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INTRODUCCIÓN

Los vectores, que eran utilizados en mecánica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando,

Gauss Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia, usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano.

Bellavitis, Matemático italiano. Llevó a cabo diversos trabajos de análisis geométrico, desarrolla sus "equipolencias", un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy.

El paso siguiente lo da Hamilton. Con Hamilton inicia el estudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de 'vector' producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los vectores.

En este tema, estudiaremos los vectores en Rn, las operaciones y sus propiedades. Además

de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados.

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Lcdo. Eliézer Ramones Página 1

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Carl_Friedrich_Gauss.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:WilliamRowanHamilton.jpeg

1

1

-1

-1

2

2

-2

.

.

.

1

1

-1

-1

2

2

-2

.

.

.

VECTORES

Dedicaremos esta sección a los vectores y a su aritmética. También presentaremos el importante concepto de una combinación lineal de una sucesión de vectores.

3.1 DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE UN VECTOR

Un vector es una matriz de una columna. Un vector-n ó n-vector es una matriz de nx 1. Por ejemplos,

u=( 1−1) , v=(123) ,w=(0.510

−0.2)

Son vectores 2,3 y 4, respectivamente, algunas veces, el valor n suele llamársele tamaño del vector. Los elementos de un vector también se le llaman componentes. Los componentes de w son 0.5, 1, 0, -0.2. el conjunto de todos los vectores n se representa con Rn.

Rn={x , xes unvector−n }

u, v y w son los elementos correspondientes de R2 ,R3 , R4.

Los vectores 2 y 3 pueden interpretarse geométricamente como puntos en el plano o en el espacio.

Cualquier vector 2 por ejemplo x=(x1x2), puede representarse gráficamente con el punto cuya coordenadas

son (x1 , x2 ) en un plano de coordenadas cartesianas, con frecuencia, x se considera como la flecha que

comienza en el origen (0,0 ) cuya punta tiene las coordenadas (x1 , x2 ). La figura 3.1(a) y 3.1(b) muestran los

vectores u=( 1−1) , v=(22), y w=(−21 ) en forma de puntos y de flechas que comienzan en el origen.

Como es posible representar todos los vectores de esta manera, R2 es el plano total.


Los vectores 3 pueden graficarse en forma parecida, figura 3.2, y R3 constituye entonces el espacio

tridimensional total.

Se dice que dos vectores u y v del mismo tamaño son iguales, y se expresa u=v si sus componentes respectivas son iguales. Pero los vectores de tamaño distintos nunca lo son.

Ejemplo 3.1

La ecuación ( 1a+b)=( a−1)Sólo es valida si a=1 yb=−2.

3.2 OPERACIONES VECTORIALES

3.2.1 Suma y Multiplicación por un escalar

Los vectores del mismo tamaño componentes por componentes:

( 1−1)+(−42 )=(−31 ) ,(123)+( 4−2−7)=( 50−4)A esta operación se le llama Suma Vectorial.


(a) (b)

Figura 3.1: Representación Geométrica de vectores 2.

Figura 3.2: Representación Geométrica de vectores 3

La suma u+v de dos vectores 2 o de dos vectores 3, u y v se representa en forma geométrica como la flecha diagonal del paralelogramo cuyos lados u y v , figura 3.3. A esta regla se le denomina Ley del Paralelogramo para La Suma.

Un vector n puede multiplicarse por un escalar, componente por componente:

2.( 1−1)=( 2−2) ,−5.( 4−2−7)=(−201035 )A esta operación se le llama Multiplicación por un escalar. El vector (−1)v se llama opuesto de v y se representa con −v

(−1 ) v=−v

Se acostumbra escribir u−v para representar u+(−1)v, y al resultado de esta operación se le denomina Diferencia entre u y v .

u−v=u+(−1)v

Si todos los elementos de un vector son ceros, se dice que es un Vector Cero y se representa por 0.


Figura 3.3: La Ley del Paralelogramo de la Suma

c.

0=(0 ) ,0=(00) ,0=(000)Geométricamente, el producto por un escalar, c .u es la flecha u escalada por un factor de c. Es decir;

Si c>0, entonces c .u tiene la misma dirección que u. Si c<0, entonces c .u tiene dirección contraria. Si |c|>1, entonces c .u se extiende en factor de c.

Si |c|<1, entonces c .u es una contracción de u

Figura 3.4(a) y 3.4(b).

Observe que la diferencia u−v puede representarse como la suma u+(−1 ) v , figura 3.4(c).

Al vector n que tiene que tiene 1 como i-ésimo componente y todos los demás componentes 0 se denota mediante e i. Los vectores e1 ,e2 ,….. , en se llaman vectores de base estándar de Rn , o simplemente la

base de Rn. Por ejemplo, los vectores de base estándar de R2 son:

e1=(10) , y e2=(01),mientras que los de R2 sone1=(100) , e2=(010) , y e3=(001)Geométricamente, se expresan de la siguiente manera,


(a) (b) (c)

Figura 3.4: Productos por Escalar: (a) y (b), (c) Diferencia.

Figura 3.5: Los Vectores de Base Normal

3.2.2 Reglas para la Suma Vectorial y la Multiplicación por un Escalar

Sean u , v y w cualesquiera vectores n y sean a y b dos escalares cualesquiera. Entonces se cumplen las siguientes igualdades entre los vectores n:

1. (u+v )+w=u+(v+w)2. u+v=v+u3. u+0=0+u4. u+ (−u )=(−u )+u=05. a (u+v )=au+av6. (a+b )u=au+bu7. (ab )u=a (bu )=b(au)8. 1u=u9. 0u=0

Ejemplo 3.2

Determine el vector x tal que 2 x−4 v=3u.

