible) -1\'1- (necesario)
P ( pcrrni tido) -p ( prohibido) -' p- (obligatorio)
El descubrimiento de estas sernejanzas pennitió a yon \Vright el estudio lógico':' form~1 de los -conceptos norrnalivos, paralelo al d~ los conceptos aléticos: surgió así la 16gica deóntica 2~, que incorporó al análisis de las normas los conocimientos obtenidos y parte de los rnétodos utilizados por la lógica de las rnodalidades aléticas.
Sin elnbargo, el cornportaluiento de los operadores de6nticos no es idéntico al de los corresponclientes aléticos. Los operadores u~r' y uN" nOs servían para calificar proposiciones que describían estados de cosas. Vale la pena preguntarse qué caJi fic~\n los <)peradores deón ticos: cuflles son las '\~o
sas" de las Cj\le decirnos (jlIe ~on obligatorias, per-1l1itidas o prohibiJas. lIay una respuesta plausible: son las conductas. De ellas preJicarnos la obligaturiedad, la pennisión o la prohibición.
Así, a diferencia de los operadores aléticos que afectan a descripciones de estados de cosas en gene-
2~ La expresiún "dt'óntica" flle ton;ada pm von \ \'dgJ&t del ~ricgo bÉo\', -O'V'tO'; (el Jeher).
r . !
L_ 1
r I I
ral, los operadores deónticos son menos ambiciosos: sólo afectan a descripciones de ciertos estados de cosas: las conductas o acciones.
1 1 f ' 1 I "1) "1 ,,, " ..Juego, en a onnu a vaCla ... , e vaclo .. , habrá de llenarse con el nombre o la descripción de una acción ~4l.
Supongamos ahora. que "p" designa una acción cualquiera, tal corno usar sOlTlbrero. La lectura de
nuestras fónnulas sería, entonces, la siguiente:
"Ppu equivale a: 1 ) HPennitido usar sornbrero" u_pp'. eq ni vale a: 2) HProhibido usar sorn brero"
u_P_p" equiyale ·a: J) "Obligatorio usar sOInbrero"
Las expresiones 1, 2 Y 3 podrían considerarse sinlplclnente Honnas: unn nornla que pernlÍte, una que prohíbe y una tercera (pIe declara obligatoria la acción de usar sornbrero.
Si así fuera, nuestro intento de fornlulizar un c~l1culo lógico <.le l~s expresiones deónticas elllpezaría por una Jifjcultad. Este cálculo lógico nos in
duce a asignar valores de verdad a nuestros enun-
:!(i Si bien es ésta la manera más sencilla e intuitiva de leer fórmulas tales (·omO "Pl)", no es la 'lmica propuesta. Otra I~ctur., posible es L\ r¡lIe illll.'flH"ela'·p·· como la uescripción de un c!)t;.Hlu
de cosas cunlqu!cm: podri:& ucdrsf.' 1.uc cuando un acto ('sta permitido, lo que en JdillirivR se ¡}{'rmite es el estado de cosas que resulta tras el aclll~H Ud a~cntc, nsí .. {lcnnIHllo ccrrar la puerta" (1'1» podría leerse cuma "permitido que In· put:rla esté cerrada" donde h, puerta (:cHada St!ni, el est.H.lo de CO~lS tjue rcsulhlrla tras la Olcciüu de cerrar la puerta.
122 LÓCICA, PROrOSK
ciados; )' ya sabemos que las normas, las ~irectivas) las prescripciones, carecen de tales valores.
El escollo' es salvable; bastará l:ue leamos las fórmulas de otra nlunera:
"Pp" equivdle a "existe una nOTIlla que pernlite 1 ..
usar son1 )rero .
H_pp" equivale a 'Cexiste una nonna que prohíbe b " usar SOlTl rero .
H_p_p" equivale a ·"existe una nonna que .obliga a. usar sOlnbrero
u• -
Con10 la existencia de Ulla nonna es un hecho, la proposicUUl que 10 afin11c será una proposición descripti:,a, con su correspondiente valor de' verdad. U_llp,J será una proposicic)n verdaderr. ·si existe una
nortna que prohíba ]a acción de usar sombrero, y será falsa si tal norma no existe.
Esta lectura de nuestras fórinulas de6nticas pertnite analizarlas como proposiciones acerca de ]a existencia de nonnas; tales enunciados se han 11aInado pro1J()siciones norr1lalivas, susceptibles de ser verdaderas o falsas, por oposición a las norrnas, en las que el uso puramente prescriptivo del lenguaje
inlpide asignar tales valores.
l-Iasta ahora, nos hernos lllanejado con un solo operador: upu. Sin embargo, habíamos hablado de
tres conceptos de6nticos: pennitido, prohibido y obligatorio. Es hora de introducir'l?ues, los dos operadores faltantes:
MOOALIDADES DEÓNTlCAS
UsarelUOS "Qu para referimos a la obligación y c4Ph" para referirn~s a la prohibición:n:
#·Op" será entonces leído, por ejemplo,. como "existe ul~a norma que declara la obligatoriedad de usar son1brero" o, más escuetamente, ,ces oblige torio usar sombrero".
ICph p" se leerá, a su vez) como "existe una norrna que prohíbe usar sOlnbrero" o 4'está prohibido
b t' usar som rero .
2. lulerdefinibiJidad
Estan10S ya en condiciones de establecer las siguientes equivalencias 28.
Pp == ----O-p ;:s -Ph p. ...... Pp e= O-p ~ Ph P
p-p.::= -Op == --Ph-p --P-p === Op ES . Ph-p
!!1 En la nota<:Íón de lit 16gica deóntica I.JJI,t,ión sl'guillloS n von 'Vright: los opc.·r.\dvres "llt'rmHido" y "ObJigHloriu" Sto sÍJnLolizau nlcaiahtc la letra con que ~mpjt:z.'l su nornhre ("P". "0"); y doperaJor "prohibido" con mm comhillación de do.s ktras C·Ph"). p.lr:¡ '1",. no se confunda con ",wrmiti(hJ" ("P"). Algunos ilUtOfc'S n'r)f~;)(,lltau "prohibido" con \Ina V m:\yllst'Uhl, tom:lll.l del nlemán "yerboten" «'u c:sparlol, "veaíldo··).
28 En materb de inlenll.'finibilidad de operadores el propio \"on \Vright ha o!'cilóldo a Ir:1"és de SIIS c.listi¡ltas obras. En :IJ~unt)~ (liSOS considera u los tres 0lwr:a!ofes C0ll10 inh'rdelinibles; ('JI otros sólo interdefine "0·' con "Ph··. sin hólccr lo mismo con "p". En este plinto hemos elegido el sí..¡h'ma que illtcrddine los tres opera Llores. por considerarlo más ¡JlI uitivo y por 10 tanto más comprensible en el dvel introductorio.
124
Los operadores HQ" y 4cph" pu,;den ser definidos rnediante el operador Hpt. y .la negación H_", o,' 10 que es lo rnisrno) los conceptos de obligatoriedad y de prohibic:¡{,n pueden definirse en térrninos de per ... nli~ión con la ayuJa de la negación. Si es obligatorio usar sOH1brero, será cierto que no está pennitido no usarlo; y si usar sOlnbrcro está prohibi~o, usarlo no ~stá pennitído.
f t L.
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f _ ~
VIII
LEYES DEúNTICAS
1. Importernos tautologías
Así cenlO existen leyes autologías) en 'el C31n .. ·
po de la l6gica. proposici na1, de la misma rnanera pueden establecerse tautologías de6nticas en el don1inio del~ normativo.
Cabe advertir, an'te todo, que la 'lógica deóntica
no reelnplaza a la proposicional, sino que la incluye. Por esto todas las tautologías proposicionales constituyen úllnbién tautologías deónticas, nlediante el solo requisito de sustituir las variables que en ellas aparecen ("p", u q", etc.) por f6nnuJas bien fornladas del lenguaje norolativo CCPp", "Oq", etcé .. tera). La ley del tercero excluido, por ejemplo, dice que o bien es verdadera una proposición, o bien es verdadera su negación (llueve o no llueye). Con10 se recordará, ella puede simbolizarse así: p V -p. Si sustituimos "p" por ".pp", 'obtenetuOs una fornlu-
126 LÓCICA, PROrOSl(
ladón dcóntica 'del nlÍsnlo principio: Pp v _Pp 2". La nueva fónnula señala que una acción está pernlÍtida, o bien no lo está: o se puede estacionar en las a venidas O nó se puede, pero nO existe una tercera alternativa .. 'También puede elegirse algún otro operador: p~ p v -ph 11 (nlatar está prohibido o nO 10 está).
