dos analogías para comprender el quehacer del matemático

7/21/2019 dos analogas para comprender el quehacer del matemtico

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DESCUBRIMIENTOOINVENCIN:DOSANALOGASPARACOMPRENDEREL

QUEHACERDELMATEMTICO1

Ral Melndez Acua2

RESUMEN

En este artculo, partiendo de algunas observaciones del Wittgenstein tardo acerca delas matemticas, se contrastan y se examinan dos imgenes de la actividad del matem-tico: como descubridor y explorador de una realidad independiente, y como inventor deanalogas. Se aclara cmo Wittgenstein usa la segunda para disipar algunos malenten-

didos que la primera ocasionara, si la prejuzgamos como verdadera. Con ello se pretendemostrar cmo Wittgenstein persigue, con sus observaciones sobre las matemticas, unode los propsitos centrales de su filosofa: cambiar la manera como vemos las cosas y asliberarnos de analogas desorientadoras que pueden llegar a mantener cautivo nuestropensamiento.

Palabras clave: Filosofa de las matemticas; analogas; Wittegenstein

ABSTRACT

aking some of the late Wittgensteins observations on mathematics as a starting point,two images of the mathematicians activity are contrasted and examined in this essay: themathematician as discoverer and explorer of an independent reality, and the mathemati-cian as creator of analogies. We aim to make clear how Wittgenstein uses the second oneto avoid some possible misunderstandings that have their source in the first one, if it isprejudged as a true explanation. In this way, well attempt to show how Wittgenstein, bymeans of his philosophical observations about mathematics, pursues one central purposeof his philosophy: to change our way of seeing things and thus to free us from misleadinganalogies that may hold our thought captive.

Key words:Philosophy of mathematics; analogies; Wittgenstein

1 Recibido: 26 de abril de 2014. Aceptado: 11 de mayo de 2014.

2 Universidad Nacional de Colombia. Correo electrnico: [email protected]


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Melndez Acua, Ral

[124] Revista Colombiana de Filosofa de la Ciencia14.28 (2014 enero-junio): 123-146

1. INTRODUCCIN

El quehacer del matemtico puede verse de varias maneras. En efecto, se puederecurrir a diferentes imgenes, analogas o modelos para tratar de comprenderbien su actividad al resolver problemas y demostrar teoremas que enuncian lassoluciones. Ellas permiten entender tambin, de modos diversos, el significadode las proposiciones matemticas, el sentido en el que se afirma de ellas queson verdaderas y el carcter necesario que se les suele otorgar. En este ensayo,partiendo de algunas observaciones de Wittgenstein sobre las demostraciones ylas proposiciones de las matemticas, se contrastarn y evaluarn dos imgenesde la labor del matemtico: como descubridor o explorador y como inventor o

creador. Esto suscita el problema de hallar la manera adecuada de valorarlas ylas expresiones que conviene utilizar para hacerlo. ratndose de imgenes oanalogas, digmoslo as, pretericas, no es claro que sea adecuado juzgar si sonverdaderas o falsas, como si fueran tesis o teoras. A primera vista, parece menosproblemtico examinar, ms bien, cun esclarecedoras o, por el contrario, cunengaosas o desorientadoras pueden llegar a ser; o dicho de otra manera: siellas ayudan a resaltar y apreciar ms claramente, o por el contrario a oscurecer,algunos aspectos relacionados con la prctica matemtica y con el sentido, laverdad y la necesidad de las proposiciones matemticas.

Al contrastarlas se busca comprender cmo Wittgenstein emplea la imagendel matemtico como inventor para resistir la seduccin que llegara a ejercersobre nosotros la del matemtico como descubridor o explorador de unarealidad abstracta, que l considera desorientadora. De este modo, se pretendetambin ilustrar uno de los propsitos centrales que el propio Wittgenstein setrazaba en su filosofa:

Si yo rectifico un error filosfico y digo que siempre se ha imaginado esto as,pero no es as, entonces siempre sealo una analoga/entonces debo siempre

sealar una analoga, de acuerdo con la cual uno se ha orientado, y que no escierta./ entonces debo siempre sealar una analoga, de acuerdo con la cualse ha pensado, pero que no se ha reconocido como analoga./ (B 276).

Este ensayo se divide en dos partes. En la primera se bosquejar la imagen delmatemtico como descubridor y se plantearn algunos problemas que surgen,si se usa no como una analoga preterica que busca resaltar aspectos, sinocomo una teora filosfica verdadera que pretende explicar dichos aspectos. Enla segunda parte, siguiendo la sugerencia de Wittgenstein de aclarar qu es lo

que demuestra un matemtico examinando cmo lo demuestra, se tratar demostrar que una parte importante de la actividad del matemtico puede versecomo una labor creativa mediante la cual se inventan, precisamente, analogas.


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Descubrimiento o invencin

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2. ELMATEMTICOCOMODESCUBRIDORYLAANALOGAENTRELASPROPOSICIONESMATEMTICASYLASEMPRICAS

Es el matemtico un descubridor o un inventor? Esta es una pregunta queocupa un lugar central en las reflexiones filosficas del Wittgenstein tardoacerca de las matemticas; y es, en general, una cuestin importante cuandose trata de comprender bien su labor cuando resuelve sus problemas y cuandodemuestra sus teoremas. Quiz se tenga ya, de entrada, alguna vaga inclina-cin a responderla de una u otra manera, pero la pregunta misma requiere,en primer lugar, aclaracin. Como subrayaremos ms adelante, de muchosproblemas en matemticas, particularmente de aquellos que exigen la creati-

vidad y originalidad del matemtico, se podra decir algo similar: la solucindel problema ha de incluir una aclaracin del sentido del mismo.

Si nos sentimos tentados a decir que el matemtico es un descubridor, qunos motiva a decirlo?, cul es el punto de decirlo?, qu se quiere aclarar odestacar dicindolo?, qu es lo que quisiramos decir con que el matemticodescubre o encuentra y cmo lo hace?, qu habla a favor y qu en contrade ello?, qu problemas tiene esta imagen de lo que hace el matemtico? Esprobable que solo una vez se haya aclarado cmo se quiere responder a estaspreguntas se pueda llegar a decir: Ahora s logro, finalmente, comprenderbien lo que queras decir cuando afirmabas que el matemtico es un descu-bridor. Antes se tendran, apenas, ideas demasiado imprecisas al respecto.

Hay una imagen muy corriente del quehacer del matemtico, difundidaespecialmente entre ellos mismos, que lo representa como un explorador quedescubre hechos en una realidad matemtica abstracta diferente al mundofsico3. Una variante importante, que en puntos esenciales coincide con ella,es la del matemtico como explorador de rasgos muy generales y abstractosdel mundo emprico y no de una realidad diferente a l. La imagen est moti-

vada de manera natural por una analoga que se suele invocar para tratarde comprender el sentido de las proposiciones matemticas y para hallar elfundamento de su verdad: as como las proposiciones empricas verdaderasdescriben hechos en el mundo fsico, las proposiciones matemticas verda-deras representan hechos que descubrimos en una realidad matemtica. Estaanaloga concuerda bien, a su vez, con la imagen del lenguaje como espejo dela realidad (de alguna realidad?). De acuerdo con ella, los diferentes tipos deproposiciones del lenguaje, en particular las matemticas, cumpliran todos la

3 A este respecto escribe un eminente matemtico: El punto de vista realista [esto es, platonista] es probablementeel que la mayora de matemticos preferiran adoptar. Solo hasta que advierten algunas dificultades de la teora deconjuntos es que comenzaran siquiera a cuestionarlo (Cohen, citado en Davis y Hersh, 321. Traduccin propia).


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funcin esencial de representar, reflejar o describir hechos; los distintos tiposde discurso emprico, lgico, matemtico, tico, esttico, entre otros se

diferenciaran solo en la medida en que describen o bien diferentes rasgosde la nica realidad o bien diversas realidades. Algo que se querra lograrcon la analoga (este bien podra ser el punto de hacerla) es tomar como casoparadigmtico el de las proposiciones empricas, para as extender nuestrasmaneras de concebir su sentido, como representaciones de lo real, y su verdad,como correspondencia con lo real, a otros casos, entre ellos el de las matem-ticas. Ella nos permite tener una concepcin homognea del lenguaje y unaexplicacin general, uniforme de cmo expresamos en l sentido y verdad.