Solución: Se suma 4v en ambos lados de la ecuación para obtener

(2 x−4 v )+4 v=3u+4 v

⇔2x+(−4v+4v )=3u+4 v

⇔2x+0=3u+4 v

⇔2x=3u+4 v

Se multiplica por 12

ambos lados de la ecuación:

⇔ 12

(2 x )=12(3u+4 v)

⇔( 12 .2)x=12 (3u )+ 12(4 v)

⇔1.x=( 12 .3)u+( 12 .4)v⇔ x=3

2u+2v

3.3 MATRICES COMO SUCESIONES DE VECTORES


Con frecuencia se considera que las matrices son sucesiones de vectores. Por ejemplo la matriz

(1 2 12 5 2)

Puede considerarse como igual a

(v1 v2 v3 )

Siendo

v1=(12) , v2=(25), v3=(12) .Dijimos sucesión y no conjuntos por dos motivos: a diferencia de los conjuntos,

1. Los elementos de una sucesión tienen el orden definido.2. Se permite que el mismo elemento se repita en posiciones distintas.

Es claro que una matriz puede tener columnas repetidas, y el orden de ellas es importante. Si se toma en cuenta lo anterior, por lo general no hay problema es decir conjunto en lugar de sucesión.

3.4 C0MBINACIONES LINEALES

Las leyes fundamentales de las sumas múltiples, como la ley asociativa y conmutativa nos aprueban la eliminación de los paréntesis para simplificar la notación. Por ejemplo, las siguientes expresiones,

(u+v )+ (w+r )

u+((v+w )+r )

u+(v+ (w+r ) )

v+(u+(w+r ))

Se expresan como

u+v+w+r

También se pueden escribir sin ambigüedad expresiones como

v1−3 v2+5v3−2 v 4

En la que v1 , v2 , v3 , v4 son vectores del mismo tamaño. Estas sumas de múltiplos escalares de vectores se llaman Combinaciones Lineales de esos vectores.

3.4.1 Definición


1

1

-1

-3

4

-2

.

.

.

432

2 .

Combinación lineal:

Sean v1 , v2 ,…., vk vectores n, y sean c1 , c2 ,… .., ck escalares. El vector n de la forma

c1 v1+c2 v2+…+ck vk

Se llama Combinación Lineal de v1 , v2 ,…., vk. Los escalares c1 , c2 ,… .., ck se llaman coeficientes de la combinación lineal.

Ejemplo 3.3

Calcular y dibujar la combinación lineal 12v1−3 v2, siendo

v1=(24) , v2=(−11 )Solución:

12v1−3 v2=

12 (24)−3(−11 )=(12)+( 3−3)=( 4−1) .

Este proceso se muestra geométricamente en la figura 3.6, donde se expresa la combinación lineal de los vectores v1 y v2.

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Lcdo. Eliézer Ramones Página 8Figura 3.6: La Combinación Lineal

12v1−3 v2

Ejemplo 3.4

Determine si cada uno de los siguientes vectores

u=(021) y v=(012)Es combinación lineal de v1 , v2 y v3, donde

v1=(−110 ) , v2=(201) , v3=(111)Solución:

Buscamos los escalares c1 , c2 y c3 tales que u=c1 v1+c2v2+c3 v3

(021)=c1(−110 )+c2(201)+c3(

111)⇒ [−c1+2c2+c3

c1+c3c2+c3 ]=[021] , o sea {−c1+2c2+c3=0

c1+c3=2c2+c3=1

Este sistema es lineal, con las incógnitas c1 , c2 y c3. Su matriz aumentada tiene las columnas v1 , v2 , v3 yu y se reduce como sigue

(−1 2 11 0 10 1 1

⋮ 0⋮ 1⋮ 2)→⋯→(1 0 1

0 1 10 0 0

⋮ 2⋮ 1⋮ 0)

Por tanto, la solución del sistema es c1=−r+2, c2=−r+1 y c3=r para cualquier escalar r . En este caso

hay una cantidad infinita de escalares tales que u=c1 v1+c2 v2+c3 v3. Por ejemplo si r=0, entonces

c1=2 , c2=1 yc3=0 y

(021)=2(−110 )+1(201)+0(

111)⇒u=2v1+1v2+0 v3

También buscamos los escalares d1 , d2 y d3. Tales que v=d1 v1+d2 v2+d3 v3. Es decir


ab c

d

(012)=d1(−110 )+d2(201)+d3(

111)⇒ [−d1+2d2+d3

d1+d3d2+d3 ]=[012] , o sea {−d1+2d2+d3=0

d1+d3=1d2+d3=2

La matriz aumentada del sistema correspondiente en d1 , d2 y d3 tiene las columnas v1 , v2 , v3 y v, y se reduce como sigue

(−1 2 11 0 10 1 1

⋮ 0⋮ 1⋮ 2)→⋯→(1 0 1

0 1 10 0 0

⋮ 0⋮ 0⋮ 1)

De aquí inferimos que el sistema es incompatible. En vista de esto, v no es una combinación lineal de v1 , v2 y v3 .