El del tercero exclUido 'es sólo un caso: la sustitución puede hacerse en todas las leyes de la lógica proposicional, y en cada caso la variable puede reernplazarse por una f6nnula de6ntica shnple (Pp, Op) O compleja, como (()p. Pe¡):J, (Pr v Oq).
SCgtlll puede observarse el lnétodo' para ('im_ portar" táutologías proposicionales a la lógica de6ntica' no es otro que nuestra vieja conocida, la regla de sustituci6n 30. lIemos de recordar, empero, que la regla de sustitución contiene uu caso especial pri. vilegiado: el intercalnbio. Estp ocurre también -en él paso de la l6gica proposicional a la deóntica: cualq\lier cornponente proposicional de una fórmula deóntica puede intercalnbiarse por un eqtúvalen!e, sin alterar el valor de la fónnu]a inicial. Así, ((OpU equivale a 410 - -p'., ya que &Cpu equivale a u_ -::p" por la ley de la doble negación.
Ahora bien, existe asimisniO un repertorio de tautologías que s6lo pertenecen a la lógica de6ntica
29 Conviene recalcar aquí que, al ~ustituir "p" por ''Pp'', de ""-p" se obtiene d_pp", y de ninguna manera "P-p": la negación debe ocupar el rnisUlu Jugar que tenía en la fórmula originaria.
30 Ver capitulo V. ,
{L I
y que no son, por así decirlo, inlportadas de la 16-gica proposicional. A ellas dedicaremos ahora nuestra atención, ya que las anteriores se presumen suficienten1ente conocida"s.
2. El cuadro de oposici6n de6ntico
Al estudiar las lnodalidades aléticas helnos ex arninado alguna~ relaciones existentes entre ellas, y estableciInos el cuadro de oposición qu~ las representaba. La lógica TlOrnlativa tanlbién cuenta con
un cuaJro sinli1ar, en el que se indican gráficamente· algunas de las relaciones entre modalizadores deónticos.
CONTflAnIED:\O Op ........ --------------... Ph p
Pp ...... -------_· ..... • P-p sunCONrnAnlEDAO .
La línea horizontal superior representa la ley de contrariedad, que vincula como contrarios a "Op" y a 44Ph p"; la horizontal inferior siInboJiza la ley de subcontrariedad ("Pp" y "P-p" son sub-
[?CJ
telna; pero es posible formular una justificación racional y hasta intuitiva de tal principio.
En' efecto, lo que esta ley "sostiene es que no todo puede estar prohibido. Alguna vez se ha vis .. to en esta expresión el requisito" de un mínimo de libertad (esto es, de existencia de actos facultativos dentro del sistelna); pero tal cosa no es, en rigor, estrictanlente necesaria: nuestro sistema detSntico nos permitirá simbolizar, del misrno modo, un orden normativo en que la libertad brille por su ausencia.
Supongulnos que me prohíben usar sombrero: si el orden conserva un mínimo de racionalidad, me. estará perrnitido andar descubierto>, Y si me prohíben no usar sOJnbrero (es decir,' lne obligan a usarlo), tendrán que 'perrnitirme que "lo use. Naturalmente, taInDién' puede ser que un "legislador rnenos proclive a fastidiar· a sus semejantes nle perlnita tanto" usar sombrero COlno no usarlo (con 10 que el acto deviene libre o, para decirlo con mayor propiedad, facultativo). Pero, aunque el legislador· no desee dejarrne l margen algu~o de libertad, al ·ITIe ..
nos deberá permitinne que ctuupla con rnis obligaciones y perniitirn1e que no realice las conductas prohibidas. Esto es, si pretende que las nonnas nlotiven nli conducta '0 sirvan al Illenos para distinguir rnis acciones lícitas de nlis acciones ilícitas. Tal es, precisamente, el sentido de la ley de suhcontrariedad: dada una acción determinada (p), o bien está pennitido cumplirla (Pp) O bien está per-
130
lnitido olllitirla (P-p). Sin excluir, por supuesto, la posibilidad de q uc tanto la acción conlO su onlisi<'>n estén igualn1ente perndtic.las .
. f. Contrarieuad
TencnlOS, pues, nuestro axi<Hna:
1 ) Pp v P-p
COIDO saben10s, la disyunción es cOlllnutativa: 1:1 ley de conInutatividad de la 1ógica proposicional pCfInite variar el orden de los disyuntos sin modificar el va10r de la disyuncibn: (p v q) =: (q V p). Esto nos 11eva a:
2) P-p v Pp
La ley de De Morgan pen11ite convertir una di~ ... 'yunción en conjunción mediante el uso de neg;cio
nes: (p v q) == - (-p . -q). Por este q1edio ohtencUlOS:
3) -( -P-p . -Pp)
Pero, por interdcfiníbilidad de operadores deón
ticos, -P-p ;:=.: Op, y -Pp ===: Ph p. Así:
4) -( Gp . f>h p.)
fIemos obtenido -como teorClna- la ley de contrariedad deóntic3, que afinl1a que un mismo a'cto no puede ser a la, vez obligatorio }' prohibido.
, -- l
5. Suhn1tern~ción
Volvarnos ahora a nuestro uxionla:
1 ) Pp v P-p
Como en el caso anterior, conmutamos:
2) P-p v Pp
Ahora bien) la ley de definición del condicional indica que la disyunción equivale al condicional con el antecedente negado: (p v q) ES (-p => q). Así:
l·
3) -P-p.~ Pp
Finahnente, por interdcfinibilidad de operadores, obtenemos:
4) Op ::> Pp'
que es una de las leyes de subalternación de6ntica: lo que es obligatorio está permitido (por ejemp10, si me obligan a pagar las deudas, Ine estará permi-tido pagarlas). .
De modo parecido. puede deIn0strarse como teoreIna la otra ley (le subalternaci6n:
1) Pp v P-p
Sin usar la conmutación, transformarnos la fórmula en un condicional:
2) -Pp ::> P~p
132 I
LOCICA, I'R')POS.
y por interc1efinibilidad, I1egamos a:
.'3) Ph P ::) P-p
que indica que si algo t!;cá prohibido, entonces estú. perrnitido 3ornitirlo (por ejenlplo, si fuular está prohibido, no fumar está pero1itioo).
fr. Contradicci6n
Veanl0S ahora las leyes que nos faltan para completar el cuadro de oposición. t Por interdefinibili ... dad de operadores sabemos que:
1 ) Op ss: -P--p
y también recordamos que una tautología proposici6~1al (la definición del bicondieional) indica que (p E: q) ::) (p ::) q). De este Inodo,
2) Op ::) -P-p
Pero otra ley proposicional (la definici6n del conllicional) rnuestra que un condicional puede transforlTlarSC en conjunción: (p ::> 1) == -(p. -q). De
, . aqul se slgue:
3) -(Op . - - P-p)
La doble negaci6n se suprirne. Por lo tanto,
4) -(Op . P-p)
que es una de las leyes de contradicción de6ntica. Del mismo modo puede demostrarse la otra ley de contradicci6n:
LEYES DEÓNTlCAS
1) Ph P e;; -Pp por interdefinibilidad de ope .. radores
2) Ph P :J -Pp por definición del bicondicional
3) -(Ph p. - -Pp) por definición dt!l condi-cional .
4) -(Ph P . ~p) por doble negación,
con lo que hemos obtenido .la ley que buscábalnos .. ··
Las leyes de contradicción, pues, enuncian qp.e una acción no puede ser obligatoria cuando se per~. nlite su ornisión, y que tampoco puede estar a la . vez prohibida y perrnitida: si es obligatorio pagar las deudas, no puede estar permitido no pagarlas; y si está prohibido f unJar no puede estar a la vez pero-&i tido hacerlo.
La formulación de las leyes de contradicción:
-(Op . P-p) -(Ph p . Pp)
se parece lnucho a 'la de la ley de contrariedad:
-(Op . Ph p)
Esto puede suscitar alguna perplejidad, ya que la contrariedad y la contradicción se diferencian pre-. cisarnente en un punto que no aparece en esas f6r.nulas: dos proposiciones contrarias pueden ser ambas falsas, en tanto de dos contradictorias una y sólo una ha de ser verdadera. Pero es preci!;o aplicar aquí lo que dijiInos en el capítulo V al tratar sobr(l.
134 LÓGICA, f'I\~)l?OSI.
la eontra(liccÍón. Una forrnulación cOlJlpleta de la relación de contradicción:
Op ~ P-p Ph p ~ Pp
incluiría tarnlJién la versión dcónUca Je la ley proposicional del tercero excluido:
Op v P-p . Ph P v Pp
con lo que fonnnlarLllnos (los leyes cOII)binaJas en lugar de una.