Nos serviremos ahora de un ejemplo muy elemental para ilustrar lo natural y

plausible que es esta imagen de las matemticas, pero tambin para plantearalgunos cuestionamientos y problemas que suscita. Se trata de la secuenciaaritmtica +2, cuyo comienzo es: 2, 4, 6, 8, 10, 12, (el ejemplo se reiteraen algunas de las observaciones de Wittgenstein acerca del seguimiento dereglas). En esta secuencia infinita aparece el nmero 1000 (como aparecen,tarde o temprano, todos los nmeros pares en su orden) y en ella el nmero1002 sigue al 1000. enemos aqu dos proposiciones matemticas incontro-vertiblemente verdaderas; si es que hay este tipo verdades en matemticas, oen absoluto, he aqu dos buenos ejemplos.

Sin embargo, cuando tratamos de aclarar en qu sentido son verdaderas estasdos afirmaciones y de hallar el fundamento de estas verdades, as como desu carcter necesario e indubitable, entramos en un terreno que ya no es tanincontrovertible. Pero, no utilizamos la analoga entre proposiciones mate-mticas y empricas y la imagen/concepcin realista de las matemticasjustamente para explicar esto? De acuerdo con ellas, las proposiciones mate-mticas, como cualesquiera otras, son verdaderas en el sentido en que afirmanalgo que, en efecto, se da de hecho. Una manera inocente de entenderlo es que

al decirlo, simplemente nos estamos repitiendo, estamos volviendo a afirmar,introduciendo unos trminos prescindibles (verdadero o de hecho o enefecto) lo que afirmaban ya, de manera inobjetable, las dos proposicionesmatemticas mismas.

En cierto sentido, decir de una proposicin p que es verdadera o decir que esun hecho que p, equivale a afirmar p. Pero entonces no estaramos aclarandoni explicando nada. Para hacerlo, tendramos que entender este uso de verda-dero o de hecho de manera menos trivial, menos inofensiva y ms metafsica,

como expresando algo que realmente ocurre en la realidad matemtica. Lasproposiciones de las matemticas tendran sentido y seran verdaderas porquelo que afirman se da efectivamente en una realidad independiente. Hay, pues,


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en ella una secuencia infinita, que ya posee todos sus trminos y es un hechoobjetivo independiente de lo que afirmemos o sepamos o demostremos que

contiene al 1000 y que a este nmero le sigue el 1002. Si afirmamos algo dife-rente no describimos o representamos bien tal realidad. La verdad matemticase entiende como correspondencia con ella. De la misma manera se puede

justificar por qu es correcto que sigamos las reglas y hagamos las operacionesen matemticas como lo hacemos. Por qu al sumar 2 a 1000 se obtiene 1002y no otro nmero? La manera como se relacionan de hecho estos nmerosen la inmutable realidad matemtica determina de manera inexorable que esas y, ms an, que tiene que ser as. Cmo se establece la forma correcta decontinuar la secuencia +2: 2, 4, 6, 8, 10, 12,? Solo se requiere escribir los

nmeros que ya estn ordenados as (eterna o, ms bien, intemporalmente) enla secuencia infinita completa. Si tal secuencia no existiese, completa, pareceraque esto no est determinado, que nada nos obliga y que entonces podramosseguir la secuencia como quisiramos.

Wittgenstein nos dice que cabe imaginar esa secuencia como si se tratara deunos rieles que se pierden hasta el infinito, de los cuales vemos, en nuestrafinitud, solo el comienzo, pero que podramos, y tendramos, que andar sindescarrilarnos para continuar correctamente la secuencia:

De dnde viene la idea de que el comienzo de la serie es un trozo visiblede rales invisiblemente tendidos hasta el infinito? Bueno, en vez de la reglapodramos imaginarnos rales. Y a la aplicacin ilimitada de la regla corres-ponden rales infinitamente largos.

odos los pasos ya estn realmente dados quiere decir: ya no tengo eleccin.La regla, una vez estampada con un determinado significado, traza las lneasde su prosecucin a travs de todo el espacio. Pero si algo as fuese realmenteel caso, de qu me valdra?

No; mi descripcin slo tena sentido si se entenda simblicamente. As escomo me parece deb decir.

Cuando sigo la regla, no elijo.

Sigo la regla ciegamente(IF 218 y 219).

La imagen de los rales o rieles que se extienden infinita e invisiblemente esuna manera de representarnos de modo ms concreto y vvido la realidad

matemtica que nos dicta lo que es verdad en matemticas y la maneracorrecta de seguir sus reglas. En este pasaje, sin embargo, se manifiesta unaduda: si las cosas fueran en realidad tal como nos las representamos, es decir,


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si la imagen fuese textualmente verdadera, de qu nos valdra?, cmo nosayudara a seguir correctamente la regla o a justificar que la seguimos bien?

Nos imaginamos esos rieles, pero siendo invisibles. A menos que podamospercibirlos o conocerlos de otra forma, si son invisibles dara igual que no exis-tieran. Del mismo modo, si la realidad matemtica, como se suele entender,es abstracta y no es perceptible sensiblemente, entonces a menos que se aclarecmo podramos tener un acceso cognitivo a ella, su existencia no nos servirapara construir correctamente nuestro conocimiento matemtico o para justi-ficarlo. De nuevo, sera como si ella no existiese.

La idea, sugerida por el realismo matemtico, de que para seguir correctamentela regla +2 es necesario copiar tal cual lo que ya est escrito y determinado

en el original matemtico, esto es, en la secuencia infinita, inmutable y real,lleva al interrogante acerca de cmo sabemos qu es lo que hay que copiar.Entendida as la pregunta de qu nos valdra?, expresa una objecin tpicaque se le suele hacer al platonismo matemtico: una suerte de escepticismoacerca de la posibilidad de conocer una realidad abstracta, no sensible.

Pero tambin puede interpretarse que esta pregunta plantea una objecindiferente: de qu nos valdra copiar la realidad matemtica en nuestrasproposiciones y reglas matemticas,an si pudiramos descubrirla y conocerla

de manera fidedignamediante alguna intuicin intelectual (alguna facultad nosensible, sino de nuestro entendimiento)?, es la matemtica que necesitamosla que es copia exacta y fiel de una realidad matemtica abstracta o, ms bien,la que aplicamos de manera provechosa y fructfera tanto en innumerablesactividades cotidianas (repartir objetos equitativamente entre varias personas,calcular reas de terreno o volmenes de recipientes, hacer compras en elsupermercado y en otras partes, promediar calificaciones de los estudiantes deuna asignatura, jugar billar o parqus y miles ms), como en algunos proce-dimientos de las ciencias naturales y sociales? Despus de todo, a menos que

se d una prueba de ello, las matemticas que resulten de copiar la realidadmatemtica no tienen por qu coincidir con las que nos es conveniente, yhasta necesario, utilizar en tantas y tan importantes actividades de nuestravida, algunas de las cuales seguramente motivaron el desarrollo muchas denuestras teoras y tcnicas matemticas.

Si no coincidieran y optramos por las primeras, por concordar con los hechosmatemticos, y no por las segundas, que desempean un papel tan fundamentaly tienen tan importantes usos en nuestra forma de vida, las consecuencias

seran desastrosas. En tal caso, mejor haramos en prescindir de las primerasy quedarnos con las que necesitamos vitalmente; o en conservar ambas, peroentonces, en ese caso, las primeras seran como un lujo innecesario.


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Esta objecin la formula Wittgenstein en el siguiente pasaje:

Imagnate esta curiosa posibilidad: que nos hubiramos equivocado siemprehasta ahora al multiplicar 12 x 12. S, es incomprensible cmo haya podidosuceder, pero ha sucedido. As pues, todo lo que se ha calculado de este modoes falso! Pero qu importa eso? No importa nada! Algo falso ha de haber,pues, en nuestra idea de la verdad o la falsedad de las proposiciones aritmticas(LFM 135).