3.5 VECTORES LIBRES

Un vector libre es una cantidad que puede determinarse por su magnitud y su dirección. Al igual que con los vectores, uno puede pensar geométricamente en los vectores libres como si fueran segmentos de rectas dirigidos, o flechas, y pueden escribirse en la forma a, b,…, o bien como P⃗Q , R⃗S ,… la longitud y la punta de la flecha describen la magnitud y la dirección del vector. En contraste con los vectores 2 y 3, los vectores libres pueden comenzar en cualquier punto del plano o del espacio. De hecho, todo vector libre cuyo punto inicial esta en el origen del sistema de coordenada es un vector.

Dos vectores libres a y b son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección, y se expresa como a=b (figura 3.7)

Dos vectores libres se suman determinando la suma de sus vectores correspondientes.

De igual forma, la multiplicación por un escalar se lleva a cabo en el vector correspondiente. Los componentes de un vector libre son los componentes de su vector. En general, los vectores libres se estudian a través de sus vectores correspondientes.

Un vector libre P⃗Qen el plano, cuyo origen está en P( p1 , p2) y su punto terminal está en Q(q1 ,q2), tiene las componentes

P⃗Q=(q1−p1 , q2−p2)

Porque


Figura 3.7: Vectores Libres Iguales

P⃗Q=O⃗Q−O⃗P=(q¿¿1 ,q2)−( p1 , p2 )=(q1−p1 , q2−p2)¿

Esto se refleja en la siguiente figura 3.8,

Ejemplo 3.5

Encuentre las componentes de los siguientes vectores.

a. P⃗Q si P (2,0.5 ) yQ(1,1)

b. R⃗S siR (−2 ,−1,4 ) y S(−3,1,0)

Solución:

a. P⃗Q=[ 1−21−0.5 ]=[−10.5]b. R⃗S=[−3−(−2)

1−(−1)0−4 ]=[−12−4]

3.6 PRODUCTO PUNTO

En esta sección definiremos el producto punto, o producto escalar, y la longitud en Rn. Estos conceptos son básicos en la teoría y las aplicaciones de los vectores. En dos y tres dimensiones tienen interpretaciones geométricas familiares

3.6.1 Definición

Sean u=(u1 ,…,un ) y v=(v1 ,…. , vn) dos vectores n cualquiera. El producto punto, o producto escalar

de u y v es el número siguiente:

u . v=u1 v1+…+un vn.

Ejemplo 3.6

Sean


Figura 3.8: Componentes de Vectores Libres

u=(−1230

) , v=(−2020

) ,w=(−20

−20

)Calcular: u . v ,u .w , v .w

Solución

u . v= (−1 ) . (−2 )+2.0+3.2+0.0=8

u .w=(−1 ) . (−2 )+2.0+3. (−2 )+0.0=−4

v .w=(−2 ) . (−2 )+0.0+2. (−2 )+0.0=0

El ejemplo 3.6 demuestra que el producto punto puede ser menor que, mayor que o igual a cero (0). De hecho, si el producto punto de dos vectores es cero (0), se dice que son Ortogonales entre si. Así, v y w son ortogonales, pero u y v no lo son.

3.6.2 Norma, Longitud o Magnitud

La norma, longitud o magnitud de un vector n, u es la raíz cuadrada positiva:

‖u‖=√u .u=(u12+…+un

2)1 /2

La norma siempre esta definida, porque

‖u‖2=u .u , es≥0

También, la distancia (euclidiana) entre u y v se define como sigue:

d=‖u−v‖

Ejemplo 3.7

Calcule la norma de w , que es ‖w‖, la distancia d entre u y v .

Donde

u=(−1230

) , v=(−2020

) ,w=(−20

−20

)Solución

La norma de w es ‖w‖=( (−2 )2+02+ (−2 )2+02)1 /2=√9=3

La distancia entre u y v es d=‖(1,2,1,0)‖=√6


(a) (b)

Figura 3.9: magnitudes o Normas de vectores en el plano y en el espacio

P

P`P``

0

P

P`0

La norma de un Producto Escalar, cu es

‖cu‖=|c|‖u‖

Porque √c2=|c|. Por ejemplo,

‖−5 (1,2)‖=‖(−5 ,−10)‖=√125=5√5=|−5|‖(1,2)‖

La norma de un vector 2 o un vector 3 es exactamente lo que en geometría llamamos longitud.

Si u=(u1 , u2), entonces

‖u‖=√u12+u22=√(OP )2+(PP )2=OP

De acuerdo con el Teorema de Pitágoras, figura 3.9(a). Del mismo modo, si u=(u1 , u2 ,u3), entonces ‖u‖

es la longitud geométrica, aplicando el Teorema de Pitágoras a OPP y aOP P en la figura 3.9(b).

Si P⃗Q es un vector libre siendo P ( p1, p2 , p3 ) yQ(q1 , q2 , q3), en el caso la longitud ‖P⃗Q‖ de P⃗Q es la

longitud del vector correspondiente, es decir,

‖P⃗Q‖=√(q1−p1)2+¿¿

Esta formula también expresa la Distancia entre los puntos P yQ en el espacio.

La distancia entre dos vectores, tal como se definió, es la distancia geométrica en el espacio entre las puntas de los vectores. Si p3=q3=0, se obtiene la distancia entre dos puntos en el plano.

Ejemplo 3.8

a) Calcule la longitud de v=(1 ,−2,2).

b) Determine la distancia entre P (2,3 ,−1 ) yQ(−1,0 ,−2)


Solución:

‖v‖=√12+(−2)2+22=3 ,‖P⃗Q‖=√(−3)2+(−3)2+(−1)2=√19

3.6.3 Vector Unitario

Un vector unitario es aquél cuya longitud es 1

Ejemplo 3.9

u=(12 ,−12 , 12 ,−12 ) Es un vector unitario, porque

‖u‖2=(12 )2

+(−12 )2

+( 12 )2

+(−12 )2

=1⇒‖u‖=1

Con frecuencia nos interesa obtener un vector unitario en la dirección de un vector dado.