7. El opcr~u.lor uF"
Conviene aquí rctOJnar una idea que henlos mena donado nI justificar extrasistclTi4tk'alnente la ley de sl1bcontrariedad: la de los actos facl1ltativos.
Cuando en el lenguaje corriente hablamos de una cOllducta pernlitidll, danios a esta palabra un significado ln{ls fuerte que el que le atribuye el lenguaje de la I()gica deúntica: generalrnente queren10S dec:ir que está pernlitído tanto clllnplir la acción C01no oInitirla. En el uso cOJ)lún (y aun en el de los abogados), Hpern1itiJo contraer ITlatrinl0· nio" significa que uno pllede casarse si lo desea, pero que también -si tal es su decisión- le esbl pennitido observar una conducta rnás prudente. En nuestro sisten1a, las acciones que es+án "perrnitidas
lJ
r , !
r . i
LEYES DEON11CAS
en ese sentido' bidireccional de la pennísión se Ilalnarán facultativas. Pero hay que aclarar que, cuando decirnos de una acción que está perrnitida (Pp) 7 sólo queremos afinnar que está permitido CU1U
,,/irla) sin abrir juicio sobre su ornisi6n: si la oInisión está tarnbién pennitida, la conducta será facultativa: si la olnbión está prohibida, la acción result.ará, en definitiva, obli gatoria.
Estas precisiones nos pernliten introduc.r el operador '''F'', que (lIgunos autores utilizan para las ac- . ciones f acultat ¡vas. Su definición puede sÍJnholi-
, zarse aSl:
Fp ~= (Pp. P-p)
Es decir que una acción es facultativa si (y sólo si) está pemlitido cUInplirla y tarnbién está pcnnitido olnitirla.
De los cuatro operadores deónticos que hernos estudiado
J éste es el único cuya interdefinibilidad
es c0I11pleja: puede definirse en términos de per-;nlisión (conlo lo hernos hecho); pero para eso no puede usarse una fórn1ula sill1ple (atórnica), sino una conjunción de dos fórrnulas (fórmula conlpues
ta o 1noleculal'). 1'anlbién podríaIT10S definir el operador "F" en ténninos de obligaci6n:
.Fp === (-Op . -O-p)
O bien en ténninos de prohibición:
Fp ss (-Ph P . -Ph-p)
· L(:CICA. ¡'HOPO
Pero lJinguno de los restantes o~)eradores puede definirse por F sin el auxilio de illbún otro. Esto ocurre porque 4lFp" dice algo de p y algo de -p, en condiciones tales que el carácter deóntico de la :tcción no se rlec1uce lógicarne~te del de la otnisión ni vjceversa, (al contrario de lo que ocurría, po:' ejclnplo, con "Op", donde la prol1ibicL)1l de -p s ~ (lcduce lle la obligatorieJad de p).
R. Calificnción uormntivn dt! las contludns complejas
.I Icn\os analizado hasta ahora fórn1ulas Jeónti-1 "f) ., 440 "·f PI JI" 1 cas la es COJno p. -q, - 1 P , 'etc., en as
qlle In arect~l(l() por el operado)' es la descripción de tina conducta, simbolizada nH.:diante una fórrnula atón1ica n, a lo SUI110, lnediante la negación de una f t')rnl ula a tó¡nica.
f:n el lenguaje J)ornlativo, no ohstante, la perrnisióTl, 1a obligación y la prohibición pueden calificar conductas eoniplejas: por cjenlplo) es obligatorio curnplir los contratos o indcllYnizar los datl03 provoc:tdos por el inculnplilniellto; est{l prohibido tener hijos y no <~lilnentnrlos; nos está permitido seguir o no seguir una carrera universitaria.
Nuéstras fónnulas de()nticas dcberiln dar cuenta de tales situaciones, no reflejadas en hl) fórnlulas con las c¡ uc, hasta ahora. nos h\~nlos lnanejado.
Convcndren1os en que expresiones tales COlllU
"P( P V c¡)" (cst~ es: está penllitida la conducta p o la cOlld ueta y); "-O (p ::-.J q) (no es obligatorio
LEYES DEÓNTICAS
que si se realiza la conducta p Sf! j"~alice la conducta q); HPh (-p . q) n (está prohibidu orr,itir p y realizar q)) etc., serán talnbién lónnulas bien fonna-das de la lógica dcóllticr\. ,
Por cierto que las leyes deónticas enu~nerada~ en Jos apartac1o~ ánleriorts talnbién serán válidas para las nuevas fónnulas introducidas.
ELprineipiü_de--sl1hcontraric-dad-(-Pp-v-P--p-) podrá talnbién cllunciarst. -por ejemplo- conlO:
P(p . Jj) v }'-(p . q)
El de suhalternaciún (()p :::> Pp). conlO:
O(p . ,]) :::> P(p : (])
El de contrndicción, - (()p . P-p), eonlO:
-[O(p . (1) . P~(p . (1)]
Aden1ás, existen ciertls tautologías específicas ele las fórrnulas que contiel'tll descripciones InoleeuJares de conclucbls.
Con10 saheJnos ya qlle las fórmulas nl0dales no son extensionalcs, obscrvarelnos que la verdad de la afinnación de qne una conducta está pern1itida, es obligatoria o está probibida no depende en absoluto de la realización u 0111Ísión de la conducta así calificada. Las fónnulas deónticas no se refieren al real cornportamienio, sino j la calificación' normativa de las conductas, con independencia de que en los hechos éstas se realicen o no. Así,]a verdad de la afinnación "P(p y q r" HU depcnd~ de ]a ve','dad de "p y q"; conlO VerelTIOS rnás tarde, la exis-
J18 ,
LOr.ICA, J'HOPOSICJ\)f'i l , • .., ...... ~
tencia de ciertas norrnas no pennite inferir lógicaJncnte nada acerca del con1portarlliento real de los individuos a quienes tales Honnas están dirigidas.
()tras son las j n[ereJ'~das que la lógica de6ntica nos pcrrnitc. De la verdad de la afinnación de que una detenninada conducta está permitida (o es obligatoria, o ha sido prohib.ida), puede deoucirsc: al rnellOS en ciertos casos que olra. u otrns conductas han sido permitidas (ti obligadas o prohibidas). El hecho (le que la caH [icación deónticu de ciertas conductas ucpcnda. 16gjcanlente oc la calificacit)n dc{)ntic¡} de otras nos pennitirá estable,cer inferencias, que serán tautologl:.ls Jel sistelna. A cI1us hc-1110S de referirnos.
9. Principio de c1isldbuci6n (}(' 1:\ ilcrmisión
Decir que estú pennitido un ncto detenninado u otro es 10 IllisnlO (lue afinnar que está pennitido uno o estft pennitido el otro. I Si está pennitido to)l};lr caf{~ o té, puedo inferir que estú permitido 10-lnaf café o está penl1H~~to tomar té, y viceversa.
La pennisión de una disyunción eJe conductas es equivalente a ]a disyunción de la pcrnlisión de cada una de ellas. Es, pues, válida la siguiente equivalencia:
P(p v q) :-= (Pp V Pq)
LlarnareInos a esta fórnlula 1Jrincipio de dislri .. bJl(:i(5n de in pennisiórz; será aXiOnl3. de nuestro sis ..
LEYES DE6NTlCAS
tema y puede ser enunciada de la siguiente manera: la disyunción ¡de dos actos está pennitida si y sólo si por lo menos uno de los actos en disyunción es per1nilido.
10. Teorclua de dislribución de la obligaci6n
Afirrnar que es obligatorio pagar el alquiler y restituir el inn1ueble en ténnino equivale a afirmar que hay ohligación de pagar el alquiler y hay obligación de, restituir el innlueble en ténnino. Puede fornlularse corno:
O(p . q) ~ (Op . Oq)
Esta ley ya no es un axioma sino un teorema de nuestro cálculo, porque' puede deducirse de principios ya introduciuos. Para hacerlo, partiremos de la siguiente equivalencia:
1 ) O ( P . q) == - p- ( p . q)
La validez de esta fórmula surge de la interdefinibilidad de operadores. Por la ley de De Morgan, aplicada al segundo término de la equivalencia en virtud de la regla de intercanlbio, obtenemos:
2) Ü(p. q) == -P{ -p v -q)
Aplicando al segundo térrnino de la equivalencia e1 principio de distribución de la permisión, obtene.,. n105:
3) O(p. q) == -(P-p v P-q)
14U L' " . : l. . .. • ! li· .. " .. n
U saren10S nUeValTICntt! la ley Je J)e M organ, sienlpre en el segundo térnlino de la equivalencia, para llegar a:
4) ü(p. q) =.: (-P-p . -P-q)
Ahora hiel~; por intcn.1cfinibilidad de operadores, H_p __ " equivale a "O", tIe donde resulta que:
5) ()(p . q) ~!: (Op . Oq)
Queda, pues, de01ostrac1o el car,ll'ter fil\lh~tl)gír..YJ de la ley introu \.leida, que podernos enunciar de ]a siguiente n1anera: la conjuncivll de dos actos es obligatoria si !J sólo 051 cadl' UfU) de ellos es obligatorio.