Cabra agregar aqu que habra algo falso en nuestra idea de la verdad o falsedadde las proposiciones matemticas, entendida como correspondencia con larealidad, es decir, hay algo problemtico en la concepcin realista de la verdad y

la necesidad matemticas. Para mostrarlo, Wittgenstein se imagina que nuestrasmatemticas no son las verdaderas, es decir, que no coinciden con la realidadmatemtica abstracta. Pero incluso si coincidieran, tenemos las matemticas quetenemos y no otras diferentes, y les otorgamos a ellas y no a otras un carcterde necesidad e inexorabilidad, no porque ocurra esta feliz coincidencia, sinoporque se nos han vuelto imprescindibles, ya que les damos miles de fructferasaplicaciones en los contextos prcticos ms bsicos y diversos:

Dnde reside entonces la inexorabilidad propia de la matemtica? No

sera un buen ejemplo de ello la inexorabilidad con la que el dos sigue al uno,el tres al dos, etc.? Pero esto quiere decir, ciertamente: seguir en la serie de losnmeros cardinales; porque en otra serie distinta sigue algo diferente. Y no esprecisamente esa secuencia la que defineesa serie? Quiere decir esto, pues,que todos los modos de contar son igualmente correctos, y que cada uno puedecontar como quiera? Seguramente no llamaramos contar al hecho de quecada uno dijera los nmeros uno detrs de otro de cualquier forma; perono es solamente una cuestin de nombres. Puesto que aquello que llamamoscontar es ciertamente una parte importante de la actividad de nuestra vida.

El contar, el calcular, no son, por ejemplo, un simple pasatiempo. Contar (yesto significa: contar as) es una tcnica que se usa diariamente en las msvariadas operaciones de nuestra vida.

Y por eso aprendemos a contar tal como lo aprendemos: con un inacabableejercicio, con una exactitud sin piedad; por eso se nos impone inexorablementea todos decir dos despus de uno, tres despus de dos, etc. Pero essolo un uso ese contar? No corresponde a esa secuencia tambin una verdad?La verdad es: que el contar se ha acreditado. Quieres decir, por tanto, que

ser-verdadero significa ser utilizable o provechoso? No, sino que de la serienatural de los nmeros as como de nuestro lenguaje no se puede decir quees verdadera, sino: que es til y, sobre todo, que es utilizada (LFM I, 4).


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Aqu, el interlocutor de Wittgenstein, quien dice lo que est entre comillas,propone recurrir a una nocin de verdad objetiva para justificar nuestra arit-

mtica y evitar llegar a un indefendible relativismo matemtico: a que todas lasmaneras de contar son correctas. Probablemente sea esta una motivacin muyimportante que lleva a sostener una concepcin realista de las matemticas.Wittgenstein quiere evitar este falso dilema realismo-relativismo en matem-ticas y aclara que su manera de hacerlo no debe confundirse con apelar a unaconcepcin pragmatista de la verdad y la necesidad.

No se trata de identificar verdad con utilidad, sino de subrayar que es debido aque las reglas de las matemticas, por ejemplo, las de la aritmtica elemental, seaplican en muchas actividades de nuestra vida, que nos obligamos a seguirlas

de la misma manera y excluimos cualquier otra como incorrecta. Por supuesto,es vital para utilizar las matemticas, en los muchos contextos en los que seaplican, que concordemos en usarlas de la misma manera, en dar los mismospasos, en llegar a los mismos resultados:

Supongamos que de ahora en adelante, cuando se nos dice que multipliquemos,todos nosotros llegamos constantemente a diferentes resultados. Supongo queentonces ya no llamaramos a esto calcular en absoluto. La tcnica en su tota-lidad (por ejemplo, calcular el nmero de baldosas para un piso) perdera el

carcter de un clculo. Ya no tendramos, de hecho, un resultado correcto yuno incorrecto.

odo el asunto se basa en el hecho de que no obtenemos resultados diferentes.Por eso es que es tan absurdo decir que 12 x 12 = 144 podra ser incorrecto.Pues la concordancia en obtener este resultado es la justificacin para estatcnica (LFM X, 102).

La objetividad y la necesidad matemticas se fundan en la concordancia enaplicar las reglas de la misma manera, en calcular llegando a los mismos resul-

tados, y no en la concordancia metafsica con una realidad ideal. ampoconecesitamos la segunda para fundamentar la primera. Gracias a la primera, quees una concordancia natural entre nuestras maneras de actuar y de reaccionary aquellas en que se nos adiestra e inicia en las tcnicas de las matemticas,podemos establecer que el resultado en el que coincidimos es el correcto ytiene que ser el correcto.

Si no se calcula, si no se cuenta as, si no se infiere as, si no se sigue la regla as,ya no lo aceptaramos como una instancia de calcular, contar, inferir,

seguir la regla. Prescindir de la imagen realista de las matemticas no llevaentonces a negar la objetividad y la necesidad de las matemticas, sino sola-mente a cuestionar una manera de explicarla.


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Se podra reaccionar a las serias crticas que se han formulado arriba contra laconcepcin realista de las matemticas, diciendo que solo valen si se toma esta

concepcin literalmente como una teora que tiene que ser verdadera y servirde fundamento para la verdad y necesidad de nuestras matemticas, y ya nosolo como una imagen, como un objeto de comparacin, como un smil4.Recurdese que la pregunta de qu me valdra?, de la que extrajimos las obje-ciones, vena antecedida por Pero si algo as fuese realmente el caso; es decir,las objeciones se hacen al asumir que la concepcin o imagen del realismomatemtico es cierta al pie de la letra. La imagen misma, se puede replicar, nosera errnea o falsa; no lo sera en tanto se use como objeto de comparacin,pues empleada as simplemente nos muestra y resalta un importante aspecto

de la aplicacin correcta de reglas matemticas, a saber: que al usarlas novemos otra manera de hacerlo, que no sentimos que tengamos otra opcin5y que las aplicaciones correctas de una regla se pueden ver, entonces, como siya estuvieran realizadas de antemano o como si copiramos un original o unarquetipo inmutable. Pero precisamente porque hay una manera natural deseguir la regla en la que concordamos porque no se nos ocurre otra manerade hacerlo, no vemos otra opcin y seguimos la regla ciegamente, entoncesno necesitamos, en la prctica, copiar nada, ni ajustarnos a un arquetipo exte-rior que nos dicte como hacerlo. La imagen s sera objetable en la medida en

que la tomemos dogmticamente como una explicacin verdadera: nuestrasaplicaciones correctas de la regla estn bien porque de hecho ya estn reali-zadas as, de antemano, en una realidad abstracta. Justamente lo anterior eslo que estara sugiriendo Wittgenstein al reaccionar a la pregunta de qu mevaldra? con esta salvedad: mi descripcin slo tena sentido si se entendasimblicamente. As es como me parece deb decir. La imagen puedeaclarar cmo me parece, pero si se usa dogmticamente para afirmar queas es, ya no se entendera bien; nos hace extraviar.

4 De manera similar se puede interpretar que las crticas que hace el Wittgenstein tardo, en susInvestigacionesfilosficas, a la imagen del lenguaje como representacin figurativa de la realidad presentada en su primeraobra, el ractatus Logico-Philosophicus,son crticas a un dogmatismo que prejuzga el modelo o la imagen (de laque l dijo que lo mantuvo cautivo, vase IF 115) como si fuese algo que tiene que cumplirse, que tiene queser verdadero, que no admite otras imgenes posibles. Esto lo sugiere el propio Wittgenstein cuando escribe:Slo podemos, pues, salir al paso de la injusticia o vaciedad de nuestras aserciones exponiendo el modelocomo lo que es, como objeto de comparacin, como, por as decirlo, una regla de medir; y no como prejuicioal que la realidad tiene que corresponder. (El dogmatismo en el que tan fcilmente caemos al filosofar) ( IF 131). Ser importante entonces, cuando presentemos la imagen alternativa que ofrece Wittgenstein a la delmatemtico como descubridor, que evitemos atribuirle este dogmatismo.

