Dispersión clásica de partículas cargadas

Alejandro Cabrera Gallardo

Magdalena Pérez Garrido

Índice

Introducción y objetivos Hito 1.1 Hito 1.2 Hito 2.1 Hito 2.2 Experimento de Rutherford

Introducción y objetivos Introducción: Se considera una partícula con carga q y masa m

con una velocidad inicial v0 que se acerca hacia una esfera maciza de radio R con carga Q uniformemente distribuida.

Objetivos: 1. Desarrollar el programa que calcule la trayectoria de la partícula

para cualquier valor de su posición y velocidad iniciales suponiendo que la esfera está quieta en el origen de coordenadas.

2. Generalizar el programa suponiendo que la partícula y la esfera se pueden mover libremente.

3. Estudiar las leyes de conservación de la energía y momentos lineal y angular en el sistema.

Hito 1.1 Consiste: Obtener analíticamente el potencial (y las fuerzas) de

interacción entre la partícula y la carga esférica en todo el espacio (incluido cuando la partícula se encuentra dentro de la esfera).

Ejecución: Fuerza

• Variables: Q la carga de la esfera, q la carga de la partícula, R el radio de la esfera y r la distancia entre la partícula y la esfera.

Hito 1.1

Los cálculos se han realizado suponiendo que ambas cargas son del mismo signo. Si fueran de signos opuestos, la gráfica saldría invertida con respecto al plano XY

Potencial

• Siendo E el campo eléctrico que viene dado por E=k*Q/r^2

• Variables: Q la carga de la esfera, R el radio de la esfera y r la distancia entre la partícula y la esfera.

Hito 1.1 Fuerza

• Gráfico tridimensional:o La fuerza aumenta a medida

que se aleja del centro de la esfera.

o Alcanza su máximo en la superficie de la esfera.

o Disminuye a medida que se aleja de la superficie.

Hito 1.1

Potencial

• Gráfico tridimensionalo Alcanza su máximo en el centro

de la esfera y va disminuyendo a medida que se aleja

o V(i)=k*Q/r(i) o V (i)=k*Q*(3-r (i) ^2/R^2)/ (2*R)

Hito 1.2

Consiste: Programa que calcule (utilizando el método de Euler) las trayectorias de la carga suponiendo la esfera fija en el origen.

Ejecución: Animación El método Euler consiste en calcular la posición y la velocidad

en un instante de un objeto en función de su velocidad y posición anterior.

• Variables: Q la carga de la esfera, R el radio de la esfera, q la carga de la partícula, m la masa de la partícula, h el vector de la posición inicial de la partícula y v0 el vector de la velocidad inicial de la partícula.

Hito 1.2 La esfera se encuentra estática en el origen durante toda la

simulación.

Resultados obtenidos:

Si las cargas son de distinto signo

la partícula describe una trayectoria

hiperbólica alrededor de la esfera

cuando supera la velocidad de escape.

Hito 1.2

Cuando las partículas

tienen el mismo signo, la carga se aleja de la esfera, tendiendo al infinito.

Hito 2.1

Consiste: Programa que calcule (utilizando el método de Verlet) las posiciones de la partícula y la esfera en función del tiempo suponiendo que ambas se pueden mover libremente.

Verlet nos permite, si se conoce la posición en un instante, en otro previo y el valor de la aceleración en ese instante, calcular la posición en un instante posterior.

Ejecución: A las variables mencionadas anteriormente en el hito 1.2 habría que añadirles tanto la posición como la velocidad inicial de la esfera.

Hito 2.1

Ocurre lo mismo que en el hito 1.2 cuando ambas son del mismo signo, salvo que ahora la partícula y la esfera se alejan la una de la otra

puesto que el origen de coordenadas no se encuentra en la esfera.

Hito 2.1

Como las cargas son de signo opuestos, la fuerza resultante es atractiva. Pero debido a su alta velocidad ambas partículas escapan la una de la otra y se alejan hasta el infinito.

Hito 2.2

Consiste: Ilustrar gráficamente la conservación de la energía, el momento lineal y el momento angular del sistema basado en el hito 2.1

Ejecución:

• Energía: En el sistema existen las energías cinética y potencial. La suma de ambas da como resultado la energía mecánica. Tanto la cinética como la potencial varían con el tiempo, sin embargo la suma de ambas permanece constante

Hito 2.2

• Momento lineal : El momento de cada elemento es un valor vectorial que varía en función de la velocidad, pero la suma de ambos permanece constante.

• Momento angular : El momento angular resulta del producto vectorial entre el momento lineal y la posición, obteniendo un vector perpendicular a ambos. Al igual que con la cantidad de movimiento, la suma de los momentos angulares permanece constante.

Resultados obtenidos:

En la gráfica se representa la energía mecánica del sistema. Se puede observar como la variación de la energía de cada elemento se hace de tal forma que la suma de ambos permanece constante.

Resultados obtenidos:

Se obtiene una gráfica tridimensional ya que el momento tiene un valor en cada uno de los ejes.

Cada circulo representa su valor en un instante. Sólo hay un circulo rojo ya que el valor total permanece constante

Resultados obtenidos:

Se obtiene una gráfica tridimensional ya que el momento angular no es un valor escalar sino vectorial.

El único círculo rojo representa, al igual que en el momento lineal, el valor constante que adquiere la suma de ambos.

Experimento de Rutherford Introducción: Consiste en disparar núcleos de Helio a

velocidades cercanas a la velocidad de la luz contra una fina lámina de oro.

En esta simulación, se presenta una adaptación del experimento en el que se disparan los núcleos contra un átomo de oro, observándose como se desvían las partículas a al acercarse a dicho átomo.

Experimento de Rutherford En nuestra simulación intentamos representar un cañón que

dispara núcleos de Helio hacia un átomo de oro.

• El cañón tiene una incertidumbre con respecto al punto desde el que sale el núcleo de Helio. Por ello hemos introducido un programa de números aleatorios para obtener un punto al azar en la boca del cañón.

• La trayectoria que sigue el núcleo de Helio se obtiene mediante el método de Euler.

• Con un bucle se repite este proceso dando lugar a varias trayectorias posibles.

Experimento de Rutherford

video Resultados obtenidos:

• Debido a que ambos elementos son del mismo signo, la trayectoria seguida por los núcleos de Helio se desvía repeliéndose del átomo de oro. Cuanto más cerca pase el núcleo del átomo, con más fuerza se repele y por tanto más se desvía.

• El núcleo de Helio sólo rebotaría en caso de que la trayectoria seguida por este fuera a chocar en línea recta con el centro del átomo de oro. Pero este caso es altamente improbable.

Experimento de Rutherford

Estos resultados llevaron a Rutherford a replantearse el modelo de átomo.

FIN