1.1. Teorema' de la oblignción alternativa
Si es obligatorio realizar un acto o es ohligatorio realizar otro, entonces será obligatorio realizar el lH10 o el otro. La inversa, en c::ur'lhio, no es válida. Si existe la obligaci6n di! usar guardapolvo o la obligación de usar unifonne, poclclnos inferir. la obligación de usar uniforrne ci guardapolvo; en canlbio, si recibirnos una lnercu<]ería n prueba tendre-
1l10S obligación de pagarla n devolverla (conaD alternativa), pero no existen ni la obligación de pagnr ni la de devolver la 1 fH.:!rc3tl ería, cada una en fonll~l in(lepenJiente )' cspc.cífica~ L~l ley pueJ(: fonnularsc corno:
(()p v Oq) :J O(p vq) t'
I l j
14J.
Para probar su validez, partire~10s de la ley de adición de contradicción: p ES! [p V (q . -q)]. En virtud de esta ley y por sustitución de6ntica, resulta váHdo afim-)ar que:
1) Op;:O[pv(q. -q)]
Distribuiremos la disyunción que aparece en el segundo térrnino de la equivalencia, para obtener:
2) Op == O [ (p y q) . (p v -q)]
Por distribución del operador "O'·, llegamos a:
3) Op s; [O(p y q) .O(p v -q)]
De donde, a través de la ley proposicional (~e in1 .. p1icaci6n de los Cúnjuntos: [p ::> (q . r)] ::> (p ~ q), obtenemos:
4) Op :J Ü(p v q)
Podemos seguir los n)iSlnOS pasos, reemplazando en tvdas las fórmulas utilizadas 4Cp~' por "q'. y "qU por "pu, de la siguiente lnanera:
1') Oq ::- O[q V (p . -p)]
2·) Oq a; O[(q v p) . (q v -p)]
3') Oq == [O (q y' p) . O (q V -p)]
5) OC} ::> O (q v p)
De 4 y 5 obtenemos:
6) (Op v Oq) ::> O (p v q)
112 LÓ/~lCA, HlOPOSICIÓN y NORMA
Esta era la ley introducida, que podríamos enunciar de la siguiente manera: si 'es ohligatoria la realización de un acto o es obligatoria la realizacióH de otro, enlqnces es obligatorio realizar el uno o el otro.
12. Teorema de In pcrrnisión conjunta
Si está pennitido rea~izar dos actos conjuntarncnte, cada uno de ellos estará tan1bién perln.itido. Si se Tne pennite asistir a clase y presentarnle a exalncn, ~)ucJo inferir que tanto el asi;tir a cl~s.e C()lno el presentarme a exan1en n1e estan pernlltldos. Sin enlbargo, no resulta a la, inversa: puede darse el caso de, actos individuahnente perr'nitidos cuy:\ renlización 'conjunta esté veJada. Por ejeinplo, asistir a clase está perrnilido y también lo cstú jugar al truco; pero la conjunción de ambas acciones no está pennitida.
En otras palabras, HPp. Pq" no es equivalente a Hp (p . q)":' si bien no es inferencia vá.lida que (Pp . Pq) ::) P (p . q), sí es v,Hido, en c~l111bio, que P(p . q) ::> (Pp. Pq).
Para delnostrarló, partirernos de la ley anterior (obligación alternativa), sustituyendo las variables por sus negaciones. Esto nO altera el valor de la tautología, puesto que si la ley vale para las acciones valdrá talnbién para las omisiones. Así 1legamos a:
1) (O-pvO~q)::)O(-pv-q)
, LEYES DEON11CAS
Reemplazando el operador uO" por su equivalente en
ténninos de pern1isión, tendremos:
2) .(-Pp v -Pq)·:; -P-(-p v -q)
ApliqueJTIos ahora la ley de De ?\'Iorgan en €l an ... tecedente:
3) -(Pp. Pq}::J -P-(-p v -q)
y Juego al consecuente:
4) -(Pp. Pq) :J -P(p . q)
Por transposición) obtendren1os:
5) P ( P . .C)) :J (Pp . P q )
IIernos llegado así a la ley que. queríarnos demostrar. Podemos enunciarla como: si la conjunción de dos actos está permitida, cada u~ de ellos también estará pennitido 3:1.
13. Teorema de la pennisióil mínirna
Si existe la obligación de realizar una u otra conducta, no puede darse el caso de que ambas conductas estén prohibidas. Si tengo la obligación de cun1plir el contrato o indemnizar, no pueden prohibírselne, sirnultáneamente, el cumplirniento y
33 Los autores agradecen al esludiante Juan José Úlgorio la derr.ostraciún que nqui se incluye, más breve y sencIJI'l que Ll original.
14·1
la indemnización. Podclnos f()fJnuh~r esta ley de la siguiente lnanera:
- r () (p v q) . (--Pp. -P q ) ]
Para dernosfrarlú, partirernos del principio de subaltcrn:H.:i{)n, en !a :lÍguiflltc f()nl·l\lla\.~i{)n:
1 ) () (p v q.J :) }1 (p y '1)
Por el principio ele distribución de la pennisión, a plicado al COll!;ec:uente, oh tenernos:
2) O(p v q) ~ (Pp v Pq)
Por definición del condicional, podemos transformarlo en ]a siguiente conjunción:
a ) --r () (p v q") . . _. ( p p v P (1 ) ]
Apliquernos la ley de ])c l\·f org:1tl ~l segundo conjunto:
4) --(()(p \' q) . (_.pp . -P(l)]
Esta es la le)' qUe qUérlalnOS di?1l10strar, y puede ser eOllndatla c(})no: es [t)giCQlncnte inndlnisi}Jle es
tar obligado a elegir entre c/os alternativas lJrvhihidas.
~
~
J ~
~
J IX
CONDICIONES· EXlllASISTEMÁTICAS DE LA LÓGICA D·EONTICA
1. Concepto
. .-
La lógica de6ntica, como la proposicional. como la geolnctrÍa (]a de Euclides u otra)) puede presentarse corno un sistema deductivo forInal, que parte de ciertos enunciados tomados COlno axiomas y de ellos infiere otros enunciados, a Jos que suele
. darse el nOlnbre d.é teorenlas. Existen algunas cualidades que usuahnente se consideran deseables en un· ~istenla de esta naturaleza: por ejemplo, que sea coherente· o consistente (que no contenga contradicciones); que·. sea deductivamente completo. (que todos los enunciados que lo componen sean, . ellos o sus negaciones, demostrables dentro del sistenla); que sus axiOlnas sean independientes (que nO puedan denlostrarse unos a partir de los otros). Pero todas éstas son propiedades intrasistematicas, que se refieren a la ~structura interna del sistelua.
146
hllaginernos por un mOlnenlo que cslanlOS frente á un aparato desconocido, H·hH~ienh: y red(~n aceitado: tiene engranajes y poleas que ~ir:tJl a distintas velocid~des, luces de cCJlores ql1C! se ('ncienden á1tcrnativanlcnte, )' funciona en fonna silenciosa y con poco gasto de energía. Puede lnaravil1arnos la precisión y a.un la helleza con cltiC ha)'asido construido, peró en algún rnocncnto nos, ntrevercnl0S él
preguntar para qué sirve. Se nos c()ntcst~rá entonces que sirve para fabricar tornillos, para abrir .latas () para vacunar lOlnhrices; se Í10S dirá, tal vez, que eS una escultura rnóvil O que es el resullqdo de un trabajo pnlctico de alumnos de una escuela técnica. Según sea la respuesta, empezarcJnos a rrlirár el aparato des(le un ñuevo punto eJe vista: primero habíalnos apreciado sus propiedades internas (su estruct.ura y la forrna de su funciona\l1iento); ahora esta010S
valorandó su inserción en el mundo exterior: su utilidad práctica y el modo en que su funcionamiento responde a 1as expectativas de quienes ]0 consh·uycron.