5 Este aspecto que se resalta en la imagen realista o platonista de las matemticas es expresado de manera msgeneral por los matemticos Davis y Hersh: Encontraremos que la actividad de investigacin matemtica obligaa un reconocimiento de la objetividad de la verdad matemtica. El platonismo del investigador matemtico noes realmente una creencia en el mito de Platn; es solamente una conciencia de la naturaleza refractaria, de laobstinacin de los hechos matemticos. Son lo que ellos son, no lo que nosotrosqueremos que sean (362).


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Wittgenstein insiste en que se puede apelar a esta imagen de una realidadabstracta para dar cuenta de la necesidad lgica, que sera, en ltima instancia,

la misma necesidad matemtica:Pero no se sigue, con necesidad lgica, que obtienes dos, cuando aades uno auno, y tres, cuando aades uno a dos, etc.? Y no es esta inexorabilidad la mismaque la de la inferencia lgica? S! Es la misma. Pero no corresponde a unaverdad la inferencia lgica? No es verdaderoque esto se sigue de esto? Laproposicin: es verdadero que esto se sigue de esto quiere decir simplemente:esto se sigue de esto. Y cmo usamos esa proposicin? Qu sucedera si infi-riramos de otro modo? Cmo entraramos en conflicto con la verdad?

[]Pero yo slo puedo inferir aquello que realmente se sigue! Ha de significaresto: slo aquello que se sigue de acuerdo a las reglas de inferencia; o bien: sloaquello que se sigue de acuerdo con ciertas reglas de inferencia, que corres-ponden de algn modo a una realidad? Lo que vagamente nos ronda aqu esque esa realidad es algo muy abstracto, muy general y muy rgido. La lgica esuna suerte de ultrafsica []

Una voz en este dilogo pregunta si a la inferencia lgica no corresponde

una verdad: que esto se sigue de esto. Igualmente podra preguntar si no esverdaderoque 1002 sigue a 1000 en la secuencia +2. En estas preguntas sesugiere que las reglas de inferencia y las reglas de la suma, o de formacin desecuencias aritmticas, han de ser las correctas, en el sentido de ser aquellasque s estn justificadas o fundadas en la manera como realmente se rela-cionan los pensamientos verdaderos o los nmeros en una realidad abstracta yrgida. Lo que dice y exige esta voz parece estar motivado por cierto temor deque se niegue la objetividad y necesidad de la inferencia lgica y de la aplica-cin de reglas en las matemticas.

Negarlas podra llevar a un punto de vista inadmisible: que se pueda inferir comose quiera o que se pueda sumar o calcular como se quiera, que no se pueda justi-ficar nuestra forma de hacerlo como la objetivamente correcta. La imagen realistaque estamos bosquejando nos salvara pero, como ya sugerimos antes, no es lonico que nos salvara de esta anarqua intolerable en las ms ciertas y exactas denuestras disciplinas intelectuales, en nuestros modelos de precisin y rigor.

En la rplica a esta voz se pregunta, a su vez, cmo se entrara en conflictocon la verdad y con la realidad, si esta verdad se entiende como concordancia

con ella, si inferimos (contamos, calculamos,) de otro modo. Se podrainterpretar que esta rplica quiere defender en particular ese anarquismo muyradical que niega la objetividad y la necesidad matemticas.


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Pero Wittgenstein no quiere negarlas, sino, ms bien, cuestionar la imagendel realismo matemtico concebida de modo excesivamente literal como una

teora o explicacin verdadera de ellas y ofrecer una imagen diferente.Pero, cmo es que nos podemos engaar as y caer en la ilusin de que elcomo si o el me parece es en realidad un as es de hecho o inclusoas tiene que ser?, cmo un objeto de comparacin puede llegar a ser unprejuicio y una exigencia de que las cosas tengan que ser como nos lo muestrala analoga? En miles de otros casos no caemos en este error de malentenderas nuestras propias imgenes o smiles y tenemos clara conciencia de queson meras imgenes (no necesitamos que un filsofo nos lo est recordando).Si, por ejemplo, un adolescente nos dice que sus autoritarios padres lo hacen

sentir como si su casa fuese una crcel, sera absurdo que l mismo u otrapersona en sus cabales tomara la comparacin como una explicacin textual-mente verdadera de su situacin. Es claro que el joven est empleando aquuna entre varias comparaciones posibles para ilustrar las condiciones en lasque vive en su casa, tal como l las ve, y que no quiere que tomemos lo quedice al pie de la letra.

Sin embargo, en el caso de las proposiciones y reglas matemticas, si no tenemoso no se nos ocurre ms que una imagen para comprender en qu sentido las

llamamos verdaderas o necesarias, si a diferencia de lo que dice el joven estono tiene un sentido claro y no disponemos de otra(s) analoga(s) para compren-derlo, entonces podemos llegar a prejuzgar que las cosas son, de hecho, comolas vemos en esa nica imagen. Ella nos puede llegar a mantener cautivos yocurrira, como dice Wittgenstein del que l llama prejuicio de pureza crista-lina, refirindose a la imagen del lenguaje del ractatus: la idea se asienta encierto modo como unas gafas ante nuestras narices y lo que miramos lo vemosa travs de ellas. Nunca se nos ocurre quitrnoslas (IF 103). Este caso seracomparable al de una persona que al ver el famoso dibujo del pato-conejo solo

pueda verlo como el dibujo de un pato. Quien sufre de esta ceguera para losaspectos afirmara dogmticamente que lo que se ve en el dibujo es un pato yno, como dira el que ve ambos aspectos en el dibujo, que lo ve como un pato.


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As como una manera de curar a una persona que sufre de esta ceguera paralos aspectos es tratar de mostrarle, pese a los impedimentos que ello remueva

en l, que hay otra manerade ver el dibujo6

, asimismo se puede intentar liberara alguien del dogmatismo consistente en tomar una imagen de las proposi-ciones y reglas de las matemticas como laverdad acerca de ellas, a pesar delas resistencias que este tenga7, evidenciando la analoga de la que brota suerror y mostrndole que no es la nica, que hay otras imgenes o analogas quepermiten ver otros aspectos. En este caso, una resistencia que puede oponerse aesto es cierto encanto que hallamos en la imagen que tomamos como laverda-dera. El encanto hace difcil liberarse de una imagen que se ha vuelto engaosa.

Algunos de los hechos que descubrira el matemtico como explorador de

una realidad abstracta son bastante prosaicos, como el hecho de que 2 + 2 =4, pero otros seran mucho ms extraordinarios, como el hecho, descubiertopor el matemtico alemn Georg Cantor, de que hay infinitos de diferentestamaos, ms precisamente, que la cardinalidad (o el nmero de elementos)del conjunto de los nmeros reales es mayor que la del conjunto de los nmerosnaturales. Ms an, de acuerdo con esta seductora imagen del matemticocomo descubridor, Cantor habra hallado no solamente la relacin entre lacardinalidad de los nmeros naturales y la de los nmeros reales, sino tambinhabra explorado un asombroso reino poblado por una cantidad, ella mismainfinita, de nmeros transfinitos cada vez ms grandes. Muchos de los descu-brimientos hechos por los matemticos en sus apasionantes exploraciones, sonrelatados de maneras que no dejan de maravillarnos, como si se tratara deexticos ejemplares de la abstracta fauna matemtica: Contra todo lo queesperaba, no hay una unidad de medida, por pequea que la escoja, que midaexactamente estos dos segmentos de recta! Hay magnitudes inconmensura-bles!, Hay curvas continuas a las que no se les puede trazar una tangente enningn punto, quin lo hubiera imaginado? Es increble! No sabas quelos matemticos han descubierto que hay una jerarqua infinita de infinitos,cada vez ms grandes?.

6 Le diramos que el dibujo se puede ver tambin como un conejo, pero no que el dibujo esel de un conejo, puesno se quiere sustituir un dogmatismo por otro.