3.6.4 Vector Unitario en una Dirección Dada

Sea v=(v1 ,…, vn) un vector distinto de cero, y sea u un vector unitario en la dirección de v, entonces

u= 1‖v‖

v=( v1‖v‖,…,

vn‖v‖)

Ejemplo 3.10

Determine el vector unitario en la dirección de v=(1 ,−2,1).

Solución:

u= 1‖v‖

v= 1√6

(1 ,−2,1 )=( 1√6 ,− 2√6

, 1√6 )

Los vectores 3 unitarios a lo largo de los ejes coordenados son e1 ,e2 ye3. También suele representarse por

i , j y k , respectivamente, figura 3.10(b), en el plano se tiene, figura 3.10(a). Esta notación se acostumbra en física e ingeniería.

i=e1=(10) , j=e2=(01)vectores 2unitarios

i=e1=(100) , j=e2=(010) , k=e3=(001)vectores 3unitari os


3.6.5 Propiedades del Producto Punto

Sean u , v y w vectores n, y c cualquier escalar.

1. u . v=v .u Simetría2. u . (v+w )=u . v+u .w Aditividad3. c (u . v )=(cu ) . v=u . (cv )Homogeneidad4. u .u≥0. Ademas ,u .u=0 si y solo siu=0Definición Positiva

3.6.6 Teoremas

Teorema 1:

Si u y v son vectores n cualquiera, se tiene

‖u+v‖2=‖u‖2+‖v‖2+2u . v

‖u−v‖2=‖u‖2+‖v‖2−2u . v

Teorema 2: Desigualdad de Cauchy-Schwars

Para cualesquiera dos vectores n u y v ,

|u . v|≤‖u‖‖v‖

Además, la igualdad es valida si y solo si u y v son múltiplos escalares entre si.

Ejemplo 3.11

Compruebe la desigualdad de Cauchy-Schwars para u=(−1,2,0 ,−1) y v=(4 ,−2 ,−1,1).

Solución:

|u . v|=|(−1,2,0 ,−1 ) .(4 ,−2 ,−1,1)|=|−9|=9

‖u‖‖v‖=‖(−1,2,0 ,−1)‖‖4 ,−2 ,−1,1¿‖=√6√11≅ 11.489

9≤11.489

Teorema 3: La Desigualdad del Triángulo


(a) (b)

Figura 3.10: Vectores Unitarios a lo largo de los ejes Coordenados

C

A

B

A

B

C

Para cualesquiera dos vectores n u y v , tenemos ‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖

3.6.7 Ángulo entre dos Vectores

La desigualdad de Cauchy-Schwars implica que

|u . v|‖u‖‖v‖

≤1, o sea−1≤ u. v‖u‖‖v‖

≤1

Como cualquier número entre -1 y 1 puede expresarse como cosθ para 0≤θ≤π única, la última desigualdad permite definir el ángulo entre dos vectores n.

El ángulo entre u y v , dos vectores n distintos de cero, es el numero θ único tal que

cosθ= u .v‖u‖‖v‖

⇒θ=arccos( u . v‖u‖‖v‖) ,0≤θ≤π

También se puede expresar el producto punto en función del ángulo:

u . v=‖u‖‖v‖cosθ

Ejemplo 3.12

Calcule el ángulo θ entre los vectores

a) (1,1 ) y (3,0)b) (1,1,1,1 ) y (1,0,0,0)

Solución:

a¿θ=arccos( (1,1 ) .(3,0)‖(1,1)‖‖(3,0)‖)=arccos 1√2= π

4=45o

b¿θ=arcc os ( (1,1,1,1 ) .(1,0,0,0)‖(1,1,1,1)‖‖(1,0,0,0)‖)=arccos 1√2=π

3=60o


Figura 3.11: La desigualdad del Triangulo en el Plano

+v

De acuerdo con la ecuación u . v=‖u‖‖v‖cosθ, implica que u . v y cosθ tienen el mismo signo, y uno es cero si el otro lo es.

Ahora el cosθ es positivo para 0≤θ≤ π2

, negativo para π2<θ≤π , y cero cuando θ=π

2, entonces tenemos

las siguientes conclusiones,

1. θ es agudo si u solo si u . v>02. θ es obtuso si u solo si u . v<03. θ es recto si u solo si u . v=0

Si θ=π2

, entonces se dice que u y v son perpendiculares, lo cual se expresa como u⊥v .

Como θ=π2

, equivale a u . v=0 para vectores no cero, es evidente que u y v son perpendiculares

siempre y cuando sean ortogonales, es decir,

u⊥v⇔u.v=0cuandou≠0 y v ≠0

Mediante el Teorema de Pitágoras se puede sistematizar, figura 3.12

Teorema de Pitágoras

Los vectores n u y v son ortogonales si y solo si

‖u+v‖2=‖u‖2+‖v‖2

3.6.8 Proyecciones Ortogonales

Los productos puntos pueden aplicarse para expresar cualquier vector n como la suma de vectores ortogonales. Sean u y v los vectores dados, distintos de cero, deseamos escribir ues la forma

u=upr+uc

Donde upr es un múltiplo escalar de v, y uc es ortogonal a upr (figura 3.13)


‖u+v‖2=‖u‖2+‖v‖2

Figura 3.12: El Teorema de Pitágoras

Como vemos siempre es posible esa descomposición de u, y es única. A upr se le llama proyección

ortogonal de u sobre v, u a uc se le denomina la componente vectorial de u ortogonal a v.