Los sistenlas deductiv~s son talnbién aparatos idea1es, que se cónstruyen para algo. Algunos pueden ~er sitnples juegos, que sólo tienen por objeto, entretener a sus autores o a ot"l& personas; pero Jos nlás cOllocidos buscan recnnslruir de un modó claro y rigurosaltlente preciso, clerta~ ,relaciotles rnatcriales o 'conceptuales pre'existentes, que esperamos tnanejar rnejor con su ayuda. En otras palabras,
, ereamús' rnode)os que guan]en cierta. seluejanza con
i .-
{ I
CONDICIONES EXTRASISTEMATlCA~
algún sector de la realidad, de tal modo que a través del rnodelo abstracto podamos profundizar. y organizar el estudio oe ciertos hechos concretos que nos parecen· relevantes. Así, la geometría euclidiana reproduce ciertas relaciones entre la fonna. y las di ... mensiones de los objetos materiales, y con "ello nos permite, por ejelnplo, medir terrenos y calcWar distancias. La lógica proposicional reconstruye en .
-abstracto ciertas relaciones de inferencia que oQ$er~· _ 'vamos entre las proposiciones concretas, y así' ge .. -. neralizamos 105 modos de derivar unas proposicione.~ de otras y aislamos e identificamos las condiciones· r¡ue nos permiten distinguir un razonamiento válido de otro falaz. .
Existe, pues, un vínculo entre un sistema deductivo y el sector de la realidad (Inaterlal o conceptual ) que dicho sistelna intenta reconstruir, del mis- . Ino modo que existe una relación entre un retrato y la persona que le si~e de modelo. Es probable que el pintor acentúe en su obra los rasgos que lé parecen 111ás relevantes o representativos de la persona ... lidad del retratado; pero si se . llegara . al extremo de -que nadie reconociese en el cua~ro a la persona en él representada, el retrato no contendría ya suficiente información sobre el aspecto de su modelo y su valor sería puralnente estético.
La 16gica deóntica,de manera semejante, no ha inventado Jas nociones de obligación, prolúbición y permisi6n: las toma del lenguaje nonnativo vulgar,
-e intenta rCéonstr~rlas en un sistema que les asigne.
148 LÓGJCA, ' PROPú,.
significados precisos y las vincule mediante relaciones inefluívocas. Infinitos sistenlas podrían idearse con distintas variaciones de tales significados y de" tales relaciones, y aun con la introducción de otros' operadores que inlagináran1os; y todos esos sistemas poJrían eventualmente poseer las cualidades intrasisternátfcas tnás des~ables. Pero,. si queremos que nnestra 16gica deónt.ica sirva para controlar fonnaln1ente la plnusibilidad de los razonanlientos normativos, será preciso que no nqs evadamos de las condiciones generales en que estos·' razonamientos se expresan.
Estas condiciones extrasisternáUcas (presupues-." tos de la utilidad práctica del sistelna) se enuncian n 'veces lTIcdiante leyes o prÍilcipios que 'no son estrictnn1cnte deoucibles en 'el mismo sistema o que, cuando lo son, tienen un contenido que trasciende esa déoucibilidad. Exanlinarernos aquí dos tondíciOJleS de esta naturaleza: las leyes de Hume y el principio de prohibición ..
2. Las leyes de lIume
1\1 eX~lJninar las fil0dalidaJes aléticas helnos observado que existe un punto de contacto entre las proposiciones lTIodales y las no 'lnodnles (o, para decirlo de un lnodo rn~ls ponlposo, entre el "mundo de la llcccsiclad y de la posibilida(r' y el simple ",nundo de la realidad"): una proposición necesaria es
f 1,
verdadera, y una proposici6n verdadera es posible (N P ::> p; P =? ~1 p).
¿l>odríamos, análogamente, establecer un vínculo entre la realidad, y las modalidades de6nticas (o, con palabras de Kelsen, entre el 4"lnundo del ser'· y el --mundo del deber ser")? •
Ya hemos estipulado una respuesta negativa a esta pregunta cuando dijimos que los operadore~;., de6nticos fl{J son extensío1Ulles: es decir~ que el valor '~" de verdad de una proposición deóntica' que mo~hi-: i,
liza la descripción. de una acci6n no depende del valor de verdad de esta des~ripci6n;' pero ha llegad~ el fnOITlcnto de dar ra~anes que justifiquen adoptfr' la1 puntó de YÍstn. . . ,..,
En su Tratado de la naturaleza humana, David lIume decía: "En la medida en que se r.eco~lozca que la razón no tiene influencia en nuestras pasiones y acciones, será en vano pretender que ]a moral puede descubrirse por la mera deducci6n racional. Un principio activo jamás puede fundarse en otro inac .. tivo; y) si la razón es' inactivá en sí lnisma, d~be permanecer tal en' todas' sus' fonnas y apariencias, ya sea qüe se ejerza en nlatenas naturales o morales, ya sea que considere ]05 poderes de los cuerpos ex· ternos o las acciones de los seres racionales". Más adelante agregaba: "La raz6n es el descubrimiento de la verdad O la falsedad. La verdad o la falsedad consisten en el acuerdo () desacuerdo COIl unarelación real de ideas,. o con la real existencia de una
, situación de hecho. Por lo tanto, aquello' que no
150 , ,
l.OClCA •. Pi'nrosó\"' •. ' ..
sea susceptible de este acuerdo o desacuerdo será incapaz de ser verdadero ni falso, y jamás puede ser ohjeto de nuestra razón. ~hora bien, es evidente que nuestras pasiones, voliciones y acciones no son susceljtibles de tal acuerdo () desacuerdo, ya que son hechos y realidades originales, completos en sí rraismos, y no itnplican referencia alguna a otras pasiones, voliciones y acciones.' EsinlposibJe, por 10 tanto, calificarlas de verdaderas ni falsas ni que sean contrarias o conformes a la razón~t :\4.
Estas observaciones de 1-!tune sobre 'la lnoral fueron generaliznda~ por otros pensadores y resumidas en una idea precisa: es imposible déducir una proposición nornlativu (del udeber ser") de una serie q~' proposiciones descriptivas (del "ser") 36. También fueron postuladas en su fornla inversa (de una proposición normativa no puede deducirse una des~riptiva), y representada5. como un rechazo de ciertas inferencias simbolizables 30.
COlno puede advertirse, estos principios tienen una peculiaridad que los distingue de las leyes lógicas en genera), que son tautologías. o Leyes conlO las del tercero excluido, de I)e ?\1organ o de subalternación debntica, por ejenlplo, indican l)lodos válidos de inferencia; en c,lll1bio la:> de IIlune resultan
3.. Hume, Du\·hl. A, Trealise un Ilu"wn Ntllurc:, Nueva Ymol, 19(H, libro 111, parte l'. seccUnl 1, )l. 414 Y 415. '
3t\ Hare~ R. M., Tlae Langull~c 01 Af 0((1 Is. OxCord. 1952. 1>: 29¡ Kclscn, Il:lns. Tl,éorie ¡JUre du droil. I'aris. 1902, (l. 00 y siguit·utes.
ae Yernengo, oh. cit.. pAN. 1.3.9. '1 2.1.6. p. 46, 79 Y 80.
,l
I .,... f
una suerte de leyes negativas: señalan que ciertas deducciones n.o pueden hacerse' válidamente. Constituyen así un límite, una valla extrasistemática que se inlpone a la lógica nor~ativa.
Pero ¿por qué ha de acatarse tal lhnite? ¿Aca .. , so no podría construirse un sistema de6ntic(i en el que las inferencias prohibidas por I-Iume fueran válidas? Sí, se podría, ya que la cQIlstrucci6n. de un sistelna depende de n\lestra, voluntad para la elec- ,,'
,ción de los axionlas. ~ero supongamos que en la,: lógica nor'mativa que hemos exarninado en los capí-",';', tuJos anteriores introdujéran10s corno postulado al-,' guna de las' fornlas de inferencia en cuestión: por' .,' ejemplo, p :J Op. Resultarían de ahí consecuen-' cias sorprendentes, tales corno que matar es obligatorio para los asesinos y proh~bido para 1a gente pacífica; que pagar hnpuestos sólo ~s debido para los contribuyentes puntuales, pero no para los evasores; y que, en resun1en, cada uno está estrictament~ obli- ' gado u' hacer 10 que en cada rnomento hace; y tiene prohibido hacerlo (1ue en cada instante se)e ocurriera 0111i tiro
Claro está que nadie propugna una tesis tan extrema. Pero nUlnerosos autores, a ,lo largo de )a historia, han intentado hallar un vínculo entreJas
, nornlas (jurídicas y Jl1orales) y la razón, de tal nlodo que el reconocinliento de lo verdadero pern1itiera descubrir, sil) intervención ~e voluntad· nonnativa' alguna. ciertas leyes qne los homhres deban cum-
152 l.ÓGICA, Pl\()ro~
plir ll. Esta inquietud" suele englobarse, en la teoría general del derecho, bajo el nombre de fusllatutalisrno o doctrina de) derecho natural; y parte precisamente ~e adn1itir que, al menús en algunas circunstancias, él estudio de la realidad empírica (la Ilaturaleza, el hombre, las cosas) o de las ideas a priori (la razón) perrnite ~t:lferit' el contenido de' ciertas nom13S. En otras p~labras, que habría algún preuicado no normativo de~ segundo nivel (11amémosle Z) tal que Zp ::> Op, o que Zp ::1 Pp, aun cuando está lejos de haberse Jlcgn(lo aun acuerdo sobre cuál sería el éontenido que debiera atribuir-se a "Z". .