7 En algunas observaciones acerca de su propia actividad filosfica, Wittgenstein nota similitudes entre sumtodo y el psicoanlisis. Por ejemplo, en la seccin titulada La filosofa evidencia las engaosas analogasen el uso de nuestro lenguajedel captulo Filosofa de su Big ypescipt, l escribe: Una de las tareas msimportantes es expresar todos nuestros falsos razonamientos de modo tan caracterstico, que lector diga: S,eso es exactamente lo que quera decir. Exponer la fisonoma de cada error. / En efecto, slo cuando se lareconoce como tal, ella es la expresin correcta. (Psicoanlisis.) / Lo que el otro reconoce es la analoga que leofrezco, como fuente de su razonamiento (B 277. raduccin propia).


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Dada cierta fascinacin con esta manera de ver los descubrimientos matem-ticos, puede parecernos decepcionante que algn filsofo iconoclasta pretenda

decir cosas que conduzcan a cuestionarla o incluso a abandonarla. Es justa-mente la pretensin de combatir esta manera de ver la prctica matemtica,en aras de la claridad, la que motiva muchas de las observaciones filosficasde Wittgenstein sobre el teorema de Cantor y, en general, sobre las matem-ticas. En sus clases sobre los fundamentos de las matemticas, dictadas enCambridge en 1939, replica as a la advertencia que hace Hilbert de que nadienos expulsar del paraso de Cantor:

Yo dira, No soara en intentar expulsar a nadie de este paraso. Yo tratarade hacer algo bien diferente: tratara de mostrarles que no es un paraso demanera que ustedes lo abandonen por su propia cuenta. Yo dira, Bienvenidosa esto; simplemente miren a su alrededor. (LFM XI, 103. raduccin propia).

Wittgenstein quiere alterar nuestra manera de ver. Quiere liberarnos de unaimagen, ofrecindonos otra. Hay una diferencia importante con el ejemplodel pato-conejo. En este ejemplo no se entendera bien si alguien dijera quees mejor o preferible (aunque no porque sea ms verdadero, sino por ser msclaro, menos engaoso) ver el dibujo como conejo que como pato.

Si alguien tratara de persuadirnos, sin ms, de ver el dibujo como conejo, perono como pato, no veramos por qu. Podramos verlo de ambas maneras, sinque ello sea problemtico. Pero el pasaje sobre el paraso de Cantor deja claroque Wittgenstein quiere combatir una manera de ver y persuadirnos en favorde otra, quiere mostrarnos una imagen bajo una luz ms favorable que la otra.

Al comienzo de sus clases de 1939, advirti:

Los matemticos tienden a pensar que las interpretaciones de los smbolosmatemticos son un parloteo un tipo de gas que rodea al proceso real, al

ncleo matemtico esencial. Un filsofo provee gas, o decoracin como gara-batos en la pared de una habitacin.

Yo podra, ocasionalmente, producir nuevas interpretaciones, no con el fin desugerir que son correctas, pero con el fin de mostrar que la vieja interpretaciny la nueva son igualmente arbitrarias. Slo inventar una nueva interpretacinpara ponerla junto a la vieja y decir, Escoge aqu, haz tu eleccin. Yo solohar gas para expulsar viejo gas (LFM I, 14).

Para expulsar el viejo gas no se requiere mostrar que es falso y que el nuevo gass es verdadero; pero s, por lo menos, hacer ver el primero como problemticoy presentar el segundo de manera persuasiva, atrayente.


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Tambin en la primera de esas clases, Wittgenstein, tras anunciar que iba aocuparse de algunos malentendidos que surgen cuando se dan interpretaciones

de cmo se usan o cmo funcionan las proposiciones matemticas, dijo:Supongamos que el Profesor Hardy viene a m y me dice Wittgenstein, hehecho un gran descubrimiento. He encontrado que. Yo dira, No soy unmatemtico, y entonces no estar sorprendido de lo que me digas. Pues yo nopodr saber lo que t quieres decir hasta que sepa cmo lo encontraste. Notenemos derecho a estar sorprendidos de lo que nos dice. Pues, si bien l hablaingls, an as el significado de lo que dice depende de los clculos que ha hecho.

Similarmente, supongamos que un fsico dice, Finalmente he descubiertocmo ver la apariencia de las personas en la oscuridad lo cual nadie habasabido nunca antes. Supongamos que Lewy dice que est muy sorprendido.

Yo dira, No te sorprendas Lewy, que sera como decir, No digas tonteras.

Digamos que l contina, explicando que l ha descubierto cmo fotogra-fiar con rayos infrarrojos. Entonces tienes derecho a sorprenderte si te place,pero acerca de algo completamente diferente. Es un tipo diferente de sorpresa.

Antes sentas como si la cabeza te diera vueltas en un remolino, como en elcaso de la lnea cortando el crculo remolino que muestra que hay algo que

no has comprendido. No deberas simplemente mirarlo boquiabierto; deberasdecir, No s de qu ests hablando. (LFM I, 17).

Con la comparacin que hace aqu Wittgenstein con el ejemplo del descu-brimiento del fsico, l pretende mostrar cmo la imagen del matemticocomo descubridor es potencialmente desorientadora. Nos puede hacer caeren la ilusin de que comprendemos algo y que esto es sorprendente, cuandorealmente an no lo hemos comprendido. Puesto que es as, cabra entoncestener un asombro o una perplejidad que no es, empero, la que se expresara

diciendo entiendo lo que ha descubierto y es maravilloso!, sino ms bienla que haramos mejor en manifestar en una pregunta como qu diantresquiere usted decir?.

Pero, realmente no comprendemos bien, por ejemplo, el descubrimiento deCantor, antes de tener que adentrarnos en los detalles de su demostracin? Yase nos ha dicho que l descubri que hay infinitos ms grandes que otros y,qu ms necesitamos que se nos diga para entender esto?, acaso no sabemosespaol? o no sabemos lo que significa infinito, ms grande que?, y quin

es el seor Wittgenstein para decirnos que no tenemos derecho a asombrarnosde lo que descubri Cantor? Bueno, pues no sabemos cmo se est usandola expresin ms grande que en este caso, si bien tiene usos ordinarios y


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difanos en otros contextos, y por eso no podemos decir que entendamoscabalmente lo que se nos dice, ni tendramos, entonces, por qu maravillarnos

de tamao descubrimiento.Pero si es as, entonces, de dnde nace aqu la ilusin de que comprendemosalgo que no comprendemos? Puede surgir, justamente, de esa analoga quetendemos a hacer entre las proposiciones empricas y las de las matemticas.Si alguien nos dice que tiene dos gatos en su casa y que uno es ms grandeque otro, por supuesto que no cabe, en este caso muy ordinario, ni la sorpresani la confusin. Se trata de un uso cotidiano y sencillo de una expresin quecomprendemos sin problema alguno. Si no sonara tan artificial y pedante, y sino fuera adems superfluo, se podra aclarar, en tono filosfico, que la oracin

est simplemente describiendo un hecho, a saber, que esa persona tiene dosgatos en su casa y uno es ms grande que el otro y que la oracin es verdaderasi concuerda con ese hecho, es decir, si ese hecho en realidad se da (aunquecon ello, probablemente solo estaramos diciendo lo mismo que se dice con laoracin inicial, pero de una manera ms enredada).

Pues bien, de la misma manera deberamos comprender la afirmacin mate-mtica de que hay infinitos ms grandes que otros: con ella se describe unhecho y se asevera que este efectivamente se da. Solo que se trata ahora de un

hecho matemtico y de uno que s es inesperado, asombroso. Sin embargo, yano se trata de que decir esto de la afirmacin matemtica sea innecesario y mscomplicado. El problema actual es que decir esto no nos ayuda a comprenderbien el sentido de la proposicin matemtica; y no solo no nos ayuda, sino queincluso nos puede engaar y hacernos las cosas ms difciles, pues la analogacon la proposicin emprica, ms ordinaria, nos da nicamente la ilusin decomprender, pero no la comprensin. En la medida en que Wittgenstein quierahacernos conscientes de esta ilusin, estara buscando hacer algo parecido alo que Scrates pretenda lograr con sus interlocutores que se ufanaban de ser

sabios en las cuestiones acerca de las que l los interrogaba. As como Scratesquera llevarlos a que admitieran que no saban lo que crean saber, a reconocersu propia ignorancia, Wittgenstein quiere llevarnos a tomar conciencia de queno comprendemos algunas cosas que creemos comprender con suficiencia, poras decirlo, a reconocer nuestra propia confusin. Por ello recomienda decir,cuando se nos quiere sorprender con presuntos descubrimientos matemticos,No s de qu ests hablando, en lugar de Qu asombroso y maravilloso loque has descubierto!.