Ahora calculemos upr y uc en función de u y v . Como upr y v tienen la misma dirección upr=cv para

algún escalar c. Además, como uc y v son ortogonales uc . v=0.

Por tanto

u . v=(upr+uc ) . v

¿upr . v+uc . v

¿ (cv ) v+0

¿c (v . v )

⇒c=u . vv . v

Entonces

upr=u . vv . v

v : proyeccionesdeu sobre v , yuc=u−u . vv . v

v : componentevector deuortogonal v

Ejemplo 3.13 (Proyección Ortogonal)

Si u=(1,1,1 ) y v=(2,2,0), determine la proyección ortogonal de u sobre v y la componente vectorial de u ortogonal a v.

Solución:

upr=(1,1,1 ) . (2,2,0 )(2,2,0 ). (2,2,0 )

. (2,2,0 )= 48

(2,2,0 )=(1,1,0)


Figura 2.13: la Proyección Ortogonal de u sobre v

0

00

0

Y

uc=u−upr=(1,1,1 )−(1,1,0 )=(0,0,1)

3.7 PRODUCTO CRUZ

En esta sección explicaremos el producto cruz. Aunque este se limita a vectores 3, tiene muchas aplicaciones en la ingeniería, física y matemáticas.

CONVENCIÓN: todos los vectores de esta sección son vectores en el espacio.

3.7.1 Sistemas Derechos e Izquierdos

Hay dos tipos de sistemas coordenados en el espacio 3, el derecho y el izquierdo.

Sistema Coordenado Derecho: Es aquel cuyos semiejes positivos se identifican como sigue:

Cuando los dedos de la mano derecha se colocan a lo largo de la dirección positiva de las x. Los dedos se cierran hacia la dirección positiva de las y . El pulgar debe apuntar hacia la dirección positiva de las z.

Sistema Coordenado Izquierdo: La mano derecha se sustituye con la mano izquierda. (ver figura 2.14).

3.7.2 Notación para un Determinante

La notación para un determinante que explicaremos a continuación puede ser muy útil para expresar algunas fórmulas básicas en esta sección.

|a bc d|=ad−bc ;

|a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3|=a1|b2 c2

b3 c3|−b1|a2 c2a3 c3|+c1|a2 b2

a3 b3|


Sistema Derecho Sistema Izquierdo

Figura 2.14

¿a1 (b2c3−c2b3 )−b1 (a2 c3−c2a3 )+c1 ¿

3.7.3 Producto Cruz

Definición:

Sean u=(u1 ,u2 , u3 ) y v=(v1 , v2 , v3). El Producto Cruz, u x v es el vector con componente

u x v=(u2 v3−u3 v2 ,u3 v1−u1 v3 ,u1v2−u2v1)

Esta relación también puede expresarse en notación de determinantes:

u x v=| i j ku1 u2 u3v1 v2 v3|=|u2 u3

v2 v3|i−|u1 u3v1 v3| j+|u1 u2

v1 v2|kLo cual es lo mismo que

u x v=(|u2 u3v2 v3|,−|u1 u3

v1 v3|,|u1 u2v1 v2|)

Ejemplo 3.14

Sean u=(2 ,−1,3 ) y v=(1 ,−2 ,−1). Calcule u x v.

Solución: u x v=|i j k2 −1 31 −2 −1|=|−1 3

−2 −1|i−|2 31 −1| j+|2 −1

1 −2|k=7 i+5 j−3 k=(7,5 ,+3)

Ejemplo 3.15

Calcule i x j.

Solución:

i x j=|i j k1 0 00 1 0|=|0 0

1 0|i−|1 00 0| j+|1 0

0 1|k=0 i−0 j+1k=k

i x j=k

De hecho, todos los productos que se forman con i , j y k satisfacen

i x j=k , j x k=i , k x i= j j x i=−k , k x j=−i , i x k=− j


La figura presentada anteriormente, es un auxiliar mnemotécnico donde se nos presenta como memorizar el producto cruz de los vectores i , j y k en forma de diagrama, es decir:

a) Al avanzar en el sentido de las manecillas del reloj, el producto cruz de dos vectores proporciona el tercero.

b) Cuando el desplazamiento se da en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el producto cruz de dos vectores obtienen el opuesto del tercero.

Teorema 3.7.1: Propiedades del Producto Vectorial o Producto Cruz

Si u=(u1 ,u2 , u3 ) , v=(v1 , v2 , v3) y w=(w1 ,w2 ,w3 )son vectores en el espacio y c es cualquier escalar.

Entonces

1. u x v=−v x u

2. u x ( v+w )=u x v+u x w 3. (u+v¿ x w=u xw+v xw4. c (ux v )=(cu ) x v=u x ( cv )5. 0 xu=u x0=06. u xu=07. u x ( v x w )=(u .w ) v− (u. v )w

8. u . (v xw )=|u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3|

Observación

1. De acuerdo con el enunciado 1 del teorema 3.1, el producto cruz no es conmutativo; es anti- conmutativo.

2. El producto cruz no es asociativo. Esto significa que en general u x ( v x w )≠ (ux v ) x w. Por ejemplo,

( i x j ) xk=k x j=−i ,mientras que i x ( j x k )=i x 0=0


(b)¿)

Figura 2.15: Auxiliar Mnemotécnico. (a) Sentido de las manecillas del reloj, (b) Sentido contrario al de las manecillas del reloj.