.No . corresponde hacer aquí un examen crítico d~l iusl1aturalismo, tema más adecuado para· un . texto sobre filosofía de] derecho o sobre ética." "Lo que importa destacar es . que las leyes de IIume, como condiciones extraSisteináticas de la .lógica de6ntica, están sujetas a . las mismas controversias que afectan a ]a lnateria a la que el sistema pretend~ aplicarse. La respuesta que se dé a detennÍlfadó interrogante sobre el derecho o sobre la moral -por ejemplo- llevará a aceptar, a rechazar o a limitar la estricta separación entre 10 nornlativo y 10 real.
n Ejemplos de esta posición son j>latói1, lIugo Grocio. Samucl Pulendorr. Jean-Jacques Rousseau 'j. en la actualidad, Joho l\awIs. En cambio, queda exc1uldadeJ conflicto con las )eyes de Hume )a orientación iusnnturalisto que funda el derecho nnhmll en aJguna forma o manifestación df' Jti \'oJuntnd divina".
('
3.. El l)rincipio de prohibición
"Ningún habitante de la Naci6n será obligado a hacer lo que no· manda la ley, ni privado de loq~e . ella no prohíben. Esta declaración, contenida. en .. , el artículo 19 de la Constitución Nacional, es ba~i- '~ .. ,~.~'. tualmente considerada como un freno a la arbitra!!.;:·/~;: rieJad y al despotisnlo, y como una garantía g~~~~ji:(.t. rica de l~ li.b~rtad 3~. 'Pero la .l,dea que elIa exp.~~~~&{~:~ como pnnclplo de lnterpretaclon del orden n,?p)1a~~¡i{~~ . tivo ha dado lugar a controversias entre autor~$·. ~~~::'~;:E~ teoría general del derecho y de lógica deóntica;::.' ,~~:W~~/ ha dicho' de ella que es necesaria, que es trjvi~l'y'.,'<,·::~~~ hasta que .podría resultar falsa. . , . ,
Kelsen, por ejcrnplo, sostiene firmemente que "cuando el orden jurídico no: establece para un individuo la obligac'ión de adoptar cierta conducta, pennite la conducta contraria" u. Con éste argumento rechaza en principio la existencia de lagunas en el derecho (conductas no regladas), y~que, necesariamente, todo lo que. no esté prohibido está permitido, aun cuando no exista en la Constitución una cláusula COlno la· apuntada.
Alchourr6n . y B~lygin"'o sostienen una tesis di-
3d Gonzálcz CaMer¡m. Juan A., Curso de derec1ao constitucional. Bs. As., 1958, p. 146.
:SV Kclsen, oh. cit., p. 330. 40 AJchourrón, Carlos E. y BuJ)'gin, Eugenio, lnlro(luccMna la
metodología dtf lal ciencias jurídicas V soc'üfes, Ds. As .• 1975, 1)~ ] 77 . )' siguIentes. . . '
154 L6clCA, PROPOSICIÓN Y NORMA
f erente. Distinguen para ello una pernlisión ufuerte" (la que resulta de un acto nonnativo expreso) y una pcrmbión "débil" (la que consiste en la mera ausencia de JHohibici6n); y, conseCllcntcrncnte, enuncian dos fonnulacione!¡ (débil Y fuette) del prin. cirio de prohibición.
La pritnera de ellas -diccn~ consistiría- en sos·· '1 ener que todo lo que 110 est(í prohibido está perrni!idó (en sentido débil). Pero la pennisión 4cdébil" consiste en la falta de prohibición, por ]0 que el punto queda diriIYlido por shnple interdefinibilidadde operadores dcóntitos. Cierto, lJero trivial: tanto corno la ley de identidad o la del tercero excluido.
Lá fonn ulación f llcrte, en can1bio, diría que lo que nótestá llfohib¡do está pénnitidc{ ren sentido fuerte). Este enunciado -agregan A lchourr6n y Bulyginni siquiera es verdadero, salvo par~ ciertos sistenlUS normativos ahsolutanlente cerrados: del solo hecho (le que una cierta norma (la que prohíbe p)' no per-. tcí\czCa al sistema, no se puede inferir que otra norJna distintá (1i' que pennHc p) fonne parte del mis-' 10'0. . A nlenOS -aclaran- que el sistclna contenga otra oornla adicioual, n la que llall1:1n reg'!1 de (:lausurll: la que, a modó de tapajuntas normativo, disponga la pennisiói1 expresa de todc\ 10 que las deln:\S l101111as no prohíban.
De lo dicho se desprende que la cláusula de nuestro artículo 19 de la Constitución puede inter- .' pretarse como una regla de clausura: una regla de clausura "1iherar', entre otras posibles. En efecto,
())NDICIONES EXTRASl~TEMÁTlCAS
I . as! corno ella dice que todo lo no nonnado (y por ello no, prohibido) está pennítidq, podría decir -por eicInplo- que todo 10 no nornludo (y por ello. 11'1 .
pennitido) está prohibido, cOn 10 que el orden nor- . n,ativo se parecería más a un régimen can;.;)ario. ¿1'odo se reduce, entonces, a una elección "alorativa (y legislativa) entre narrnas de clausura?, '
l'illnbién resulta de allí que la opinión de Kelscn (y de otros autores), en cuanto pretende fundar de este lnodo la completitud (ausencia de lagunas)· del derecho, o bien es una verdad tautológica (y por 10 tanto trivial) o bien constituye una falacia sólo fundada en la ideología de quien la sostiene. ¿No existe una tercera posibilidad que deje a salvo el valor teórico del principio?
El terna es cicrtan1ente polémico; pero tal vez uil ejelnplo ilnaginario ayude a entrever una solución distinta.
Supongamos que 'hubo cnt~e los charrílus un gru .. po que vivía de la caza y de la pesca sin sujeción n . norn1as ni autoridades de' ninguna cla.si! .. ¡:Jn. día,' al ver que otras tribus obtenían mejor sus objetivos gracias a la organización de que se habían dotado, decidieron elegir a un cacique para que los nu\ndase. La elección recayó en Toro Sentado que, a diferencia d~ su hom6nimo piel roja, era un indio pacífico
. ,y poco dado a interferir en la vida de sus congéneres. Toro 'Sentado reunió entonces a la tribu, y dic-
. tó su prÍJnera rtonna: "A partir de hoy -dijO- estará permitido cazar los martes y lc;>s jueves". Jnn- r
156 L.6cJCA, J'ROl"lOSJ06N y NORMA
que], un indígena con dotes innatas de leguleyo, intentó una interpretación á contrario: ·'¿Eso quiere· llecir que no podernos cazar Jos dernás días?". "De pinguna lnanera -se apresuf(> a aclarar el benévolo cacique-: )'0 pernlito cazar los Jnartes y.jtÍcves, pero no digo nada ~ohre el resto de la sernanu·'. Janquel qued6 desconcert~H.lo) pero ()nín, tdbcño proclive a las reflexiones éticas, insisl ió: Utfal vez eso irn· plica tina prolncsn de no pl~()hihir en el futuro las cacerías de nlartcs y jueves?", "Tarnpoco --repuso 'foro Scntado-; no H'lC agrada ünponer prohibicio.:. nes a lTli tribu, pero lne reservo la posi,bilidad de carnhiar de idea. ¿Qué gobernante no 10 hace?" ..
. Los a horígcnes se rniraron unOs a olros, )' ernpezaron a dispers:lrsc en silencio: no podían evitar el sentinliento de que la elecci()ll del jefe había resultruJo, nI- JilCnOS hasta ese rnOlnento, conlpletamenle intltil. Toda la vida habían cazado y pescado COlTIO
les venía en gana, sin consultnr el ca1endario; y ah()rá~ luego de sancionada l'1 prilncra 1ey de su tribu, las cosas seguirían cxact:lJnente igual Inientras á Toro Sentado no se le. ocurriera prohibir algo.