Se puede insistir an, en que si comprendemos las palabras infinito y mayorque y reparamos en cmo estn ordenadas en la oracin hay infinitos msgrandes que otros, entonces ello ha de ser suficiente para entender el hecho


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que est siendo descrito o representado por la oracin, esto es, para entenderla oracin. Pero, qu podemos imaginarnos que representa la oracin?, la

oracin representara que un conjunto infinito est en una cierta relacin, larelacin de ser de mayor tamao, o de tener mayor cardinalidad, con otro?,cmo nos imaginamos a dos conjuntos infinitos en esta relacin?, no es aquque la cabeza podra comenzar a dar vueltas, como en un remolino? De todasmaneras, en este punto resulta razonable la recomendacin de Wittgensteinde no mirar las imgenes que giran confusamente en nuestra mente, sinoatender a cmo se demuestra la oracin, si se quiere comprender su sentido.As como entendemos mejor el descubrimiento del fsico si se nos dice quehall cmo hacer fotografas con rayos infrarrojos, comprenderamos mejor

el descubrimiento de Cantor si se nos aclara cmo demostr que hay msnmeros reales que naturales. Siguiendo esta recomendacin, tras discutirlabrevemente, y examinando tambin diferentes maneras de intentar aclarar yresolver el problema de si hay ms, y en qu sentido, nmeros reales que natu-rales, comenzaremos a darle una mirada a la imagen alternativa que proponeWittgenstein, la del matemtico como inventor.

Esto debe darnos ocasin tambin de aclarar qu aspectos se quieren resaltarcon esta imagen y si resaltarlos ayuda a liberarnos, si es que reconocemos quehemos cado en l (otra vez la similitud con el psicoanlisis), de un posibleaferramiento dogmtico a la imagen del matemtico como descubridor, quese ha mostrado como potencialmente desorientadora.

3. ELMATEMTICOCOMOINVENTORDEANALOGAS

En algunas de sus clases, como tambin en algunos pasajes de sus observa-ciones filosficas, Wittgenstein subraya expresamente que para comprender elsentido de un teorema matemtico hay que examinar su demostracin:

Lo que quiero mostrarles podra expresarse muy crudamente as: Si quieres saberqu ha sido probado, mira la prueba o No puedes saber lo que ha sido probadohasta que sepas a qu se la llama una prueba de ello. Pero estas son comoexageraciones, parcialmente verdaderas y parcialmente falsas (LFM IV, 39).

Ya en unas observaciones filosficas, escritas unos aos antes de haber dictadoestas clases sobre filosofa de las matemticas, sealaba, sin agregar cauta-mente que ello poda ser en parte falso: Una proposicin matemtica dice lo

que su demostracin demuestra. Es decir, ella nunca dice ms que lo que sudemostracin demuestra (PB XIII, 181). De esto parece inferirse que es suprueba la que da un sentido a la proposicin matemtica y que esta no tiene


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sentido independientemente de cmo se la demuestra. Sin embargo, unaspginas antes haba escrito:

A mi explicacin no se le permite eliminar el problema matemtico. Es decir,no es que la proposicin matemtica slo tenga, con certeza, un sentido,cuando ella (o su negacin) haya sido demostrada. (En este caso su negacinnunca tendra un sentido (Weyl).) De otro modo podra ocurrir que ciertosproblemas, que al parecer lo son, perdieran su carcter de problemas depreguntas que pueden responderse con un s o un no (PB XIII, 170).

Wittgenstein es consciente de una seria dificultad que surge de afirmar quees la demostracin la que da sentido a lo que se demuestra y que, entonces,

antes de ser demostrada, la proposicin matemtica carece de sentido. Antesde ser demostrada, debe ser posible formularla como una pregunta genuina eindagar sobre ella, lo cual presupone que es inteligible y que se tiene algunamnima comprensin de su sentido. De no ser as, un problema matemticosolo podra plantearse con sentido una vez resuelto, lo cual es francamenteabsurdo8. Quiz esta es la razn por la cual dice que ha de ser en parte falsoque solo podemos comprender el sentido de una proposicin matemticaexaminando su prueba. Ello llevara a decir que el que trata de demostraro refutar una proposicin matemtica no tiene idea de lo que quiere hacer.

Estara en una situacin similar a la descrita en la paradoja que Menn planteaa Scrates. Scrates le haba preguntado qu es la virtud y haba refutado larespuesta dada por l. ras la refutacin de Scrates, Menn reconoce quecrea conocer la virtud, pero que ahora se da cuenta de que no puede decir ques. Scrates le propone, entonces, indagar acerca de qu es la virtud y es en esemomento del dilogo en el que Menn plantea la paradoja:

Y de qu manera buscars, Scrates, aquello que ignoras totalmente que es? Culde las cosas que ignoras vas a proponerte como objeto de tu bsqueda? Porque si

dieras efectiva y ciertamente con ella, cmo advertirs, en efecto, que es sa quebuscas, desde el momento que no la conocas? (Platn, Menn 80d, 28).

De manera similar, se podra preguntar: cmo puedes siquiera tratar de demos-trar aquello que no entiendes? Y si dieras con una demostracin, cmo sabrasque ella demuestra aquello que queras demostrar, si an no lo comprendas?.

As como la paradoja de Menn pone en cuestin la manera como Scrates

8 El profesor Carlos Cardona plantea esta dificultad de la siguiente manera: No es posible hablar de unaconjetura matemtica. Una conjetura es, de alguna manera, la expresin de una proposicin matemticaque se anticipa a su demostracin. Si formulo una expresin, la conjetura de Golbach, por ejemplo, antes decontar con una demostracin debo concluir, si forzamos la observacin de Wittgenstein, que no entendemosel sentido de la expresin (241).


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practica la filosofa, esta variante suya pone en cuestin la manera como elmatemtico trata de resolver problemas y de demostrar que las soluciones

son correctas, es decir, se cuestiona lo que muchos ven como la esencia delquehacer del matemtico. Mostraremos luego que la bsqueda de la solucina un problema matemtico nuevo y los intentos de demostrar una conjeturamatemtica que an est abierta (como la conjetura de Goldbach) requieren lamovilizacin de una comprensin y un conocimiento previos sobre problemasanlogos a los que ya se ha dado una solucin. Pero dicha comprensin previaresulta modificada, ampliada y precisada por la solucin o demostracin queeventualmente se llegue a dar. Podramos decir entonces que, en el caso de lasmatemticas, comprender y conocer lo nuevo exige recordar cosas que ya se

comprenden y saben9

, pero no solamente recordarlas, sino tambin, medianteanalogas, crear e inventar nuevas conexiones con ellas.

Lo anterior aclara en qu sentido la observacin de Wittgenstein: No puedessaber lo que ha sido probado hasta que sepas a qu se la llama una pruebade ello, es parcialmente falsa y adems sugiere de modo incipiente en qusentido sera parcialmente verdadera. Precisar esta vaga sugerencia debeayudar a comprender en qu sentido puede verse al matemtico como uninventor, en particular como un inventor de analogas. Se tratara de analo-gas mediante las cuales logra buscar e inventar la solucin de problemas cuyosentido no le es an del todo claro. Y al inventar estas soluciones, modifica,aclara y extiende en cierta direccin el sentido de los conceptos que se empleanpara formularlas.

Volvamos al ejemplo de los infinitos de distintos tamaos para aclarar laimagen del matemtico como inventor. Antes de la demostracin de Cantor hade poder plantearse, con algn sentido, el problema de si el tamao, la cardi-nalidad, del conjunto de los nmeros reales es el mismo que el del conjuntode los nmeros naturales. La cuestin de comparar tamaos tiene un sentido

claro en el caso de conjuntos finitos y hay diferentes procedimientos pararesolverla. Como se sugera arriba, podemos, para enfrentarnos al problemano resuelto, tratar de movilizar lo que ya sabemos sobre problemas que yahemos solucionado y crear conexiones conceptuales con ellos10.