La mayor parte de las identidades donde intervienen los productos cruz pueden deducirse a partir del teorema 3.1. Por ejemplo, es fácil demostrar que la propiedad 8 implica que

u . (ux v )=0 y v . (u x v )=0

De aquí u x v sea ortogonal a u y av . Así,

u⊥ (u x v ) y v⊥ (u x v )

Si u y v son vectores no cero, la dirección de u x v es perpendicular al plano definido por u y v . Además es posible comprobar que para un sistema coordenado derecho, los vectores u , v yu x v también forman un sistema derecho (figura 2.16). Esto determina la dirección del producto cruz. A continuación calcularemos su longitud.

Al hacer el cálculo directo, la propiedad 8 del teorema 3.1 implica que

u . (ux v )=v . (u x v )=w . (ux v )

Observación

Esta propiedad también puede memorizarse con un diagrama de permutación cíclica, como el de la figura 2.15, reemplazando i , j y k poru , v y w.

Teorema 3.7.2: Longitud del Producto Cruz

1. La siguiente identidad es válida:

‖u x v‖2=‖u‖2‖v‖2−(u .v )2 Identidad de Lagrange.

2. Si θ es el ángulo que forma u y v , entonces

‖u x v‖=‖u‖‖v‖. senθ

El enunciado 2 del teorema 3.2 determina la longitud de u x v. Geométricamente, esa longitud es igual área del paralelogramo definida por u y v (figura 2.17). Por lo tanto el área A del paralelogramo con u y v como lados adyacentes es


u

Figura 2.16: Dirección del Producto Cruz en un Sistema Derecho

El paralelogramo definido por los vectores u y v se muestra en la figura lateral. Si consideras el vector u como base del paralelogramo y denotas por h su altura, entonces por definición de seno de un ángulo en un triángulo rectángulo tienes que

senθ= h‖v‖

⇒h=‖v‖. senθ

Colorario 3.7.1: ‖u x v‖≤‖u‖‖v‖

Demostración: como 0≤θ≤π , entonces 0≤ senθ≤1. Por lo que la ecuación ‖u x v‖=‖u‖‖v‖. senθ implica que

‖u x v‖=‖u‖‖v‖. senθ≤‖u‖‖v‖.1=‖u‖‖v‖

Colorario 3.7.2: Criterio para que dos Vectores sean Paralelos

Dos vectores u y v , no cero, son paralelos si y solo si u x v=0

Demostración: de acuerdo con la ecuación ‖u x v‖=‖u‖‖v‖. senθ

u x v⇔‖u x v‖=0⇔‖u‖‖v‖. senθ=0

⇔senθ=0⇔θ=0 , π⇔u y v son paralelos

Ejemplo 3.16 (Área de un Triángulo):

Calcule el área del triángulo cuyos vértices están en las puntas de i , j y k .

Solución:

Dos lados del triángulo son j−i y k−i. De manera que ‖( j−i ) x (k−i)‖ es el área del paralelogramo

definidos por esos lados. La mitad de ésta es el área del triángulo.

12‖( j−i ) x (k−i)‖=12‖(−1,1,0 ) x (−1,0,1)‖=12‖(1,1,1)‖=

12 √3.

Teorema 3.7.3: Volumen de un Paralelepípedo.


El paralelogramo definido por los vectores u y v se muestra en la figura lateral. Si consideras el vector u como base del paralelogramo y denotas por h su altura, entonces por definición de seno de un ángulo en un triángulo rectángulo tienes que

senθ= h‖v‖

⇒h=‖v‖. senθ

Figura 2.17: Longitud de u x v

Sean u , v y w vectores en posición adyacentes (figura 2.18), el volumen de un paralelepípedo viene expresado por,

V=|u .(v x w)|

Demostración:

Sea A el área de la base definida por v y w. Sea h la altura del paralelepípedo, y θ el ángulo que forma

|u .(v x w)|. Entonces,

h=‖u‖cosθ y A=‖v xw‖

Según la ecuación de un paralelepípedo es V=ABase . h, donde el área de la base es un paralelogramo, tenemos que

V=A .h=‖v x w‖‖u‖cosθ=|u .(v x w)|

Ejemplo 3.17

Calcule el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores de posición u=(1,−1,2 ) , v=(0,2,1 ) ,w=(3 ,−2 ,−1).

Solución:

Según la propiedad 8 del teorema 3.1

|u .(v x w)|=|1 −1 20 2 13 −2 −1|=−15

Tenemos que el volumen del paralelepípedo es |u .(v x w)|=|−15|=15.


Figura 2.18: Volumen de un Paralelepípedo

La ecuación V=|u .(v x w)| define un criterio fácil mediante el cual podemos comprobar si tres puntos son

coplanares. Si u , v y w son coplanares, el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes son u , v y w es cero (porque la altura es cero). Por lo contrario, la única forma en que este volumen sea cero es que u ,v y w sean coplanares.

Colorario 3.7.3: Criterio para que tres Vectores sean Coplanares.

Los vectores u , v y w son coplanares si y solo si u . (v xw )=0.

3.8 LINEAS, PLANOS E HIPERPLANOS

3.8.1 Líneas.

En esta sección describiremos la ecuación de una recta l que pasa por un punto dado P(x0 , y0 , z0) y es

paralela a un vector n=(a ,b , c) dado, no cero. Si X ( x , y , z ) es cualquier punto de

l , y p=( x0 , y0 , z0 ) y x( x , y , z ). Los múltiplos por escalar tn(−∞<t<∞ ) representa a todos los

vectores posibles paralelos a n. Como x−p es paralelo a n, debe cumplirse x−p=tn (figura 2.19) para cierto escalar t . En consecuencia,

x=p+tn

A esta vectorial se le llama una Ecuación Paramétrica de la Recta, y t es el Parámetro de la ecuación. Esta ecuación paramétrica también puede expresarse en función de sus componentes;

La ecuación x=p+tn también es válida para líneas en el plano.