L;i decepción de los charrúqs es, en realidad, el resultúdo de una expectativa futtdada en ]a utilidad práctica de ·las BOrntas. Ui) sistenla normativo Ítnplica la intención de regular, epcaUl.ar, definir lílTliles. En otras palabras, ordenar. 10 no ordenado. Pero la percepci()n nlisma de· algo conlodesorden ilnplica una actituJ valnratíva de disconfonnidad con la siloación actual o potencial: de otro lnodo no
. , OOND!(,10NES I:XTRA.Sl~TEMATlC;\S 157
la l1an1arÍarnos desorden sino libertad, y no se nos ocurriría ]:nodificarla.
Para .operar, pues, esta lTIodificación se introducen pautas (lue oponen resistencia a la voluntad de' la gente en ciertos aspectos, o ca1ifi~aciones ~que se dirigen a interpretar ciertas conductas corno iru::onl.]JO tibIes con el 1110delo propuesto. Así· se di vide el universo de las acciones en dos sectores: el de las acciones ]ÍInitadas (obligatorias e prohihidas) y el de las no lirnitadas (o no limitadas todacfa)) que son las pennitidas. Antes de la introdll.cci6n de un ~jstcn13 nonnativo no existen conductas pern1itidas, pero esta afirn1aci6n es rncranlcnte lingüística: sólo señala el hecho de que, .} falta de una idea de lhnitaci6n, no es posihle calificar su ausencia .. ASÍ, no se concibe la pcrrnisión sin la prohibición,.conlo no hay silencio sin' sonido ni tío sin sobrino. Podríarnos decir en este contexto --para usar llna expresión del derecho rClllano·-- que antes de la primera nornla todas las conduclas son ingenuas .. Cuando se introduce el sistema normativo, a.lgunas dé las conductas dejan de ser ingen~as para ser limitadas, y otras dejan de ser ingenuas para ser perrnitidas. Pero hay una diferencia entre estos dos canlbios: el paso de ingenua a Jimitada ent.raña un efecto real (su rechazo nonnativo, que puede ser meramente conceptual ó traducirse en vías de hecho), en tanto el paso de ingenua a no limitada no varía las expectativas de quien piense realizar o haya realizado la conducta en cuestión.
•
158 . . LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA
Aun<}ue el punto est{, lejos de hallarse definitivamente resucIto, los argumentos expuestos permi- . ten c0l11prender cuál es la línea de razonarniento -llanulC.la hnperaUvisJno- que lleva a postular el principio de prohibicibn corno un presupuesto pragrnático de la teoría nornlativu, y no como una "norma de clausuran c-ontingente. l\1ás a.lIá de la tautología intrasisteulática serlalaoa por Alchourrón. y Bulygin, la regla según la cual todo 10 no prohibido está permitido (o, lnejor dicho, todo lo no norrnado está pcnnitido) puede fonnu)arse COIUO una condici6n extrasistelná lÍcn. para que nuestra lógica deóntica refleje, reproJuzca () reconstruya dé. Bl0do reconocible Jos conceptos non nativos usados en ]a pr{lctica: es lógicanlcnte posihh~ construir un sistema te6rico sobre la base de las pern1isioncs, pero los órdenes nonnativos rcale~; (dcsdc.~cl derecho hasta él ajedrez) sólo ofrecen ut.ilida<\ ·cuando prohíben y porque prohíben. La ausencia de nonna, pues. se parece a la pcnnisión cuando ho existe orden. alguno, y equivale a la perrnisiónocntro de un orden dado.
BIBLIOCHAFIA
Una de 1.\5 JJ1a)'ort"S dific'lltatl~,s que se le prescnt.m :) quicn Jcsca prohmui1_'u estudios lógicos es la rclaOva t'scaSt.!z de textos en espa¡,ol. Por esto se hansdcccio,n;HJo algunas de esas ohr:ls a las <¡He
.se pucllé rccu rrir l);m: a 111 pi ¡al los l'{)¡!l t'pl os d(.'~arr(lna dos (~n (!~te libro.
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México, Unam, H116. .
:;
I~
lb 1
•
lNDICE- ALFAB:E:TICO··
A
:l<l¡dón, 91. <le contradicción, 93. . de tautología, 93.
A1chourrón y Dul)'gin, 153, 158. antecedente, 50. Arislóteles, 26. aserción, 35.
. asociatividad de la conjunción, 91, 97. de la disyunción, 92, rn. del' hicondicional, 92, fI1.
autodistrHmtivklacl .Jet condicional, 02.
n hicondicional, 62.
definición del, DI. tautológico, 78.
lluole, 27.
Carnap, 51. C;lrrió. 31~
e
Carron, Lewis, ] 04. casos posibles, 47. coherencia, 145. complet il ud deductiva, 145, 155. conclusión, 21. con.Jici6n
necesaria, 61. . suficiente, 61. condicional, 56 .
definición del. 91. . , paradoja del, 58.
condicicmes .. cxtrasistemáticas de la Mgica deóntica, 148.
cond l1ctasr' 121. complt~jas. 136. jngenuas, 157.
conectivas diádicas o binarias, 42. extens¡nnaJes, 4 J, 94. monádicas. 41, 51.
conjunción, 52. conmut!\tivid:u]
(lo la conjlinci6n, 92. de ]a disyunCión, 92. dd bicondicionaJ, 92.
·:····'consecuente. 56. consistencia, 145.
162
<. onslantcs Mgicas, 41. t'()lltin~cnd;" 71. contrádicci6n, 10 •. 86. 81.
nJética, 114, 115. de6nticn, 121, 132..
(:onlrarícuad, 86; 87. a16tica, 114, 115. dcóntica •. 121 f 160.
Copi, 37. cuauro
de interddinihi}idatl de co .. ne(1ivas. OO.
tle inlerdcfinihiliclad de modalidades aMtlcas, 112, i 13.
<te intcrddinibilidad de mo· daHd:ld~s de6ntkas. 12..3. 12· ..
(1(~ oposición de las modBH· dades íllhic~s. 114.
de oposición e le las rm.xlalida-d . t I t • 1 ')1. es ut;on len!, ~
1)
D(: MOTJ~:ln. 27, 91. ley ,lp.. HI.
cled\H:d,'H\ válida, 21. (~dinicibll. ley de
del hicondicioHal, 91. elel comlicional, 91.
derecho ~latural, doctrina del, 152.
Jistrihui.:ión de la obligaci6n ( teorema) ,
139. d~ la (1p.mlisi6n ( l'lrincipio),
l:u!. ,1 istríll\1tivitJad
de la conjunción rc!;pcdo llc la diSYHnci,)n, 92.
(lu la disyunéibn respcdo de la C:tHljlmcilm. 02.
íNDICE ALF ADÉnro I ,
clisyunci6n, 53. excluyente, 5·j. 55. inclu)'ente, 54, 55.
doble negaci6n, OO. cloctriná del ,'I~recho nat~ral, 152.
J . D()( .• gson, 104.
E
enunci;u.1o. 35, 36. t"quivalencia, 78.
. matmial. 62.
F
fncu1tativo, 120, 13· •. fórmula proposicional. "3.
Tt'gbs ele formaci6n. ,14, -15. fórmulas
:tti)mir:as. 45. conlingentes, 11. u(·6nticas. su lectura, 121, 122. moleculares. 45.
Fr(·~c. 27. (\1 nc¡c>n ti!' v('rd ~(1. ·46.
G
Gonzált:1. C;.\ldcrlm, 153~ Grodü. ]52.
l-I
1 lalC, 150. Hume, 14H, 150.
leyes d~f 149.
1
jd"mpot(:nt"~¡ t1(~ 13 ennjnoc. Ión, 90. tle la disyuncióu, llO.
:1
i i
ÍNDICE ALFABF:nOO
imperativi.smo, 158. implicaci6n
de los con juntos, 93. eslTicta, 73. ' formal, 56, 73. 16gica, 56, 73. material, 56.
independencia de los 145.
ingenua, conducta, 151. intercambio, 102. interdefi nihilidad,
de las conectiv3l, 94.
"
axiom.f\s,
,de modalidades alétka.s. 112, lIJ.
de oper.sdores deóntico" 123, 12.4.
iusnaruraJismo, ' 152.
K
'Kcuen, 119. 150, 15.1.
L
Leibniz, ~ 27. J engna jc (liSOS).' 37.
natural, 2.Ó, -10. . objeto, 9<J.
letras I.t' 1')9. esquema leas, v
scntcnciaJes, 39. tey lógica, 81.
leyes , de la Mgica' Vrupolidonal, OO. deóntic3s, 12.'5.
l6gica binaria o hivalcnle, 49. concepto, 20. ro nO i ci unes ~.ttrasistemática5"
145. dctintica, 32., 120.
e ínfonnátIca, 33. fonnaJ, 28. historia de la, 26, 27 t 28. matemática, 28, 38.,
, modal, 29, 109. modal alética, 111. nonnativa, 32. proposicional, 29, 39. s imb61ic:l , 28, 38.