9 Recordar, aunque sin tener que ir, como en la reminiscencia platnica, hasta antes de nuestro nacimiento, nitener que conectarnos con Formas en s.

10 Advirtase que lo que se presenta aqu como una manera de inventar soluciones a problemas nuevos enmatemticas es una aplicacin de un arte de la comparacin que, en lo esencial, es el mismo que (otra vez unaanaloga!) el descrito por Wittgenstein como su manera de ver las cosas, y el mismo que l pone en prcticapara tratar, teraputicamente, los problemas filosficos: Una fuente principal de nuestra falta de comprensines que no vemos sinpticamente el uso de nuestras palabras. A nuestra gramtica le falta visin sinptica. La representacin sinptica produce la comprensin que consiste en ver conexiones. De ah la importancia


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Miremos uno muy trivial: tengo en mi nevera ms tajadas de queso que dejamn? Entiendo perfectamente la pregunta y s bien cmo resolverla. De

hecho, puedo hacerlo de varias maneras. Lo ms natural sera contar. Perocabe tambin intentar algo un poco ms sofisticado. Preparo unos empare-dados poniendo en cada uno de ellos una tajada de jamn y una de queso;dependiendo de cules se agotan primero, o si ocurre al tiempo, puedo sabersi haba ms de unas que de otras o si haba el mismo nmero. Pues bien,no habra que hacer lo mismo(o lo anlogo), pero ahora en el caso de los dosconjuntos infinitos? El asunto no es tan fcil. Mejor ni empezar, dira uno,pues nunca acabara. Pero, qu quiere decir aqu hacer lo mismo?, ques contar los elementos de un conjunto infinito? o qu sera ir emparejando

los elementos de dos conjuntos infinitos para ver si quedan o no sobrandoelementos en alguno de los dos? No parece que esto est determinado de unamanera clara y unvoca y, por ello, el problema adoptara la forma: Cmoinventarse una analoga convincente y til para determinar qu ha de valeraqu como hacer lo mismo? (ntese la diferencia con cmo explorar larealidad matemtica donde habitan los conjuntos infinitos para descubrir quconjunto tiene ms elementos?).

La pregunta tiene sentido, aunque es, ciertamente, un tanto vaga. Por unaparte, no sabemos de antemano qu es lo que resultar ms convincente ytil. Por otra, aunque dicha pregunta le puede dar cierto sentido y ciertaorientacin a nuestros intentos de llegar a una respuesta (no es, como sepretende en la paradoja del Menn, que no sepamos en absoluto cmo buscar,ni cmo reconocer una buena respuesta si diramos con ella), no tenemos anmtodos bien definidos para obtenerla. enemos tcnicas que son muy tiles ytienen una aplicacin clara, precisa e incuestionable para el caso de conjuntosfinitos, pero que no sabemos bien cmo extender a conjuntos infinitos. Almenos, podemos partir de que lo que queremos es eso: inventar una analogaque permita extenderlas, al menos una de ellas, a este caso ms complejo y asdar una solucin al problema. La solucin inventada, y finalmente aceptada,debe introducir un sentido claro y preciso a la expresin mayor (igual) que

de encontrar y de inventar casos intermedios./ El concepto de representacin sinptica es de fundamentalsignificacin para nosotros. Designa nuestra forma de representacin, el modo en que vemos las cosas. (Esesto una Weltanschauung?) (IF 122).Una diferencia importante entre las aplicaciones de este arte de inventar comparaciones en las matemticasy en la filosofa de Wittgenstein es que en la ltima se usa para eliminar o disolverproblemas, que son vistoscomo confusiones, mientras que en las primeras, si bien tambin cumple una funcin de esclarecimiento, seemplea para solucionarlos problemas (incluso en los casos en que la solucin es una prueba de imposibilidad;por ejemplo, no es posible una construccin, como la triseccin del ngulo, no es posible hallar una medidacomn para el lado y la diagonal de un cuadrado, no es posible construir una correspondencia biunvoca entreel conjunto de los nmeros naturales y el de los reales).


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[mayor (igual) cardinalidad o tiene ms (el mismo nmero de) elementos]cuando se trata de conjuntos infinitos, es decir, le debe dar un uso nuevo a este

concepto e introducir criterios para tal fin, es decir, debe ampliar su gramtica.Si bien ese uso es nuevo, no ha de ser arbitrario, ya que, precisamente, debe seranlogo a otros anteriores y ya acreditados. Si se objeta que todo puede ser vistocomo anlogo a todo y que inventarse analogas s es arbitrario, entonces esimportante resaltar que hay criterios y consideraciones razonables para optar poruna analoga en lugar de otra. Veamos unos ejemplos que ilustran esto.

En principio habra varias maneras, unas ms ingeniosas, fructferas y persua-sivas que otras, de inventar las analogas que determinan lo que cuenta comohacer lo mismo y, de esta manera, ampliar la gramtica. Por ejemplo, se

puede ensayar esta: Note que cuando un conjunto finito est incluido propia-mente en otro, es decir, el segundo tiene todos los elementos que estn en elprimero y adems algunos ms, decimos que el segundo tiene mayor cardi-nalidad (tamao, ms elementos) que el primero. Ahora bien, el conjunto delos nmeros reales contiene a todos los nmeros naturales, pero tiene ademsotros nmeros (negativos, fraccionarios, irracionales). Luego el conjunto de losnmeros reales tiene mayor cardinalidad que el de los naturales. No era tandifcil. A lo que un matemtico seguramente replicara: No tan rpido! Suanaloga da una posible respuesta a la pregunta, pero ella es muy limitada y nova a ser fructfera, pues se aplica a un caso. Solo compara la cardinalidad deconjuntos infinitos, cuando unos estn incluidos en otros. Pero a los matem-ticos nos gusta la generalidad. Queremos un criterio que sirva para compararla cardinalidad de cualesquieraconjuntos infinitos, como s lo tenemos paraconjuntos finitos.

He aqu otro intento: Se trata de extender la nocin de conteo a conjuntosinfinitos; pero el problema es que no acabaramos nunca. Bueno, justamentepuedo tomar eso como criterio: todos los conjuntos infinitos son inagotables si

se trata de contar sus elementos (y no solo en la prctica, sino por principio), porlo tanto son todos, por supuesto, de mayor tamao que los finitos, y todos deigual cardinalidad entre s (la cardinalidad infinita o inagotable). El matem-tico podra ahora responder: Eso no resulta nada interesante. No aade nada alo que ya sabamos. Nuestras matemticas no avanzan, no se ven enriquecidascon su sugerencia. Es un criterio burdo que pone a todos los conjuntos infinitosen el mismo saco; pero queremos hacer distinciones algo ms finas.

Miremos, sin mayores dilaciones, la analoga que se impuso y cmo la demos-

tracin da un sentido al teorema mismo, esto es, al concepto mayor que enel contexto del enunciado del teorema. Cantor emplea el criterio del empare-jamiento, o sea, la posibilidad de hacer corresponder a cada elemento de un


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conjunto uno y solo uno del otro, para establecer si son del mismo tamao ono (como en el ejemplo de los emparedados con una tajada de jamn y una

de queso). Este es un criterio que promete ser aplicable, en principio, a cuales-quiera conjuntos infinitos. Pero esto no resuelve del todo el problema, puessi uno trata de hacer directamente el emparejamiento, como en el caso delcontar, no se agotan los elementos de ninguno de los dos conjuntos. Se trata demostrar que no se puede hacer. De nuevo, en el caso de conjuntos finitos hayun modo de mostrarlo que se entiende bien: intente el emparejamiento hastaque se agoten los elementos de un conjunto y muestre que en el otro conjuntoquedan elementos sin su pareja. Pero, cmo mostrar la imposibilidad de lacorrespondencia uno a uno, si los conjuntos son infinitos? Cantor la muestra

mediante un argumento indirecto, por reduccin al absurdo. Asumiendo quese tuviese ya un modo de hacer la correspondencia uno a uno que presun-tamente establecera que hay tanto nmeros naturales como nmeros realesentre 0 y 1 (esta restriccin se hace para simplificar el argumento), se da unaregla, el famoso procedimiento de diagonalizacin, para construir un nmeroreal entre 0 y 1, que difiere de todos los que tienen su pareja en virtud de talcorrespondencia. Luego, en realidad la correspondencia no es uno a uno: haynmeros reales que han quedado sin su correspondiente nmero natural.