Si x=( x , y ) , p=(x0 , y0 ) yn=(a , b)≠0, entonces

( x . y )=¿ (x0 , y0 )+ t(a ,b), o bien

x=x0+ta

y= y0+ tb

Ejemplo 3.18


( x , y , z )=(x0 , y0 , z0 )+t (a ,b , c) Equivale a,

x=x0+ta

y= y0+ tb

z=z0+tc

Figura 2.19: Ecuación Paramétrica de la Recta

Si l es una recta que pasa por (1 ,−1,2) en la dirección de (1,1,1). Determine lo siguiente

a) Una ecuación paramétrica de lb) Dos puntos de lc) La intersección de l con los planos coordenados

Solución:

a) Como n=(1,1,1 ) y p=(1 ,−1,2), una ecuación paramétrica de la recta es

x=[ 1−12 ]+t [111]O bien, en forma de componente,

x=1+t

y=−1+ t

z=2+t

b) Para determinar los puntos en l se necesita evaluar el parámetro t . Por ejemplo,

Si t=1⇒ (1 ,−1,2 )+1 (1,1,1 )=(2,0,3 ) ;sit=−1⇒ (1 ,−1,2 )−1 (1,1,1 )=(0 ,−2,1)

c) Para calcular la intersección con el plano xy se iguala z=0. De ahí que,

z=2+t=0⇒ t=−2

Al asumir t=−2 en las dos primeras ecuaciones Paramétricas tenemos

x=−1 y y=−3

Así, que la intersección con el plano xy , es (−1 ,−3,0)

En forma parecida se obtiene la intersección con los planos xz y yz , que son (2,0,3 ) y (0 ,−2,1), respectivamente.

Ejemplo 3.19: Recta que Pasa por Dos Puntos

Deduzca una ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos P (3 ,−1 ) yQ(−1,2).

Solución:

Como P⃗Q=(−1,2 )−(3 ,−1 )=(−4,3) es paralela a la recta, el vector de dirección es n=(−4,3),


Por cuanto la ecuación paramétrica de la recta es

x=[ 3−1]+t [−43 ]

Ejemplo 3.20: Rectas Paralelas.

Demuestre que las rectas cuyas ecuaciones paramétricas son

Son paralelas.

Solución:

Un vector de dirección para la primera recta es

(−2,4,8 )=2.(−1,2,4)

Que es un múltiplo escalar de vector de direcciones (−1,2,4) de la segunda recta. Ambas rectas tienen la misma dirección, así que son paralelas.

Convención: Para que dos líneas sean perpendiculares, los vectores de dirección tienen que ser ortogonales.

En el caso de rectas en el espacio, al despejar t no se obtendrá una ecuación, como con las rectas en el plano. Así, la ecuación paramétrica es la única disponible para describir directamente una línea en el espacio. Sin embargo, si a≠0 , b≠0 yc ≠0, podemos eliminar t de las ecuaciones,

x=x0+ta, y= y0+ tb, z=z0+tc

Para obtener dos ecuaciones:

x−x0a

=y− y0b

=z−z0c


x=1−2t

y=−1+4 t

z=2−8 t

x=−t

y=2+2t

z=7−4 t

A estas ecuaciones se les llama Ecuaciones Simétricas de una recta. Describen indirectamente a la recta como una intersección de dos planos.

Ejemplo 3.21: Ecuaciones Simétricas de una Recta

Deduzca las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por (−2,3,1) cuya dirección es (−1 ,−2,1).

Solución:

Como (x0 , y0 , z0 )= (−2,3,1 ) y (a ,b , c )=(−1 ,−2,1)., entonces

x−(−2)

−1= y−3

−2= z−1

1

3.8.2 Planos.

Un vector u=(a ,b ,c ) no cero se llama normal a un plano 𝑷 si es perpendicular aP, (figura 2.20).

Esta ecuación caracteriza a todos los puntos x de P en función de un vector normal n y un punto pde P. A esto se le denomina forma punto-normal de la ecuación del plano P.

Ejemplo 3.22: Ecuación Punto-normal.

¿Cual es la ecuación del plano que pasa por (−1,2,3) y es perpendicular a (−2,1,4)? Determine otro punto en este plano.

Solución:

Como p= (−1,2,3 ) y n=(−2,1,4 ) con la ecuación,


Sean P (x0, y0 , z0 ) un punto dado de P, y

sea X ( x , y , z ) cualquier otro punto.

Si p=( x0 , y0 , z0 ) y x=(x , y , z ), entonces

x−pes paralelaa P. En consecuencia, es ortogonal a la normal n.

Por consiguiente: el producto punto de

n . ( x−p )=0

En función de componentes, esta función puede expresarse como sigue:

Figura 2.20: la Normal a un Plano P

a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0

Se obtiene

−2. ( x+1 )+1. ( y−2 )+4. (z−3 )=0

El punto en el plano puede obtenerse partiendo de cualquier solución de esta ecuación. Por ejemplo, con x=1 , y=2, se obtiene 4 z−16=0, es decir Z=4 . Por lo que (1,2,4) es otro punto.