,uUlidad de la, 22., 23.
•
163
y ciencias sociales. 29, 30. y derecho, 31 t 32.
Lu1clsiewicz, 41, 112.
M
Males, 51. Menddson. 51. , meta-lógica, 100. mcta-nonna, 106. metalenguaje, 9'-J. rrwtalc)'es, 99. modalidades, un.
alél kas. 111. cuadro de intcrdefinihilidad •.
112, 113. . cuadro' de oposición, 114,.
deónl icas, cuadro de inlcrddinihilioad,
12.~. cumfro ele oposición, 127.
modali7 ... 1.dnres. 110 .. modus por~, 92..
n·gla. del,. 100. modus lollen.~, 93. mundos posibles, 48.
N
nec(~s:l1"jo. 11.2. ~ ncct!sida.l. ,verdad y posibHidao,
113, J.14.
164 ...... : ., • rO • • ~ •• :" ••• '" .1"" -!. ~' •. *.,' .-'. o-o ••• ,...~ ... " #.
1\l'~aci6n, 51. f·xlern:., J J l. 1 ~5. illlerna, 111.
nflrm~~, \JI ilid:HI l1dcticil d(! las, l:m, 157.
ll(1t;ldnIlC'~
!Il;~'l'~.l () tt~ T\msell. -11. lIo\¡l(·n. 41. l
o obligad,:m "ltern:ltiva (tcoH:rna).
1·10. obligatorio, 119 y ~s.
operadort!s. 41, }07. 110, 120, J34.
deónticos, 119, 1:34. owci6n. 35. Ora yen, 39.
p
paradoja del (.·onJidooa 1. 58, 59, 60.
] C:l Jl(), 27. vermisi6n
conjuntn (teorerna), ) :t2. , "débil", 154.
"fuerte", 154. tninim.\ (teorema) I 1·13.
I)c:rmitido, 119 y S~. Platón, 152. l)osible, 111, 112, 113. predicado tI<: s(~(tllnJo uiveJ, 109. .l)remisas. 21. plincipio
de distribuci6n de b pcrmis;(Jll, 138.
<le i<lentictnd, 83, f\1: 38, 9Ú. de no contradicci6n, 8,t, 88, 89,
OO. de prohihici6n. 153. del tercero exd,,¡do, 8:'), 1)9, OO.
rrineipitts 1.·\·III('lIt:lles llí: la l6gi. (',1. ~'l, ',';,
"tlt:I·~.l:i ti., d"l.:l~iím autOlIl:'ti<a. :n.
p:"bl.it:it',ll. prillnp:o d('. 153.' pr~lhilll'lo. 11 r ss. P!,.!'.;.;ki¡'m . . tí. :)1" 37.
':I1I\U:I"" .1", :10, :37. ,'".n:I:I! ¡\'a' ¡' (h'!\crir~t¡va, 122.
1=)0. prnposicjofW'(
contTaria5 '! l'ontradictoriás, 115. lIonnativils: 122. Sl1haltenulJlte~ )'. subalternas,.
116. !iuhcontrnrins. 115.
I'u(cr.dorf. 1.52.
Q
'Juine. 56, 102.
n flawls, 152. razonamiento, 20. rcgln
de clallsma1154. . de inlt'rr¡1I1 bió, 101, 102, HXJ. dt: s\lslil~ ~n. 100. dd mm/'''"onells. 103.
rq~b~ ,l., r~f1))ndl"II, 4 ... de inferclIl:iil J 98 .
TIollssP':,m. 152. n "5 seU. not~lción de, 41. nU~'ien y \Vhilehead, 28.
s si!,!JlifiC:ltJo. 36. ~ igllos I/)~iros. 41.
128 LÓGICA, rTlOrOSICI6N y NORMA.
contrarios); las verticales, las leyes de subalternación (donde "Op" es subalternantc de "Pp" y "Ph p" 10 es de "P-p") j y las diagonales, las de contradicción (que establecen la incompatibilidad entre "Op" y "P-p" y entre "ph p" Y "Pp", así como entre sus respectivas negaciones).
El cuadro I de oposición indica la existencia de cierto repertorio básico de tautologías deónticas que no provienen de la lógica proposicional. Pero entonces, ¿de dónde salen, y por qué son tautologias? Esto es lo que tendremos que demostrar ahora.
3. El principio de subcontrariedad
En nuestras demostráciones contaremos con un sólido instrumento: las tautologías "importadas". Pero, además, necesitamos un punto de partida, una cabeza de playa en el territorio deóntico. Es decir, un axioma que nos pennita deducir las demás leyes.
Seguiremos para esto a van Wrighe1 y tomaremos como axioma el priIlcipio de subcontrariedad: Pp v P-p 32 (por ejemplp, está permitido apostar o bien está pennitido no apostar). Por tratarse de un axioma no corresponde prob1rlo dentro del sis-
31 Wright, Georg H. von, . Un ensayo de l6g1ca deóntica V ÚI leorla general de la Clcc!ón, México, 1916, p. 18; ver también Vernengo, Roberto J., Curso de teorla general del clere,.1IO, Bs. As., 1972, p. 82, párr. 2.1.9. . .
32 Nótese que la ley de SlJbcontrarieJad (Pp v P-p) es diferente de \a ley "imporladu" del tercero excluido (Pp V -Pp).
LEYES DE6l'ITICAS 1;G~
tema; pero es posible fonnular una justificacióD: ra-cional y hasta intuitiva de tal principio. ..,
En' efecto, 10 que esta ley 'sostiene es que no todo puede estar Hrphibido. Alguna vez se ha visto en esta expresi6n el requisit9 de un mínimo de libertad (esto es, dé existencia de actos facultátivos dentro del sistema)'; pero tal cosa no es, en rigor, estrictamente necesaria: nuestro sistema deóntico' nos permitirá simbolizar, del mismo modo, un orden normativo en que la .libertad brille por su au-' sencia.
Supongamos que me prohíben usar sombrero:' si , el orden conserva un mínimo de racionalidad, me estará permitido andar descubierto;, Y si me prohíben no usar sombrero (es decir,' me obligan a usarlo), tendrán que 'permitirme que 10 use. Naturalmente, también' puede ser que un legislador menos proclive a fastidiar a sus semejantes me permita tanto usar sombrero como no usarlo (con lo que el acto deviere libre o, para decirlo con mayor propiedad, facultativo). Pero, aunque el legislad~r no desee dejarme' margen alguno de libertad, almenas deb~rá permitirme que cumpla con mis obligadones y permitirme que no realic~ las conductas prohibidas. Esto· es, sr~que las nO!:!llas motiven mi Cclnd~ menos para distinguir íñis acciones lícitas de mis acciones ilícitas. Tal es, precisamente, el sentido de la ley de subcontrariedad: dada una acción detenninada (p), o bien está pennitido cumplirla (Pp) o bien está per-
V. L6¡¡:lea.
\ ,J
1"" l
fNDICE Al.F ADÉ'nOO
\ '..:. • f' .. ~ ••• . ., silogismo disyuntivo, 93. síml,ol'os auxiliares, 42, 45, CY¡,"
L:ur;ls. 42. corchetes, 42. naves, 4.2. paréntesis, 42.
simétricas, relaciones, 117. simptific~d6n, 91. s:slemas deductivos, 140, 147,
148. suhallcma, 116. S\Jhalternación
~Il;tica • .114, 116. 'oe(mlic:l, 127, 131.
s~lbaltcrnill1te. ~ 16. subcontraricdacl
a lética, 114, 115: deóntica, 127. 128.
T
tablas de verdad, 47 y ss, tautología, 67, Bl, 82, &1. ta lltologías tlc6nl icas, 12." teorema
Oc distrihudbn tic la" obliga. ción, 139.
." 1 y •• ' ,
oc" lá' ," obH'gació'J I ·aherllaUva •..
140. <.le 1.1 perÍnhi6n conjunta, 142. de la permisión mínima, 143.
término primitivo, 111. transfonnaci6n, 9l. lr:msitividad del comllcional, 91.
. 6 " tr;Ul~poSJci n, 91.
u usos del Jenv;uaje, 37. \l tilidad práctica de las normas,
156, 157 ..
.V
valores de verdad, 37. varia bIes proposicionales 3~'¡.
Vernt!J1go, 128, 150.
Wittgenstein, 99. Wright, von, 112. 1 ~O, 123. 128..
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