En lugar de imaginarnos algo que, tomado literalmente, es absurdo, a saber,que el procedimiento empleado por Cantor permite de un modo misteriosorealizar una tarea infinita: examinar exhaustivamente cualquier lista infi-nita de nmeros reales y descubrir, para cada una de ellas, un nmero realque no est en la lista; es decir, en lugar de imaginarnos que la demostracinnos permite descubrir algo que de hecho es cierto sobre conjuntos actual-mente infinitos en la realidad matemtica, podemos ver el argumento de otromodoms inteligible: comouna analoga que inventa Cantor y que nos resultaconvincente, para extender lo que ocurre en casos finitos a casos sobre lo infi-

nito. Con el fin de verlo as, lo reescribimos informalmente y en trminos muydiferentes a los de la demostracin original.

Dada la lista finita:

1. 0,8353

2. 0,4754

3. 0,3991

4. 0,8538

podemos construir, siguiendo una regla, un nmero entre 0 y 1 con 4 cifrasdecimales que es diferente de los cuatro que estn listados. La regla es: cons-


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truya un nmero entre 0 y 1 sumando 1 a los dgitos que aparecen en ladiagonal de la lista (los resaltados en negrilla), si son distintos de 9; si el dgito

es 9, en lugar de sumarle 1 (pues ya no dara un dgito entre 0 y 9), reempl-celo por 0. Aplicando la regla a nuestra lista se obtiene 0,9809, que es distintoa los 4 de la lista. Podemos estar seguros de que lo es, pues hemos cambiado,para formar el nuevo nmero, un dgito de cada uno de los 4 nmeros (el queaparece en la diagonal).

Anlogamente, se puede emplear la regla con listas de 5 (6, 7,) nmerosentre 0 y 1, con 5 (6, 7,...) cifras decimales, para construir un nmero conesas mismas cifras decimales que no aparece en la lista. La regla no se puedeaplicar en la prctica para listas muy grandes, mucho menos para una lista

infinita. Pero la demostracin de Cantor nos da una razn para afirmar quelo mismo ocurrira si la lista fuese infinita. Se hace aqu la analoga que esla clave para resolver el problema.

omada al pie de la letra, sin atender a su demostracin, la proposicin: dadacualquierlista infinita de nmeros reales entre 0 y 1, se puede construir unnmero real entre 0 y 1 que no est en la lista (de la cual se infiere quehay ms nmeros reales entre 0 y 1 que nmeros naturales) no tiene unsentido claro. El procedimiento de Cantor, que hemos reformulado como una

analoga, le da un sentido a la proposicin y nos da una razn para aceptarlacomo verdadera.

El mrito, como la dificultad del logro de Cantor, radica no en que ya hubi-ramos tenido un procedimiento solo que era muy complejo y laboriosoaplicarlo a totalidades infinitas (esto es incomprensible!), sino en que, justa-mente, haba que inventar el procedimiento que deba contar, en este casocomo un buen smil de aquel que ya tenamos, e inventar exiga sobretodocreatividad, originalidad e ingenio, es decir, requera las capacidades delartista, ms que las del explorador.

Varias cosas se quieren ilustrar con el ejemplo que acabamos de examinar: 1)En la bsqueda de la solucin del problema no se emplea en absoluto la imagende la concordancia con una realidad abstracta. 2) La solucin puede versecomo la invencin de una analoga adecuada, no en el sentido de adecuarse ala realidad, sino en el de tener aplicacin general, ser fructfera, rica en conse-cuencias matemticas. 3) Hay varias analogas que pueden proponerse, unasms prometedoras que otras. 4) Una vez aceptada la demostracin que resuelveel problema, ella le da un sentido claro al teorema demostrado, al extender en

cierta direccin y precisar el sentido de ciertos conceptos clave que aparecenen l (en el caso del teorema de Cantor, se extiende el concepto mayor que acasos donde no era claro, ni estaba bien determinado cmo usarlo).


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An si se acepta que la imagen del matemtico como inventor resalta estosaspectos, no parece que ella aclare bien el carcter necesario que asociamos

con las demostraciones y las proposiciones de las matemticas. Vista la demos-tracin como una suerte de analoga, no habra nada que fuerce, estrictamentehablando, a aceptar una analoga en lugar de otra. Si bien es cierto que, deacuerdo con esta imagen, no hay nada que obliguefactualmente a aceptar unademostracin, ella nos da otra manera de ver la nocin de necesidad matem-tica (en todo caso, no la niega). No estamos, de hecho, obligados a aceptaruna demostracin matemtica, pero una vez aceptada, usamos la proposicindemostrada de manera rgida como un criterio o regla para aplicar, as comonos lo ensea o muestra la demostracin, los conceptos que aparecen en ella.

Nos obligamos a juzgar de acuerdo con lo que nos muestra la demostracin,la volvemos una regla para el uso del lenguaje matemtico, tanto en contextosmatemticos, como en contextos no matemticos. Por ejemplo, si alguien medice que ha encontrado una correspondencia uno a uno entre los nmerosreales y los naturales, le dira: no necesito ni mirar lo que has hecho, ello noes posible, ya hemos demostrado que no puede haberla. No has aprendido laleccin que nos dio Cantor!. La proposicin demostrada excluye, en cuantoregla, modelo o caso paradigmtico, ciertas posibilidades de nuestro lenguaje.Al respecto, Wittgenstein escribe:

admitesesto; entonces tienes que admitir esto. El tiene queadmitirlo,y al mismo tiempo es posible que no lo admita! quieres decir: si piensa,tiene que admitirlo.

e dir por qu has de admitirlo. Pondr ante tus ojos un caso que, si loconsideras, te determinar a juzgar as.

() Piensa slo cmo puede la figura que me muestras (o el procedimiento)comprometerme ahora a juzgar as y as siempre! (LFMI, 51 y 55).

Lo que hemos dicho sobre el problema de determinar si un conjunto infinitoes ms grande que otro, tambin aclara un poco una curiosa y, a primeravista, muy poco plausible observacin de Wittgenstein sobre los problemasmatemticos:

Los que uno llama problemas matemticos pueden ser muy diversos. Estn,por ejemplo, los problemas que uno le pone a un nio, para los cuales l dauna respuesta de acuerdo con las reglas que le han sido enseadas. Pero haytambin aquellos a los que el matemtico trata de darles respuesta y que estn

formulados sin que haya un mtodo de solucin. Estos son como el problemaque plante el rey en el cuento de hadas, al decirle a la princesa que viniera,pero ni desnuda, ni vestida. Ella lleg luciendo una red de pesca. Eso podra


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haberse llamado llegar ni desnuda, ni tampoco vestida. l no saba realmentelo que quera que ella hiciera, pero cuando ella lleg as, se vio forzado a acep-tarlo. El problema era de la forma, haz algo que yo estar inclinado a llamarni desnuda, ni vestida. Es lo mismo con un problema matemtico. Haz algoque yo estar inclinado a aceptar como solucin, si bien yo no s ahora cmopueda ser (WL 1932-1935, 186).

Ponindose la red de pesca, la princesa le dio un uso nuevo, o por lo menos nohabitual, que finalmente fue aceptado por el rey, a los conceptos no desnudoy no vestido. En los que podran considerarse como sus sentidos ordina-rios, el problema suena contradictorio e insoluble (pues si se toman vestidoy desnudo como opuestos, sus negaciones tambin lo seran). El matem-

tico, para resolver algunos de sus problemas, debe, como la princesa, inventarnuevos sentidos o usos para los conceptos matemticos, creando conexionescon usos ya habituales y acreditados en la prctica.

TRABAJOSCITADOS

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