3.8.1 Teorema: Ecuación de un Plano.

Si (a ,b ,c )≠0, la grafica de la ecuación

ax+by+cz+d=0

Es un plano cuya normal es (a ,b , c ).

Demostración:

Si (x0 , y0, z0 ) satisfacen la ecuación, entonces

ax+by+cz+d=0 y a x0+b y0+c z0=0

Implica que

a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0o sea (a ,b , c ) .( x−x0, y− y 0, z−z0)=0

Como resultado (a ,b , c ) es la normal al plano que contiene al punto (x0 , y0, z0 ) y al vector

(x−x0 , y− y0 , z−z0).

Ejemplo 3.23: Planos Paralelos.

Determine la ecuación del plano que pasa por (1 ,−2,4 ) y que es paralelo al plano 2 x−5 y+2 z−1=0

Solución:

Como los dos planos son paralelos, tiene las mismas normales. La normal del plano dado es (2 ,−5,2) y por tanto

2 ( x−1 )−5 ( y+2 )+2 ( z−4 )=0

Es la ecuación del plano desconocido.

Ejemplo 3.24: Plano que Pasa por Tres Puntos.

Deduzca la ecuación del plano que pasa por los puntos P (2,0,1 ) ,Q (1,2,0 ) y R (−3,2,1 ) .

Solución:


El producto cruz

P⃗Q x P⃗R= (−1,2,−1 ) x (−5,2,0 )=(2,5,8)

Es una normal al plano. Por consiguiente, de acuerdo con la fórmula punto-normal,

2 ( x−2 )+5 y+8 ( z−1 )=0,

Es decir,

2 x+5 y+8 z−12=0

Considerando que P es el punto en el plano.

Ejemplo 3.25: Intersección de dos Planos

Determine las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos

x− y+z−2=0 , y2 x+ y+ z+1=0

Solución:

Sea z=t . Entonces, al despejar x y y del sistema

x− y+t−2=0

2 x+ y+t+1=0

Se obtiene

x=−12t+ 13y=13t−53

Así, las ecuaciones paramétricas son

x=−12t+ 13, y=1

3t−53, z=t

Definición:

El Ángulo que Forman dos Planos se define como el ángulo que forman dos normales a los planos.

Ejemplo 3.26: Ángulo entre Dos Planos.

Calcule el coseno del ángulo que forman los planos

2 x− y+z−2=0 , y x+2 y−z+1=0

Solución:


Como (2 ,−1,1 ) y (1,2 ,−1) son las normales correspondientes, el coseno del ángulo que forman los planos es

(2 ,−1,1 ) .(1,2 ,−1)‖(2 ,−1,1 )‖‖(1,2 ,−1)‖

=−16

Ejemplo 3.27: Planos Perpendiculares.

Demuestre la perpendicularidad de los planos cuyas ecuaciones son,

x+ y+z=0 , y−x− y+2 z=0

Solución:

Son perpendiculares, porque las normales

(1,1,1 ) . (−1 ,−1,2 )=1. (−1 )+1. (−1 )+1.2=(−1 )+ (−1 )+2=0

Es decir, son ortogonales.

3.8.3 Rectas e Hiperplanos en Rn.

En Rn hay ecuaciones análogas de “rectas” y “planos”, que se denominan Hiperplanos. Un vector que va

del punto P ( p1 ,…. , pn )aQ(q1 ,…. , qn) tiene coordenadas

P⃗Q=(q1−p1 ,…. , qn−pn)

Una recta que pasa por el punto

p=( p1 ,…. , pn )

Y tiene la dirección

d= (d1 ,…. , dn )

Es el conjunto de puntos

x=(x1 ,…. , xn )

Tales que

x−pes paraleloa d

Por consiguiente


x−p=t d , paraalgún escalar t

Para −∞<t<∞, la ecuación

x= p+t d es decir (x1 ,…., xn )=( p1,…. , pn )+ t (d1 ,….,dn )

Es la ecuación paramétrica de una recta en Rn , con parámetro t .

Ejemplo 3.28

Determine la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos

(−1,1 ,−1,1 ) y (1,2,3,4 )

Solución:

La dirección de la recta es

(1,2,3,4 )— (1,1−1,1)=(2,1,4,3)

En consecuencia, la ecuación de la recta es

x=p+t d=(x1 , x2 , x3 x4 )=(−1,1 ,−1,1 )+ t (1,2,3,4 )

Ya vimos que los puntos x de un plano que pasa por un punto p, y cuya normal es n, debe satisfacer la ecuación

n . ( x−p )=0

Porque n y x−p deben ser ortogonales.

El análogo de esta ecuación en Rn es la ecuación punto-normal de un Hiperplanos.

Si n=(a1 ,…. ,an ) , x=(x1 ,…, xn) y p=( p1 ,…, pn), la ecuación implica que

a1(x¿¿1− p1)+…+an ( xn−pn )=0¿

Esta ecuación también puede escribirse como sigue:

a1 x1+…+anxn+d=0

Que es la ecuación general de un Hiperplanos.

Ejemplo 3.29


Deduzca una ecuación del hiperplano en R4 que pasa por el punto (1,2,3,4) y es normal a la dirección

(−1,2−2,1).

Solución:

De acuerdo con la ecuación

a1(x¿¿1−p1)+…+an ( xn−pn )=0¿

Tenemos lo siguiente,

−1(x¿¿1−1)+2 (x2−2 )−2 (x3−3 )+1(x4−4)=0¿

Entonces la ecuación del hiperplano es

⇔−x1+2x2−2x3+x4−1=0.


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